第13章光的衍射
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的影响
x f a
sin
x
越大，衍射越显著, 条纹间距越宽。 a 的影响
1 x a a 越小，衍射越显著， 条纹间距越宽。
1 si n a
14
当a , 且
a
1 时，
0
I
π 1 ， 2
sin
只存在中央明文，屏幕是一片亮。
当a 且
d 2.4 104 cm = 0.8 ×10-4 cm a k k 3
(3) 在选定了上述 d和a之后，求在衍射角 -/2< </2 范围内可能观察到的全部主极大的级次． 解:
d sin k
kmax d
sin 1
2.4 10 6 =4 9 600 10
I
-1级 N=4
6 5 4d 4d
0级 次极大
d
+1级
d
3 2 0 4d 4d 4d 4d
2 4d
3 4d
5 4d
6 4d
si n
暗条纹条件
d sin ( k n ) N
k=0, ±1, ±2, … n=1,2, …
26
k为主极大级数,N为光栅缝总数
a
0 时，
x 0，
k 0，
只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像 ∴几何光学是波动光学在a >> 时的极限情形。
15
例：在夫琅和费单缝衍射实验中正确的是： (A) 单缝所在处的波面所分得的波带数主要取 决于单缝； (B) 越大，则分得的波带数越多； (C) 波带数越多，则明条纹的亮度越小； (D) 明条纹的亮度是由所有波带发出的子波经 透镜汇聚干涉加强的结果。
2
光源 S L
障碍物
B D
观测屏 P
1. 菲涅耳衍射— 近场衍射
L 和 D中至少有一个是有限值。
S B P
B
S
P
2.夫琅禾费衍射— 远场衍射 L 和 D皆为无限大（可用透镜实现）
3
二、惠更斯－菲涅耳原理
1. 基本内容 波传到的每一点都是发射子波的新波源。 各子波在空间某点的相干叠加，就决定 了该点波的强度。 2. 数学表示 波前S上取一子波源dS，其子波在P点引起振动. P点振幅为：
原因： ↑→ △↑, 半波带数增加 未被抵消的半波带面积减少, 所以 →I↓ (p点光强变小) ↑→k () ↓，倾斜因子减小
I/I0 1
相对光 强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
3
a
2
a
a
0
a
2
a
3
a
sin
所以 →I↓
10
2.条纹宽度
x x2
A
x1
B
1
f
入射角 和衍射角的符号规定： 均以水平起，逆时针为正。 斜入射的光栅方程(亮纹)：
d (sin sin ) k
k=0,±1, ±2, · · · 主极大
斜入射可以获得更高级次的条纹。
25
(2) 光栅干涉极小和次极大 • 在两相邻主极大之间，分布着(N-1)条暗条纹， 有N-2个次极大
-8
-4
0
4
8
(/d)
29
单缝衍射只影响各主极大的强度分布，不改变主 极大，极小的位置。 结论： 各单缝的衍射光，都是相干光， 在空间重叠时，缝与缝之间的衍射光将相干叠加。 而单缝衍射对多光束干涉图样起调制作用
30
3.缺级现象 多光束主极大位置
I 0级 -1级
缺-2级
d sin k
单缝衍射暗纹位置
某波长的一个主极大叫作一条谱线 如果两个十分接近的波长与/，它们各有一套窄 而亮的主极大。
I
/ sin k sin k
’
sin
k k / k d d d
0级 1级 2级 3级
波长相差越大、级次 越高,则分得越开。
a a
35
如果是复色光入射，不同波长的同级 ( 主极大 ) 谱 线组成一级光栅光谱。
a —透光(反光) b —不透光
d 的数量级通常在10-5-10-6m
20
二、光栅衍射
d
a
f
0
光栅衍射是各缝之间的干涉 和每缝自身的夫琅禾费衍射的总效果。
21
1.多缝干涉 (1) 光栅公式
d
p
dsin
f
• 单色光垂直照射时 相邻两缝平行光线的光程差 明条纹位置满足：
wk.baidu.com
Δ=(a+b)sin
a
d
I
f
单缝衍射的图样只与衍射角有关，而与单缝 在主光轴的上、下方等无关。
28
单缝衍射光强曲线
I单
I0单 0 I/I0 N=4, d=2a sin
-2
-1
1
2
(/a)
多缝干涉光强曲线
N2
sin -8 -4 I 光栅衍射光强曲线 0 N2I0单 单缝衍射 轮廓线 4 8 (/d)
sin
6
二.半波带法
L
A
P
a B
C
O
△
f
1.平行衍射光 每个子波源所发出的沿同一方向的光束 衍射角():衍射光与原入射光方向的夹角 变化范围为 0→±π/2 2.最大光程差
BC a sin
7
(1) 中央明纹(中心)
=0 → △= 0
(2) 当△=a sin=时,
A
缝分为两个“半波带”
a sin ( 2k 1)
2 2 狭缝处波阵面可分成7个半波带。
18
7
§13.3 衍 射 光 栅 一.光栅
狭义：平行，等宽，等间距的狭缝 广义：任何具有空间周期性的衍射屏。
刻线衍射光栅
可见光透射光栅
19
1. 分类 反射光栅
(闪耀光栅)
透射光栅
(衍射光栅) b a
d
b a
2.光栅常数 d=a+b
若
d sin k
/
N
k/ =1,2,…
（但k/ 0，N，2N，…是主极大的位置） • 次极大亮度 << 主极大亮度。 若N很大，次极大完全观察不到。
多缝干涉光强曲线 1.0 I/I0 N=4
sin －4/d 4/d
27
2. 单缝衍射起调制作用
透镜 λ 衍射光相干叠加
第13章 光的衍射
§13.1 §13.2 §13.3 §13.4 §13.5 光的衍射 单缝夫琅和费衍射 衍射光栅 圆孔衍射 分辩率 X射线的衍射
1
§13-1 光的衍射
一. 光的衍射现象及分类
屏幕
缝较大时，光是直线传播的
缝很小时，衍射现象明显
光在传播过程中遇到障碍物时，能绕过 障碍物的边缘继续前进，这种偏离直线传播 的现象称为光的衍射现象. • 光不再是直线传播 • 光的强度分布也不均匀
(2)中央亮纹的线宽度；
x0 2 f sin1 f 0 2 10 3 m 2mm
(3)第一级与第二级暗纹的距离；
2 x21 f sin 2 f sin 1 f ( ) a a
1 ( 2 103 1 103 )m 1mm
E s ( ) k ( ) dE p dS r
S θ dS n r
P
Es()：子波源dS上(或点)的振幅, 在同一波面上可认为常数
4
k()：倾斜因子
当 = 0， kmax() 当 ， k ( ) ↓ 当 90o， k( ) = 0
波动方程:
P点位相为：
Es ( ) k ( ) 2 dE C cos( t r 0 ) ds r 2 r 0
a sin k 2k
答：全部对。
2
16
例: 一束波长为 =500nm的平行光垂直照射在 一个单缝上。 如果所用的单缝的宽度a=0.5mm， 缝后紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求： (1)中央明条纹的角宽度； 解： 0
2 0.5m 3 2 2 10 rad 3 a 0.5 10 m
中央明纹(准确)
k=1,2,…暗纹 (准确)
2
k=1,2,…明纹(近似)
半波带法利用较粗糙的分割方式， 从而使积分化为有限项的求和。 中央明纹中心和暗纹位置是准确的， 其余明纹中心的位置是近似的， 与准确值稍有偏离。
9
三.单缝衍射条纹特点
1.光强分布 各级亮纹强度分布是 不均匀的,当衍射角 增 加时, 光强的极大值迅速 衰减
23
主极大数目
d sin k
sin 1
d
而 || 90o 主极大的最大数目
k
与及d有关
越大，视场中主极大的总数越少。 d时，除0级外，无其他主极大。
24
• 单色光斜入射光栅时 总光程差为:
dsin
p
d (sin sin )
dsin
1级 单缝衍射光强
缺 2级
a sin k
/
-3级
0
3级 sin
k k / d a
k d / k a
当d=(a+b)与a有简单整数比时，将看到缺级现象 例: d=4a, 则，k =4, 8,… 缺级。(此处每缝衍射光强为0)
31
例: 波长 = 600nm的单色光垂直入射到一光栅上，测 得第二级主极大的衍射角为300，且第三级是缺级． (1) 光栅常数 d等于多少？ 解: 由光栅衍射公式
d sin k
得
k 2 600 109 d 2.4 104 cm sin 0.5
(2) 透光缝可能的最小宽度 a 等于多少？ 解:由光栅公式 单缝衍射暗纹位置 dsin = k
a sin k /
k d / k a
32
由于第三级缺级，对应于最小可能的a，k/ =1
P点振动的合成
为无限多光束的叠加问题
ES ( ) k ( ) 2 E C cos( t r 0 ) ds S r
积分只要对未被障碍物遮住的部分波前
5
§13.2 单缝夫琅禾费衍射 一.单缝衍射实验
L1 S
K
L2
单缝衍射图样的主要规律： (1)中央亮纹最亮,宽度是其他亮纹宽度的两倍; 其他亮纹的宽度相同,亮度逐级下降。 (2) 缝宽a越小，条纹越宽 (3)波长 越大，条纹越宽。
17
(4)如果在屏幕上离中央亮纹中心为x=3.5mm处的 P点为一亮纹，该P处亮纹的级数； 解： 亮纹 a sin ( 2k 1) 2
x sin tg f
ax 1 k 3 f 2
(5)从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可 分割成几个半波带？ 解：当k=3时，光程差
k=0,±1, ±2, · · · 主极大
22
d sin k
称为正入射光栅方程
-2级 N=4
-1级
I 0级
+1级
次极大
+2级
sin
主极大(亮纹)位置 sin 0, , 2 , 3 , 与光栅缝数N无 d d d 关（, d 一定） 主极大光强
相邻两缝平行光线的相位差为 ±2kπ. 故主极大处 E P Ei NE0 i 2成 与光栅缝数 N 2 I P N I0 正比(入射光一定)
12
a
x x2
A
1
x1
O
x
B
x0
I
f
• 其他明纹的宽度 线宽度 x xk 1 xk
( k 1) k f f f a a a
角度宽
sin k sin k 1
a
a
13
x f a
3.影响衍射图样的 a 和
a sin k
所以 k ＝0 ， 1， 2 ， 3， 4 而 k＝ 4 在 /2 处看不到．
33
d 又因为 k k = 3 k/ a ∴ k = 3 ，6 ，9，........缺级
所以 实际呈现 k ＝0 ， 1， 2 级明纹
34
三.光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
O
x0
I
f
•中央明纹的宽度
a sin k
a sin1
x0 =2x1 2 f tan1 2 f sin1
11
x x2
A
x1
B
1
0
O
x0
I
f
线宽度 角度宽
2 x0 f a
sin 1 1
0 2
a
△0= 21 衍射的反比律
36
光栅光谱的特点: • 有许多级光谱，但无0级光谱。
透镜只有1个级光谱，即0级光谱。 • 光栅光谱是均匀光谱或正比光谱 在不太大时,
A
相消 半波带 相消 半波带 半波带
相消
相消
半波带 半波带
B
/2
B
/2
两个半波带发的光在 p 处干涉相消形成暗纹
剩一个半波带发的光 在 P 点处叠加为亮纹
(3)当△=a sin= 3/2时,
缝分成三个“半波带”
8
3. 结 论
a sin 0
a sin k
a sin ( 2k 1)
x f a
sin
x
越大，衍射越显著, 条纹间距越宽。 a 的影响
1 x a a 越小，衍射越显著， 条纹间距越宽。
1 si n a
14
当a , 且
a
1 时，
0
I
π 1 ， 2
sin
只存在中央明文，屏幕是一片亮。
当a 且
d 2.4 104 cm = 0.8 ×10-4 cm a k k 3
(3) 在选定了上述 d和a之后，求在衍射角 -/2< </2 范围内可能观察到的全部主极大的级次． 解:
d sin k
kmax d
sin 1
2.4 10 6 =4 9 600 10
I
-1级 N=4
6 5 4d 4d
0级 次极大
d
+1级
d
3 2 0 4d 4d 4d 4d
2 4d
3 4d
5 4d
6 4d
si n
暗条纹条件
d sin ( k n ) N
k=0, ±1, ±2, … n=1,2, …
26
k为主极大级数,N为光栅缝总数
a
0 时，
x 0，
k 0，
只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像 ∴几何光学是波动光学在a >> 时的极限情形。
15
例：在夫琅和费单缝衍射实验中正确的是： (A) 单缝所在处的波面所分得的波带数主要取 决于单缝； (B) 越大，则分得的波带数越多； (C) 波带数越多，则明条纹的亮度越小； (D) 明条纹的亮度是由所有波带发出的子波经 透镜汇聚干涉加强的结果。
2
光源 S L
障碍物
B D
观测屏 P
1. 菲涅耳衍射— 近场衍射
L 和 D中至少有一个是有限值。
S B P
B
S
P
2.夫琅禾费衍射— 远场衍射 L 和 D皆为无限大（可用透镜实现）
3
二、惠更斯－菲涅耳原理
1. 基本内容 波传到的每一点都是发射子波的新波源。 各子波在空间某点的相干叠加，就决定 了该点波的强度。 2. 数学表示 波前S上取一子波源dS，其子波在P点引起振动. P点振幅为：
原因： ↑→ △↑, 半波带数增加 未被抵消的半波带面积减少, 所以 →I↓ (p点光强变小) ↑→k () ↓，倾斜因子减小
I/I0 1
相对光 强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
3
a
2
a
a
0
a
2
a
3
a
sin
所以 →I↓
10
2.条纹宽度
x x2
A
x1
B
1
f
入射角 和衍射角的符号规定： 均以水平起，逆时针为正。 斜入射的光栅方程(亮纹)：
d (sin sin ) k
k=0,±1, ±2, · · · 主极大
斜入射可以获得更高级次的条纹。
25
(2) 光栅干涉极小和次极大 • 在两相邻主极大之间，分布着(N-1)条暗条纹， 有N-2个次极大
-8
-4
0
4
8
(/d)
29
单缝衍射只影响各主极大的强度分布，不改变主 极大，极小的位置。 结论： 各单缝的衍射光，都是相干光， 在空间重叠时，缝与缝之间的衍射光将相干叠加。 而单缝衍射对多光束干涉图样起调制作用
30
3.缺级现象 多光束主极大位置
I 0级 -1级
缺-2级
d sin k
单缝衍射暗纹位置
某波长的一个主极大叫作一条谱线 如果两个十分接近的波长与/，它们各有一套窄 而亮的主极大。
I
/ sin k sin k
’
sin
k k / k d d d
0级 1级 2级 3级
波长相差越大、级次 越高,则分得越开。
a a
35
如果是复色光入射，不同波长的同级 ( 主极大 ) 谱 线组成一级光栅光谱。
a —透光(反光) b —不透光
d 的数量级通常在10-5-10-6m
20
二、光栅衍射
d
a
f
0
光栅衍射是各缝之间的干涉 和每缝自身的夫琅禾费衍射的总效果。
21
1.多缝干涉 (1) 光栅公式
d
p
dsin
f
• 单色光垂直照射时 相邻两缝平行光线的光程差 明条纹位置满足：
wk.baidu.com
Δ=(a+b)sin
a
d
I
f
单缝衍射的图样只与衍射角有关，而与单缝 在主光轴的上、下方等无关。
28
单缝衍射光强曲线
I单
I0单 0 I/I0 N=4, d=2a sin
-2
-1
1
2
(/a)
多缝干涉光强曲线
N2
sin -8 -4 I 光栅衍射光强曲线 0 N2I0单 单缝衍射 轮廓线 4 8 (/d)
sin
6
二.半波带法
L
A
P
a B
C
O
△
f
1.平行衍射光 每个子波源所发出的沿同一方向的光束 衍射角():衍射光与原入射光方向的夹角 变化范围为 0→±π/2 2.最大光程差
BC a sin
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(1) 中央明纹(中心)
=0 → △= 0
(2) 当△=a sin=时,
A
缝分为两个“半波带”
a sin ( 2k 1)
2 2 狭缝处波阵面可分成7个半波带。
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§13.3 衍 射 光 栅 一.光栅
狭义：平行，等宽，等间距的狭缝 广义：任何具有空间周期性的衍射屏。
刻线衍射光栅
可见光透射光栅
19
1. 分类 反射光栅
(闪耀光栅)
透射光栅
(衍射光栅) b a
d
b a
2.光栅常数 d=a+b
若
d sin k
/
N
k/ =1,2,…
（但k/ 0，N，2N，…是主极大的位置） • 次极大亮度 << 主极大亮度。 若N很大，次极大完全观察不到。
多缝干涉光强曲线 1.0 I/I0 N=4
sin －4/d 4/d
27
2. 单缝衍射起调制作用
透镜 λ 衍射光相干叠加
第13章 光的衍射
§13.1 §13.2 §13.3 §13.4 §13.5 光的衍射 单缝夫琅和费衍射 衍射光栅 圆孔衍射 分辩率 X射线的衍射
1
§13-1 光的衍射
一. 光的衍射现象及分类
屏幕
缝较大时，光是直线传播的
缝很小时，衍射现象明显
光在传播过程中遇到障碍物时，能绕过 障碍物的边缘继续前进，这种偏离直线传播 的现象称为光的衍射现象. • 光不再是直线传播 • 光的强度分布也不均匀
(2)中央亮纹的线宽度；
x0 2 f sin1 f 0 2 10 3 m 2mm
(3)第一级与第二级暗纹的距离；
2 x21 f sin 2 f sin 1 f ( ) a a
1 ( 2 103 1 103 )m 1mm
E s ( ) k ( ) dE p dS r
S θ dS n r
P
Es()：子波源dS上(或点)的振幅, 在同一波面上可认为常数
4
k()：倾斜因子
当 = 0， kmax() 当 ， k ( ) ↓ 当 90o， k( ) = 0
波动方程:
P点位相为：
Es ( ) k ( ) 2 dE C cos( t r 0 ) ds r 2 r 0
a sin k 2k
答：全部对。
2
16
例: 一束波长为 =500nm的平行光垂直照射在 一个单缝上。 如果所用的单缝的宽度a=0.5mm， 缝后紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求： (1)中央明条纹的角宽度； 解： 0
2 0.5m 3 2 2 10 rad 3 a 0.5 10 m
中央明纹(准确)
k=1,2,…暗纹 (准确)
2
k=1,2,…明纹(近似)
半波带法利用较粗糙的分割方式， 从而使积分化为有限项的求和。 中央明纹中心和暗纹位置是准确的， 其余明纹中心的位置是近似的， 与准确值稍有偏离。
9
三.单缝衍射条纹特点
1.光强分布 各级亮纹强度分布是 不均匀的,当衍射角 增 加时, 光强的极大值迅速 衰减
23
主极大数目
d sin k
sin 1
d
而 || 90o 主极大的最大数目
k
与及d有关
越大，视场中主极大的总数越少。 d时，除0级外，无其他主极大。
24
• 单色光斜入射光栅时 总光程差为:
dsin
p
d (sin sin )
dsin
1级 单缝衍射光强
缺 2级
a sin k
/
-3级
0
3级 sin
k k / d a
k d / k a
当d=(a+b)与a有简单整数比时，将看到缺级现象 例: d=4a, 则，k =4, 8,… 缺级。(此处每缝衍射光强为0)
31
例: 波长 = 600nm的单色光垂直入射到一光栅上，测 得第二级主极大的衍射角为300，且第三级是缺级． (1) 光栅常数 d等于多少？ 解: 由光栅衍射公式
d sin k
得
k 2 600 109 d 2.4 104 cm sin 0.5
(2) 透光缝可能的最小宽度 a 等于多少？ 解:由光栅公式 单缝衍射暗纹位置 dsin = k
a sin k /
k d / k a
32
由于第三级缺级，对应于最小可能的a，k/ =1
P点振动的合成
为无限多光束的叠加问题
ES ( ) k ( ) 2 E C cos( t r 0 ) ds S r
积分只要对未被障碍物遮住的部分波前
5
§13.2 单缝夫琅禾费衍射 一.单缝衍射实验
L1 S
K
L2
单缝衍射图样的主要规律： (1)中央亮纹最亮,宽度是其他亮纹宽度的两倍; 其他亮纹的宽度相同,亮度逐级下降。 (2) 缝宽a越小，条纹越宽 (3)波长 越大，条纹越宽。
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(4)如果在屏幕上离中央亮纹中心为x=3.5mm处的 P点为一亮纹，该P处亮纹的级数； 解： 亮纹 a sin ( 2k 1) 2
x sin tg f
ax 1 k 3 f 2
(5)从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可 分割成几个半波带？ 解：当k=3时，光程差
k=0,±1, ±2, · · · 主极大
22
d sin k
称为正入射光栅方程
-2级 N=4
-1级
I 0级
+1级
次极大
+2级
sin
主极大(亮纹)位置 sin 0, , 2 , 3 , 与光栅缝数N无 d d d 关（, d 一定） 主极大光强
相邻两缝平行光线的相位差为 ±2kπ. 故主极大处 E P Ei NE0 i 2成 与光栅缝数 N 2 I P N I0 正比(入射光一定)
12
a
x x2
A
1
x1
O
x
B
x0
I
f
• 其他明纹的宽度 线宽度 x xk 1 xk
( k 1) k f f f a a a
角度宽
sin k sin k 1
a
a
13
x f a
3.影响衍射图样的 a 和
a sin k
所以 k ＝0 ， 1， 2 ， 3， 4 而 k＝ 4 在 /2 处看不到．
33
d 又因为 k k = 3 k/ a ∴ k = 3 ，6 ，9，........缺级
所以 实际呈现 k ＝0 ， 1， 2 级明纹
34
三.光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
O
x0
I
f
•中央明纹的宽度
a sin k
a sin1
x0 =2x1 2 f tan1 2 f sin1
11
x x2
A
x1
B
1
0
O
x0
I
f
线宽度 角度宽
2 x0 f a
sin 1 1
0 2
a
△0= 21 衍射的反比律
36
光栅光谱的特点: • 有许多级光谱，但无0级光谱。
透镜只有1个级光谱，即0级光谱。 • 光栅光谱是均匀光谱或正比光谱 在不太大时,
A
相消 半波带 相消 半波带 半波带
相消
相消
半波带 半波带
B
/2
B
/2
两个半波带发的光在 p 处干涉相消形成暗纹
剩一个半波带发的光 在 P 点处叠加为亮纹
(3)当△=a sin= 3/2时,
缝分成三个“半波带”
8
3. 结 论
a sin 0
a sin k
a sin ( 2k 1)