【名校学案】2018学年高中数学选修4-5(人教A版)课件：第一讲 不等式和绝对值不等式1.2.1
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2018学年高中数学选修4-5课件：第1讲 不等式和绝对值
2 2
1 x × 2＝2， x
2
1 当且仅当 x ＝ 2即 x
2
x＝± 1 时等号成立，B 正确． 1 C．∵x<0，∴－x>0，－ >0， x
1 － (－x)＋ x ≥2 1 － －x· x＝2，所以
x<0 时，
1 x＋ ≤－2， x 1 当且仅当－x＝－ 即 x＝－1 时等号成立，C 正确． x 1 1 D．∵x>0，∴ >0，∴x＋ ≥2 x x 1 x·＝2， x
1 当且仅当 x＝ 即 x＝1 时等号成立，D 正确． x 答案： A
a b c 2．已知 a，b，c 为正数，则 ＋ ＋ 有( b c a A．最小值 3 C．最小值 2 B．最大值 3 D．最大值 2
)
解析： 因为 a，b，c 为正数 3 abc a b c 所以 ＋ ＋ ≥3 ··＝3 b c a bca 最小值 3.
预习学案
1．重要不等式 定理 1
a＝b 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当_____
时，等号成立． 2．基本不等式 定理 2
a＋b ≥ ab 2 如果 a>0，b>0，那么______________ ，当且仅当
a＝b 时，等号成立．
a＋b (1)算术—几何平均：如果 a，b 都是正数，我们就称 为 2 a，b 的算术平均， ab为 a，b 的几何平均．
为用平均不等式证明．
[ 解题过程]
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc>0，
2
3
从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2>0. 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 >0， a b c a2b2c2 3 1 1 1 2 ＋ ＋ ∴ ( a ＋ b ＋ c ) ≥3 2 2 2 a b c 1 3 2 2 2 · 9 a b c ＝27， a2b2c2
1 x × 2＝2， x
2
1 当且仅当 x ＝ 2即 x
2
x＝± 1 时等号成立，B 正确． 1 C．∵x<0，∴－x>0，－ >0， x
1 － (－x)＋ x ≥2 1 － －x· x＝2，所以
x<0 时，
1 x＋ ≤－2， x 1 当且仅当－x＝－ 即 x＝－1 时等号成立，C 正确． x 1 1 D．∵x>0，∴ >0，∴x＋ ≥2 x x 1 x·＝2， x
1 当且仅当 x＝ 即 x＝1 时等号成立，D 正确． x 答案： A
a b c 2．已知 a，b，c 为正数，则 ＋ ＋ 有( b c a A．最小值 3 C．最小值 2 B．最大值 3 D．最大值 2
)
解析： 因为 a，b，c 为正数 3 abc a b c 所以 ＋ ＋ ≥3 ··＝3 b c a bca 最小值 3.
预习学案
1．重要不等式 定理 1
a＝b 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当_____
时，等号成立． 2．基本不等式 定理 2
a＋b ≥ ab 2 如果 a>0，b>0，那么______________ ，当且仅当
a＝b 时，等号成立．
a＋b (1)算术—几何平均：如果 a，b 都是正数，我们就称 为 2 a，b 的算术平均， ab为 a，b 的几何平均．
为用平均不等式证明．
[ 解题过程]
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc>0，
2
3
从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2>0. 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 >0， a b c a2b2c2 3 1 1 1 2 ＋ ＋ ∴ ( a ＋ b ＋ c ) ≥3 2 2 2 a b c 1 3 2 2 2 · 9 a b c ＝27， a2b2c2
2018学年高中数学人教A版选修4-5课件：第一讲 不等式和绝对值不等式一 1
1 2 x ＝(x＋1) x ＋x＋1 －2(x＋1)，x＋2(x ＋x＋1)
2
1 2 1 2 2 x ＋ x ＋ 1 ＝ x＋1－2 (x ＋x＋1)＝(x＋1) － (x ＋x＋1). 2 2 1 1 2 ∴作差，得(x＋1)x ＋2x＋1－x＋2(x ＋x＋1)
要点一 不等式基本性质的简单应用
例1 若 a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( B.a ＞b
2 2
)
1 1 A.a＜b
解析
a b C. 2 ＞ 2 c ＋1 c ＋1
D.a|c|＞b|c|
本题只提供了“a，b，c∈R，a＞b”这个条件，而不等式
的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的 要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断 . 选项 A，还需有 ab＞0 这个前提条件；选项 B，当 a，b 都为负 数或一正一负时都有可能不成立，如 2＞－3，但 22＞(－3)2 不正 1 确；选项 C， 2 ＞0，因而正确；选项 D；当 c＝0 时不正确. c ＋1
1 1 a b 所以 ＞ ＞0.又 a＞b＞0，所以 ＞ ， －d －c －d －c a b 所以d＜c .故选 B.
答案 B
要点二 实数大小的比较
例2
2 x 1 2 x∈R，比较(x＋1)x ＋2＋1与x＋2· (x ＋x＋1)的大小.
解
2 x 2 x x ＋x＋1－ 因为(x＋1)x ＋2＋1＝(x＋1)· 2
2.利用不等式的性质，如何证明下列不等式？ (1)a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d； a b (2)a＞b＞0，d＞c＞0⇒c ＞d. a＞b ⇒a－c＞b－d 的推导过程是： 提示 (1) c＜d⇒－c＞－d， c＜d
2018高中数学选修4-5课件：第一讲1.1-1.1.1不等式的基本性质 精品
所以 x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以 x3－1＞2x2－2x.
归纳升华 1．比较大小有两种基本方法：作差法、作商法．其 中作差法往往需要比较差与零的大小关系，作商法需判断 商与 1 的大小关系． 2．作差比较法的步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号； (4)下结论．
由①＋④得－π≤α－β＜π. 又 α＜β， 知 α－β＜0， 所以－π≤α－β＜0， 所以－π2≤ɑ－2 β＜0.
归纳升华 1．求含有字母的数(或代数式)的取值范围，要注意 题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．例如，
ɑ－β 若忽略 ɑ＜β，则会导致 2 的取值范围变大．
2．利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注 意熟练掌握、准比较两式的大小时，常采用因式分解、 配方、通分、分母有理化等技巧，通过彻底的变形，从而 判断差式的值的正负，进而判断出两式的大小．
[变式训练] 比较 x2－x 与 x－2 的大小． 解：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 因为(x－1)2≥0， 所以(x－1)2＋1＞0，即(x2－x)－(x－2)＞0. 所以 x2－x＞x－2.
又因为1a＜1b，
所以1b－1a＝a－abb＞0.
所以 ab＞0，故①正确．
②中，因为 ac＜bc， 所以 c(a－b)＜0. 又因为 a＞b，所以 a－b＞0. 所以 c＜0，故②不正确． ③因为ac＜bc， 所以ac－bc＜0，即c（ba－b a）＜0.
因为 a＞b＞0， 所以 ab＞0，b－a＜0. 所以 c＞0.故③正确． ④因为 a＜b＜0，b＜0， 所以 ab＞b2，故④不正确． 答案：D
4．设 x∈R，则1＋x244与12的大小关系是________． 解析：当 x＝0 时，1＋x2x4＝0＜12. 当 x≠0 时，1＋x2x4＝x12＋1 x2， 所以x12＋x2≥2，
归纳升华 1．比较大小有两种基本方法：作差法、作商法．其 中作差法往往需要比较差与零的大小关系，作商法需判断 商与 1 的大小关系． 2．作差比较法的步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号； (4)下结论．
由①＋④得－π≤α－β＜π. 又 α＜β， 知 α－β＜0， 所以－π≤α－β＜0， 所以－π2≤ɑ－2 β＜0.
归纳升华 1．求含有字母的数(或代数式)的取值范围，要注意 题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．例如，
ɑ－β 若忽略 ɑ＜β，则会导致 2 的取值范围变大．
2．利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注 意熟练掌握、准比较两式的大小时，常采用因式分解、 配方、通分、分母有理化等技巧，通过彻底的变形，从而 判断差式的值的正负，进而判断出两式的大小．
[变式训练] 比较 x2－x 与 x－2 的大小． 解：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 因为(x－1)2≥0， 所以(x－1)2＋1＞0，即(x2－x)－(x－2)＞0. 所以 x2－x＞x－2.
又因为1a＜1b，
所以1b－1a＝a－abb＞0.
所以 ab＞0，故①正确．
②中，因为 ac＜bc， 所以 c(a－b)＜0. 又因为 a＞b，所以 a－b＞0. 所以 c＜0，故②不正确． ③因为ac＜bc， 所以ac－bc＜0，即c（ba－b a）＜0.
因为 a＞b＞0， 所以 ab＞0，b－a＜0. 所以 c＞0.故③正确． ④因为 a＜b＜0，b＜0， 所以 ab＞b2，故④不正确． 答案：D
4．设 x∈R，则1＋x244与12的大小关系是________． 解析：当 x＝0 时，1＋x2x4＝0＜12. 当 x≠0 时，1＋x2x4＝x12＋1 x2， 所以x12＋x2≥2，
2018-2019学年人教A版选修4-5 第一讲 不等式和绝对值不等式 优化总结 课件(29张)
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
绝对值不等式的解法 1．公式法 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或 f(x)<－g(x)； |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)． |ax＋b|<c 和|ax＋b|>c(c>0)型不等式用此方法求解． 2．平方法 |f(x)| >|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2. |ax＋b|>|cx＋d|和|ax＋b|<|cx＋d|型不等式用此方法求解．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
已知函数 f(x)＝|x－1|，g(x)＝－|x＋3|＋a，a∈ R. (1)解关于 x 的不等式 g(x)＞6； (2)若函数 y＝2f(x)的图象恒在函数 y＝g(x)的图象的上方，求实 数 a 的取值范围． 解：(1)－|x＋3|＋a＞6，即|x＋3|＜a－6， 当 a≤6 时无解； 当 a＞6 时，由－(a－6)＜x＋3＜a－6，得 3－a＜x＜a－9.故不 等式的解集为(3－a，a－9)．
所以 A∩B＝{x|2＜x≤3}．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
2．若 0<x<12，则函数 y＝x2(1－2x)有(
)
A．最小值217
B．最大值217
C．最小值13
D．最大值13
解析：选 B.因为 0<x<12，所以 x>0，1－2x>0，
所以 y＝x2(1－2x)＝x·x(1－2x)≤2x＋13－2x3＝217，
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)由 f(x)≤0，得|x－a|＋3x≤0， 此不等式化为不等式组xx≥－aa，＋3x≤0或xa≤ －ax， ＋3x≤0，
人教A版选修4-5 第一章 二 1.绝对值三角不等式 课件(28张)
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方 法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2， 当且仅当(x－1)(x＋1)≥0， 即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2， 当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大 值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
第一讲 不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1， 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1， 所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，
第一讲 不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方 法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2， 当且仅当(x－1)(x＋1)≥0， 即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2， 当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大 值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
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第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
第一讲 不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1， 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1， 所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，
人教A版高中数学选修4-5课件第一讲不等式和绝对值不等式(1)
推广：对于n个a1,a2 ,a3 , an，正数它们的算术 平均数不小于它们的几何平均数，
即
a1 + a2 + a3 + n
+ an ,≥ n a1
23
n
当且仅当a1 = a2 = a3 = = an时,等号成立
定理：设 x ,y , z都是正数，则有 1）若xyz = s（定值），
则当x = y = z时,x + y + z有最小值33 s. 2）若x + y + z = p（定值），
当且仅当 x 3 时取等号. 4
1 2x 3 2x = 3 2
22
4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.
4
4
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
选修４-５ 不等式选讲
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不
第二讲
等
证明不等式的基本方法
式
选 讲
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
AB
B
A
ab b>a
b
a
a>b
a>ba-b>0
基本不等式 a < b a - b < 0
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短.
例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造
型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积
2018学年高中数学选修4-5课件：第1讲 不等式和绝对值不等式1.3 精品
解析： 因为 a，b，c 为正数
所以ab＋bc＋ac≥3 3 ba·bc·ac＝3 最小值 3. 答案： A
3 ． 若 正 数 x ， y 满 足 xy2 ＝ 4 ， 求 x ＋ 2y 的 最 小 值 为 ________．
解析： ∵xy2＝4，x>0，y>0，∴x＝y42.
x＋2y＝y42＋2y＝y42＋y＋y≥3 3 y42·y·y＝33 4.
1．设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3. [思路点拨] 先观察式子的结构，再用平均不等式来证明 式子成立．
解析： 因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc(当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立)． 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
它
们
的
几
何
平
均
，
即
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an，当且仅当___a_1_＝__a_2＝__…__＝__a_n___时，等号成立．
1．下列不等式不成立的是( A．x＋1x≥2 C．x<0，x＋1x≤－2
) B．x2＋xx＝－1 时 x＋1x＝－2，A 错误． B．∵x2>0，∴x2＋x12≥2 x2×x12＝2， 当且仅当 x2＝x12即 x＝±1 时等号成立，B 正确． C．∵x<0，∴－x>0，－1x>0， (－x)＋－1x≥2 －x·－1x＝2，所以 x<0 时，
∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0<h<H)．
根据平均不等式可得 V 圆柱＝4HπR2 2·H－2 h·H－2 h·h≤4HπR2 2H3 3 ＝247πR2H，当且仅当H－2 h＝h 时，等号成立． 即 h＝13H 时，V 圆柱最大＝247πR2H.
2018学年高中数学选修4-5课件：第1讲 不等式和绝对值不等式2.1 精品
当a<0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数， ∴g(－1)≥g(x)≥g(1)． ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2， g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2， 由此得|g(x)|≤2；当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c. ∵－1≤x≤1， ∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2. 综上，得|g(x)|≤2.
2．已知|x|<3ε，|y|<6ε，|z|<9ε，求证：|x＋2y－3z|<ε. [思路点拨] 解答本题可以用推论|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋ |a3|， 证明： |x＋2y－3z|≤|x＋2y|＋|－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z|＝|x| ＋2|y|＋3|z|，∵|x|<3ε，|y|<6ε，|z|<9ε， ∴|x|＋2|y|＋3|z|<3ε＋26ε＋39ε＝ε，∴|x＋2y－3z|<ε.
[解题过程] (1)证明：由条件当－1≤x≤1时， |f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1. (2)证明：当a>0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数， ∴g(－1)≤g(x)≤g(1)． ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2， g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2， 由此得|g(x)|≤2；
实数的绝对值
aa>0， a|＝0a＝0，
－aa<0.
由定义易得|ab|＝|a||b|，ab＝||ab||(b≠0)，|a|2＝a2， a2＝|a|.
人教A版高中数学选修4-5课件：第一讲 1.1.3不等式(共57张PPT)
学习是一次独立的行动，需要探索、琢磨、积极应战、顽强应战，艰辛由你独自承担，胜利由你独立争取。 你可以用爱得到全世界，你也可以用恨失去全世界。 有梦就去追，没死就别停。 如果上帝没有帮助你那他一定相信你可以。 做最好的今天，回顾最好的昨天，迎接最美好的明天。 不能强迫别人来爱自己，只能努力让自己成为值得爱的人。 给自己一片没有退路的悬崖，就是给自己一个向生命高地冲锋的机会。 用最多的梦想面对未来。 觉得自己做的到和做不到，其实只在一念之间。 语言是心灵和文化教养的反映。 经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。 目标再远大，终离不开信念去支撑。 人生如棋，走一步看一步是庸者，走一步算三步是常者，走一步定十步是智者。 自己要先看得起自己，别人才会看得起你。 用最多的梦想面对未来。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 人越是高兴的事情，越爱隐藏；越是痛苦的事情，越爱小题大作。
最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路 上，就没有到不了的地方。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。
最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路 上，就没有到不了的地方。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。
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