(第十课时)抛物线及其标准方程

二、标准方程
y
设 KF p( p 0)
y y
N
Ko F
M ( x, y )
x
N K oF
M ( x, y ) N
x Ko F
M ( x, y )
x
L (1)
y 2 px p
2 2
L
(2)
L (3)
y 2 px( p 0)
2
(P>0)
y 2 px p
2
2
(P>0)
二、标准方程
例2.根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1).焦点坐标是F(0，-2) y (2).焦点在直线3x-4y-12=0上 A (3).抛物线过点A(-3，2)。
．
4 2
(1).解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,
故其标准方程为:x = - 8y (3).解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时， (2).焦点坐标是F（4，0）或 F（0，-3）； 9 2
《圆锥曲线论》
——阿波罗尼斯
若平面E与对顶圆锥K的上下两部 若平面E与L’平行，则E与对顶圆 若平面E与L不垂直，且与对顶圆锥 若平面E垂直L，则E与对顶圆锥K的截痕是一个圆. 分都相交，且交线是开曲线，则E与K 锥K的截痕是一个抛物线. K的交线是闭合曲线，则E与K的截痕是 的截痕是一个双曲线. 一个椭圆.
o
F(4,0)
x
例5：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
解：如上图，在接收天线的轴截面所在 平面内建立直角坐标系，使接收天线的 顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
p pp yx 2 22
抛物线的标准方程
图形
l
标准方程 焦点坐标准线方程
x
y o F yl
p 相同点 y2=2px 相同点相同点 p 相同点 ,0 x 不同点 （1）顶点为原点; 不同点 2 不同点 2 （1）顶点为原点; （1）顶点为原点; （1）顶点为原点; (p>0) 不同点 （2）对称轴为坐标轴; （1）一次项变 （1）一次项变
X0 +
— 2
y
p
抛物线的焦半径长
O F
． ．
M
x
L
焦 半 径 公 式
Y
M x0 , y0
O F
x0 , y0 L M
F
Y
·X
·o
X
P MF x0 2
Y
F M x0 , y0
P MF x0 2
Y
L
M x0 , y0
X
L
F
X
P MF y0 2
P MF y0 2
y
· ·
F
o
K
x
l
p2 p y y (x ) x 2 x y 2 2
化简得
y y2 = 2px（p＞0） x
y2=2px (p>0)
x 2 py( p 0)
2
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置 不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四 种形式.
抛物线的标准方程
l
y
F
标准方程
N
Ko F
L (3)
y 2 px（P>0)
2
设 M ( x , y ) , FK p , x p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x 2 2 依题意得 ( x p )2 y 2 | x p |
2 2
两边平方,整理得
2
y 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
y 12x
2
1 （2）准线方程 是x = ； 4
（3）焦点到准线的距离是2。
y x
2
y 4x
2
y 4 x
2
x 4y
2
x 4 y
2
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1). y 20x 2 (3).2 y 5 x 0
2
(2). y 2 x 2 (4).x 8 y 0
L (1)
y 2 2 px p2(P>0)
化简得：y 2 px
2
p ( p 0)
2
二、标准方程
y
设 KF p( p 0)
解法二：以定点 F 为原点， M ( x, y ) 过点 F 垂直于 L 的直线为 x 轴 N 建立直角坐标系（如右图所 L 示），则定点 F (0, 0)， 的方 x 程为 x p K oF
1 4
的相反数
例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
(2). y 6x
2
(3). 2x 5 y 0
2
3 (1).解：因为ｐ=３， 故焦点坐标为（－,０） 2 3 1 准线方程为x=- －. 是一次项系数的 4 2 1 1 2 (2).解:方程可化为: x y, 故焦点坐标为 (0, ) 24 6 1 准线方程为 y . 24 5 5 2 (3).解:方程可化为: x y, 故焦点坐标为 (0, ) 8 2 5 准线方程为 y . 8
y2= 2p x (p>0)
P66思考：
二次函数 抛物线？
2
y ax 2 (a 0) 的图像为什么是
2
1 y ax (a 0) x y a
当a>0时与当a<0时，结论都为：
1 2 p a
1 1 焦点（0， )准线y=4a 4a
例题讲解
(1). y 6x
2
是一次项系数的
y y y y
o
x
o
x
o
o
x
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
想一想?
这种坐标 系下的抛物 线方程形式 怎样?
y2=2px (p>0)
解：设取过焦点F且垂直于准线l的 直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 y轴 x轴 设︱KF︱= p p p p M 则F（ 0,，0），L：x = y 2 2 2 设点M的坐标为（x，y）， N 由定义可知 |MF|=|MN| 即：
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ？
﹒ ﹒ ﹒﹒
（1）建系 （2）设点 （3）列式 （4）化简 （5）证明
l
N
· · F
M
如何建立直角 坐标系？
求曲线方程的基本 步骤是怎样的？
二、标准方程
y y
设 KF p( p 0),
y
N
Ko F
M ( x, y )
x
N K oF
M ( x, y ) N
x Ko F
M ( x, y )
x
L (1)
L
(2)
例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线
L:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程. 解:由已知条件可知, y 点M与点F的距离等于 x+5=0 它到直线x+4=0的距离. 根据抛物线的定义,
点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.
M
P 4 P 8 2 又∵焦点在轴的正半轴,
∴点M的轨迹方程为y2=16x.
L
设动点 M ( x, y)，由抛物线定义得
(2)
x2 y2 x p
化简得：
y
2
2 px
p ( p 0)
2
y 2 px p
2wenku.baidu.com
2
(P>0)
二、标准方程
解法三：以过F且垂直于 l 的直
y
线为x轴,垂足为K.以F,K的中点
M ( x, y ) O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
M
F
M1
和一条定直线 的距离之比 为常数
l
F
当 0<e<1 时是椭圆
e:
当 e>1 时是双曲线 当 e=1 是？
l
画抛物线
形成概念
前提： 1、平面内
2、定点不在定直线上 一、抛物线定义： 问题1：你能给抛物线下个数学定义吗？ 平面内与一个定点 F和一条定直线 l d 为 M 到 l 的距
离
（l 不过 F 的距离相等的点的集合叫做抛物线. ） MF d 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. N 即:若 d
L (3)
二、标准方程
y
设 KF p( p 0)
N
Ko F
M ( x, y )
解法一：以 L为 y 轴，过点 F 垂 直于L 的直线为 x轴建立直角 坐标系（如右图所示）,则定点 x F ( p, o) 设动点 M ( x, y) ，由 抛物线定义得：
( x p) y x
2 2
定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L 叫做抛物线的准线。
M
设 KF p( p 0),
K
F 准线
P----焦点到准线的距离叫焦准距
L
焦 点
l
F
问题2：定义中的定直线 l 为什么要求不过定点 F ？ 若 F l , 则轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的一条直线.
二、标准方程
想 一 想 ？
步骤：
截痕的 平面图形 截痕的 截痕的 平面图形 平面图形 截痕的 平面图形
运城盐化中学 刘俊文
邮箱：yhzxg295@126.com
密码：yhzxg295b
赵州桥
喷泉
y
o
x
抛物线的生活实例
抛球运动
抛物线的生活实例 探照灯的灯面
复习、引题：
一个动点 M 到一个定点
M2
如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ y
焦点位置 开口方向 看一次项 看正负
o
F
x
注：标准方程下的抛物线
①抛物线都过原点。 ②对称轴为坐标轴。 ③准线都与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称。 ④抛物线的开口方向主要看方程中一次项的变量及 P的符号。 ⑤方程中只有一个字母P，有一个条件就可以求出 抛物线标准方程。
F
(p>0)

2
2
抛物线的标准方程
标准方程为 开口向右:
左右型
抛 物 线 方 程
上下型
y2 =+ 2px
(p>0)
y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:
y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:
标准方程为
x2 =+ 2py
(p>0)
x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:
x2 = -2py (y≤0)
2
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3）
（5，0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x 5
（4）
（0，-2）
1 y 8 5 x 8 y2
1 x y 2
2
5 y x 2
2
x 2 8 y
例3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是：
F
o y
x
l
oF y
x
l
o
x
（2）对称轴为坐标轴; （2）对称轴为坐标轴; （2）对称轴为坐标轴; （1）一次项变 （1）一次项变 （3）顶点到焦点的距离等于顶 2=-2px 量为x(y)，则对 p 量为x(y)，则对 y（3）顶点到焦点的距离等于顶 量为x(y)，则对 （3）顶点到焦点的距离等于顶 （3）顶点到焦点的距离等于顶 p ,0 量为x(y)，则对 x 点到准线的距离，其值为p/2. 称轴为x(y)轴; 2 称轴为x(y)轴; 称轴为x(y)轴; 点到准线的距离，其值为p/2. 点到准线的距离，其值为p/2. 点到准线的距离，其值为p/2.2 (p>0) 称轴为x(y)轴; (2)一次项系数 (2)一次项系数 (2)一次项系数 (2)一次项系数 为正（负），则 为正（负），则 x2=2py 为正（负）， p p 为正（负）， y 开口向坐标轴的 0, 开口向坐标轴的 则开口向坐标 2 (p>0) 2 则开口向坐标 正（负）方向. 正（负）方向. 轴的正（负） 轴的正（负） 2=-2py 方向. x p 方向.p y 0,
2
O
x
标准方程为y 16 x 或 x 12 y 当焦点在x轴的负半轴上时，
2
把A( 3,2)代人 x 2 py , 得p
把A( 3,2)代人 y 2 2 px , 得p
9 2= ∴抛物线的标准方程为x 2
4 2 = y或y 3
2 3
x
。
课堂练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3，0）；
F
焦点坐标 准线方程
pp 0, ,0 2 2
pp y x 22
l
o
x x
x2=2py(p>0) y =2px(p>0)
y
x2=-2py 标准 y2=-2px x2=2py 方程 (p>0) (p>0)
x
o
焦点 坐标 准线 方程
p 0,p p 0, ,0 22 2
A
设抛物线的标准方程是 y 2 px( p 0)，
由已知条件可得， 点A的坐标是 (0.5, 2.4) ， 代入方程，得
2
o
.F
B
x
即
p 5.76
2.4
2
2 p 0.5
2
所以，所求抛物线的标准方程是 y 11.52x ， 焦点的坐标是 (2.88, 0)
【例 6】 如图，已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F， 点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3，2)， 求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时 P 点坐标．