3.2.2《最大值、最小值问题》课件(北师大版选修2-2)

三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的最值： (1)f（x）=3x-x3(- 3 ≤x≤3);
(2)f(x)=sin2x-x(- ≤x≤ ). 2 2
【解析】(1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x). 令f′(x)=0，得x=1或x=-1, 且f(1)=2,f(-1)=-2.
2.极值和最值的区别与联系？ 提示：(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值 必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个
区间上所有函数值中的最小值.
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出 的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极
值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区
长为_____.
【解析】设小正方形边长为x cm，铁盒体积为y cm3， y=(48-2x)2·x=4x3-192x2+2 304x y′=12x2-384x+2 304=12(x-8)(x-24). ≧48-2x＞0，≨0＜x＜24, 当x∈(0,8)时，y是增加的，x∈(8,24)时,y是减少的, ≨x=8时，ymax=8 192. 答案：8 cm
2
（1）求函数f(x)在区间［1，e］上的最大值，最小值；
（2）求证：x＞1时f(x)＜ 2 x3.
3
【解析】（1）f′(x)=x+ 则f(x)在区间［1，e］上是增加的. ≨当x=1时，f(x)有最小值
1 . 2
，x＞0时，f′(x)＞0
e2 当x=e时，f(x)有最大值 +1. 2
2 （2）设F（x）= 1 x2+lnx- x3,
又f(x)在区间端点的函数值为f(- 3 )=0,f(3)=-18,
所以f(x)max=2,f(x)min=-18.
（2）f′(x)=2cos2x-1.
令f′(x)=0，得cos2x= 1 ，又x∈［- ， ］，所以
2 2x∈［-π,π］，所以2x=〒 ，所以x=〒 .且f( )= 3 2 3 6 6 ,f(- )=- 3 + . 6 6 6 2 又f(x)在区间端点的取值为f( )=- ,f(- )= ,所以 2 2 2 2 f(x)max= ,f(x)min=- . 2 2 2 2
则F′(x)=x+
1 -2x2 x
2
3
≧x＞1，F′（x)＜0, ≨F(x)在（1，+≦)上是减少的， 又≧F（1）=- 1 ＜0，
6
≨ 1 x2+lnx- 2 x3＜0，
2 3 1 即 x2+lnx＜ 2 x3，x∈（1，+≦）， 2 3 2 ≨当x>1时，f(x)< x3. 3
1.（5分）对于函数f(x)=x3-3x(|x|＜1)，下列说法正确的是 ( (A)有最大值，但无最小值 (B)有最大值，也有最小值 )
(C)无最大值，也无最小值
(D)无最大值，但有最小值 【解析】选C.≧f′(x)=3x2-3=3(x2-1)＜0， ≨f(x)在（-1，1）上是减少的.
2.（5分）设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈
因此g(x)max=g( 1 )=4,从而a≥4;
2
③当x<0即x∈［-1，0）时， f(x)=ax3-3x+1≥0可化为 g(x)在区间［-1，0）上是增加的，因此g(x)min=g(-1)=4,从 而a≤4,综上①②③可得a=4. 答案：4
3.（5分）青海玉树地震灾区在党的领导下积极恢复生产、重 建家园时,某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边 可以利用原有的墙壁,其他三面需要砌新的墙壁,当砌墙所用的
2 2 (C) + 6
Baidu Nhomakorabea
)
(A)
(B)2
3
(D) +1
3 6
【解析】选C.f′(x)=1-2sinx，令f′(x)=0得x= , 当x∈［0, )时，f′(x)＞0,
6 , ］时，f′(x)＜0, 6 2 ≨f(x)max=f( )= + 3 . 6 6
当x∈(
3.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间［-1，2］上的最大值为3，最小 值为-29，且a＞0，则（ (A)a=2,b=29 ）
(A)函数的最大值一定不是函数的极大值 (B)函数的极大值可以小于该函数的极小值 (C)函数在某一区间上的极小值就是函数的最小值 (D)函数在开区间内不存在最大值和最小值 【解析】选B.极值是函数的局部性质，极大值可以小于该函数 的极小值.
2.函数f(x)=x+2cosx在［0，］上的最大值为(
7.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比， 已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费 用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速 度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?
【解析】设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.
a 则总费用f(x)=(kx3+200)· =a(kx2+ 200). x x 1 ， 200
由已知条件，得40=k·203,≨k=
≨f(x)=a( 1 x2+ 200 ).
200 x
由f′(x)=
=0，得x= 10 3 20.
当0<x< 10 3 20 时，f′(x)<0;
当 10 3 20 <x<100时，f′(x)>0.
≨当x=10 3 20 时，f(x)有最小值，
即速度为10 3 20 km/h时，总费用最少.
［-1,1］,都有f (x)≥0成立,则实数a的值为 _____. 【解析】①若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立; ②当x>0即x∈(0,1］时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为 设g(x)= ,则g′(x)=
2
,
2
所以g(x)在区间(0, 1 ］上是增加的,在区间［ 1 ,1］上是减 少的.
别为_____.
【解析】f′(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1).
又x∈［0,3］，由f′(x)=0得x=2,
f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4, ≨f(x)max=f(0)=5, f(x)min=f(2)=-15. 答案：5,-15
5.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮 的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊 接成铁盒，使所做的铁盒容积最大，在四角截去的正方形的边
(B)a=2,b=3
(C)a=3,b=2
(D)a=-2,b=-3
【解析】选B.f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f′(x)=0，得x=0或x=4(舍去).
又f(-1)=-7a+b,f(0)=b,f(2)=-16a+b,
≧a＞0，≨最大值为b，最小值为-16a+b.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最大值、最小值分
材料最省时,堆料场的长和宽分别为_____.
【解析】设堆料场的长为x m,宽为y m. 则xy=512,y= l′=1,l=x+2y=x+ =0,x=32. ,
知当0<x<32时,l′<0, 当x>32时,l′>0. ≨当x=32时,l最小.此时y= 答案：32 m,16 m
512 =16. 32
4.（15分）已知函数f(x)= 1 x2+lnx.
课程目标设置
主题探究导学
1.在区间［a,b］上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，
想一想，在［a,b］上一定存在最值和极值吗？
提示：一定有最值，但不一定有极值.如果函数f(x)在［a,b］ 上是单调的，此时f(x)在［a,b］上无极值；如果f(x)在 ［a,b］上不是单调函数，则f(x)在［a,b］上有极值.
间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有 最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点 必定是极值.
3.求函数y=f(x)在［a,b］内最值的步骤. 提示：
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.下列命题中，真命题是( )