2018年高考数学专题01函数问题的灵魂_定义域黄金解题模板

专题01 函数问题的灵魂-定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小. 【方法点评】方法一 直接法使用情景：函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板：第一步 找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：（1） 分式中分母不为0； （2） 偶次方根中被开方数非负； （3） 0x 的底数不为零；（4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5） 正切函数tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.第二步 列出不等式（组）；第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域.例1 函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 （ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【答案】C【变式演练1】求函数y =. 【答案】{|12}x x x >-≤-或【解析】要使原式有意义需要满足：201x x +≥+，解得12x x >-≤-或 所以函数的定义域为{|12}x x x >-≤-或例2.函数1ln(1)y x=++的定义域为_____________. 【答案】(]0,1【解析】2110011011x x xx x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1 【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解、一元二次不等式的求解、集合的运算等知识点的综合应用，解答中根据函数的解析式，列出相应的不等式组，求解每个不等式的解集，取交集得到函数的定义域，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题. 【变式演练2】求函数log (1)(01)x a y a a a =->≠且的定义域.【答案】当1a >时，函数的定义域为{|0}x x >；当01a <<时，函数的定义域为{|0}x x <.例3 若函数()f x =R ，则实数a 取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．()2,+∞C ．(),2-∞D ．()2,2- 【答案】A 【解析】试题分析：由于函数()f x =的定义域为R ，所以210x ax ++≥在R 上恒成立，即方程21=0x ax ++至多有一个解，所以240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，则实数a 取值范围是[]2,2-.故选A.考点：二次函数的图像与性质.【点评】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题. 【变式演练3】 已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．012≤<-a B ． 012<<-a C ．31>a D ．31≤a 【答案】A考点：函数的定义域及其求法．方法二 抽象复合法使用情景：涉及到抽象函数求定义域 解题模板：利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数[()]f g x 的定义域. (2)已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求函数()f x 的定义域： 只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即为函数()f x 的定义域.例4 求下列函数的定义域：（1）已知函数f （x)的定义域为[2,2]-，求函数2(1)y f x =-的定义域.（2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域. （3）已知函数f （x)的定义域为[1,2]-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【答案】（1）[；（2）[4,6]；（3）[.【解析】（1）令-2≤2x —1≤2 得-1≤2x ≤3，即 0≤2x ≤3，从而x∴函数2(1)y f x =-的定义域为[.（2）∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x =+， x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]∴f （x)的定义域为[4,6].（3）由题得21121112x x x -≤+≤⎧≤≤⎨-≤-≤⎩∴函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域为[.【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子；（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，在求AB ，即为所求函数的定义域.【变式演练4】 已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为 . 【答案】1(1,)2--【解析】由题意可知 1210,x -<+<，则112x -<<-.故填1(1,)2--. 考点：复合函数的定义域【变式演练5】 已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()f x 的定义域为（ ）A ．31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,2-D ．()3,3-【答案】C ．【变式演练6】 已知函数()1y f x =+定义域是[]2,3-，则()1y f x =-的定义域是（ ） A ．[]0,5 B ．[]1,4- C ．[]3,2- D ．[]2,3- 【答案】A 【解析】试题分析：因为()1y f x =+的定义域是[]2,3-，即[]2,3x ∈-，所以[]11,4x +∈-，所以函数()f x 的定义域为[]1,4-，由114x -≤-≤得05x ≤≤，所以函数()1y f x =-的定义域是[]0,5，故选A. 考点：抽象函数的定义域.方法三 实际问题的定义域使用情景：函数的实际应用问题解题模板：第一步 求函数的自变量的取值范围；第二步 考虑自变量的实际限制条件；第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域.例5 用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域.【答案】242y x Lx π+=-+，函数的定义域为(0,)2L π+再由题得20202x L x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩解之得02L x π<<+ 所以函数解析式是242y x Lx π+=-+，函数的定义域是 (0,)2Lπ+. 【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即20202x L x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩，不能遗漏.【变式演练7】 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l ≥2r ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （c ＞3）千元．设该容器的建造费用为y 千元．写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；【答案】380(24)2c r y rπ+-=⋅，定义域为(0,2].【高考再现】1. 【2017山东理】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)【答案】D2.【2016·全国卷Ⅱ】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】 y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．3. 【2014山东.理3】 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0(B. ),2(+∞C. ),2()21,0(+∞D. ),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C . 考点：函数的定义域，对数函数的性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域.解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性. 4. 【2014山东.文3】 函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞ 【答案】C【解析】由已知22log 10,log 1,x x ->>，解得2x >，故选C . 考点：函数的定义域，对数函数的性质.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域.解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性.5. 【2015高考重庆，文3】函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ） (A) [3,1]- (B) (3,1)- (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞【答案】D6. 【2015高考湖北，文6】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7. 【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【答案】32-【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩ ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩ ，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以32a b +=-.【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用. 8.【2016高考江苏卷】函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【反馈练习】1. （2017届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二数学（文）试卷）函数22log ()y x x =-的定义域为（ ）A ．（0, 1）B ．（-1,0）C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：由20x x ->，得01x <<,所以函数22log ()y x x =-的定义域为()0,1，故选A.考点：1、函数的定义域；2、一元二次不等式的解法.2.（2016-2017学年河北定州中学高二数学试卷） 函数()()ln f x x =-的定义域为（ ）A ．{x|x ＜0}B ．{x|x ≤﹣1}∪{0}C ．{x|x ≤﹣1}D ．{x|x ≥﹣1} 【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()ln()f x x =-，∴(1)00x x x +≥⎧⎨->⎩，解得1x ≤-，∴()f x 的定义域为{|1}x x ≤-，故选C ．考点：函数的定义域．3. （2017届山东枣庄三中高三9月质检数学（文）试卷）函数()()1ln 1f x x =++（ ）A ．[)(]2,00,2- B ．()(]1,00,2-C ．[]2,2-D ．(]1,2- 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得()240101002ln 10x x x x x ⎧-≥⎪+>⇒-<<<≤⎨⎪+≠⎩或，选B.考点：函数定义域.4. （2017届河北沧州一中高三上学期第一次月考数学（文）试卷）函数()256lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．()2,3B ．(]2,4C ．()(]4332，，⋃ D ．()(]1,33,6-【答案】C考点：函数的定义域.5. 【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，3】已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x = ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[]1,3 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022820xx ≤≤⎧⎨-≥⎩，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．6.（2015-2016学年湖南省双峰一中高一下实验班选拔文科数学试卷）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1) 【答案】B【解析】试题分析：由题函数定义域是[0,2]，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域为；022,0110x x x ≤≤⎧≤<⎨-≠⎩考点：函数的定义域的算法.7.（2015-2016学年内蒙古鄂尔多斯一中高一下期末理数学试卷）函数)23(log 32)(232x x x x x f -++-+=定义域为 .【答案】)3,1[考点：函数的定义域.8. （2017届江西上高县二中高三上学期开学考试数学（文）试卷）已知函数(1)y f x =+定义域是{|23}x x -≤≤，则(2||1)y f x =-的定义域是_________. 【答案】55[-]22，【解析】试题分析：因为函数(1)y f x =+定义域是{|23}x x -≤≤，得411≤+≤-x ，故函数()x f 的定义域为[]4,1-，则4121≤-≤-x 得2525≤≤-x ，故答案为55[-]22，. 考点：复合函数的定义域.9. （2016届江西萍乡市高三下学期第二次模拟数学（文）试卷）函数()f x =的定义域为 . 【答案】[1,2)【解析】试题分析：011,2020x x x x <<≥⎧⎧⎨⎨-<->⎩⎩或，解得[)1,2x ∈. 考点：定义域.10. （2015-2016定义域是 。