上海市建平中学高三期中数学考试试卷(含答案)(2016.11)

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【真题】17年上海市浦东新区建平中学高三(上)数学期中试卷含答案

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=．2．（3分）函数y=+log3（1+x）的定义域为．3．（3分）不等式的解集是．4．（3分）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为．5．（3分）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为．6．（3分）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=1，则f（2017）=．7．（3分）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．8．（3分）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．9．（3分）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．10．（3分）已知直线x=，x=都是函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．11．（3分）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为．12．（3分）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．13．（3分）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）14．（3分）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=．二.选择题15．（3分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要16．（3分）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定17．（3分）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数18．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．三.解答题19．（8分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．20．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．21．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．23．（10分）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=（0，1）．【解答】解：∵x2﹣2x＜0⇒0＜x＜2；∴M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}；N={x|x≥1}⇒C R N={x|x＜1}．所以：M∩（C R N）=（0，1）故答案为：（0，1）．2．（3分）函数y=+log3（1+x）的定义域为（﹣1，2] ．【解答】解：，解得：x∈（﹣1，2]故答案为：（﹣1，2]3．（3分）不等式的解集是[1，3﹚．【解答】解：不等式等价于解得x∈[1，3）故答案为：[1，3﹚4．（3分）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．5．（3分）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为4．【解答】解：log a b=﹣1，可得ab=1．a，b＞0．a+4b≥2=4．当且仅当a=4b=2时取等号．表达式的最小值为：4．故答案为：4．6．（3分）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=1，则f（2017）=﹣1．【解答】解：y=f（x）是奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，由y=f（x）周期为3，f（2017）=f（672×3+1）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．7．（3分）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx+sinx=，∴可得：sinx+cosx=，∴两边平方可得：1+sin2x=，解得：sin2x=．故答案为：．8．（3分）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（x＜1）．【解答】解：由y=log2（2﹣）（x＞0），解得x=（y＜1），把x与y互换可得：y=（x＜1）．∴原函数的反函数为：（x＜1）．故答案为：（x＜1）．9．（3分）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．【解答】解：因为2arcsin（5x﹣2）=，所以sin[arcsin（5x﹣2）]=，即5x﹣2=，所以x=．故答案为．10．（3分）已知直线x=，x=都是函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．【解答】解：直线x=，x=都是函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，]上单调递减，所以T=2×（﹣）=；所以ω==6，并且1=sin（6×+ϕ），﹣π＜ϕ≤π，所以，ϕ=；故答案为：．11．（3分）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为[20，30] ．【解答】解：∵f（x）=x++3，x∈N*，∴f′（x）=1﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，最小值为f（x）min=f（1）=4+a，不满足题意，当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，即f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，即f′（x）＞0，函数单调递增，∴当x=时取最小值，∵x∈N*，∴x取离最近的正整数使f（x）达到最小，∵x=5时取到最小值，∴5＜＜6，或4＜≤5∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），∴4++3≥5++3且5++3≤6++3解得20≤a≤30故答案为：[20，30]12．（3分）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．【解答】解：解：函数f（x）=cos x的周期为T==4，（1）当4n﹣1≤t≤4n，n∈Z，区间[t，t+1]为增区间，则有m（t）=cos，M（t）=cos=sin，（2）当4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+，则M（t）=1，m（t）=sin，②若4n+＜t＜4n+1，则M（t）=1，m（t）=sin，（3）当4n+1≤t≤4n+2，则区间[t，t+1]为减区间，则有M（t）=cos，m（t）=sin；（4）当4n+2＜t＜4n+3，则m（t）=﹣1，①当4n+2＜t≤4n+时，M（t）=cos，②当4n+＜t＜4n+3时，M（t）=sin；则有h（t）=M（t）﹣m（t）=当4n﹣1≤t≤4n，h（t）的值域为[1，]，当4n＜t≤4n+，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+1，h（t）的值域为（1﹣，1），当4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域为[1，]，当4n+2＜t≤4n+时，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+3时，h（t）的值域为[1﹣，1）．综上，h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．故答案是：．13．（3分）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是①③④．（写出所有满足条件的命题序号）【解答】解：①令t=f（x），则对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化为：f（t）=t，即f（x）=x，故①为真命题；②令，显然能满足题设条件，当x≠0，有f（x）=，不满足结论；故②为假命题；③假设存在实数x0，∵f（x0）=a，f（g（a））=a；∴g（a）=x0；g（f（x0））=﹣x0+1；=[g（a）]2﹣g（a）+1；而f（g（a））=a，∴命题成立；故③正确；④∵，g（x0）=g（y0）；∴x0=y0；故④正确；故答案为：①③④14．（3分）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=61．【解答】解：方程（2017﹣x）（1999+x）=2016可化为﹣x2+16x+2017×1999﹣2016=0，∴x1+x2=16．∵x1满足3x1=a﹣3x1，x2满足log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，∴=﹣1﹣（x1﹣1），log3（x2﹣1）=﹣1﹣（x2﹣1）．∴x1﹣1+x2﹣1=﹣1，∴a=45，∴x1+x2+a=16+45=61．故答案为61．二.选择题15．（3分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由“2a＞2b”得a＞b，由“log2a＞log2b”得a＞b＞0，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件，故选：B．16．（3分）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定【解答】解：集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，可得9x﹣4•3x+1+27=0，即（3x）2﹣12•3x+27=0，解得3x=3，3x=9，解得x=1，x=2．M={1，2}．N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，log2（x+1）+log2x=log26，可得x（x+1）=6，x＞0．解得x=2．N={2}．∴N⊊M．故选：B．17．（3分）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数【解答】解：∵y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，故有g（﹣x）=﹣g（x），且f（﹣x）=f（x）．令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），则m（﹣x）=g[g（﹣x）]=g[﹣g（x）]﹣g[g（x）]=﹣m（x），故m（x）为奇函数，故排除A、C；∵f（x）和g（x）都是周期函数，设他们的周期的最小公倍数为t，即f（x+t）=f（x），g（x+t）=g（x），n（x+t）=f（x+t）g（x+t）=f（x）g（x）=n（x），故n（x）=f（x）g（x）一定为周期函数，故排除B，故选：D．18．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选：D．三.解答题19．（8分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＜6，即|2x﹣a|＜4，∵不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），∴，∴a=2；（2）∵f（x）＞t﹣f（﹣x），∴t＜f（x）+f（﹣x），∴t＜|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4，∵|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4≥4+4=8，∴t＜8．20．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，∴cos=cos=sin=，∴=，即B=，∵a=3，b=，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即7=9+c2﹣3c，整理得：c2﹣3c+2=0，解得：c=1或c=2；（2）f（A）=sinA（cosA﹣sinA）=sin2A﹣=sin（2A+）﹣，由（1）得B=，∴A+C=，即A∈（0，），∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（﹣1，1]，∴f（A）∈（﹣，]，∴f（A）的取值范围是（﹣，]．21．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．22．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=﹣|﹣1﹣a|+|1﹣a|=0，∴|a﹣1|=|a+1|，解得a=0．∴f（x）=x|x|，经过验证满足题意；（2）a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）=x（x﹣a）=﹣，①a≤﹣2时，对称轴x=≤﹣1，函数f（x）在D上单调递增，∴f（x）的最小值是f（﹣1）=﹣（﹣1﹣a）=a+1，则g（a）≤﹣2+1=﹣1，故g（a）的最大值为﹣1；②﹣2＜a≤﹣1时，对称轴x=∈，函数f（x）在（，﹣）上单调递增，在[﹣1，]单调递减；∴f（x）的最小值是f（）=﹣，则g（a）≤﹣，故g（a）的最大值为﹣；（3）a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|的图象可由f（x）=x|x|的图象右移a个单位得到．而f（x）=x|x|=，x＞0时递增，x＜0时递增，且f（x）的图象连续，则函数f（x）=x|x﹣a|在[0，3]递增，即有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣f（x n）|=，﹣1）﹣f（x n））=，化为﹣（f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（x n﹣1即﹣（f（0）﹣f（3））=，则3|3﹣a|﹣0=，解得a=或．则实数a的取值为{，}．23．（10分）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【解答】解：（I）∵P=（﹣∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（﹣∞，0）}=（0，+∞），∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=﹣x2+2x，x∈[0，4]}=[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）=[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）=﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）=3∵f（﹣3）=3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1=﹣x2+2x∵P∩M=∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0=2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a=3此时可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M ∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）=﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1=﹣+2x0∈（0，1），x2=﹣+2x1，…∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…=﹣+2x n，得1﹣x n+1=1+﹣2x n=（1﹣）2；由x n+1∴1﹣x n=（1﹣）2=（1﹣x n﹣2）22=…=（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．M有最小值，N有最大值B．M有最大值，N有最小值C．M有最大值，N有最大值D．M有最小值，N有最小值．π2【分析】根据正弦型函数的周期【详解】因为()sinf x læ=çèπæö（3）1122111222a x a x xb x b x x l l +=ìí+=î，可得()()111222,,0x a b x a b l l -+-=．因为12,x x 都不为0，从而向量()11,a b l -与()22,a b l -平行，所以存在实数l 满足()()1221a b a b l l --=，即()21212210a b a b a b l l -++-=．要使l 存在且唯一，则1212a a b b ､､､应满足：()21221Δ40a b a b =-+=．当()f x l l =r r 时，f 有唯一的特征值，且||f l =‖‖．具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x l =，所以l 为特征值．此时2112,0,0,b a a b l l ====满足：()2122140a b a b -+=，所以有唯一的特征值．在22121x x +=的条件下()()22212x x l l l +=，从而有||f l =‖‖．【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键.。

上海高三高中数学期中考试带答案解析

上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合，，则___________．2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．4.若方程组无解，则实数_____．5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．上海高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.集合，，则___________．【答案】【解析】2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．【答案】四【解析】3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．【答案】【解析】【点睛】本题主要等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式及极限，涉及方程思想、极限思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.先利用等差数列的通项公式、等差数列的前项和化简，再利用极限公式进行求解.4.若方程组无解，则实数_____．【答案】【解析】由已知可得 .5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．【答案】1【解析】由已知可得 .6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．【答案】2【解析】由已知可得 .7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．【答案】【解析】8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【点睛】本题主要直线的方程、直线的定点问题和点到直线的距离，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先求出直线得到定点，再利用数学结合思想，利用两点的距离公式即可求得正解.9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．【答案】4【解析】10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．【答案】【解析】11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．【答案】【解析】由已知可得 .【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.将已知条件两边平方得.12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．【答案】91【解析】由已知可得最多由个.二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由成等比数列可得；但是当时可得，而不成等比数列，故正确答案为A.2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．【答案】D【解析】选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、具有一定的综合性，属于中档题型. 本题可采用排除法进行求解：选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得为奇函数，且在上是增函数，由，同理可得，.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得为奇函数，且是增函数，由，同理可得，，三式相加化简即可得正解.4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.图（1）图（2）图（3）【点睛】本题考查可行域、线性规划和直线的斜率等知识，涉及函数与不等式思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）;（2）体积单位.【解析】（1）先建系，再求出的坐标，然后代入公式即可求得正解；（1）以A为坐标原点，、、分别为轴和轴建立直角坐标系.（2）利用等积法，再进一步求解.试题解析：依题意有（2，2，4），（0，0，0），（2，2，0），（0，4，2）所以.设异面直线、所成角为角，所以，所以异面直线、所成角的大小为线段的中点为，线段的中点为，由，高，得，，由为线段的中点，且,,由面,，得面,三棱锥的体积为体积单位.2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．【答案】（1） ;（2）.【解析】（1）由奇函数定义得，从而求出是的表达式，进而求得定义域上的表达式；（2）先利用换元法求出是的值域为，再利用奇函数的性质可求得的值域为，从而定义域内的值域为，故的取值范围为.试题解析：（1）设，则，是奇函数，则有（2）设，令，则，而.，得，从而，在的取值范围是.又设，则，由此函数是奇函数得，，从而.综上所述，的值域为，所以的取值范围是.3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．【答案】（1）;（2）见解析.【解析】（1）先建立方程求得公比，再代入通项公式即可求得正解；（2）由（1）得，然后对进行分类讨论.试题解析：（1），，.整理得，解得或（舍去）..（2）.1）当时，有数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由，得.所以.的没有最大值.2）当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.，得，.的没有最小值.4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．【答案】（1） ;（2）;（3） .【解析】(1)利用相关点代入法求解；（2）先由已知求得椭圆方程为，设；（3）设, 1)当直线的斜率存在时,设方程为，由以为直径的圆经过原点，又到直线的距离；2) 当直线的斜率不存在时,设方程为的面积是定值 .试题解析：（1）解.设（）由题意则，又，从而得（2）由，得.又，得.点在椭圆上，，，且，，由于，的取值范围是（3）设,则;1)当直线的斜率存在时,设方程为, 由得；有①由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；整理得:②将①式代入②式得: ,又点到直线的距离所以2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得；代入得，解得,从而,综上:的面积是定值.【点睛】本题考查椭圆的方程、向量的数量积、直线与圆和三角形的面积，涉及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第一小题利用相关点代入法求解；第二小题设；第三小题利用舍而不求法思想和分类讨论思想，紧扣进行求解.5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】(1) ；(2)周期为；(3)由题意得.试题解析：(1)(2),周期为4 , 所以=.(3)由题意得由又而从而有此函数的最小正周期为6,1)当时..2)当时..【点睛】本题考查函数的解析式、复合函数、数列的通项公式和三角函数，涉及函数与方程思想、分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第二小题通过计算发现数列的周期性，并利用周期性解题；第三小题通过待定系数法求得，从而，再利用周期性结合分类讨论思想进行求解.。

建平中学数学高三期中试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$C. $f(x) = \log_2(x - 1)$D. $f(x) = x^2$2. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$a > 0$，$b = 0$，$f(1) = 2$，$f(2) = 4$，则$f(x)$的对称轴为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 0$D. $x$不存在3. 下列各式中，正确的是：A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$C. $\lim_{x \to 0} (3x + 5) = 5$D. $\lim_{x \to 0} (x^2 - 1) = 0$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，且$a_1 + a_5 = 18$，则$a_3$的值为：A. 8B. 10C. 12D. 145. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k^2 + b^2$的值为：A. 2B. 1C. 0D. 36. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$\overline{z} = a - bi$，则$z$的实部为：A. $a$B. $-a$C. $b$D. $-b$7. 若$0 < a < 1$，则下列不等式中正确的是：A. $a^2 < a$B. $a^2 > a$C. $a^3 < a$D. $a^3 > a$8. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (4, 6)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为：A. 12B. 18C. 24D. 309. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A =\frac{3}{5}$，$\cos B = \frac{4}{5}$，则$\sin C$的值为：A. $\frac{7}{25}$B. $\frac{24}{25}$C. $\frac{3}{5}$D. $\frac{4}{5}$10. 已知函数$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f(x)$的最小值为：A. 2B. $e$C. $e^2$D. $e^{-2}$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3 = 5$，公差$d = 2$，则$a_1 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 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2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三(上)期中数学试卷-教师用卷

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A. 1x2+1>1y2+1B. ln(x2+1)>ln(y2+1)C. sin x>sin yD. x3>y3【答案】D【解析】解：∵实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，∴x>y，A.取x=2，y=−1，不成立；B.取x=0，y=−1，不成立C.取x=π，y=−π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，可得x>y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．2.已知点A(−2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，则点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：∵动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，∴(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x2，∴(−2−x)(3−x)+y2=x2，解得y2=x+6．∴点P的轨迹方程是抛物线．故选：D．由题意知(−2−x,y)⋅(3−x,y)=x2，化简可得点P的轨迹．本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．3.已知数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列：①{2a n}；②{a n2}；③{1a n2}；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则①2a n+12a n=2a n+1−a n，不是等比数列；②a n +12a n2=q 2；③{1a n2}是公比为1q 2的等比数列；④{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列；⑤{a n +a n +1}不一定是等比数列，例如(−1)n ．综上：等比数列的个数为3．故选：B ．利用等比数列的定义通项公式即可得出．本题考查了等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 设函数f 1(x )=x 2，f 2(x )=2(x −x 2)，f 3(x )=13|sin2πx |，a i =i99，i =0，1，2，…，99.记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，k =1，2，3，则( ) A. I 1<I 2<I 3 B. I 2<I 1<I 3 C. I 1<I 3<I 2 D. I 3<I 2<I 1 【答案】B【解析】解：由|(i99)2−(i−199)2|=199×2i−199，故I 1=199(199+399+599+⋯+2×99−199)=199×99299=1，由2|i99−i−199−(i 99)2+(i−199)2|=2×199|99−(2i−1)99|，故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×10099<1，I 3=1[||sin2π⋅1|−|sin2π⋅0||+||sin2π⋅2|−|sin2π⋅1||+⋯+||sin2π⋅99|−|sin2π⋅9899||] =13(2sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)>1，故I 2<I 1<I 3，故选：B ．根据记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，分别求出I 1，I 2，I 3与1的关系，继而得到答案本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1，则f (f (2))=______【答案】−1【解析】解：∵函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1， ∴f (2)=π(4−5)=−π，f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π=−1．故答案为：−1．推导出f (2)=π(4−5)=−π，从而f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为______【答案】−2【解析】解：∵a5+8a2=0，∴a2q3+8a2=0，即q3=−8，解得q=−2．故答案为：−2．由等比数列的性质知q3=−8，从而解得．本题考查了等比数列的性质，属于基础题．7.若m=(1,2)，n=(−2,1)，p=(cosα,sinα)，m⋅p=3n⋅p，则tanα=______【答案】7【解析】解：因为m⋅p=(1,2)⋅(cosα,sinα)=cosα+2sinα，3n⋅p=3(−2,1)⋅(cosα,sinα)=−6cosα+3sinα，∴cosα+2sinα=−6cosα+3sinα，∴sinα=7cosα，tanα=7，故答案为：7．利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.属基础题．8.设集合A={x|x2−2x≥0}，B={x|2x−1≤1}，则(∁R A)∩B=______【答案】(0,1]【解析】解：集合A={x|x2−2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x−1≤1}={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0<x<2}，∴(∁R A)∩B={x|0<x≤1}=(0,1]．故答案为：(0,1]．化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．9.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是______【答案】80【解析】解：分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C54=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C21×C21×C21×C21= 16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个.然后相乘可得．本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．10.从原点O向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为______．【答案】2π【解析】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+(y−6)2=9，得到圆心C的坐标为(0,6)，圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90∘，且AC=BC=3，OC=6，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60∘，所以∠ACB=120∘，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l=120∘π×3180∘=2π．故答案为：2π把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB 等于2×30∘，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握直角三角形的性质，灵活运用弧长公式化简求值，是一道综合题．11.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N∗，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=______【答案】−4033【解析】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1−S n=1−2n，则a2018=S2018−S2017=1−2×2017=−4033；故答案为：−4033．根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1−S n=1−2n，再令n=2018计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．12.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，则f(6)=______．【答案】2【解析】解：∵当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，∴当x>12时，f(x+1)=f(x)，即周期为1．∴f(6)=f(1)，∵当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，∴f(1)=−f(−1)，∵当x<0时，f(x)=x3−1，∴f(−1)=−2，∴f(1)=−f(−1)=2，∴f(6)=2；故答案为：2求得函数的周期为1，再利用当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，得到f(1)=−f(−1)，当x<0时，f(x)=x3−1，得到f(−1)=−2，即可得出结论．本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(log2|a−1|)>f(−2)，则a的取值范围是______【答案】(3,34)∪(54,5)【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，则f(x)在[0,+∞)上为减函数，则f(log2|a−1|)>f(−2)⇒f(|log2|a−1||)>f(2)⇒|log2|a−1||<2⇒−2<log2|a−1|<2，变形可得：14<|a−1|<4，解可得：−3<a<34或54<x<5；即不等式的解集为(−3,34)∪(54,5)；故答案为：(−3,34)∪(54,5)．根据题意，分析可得f(x)在[0,+∞)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f(log2|a−1|)>f(−2)可以转化为−2<log2|a−1|<2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在[0,+∞)上的单调性，属于基础题．14.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6ab cos C，则tan C1tan B−tan C1tan A=______【答案】4【解析】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6ab cos C=6ab⋅a2+b2−c22ab，∴c2=23(a2+b2).则tan C1tan B−tan C1tan A=tan Ctan A+tan Ctan B=tan C(1tan A+1tan B)=sin Ccos C⋅(cos Asin A+cos Bsin B)=sin Ccos C⋅sin(A+B) sin A sin B =sin C⋅sin Csin A sin B cos C=c2ab⋅a2+b2−c2=2c2a+b−c=4，故答案为：4．由题意利用余弦定理可得c2=23(a2+b2)，再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．15.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，则a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为______．【答案】(−∞,−6]∪[6,+∞)【解析】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，可得a>0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=−1a=c，△=4−4ab=0，∴ac=−1，ab=1，∴c=−1a ，b=1a．则a2+b2+7a+c =(a−b)2+9a−b=(a−b)+9a−b，当a−b>0时，由基本不等式求得(a−b)+9a−b≥6，当a−b<0时，由基本不等式求得−(a−b)−9a−b ≥6，即(a−b)+9a−b≤−6故a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为：(−∞,−6]∪[6,+∞)，故答案为：(−∞,−6]∪[6,+∞)．由条件利用二次函数的性质可得ac=−1，ab=1，再根据则a2+b2+7a+c =(a−b)+9a−b，利用基本不等式求得它的范围．本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．16.若定义域均为D的三个函数f(x)，g(x)，ℎ(x)满足条件：对任意x∈D，点(x,g(x)与点(x,ℎ(x)都关于点(x,f(x)对称，则称ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=1−x2，f(x)=2x+b，ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”，且ℎ(x)≥g(x)恒成立，则实数b的取值范围是______．【答案】[+∞)【解析】解：解：∵x∈D，点(x,g(x))与点(x,ℎ(x))都关于点(x,f(x))对称，∴g(x)+ℎ(x)=2f(x)，∵ℎ(x)≥g(x)恒成立，∴2f(x)=g(x)+ℎ(x)≥g(x)+g(x)=2g(x)，即f(x)≥g(x)恒成立，作出g(x)和f(x)的图象，若ℎ(x)≥g(x)恒成立，则ℎ(x)在直线f(x)的上方，即g(x)在直线f(x)的下方，则直线f(x)的截距b>0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=22+1=5≥1⇒b≥5或b≤−5(舍去)即实数b的取值范围是[5,+∞)，根据对称函数的定义，结合ℎ(x)≥g(x)恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，AB ⊥BC ，∠ADC =45∘，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =1，AD =3．(1)求异面直线PB 与CD 所成角的大小； (2)求点D 到平面PBC 的距离．【答案】解：(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P (0,0，1)，B (1,0，0)，C (1,2，0)D (0，3，0)， ∴PB =(1,0，−1)，CD =(−1,1，0)，……(3分) 设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cos θ=|PB ⋅CD ||PB|⋅|CD |=12，……(6分)所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3.……(7分)(2)设平面PBC 的一个法向量为n =(x ,y ，z )，PB =(1,0，−1)，BC =(0,2，0)，CD =(−1,1，0)，则 n ⋅PB =x −z =0n ⋅BC =2y =0，取x =1，得n=(1,0，1)，……(4分) ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n ⋅CD ||n |=22.……(7分) 【解析】(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．(2)求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 设函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0<ω<3，已知f (π6)=0．(Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y =g (x )的图象，求g (x )在[−π4,3π4]上的最小值．【答案】解：(Ⅰ)函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)=sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin(π2−ωx )=3sin ωx −3cos ωx = 3sin(ωx −π3)，又f (π6)= 3sin(π6ω−π3)=0， ∴π6ω−π3=kπ，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0<ω<3，∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=3sin(2x−π3)，将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(x−π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y=x+π4−π3)的图象，∴函数y=g(x)=3sin(x−π12)；当x∈[−π4,3π4]时，x−π12∈[−π3,2π3]，∴sin(x−π12)∈[−32,1]，∴当x=−π4时，g(x)取得最小值是−32×3=−32．【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据f(π6)=0求出ω的值；(Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x∈[−π4,3π4]时g(x)的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数y=ax图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．(1)求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；(2)若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】解：(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，(4分)又得N(10,45)，所以定义域为[1,10].…(6分)(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)由y−8p=k(x−p)y=8x得kpx2+(8−kp2)x−8p=0，△=(8−kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0，…(8分)∴kp2+8=0，∴k=−8p ，得直线AB方程为y−8p=−8p(x−p)，…(10分)得A(0,16p)、B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由2p−16p =2⋅p2−8p>0即p2−8>0…(12分)得p>2时，OA<OB，所以，当22<p≤10时，经点A至P路程最近.(14分)【解析】(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，可得其定义域；(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)与y=8x联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，已知偶函数g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(1)=0，当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)．(1)求f2(x)，f3(x)，f4(x)，f2018(x)；(2)求出函数y=g(x)的解析式；(3)若存在实数a、b(a<b)，使得函数g(x)在[a,b]上的值域为[mb,ma]，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)因为函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，f1(x)=11−x，f2(x)=f[f1(x)]=11−1=x−1x，(x≠0且x≠1)，f3(x)=f[f2(x)]=11−x−1=x，(x≠0且x≠1)，f4(x)=f[f3(x)]=11−x，(x≠0且x≠1)，故对任意的n∈N⋅，有f3n+i(x)=f i(x)(i=2,3，4)，于是f2018(x)=f3×672+2=f2(x)=1−1x，(x≠0且x≠1)；(2)当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)=1−1x，又g(1)=0，由g(x)为偶函数，当x<0时，−x>0，g(x)=g(−x)=1+1x，可得g(x)=1+1x,x<01−1x,x>0；(3)由于y=g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又a<b，mb<ma，可知a与b同号，且m<0，进而g(x)在[a,b]递减，且a<b<0，当a，b∈(0,1)时，g(x)=1−1x为增函数，故1−1a=mb1−1b=ma，即m=a−1ab=b−1ab，得a−1=b−1，即a=b，与a<b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g(x)的图象，如图所示.由题意，有g(a)=1+1a=mag(b)=1+1b=mb，故a，b是方程1+1x=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2−x−1=0在(−∞,0)上有两个不相等的实根，于是△=1+4m>0a+b=1m<0ab=−1m>0，解得−14<m<0．综合上述，得实数m的取值范围为(−14,0)．【解析】(1)根据函数关系代入计算进行求解即可；(2)由偶函数的定义，计算可得所求解析式；(3)根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j−a i,i<j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m−a k=t(m,k∈N∗,m>k)，必有a m+1−a k+1=t”，则称数列具有性质P(t)．(1)若数列{a n}满足a n=2n n≤22n−5n≥3，判断数列{a n}是否具有性质P(2)？是否具有性质P(4)？说明理由；(2)求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P(0)”的必要不充分条件；(3)已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】解：(1)∵a n=2n n≤2 2n−5n≥3，a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可得，数列{a n}具有性质P(4)．(2)证明：(不充分性)对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，但是由于a2−a1=0，a3−a2=1，所以不具有性质P(0)；(必要性)因为数列{a n}具有性质P(0)，所以一定存在一组最小的且m>k，满足a m−a k=0，即a m=a k由性质P(0)的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m−k−1=a m−1，a2m−k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m−1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m−1个不同的项，所以T最多有C m−12个元素，即T是有限集；(3)证明：因为数列{b n}具有性质P(2)，数列{b n}具有性质P(5)，所以存在M′、N′，使得，，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P(2)，P(5)的含义可得，，，若，则取，可得；若N {{'}}'/>，则取，可得．记，则对于b M，有b M+p−b M=2，b M+q−b M=5，显然p≠q，由性质P(2)，P(5)的含义可得，b M+p+k−b M+k=2，b N+q+k−b N+k=5，所以b M+qp−b M=(b M+qp−b M+(q−1)p)+(b M+(q−1)p−b M+(q−2)p)+⋯+(b M+p−b M)=2qb M+qp−b M=(b M+pq−b M+(p−1)q)+(b M+(p−1)q−b M+(p−2)q)+⋯+(b M+q−b M)=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p−b M=2，b M+q−b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2−b M=2，b M+5−b M=5，所以，b M+2+k−b M+k=2，b M+5+k−b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2(k−1)+2=⋯=b M+2k，b M+5k=b M+5(k−1)+5=⋯=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【解析】(1)由a n=2n n≤22n−5n≥3，可得a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可判断数列{a n}具有性质P(4)；(2)举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P(0)，即不充分性成立；再证明其必要性即可；(3)依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。

上海市2023-2024学年高三上学期期中考试数学含解析

2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．3.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===-，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7.若直线()1y k x =-与曲线e xy =相切，则k 的值为___________.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a=__________.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.11.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.12.已知函数ln xf x x （）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38xy==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy =D.x y +>14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x=⋅ D.x y k a =⋅；15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a << D.()()()f c f a f b <<16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a 中，4m a =，32m a +=-，其中m 为给定的正整数，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，1m =，求13a ；（2）若{}n a 为等差数列，是否存在正整数m ，使得130S =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.18.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ，且M ，N 分别为线段AB ，PC 的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且3CD =ABC 面积的最小值.20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin xxx x x >++．2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.【答案】{}04x x ≤<【解析】【分析】对集合(){}40B x x x =-<解一元二次不等式，取并集即可.【详解】∵(){}{}4004B x x x x x =-<=<<，∴{}04A B x x ⋃=≤<.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．【答案】1【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再求出其模.【详解】因为1i 1i ()z -=+，所以()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ++++====--+，所以||1z =.故答案为：13.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由2a b -=r r ()2210a b-= ，222π44441cos 104a ab b b b -⋅+=-⨯⨯⋅+= ，(260,0b b b b --=-=，解得b =故答案为：4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.【答案】512【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出sin α，再利用平方关系求出cos α，进而求出tan α.【详解】 ()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，∴()5sin sin 13αββα+-==-⎡⎤⎣⎦，α是第三象限角，∴12cos 13α==-，∴sin 5tan cos 12ααα==.故答案为：512.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===- ，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.【答案】1-【解析】【分析】先求得c a b λμ=+的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为()()1,0,1,1a b==，所以()c a b λμλμμ=+=+，，又因为()1,2c =-，所以1,2,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得3,1λλμ=-∴+=-．故答案为：1-6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】①.车长②.车速【解析】【分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为m,m,m /s d l v ，则若车辆在15s 内能够通过该式子路段，需要满足215d lt v+=≤，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a =__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式11n n a a q -=⋅将4114a a -=化简，再利用等比数列前n 项和的性质将3S 化为123a a a ++，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q ，则()()()()23123132411111411114S a a a a q q a a a q a q q q ⎧=++=++=⎪⎨-=-=++-=⎪⎩，解得12,2q a ==，则45132a a q =⋅=.故答案为：32.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.【答案】0x =或34120x y +-=【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求出A ，B两点的坐标，再判断AB =是否成立，当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出k ，从而可求出直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，此时AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l的距离d ==.因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.【答案】3【解析】【分析】根据正余弦定理可得ABC 的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为2π3AB AC BAC ∠===，所以2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠133232⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即3BC =，所以ABC 的外接圆半径为12sin BCr BAC∠=⋅=，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，设球O 的半径为R ，则R ==因此球O 的体积为34205ππ33V R ==．故答案为：205π3.11.已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].12.已知函数ln xf x x（）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1e)-∞-【解析】【分析】首先利用导函数求f x （）的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为()ln x f x x=，则'2ln 1()(ln )x f x x -=，当01x <<或1e x <<时，()0f x '<，当e x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1和(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，且当0x →时，()0f x →，(e)e f =，故f x （）的大致图像如图所示：关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=等价于[()1()1]0f x f x a ][++-=，即()1f x =-或()1f x a =-，由图可得，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解，所以1e a ->，解得1a e <-，故答案为：(,1e)-∞-二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38x y ==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy = D.x y +>【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求出,x y ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，23log 3,log 8x y ==.对A ，222233log 32log 33log 9log 822x >⇔>⇔>⇔>，成立，故A 正确；对B ，333333log 82log 83log 64log 2722y <⇔<⇔<⇔<，不成立，故B 错误；对C ，232lg 3lg8lg8log 3log 8log 83lg 2lg 3lg 2xy ⨯=⨯====，成立，故C 正确；对D ，因为3xy =，故x y +≥=，当且仅当x y ==x y ≠，故x y +>，成立，故D 正确；故选：ACD14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x =⋅D.x y k a =⋅；【答案】B 【解析】【分析】由题意观察出y 随x 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x y k a =⋅显然都是单调函数，不满足题意，∴选择2y ax bx c =++．故选：B.15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由已知得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，这样得出函数在[1,2]上是减函数，再由奇函数得出在[1,1]-上是增函数，利用奇函数得(0)0f =，从而得出(2)0(0)f ==，确定,,a b c 的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()2f x f x +=-，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在[1,2]上是减函数，则在[0,1]上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1,0]-上是增函数，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，()f x 在[1,3]上是减函数，结合奇函数得(0)0f =，所以(2)0f =，121(24b -==，12log 21c ==-，ln 2(0,1)a =∈，所以(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<，故选：C ．16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433【答案】C 【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 90ABC ∠= ，//AD BC ，∴AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =-，(2,2,2)PC =- ，对于A ， 41cos ,22222BP CD BP CD BP CD ⋅===⨯，且0,180BP CD ≤≤，∴,60BP CD =，∴PB 与CD 所成的角是60 ，故A 错误；对于B ，设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111112220,220,n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令11x =，则11y =，12z =，所以1(1,1,2)n = ，显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)m =，∴111cos ,6m n m n m n ⋅===，∴平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是66，故B 错误.对于C，111sin ,6BP n BP n BP n ⋅==，故C 正确；对于D ， M 是线段PC 上动点，∴设()()2,2,201PM PC λλλλλ==-≤≤，N 为AD 中点，∴()0,2,0N ，()2,2,0BN =-，∴()22,2,22BM BP PM λλλ=+=-+-，当1λ=时，M 位于C 点，此时点P 到平面BMN 距离为2PA =,当1λ≠时，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222222220,220,n BM x y z n BN x y λλλ⎧⋅=-+++-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，则21y =，2121z λλ-=-，所以212(1,1,)1n λλ-=- ，∴点P 到平面BMN距离22BP n d n ⋅==，当143λ=，即34λ=时，2min 1123863λλ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，此时maxd==2>，∴点P到平面BMN，故D错误.故选：C.三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a中，4ma=，32ma+=-，其中m为给定的正整数，{}n a的前n项和为n S.（1）若{}n a为等比数列，1m=，求13a；（2）若{}n a为等差数列，是否存在正整数m，使得130S=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14（2）存在，5m=【解析】【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.【小问1详解】由题意，14a=，42a=-，设等比数列的公比为q，则34112aqa==-.故41213111424a a q⎛⎫=⋅=⨯-=⎪⎝⎭.【小问2详解】设等差数列{}n a的公差为d，由题意，323m ma ad+-==-.由()11ma a m d=+-可知122a m=+.由()1311312131321002S a d m⨯=+=⨯-=，解得5m=.存在正整数5m=，使得130S=18.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用中位线定理知//NK CM ，利用线面平行的判定定理即可证明//NK 平面ABC ．（2）由PA ，PB ，PC 两两垂直，可证PC ⊥平面PAB ，进而可得PC AB ⊥，再证明AB ⊥平面PCM ,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM ⊥平面ABC ．【小问1详解】因为N 为线段PC 的中点，点K 是线段PM 的中点，所以由中位线定理知//NK CM ，又CM 在平面ABC 内，且NK 在平面ABC 外，因此根据线面平行判定定理得直线//NK 平面ABC ，得证．【小问2详解】因为PA ，PB ，PC 两两垂直，所以PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，,,PA PB P PA PB =⊂ 平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以PC AB ⊥，又PA ＝PB ，且M 为线段AB 的中点，所以PM AB ⊥，结合,,PM PC P PM PC =⊂ 平面PCM ,所以AB ⊥平面PCM ,因为AB ⊂平面ABC ，所以平面PCM ⊥平面ABC ，得证．.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3C =；（2【解析】【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得C .（2）根据已知条件求得a b =或a b ab +=，结合基本不等式求得三角形ABC 面积的最小值.【小问1详解】依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.【小问2详解】依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得3πsin sin 6AD A =，在三角形BCD中，由正弦定理得πsin sin 6BD B =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=.在三角形ACD 中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD 中，由余弦定理得222π3cos336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形113sin 4222ABC S ab C =≥⨯⨯= .综上所述，三角形ABC20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，根据题意列出1271||,||22PC R PC R =-=+，即可得12||||4PC PC +=，结合椭圆定义即可求得答案；（2）（i ）设直线AB 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM 方程，求出N 点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；（ii ）求出弦长||AB 和||DG ，结合题意可求出四边形ADBG 面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小问1详解】设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，22145:204C x y x ++-=即22149:(1)4C x y ++=，2223:204C x y x +-+=，即2221:(1)4C x y -+=，而动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，故1271||,||22PC R PC R =-=+，则1212||||4||2PC PC C C +=>=，故动圆P 的圆心的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b +=>>，则23,,24222,a c a b ∴====，故轨迹E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】（i ）由题意知AB 斜率存在，设其方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,M x y -，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，由于直线AB 过椭圆焦点，则必有0∆>，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得()()()()2211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k k k -⨯-++==-+，即N 为一个定点(4,0)；（ii ）()222212112||1|14AB k x x k x x x x =+-=++-()22222222121841214.434343k k k k k k k +⎛⎫-=+-⨯ ⎪+++⎝⎭1,DGAB DG k k ⊥∴=- ，同理可得()22121||34k DG k +=+，AB DG ⊥ ，则()()222212112111||||224334ABDGk k SAB DG k k ++=⨯=⨯++四边形22222222272(1)72(1)2884334(43)(34)49()2k k k k k k ++=≥=+++++，当且仅当224334k k +=+，即1k =±时等号成立，即四边形ADBG 的面积的最小值为28849.21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin x x x x x >++．【答案】（1）证明详见解析（2）1a =（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.【小问1详解】2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x'-=-=>，所以()t x 在区间()()()'0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤，所以2a =时，()42g x x ≤-.【小问2详解】依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥，令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈，所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.设()()()'e 10,e t t h t at a h t a =-->=-，所以函数()h t 在区间()()()',ln ,0,a h t h t -∞<递减；在区间()()()'ln ,,0,a h t h t +∞>递增.所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--，所以ln 10--≥a a a ，111ln 1,ln 1a a a a a+≥≥-，由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11ln1a a≤-，所以11ln 1a a =-，当且仅当11a =，即1a =时成立.【小问3详解】由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立.所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，则()22e ln 0x x x x x x x ≥++>，要证明()()2e 2ln 2sin 0x x x x x x >++>，只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>，由（1）知()ln 10x x x ≤->，所以只需证()22(1)2sin 0xx x x x +>-+>，即证()222sin 0x x x x -+>>，①当1x >时，()221222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.②当01x <≤时，221772()244x x x -+=-+≥，π72sin 2sin12sin34x ≤<=<，不等式成立.所以()222sin 0x x x x -+>>成立，所以()()2e 2ln 2sin 0xx x x x x >++>成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。

上海市建平中学2023届高三上学期11月月考数学试卷(解析版)

【详解】由题知，乙组的中位数为65，所以，
所以平均数
，
解得．
故答案为: ，
4.已知的展开式中，若第7项为常数项，则的值为______．
【答案】9
【分析】根据二项式定理的通项展开即可.
【详解】由题知，
，
因为第7项为常数项.
所以当时， ,
所以
故答案为：
5.已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为______.
【答案】（1）；（2）2．
【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出 .
试题解析：（1），∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知，
∵ ，∴ ，
∴ ，
则的前20项和为
．
20.已知二次曲线的方程：．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件：
（2）若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程：
（3）、为正整数，且，是否存在两条曲线，其交点与点满足？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）时．方程表示椭圆；时，方程表示双曲线；
故选：B.
【点睛】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
15.已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（）
A.1个B.2个C.3个D.无数个
【答案】D
【分析】根据向量表达式可以确定是的重心，根据重心的性质进行判断即可.
【详解】抛物线方程为，A、B、C为抛物线E三点，当满足时时，F为的重心，连接并延长至D，使，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦，则这样的三角形有无数个．故“特别三角形”有无数个，

上海市建平中学2019-2020学年2020届高三第一学期数学期中考试卷(简答)

建平中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 设函数()f x A ，R 为全体实数集，则A =R ð2. 若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=3. 在二项式51)x 的展开式中，展开式的系数和为4. 双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=，那么双曲线的方程是5. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim1n n S n →∞=+ 6. 已知函数34()log (2)f xx =+，则方程1()4f x -=的解x =7. 行列式sin 4cos 35x x 的最大值为 8. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9. 某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为10. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 11. 已知a r 、b r 、2c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r ，则|4|2|32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是12. 已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是二. 选择题13. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（）A. 0B. 2π C. π D. 2π 14. 设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2)θπ∈，则该椭圆的焦点坐标为（）A. (0,B. (2,0)±C. (D. (1,0)±16. 数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则2019a =（）A. 16B. 4C. 2D. 1三. 解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点，现将Rt △ABC以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=. （1）求该圆锥的全面积（即表面积）；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥.19. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60150m <<，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，左顶点为(4,0)A -，经过点(2,3)，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，(3,0)Q -，证明：对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥恒成立；（3）若过点作直线的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||AD AE OM +的最小值.21. 设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将两个数列的偏差距离定义为[{},{}]n n M a b ，其中1122[{},{}]||||||n n m m M a b a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；（2）设A 为满足递推关系+11+=1n n na a a -的所有数列{}n a 的集合，{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的偏差距离小于2020，求m 最大值；（3）记S 是所有8项数列{|18,0n n a n a ≤≤=或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T 中的元素个数小于或等于16.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<2.3. 324. 221916x y -= 5. 2 6. 1 7. 5 8.439.427 10. 1 11. 12. 21(0,]2019二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12π；（2）. 18.（1）12-；（2）[2,2]26k k ππππ-+，k ∈Z . 19.（1）(100)(2)20,00.6(1002)(2)20,0.6x m x x x m y x m x x m x m +--<≤⎧=⎨+--<≤⎩；（2）30m -.20.（1）2211612x y +=；（2）证明略；（3）21.（1）6；（2）3461；（3）证明略.。

上海市浦东新区建平中学2024届高三上学期11月质量检测数学试题

答案第41 页，共22 页
所以 cosa cos b - sina sin b = sin a cos b - cosa sin b ，所以 cosa (sin b + cos b ) = sina (cos b + sin b ) .
因为a ，b 均为锐角，所以 sin b + cos b ¹ 0 ，
可知方程 2 x + 3 y = 6 的曲线是一个菱形，
且该菱形的四个顶点坐标分别为(3,0) 、(0, 2) 、 (-3,0) 、(0, -2) ，
因为椭圆过该菱形的四个顶点，设椭圆的方程为 mx2 + ny2 = 1，
则 ìíî94mn ==11，解得 m
=
1 9
，n
=
1 4
，因此，所求椭圆的方程为
两个元素，则所有满足条件的 b 从小到大排列构成一个等差数列．
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试卷第61 页，共33 页
1．(-¥, 0]
参考答案：
【分析】利用补集的定义可求得集合 A .
【详解】因为全集为 R ，集合 A = (0, +¥) ，则 A = (-¥,0] .
故答案为： (-¥, 0] .
ar
=
(1,
-2)
，
r b
=
(3,
4)
，则向量
ar
在向量
r b
方向上的数量投影为
.
4．双曲线
x2 9
-
y2 4
= 1的焦点到渐近线的距离为
．
5．若 x1 和 x 2 是函数 y = cos2x 互异的两个零点，则 x1 - x2 的最小值为． 6．设 z 为复数 z 的共轭复数，若复数 z 满足 z2 + z + 3 = 0 ，则 z + z = ． 7．已知方程 2 x + 3 y = 6 的曲线是一个菱形，以此菱形的四个顶点为顶点的椭圆方程是． 8．已知正四棱柱的侧棱长为 2，体积为 6，则该正四棱柱的表面积为． 9．关于 x 的不等式 x lg x > 0 的解集是．

上海市建平中学2018-2019学年高三上学期期中考试数学试题(精编含解析)

则 f（x）在[0，+∞）上为减函数， ∴f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2） ⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，
得＜|a﹣1|＜4，解得：﹣3＜a＜或＜x＜5，即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；故答案为：（﹣3，）∪（，5）．
第二步：从选出的 4 个家庭的每个家庭的父母亲中选出 1 位来，有 × × × =16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．
11.已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+2x+b＞0 的解集为{x|x≠c}，则值范围为_____．【答案】（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】
（其中 a+c≠0）的取
由条件利用二次函数的性质可得 ac=﹣1，ab=1, 即 c=-b 将
【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.
3.若
，则 tanα=_____
【答案】7
【解析】【分析】由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案. 【详解】由数量积公式得 = +2 ， =-2 + ，即 +2 =3（-2 + ），整理得 7 = ，即 tanα=7，故答案为：7. 【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.

2016-2017学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.设集合{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，则P Q = ______.2.集合{}1,2,3的真子集的个数为______.3.不等式1012x x-≥-的解集______.4.设α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是______.5.已知a ，b ，c 是实数，写出命题“若0a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有两个负数”的等价命题：______.6.若0a >，0b >，321a b +=，则ab 的最大值是______.7.设全集U =R ，1|11A x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}2|540B x x x =-+>，则()U A C B = ______.8.已知正数x ，y 满足111x y+=，则49x y +的最小值为______.9.若不等式11axx >-的解集为()1,2，则实数a 的值是______.10.关于x 的不等式组1ax x a <⎧⎨-<⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是_____.11.若{}2|0,A x mx x m m R =++=∈，且A R =∅ ，则实数m 的取值范围为______.12.用[]M A 表示非空集合A 中的元素个数，记[][][][][][][][],,M A M B M A M B A B M B M A M A M B ⎧-≥⎪-=⎨-<⎪⎩，若{}1,2,3A =，{}2|23B x x x a =--=，且1A B -=，则实数a 的取值范围为______.二、选择题：（每小题4分，共16分）13.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（）A.11a b< B.2ab b <C.2ab a -<- D.11a b-<-14.“若a，b∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab＋1>a＋b”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件15.不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A.(][),13,-∞+∞ B.()(),13,-∞⋃+∞ C.[]1,3 D.()1,316.在下列条件中：①240b ac -≥；②0ac >；③0ab <且0ac >；④240b ac -≥，0b a<，0ca >中能成为“使二次方程20ax bx c ++=的两根为正数”的必要非充分条件是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.解不等式组：251320x x x ⎧≥⎪+⎨⎪+-≥⎩.18.设全集U =R ，集合{}1A x x a =-<，122x B xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭.（1）求出集合B ；（2）若u A C B ⊆，求出实数a 的取值范围.19.某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y 万元与年产量x 吨之间的关系可可近似地表示为2130400010y x x =-+.（1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x 的取值范围；（2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.20.已知{}|13M x x =<<，{}2|680N x x x =-+≤.（1）设全集U =R ，定义集合运算∆，使()U M N M C N ∆= ，求M N ∆和N M ∆；（2）若{}|2H x x a =-≤，按（1）的运算定义求：()N M H ∆∆.21.已知函数()22f x ax x c =-+，且()0f x >的解集是1|x x a ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.（1）求()2f 的最小值及()2f 取最小值时()f x 的解析式；（2）在()2f 取得最小值时，若对于任意的2x >，()()42f x m x +≥-恒成立，求实数m 的取值范围.2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.设集合{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，则P Q = ______.【答案】{}1,2由P 与Q ，求出两集合的交集即可.【详解】∵{}1,2,3,4P =，{}|2Q x x =≤，∴{}1,2P Q = .故答案为：{}1,2.【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题关键．2.集合{}1,2,3的真子集的个数为______.【答案】7集合{}1,2,3的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集.【详解】集合的真子集为{}1，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，∅.共有7个.故答案为：7.【点睛】本题考查集合的子集的概念，属于基础题．3.不等式1012x x -≥-的解集______.【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦依题意可得10120x x -≥⎧⎨->⎩①或10120x x -≤⎧⎨-<⎩②，分别解之，取并即可.【详解】∵1012x x-≥-，∴10120x x -≥⎧⎨->⎩①或10120x x -≤⎧⎨-<⎩②，解①得：x ∈∅；解②得：112x <≤，∴不等式1012x x -≥-的解集为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查解分式不等式，解分式不等式0AB≥可分类讨论，按分子分母的符号，注意分母不为0．4.设α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是______.【答案】(),1-∞根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可.【详解】α：x m >，β：13x ≤<，若α是β的必要条件，则1m <，故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查必要条件的判断，由必要条件求参数范围，解题关键是掌握充分条、必要条件、充要条件与集合的包含关系之间的联系．5.已知a ，b ，c 是实数，写出命题“若0a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有两个负数”的等价命题：______.【答案】若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠命题的逆否命题为若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠，即可得出结论.【详解】命题的逆否命题为若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠，故答案为：若a ，b ，c 中至多有1个非负数，则0a b c ++≠.【点睛】本题考查四种命题，解题关键是掌握四种命题之间的关系．6.若0a >，0b >，321a b +=，则ab 的最大值是______.【答案】124利用基本不等式的性质即可得出.【详解】0a >，0b >，321a b +=，∴132a b =+≥，当且仅当16a =，14b =时取等号，∴124ab ≤，∴ab 的最大值是124，故答案为：124.【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．7.设全集U =R ，1|11A x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}2|540B x x x =-+>，则()U A C B = ______.【答案】{}|24x x <≤解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出()U A C B ⋂.【详解】全集U =R ，{}1|1|111A x x x x ⎧⎫⎪⎪=<=->⎨⎬-⎪⎪⎩⎭{}|02x x x =<>或；{}{}2|540|14B x x x x x x =-+>=<>或，∴{}|14U C B x x =≤≤，∴(){}|24U A C B x x =<≤ .故答案为：{}|24x x <≤.【点睛】本题考查集合的运算，解题是先解不等式确定集合,A B ，然后再根据集合运算的定义计算．8.已知正数x ，y 满足111x y+=，则49x y +的最小值为______.【答案】25将111x y+=代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案.【详解】()11944949y x x y x y x y ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭1325≥+=，当且仅当52x =，53y =时取等号，故49x y +的最小值为25.故答案为：25.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出基本不等式的条件：定值．这里用到“1”的代换．9.若不等式11axx >-的解集为()1,2，则实数a 的值是______.【答案】12【分析】由题意可得原不等式为()1101x x a ⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，即可求出a 的值.【详解】11ax x >-等价于101ax x ->-，等价于()1101a x x -+>-，等价于()()1110x a x --+>⎡⎤⎣⎦，∵不等式11axx >-的解集为()1,2，∴原不等式为()1101x x a ⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，∴121a=-，解得12a =.故答案为：12.【点睛】本题考查解分式不等式．解分式不等式一般把不等式化为0AB>，然后转化为整式不等式0AB >。

上海2020-2021学年建平中学高三上学期期中模拟卷(数学学科)参考答案

第1页，共2页上海2020-2021学年建平中学高三上学期期中模拟卷数学学科参考答案一.填空题（本大题共有题，本大题满分分，只要求直接填写结果，第题每题填对得分，第题每题填对得分，否则一律得零分.）1.(0,1)2.323.54.8-5.31,2⎛⎤⎥⎝⎦6.57.68.1289.1(,10)10 10.9π 11.[4,)π+∞ 12.][)(,66,-∞-⋃+∞二、选择题（本大题共4小题，本大题满分20分）每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分 13.D 14.C 15.C 16.C三.解答题（共有五题，满分76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡的制定区域内）17、1AD 上找一点E ，令2DE ，连接BE 、AC ，则DE BC由题意得，PA平面ABCD ，AB ,AD平面ABCD ，PA AB ,PA AD ,在Rt PAB ,Rt PAE ,Rt EAB 中，2PB BEPE ,则PBE 为等边三角形，即3PBE,CD BE ,PB 与CD 夹角为3.2同1理得，Rt PAC 中，6PC,2PB ,2BC222PB BC PC 即2PBC，12222S PBC令h 为D 到平面PBC 距离PBCDDPBCV V111122323h 22h，即为所求. 18、()1由题意得()2cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈-⎣ABC h ∆∴=，4BC =22424T πππω===⨯()2()00435f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则0-4322x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则03cos 435x ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭()()000+1+1+43434f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4355⎭19、（1）由题意可知曲线C 是以A,B 为焦点且长轴长为8的椭圆，又24c = ,则2c = ，b = 所以曲线C 的方程为2211612x y += （2）由于A,B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3,因此设A,B 两岛的距离比为5：3.即鱼群距离A 岛，B 岛的距离为5海里和3海里。

上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合,则= ( )ABC D2．若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．14 3．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（）A ．3B ．2C ．1D ．04．已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}5．已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7．设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-9．函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（）A．12+B．12 C. 34 D ．0 11．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________．【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =，则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海高三高中数学期中考试带答案解析

上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（）A．如果，，那么B．如果，那么C．如果，，那么D．如果，，那么2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的函数是（）A．B．C．D．3.对于函数，有下列五个命题：①若存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线上；②若在上有定义，则一定是偶函数；③若是偶函数，且有解，则解的个数一定是偶数；④若是函数的周期，则，也是函数的周期；⑤是函数为奇函数的充分不必要条件。

从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（）A．B．C．D．4.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）。

设顶点（x，y）的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积的正确结论是（）A．，B．，C．，D．，二、填空题1.方程的解是2.函数的最小正周期=3.不等式的解是_______4.若，则行列式5.若定义在上的函数是偶函数，则实数6.已知函数的周期为2，当时，，则当时，____________7.在中，已知，，，则=8.若为等比数列的前n项的和，，则=9.参数方程化为普通方程是10.函数（）在区间上有反函数的一个充分不必要条件是=11.函数的递增区间是12.函数的值域是______13.设且。

若函数的图象与直线恒有公共点，则应满足的条件是14.设函数，其中（，）为已知实常数，.下列所有正确命题的序号是．①若，则对任意实数恒成立；②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；④当时，若，则三、解答题1.已知△的周长为，且．（1）求边长的值；（2）若（结果用反三角函数值表示）．2.设函数。

（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，试判断函数的单调性，并证明。

3.已知函数，且．（1）求实数c的值；（2）解不等式4.已知是公差为的等差数列，它的前项和为, 等比数列的前项和为，,，（1）求公差的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若,判别方程是否有解？说明理由．5.若定义在上的函数满足条件：存在实数且，使得：⑴任取，有（是常数）；⑵对于内任意，当，总有。

上海高三高中数学期中考试带答案解析

上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合，，则_________________2.函数的反函数为 ______________3.若，，则tan=_______________4.函数的定义域为___________________5.方程的解是______________________6.在等差数列中，那么的值是_______________7.设关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是______________8.给出如下两个命题：命题A：函数为增函数；命题B：方程（）有虚根．若A与B中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是___________________9.已知，则不等式的解集是_________________10.若f（x）是R上的减函数，并且f（x）的图象经过点A（0,3）和B（3,1），则不等式|f（x1）1|<2的解集为__________11.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为______________12.．给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1成立；②存在实数α，使sinα+cosα=成立；③函数是偶函数；④方程是函数的图象的一条对称轴方程；⑤若α．β是第一象限角，且α>β，则tgα>tgβ。

其中正确命题的序号是__________________13.定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式。

如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则=_______________14.记不超过x的最大整数为，令，则函数：①定义域为R；②值域为；③在定义域上是单调增函数；④是周期为1的周期函数；⑤是奇函数。

其中正确判断的序号是_________________（把所有正确的序号都填上）二、选择题1.等差数列的前n项和为是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（）A．S13B．S15C．S7D．S82.若，有下面四个不等式：（1）;（2）a<b （3）a+b<ab; （4）,不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．33.（2011山东泰安，2 ，3分）下列运算正确的是（）A．3a3+4a3=7a6B．3a2－4a2=－a2C．3a2·4a3=12a3D．(3a3)2÷4a3=a24.对于给定的自然数，如果数列满足：的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称是“的覆盖数列”。

上海高三高中数学期中考试带答案解析

上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若集合，，则_______．2.已知复数满足（为虚数单位），则_______．3.函数的最小正周期是_______．4.已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则_______．5.若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．6.已知满足，则的最大值是_______．7.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_______．8.已知函数的反函数是，则_______．9.设多项式（）的展开式中项的系数为，则_______．10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是，则_______．11.设向量), ，为曲线（）上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．12.设为的一个排列，则满足对任意正整数，且，都有成立的不同排列的个数为_______．13.设，则“”是“且”的………………………（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件二、选择题1.如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是…………………………………………………………………（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④2.如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为…………………（）A．B．C．D．3.若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是…（）A．B．C．D．三、解答题1.如图，在正方体中，分别是线段的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的大小．2.已知抛物线（），其准线方程为，直线过点（）且与抛物线交于两点，为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线倾斜角的大小无关；（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式．3.对于定义域为的函数，如果存在区间（），同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称函数是区间上的“保值函数”．（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）已知（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围．4.数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为．（这里均为实数）（1）若是等差数列，求的值；（2）若，求；（3）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．5.设，若存在常数，使得对任意，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界．（1）设、，试判断、是否为有界集合，并说明理由；（2）已知，记（）．若，，且为有界集合，求的值及的取值范围；（3）设均为正数，将中的最小数记为．是否存在正数，使得为有界集合，均为正数的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由．上海高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.若集合，，则_______．【答案】【解析】由题意可得，答案：2.已知复数满足（为虚数单位），则_______．【答案】1【解析】由题意得，所以，答案：13.函数的最小正周期是_______．【答案】【解析】由行列式知识可知，所以f(x)的周期为，答案：4.已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则_______．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线为y=3x,可知，又由方和可知b=9,所以解得，,答案：35.若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．【答案】【解析】由题意可得，圆柱的高为h=4，不妨设底面圆半径为r,所以，.答案：6.已知满足，则的最大值是_______．【答案】【解析】画出可行域，如下图，所以最优解（1，1），最大值为3，答案：37.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_______．【答案】【解析】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：，再消去y，得，，所以两个交点。

2020-2021上海建平实验中学高三数学上期中模拟试卷(带答案)

2020-2021上海建平实验中学高三数学上期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为（） A ．10 km B ．3 kmC ．105 kmD ．107 km 2．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（）A ．B ．9C ．18D ．363．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．()3,-+∞ B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣5．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<6．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km7．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（） A ．34B ．56C ．78D ．238．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d9．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．610．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 15．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V，则ab =__16．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．19．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.20．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ．23．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．24．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可．【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝107km ．故选D ．【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．2．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C3．A解析：A 【解析】【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．4．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．B解析：B 【解析】试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B.考点：比较大小.6．D解析：D 【解析】【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)902603904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.7．A解析：A 【解析】【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ，由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===，所以2cos 2n A n+=．又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =，所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34．故选A ．【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确；故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】【分析】【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.10．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--，所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】【分析】运用不等式对四个选项逐一分析【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.14．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21nn + 【解析】【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.15．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛解析：4 【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，可得sin C ==，ABC QV 1sin 2ab C ==，∴解得4ab =，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法解析：40322017【解析】试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=L ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点：累加法；裂项求和法.17．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈；当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-；当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）；综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ，且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.19．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】解析：【解析】【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，由21cos 12sin23ABC ABC ∠∠=-=，由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==，所以2222163x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，22222262x x=2221238x c a =+-， ②①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥，故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤，所以3AB BC +的最大值为3 故答案为：3 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.20．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为解析：23π【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3. 三、解答题21．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ）210- 【解析】【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，∵0C π<<，∴34C π=（Ⅱ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴c =由sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos B =4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=()43sin 2sin 2cos cos 2sin 525210B C B C B C ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题. 22．(1)60A =︒；(2)2b c ==. 【解析】试题分析：（1）由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，则60A =︒．（2）由题意结合三角形面积公式可得12S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==．试题解析：（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=，即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．（2）若2a =，ABC V 的面积为3，则13324S bc sinA bc =⋅==， ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=，故2b c ==．23．(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)62m <<．【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解. 试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=． (1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc+--+-===()222222232a ma a m a --=-, ∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322m <<,又由b c ma +=可得0m >, 62m << 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 24．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++--【解析】试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得32311(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11{2a q ==则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1112(21)(21)nn n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和25．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+．设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==，所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 26．（1）π3A =（2）△ABC 为等边三角形【解析】分析：（1）由//m n u r r ，得3sin (sin )02A A A ⋅-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解角A 的大小；（2）由余弦定理，得224b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以()3sin sin 02A A A ⋅-=.所以1cos23022A A --=1cos212A A -=，即 πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故ππ262A -=，π3A =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-又1sin 24ABC S bc A bc ∆==，而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ∆==≤=.当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。

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