同济大学线性代数课件_第一章y
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1 1 1 2
1 1 1 r2 r4
0 1 3 0 r3 2r2 0 1 5 0 0 2 4 3 0 0 10 3 0 0 5 3 0 0 5 3
2
两式相减消去 x ，得
2015/3/25
3
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x ，得
1
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
t ( p1 p2 )
a1 p1 a2 p2 .
a13 t ( p1 p2 p3 ) a23 (1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33
2015/3/25 15
§1.3 n 阶行列式的定义
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
行列式值不变
34
2015/3/25
二：利用性质计算行列式： （化为三角形行列式） 例1：计算下列行列式
D
1 1 1 2 1 1 4 1 2 1 4 6 1 2 2 2
35
2015/3/25
1 1 1 2 1 1 4 1 解：D 2 4 6 1 1 2 2 2
2
1 1 1 2 r2 r1 0 0 5 3 r3 2r1 0 2 4 3 r4 r1 0 1 3 0
1 2 3
26
性质2：用非零数 k 乘行列式的某一行中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 1 2 3 2 4 6 2 r1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 推论：行列式中某一行的公因子可以提到 行列式符号外面。
2 1 0 4 0
2015/3/25
6 1 1 2 1 1 0
1 5 6 4
2015/3/25
22
对角行列式 1 2
12 n ;
n
1 2
1
n ( n 1 ) / 2
12 n .
n
2015/3/25 23
小 结
阶行列式共有 n! 项，每项都是位 于不同行、不同列 的 n个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定.
2
例1 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a11 a21
a11 a21 a31
a12 a22
a12 a22 a32
a11a22 a12 a21 .
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a33
2015/3/25 13
5
3 x1 2 x2 12 例2. 解方程组 2 x1 x2 1
解： D 3 2 3 ( 4) 7 0 2 1
12 2 D1 14 1 1
3 12 D2 21 2 1
D2 21 x2 3 D 7
6
D1 14 x1 2, D 7
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2 n
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
2015/3/25 16
说明
（1）行列式结果是一个数；
（2）当 n 1 时， a11 a11 ，与绝对值区分开. (3) 二阶、三阶行列式有对角线法则，四阶及四阶 以上的行列式没有对角线法则.
第一章 行列式
2015/3/25 1
§1.1 1. 二阶行列式
二阶与三阶行列式
称 a11a 22 a12 a 21为 二阶行列式，记作
(1,2) 元素
a11 a21 a11 a 21
a12 a22 a12 a 22
行标
对角线法则:
主对角线
列标 副对角线
2015/3/25
a11a 22 a12 a 21
行列式的性质
一：基本性质 性质1：互换行列式的两行 ，行列式变号。 1 2 3 0 1 1 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 3 推论：若行列式有两行相同，则行列式为 0 。
1 2 3 1 2 3 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 2 3
2015/3/25
由方程组的四个系数确定.
2015/3/25
（3）
4
a11 记 D a21
a12 a11a22 a12 a21 a22
b1 D1 b2
则有 注意
a12 a11 , D2 a22 a21
b1 . b2
D1 D2 x1 , x2 D D
分母都为原方程组的系数构成的行列式.
2015/3/25
2015/3/25 18
例6 计算三角形行列式的值 a1 1 a1 2 a1 n (1) 0 a22 a2 n 答 案 ： a1 1 a 2 2 a n n
0
0
a nn
1 0 0 0
7 2 0 0
2015/3/25
8 9 3 0
1 5 8 4
19
(2)
(2)
a11 a21 an1
2015/3/25
a1n 0 0
(1)
n( n1) / 2
a1na2 n1 an1
，
21
（4）
0
(4)
0
a1n
(1)n( n1) / 2 a1na2 n1 an1
0
a2n1 a2n
an1 ann1 ann
0 0 0 4
，
0 0 3 3
0 2 3 2
2015/3/25
17
例4：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。 例5： 计算四阶行列式
a 0 D 0 g 0 c e 0 0 d f 0 b 0 0 h
解： a11a 23 a 34 a 42 或 a11a 23 a 32 a 44 D = acfh + bdeg – adeh – bcfg
0 a22 an 2
0 0 ann
答案：a11a22 ann
D
1 9 3 1
0 4 7 8
2015/3/25
0 0 5 9
0 0 0 6
20
(3)
a11 a1n1 (3) a 21 a 2 n1 a n1 0
1 5 6 4 7 2 3 0 8 2 0 0 1 0 0 0
1 0 11 1 2 1 0 0 1
2015/3/25
1 1 0 1
1 1
0 1 0 1
2 1
29
1 1 0 1 1 0 1 1
（每次只能按照一行或者一列分拆）
性质5：☆☆☆☆☆ 行列式的某一行的所有元素乘以同一数 k 后再加 到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.
1 2
3
1 0 1 0 1 1
b11 b12 b1n b21 b22 b2n D bn1 bn2 bnn
T
则 bij a ji ( i , j 1,2,, n) 由行列式定义
D T ( 1) t b1 j1 b2 j2 bnjn
( 1) t a j1 1a j2 2 a jn n D
n
2015/3/25
24
思考题
• 1.利用行列式的定义求行列式
D 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
x 2x 1 2. 设函数 f ( x ) 2 1 x 3 1
1 2 x 2
0
4 3 求x 和 ， 2
x 的系数
3
x
25
答案：0；1，-2。
2015/3/25
§5
y x 0
3
0 y x
x y
2015/3/25
10
§1.2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个n级全排列, 简称排列。 如：3241—四级排列 35980—五级排列 标准次序：标号由小到大的排列。 定义2： 在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。
2015/3/25 11
一个排列的逆序数的计算方法：从前往后 或 从小到大 例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定理：对换改变排列的奇偶性.
2015/3/25 12
小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性 方程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
r2 r1
1
2
3
0 2 4 0 1 1
（注意哪一行的数在变，哪一行的数没变.）
2015/3/25 30
定义：
a11 a12 a21 a22 设 D an1 an2
a11 a21 a1n a12 a22 a2n T 则D a1n a2n ann
an1 an 2 ann
2015/3/25
2. 三阶行列式 类似地，讨论三元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
称 DT 为 D 的转置行列式。 D 经过“行列互换”变为 DT
2015/3/25 31
性质8：行列式与它的转置行列式相等。
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 0 1
3 1
1
1 0
0 1
1 0 1 2
3 1 1
注意：由性质8可得前面的所有性质对 “列”也成立.
2015/3/25 32
证明：设
D
a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann
2015/3/25 7
定义：三阶行列式
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
（对角线法则）
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
2015/3/25 8
对角线法则：
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32
a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31
2015/3/25 9
例3
x 0 y
答案
3
2015/3/25 33
行列式关于行和列的三种运算
（1）互换两行或两列： ri r j ci c j 对调运算 （2）数k 乘某行或某列行： ri k 倍乘运算 行列式变号
ci k
行列式扩大K倍
(3)数 k 乘第 i行(列)加到第 j 行(列)上： 倍加运算
rj kri c j kci
观察二、三阶行列式，得出下面结论： 1. 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3.每项的行标为标准次序时，正负号都取决于 列标的逆序的奇偶性．
2015/3/25
14
a11
a12
a21 a22
a11 a12 a21 a22 a31 a32
(1)
2 0 1
3 1 1
27
1
性质3：若行列式有两行的元素对应成比 例，则行列式等于0 。
2 1 1 4 0 2 6 1 2 1 r1 ( 2 ) 1 ( 2) 1 0 3 1 2 3 1 0 3
2015/3/25
28
性质4：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。 a11 a1n a11 a1n a11 a1n bi1 c i1 bin c in bi1 bin c i1 c in a n1 a nn a n1 a nn a n1 a nn
1 1 1 r2 r4
0 1 3 0 r3 2r2 0 1 5 0 0 2 4 3 0 0 10 3 0 0 5 3 0 0 5 3
2
两式相减消去 x ，得
2015/3/25
3
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x ，得
1
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
t ( p1 p2 )
a1 p1 a2 p2 .
a13 t ( p1 p2 p3 ) a23 (1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33
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§1.3 n 阶行列式的定义
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
行列式值不变
34
2015/3/25
二：利用性质计算行列式： （化为三角形行列式） 例1：计算下列行列式
D
1 1 1 2 1 1 4 1 2 1 4 6 1 2 2 2
35
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1 1 1 2 1 1 4 1 解：D 2 4 6 1 1 2 2 2
2
1 1 1 2 r2 r1 0 0 5 3 r3 2r1 0 2 4 3 r4 r1 0 1 3 0
1 2 3
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性质2：用非零数 k 乘行列式的某一行中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 1 2 3 2 4 6 2 r1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 推论：行列式中某一行的公因子可以提到 行列式符号外面。
2 1 0 4 0
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6 1 1 2 1 1 0
1 5 6 4
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对角行列式 1 2
12 n ;
n
1 2
1
n ( n 1 ) / 2
12 n .
n
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小 结
阶行列式共有 n! 项，每项都是位 于不同行、不同列 的 n个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定.
2
例1 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a11 a21
a11 a21 a31
a12 a22
a12 a22 a32
a11a22 a12 a21 .
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a33
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5
3 x1 2 x2 12 例2. 解方程组 2 x1 x2 1
解： D 3 2 3 ( 4) 7 0 2 1
12 2 D1 14 1 1
3 12 D2 21 2 1
D2 21 x2 3 D 7
6
D1 14 x1 2, D 7
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2 n
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
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说明
（1）行列式结果是一个数；
（2）当 n 1 时， a11 a11 ，与绝对值区分开. (3) 二阶、三阶行列式有对角线法则，四阶及四阶 以上的行列式没有对角线法则.
第一章 行列式
2015/3/25 1
§1.1 1. 二阶行列式
二阶与三阶行列式
称 a11a 22 a12 a 21为 二阶行列式，记作
(1,2) 元素
a11 a21 a11 a 21
a12 a22 a12 a 22
行标
对角线法则:
主对角线
列标 副对角线
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a11a 22 a12 a 21
行列式的性质
一：基本性质 性质1：互换行列式的两行 ，行列式变号。 1 2 3 0 1 1 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 3 推论：若行列式有两行相同，则行列式为 0 。
1 2 3 1 2 3 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 2 3
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由方程组的四个系数确定.
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（3）
4
a11 记 D a21
a12 a11a22 a12 a21 a22
b1 D1 b2
则有 注意
a12 a11 , D2 a22 a21
b1 . b2
D1 D2 x1 , x2 D D
分母都为原方程组的系数构成的行列式.
2015/3/25
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例6 计算三角形行列式的值 a1 1 a1 2 a1 n (1) 0 a22 a2 n 答 案 ： a1 1 a 2 2 a n n
0
0
a nn
1 0 0 0
7 2 0 0
2015/3/25
8 9 3 0
1 5 8 4
19
(2)
(2)
a11 a21 an1
2015/3/25
a1n 0 0
(1)
n( n1) / 2
a1na2 n1 an1
，
21
（4）
0
(4)
0
a1n
(1)n( n1) / 2 a1na2 n1 an1
0
a2n1 a2n
an1 ann1 ann
0 0 0 4
，
0 0 3 3
0 2 3 2
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例4：写出四阶行列式中含有因子 a11a 23 的项。 例5： 计算四阶行列式
a 0 D 0 g 0 c e 0 0 d f 0 b 0 0 h
解： a11a 23 a 34 a 42 或 a11a 23 a 32 a 44 D = acfh + bdeg – adeh – bcfg
0 a22 an 2
0 0 ann
答案：a11a22 ann
D
1 9 3 1
0 4 7 8
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0 0 5 9
0 0 0 6
20
(3)
a11 a1n1 (3) a 21 a 2 n1 a n1 0
1 5 6 4 7 2 3 0 8 2 0 0 1 0 0 0
1 0 11 1 2 1 0 0 1
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1 1 0 1
1 1
0 1 0 1
2 1
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1 1 0 1 1 0 1 1
（每次只能按照一行或者一列分拆）
性质5：☆☆☆☆☆ 行列式的某一行的所有元素乘以同一数 k 后再加 到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.
1 2
3
1 0 1 0 1 1
b11 b12 b1n b21 b22 b2n D bn1 bn2 bnn
T
则 bij a ji ( i , j 1,2,, n) 由行列式定义
D T ( 1) t b1 j1 b2 j2 bnjn
( 1) t a j1 1a j2 2 a jn n D
n
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思考题
• 1.利用行列式的定义求行列式
D 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
x 2x 1 2. 设函数 f ( x ) 2 1 x 3 1
1 2 x 2
0
4 3 求x 和 ， 2
x 的系数
3
x
25
答案：0；1，-2。
2015/3/25
§5
y x 0
3
0 y x
x y
2015/3/25
10
§1.2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个n级全排列, 简称排列。 如：3241—四级排列 35980—五级排列 标准次序：标号由小到大的排列。 定义2： 在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。
2015/3/25 11
一个排列的逆序数的计算方法：从前往后 或 从小到大 例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定理：对换改变排列的奇偶性.
2015/3/25 12
小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性 方程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
r2 r1
1
2
3
0 2 4 0 1 1
（注意哪一行的数在变，哪一行的数没变.）
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定义：
a11 a12 a21 a22 设 D an1 an2
a11 a21 a1n a12 a22 a2n T 则D a1n a2n ann
an1 an 2 ann
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2. 三阶行列式 类似地，讨论三元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
称 DT 为 D 的转置行列式。 D 经过“行列互换”变为 DT
2015/3/25 31
性质8：行列式与它的转置行列式相等。
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 0 1
3 1
1
1 0
0 1
1 0 1 2
3 1 1
注意：由性质8可得前面的所有性质对 “列”也成立.
2015/3/25 32
证明：设
D
a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann
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定义：三阶行列式
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
（对角线法则）
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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对角线法则：
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32
a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31
2015/3/25 9
例3
x 0 y
答案
3
2015/3/25 33
行列式关于行和列的三种运算
（1）互换两行或两列： ri r j ci c j 对调运算 （2）数k 乘某行或某列行： ri k 倍乘运算 行列式变号
ci k
行列式扩大K倍
(3)数 k 乘第 i行(列)加到第 j 行(列)上： 倍加运算
rj kri c j kci
观察二、三阶行列式，得出下面结论： 1. 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3.每项的行标为标准次序时，正负号都取决于 列标的逆序的奇偶性．
2015/3/25
14
a11
a12
a21 a22
a11 a12 a21 a22 a31 a32
(1)
2 0 1
3 1 1
27
1
性质3：若行列式有两行的元素对应成比 例，则行列式等于0 。
2 1 1 4 0 2 6 1 2 1 r1 ( 2 ) 1 ( 2) 1 0 3 1 2 3 1 0 3
2015/3/25
28
性质4：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。 a11 a1n a11 a1n a11 a1n bi1 c i1 bin c in bi1 bin c i1 c in a n1 a nn a n1 a nn a n1 a nn