三角形的五心性质以及典型问题初中数学竞赛
三角形五心(外心内心重心旁心)相关结论与应用汇总(精品)
(h
a)
b
(h
b)
a
h
(b
a)
0.
(h b) a 0
AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
三角形的五心问题(le)
三角形的五心问题三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一、重心(G)：三角形三条中线交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
即：:2:1AG GD =2.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
即：ABC GACGAB GBC S S S S ∆∆∆∆===313.以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
即：0=++GC GB GA4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数. 即:重心坐标为)3y ,3(C B A c B A y y x x x ++++5.中线与三边的关系式：2222412121BC AC AB AD -+=推广：(1)2222221()3GA GB GC AB AC BC ++=++（2)2222222222333()3BC GA CA GB AB GC AB AC BC +=+=+=++6.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
即： 222GA GB GC ++最小。
性质证明：1.过点G 做GD 的延长线DH,使得DH=GD,连接BH=CHG DF EABCAGGD GHGD GHAG AH G AC E CH GE BGCH CDBD 2121//=∴==∴∴∴= 又中点。
即为中点为又为平行四边形四边形又2.ABC AGC AGC CGD AGC ABC ACD CGD AGC S S S S S S S S S DG AG ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∴=+===∴=31232122 3.()()()031313132),(21=++∴+=+=+=∴=+=C G B G A G BC A C G C CB A B G B CA B A G A DA AG C AB A D A同理：由 4.)3,3(0=------∴=++c B A G c B A G y y y y x x x x C G B G A G∴)3y ,3CB A G c B A G y y y x x x x ++=++=5.()()22222222222222412121)21((241)))((2(4124121CB C A B A D A C B D A C A B A B D D A C D D A C A B A B A C A C A B A C A B A D A-+=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++++=∙++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2222412121BC AC AB AD -+=∴推广：.222222222222222222222222222222223911142242219992219992219991()32333()3GA AD AG AB AC BC AG AB AC BC AB BC AC CG AC BC AB AG BG CG AB BC CA BC GA CA GB AB GC AB BC CA =∴=+-∴=+-=+-=+-∴++=++∴+=+=+=++同理BG6.设三角形三个顶点为112233(,),(,),(,)x y x y x y 平面上任意一点为(),x y 则该点到三顶点距离平方和为：()()()()()()()()()()22222211223322222222123123123123222222221231231231232212312332()32()1133331133x x y y x x y y x x y y x x x x x y y y y y x x x y y y x x x x y y y y x x x y y y x x x y y y -+-+-+-+-+-=-+++-++++++++⎛⎫⎛⎫=-+++-++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-++-++显然当123123y ,)33x x x y y x y ++++==重心坐标）时上式取得最小值。
初三数学联赛辅导 三角形的五心
三角形的五心重心：三角形三条中线的交点，分每条中线的比为2;1垂心：三角形三条高的交点外心：三角形三边中垂线的交点，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等 内心：三角形三条内角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，到三角形三边距离相等旁心：三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，到三角形三边所在直线距离相等，一个三角形有三个旁心例1 证明三角形五心的存在性（1）三角形三条中线交于一点（2）三角形三条高线交于一点（3）三角形三边中垂线交于一点（4）三角形三条内角平分线交于一点（5）三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线交于一点例2 证明ABC ∆的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC ∆的面积之比例3（内心张角定理）设I 是ABC ∆的内心，则A BIC ∠+︒=∠2190 ，B CIA ∠+︒=∠2190 C AIB ∠+︒=∠2190例4（垂心张角定理）设H 是非直角ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1） 若90A ∠<︒，则180BHC A ∠=︒-∠，180CHA B ∠=︒-∠，180AHB C ∠=︒-∠（2） 若90A ∠>︒，则180BHC A ∠=︒-∠，CHA B ∠=∠，AHB C ∠=∠例5（外心张角定理）设O 是ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1） 若90A ∠≤︒，则2B O C A ∠=∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠（2）若90A ∠>︒，则36002BOC A ∠=︒-∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠例6 设ABC ∆的外心、垂心分别为O 、H ，若B 、C 、H 、O 四点共圆，对于所有的ABC ∆，求 BAC ∠所有可能的度数例7 （垂外心定理）求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到它的对边距离的2倍例8 求证：三个正数a 、b 、c 构成三角形三边长的充要条件是存在唯一的一组正数x 、y 、z 使下列等式成立,,.a y z b z x c x y =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩BC D A I 例9 如图，在ABC ∆中，AB AC >，O 、I 分别是ABC ∆的外心、内心 ，且满足2AB AC OI -=，求证：（1）OI ‖BC（2）AOC S ∆-AOB S ∆= 2AOI S ∆例10、如图，I 是ABC ∆的内心，AI 的延长线交ABC ∆的外接圆于D ，则，DC DB DI ==例11 已知在ABC ∆中，19=BC ，13=AC ，22=AB ，G 为ABC ∆的重心，求证：以AG 、BG 、CG 为三边的三角形是直角三角形D例12 证明：ABC ∆的重心是到这个三角形三个顶点的距离的平方和最小的点例13若H 为ABC ∆的垂心，求证：HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆与ABC ∆外接圆半径相等例14如图，已知P 为ABC ∆内一点，且PCB PAB ∠=∠，PAC PBC ∠=∠，求证：P 为ABC ∆的垂心BFC B C E DA 例15如图，AB 、BC 、CD 分别与圆O 相切于E 、F 、G ，CD BC AB ==，连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF求证：BC PF ⊥例16如图，在ABC ∆中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当︒=∠60A 时，求BDE ∠度数例17设I 是ABC ∆的内心，且D 、E 、F 分别是IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心，求证：ABC ∆与DEF ∆有相同的外心C O Q P B A 例18如图，在ABC ∆中，AC AB =，延长CA 至P ，延长AB 至Q ，使BQ AP =，求证：ABC ∆的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆例19已知，锐角ABC ∆的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，求A ∠的度数例20（欧拉线）设O 、G 、H 分别为ABC ∆的外心、重心和垂心证明：O 、G 、H 三点共线，且GH OG 21=。
三角形的五“心”及其性质
三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。
1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。
重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。
2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。
外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。
3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。
内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。
4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。
垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。
5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。
旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。
这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。
- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。
- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。
- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。
- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。
三角形五心题解
A. 垂心
B. 重心
OP OA (AB AC ) , [0, ) . 则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
3：已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
OP
OA (
1
(PA
PB
PC )
(其中
P
为平面上任
3
意一点), 则 O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
9：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OB OC OC OA ，则 O 点是△
C
D
图 10
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到 垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。
在△ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点
共线，且 QG:GH=1:2。
向量专题复习
一、与三角形“四心”相关的向量问题
1：已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
=
S
AOB
=
1 3
S ABC
4.内角平分线定理：:在 ABC 中，AD 是交 A 的平分线 BC 于 D,则 BD AB CD AC
三角形五“心”向量形式的充要条件
设（1O）为O为ABCAB所C在的平外面心上一点OA，2角OA,BB2,CO所C对2 边. 长分别为 a,b, c ，则 （2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 .
三角形的“五心”性质归纳总结(二)
三角形的“五心”性质归纳总结（二）引言概述：在前文《三角形的“五心”性质归纳总结（一）》中我们介绍了三角形的“五心”性质，包括外心、内心、重心、垂心和旁心。
在本文中，我们将进一步讨论这五个心的性质，并归纳总结它们的重要特点。
正文：一、外心的性质1. 外心是可以通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点来求得的。
2. 外心到三角形的顶点的距离都相等，且等于外接圆的半径。
3. 外心是三条外角平分线的交点，也是三个外接圆的圆心。
4. 三角形的外心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。
二、内心的性质1. 内心是可以通过三角形三个顶点的角平分线的交点来求得的。
2. 内心到三角形三边的距离都相等，且等于内切圆的半径。
3. 内心是三条角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。
4. 三角形的内心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。
三、重心的性质1. 重心是可以通过三角形三个顶点和三边中点的连线交点来求得的。
2. 重心到三角形三边的距离相等，且等于重心到顶点的距离的三倍。
3. 重心是三条中线的交点，也是三个平行于边的中位线所围成的三角形的重心。
4. 三角形的重心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。
四、垂心的性质1. 垂心是可以通过三角形三个顶点到对应高的垂线的交点来求得的。
2. 垂心的一个重要性质是垂心到三个顶点所形成的角度都是直角。
3. 垂心是三条高线的交点，也是三个高的垂线所围成的三角形的垂心。
4. 三角形的垂心不一定存在，只有当三边都有不大于90°的角时垂心才存在。
五、旁心的性质1. 旁心是可以通过三角形三个顶点的外角平分线的交点来求得的。
2. 旁心与对应边的距离相等，且等于旁接圆的半径。
3. 旁心是三条外角平分线的交点，也是三个旁接圆的圆心。
4. 三角形的旁心一般存在两个，只有当三个外角都小于120°时，三角形才存在两个旁心。
总结：通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们发现每个心都具有独特的性质和作用。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A（∠A 为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图 1 图 2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到6 个四点圆。
2、三角形外心O、重心G 和垂心H 三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
(完整版)三角形的五心几何性质
三角形的五心几何性质一．重心三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3)/3。
二．垂心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心.1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
垂心的坐标A（x1，y1)B(x2，y2)C(x3,y3)，垂心H（x0，y0）用斜率是负倒数关系Kbc=y3—y2/x3—x2 Kah=y1—y0/x1—x0 Kah=-1/Kbc得到方程(y3—y2）/（x3-x2)=-（x1-x0）/(y1—y0）同理可得方程（y2-y1）/（x2-x1)=-(x3-x0）/（y3—y0)解出x0，y0即可，三．内心三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO：ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC）：BC3、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心,∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b， CP/PA=a/c，BR/RA=a/b.4、△ABC中,A（x1，y1）,B（x2，y2)，C(x3，y3），那么△ABC内心坐标是：（ax1/(a+b+c）+bx2/(a+b+c）+cx3/(a+b+c），ay1/(a+b+c）+by2/（a+b+c）+cy3/（a+b+c))．法一:向量法设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A（x1，y1）,B（x2,y2），C(x3,y3） BC=a,CA=b,AB=c内心为I（X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）MA=（X1—X,Y1—Y）MB=（X2-X，Y2—Y)MC=(X3—X，Y3-Y）则:a（X1—X）+b（X2-X)+c(X3-X）=0，a(Y1—Y)+b(Y2—Y)+c（Y3—Y）=0∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）∴I（（aX1+bX2+cX3）/（a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）)几何法：设A（x1，y1）B（x2，y2)C（x3，y3）,AB=c,BC=a,AC=b，内心为I,AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB 与F由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD＊DI/IA=1b/a*（b+c）/b＊DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA＊a/(b+c)BD=c/b*DC D (（x2+c/b＊x3）/(1+c/b）,（y2+c/b＊y3)/（1+c/b）)（bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c）+a/(b+c）＊x1］/［1+a/（b+c)］ Yi=[（cy2+by3）/(b+c)+a/（b+c)＊y1］/[1+a/（b+c）]I((ax1+bx2+cx3）/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3）/（a+b+c)）四．外心三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
三角形的五心性质以及典型问题初中数学竞赛
三角形的五心三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一．三角形的外心定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．定理3：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．定理4：AOBC AOC B BOC A Ð=ÐÐ=ÐÐ=Ð21,21,211.如图所示，在锐角ABC D 中，BC AD ^于D ，AC DE ^于E ，AB DF ^于F ，O 为ABC D 的外心. 求证：（1）AEF D ∽ABC D (2)EFAO ^O F E DCBA2.设O 为锐角A B C D 的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则CNBMAL 111++的值是_______________.(设R 为ABC D 外接圆半径) 二．三角形的内心定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．定理3：内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有r =12(a +b －c )．ABC OIK HE FD ABCMBCDAIBCEDA定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2190ABIC Ð+=ÐB CIA Ð+=Ð2190 ，C AIB Ð+=Ð2190 。
3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。
数学竞赛辅导(三角形的五心)
Exercise ten
横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F
E
G
B
D
C
五、旁心的性质
A
BD
C
F
E
Ia
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的 旁心与内心。
倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
A
M
F
E
K I
B
DH
C
四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2 空间直角坐标系：
数学竞赛辅导 三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心 就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2
六、三角形的五心的综合性质
（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
竞赛辅导三角形的五心
11
7答案
思考练习 7.如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1， 求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等. 分析:过 A 作⊙O 和⊙O1 的直径 AP、AQ， 连接 PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90º. 故 P、B、Q 三点共线. 因 H 是△ABC 的垂心， 故 D、C、E、H 四点共圆， ∠AHE=∠C.而∠AHE=∠Q，∠C=∠P， 故∠P=∠Q，AP=AQ. 因此⊙O 与⊙O1 的半径相等。 说明： 由本题结论，可得垂心的另一个性质： 若 H 是△ABC 的垂心，则⊙ABH=⊙BCH=⊙CAH=⊙ABC.
∴PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理，
即知 P 是△ABC 这内心.
10
垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.△ABC 的垂心一般用字 母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F， 则 A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、 D；A、B、D、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
4
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明
平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑平面几何：有关三角形五心的经典试卷三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM∥CA 交AB 于M ；引PN∥BA 交AC 于N.作点P 关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ABC 外接圆上.b5E2RGbCAP (杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC ，故点M 是△P′BP 的外心，点N 是△P′PC 的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC， ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A ，B ，C 共圆、即P′在△ABC 外接圆上. 由于P′P 平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.p1EanqFDPw A BCP P MN'(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》> 分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP， △CSQ 的外心，作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.DXDiTa9E3d ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K =(∠O2O1S+∠SO1K> =(∠O2O1S+∠PO1O2> =∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.A BCQ K PO O O ....S123例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.RTCrpUDGiT (第26届莫斯科数学奥林匹克> 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′， D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′， ∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH=DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF.5PCzVD7HxA (1>a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a≥b≥c，有 CF=， BE=，A A 'F F 'GEE 'D 'C 'PCB DAD=.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.∴CF:BE:AD =::=a:b:c.故有△∽△′.(2>△∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴＝(>2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接>圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.jLBHrnAILg例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.xHAQX74J0X (1992，全国高中联赛>分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径 为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M ，故H1H2与A1A2关于M 点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.LDAYtRyKfE 例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A1，A2，B1，B2，C1，C2.Zzz6ZB2Ltk 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. ∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H H MA B BA A C CF121122D E(1989，加拿大数学奥林匹克训练题>分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2>，①又AM2-HM2=(AH1>2-(AH-AH1>2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而=2R AH2=4R2cos2A,=2R a2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2>=(a2+b2+c2>-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2>-4R2+r2，=(a2+b2+c2>-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用>.dvzfvkwMI1例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD， △CDA 的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题> 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》>分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC ，怎样证明呢？rqyn14ZNXI 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ=.∵QK·AQ=MQ·QN，∴QK===.由Rt△EPQ 知PQ=. ∴PK=PQ+QK=+=.ABCDO O O 234O 1AααMBCKNE R OQF r P∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r ，ra ，rb ，rc 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析：设Rt△ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c>=(p-a>(p-b>.∵p(p -c>=(a+b+c>·(a+b-c> =[(a+b>2-c2]=ab ；(p-a>(p-b>=(-a+b+c>·(a-b+c> =[c2-(a-b>2]=ab.∴p(p -c>=(p-a>(p-b>. ① 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b ， rb=BG-BC=p-a ， rc=CK=p.Kr r r r O O O 213AOE CBabc而r=(a+b-c>=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c>+(p-b>+(p-a>+p=4p-(a+b+c>=2p.由①及图形易证.例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：·=.EmxvxOtOco(IMO-12>分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·=A′B′··=A′B′·，O ′E= A′B′·.∴.亦即有·=A...'B'C'OO'E D==.六、众心共圆这有两种情况：(1>同一点却是不同三角形的不同的心；(2>同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA.试证：(1>AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；SixE2yXPq5 (2>AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学实验班招生试卷>分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID=CD=DE ，6ewMyirQFL IF=EF=FA ， IB=AB=BC.再由△BDF，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS>.不难证明IE=2IP ，IA=2IQ ，IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI> ≥(IA+IE+IC>+(BI+DI+FI> =AD+BE+CF. I 就是一点两心.Erdos..I PABC DEFQ S例12．△ABC 的外心为O ，AB=AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题> 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE:EF=2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K.易证： DG:GK=DC:(>DC=2:1.∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.∵OD 丄AB ，MF∥AB， ∴OD 丄MFOD 丄GE.但OG 丄DEG 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD.例13．△ABC 中∠C=30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD=BE=AB.求证：OI 丄DE ，OI=DE.kavU42VRUs (1988，中国数学奥林匹克集训题>分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式，有 ∠AIB=90°+∠C=105°， ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.AB CDE FOKG O ABCDEF I K30°∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC -∠BAO> =30°+(∠BAC -60°> =∠BAC=∠BAI=∠BEI. ∴AK∥IE.由等腰△AOD 可知DO 丄AK ， ∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C. 易知d 外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC ，∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC>. ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC>=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB> ②BCO IAO G H O G H G O G H 123112233∴=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>③欲证结论，观察①、②、③，须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>+( cosA+ cosB+ cosC>=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.y6v3ALoS89练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克>2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克>M2ub6vSTnP3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克>0YujCfmUCw4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.eUts8ZQVRd5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7>sQsAEJkW5T6.△ABC的边BC=(AB+AC>，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克>GMsIasNXkA7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克>TIrRGchYzg8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1>△AEF与△ABC有公共的内心；(2>△AEF与△ABC有一个旁心重合.7EqZcWLZNX申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题
三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明 作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。
全国初中数学联赛 32.三角形的五心
三角形的五心一、重心 (1)二、垂心 (2)三、内心 (4)四、外心 (7)五、旁心 (9)1. （2007年全国初中数学联赛1试）设K 是ABC △内任意一点，KAB △、KBC △、KCA △的重心分别为D 、E 、F ，则:DEF ABC S S △△的值为（ ）A ．19B ．29C ．49D ．23【难度】 ★★【解析】A ， 分别延长KD 、KE 、KF ，与ABC △的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为KAB △、KBC △、KCA △的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以14MNP ABC S S =△△．易证DEF △∽MNP △，且相似比为2:3，所以22()3DEF MNP S S =△△4194ABC S =⋅△19ABC S =△．所以:DEF S △19ABC S =△．故选A ．2. （1998年全国初中数学联赛2试）已知P 为平行四边形ABCD 内一点，O 为AC与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证： ⑴P ，Q ，O 三点在一条直线上； ⑵2PQ OQ =．【难度】 ★★★ 【解析】 证明：如图，连接PO ，设PO 与AN DM ，分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，∵AO OC PN NC ==，， ∴Q '为重心，2PQ OQ ''''=．这样Q Q '''=，并且Q Q '''，就是AN DM ，的交点Q ． 故P Q O ，，在一条直线上，且2PQ OQ =．3. （1992年全国初中数学联赛1试）若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于__________．N M Q PODCBAQ''Q'NMQPO DCBA【解析】 2144cm如图，在ABC △中，设AB AC =，AD BC ⊥，AM MC =，则18cm AD =，15cm BM =．又设AD 与BM 相交于G ，则是ABC △的重心．∴16cm 3GD AD ==，210cm 3BG BM ==，∴8cm BD =∴21144cm 2ABC S BC AD =⋅=△．二、 垂心4. （1993年全国初中数学联赛2试）设H 是等腰三角形ABC 垂心，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积ABC HBC S S ⋅△△的值变小、变大，还是不变？证明你的结论．【难度】 ★★ 【解析】 解法一：不妨设角A 是锐角，连接AH 并延长交BC 于D 点，延长BH ，CH 分别交AC 于E ，交AB 于F ，如图∵BH D AH E ∠=∠，∴H BD H AE ∠=∠． 因为Rt Rt BDH ADC △≌△，∴AC DCBD HD=． GDMCBAHCBA图 2F D E ABCH又12BD DC BC ==，∴214AD HD BD CD BC ⋅=⋅=． ∴4111:2216ABC HBC S S BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫=⋅⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．当90A ∠︒≥时，同理可证上式也成立，由于BC 是不变的，所以当A 点至BC 的距离变小时，乘积ABC HBC S S ⋅△△保持不变．解法二：作图如解法一，再延长AD 至G ，使DG DH =，并分别连接BG ，GC ．由HBD GBD △≌△，CBG CBH CAG ∠=∠=∠， 因而，A ，B ，G ，C 四点共圆，由相交弦定理，得214AD HD AD DG BD DC BC ⋅=⋅=⋅=．因此，41112216ABC HBC S S AD BC HD BC BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积ABC HBC S S ⋅△△保持不变．5. （2007年全国初中数学联赛1试）已知锐角ABC △的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（） A ．30 B ．45 C ．60 D ．75【难度】 ★★【解析】C ， 锐角ABC △的垂心在三角形内部，如图，设ABC △的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则2OB AH CE OD ===，所以30OBD ∠=︒，60BOD ∠=︒，所以60A BOD ∠=∠=︒．答案为C ．G H F E D CBA图 3AECBDOH三、 内心6. （1992年全国初中数学联赛1试）在ABC △中，90C ∠=︒，A ∠和B ∠的平分线相交于P 点，又PE AB ⊥于E 点，若2BC =，3AC =，则AE AB ⋅=_________． 【难度】 ★★【解析】3， 如图，作PD AC ⊥于D ，PF BC ⊥于F ，则：()11()51322CD CF AC BC AB ==+-=-，()11312AD AC CD =-=+，()11312BF BC CF =-=-，∴3AE EB AD BF ⋅=⋅=7. （1995年全国初中数学联赛2试）已知90ACE CDE ∠=∠=︒，点B 在CE 上，CA CB CD ==，经A ，C ，D 三点的圆交AB 于F （如图），求证F 为CDE△的内心．【难度】 ★★★ 【解析】 首先指出，本题有IM0295-(1989年)的背景，该题是：在直角ABC △中，斜边BC 上的高，过ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，ABC △和AKL △的面积分别记为S 和T ．求证2S T ≥． 在这个题目的证明中，要用到AK AL AD ==．2004年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK AL AD ==(斜边上的高)，再求证KL 通过ABD ADC ，△△的内心（如下图）．PEFDC BAGFED B CA证法1：如图，连DF ，则由已知，有1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠，故DF 为CDE ∠的平分线．连BD CF ，，由CD CB =，知145452FBD CBD CDB FDB ∠=∠-︒=∠-︒=∠，得FB FD =，即F 到B D ，和距离相等，F 在线段BD 的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD 的顶角平分线上，CF 是ECD ∠的平分线．由于F 是CDE △上两条角平分线的交点，因而就是CDE △的内心． 证法2：同证法1，得出459045CDF FDE ∠=︒=︒-︒=∠之后，由于ABC FDE ∠=∠，故有B E D F ，，，四点共圆．连EF ， 在证得FBD FDB ∠=∠之后，立即有FED FBD FDB FEB ∠=∠=∠=∠， 即EF 是CED ∠的平分线．本来，点E 的信息很少，证EF 为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E 上来了，因而证法2并不比证法1复杂． 由以上证明可知，F 是DCB △的外心．1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠，知DF 是CDE ∠的平分线，故F 为CDE △的内心．证法3：如图，只证CF 为DCE ∠的平分线．LKDCBAFED B CA图 5G G 图 6ACB D EF由1451AGC ADC CAD CAB ∠=∠=∠=∠+∠=︒+∠， 得12∠=∠．从而DCF GCF ∠=∠，得CF 为DCE ∠的平分线．证法4：首先DF 是CDE ∠的平分线，故CDE △的外心I 在直线DF 上． 现以CA 为y 轴、CB 为x 轴建立坐标系，并记CA CB CD d ===， 则直线AB 是一次函数y x d =-+①的图像（如图）．若记内心I 的坐标为11()x y ，，则11x y CH IH CH HB CB d +=+=+==满足①，即I 在直线AB 上，但I 在DF 上，故I 是AB 与DF 的交点．由交点的惟一性知I 就是F ，从而证得F 为Rt CDE △的内心．不可延长ED 交O ⊙于P ，利用CP 为直径来证．8. （1996年全国初中数学联赛1试）如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 【难度】 ★★ 【解析】A ， 我们首先要了解各种三角形的面积的算法，正弦公式，底乘高公式以及利用三角形内切圆半径来计算三角形的面积公式．如果内切圆的半径为r ，三角形的周长为l ，则三角形的面积为：12S r l =⨯⨯． 如图：上面一部分的面积为()12r AD AE ⨯⨯+，下面一部分的面积为()12r BD CE BC ⨯⨯++,由于直线m 分三角形周长为两半，即BD CE BC AD AE ++=+， 所以上下两部分的面积相等，因此直线m 过内心．故选A ．图 7y 1x 1IH E DC B Axym IED CBA四、 外心9. （1993年全国初中数学联赛1试）锐角三角形ABC 的三边是a ，b ，c ，它的外心到三边的距离分别为m ，n ，p ，那么::m n p 等于（ ）A ．111::a b cB ．::a b cC ．cos :cos :cos A B CD ．sin :sin :sin A B C【难度】 ★★【解析】C ， 如图，设O 是ABC △的外心， OA OB OC R ===，1cos cos 2m BOC A R =∠=， ∴cos m R A =． 同理cos n R B =，cos p R C =．∴::cos :cos :cos m n p A B C =．10. （2006年全国初中数学联赛2试）如图，在平行四边形ABCD 中，A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ，点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心．⑴求证：O 、E 、1O 三点共线；⑵求证：若70ABC ∠=︒，求OBD ∠的度数．【难度】 ★★★【解析】 ⑴如图，连结OE 、OF 、1O A 、1O E ．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以ABE ECF ∠=∠．Cnmp O B AA BCDEFO O 1又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心，所以OE OF =，11O A O E =，122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠． 于是有1OEF O EA △∽△．故1OEF AEO ∠=∠，所以O 、E 、1O 三点共线．⑵连接OD 、OC ．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠． 故CE CF =．又因为点O 为CEF △的外心，所以OE OF OC ==． 则OCE OCF △≌△，有OEC OFC OCF ∠=∠=∠．故OEB OCD ∠=∠．又BAE EAD AEB ∠=∠=∠，则EB AB DC ==． 因此OCD OEB △≌△．所以，ODC OBE ∠=∠，OD OB =，ODC OBC ∠=∠，OBD ODB ∠=∠，OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠．故1352OBD ABC ∠=∠=︒．11. （2013年全国初中数学联赛2试）在ABC △中，AB AC >，O 、I 分别是ABC △的外心和内心，且满足2AB AC OI -=．求证：⑴ OI BC ∥；⑵ 2AOC AOB AOI S S S -=△△△．【难度】 ★★★★ 【解析】 ⑴ 作OM BC ⊥于M ，IN BC ⊥于N ．设BC a =，AC b =，AB c =．易求得12CM a =，1()2CN a b c =+-，所以1()2MN CM CN c b OI =-=-=．O 1O FEDCBA N M IO CB A又MN 恰好是两条平等线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平等线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI MN ∥，所以OI BC ∥．⑵ 由⑴知OMNI 是矩形，连接BI ，CI ，设OM IN r ==（即为ABC △的内切圆半径，则()()AOC AOB AOI COI AIC AIB AOI BOI S S S S S S S S -=++---△△△△△△△△ 2AOI BOI COI AIC AIBS S S S S =+++-△△△△△111122222AOI S OI r OI r AC r AB r =+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅△112222AOI AOI S r OI b c S ⎛⎫=+⋅+-= ⎪⎝⎭△△．五、 旁心。
初中数学竞赛讲解教材 第五讲 三角形的五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△A B C P P M N 'A B C QK P O O O ....S 123O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△P AD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′.有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △P AD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′.若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， A A 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B DAD =2222221a c b -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23 =a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.当△中a ≥b ≥c 时，△′中CF ≥BE ≥AD .∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(a CF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43. ∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知 .O A A A A 1234H H 1213212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A , Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有∥=∥=H H H M A B B A A B C C C F 12111222DEA 21A =r 2+bc a c b 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取 △DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅ =αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α. 由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin . A B CD O O O 234O 1A ααMB C KN ER O Q F r P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2] =21ab ； (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得r a =AF -AC =p -b ，r b =BG -BC =p -a ，r c =CK =p .而r =21(a +b -c ) =p -c .∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p=4p -(a +b +c )=2p .由①及图形易证.K r r r r O O O 213A OE C B a b c例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =q r . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A =A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin 2'sin 2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin 2'cos 2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有 11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠ =22B tg A tg =qr . 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +F A ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACEA ...'B 'C 'O O 'E D的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =F A ，IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +F A =2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE之垂心.易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°， Erdos ..I P A B C D E F Q SA B C D E F O K G O A BC D E F I K 30°∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高.同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ，同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2， ∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C .同样可得HH 2，HH 3.∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.B C O IAO G H O G H G O G H 123112233练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.。
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(包含答案)
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练一．选择题1．如图，已知直线MN∥ AB，把△ ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心2．课本第 5 页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心” ．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心3．如图为4×4 的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ ACD的重心B．△ ABC的外心C．△ ACD的内心D．△ ABC的垂心4．如图，O是△ ABC的外心，OD⊥ BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C5．在△ ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠ AFC＝45°，∠ AGC＝60°，则∠ ACF的度数为（）7．如图，已知 H 是△ ABC 的垂心，△ ABC 的外接圆半径为 R ，△BHC 的外接圆半径为 r ，则 RA ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．75°6．如图，已知△ ABC 的三个顶点分别在反比例函数 y ＝ k > 0）的图象上，那么△ ABC 的C ． 外心D ．垂心B ． R >rC ．R <rD ．无法确定8．以 Rt △ ABC 的两条直角边 AB 、BC 为边， 在三角形 ABC 的外部作等边三角形 ABE 和等边三角形 BCF ， EA 和 FC 的延长线相交于点 M ，则点 B 定是三角形 EMF 的（ ））A ．R ＝rA．垂心B．重心C．内心D．外心9．如图，锐角△ ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H 是△ DEF的（）C．内心D．外心10．三个等圆O1，O2，O3有公共点H，点A、B、C 是其他交点，则H是三角形ABC的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心．填空题11．在半径为 1 的⊙ O中内接有锐角△ ABC，H是△ ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝12．如图，ADCFBE是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB＝90°，现需要利用这块残料在△ABC的外部制作 3 个等边△ ADC、△ CBF、△ ABE的内切圆⊙ O1、⊙ O2、⊙ O3，若其中最大圆⊙ O3的半径为0.5 米，可使生产成本节约 3 元（节约成本与圆面积成正比），照此计13．如图，在△ ABC中M为垂心，O 为外心，∠ BAC＝60°，且△ ABC外接圆直径为10，则AM＝15．设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△ OAB，△ OBC，△ OCD，△ 算，则10 块这样的残料可使生产成本节约元．14．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙ O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝ODA的重心分别为E，F，G，H，则S EFGH：S ABCD＝．16．如图，I 是Rt△AB（C∠ C＝90°）的内心，过I 作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已三．解答题18．如图所示，已知锐角△ ABC 的外接圆半径 R ＝1，∠ BAC ＝60°，△ ABC 的垂心和外心分别为 H 、O ，连接 OH 、 BC 交于点 P（ 1）求凹四边形 ABHC 的面积；I 关于边 BC ，CA ，AB 的对称点，19．如图， AD ，BE ，CF 是△ ABC 的高， K ，M ，N 分别为△ AEF ，△ BFD ，△ CDE 的垂心，求证：若点 B 在△ A 1B 1C 1 的外接圆上，则∠ ABC等于2）求 PO ?OH 的值．△DEF ≌△KMN ．20．如图，点H为△ ABC的垂心，以AB为直径的⊙ O1和△ BCH的外接圆⊙ O2相交于点D，延长AD交CH于点P，21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I 分别为△ ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙ O于E，AI 的延长线交⊙ O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝AE．22．如图，H是锐角△ ABC的垂心，O为△ ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；（2）若AO＝AH，求∠ BAC的度数．23．如图，D，E，F 分别是△ ABC的边BC，CA，AB上的点，且∠ FDE＝∠ A，∠ DEF＝∠ B．又设△ AFE，△ BDF，△ CED均为锐角三角形，它们的垂心依次为H1，H2，H3，求证：1．∠ H2DH3＝∠ FH1E；2．△ H1H2H3≌△ DEF．24．如图，△ ABC为锐角三角形，CF⊥ AB于F，H为△ ABC的垂心．M为AH的中点，点G在线段CM上，且CG⊥ GB．1）求证：∠ MFG＝∠ GCF；2）求证：∠ MCA＝∠ HAG．25．如图，已知H 为锐角△ ABC的垂心，D 是使四边形AHCD为平行四边形的一点，过BC的中点M作AB的垂线，垂足为N，K为MN的中点，过点 A 作BD的平行线交MN于点G，若A，K，M，C四点共圆．求证：直线BK平分线段CG．参考答案一．选择题1．解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于 F ∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD' ⊥BC于D' ，作OE' ⊥AC于E' ，作OF' ⊥AB于F' ，由裁剪知，OD＝OD' ，OE＝OE' ，OF＝OF' ，∴ OD' ＝OE' ＝OF' ，∴图 2 中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ ABC的内心，故选：C．2．解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．故选：C．3．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，设每一个小方格的边长为1，由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2 ，∴ O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，∴点O为△ ABC的外心，∵ OA＝OC≠ OD，∴点O即不是△ ACD的重心，也不是△ ACD的内心，故选：B．4．解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠ BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，∴∠ BAC＝∠ BOD；同理可得：∠ BOF＝∠ BCA，∠ AOE＝∠ ABC；设⊙ O的半径为R，则：OD＝R?cos ∠ BOD＝R?cos ∠A，OE＝R?cos ∠ AOE＝R?cos ∠B，OF＝R?cos ∠ BOF＝R?cos ∠C，故OD：OE：OF＝cos∠A：cos∠ B：cos ∠ C，∴ ＝2，∴ ＝2，作CE⊥ AG于点E，连接EF，∴△ CEG是直角三角形，∵∠ EGC＝60°，∴∠ ECG＝30°，那么EG＝CG＝GF，∴GE＝GF，∠FGE＝120°，∴∠ GFE＝∠ FEG＝30°，而∠ ECG＝30°，∴EF＝EC，∵∠ EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠ AGC﹣∠ AFC＝15°，∴∠ FAD＝∠ EFA，∴EF＝AE，∴AE＝EC，∵△ AEC是等腰直角三角形，∴∠ ACE＝45°，∴∠ ACF＝∠ ACE+∠ ECF＝30° +45°＝75 故选：D．6．解：结论：△ ABC的垂心也一定在该函数图象上；理由：∵ A、B、C都在y＝上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．＝a ?∴（ k ﹣ ay ）（ c ﹣x ）＝（ k ﹣cy ）（ a ﹣x ），∴ ck ﹣kx ﹣ acy +axy ＝ ak ﹣kx ﹣ acy +cxy ，a ﹣c ） xy ＝（a ﹣c ）k ．显然， a ﹣c ≠ 0，∴ xy ＝k ，即： y ＝ ．∴点 H （x ， y ）在反比例函数∵△ABC 的外接圆半径为 R ， AB 的斜率＝BC 的斜率＝AH 的斜率＝， 容易得出：∵AH ⊥BC ，CH 的斜率＝CH ⊥AB ，延长 AD 交△ ABC 的外接圆于 G ，连接 BG ，CG ，∴△ ABC 的外接圆的半径等于△ BGC 的外接圆的半径，∴△ BGC的外接圆半径为R，∵点H是△ ABC的垂心，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ ADC＝∠ BEC＝90°，∴∠ CAD+∠ ACB＝90°，∠ CBE+∠ACB＝90°，∴∠ CAD＝∠ CBE，∵∠ CBG＝∠ CAD，∴∠ CBE＝∠ CBG，同理：∠ BCF＝∠ BCG，在△ BCH和△ BCG中，，∴△ BCH≌△ BCG（ASA），∴△ BHC的外接圆的半径等于△ BGC的外接圆的半径，∵△ BHC的外接圆半径为r ，∴△ BGC的外接圆的半径为r ，∴ R＝r ，∵以Rt△ ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ ABE和等边△ BCF，∴ ∠CBE＝90°+60°＝150°，∠ FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△ CBE与△ FBE中，，∴△ CBE≌△ FBE（SAS）；∴ CE＝FE，∠ FEB＝∠ CEB，∴ BE⊥CF于G，∴ EG是△ MEF的边FM上的高，同理：FH是△ MEF的边EM上的高，∴点 B 是△ MEF的三边的高，即：点 B 是△ MEF的垂心．故选：A．9．解：∵ BE丄AC，CF丄AB，∴四点B、C、E、F 共圆（以BC为直径），∴∠ EBF＝∠ FCE，∵ HD丄BD，HF丄BF，∴四点B、D、H、F 共圆（以BH为直径），∴∠ HBF＝∠ FDH，同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠ HDE＝∠ HCE，∴∠ HDE＝∠ HDF，∴ DA平分∠ EDF即可．同理可证EB平分∠ DEF，FC平分∠ EFD，∴ H 是△ DEF的角平分线的交点，∴ H是△ DEF的内心．故选：C．10．解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F 点，如图，∵三个等圆O1，O2，O3 有公共点H，∴∠ 1所对的弧BH与∠ 4所对的弧BH为等弧；∠ 2所对的弧CH与∠ 5所对的弧CH 为同弧；∠ 3所对的弧AH与∠6 所对的弧AH为同弧，∴∠ 1＝∠ 4 ，∠ 2＝∠ 5，∠ 3＝∠ 6 ，∵∠ 1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠ 6＝180°，∴2∠2+2∠ 3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，∴∠ 2+∠3+∠ 4＝90°，∠ 1+∠ 3+∠2＝90 °，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴点H为△ ABC的垂心．11．解：设AL与⊙ O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙ O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙ O的直径，∴∠ CBG＝∠ CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵ H为△ ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠ BAC，∴∠ BAD＝∠ CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥ BC．∵ AE⊥BC，∴ OD∥AE，∴∠ ODA＝∠ EAD．∵OA＝OD，∴∠ ODA＝∠ OAD，∴∠ OAD＝∠ EAD．∵ AL垂直于OH，∴∠ ANO＝∠ ANH＝90°．在△ ANO和△ ANH中，，∴△ ANO≌△ ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt △GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴ BC＝＝．故答案为：．12．解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙ O2的面积＝⊙ O3的面积，∵⊙ O3可使生产成本节约3元，∴1 块这样的残料可使生产成本节约 6 元．6×10＝60 元．则10 块这样的残料可使生产成本节约故答案为：60．13．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠ BAF＝90°，∴ AB＝10?sin F＝10?sin ∠ACB，又∵点M为△ ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ ADB＝∠ AEC＝90°，∴△ AEM∽△ ADB，在Rt△AEC中，∠ EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，14．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥ BC于N，∵BF是⊙ O的直径，∴∠ BCF＝∠ BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△ BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴ BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ sin F＝，即AM＝在Rt△ADC中，sin ∠ACD＝，即AD＝AC?sin ∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．∴ ON＝＝，∴ CF＝2ON＝ 2 ，∵ H是△ ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴ AH＝CF＝2∵ H是△ ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠ OAH＝∠ NOM，∵OH⊥AM，∴∠ AOH＝∠ ONM＝90°，∴△ AOH∽△ ONM，∴，∴，∴，∴，∴ OM＝．15．解：如图：∵E 、F 分别是△ OAB 与△ OBC 的重心，∴，∴，∴EF ∥AC ，同理： FG ∥ BD ，HG ∥AC ，HE ∥BD ，∴ ERU ，Q RUSF ，USG ，T THQU ，EFGH 是平行四边形，∵ ∵同理：16．解：如图，过 I 分别作三边的垂线，垂足为 D 、F 、G ，设 AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝ b，ID ＝IH ＝ IG ＝r，解得 a ＝由△ ABC ∽△ EIG ∽△ IFH ，解得r ＝ 又 ab ＝2S △ABC ＝r （ a +b +c ），∵ A 1、 B 1、 C 1分别是点 I 关于边 BC ，CA ， AB 的对称点，∴ID ＝A 1D ＝ IA 1，∠ BDI ＝ 90°，∵点 B 在△ A 1B 1C 1 的外接圆上，∴IB ＝IA 1，∴ ID ＝ IB ，∴∠ IBD ＝30°，∴∠ ABC ＝60°．故答案为： 60°．由勾股定理，得 c 2＝a 2+＝r ()2 ∴∠ DBI ＝ ∠ABC ，三．解答题（共8小题）18．解：（1）如图：连接BO并延长交⊙ O于点G，连接AG、CG、CO，延长长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥ BC于M．∵BG是直径，∴GA⊥AB，GC⊥BC，∵ H 为垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∴GA∥CH，GC∥AH，∴AGCH是平行四边形，∴AG＝GC，∵∠ BAC＝60°，OB＝OC，∴∠ OBC＝∠ OCB＝30°，∴ OM＝OB＝，BM＝，∴ BC＝，又∵ OM＝CG，∴AH＝2OM＝1，设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△ AHC＝×AH×BN+ ×AH×（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠ BAC＝60°，∴∠ ACF＝30°，∴∠ CHE＝60°，∴∠ BHC＝120°，CH交AB于F，延CN＝×AH× BC＝∴B、C、H、O四点共圆，∵∠ OBC＝∠ OCB＝30°，∴∠ CHP＝∠ OBC＝30°，∴∠ OHC＝∠ OCP＝150°，∴△ OHC∽△ OCP，∴OH?OP＝OC2＝1．19．证明：如图：∵OD⊥BC，FM⊥BC，∴OD∥FM，∵OF⊥AB，DM⊥AB，∴OF∥DM，∵DMFO是平行四边形，同理OFKE，ODNE均为平行四边形，∴MD∥KE，MD＝KE，∴MDEK也是平行四边形，∴DE＝MK，同理DF＝KN，EF＝MN∴△ DEF≌△ KMN（SSS）．20．证明：如图，延长AP交⊙ O2 于点Q，连接AH，BD，QB，QC，QH．因为AB为⊙ O1的直径，所以∠ ADB＝∠BDQ＝90°．（5 分）故BQ为⊙ O2 的直径．于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10 分）又因为点H为△ ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．所以AH∥ CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形．（15 分）所以点P为CH的中点．（20分）21．证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI ，BD，如图，∴ AG＝（AB+AC﹣BC），而BC＝（AB+AC），∴ AG＝BC，又∵ AD平分∠ BAC，AE平分∠ BAC的外角，∴∠ EAD＝90°，∴O点在DE上，即ED为⊙ O的直径，而BD弧＝DC弧，∴ ED 垂直平分BC，即BH＝∴AG＝BH，而∠ BAD＝∠ DAC＝∠ DBC，∴Rt△AGI≌Rt△BHD，∴AI＝BD；（2）∵∠ BID＝∠ BAI+∠ABI，而∠ BAI＝∠DBC，∠ ABI＝∠ CBI，∴∠ DBI ＝∠ BID ，∴ID ＝DB ， 而 AI ＝BD ，∴AI ＝ID ，∴OI 为三角形 AED 的中位线，则 F 为AC 的中点，连接 CH ，取 CH 中点 N ，连接 FN ，DN ，则 FN ∥AM ， AH ＝2FN ，DN ∥ BE ，∵AM ⊥BC ， OD ⊥BC ，∴OD ∥AM ，∴FN ∥OD ，∵BE ⊥AC ， OF ⊥AC ，∴BE ∥OF ，∵OD ⊥BC ，∴D 为 BC 中点，∵ N 为 CH 中点，∴DN ∥BE ，∴DN ∥OF ，∴四边形 ODNF 是平行四边形，∴OD ＝FN ，∴BE ⊥AC ，∴ OI ＝ AE ． BH 并延长交 AC 于 E ， 过 O 作 OF ⊥ AC 于 F ，∵AH＝2FN，∴AH＝2OD．（2）解：如图2，连接OB，OC，∴OA＝OB，∵OA＝AH，∴OB＝AH，由（1）知，AH＝2OD，∴ OB＝2OD，在Rt△ODB中，cos ∠ BOD＝∴∠ BOM＝60°，∵OD⊥BC，∴∠ BOC＝2∠BOD＝120°，∴∠ BAC＝∠BOC＝60°．23．证明：（1）∵ H2是△ BDF的垂心，∴ DH2⊥ BF，∴∠ H2DB＝90°﹣∠ B，同理：∠ H3DC＝90°﹣∠ C，＝＝∴∠ H2DH3＝180°﹣∠ H2DB﹣∠ H3DC＝∠ B+∠ C，∵H1是△ AEF的垂心，∴∠ H1EF＝90°﹣∠ AFE，∠ H1FE＝90°﹣∠ AEF，∴∠ EH1F＝180°﹣∠ H1EF﹣∠ H1FE＝180°﹣（90°﹣∠ AFE）﹣（90°﹣∠ AEF）＝180 °﹣∠ A＝∠ B+∠ C，∴∠ H2DH3＝∠ FH1E；（2）如图，由（1）知，∠ FH1E＝∠ B+∠C，∵∠ FDE＝∠ A，∠ A+∠ B+∠ C＝180°，∴∠ FH1E+∠EDF＝180°，∴H1在△ DEF的外接圆上，同理：H2，H3 也在△ DEF的外接圆上，∴D，H2，F，H1，E，H3六点共圆，由（1）知，∠ EH1F＝∠ H2DH3，∴EF＝H2H3，同理：DF＝H1H3，DE＝H1H2，∴△ DEF≌△ H1H2H3（SSS）．24．证明：（1）如图延长AH交BC于T．∵ H是△ ABC的垂心，∴∠ THC＝∠ HFA＝90°，∵∠ THC＝∠ AHF，∴∠ HCT＝∠ FAH，在Rt △AFH中，∵ AM＝MH，∴FM＝AM＝MH，∴∠ FAH＝∠ MFA，∴∠ MFA＝∠ HCT，∵BG ⊥CM ，∴∠ BFC ＝∠ BGC ＝90°，∴B 、C 、G 、F 四点共圆，∴∠ AFG ＝∠ BCG ，∴∠ AFM +∠ MFG ＝∠ HCT +∠MCF ，∴∠ MFG ＝∠ GCF ．（2）∵∠ FMG ＝∠ FMC ，∠ MFG ＝∠ MCF ，∴△ MFG ∽△ MCF ，∴ MF 2＝ MG ?MC ，∵MA ＝MF ，∴ MA 2＝ MG ?MC ，∴△ MAG ∽△ MCA ， ∴∠ MCA ＝∠ HAG ．25．证明：如图，设 BK 交CG 于E ，连接 AG ， AK ， ∵A ，K ，M ，C 四点共圆，∵∠ AMG ＝∠AMC ，∴∠ ACB＝∠ AKG（外角等于内对角），∵ H是△ ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∵四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥AD，AH∥CD，∴CD⊥BC，AD⊥AB，∴∠ BCD＝∠ BAD＝90°，∴∠ BAD+∠ BCD＝180°，∴点A，B，C，D四点共圆，∴∠ 5＝∠ ACB＝∠ AKG，∵AH⊥BC，MN⊥AB，AD⊥AB，∴∠ 1＝∠ 2＝∠ 4，∵AG∥BD，∴∠ 3＝∠ 4＝∠ 2，在△ ANG和△ ANK中，，∴△ ANG≌△ ANK，∴GN＝KN＝MK，∴ MK＝KG，∵直线BKE截得△ GMC，由梅涅劳斯定理得：∵点M是CB中点，∴ CB＝2BM，∴GE＝EC，∴直线BK平分线段CG．。
三角形的“五心”
三角形的“五心”
一米阳光
三角形有“五心”，在初中数学人教版中明确重心（八年级）、内心和外心（九年级），其实还有垂心和旁心。
下面简单介绍它们的定义和性质：
1、内心
定义：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
性质：三角形的内心在三角形的内部，到三角形三边的距离相等。
2、外心
定义：三角形三边垂直平分线（中垂线）的交点，即三角形外接圆的圆心。
性质：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在直角三角形斜边上（是斜边中点）；钝角三角形的外心在三角形外部。
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
3、重心
定义：三角形三条中线的交点。
性质：三角形的重心在三角形的内部，三角形的重心到三角形顶点距离等于它到对边中点距离的2倍。
4、垂心
定义：三角形三条高（高线）所在直线的交点。
性质：锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外部。
三角形的垂心是垂足三角形的内心。
5、旁心
定义：三角形任意两个外角平分线和第三个内角平分线的交点。
性质：三角形的旁心在三角形的外部，三角形的旁心到三角形三边的距离相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的五心
三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 一．三角形的外心 定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 定理3：锐角三角形的外心在三角形内；
直角三角形的外心在斜边中点；
钝角三角形的外心在三角形外．
定理4：AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=
∠2
1
,21,21 1.如图所示，在锐角ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F ，O 为ABC ∆的外心. 求证：（1）AEF ∆∽ABC ∆ (2)EF AO ⊥
O F E D
C
B
A
2.设O 为锐角ABC ∆的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则
CN
BM AL 1
11+
+的值是_______________.(设R 为ABC ∆外接圆半径)
二．三角形的内心
定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．
定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 定理3：内切圆半径r 的计算：
设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S
p ．
特别的，在直角三角形中,有 r =1
2
(a +b －c )．
A
B C
O
I
K H
E F
D A
B
C
M
B C D A I
B C E D A 定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2
1
90A BIC ∠+
=∠ο
B CIA ∠+=∠2190ο，
C AIB ∠+=∠2190ο。
3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。
证明：D 是ABC ∆的内心.
4.如图，在ABC ∆中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当︒=∠60A 时，求BDE ∠度数
5.如图，I 是ABC ∆的内心，AI 的延长线交ABC ∆的外接圆于D ，则，DC DB DI ==
6.如图所示，ABC ∆的三边满足关系)(2
1
AC AB BC +=
，I O ,分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .
求证：（1）BD AI =;(2)AE OI 2
1
=
三．三角形的重心
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
定理1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
定理2：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
定理3：重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
定理4：在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
7.证明ABC ∆的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC ∆的面积之比
8.设K 是ABC ∆内任意一点，KAB ∆，KBC ∆，KCA ∆的重心分别为F E D ,,，求
ABC DEF s S ∆∆:
A
B
C
D E
F
G
B
F
C 9.若ABC ∆的重心为G ，2=AG ，3=BG ，5=CG ，求ABC ∆的面积.
四．三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
定理1：三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
定理2：三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且OG ∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））
定理3：垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
定理4：垂心分每条高线的两部分乘积相等。
10.在ABC ∆中，若7,6,5===CA BC AB ，H 为垂心，求AH 的长。
11.锐角ABC ∆中，已知H 为垂心，AD 为BC 边上的高，E 为BC 中点，若5==BC AD ，试求HE HD +的长.
12.已知ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，21,,O O O 分别是ABC ∆,ACD ∆,BCD ∆的内心。
求证：（1）21CO O O ⊥ (2)21O O OC ⊥
13.如图，AB 、BC 、CD 分别与圆O 相切于E 、F 、G ，CD BC AB ==，连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF 求证：BC PF ⊥
五．三角形的旁心
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
定理1：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
定理2：每个三角形都有三个旁心。
定理3：旁心到三边的距离相等。
例题：已知三角形ABC中，角BAC=120度。
I是角ABC和角ACB的平分线BE,CF的交点，连接AI交BC于D，证明：角EDF=90度
B A
B C
D
E F
I a。