齐次线性方程组解的讨论
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组是一类特殊的常系数线性微分方程组.它的特点是由相
同的形式的n个方程和相应的n个未知数组成.齐次线性方程组解可以由三
种解法来解决：主元消去法、特征根法和势能法。
主元消去法是一种简单而有效的方法，它使用矩阵形式的表示法，将
齐次线性方程组转换成矩阵形式，其中每一行都有一个主元。
首先，将系
数矩阵分解为三角形矩阵，然后使用向前代替法使解变成一维向量，最后
用逆序求解，从而得到解。
该方法消耗较多的计算阵列，如果有大量的变量，需要大量的存储空间。
另一种常用的算法是特征根法，它采用特征矩阵的思想，将系数矩阵
视为变换矩阵，并以变换矩阵特征来分析计算限制条件，从而得到齐次线
性方程组的解。
该方法精确，不用反复计算，但是如果系数矩阵变换后形
成不完备特征矩阵，则会使原表示变得复杂，在求解时会出现问题，除此
之外，这种方法也需要大量的计算量才能得到解，在有大量的变量的情况
下并不实用。
最后，势能法是一种综合的分析方法，它结合分析学和计算机科学这
两个学科，从分析的角度出发，把线性微分方程写成一个势能函数，然后
用特定的算法求解出势能函数的最小值，从而得到该齐次线性方程组的解。
这种方法有很好的精度，而且不受解空间大小限制，但是计算量很大，速度很慢。
总之，齐次线性方程组可以由主元消去法、特征根法和势能法这三种解法来求解，但是每种方法有各自的优缺点，在变量多的情况下，需要根据实际情况选取合理的解法来求解齐次线性方程组，以达到最优的效果。
齐次和非齐次线性方程组的解法(汇总整编定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12L ξξξ ,且满足： (1) ,,,n r -12L ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12L ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122L X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数). 齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
一,齐次线性方程组解的性质
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
1,2 , ,t称为齐次线性方程组Ax 0的基础
解系, 如果
(1)1 ,2 , ,t是Ax 0的一组线性无关的解; (2)Ax 0的任一解都可由1,2 , ,t线性表
出.
如果1 ,2 , ,t为齐次线性方程组 Ax 0
的一组基础解系,那么, Ax 0 的通解可表示为
br
2
br
,n
r
cr
r1 1 r2 0 n 0 r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1
b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间); 当R( A) r n时,方程组必有含n r个向量的
基础解系 1, 2 , , nr ,此时,方程组的解可表示为
x k1 1 k2 2 knr nr ,
其中k1, , knr 为任意实数,解空间可表示为
S x k1 1 knr nr k1, , knr R .
故得基础解系
1 2 1 2
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,
,
与向量
n
组1
,
2
,
, n , b等价;
矩阵A 1,2 , ,n 与矩阵B 1,2 , ,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次线性方程组是一类形如 Ax=0 的方程组，其中 A 是一个矩阵，x 是一个列向量。
基础解系是指使得方程组有非零解的最小的解系。
对于齐次线性方程组，基础解系的大小等于线性无关的自由变量的个数。
通解是指所有满足齐次线性方程组的解的线性组合的形式。
对于齐次线性方程组，通解可以表示为 x =x0 + k1x1 + k2x2 + ... + kmxm 其中 x0 是基础解系中的任意一个解，k1、k2、...、km 是任意的常数，x1、x2、...、xm 是线性无关的自由变量。
基础解系和通解的求法通常是使用高斯消元法或高斯-约旦消元法，它们是一种用于解决线性方程组的数值解法。
这些方法可以将原方程组转化为等价的三角形方程组，然后从下往上逐步求解。
基础解系和通解在很多领域都有广泛的应用，例如工程计算、线性代数、数学建模等。
它们可以帮助我们找到满足特定条件的解，并且可以方便我们解决各种实际问题。
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关
06 总结与展望
研究成果总结
齐次线性方程组解的判定方法
通过对方程组系数矩阵进行初等行变换，可以判断方程组是否有解，以及解的性质（唯一解、无穷多 解或无解）。
线性组合与线性相关的概念
线性组合是指向量组中向量经过数乘和加法运算后得到的向量；线性相关则是指向量组中至少有一个 向量可以由其他向量线性表示。
03 线性组合与线性相关
线性组合的定义与性质
01
02
03
04
05
定义：设$V$是数域$P$ 上的一个线性空间， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$是$V$ 中的有限个向量，$k_1, k_2, ldots, k_s$是数域 $P$中的数，那么向量 $beta = k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s$称为向量组 $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$的一个
无穷多解条件
当 $r(A) < n$ 时，齐次线性方程组有 无穷多解。
解的判定方法
高斯消元法
通过消元将增广矩阵化为阶梯形矩阵，进而判断解的情况。
克拉默法则
适用于方程个数与未知量个数相等的情况，通过计算系数矩阵的 行列式值来判断解的情况。
矩阵的秩
通过计算系数矩阵的秩来判断解的情况，若 $r(A) = n$ 则有唯 一解，若 $r(A) < n$ 则有无穷多解。
性质：线性组合具有如 下基本性质
1. 零向量是任何向量组 的线性组合（取系数全 为0）。
2. 向量组中任一向量都 可由向量组线性表示 （取系数为1，其余系数 为0）。
3. 若向量组$alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_s$线性相关，则 它的任意两个非零线性 组合必成比例。
齐次和非齐次线性方程组的解法整理定稿
线性方程组解的结构(解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 ｒ(A ）＝ ｒ <n ，若AX ＝ 0（Ａ为m n ⨯矩阵)的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足:（1) ,,,n r -12ξξξ线性无关；(2) A Ｘ = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为A Ｘ = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为A Ｘ ＝ 0的通解 。
其中k １，ｋ2,…, k ｎ-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系． 【定理】 若齐次线性方程组A Ｘ ＝ 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0(Ａ为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解; (２) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <．（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注:1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(２）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； (3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时,若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组;若()r A n >,则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)通解的三步骤(１）−−→A C 行(行最简形); 写出同解方程组CX =0． (2) 求出ＣX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1，k 2,…， k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n =)（注意:方程组的个数不等于未知量的个数(即m n ≠),不可以用行列式的方法来判断),从而可计算系数矩阵A 的行列式:23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注:此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解:将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩(其中3x ，4x ,5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =,得121,2x x ==-; 令30x =，41x =，50x =,得121,2x x ==-; 令30x =，40x =，51x =,得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ,2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX ＝ ｂ 的解(,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解,不妨设前ｒ列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解．1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时，原方程组有无穷多解．其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12L ξξξ ,且满足： (1) ,,,n r -12L ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12L ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122L X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数). 齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
未知量xr 1 , xr 2 , , xn (都不在首元所在的列） 称为自由未知量.BX=0为AX=0得同解方程组.
9
让自由未知变量 xr 1 1, xr 2 0, , xn 0
代入BX=0得到未知量为x1 , x2 , 拉默法则可解得 x1 k1,r 1 , x2 k2,r 1 ,
, xr
的方程个数为r的线性方程组，由克 , x r k r , r 1 .
10
k1, r 1 k 2, r 1 k r , r 1 从而 X 1 1 0 0 为BX=0 的一个解.
证 A可经过一系列初等行变换化为Jordan 阶梯形矩阵B,显然B的前r行为非零行，后 n-r行全为零.不失一般性，可假设aii 1 ( i 1, 2, , r ), 即：
8
1 0 ... B0 0 ... 0
0 ... 0
k1,r 1
k1,r 2
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( iii ) 设1 ,2 , ,n r(III)为AX=0的任意 线性无关的解，为AX=0的任意解，则
1 ,2 , ,n r，线性相关，于是可由(III)
线性表示，故(III)为AX=0的一个基础解系.
此外，与AX=0一个基础解系等价的任意线 性无关向量组也是AX=0的基础解系.
3
( iii ) AX 0的任意解皆可由X1 , X 2 ,
若X1 , X2 ,
, Xt 为AX=0的一个基础解系，由
S k1X1 k2 X2
基础解系的定义知
kt Xt : k1 , k2 ,
, kt P
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
定理：齐次线性方程组有非零解 r(A) n 齐次线性方程组只有零解 r(A) n
推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数（m<n），则它必有非零解。 推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|≠0.
§2 向量与向量组的线性组合 一、向量及其线性运算
O 01 02 0s 例 向量组1, 2, ···, s中的任一向量j都可由该向量
组线性表示： j 01 0 j1 j 0 j1 0s
例 判断向量 (4,3,1,11)T能否表示为向量组：
1 (1,2,1,5)T ,2 (2,1,1,1)T的线性组合，若可以，
写出表示式。
其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数 k1,k2,···,kn, 使得：
k11 k22 knn O
1.定义：对于向量组:1,2,···,s，如果存在一组不全
为零的数k1,k2,···,ks, 使得：
k11+k22+···+kss=O 则称向量组1,2,···,s 线性相关；
如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向
a11
（3）A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
1
故A可记为：A
(1,2,,n )
2
m
3.向量的线性运算：向量的加法和数乘运算。
矩阵的加法和数乘运算。
4.线性方程组的向量表示：
a11 x1 a12x2 a1n xn b1
线性方程组
对齐次线性方程组，我们有以下结论： 推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数
线性代数 齐次线性方程组解的结构
1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 四 1. 解的性质 P118 定理4.3 章 (1) 若 1 , 2 为 A X 0 的解，则 1 2 也是 A X 0 的解。 线 (2) 若 为 A X 0 的解，则 k 也是 A X 0 的解。 性 方 证明 (1) 由 A1 0, A 2 0 有 程 组 A(1 2 ) A1 A 2 0 , 故 1 2 也是 A X 0 的解。 (2) 由 A 0 有 A(k ) kA 0 , 即 k 也是 A X 0 的解。 表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。 2
3
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 定义 设 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的一组解， 线 性 P118 满足： 方 定义 4.3 (1) 1 , 2 , , t 线性无关； 程 组 (2) A X 0 的任何一个解都可以由 1 , 2 , , t 线性表出。 称 1 , 2 , , t 为方程组 A X 0 的(一个)基础解系。
4
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基， 线 因此基础解系是不惟一的。 性 方 (2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的， 程 组 其个数即为解空间的维数。 (3) 如果 1 , 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的 一组基础解系，那么 A X 0 的通解可表示为
齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解
本文主要讨论齐次线性方程组的基本解的概念，并分析了三种常见的解法方法，诸如高斯消元法、克莱默法等，以便让读者更好地理解求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。
首先，什么是“齐次线性方程组”？齐次线性方程组是指由n 个线性方程组组成的方程组，即：a1x1 + a2x2+...+anxn=0齐次线性方程组的n个未知数x1，x2...，xn的一组解称为它的基本解，我们可以将它表示为x=(x1，x2，...，xn)。
接下来，我们来讨论求解齐次线性方程组的基本解的基本步骤。
主要有：
（1）高斯消元法：此方法是由德国数学家高斯在19世纪发明的，它是最简单、最常用的求解齐次线性方程组基本解的方法。
在此方法中，将所有未知数按先后次序，依次用高斯算法和高斯切线法解出。
（2）克莱默法：这是另一种求解齐次线性方程组基本解的方法，克莱默法采用矩阵分解的思想，将一个齐次线性方程组拆分成两个矩阵，分别为系数矩阵和常数项矩阵，通过矩阵分解求解基本解。
（3）其他方法：除了上述的两种解法外，另外还有一些求解齐次线性方程组基本解的方法，如凯莱默法、乔姆斯基降幂法，还有一些基于数值计算的方法，如Gauss-Seidel迭代法、SOR （Successive Over Relaxation）方法等。
最后，本文就以齐次线性方程组基本解为标题，介绍了三种求解齐次线性方程组基本解的方法，希望能对读者有所帮助。
齐次和非齐次线性方程组的解法整理
线性方程组解的构造〔解法〕一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )= r <n ,假设AX = 0〔A 为m n ⨯矩阵〕的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 那么称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的根底解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求根底解系. 【定理】假设齐次线性方程组AX = 0有解，那么(1)假设齐次线性方程组AX = 0〔A 为m n ⨯矩阵〕满足()r A n =，那么只有零解； (2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.〔注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.〕注：1、根底解系不唯一，但是它们所含解向量的个数一样，且根底解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组〔简称“导出组〞〕为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，假设m 是系数矩阵的行数〔也即方程的个数〕，n 是未知量的个数，那么有： （1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；〔2〕当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =；〔3〕当m n =且()r A n =时，假设系数矩阵的行列式0A ≠，那么齐次线性方程组只有零解； 〔4〕当m n >时，假设()r A n ≤，那么存在齐次线性方程组的同解方程组；假设()r A n >，那么齐次线性方程组无解。
齐次线性方程组有两个线性无关的解
齐次线性方程组有两个线性无关
的解
1. 齐次线性方程组的定义。
1. 齐次线性方程组的定义：齐次线性方程组是指由m个线性方程组成的方程组，每个方程的系数均为0，即右端的常数值不为0，而未知量的系数均为0。
2. 线性无关的解的概念
2. 线性无关的解的概念
线性无关的解是指一组解，它们可以用来满足齐次线性方程组，但是它们之间没有任何线性关系。
也就是说，它们之间没有任何可以用线性组合表示的关系。
线性无关的解可以用来求解齐次线性方程组，因为它们可以提供一组解，这些解可以满足方程组的所有方程。
3. 线性无关的解的性质
3. 线性无关的解的性质
当齐次线性方程组有两个线性无关的解时，这两个解的向量组成的空间为原空间的一个基，且这两个解是线性无关的，即它们的线性组合等于零向量。
4. 线性无关的解的求解方法
4. 线性无关的解的求解方法
线性无关的解可以通过求解齐次线性方程组的基本解来求解。
首先，将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行消元运算，把增广矩阵化为阶梯形矩阵。
最后，求出基本解，即可求出线性无关的解。
5. 线性无关的解的应用
5. 线性无关的解的应用
线性无关的解有着广泛的应用，在工程、物理、数学等领域都有着重要的作用。
在工程中，线性无关的解可以用来解决复杂的结构设计问题，比如结构的力学分析、桥梁的稳定性分析等；在物理学中，线性无关的解可以用来求解复杂的物理系统，比如电磁学、动力学等；在数学中，线性无关的解可以用来解决线性方程组，比如矩阵求逆、矩阵分解等。
线性代数 齐次线性方程组解的结构(2)
齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(2)齐次线性方程组解的结构例1设A 为m ×n 矩阵, B 为n ×k 矩阵. 若AB =0,证明R (A )+R (B )≤n .证12,,,k AB A B B B 典型例题设B =(B 1,B 2,…,B k )由AB = 0,则12=,,,k AB AB AB 0齐次线性方程组解的结构从而B 的列向量B 1,B 2,…,B k 均为齐次线性方程组AX =O 的解向量.即12,,,k AB AB AB 000齐次线性方程组解的结构若R (A )=r <n ,1212,,,,,,k n r R B B B R ，即R B n r n R A ，所以 .R A R B n 则方程组AX=0有基础解系a 1, a 2, …, a n -r ,于是B 1, B 2,…, B k 都可由a 1, a 2,…,a n -r 线性表出,由定理3.3.2齐次线性方程组解的结构若R(A) = n,则AX = 0只有零解,=…= B k= 0,此时B1即B=0,从而R(B)=0,结论依然成立.齐次线性方程组解的结构例2设A 是m ×n 阶实矩阵,证明: R (A T A )=R (A ).证AX =0或A T A X=0其中X=(x 1, x 2,…, x n )T作齐次线性方程组显然,AX =0的解必定是A T AX =0的解.齐次线性方程组解的结构反之,00T A A X 从而000T T X A AX 若X 0是A T AX =0的解,则即0)()(00 AX AX T齐次线性方程组解的结构由于a 1,a 2,…,a m 都是实数，设AX 0=(a 1,a 2,…,a m )T ,022221 ma a a 021 m a a a 即00 AX 因此X 0也是AX =0的解.所以由上式齐次线性方程组解的结构于是AX =0与A T AX =0同解,由上面的两个例子可以看出,把矩阵的求秩问题转化成线性方程组来讨论是十分方便的. )()(A A R A R T 由于同解线性方程组的基础解系中含有相同个数的解向量,所以。
第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解， 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解， 且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 ， 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 ， 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 ：