单调性与几个重要不等式

单调性与几个重要不等式

[摘要] 本文利用单调性或函数的凹凸性证明不等式,并由此给出了詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式等几个重要的不等式。

[关键词] 单调性詹生(Jensen)不等式杨氏不等式Holder不等式不等式

[Abstract] An effective method which is used constantly on proving inequalities in advanced mathematics has been introduced in the paper.And we also gave some important inequalities such as Jensen Inequality, Yang-Inequality, Holder Inequality, andInequality.

[Key words] Monotone Jensen Inequality Yang-Inequality Holder InequalityInequality

在高等数学中,利用函数的单调性证明不等式的具有普遍的意义。本文通过利用函数的单调性证明数学中几个重要的不等式: 詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式。以期对高等数学的教学有一定的启发和帮助。

引理1:设在区间有可导,且,,则。

引理2 设在区间有二阶导数,且,则对任意的,下面不等式成立

(1)

证无妨设, 对任意取定的,令

则

当时,有。又因为,所以由引理1知严格递增,于是有,因此严格递减,从而有,即

。

在引理2的条件下,假设

,利用数学归纳法可以证明如下詹生(Jensen)不等式,即

且等号仅在时成立。

证明:由引理2有

再由数学归纳法可以证明

(2)

注意(1)式通常作为严格凸函数的定义,在连续的情况下只取即可。

(2)式中取则有。取,则由詹生(Jensen)不等式,对任意的,有

,

即,且等号仅在

时成立。

进一步,用替换,最终可以得到

,

即“调和平均-几何平均-算术平均”不等式。

下面再通过引理1和引理2 证明杨氏不等式

,其中,且。

证1(利用引理1) 注意到等价于。

由有。

于是原不等式等价于。

令,则。

当时,,递增,,即。

当时,,递减,,即。

于是总有。取即得杨氏不等式。

证2 (利用引理2)

令,则。因此有

,

因此可得。

最后,由杨氏不等式证明Holder不等式和不等式。

对任意的,令

,

由杨氏不等式有

即, 即Holder不等式成立。

特别地,当时,

或

即不等式成立。

以上利用引理1和引理2证明了数学中几个重要的不等式。从中我们也可以体会到利用函数的单调性或凹凸性证明不等式是非常有效的。

参考文献

[1]《高等数学》(第四版)上册,同济大学高等数学教研室编,高等教育出版社。

[2]《高等数学》下册,张汉林,范周田主编. 北京,机械工业出版社,2008年

注:

本文得到北京工业大学2009教育教学研究立项的资助。