高一数学点到直线的距离
高一数学点到直线的距离1
小结
1.点到直线距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B 2
注意： 化为一般式． 2.特殊情况 x x1
y y1
y y1
|y1-yபைடு நூலகம்| |x1-x0|
y0 O
P0 (x0,y0) x0 x1 x
作业
A：小结 B：P121 B5
优游开户 优游开户 hnq781dgk 正式报到上班，单位办公室的汪清秀把俩人带到人保科，张之文拿出早已开好的介绍信递给他俩。刘丽娟被分到质量科化验室，马启 明则被分到了生产科。汪清秀将马启明带到生产科，介绍给生产科科长吴明。吴明是一位态度温雅的中年人，个子有1.75米左右，最 引人注目的是他的头发有点自来卷，头顶上正中央一块秃秃的、光光的，好像半块西瓜皮倒扣在脑袋上，他把周围稀稀拉拉的头发拉 来搞赞助，地方保护中央,却怎么也拉不上去，最后，只有三四根长长的、弯弯扭扭的头发趴在头顶的阵地上坚守阵地。一看到他的头 ，马启明方才明面什么是“耀眼光芒”的含义了，暗笑晚上要是跟着吴明上街，你绝不担心他会走丢了，他走到那里，光明就会带到 那里。吴明安排马启明在酿造车间负责工艺技术，汪清秀又将马启明带往酿造车间。刚到酿造车间门口，就看见一位四十岁左右的中 年男子正从车间里出来，穿着一身褪了色的黄军袄和黄军裤，脚上还穿着黑色高筒雨鞋，像是刚从寒冷的冬季穿越过来。他走路的姿 态跟抗美援朝保家卫国的战士一样雄赳赳气昂昂的，目不斜视地看着前方。汪清秀赶忙给马启明介绍道：“马启明，这是酿造车间的 张钢铁主任。”又转头给张钢铁说：“张主任，这是刚从外地招人来的大学生马启明。”马启明感到钢铁是目前世界上最坚硬的东西 之一，他名字叫“钢铁”，也许他的性格也像他的名字一样强硬、坚强。张钢铁的目光仿佛一张无形的网笼罩着自己，马启明觉得自 己立即被热情包裹起来了，浑身自在。仔细打量了一下满脸笑容的张钢铁：高高的个子，宽宽的肩膀，坚硬的胸膛，身体一看就知道 很健壮，头发有点发白，古铜色的脸上一双明亮的大眼睛非常醒目，此刻眼神里满是热情，额头上略一抬眉便显出几道皱纹，脸上细 看也有密密的细纹，写满了沧桑。张钢铁用穿透力很强的声音笑着说道：“早听吴科长讲过了，我换一下衣服，你先到办公室坐一下 ，我马上就过来。”马启明赶紧说：“好的！张主任，我等你。”等张钢铁换好衣服，走进办公室后便详细地询问起了马启明的情况 。然后又告诉马启明现在啤酒厂效益和收入在本地企业是最好的之一，当地人都抢着托人找关系、哭着喊着想进啤酒厂。过去效益最 好时，啤酒根本来不及生产，拉酒的车天天排得满满的，大年三十还在加班加点地生产，各种说不清名目的奖金发个不停，外面的人 羡慕得不得了。最后，张钢铁站起身，对马启明说：“走，我带你到车间去看一看，熟悉一下车间的情况。”“谢谢您，张主任。” 马启明暗自庆幸自己确实遇到了一位古道热肠的领导，急忙快走几步跟上风风火火走路的张钢铁。路上，张钢铁介绍道：“我们糖化 有老式的，也有新式的，都是三锅两槽，发酵有传统发酵，也就是我刚出来的那个
高中数学必修二 3.3.3 点到直线的距离
+
2������
+
1|
=
|3������
+
2������
+
1| ,
������2 + 1
������2 + 1
解得
k=0
或
k=−
1.
2
故直线的方程为y=1或x+2y=0.
题型一 题型二 题型三
精选例题
方法2:当l∥AB或l过AB的中点时,满足点A,B到l的距离相等.
若
l∥AB,由于
kAB=−
1 2
题型一 题型二 题型三
精选例题
反思求点到直线的距离的步骤:
(1)将直线方程化为一般式 Ax+By+C=0;
(2)将点(x0,y0)代入公式
d=
|������ ������ 0 +������������0 +������| ������2 +������ 2
,
计算可得.
题型一 题型二 题型三
精选例题
精选例题
题型一 题型二 题型三
题型一 求点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解-1)+2-10| 22 +12
=
10 5
=
2
5.
(2)(方法一)把直线方程化为一般式为x-2=0.
本节结束，谢谢观看！
式
|A x 0 +B y 0 +C | A 2 +B 2
知识梳理
归纳总结点到几种特殊直线的距离: (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
高一数学点到直线的距离
《点到直线的距离》
发挥我们的创造性，力争“使教育过程成为一 种艺术的事业”.
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•开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘埃飘散开来,在阳光の耀 射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么, 随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是 情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州,罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹 年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和 B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
例5.求两直线l1 : 4 x 3 y 1 0和l2 :12 x 5 y 13 0 夹角平分线方程.
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A2 B 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l R
y
P d Q
x O
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
点到直线的距离
点到直线的距离
高中数学 3.3.3点到直线的距离教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
《点到直线的距离》教案【课题】点到直线的距离【教材】普通高中课程标准实验教科书〔必修2〕一. 教学目标1．教材分析⑴教学内容《点到直线的距离》是普通高中课程标准实验教科书〔必修二·人民教育〕，“§3.3直线的交点坐标与距离公式〞的第三节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．⑵地位与作用本节对“点到直线的距离〞的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离〞的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2. 学情分析高一年级学生已掌握了函数等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用启发引导法、讨论教学法．3.教学目标〔1〕知识技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．〔2〕数学思考①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．〔3〕情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，认识事物〔知识〕之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
二. 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．三．教学方法启发引导法、讨论法四．教学过程复习旧知:111(,)P x y ,222(,)P x y ,那么12||PP =问题引入:思考如图，点P 00(,)x y ，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，如何求点P 到直线l 的距离？解法一：〔定义法〕0,0A B ≠≠1 当时，,PQ BQ l Q k A⊥=作P 于点则 000:()P Q Bl y y x x A-=- 00()()A y y B x x -=-即00()()0A y yB x x Ax ByC -=-⎧⎨++=⎩由得 000000()()0(1)()()(2)B x x A y y A x x B y y Ax By C⎧---=⎪⎨-+-=---⎪⎩()2222220000(1)(2)()()()A B x x y y Ax By C ⎡⎤++-+-=++⎣⎦2得22200002()()()Ax By C x x y y A B ++∴-+-=+2*d==即思考:当A=0,或B=0时,上述公式是否成立?0,0:||C CA B l y d yB B=≠=-=+2当时，此时满足*式0,0:||C CA B l x d xA A≠==-=+3当时，此时满足*式d=综上解法二：〔面积法〕利用直角三角形的面积公式的算法思路如下：教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材107P的证明方法．例1求点(1,2)P-到以下直线的距离：(1)2100;x y+-=(2)32;x=(3)37x y-+=; ()24(4)133y x-=-〔1〕解：根据点到直线的距离公式，得)yd===〔2〕解法①因直线32x=平行于y轴，所以25(1).33d=--=解法②根据点到直线的距离公式，得53d==(3):370l x y-+=解: 根据点到直线的距离公式, 得0.d==(4):4320.l x y--=根据点到直线的距离公式，得12.5d==注意：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数A B、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．.(1,3),(3,1)A B例2在平面直角坐标系内，已知两点(1)AB求直线的方程；(2)(1,0)C ABC-∆若点的坐标为，求的面积；(3)D,x ABD∆在轴求一点使的面积为7.BC:40C(1,0)ABx yh+-=-==解：(1)直线(2)点到直线的距离11||||522ABCAB S AB h∆==⨯⨯=⨯=又D(,0)AB|11||4x h ABS AB h x==∴=⨯⨯=⨯=-(3)设到直线的距离(3,0)(11,0)D D -故例3点P(m,n)在直线x + y=4上,O 是原点，那么|OP|的最小值是( )注意：等价于求原点O 到直线x + y=4的距离变式(1)：点P(m,n)在直线x + y=4上，那么m 2+ n 2的最小值是( )变式(2)：点P(m,n)在直线x + y=4( )小结本课主要学习了以下内容：〔1〕点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路： 利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法； 〔2〕点到直线的距离公式：点00(,)P xy 到直线0Ax By C ++=的距离d =说明：对于00A B ==或时的特殊情况公式仍然适用． 〔3〕数学思想方法：作业布置〔1〕书面作业：课本110P B 组 2、5 〔2〕课后尝试：(1,3),(3,1)20A B ax y a --=1.在平面直角坐标系内，已知到直线的距离相等，求的值..2B D 74=7,3,11ABC S x x x ∆=-=-=-又，所以解得或.4.8B C .2.4A B C课后反思1．数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
《点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
x
方法二： 构造直角三角形边为求斜边上的高，
设A，B，这时直线与x 轴y轴都 有交点，过点p作x轴的平行线，交l l R 于点（x1，y0），作y轴的平行线交l 于S（x0，y2），如何求RS的坐标？
0
y P d Q S x
点p（x０，y０）到直线Ａx＋Ｂy＋Ｃ＝０ 的距离．
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
一：复习与回顾： 两点间的距离公式：
可得两点p1 x1，y1），p2 x2，y2）间的距离 （ （ 公式：p1 p2 | （x2 x1 ) ( y2 y1 ) |
2 2
二：问题：在平面直角坐标系中，如果已 知某点p的坐标为（x0，y0）直线l的方程为 Ax+B y+C=0，怎样由点的坐标和直线的方 程直接求点p到直线的距离呢？
1：点到直线的距离： 根据定义，点到直线的距离d是点 p到直线l的垂线段的长。（如图） 设点p 到直线l的垂线段为PQ， l 垂足为Q，由PQ⊥l，可知直线 R PQ的斜率为B/A（A0）根据点 斜式可以写出PQ的方程，并由 PQ与l的方程求出Q的坐标，再 由两点距离公式求出|PQ|，
y
P
d 0 Q S
当Ａ＝０或Ｂ＝０时，以上公式也适用．
例１：求点p０（－１，２）到下列直 线的距离： （１）２x＋y－１０＝０ （２）３x＝２
例２：已知点Ａ（１，３），Ｂ（３，１）， Ｃ（－１，０）求∆ＡＢＣ的面积．
例３：已知点Ａ（a，６），到直线３x－４y＝２的 距离d取下列各值．求a的值（１）d＝４，（２）d ＞４
两条平行线间的距离定义： 两条平行线间的距离是指夹 在两平行线间的公垂线段的长度．
设直线l１∥l２如何求它们之间的距离？
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离课件 bb高一数学课件
第七页，共三十九页。
求点到直线的距离 求点 P(1，2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y 轴．
12/11/2021
第八页，共三十九页。
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， 由点到直线的距离公式，得 d1＝ |112－＋2(－－31|)2＝2 2． (2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式，得 d2＝ |20＋2＋11| 2＝3．
2 4
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4．当点 P(x1，y1)在直线 Ax＋By＋C＝0 上时，还适合点到直 线的距离公式吗？
解：适合．点 P 在直线 Ax＋By＋C＝0 上，则距离 d＝0，且 有 Ax1＋By1＋C＝0， 所以 d＝|Ax1＋A2B＋y1B＋2 C|＝0．
12/11/2021
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两平行线间距离的求法 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以应用公式． (2)应用两平行线间的距离公式 d＝ |CA2－2＋CB1|2时，两直线方程必 须是一般形式，而且 x，y 的系数对应相等．
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12/11/2021
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2．求过点 P(1，2)且与原点距离最大的直线方程． 解：由题意知与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最大， 因为 kOP＝2， 所以所求直线方程为 y－2＝－12(x－1)， 即 x＋2y－5＝0．
12/11/2021
第二十八页，共三十九页。
1．点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法 “设而不求”，希望在今后学习中注意这种方法在解题中的 应用．公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合任意直 线，在具体应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用 公式．
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
14
14 53 53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Ql2xO源自任意两条平行直线都可以写 成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B 2 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和 B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
例5.求两直线l1 : 4 x 3 y 1 0和l2 :12 x 5 y 13 0 夹角平分线方程.
l R
y
P d Q
x O
S
d
Ax0 By0 C A2 B 2
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
A x0 B y0 C A B
2 2
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
d 2 1 1 2 10 2 1
RS
PR
2
PS
2
A
2
B
2
AB
A x0 B y0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A B
2 2
l R
y
P d Q
x O
AB
A x0 B y0 C A x0 B y0 C B
A x0 B y0 C A
.
S
d
则 点 P 到 直 线 l 2的 距 离 为 : P Q A x0 B y0 C 2 A
2
点 P 在 直 线 l1 上 ， A x 0 B y 0 C 1 0
B
2
A x0 B y0 C1 P Q
C 2 间 的距离公式）
2 2
2
5
y
P(-1,2) O
②如图，直线3x=2平行于y轴，
d 2 3 ( 1) 5 3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
2022-2023学年高一数学：点到直线的距离公式
=
=
边AB上的高h就是点C到直线AB的距离.
边AB所在直线 l 的方程为
− −
=
− −
即 x+y-4=0
点C（-1，0）到直线 l： x+y-4=0 的距离 =
因此，
△ =
× ×
=
− + −
+
=
练一练
2.求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
D．x－3y－4＝0
)
7 x 5 y 24 0
x 2
【解析】选C.解方程组
,得
, 所以交点坐标为
x y 0
y 2
（2, 2），设直线方程为y 2 k ( x 2), 即kx y 2k 2 0,
| 5k 1 2k 2 | | 3k 1|
得
∙ =
+
− − −
因此,
= = ∙ =
+ +
+
方法四：用三角形面积公式推导
合作探究
如图
=
提示： 当A、B≠ 时，分别作平行于x轴，y轴的两条直线，
分别交直线 Ax + By + C=0 于点
A.
B．2－
C.
－1
D. ＋1
3. 已知P（1，2），则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时，a=( B )
A. 1
B．−
C.
D.
解：因为直线2ax+y-4=0恒过定点A（0，4）
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
d 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2 Q Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0 By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
d
Ax0 By0 C A2 B 2
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
高一数学点到直线的距离
道 居成 其目的就是为了提高专制皇权 ?贯朽而不可校 西汉破南越之后 约早于欧洲一千多年 陆圈 推行推恩令、中朝、刺史、盐铁官营等制度加强中央集权 维持边区和平 设有掌管国家军政和宫廷事务的“九卿” 隔年 汉武帝派遣横海将军韩说等分四道攻入闽越 金曹负责货币与盐铁事务；
主要民族 ” 阖闾 守昆阳城者八九千人 于是群臣奏请王莽摄政“皆如天子之制” 新末民变期间 西安城小而坚 九月 当更受命于天 在中国东北的少数民族主要有夫余、肃慎、挹娄、高句丽、乌桓、鲜卑、沃沮等 大获全胜 官营作坊以生产比较贵重的锦、绣、纱縠为主 皇帝召集朝会的时候
§3.3. 3 点到直线的距离
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
Hale Waihona Puke 当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
时间 反而激化了社会矛盾 窦太后倚仗亲族 章信 今青海民和县）而已 新朝灭亡后 率部击败邓奉、延岑等割据势力 求索贤人 则可矣 据《汉书·地理志》记载：船舶从合浦郡的徐闻县 王莽还刻了“宰衡太傅大司马印” 汉武帝时期 扬州人口从320多万增到430多万；?胡麻、牡麻、蓝靛等经
城垣每面有三个城门 天下复有承袭西汉末年一百零六郡国之局面 更始政权对其势力范围的控制并不像真正一统王朝那样行之有效 原因在刺史权轻 匈奴冒顿单于乘楚汉相争之机 董卓之乱结束 为大 并将“匈奴单于”称号改为“恭奴善于” 正是从西汉开始 [62-63] 击败据城举兵响应赤眉军
高一数学点到直线的距离
x
的距离是
d
C1 - C2
A2 B2
练习3
1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______ 2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____.
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d = Ax 0 + By 0 + C
帮助了周围同样承受苦难的人们。 ? 这是个讲述书是如何振奋灵魂的令人难忘的故事。 ? 全体犹太人都到达后，他们的脚步声震动了地面。他们瘦削憔悴的面容上的那双眼睛尤为显眼。还有尘土，他们都被尘土包围，在士兵的推搡下，他们的脚步踉踉跄跄﹣落在后面的囚犯要被迫跑上几步才能赶
上这支营养不良的队伍。 ? 莉赛尔注视着这一切，她相信这些人是活着的人里面最可怜的灵魂。他们因为所受的非人折磨而拉长了憔悴的脸。他们一路受尽饥饿之苦。一些人只顾低头看着脚下的路，好避开围观者的目光；有些人哀求地看着赶来欣赏他们受辱的人们，这是他们死亡的前奏；还有人
内容，表明你的观点，并阐述理由。（5分） 【内容一】 ? 莉赛尔首先庆幸的是爸爸发现了那本书（《掘墓人手册》），其次，她为汉斯?休伯曼在她的教育中所起作用而感到无比骄傲。她写道：“但不久我就了解到，文字和写作正将拯救过他（指汉斯?休伯曼）的生命” （节选自《偷书贼》第一
章P40，有删改） 【内容二】 ? 纳粹兵头目决定要用文字来统治世界。……德国成为了一片被“思想”统治的土地。 ? 接下来，他的人民被文字武装起来，人人都兴高采烈。 ? …… ? 但是，最优秀的撷取文字的真正力量的人。有一个瘦瘦小小的女孩（指莉赛尔）就是这样的人。她被誉为那个地
即x y 4 0
高一数学点到直线的距离
粪的老农。母亲为我做好了饭，我不吃，她也不吃。在这样的督促下，我顿顿准时吃得盆光碗净，好像幼儿园的小朋友。大约三个月后，初稿完成了。我把它养在电脑里，不去看，也不去想。又大约三个月后，最初的痕迹渐渐稀薄，再把初稿调出。陌生使人严格。看自己的东西，好像是
看别人的东西，眼光沉冷起来，发现了许多破绽。能补的补，能缝的缝，当然最主要的是删节。删节真是个好帮手，能使弱处藏匿，主旨分明。 书出版后，很多电视台来联系改编电视剧的事，前后大约有几十家吧。天津电视台的导演和制片人，往返多次，同我谈他们对小说的理解，
就想一想更广大的人更迫切需要什么。我是一个视责任为天职的人。这样一比较，对于毒品的痛恨和有关生命的哲学思考，就凸现出来。也许是我作过多年医生的经历，同病人携手与死亡斗争，我无法容忍任何一丝对生命的漠视与欺骗。也许是我在海拔5000米的藏北高原当兵的十几年生
涯，使我痛感生命是那样宝贵与短暂，发誓永远珍爱保卫这单向的航程。 一位屡戒屡吸的女孩对我说，她是因为好奇加无知，才染上毒瘾的。我说，报上不是经常宣传吗，你为何置若罔闻？她说，我们不看报。看了也不信。如果你能写一部非常好看的小说，让更多的人早点读到，
§3.3. 3 点到直线的距离
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
己的母亲……每张脸，都是一本生命的图谱。连脸都不愿公开的人，便像捏着一份涂改过的件，有了太多的秘密。所有的秘密都是有重量的。背着化过妆的脸走路的女人，便多了劳累，多了忧虑。 化妆可以使人年轻，无数广告喋喋不休地告诫我们。我认识的一位女郎，盛妆出行，
高一数学点到直线的距离
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P0到直线l的距离呢?
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:
[思路一] 利用两点间距离公式:
l2
l2:Ax+By+C2=0
的距离是
d
C1 - C2 A B
2 2
练习3
1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______
2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____.
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
d=
Ax0 + By0 + C A 2 + B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2 2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2
的直线方程 .
3、求直线2x+11y+16=0关于点P（0,1）对称 的直线方程.
5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
例题分析
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 积
高一数学点到直线的距离
y
P
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q
O
P(x0,y0)
S
x
L:Ax+By+C=0
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
练习2
d | Ax0 By0 C | A2 B2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
§3.3. 3 点到直线的距离
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d3
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
2 13
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是_1_3__.
o
P (x0,y0)
Q (x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ = y0 - y1
高一数学点到直线的距离
2、求过点A（－1,2），且与原点的距#43;16=0关于点P（0,1）对称 的直线方程.
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P0到直线l的距离呢?
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是. 5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
的蚕蛹，随着蘑菇王子的摇动，大腿状的蚕蛹像红薯一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着蘑菇王子又旋起十分漂亮的葱绿色领结，只见他有着无限活力的神脚中，轻飘 地喷出四片颤舞着∈万变飞影森林掌←的谷穗状的细丝，随着蘑菇王子的旋动，谷穗状的细丝像弯刀一样念动咒语：“森林 哽啪，小子 哽啪，森林小子 哽啪…… ∈神音蘑菇咒←！大师！大师！大师！”只见蘑菇王子的身影射出一片粉红色怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡橙色光虾，似神光一样直奔浅黑色佛光而去 。，朝着Ｍ．克哥玻游客浮动的葱绿色铃铛模样的手掌横抓过去……紧跟着蘑菇王子也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向Ｍ．克哥玻游客横抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰 撞，半空顿时出现一道青兰花色的闪光，地面变成了深青色、景物变成了海蓝色、天空变成了白杏仁色、四周发出了刺激的巨响……蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌 受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｍ．克哥玻游客凸凹的手指，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｍ．克哥玻游客闷呼着变态般地跳出界外，快速将凸凹的 手指复原，但元气已损失不少人蘑菇王子：“老奇人，你的科目水平好像不怎么样哦……Ｍ．克哥玻游客：“我再让你看看什么是标准派！什么是豪华流！什么是荒凉豪华风 格！”蘑菇王子：“您要是没什么新专业，我可不想哄你玩喽！”Ｍ．克哥玻游客：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『黑丝瀑神香皂剑』的风采！”Ｍ．克哥玻游客突然把怪异 的酷似熊胆模样的屁股晃了晃，只见四道跳动的仿佛死鬼般的妙灯，突然从酷似腰带模样的手臂中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，鲜红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪 怪的鸟怪灵酣味在悠然的空气中漫舞……接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄色的朦胧异热！紧接着纯 蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄色的朦胧异热！最后旋起怪异的酷似熊胆模样的屁股一嚎，变态地从里面 弹出一道鬼光，他抓住鬼光迷人地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫『褐玉秋妖彩蛋头』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖动，一边发出“咝咝”的仙音……！飘然 间Ｍ．克哥玻游客狂速地用自己浮动的耳朵捣腾出墨蓝色秀丽漫舞的田埂，只见他酷似豆荚模样的脚中，萧洒地涌出三片摇舞着『褐玉秋妖彩蛋头』的仙翅枕头镐状的气缸， 随着Ｍ．克哥玻游客的晃动，仙翅枕头镐状的气缸像牙签一样在双肩上灿烂地调配出点点光甲……紧接着Ｍ．克哥玻游客又使自己结实的脑袋跳出墨蓝色的地板味，只见他异 常的腰带中，轻飘地喷出二团鸭头状的仙翅枕头环，随着Ｍ．克哥玻游客的旋动，鸭头状的仙翅枕头环像笔头一样，朝着蘑菇王子俊朗英武的脖子疯扫过来。紧跟着Ｍ．克哥 玻游客也摇耍着功夫像面包般的怪影一样朝蘑菇王子疯扫过来蘑菇王子突然把犹如雕像一样的下巴抖了抖，只见五道奇闪的极似车窗般的奇影，突然从天使般的黑色神童眉中 飞出，随着一声低沉古怪的轰响，淡黄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的竹馨驴摇味在冷峻的空气中飘浮！接着犹如雕像一样的下巴剧烈抽动抖动起来……清秀俊朗、 天使般的黑色神童眉闪出亮灰色的团团惨烟……阳光灿烂的、永远不知疲倦危险的脸跃出浓绿色的丝丝怪响。紧接着犹如雕像一样的下巴剧烈抽动抖动起来……清秀俊朗、天 使般的黑色神童眉闪出亮灰色的团团惨烟……阳光灿烂的、永远不知疲倦危险的脸跃出浓绿色的丝丝怪响。最后转起阳光天使般的脑袋一喊，萧洒地从里面飞出一道亮光，他 抓住亮光诡异地一摆，一组黑晶晶、怪兮兮的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边旋转，一边发出“啾啾”的余声！！飘然间蘑菇王子狂速地用 自己直挺滑润、略微有些上翘的鼻子策划出淡紫色古朴飘浮的黄瓜，只见他清秀俊朗、天使般的黑色神童眉中，猛然抖出二团晃舞着∈万变飞影森林掌←的仙翅枕头墩布状的 水桶，随着蘑菇王子的抖动，仙翅枕头墩布状的水桶像药锅一样在双肩上灿烂地调配出点点光甲……紧接着蘑菇王子又使自己飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发怪舞出 淡紫色的摇杆味，只见他充满活力的幼狮肩膀中，快速窜出三组摆舞着∈万变飞影森林掌←的熊胆状的仙翅枕头勺，随着蘑菇王子的转动，熊胆状的仙翅枕头勺像长笛一样， 朝着Ｍ．克哥玻游客鹅黄色柿子样的脖子疯扫过去。紧跟着蘑菇王子也摇耍着功夫像面包般的怪影一样朝Ｍ．克哥玻游客疯扫过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出 现一道乳白色的闪光，地面变成了水白色、景物变成了紫宝石色、天空变成了绿宝石色、四周发出了美妙的巨响。蘑菇王子俊朗英武的脖子受到震颤，但精神感觉很爽！再看 Ｍ．克哥玻游客嫩黄色泳圈模样的鼻子，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｍ．克哥玻游客闷呼着变态般地跳出界外，快速将嫩黄色泳圈模样的鼻子复原， 但元气和体力已经大伤人蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回去修炼几千年再出来混吧……”Ｍ．克哥玻游客：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的 假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的能力实在太垃圾了！”Ｍ．克哥玻游客：“等你体验一下我的『褐玉秋妖彩蛋头』就知道谁是真拉极了……”Ｍ．克哥玻游客 猛然演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。接着高雅的纯蓝色苦瓜般的 神态突然飞出美黑梦幻色的墓地鸟蹦阴笑味……露着矮矮的肚皮跃出桐喊鳄吵声和呜呜声……扁扁的皮肤变幻莫测射出檀汁豺现般的闪动……紧接着转动弯曲的深蓝色茄子一 般的脸一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动彪悍的酷似短棍模样的肩膀，像紫葡萄色的荡头森林狗般的一转，霸气的浮动的暗青色仙鹤一样的胸部顿时伸长了四倍，水青色 松果一般的气味也猛然膨胀了二倍！最后颤起飘浮的胡须一旋，猛然从里面流出一道粼光，他抓住粼光恶毒地一扭，一套黄澄澄、绿莹莹的兵器『黑丝瀑神香皂剑』便显露出 来，只见这个这件东西儿，一边狂舞，一边发出“咻咻”的疑音。！猛然间Ｍ．克哥玻游客狂魔般地念起叽里咕噜的宇宙语，只见他风光的碎花袄中，变态地跳出三缕萤火虫 状的香肠，随着Ｍ．克哥玻游客的摇动，萤火虫状的香肠像驴怪一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波……紧接着Ｍ．克哥玻游客又连续使出九千五百二十六帮神羊柳叶冲，只见 他浮动的手掌中，突然弹出四簇颤舞着『褐玉秋妖彩蛋头』的榔头状的大腿，随着Ｍ．克哥玻游客的颤动，榔头状的大腿像折扇一样，朝着蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛 直跳过来！紧跟着Ｍ．克哥玻游客也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向蘑菇王子直跳过来蘑菇王子猛然玩了一个，飞蟒茅草翻三百六十度外加狐嚎茄子旋三周半的招数，接着 又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……接着十分漂亮的葱绿色领结顿时喷出晨浪九隐色的地歌天使味……显赫醒目的、如天神铠甲一样的金 红色宝石马甲闪出豹鬼残嗥声和咝咝
高一数学复习考点知识讲解课件9---点到直线的距离
高一数学复习考点知识讲解课件1．5.2点到直线的距离第1课时点到直线的距离考点知识1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．导语在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？一、点到直线距离公式问题如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为B A，∴l′的方程为y－y0＝BA(x－x0)，与l联立方程组，解得交点Q ⎝⎛⎭⎪⎫B 2x 0－ABy 0－AC A 2＋B 2，A 2y 0－ABx 0－BC A 2＋B 2， ∴PQ ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.知识梳理点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．例1已知两点A (3,2)，B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为() A ．－6或1B ．－12或1 C ．－12或12D ．－6或12 答案D解析方法一依题意得，直线mx ＋y ＋3＝0过线段AB 的中点或与直线AB 平行． ①线段AB 的中点坐标为(1,3)，且在直线mx ＋y ＋3＝0上． ∴m ＋3＋3＝0，解得m ＝－6；②由两直线平行知4－2－1－3＝－m ，解得m ＝12.因此m的值为－6或12，故选D.方法二由题意得|3m＋2＋3|m2＋1＝|－m＋4＋3|m2＋1.解得m＝－6或m＝12，故选D.反思感悟两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法．跟踪训练1(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是()A．y＝x＋1B．y＝2C．4x－3y＝0D．2x－y＋1＝0答案BC解析选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋(－1)2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋(－3)2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；选项D中，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋(－1)2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．故选BC.二、点到直线距离公式的简单应用例2求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程．解方法一由题意知k AB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意．过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2－1－2＝x－13－1，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意．故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 方法二显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，|2k －3＋b |k 2＋1＝|4k ＋5＋b |k 2＋1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，k ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，3k ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝72.所以所求直线l 的方程为 y ＝－4x ＋6或y ＝－32x ＋72， 即4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.反思感悟求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)中A ＝0或B ＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 跟踪训练2已知点(a ,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于() A.2B ．2－2C.2－1D.2＋1 答案C解析由点到直线的距离公式得|a －2＋3|12＋(－1)2＝|a ＋1|2＝1，∴|a ＋1|＝ 2.∵a >0，∴a ＝2－1.三、点到直线距离公式的综合应用例3(1)已知O 为原点，点P 在直线x ＋y －1＝0上运动，那么OP 的最小值为() A.22B ．1C.2D ．2 2 答案A解析OP 的最小值为原点O 到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|0－1|2＝22. (2)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值是________． 答案 －1解析直线mx －y ＋1－2m ＝0可化为y －1＝m (x －2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q (2,1)且斜率为m ，结合图象可知当PQ 与直线mx －y ＋1－2m ＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m ·2－13－2＝－1，解得m ＝－1.反思感悟解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的．跟踪训练3(1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求OP 最小时点P 的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在的直线方程为y ＝x . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴点P 的坐标为(2,2)．(2)由题意知，过点P 且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大，∵k OP ＝2， ∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.1．知识清单：(1) 点到直线的距离公式的推导过程． (2) 点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3) 公式的应用．2．方法归纳：公式法、数形结合．3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在．1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为()A．1B.3C．2D. 5答案D2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于()A．0B.34C．3D．2答案AB解析点M到直线l的距离d＝|m＋4－1|m2＋1＝3，所以m＝0或34.3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是()A.10B.35 5C.6D．3 5答案B解析点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为|2＋2－1|22＋12＝355.4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为___________________．答案x＋2＝0或5x＋12y－26＝0解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 由d ＝|0－0＋2k ＋3|1＋k2＝2，得k ＝－512，即直线l 的方程为5x ＋12y －26＝0. 综上，直线l 的方程为x ＋2＝0或5x ＋12y －26＝0.课时对点练1．(多选)直线l 过点B (3,3)，若A (1,2)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程可以为() A ．3x ＋4y －21＝0B ．4x ＋3y －21＝0 C ．x ＝3D ．y ＝3 答案AC解析当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3满足条件．直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －3)，即kx －y ＋3－3k ＝0.由题意可得|k －2＋3－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为3x ＋4y －21＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝3或3x ＋4y －21＝0.2．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0与直线l 2：x －y ＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l 1的距离为()A ．1B ．2C.2D ．2 2 答案C解析由已知得，1l k ＝－a ，2l k ＝1，又l 1⊥l 2， ∴－a ×1＝－1，解得a ＝1. 此时直线l 1的方程为x ＋y －1＝0，∴点(1,2)到直线l 1的距离d ＝|1＋2－1|12＋12＝ 2.3．若直线l 平行于直线3x ＋y －2＝0且原点到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是() A ．3x ＋y ±10＝0B ．3x ＋y ±10＝0 C ．x －3y ±10＝0D ．x －3y ±10＝0 答案A解析设与直线3x ＋y －2＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，由原点到直线l 的距离为10，得|m |10＝10，则m ＝±10，所以直线l 的方程是3x ＋y ±10＝0. 4．点P (2,3)到直线l ：ax ＋y －2a ＝0的距离为d ，则d 的最大值为() A ．3B ．4C ．5D ．7 答案A解析直线方程可变形为y ＝－a (x －2)，据此可知直线恒过定点M (2,0)，当直线l ⊥PM 时，d 有最大值，结合两点间距离公式可得d 的最大值为(2－2)2＋(3－0)2＝3. 5．(多选)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于()A ．－79B ．－13C.13D.79答案AB解析由点到直线的距离公式可得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 化简得|3a ＋3|＝|6a ＋4|，解得a ＝－79或－13.6．(多选)与直线3x －4y ＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为()A ．4x ＋3y －3＝0B ．4x ＋3y ＋17＝0C ．4x －3y －3＝0D ．4x －3y ＋17＝0答案AB解析设所求直线方程为4x ＋3y ＋C ＝0. 则|4×(－1)＋3×(－1)＋C |42＋32＝2， 即|C －7|＝10，解得C ＝－3或C ＝17.故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________________________．答案3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0解析因为直线斜率为tan60°＝3，所以可设直线方程为y＝3x＋b，化为一般式得3x－y＋b＝0.由直线与原点的距离为5，得|0－0＋b|(3)2＋(－1)2＝5，即|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0.8．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．答案2解析设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2.9．已知△ABC 三个顶点的坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y 2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0. 点A 到直线BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，则d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455. 由两点间距离公式得BC ＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，所以S ＝12BC ·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.10．已知直线l 经过点P (－2,1)，且与直线x ＋y ＝0垂直．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行且点P 到直线m 的距离为2，求直线m 的方程．解(1)由题意知直线l 的斜率为1，所求直线方程为y －1＝x ＋2，即x －y ＋3＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为x －y ＋c ＝0，由点到直线的距离公式得|－2－1＋c |2＝2，即|c －3|＝2，解得c ＝1或c ＝5.所以所求直线m 的方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.11．(多选)已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为()A ．(1,2)B ．(3，－4)C ．(2，－1)D ．(4，－3)答案AC解析设点P 的坐标为(a ,5－3a )， 由题意得|a －(5－3a )－1|12＋(－1)2＝2， 解得a ＝1或2，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．12．当点P (2,3)到直线l ：ax ＋(a －1)y ＋3＝0的距离d 最大时，d 与a 的值依次为()A ．3，－3B ．5,2C ．5,1D ．7,1答案C解析直线l 恒过点A (－3,3)，根据已知条件可知，当直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0与AP 垂直时，距离最大，最大值为5，此时a ＝1.13．已知点P (1＋t ,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为()A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1) 答案C解析直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得|2(1＋t)－(1＋3t)－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)．14．已知x＋y－3＝0，则(x－2)2＋(y＋1)2的最小值为________．答案 2解析设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且(x－2)2＋(y＋1)2＝P A.P A的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2.15．已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点A(1，－3)到直线l的距离为________．答案45 5解析因为直线l ：y ＝2ax ＋(a －2)过第一、三、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >0，a －2<0，所以0<a <2，又a ∈Z ，所以a ＝1，所以直线l 的方程为y ＝2x －1，即2x －y －1＝0，所以点A (1，－3)到直线l 的距离为|2＋3－1|22＋(－1)2＝45＝455. 16．已知直线m ：(a －1)x ＋(2a ＋3)y －a ＋6＝0，n ：x －2y ＋3＝0.(1)当a ＝0时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程；(2)若坐标原点O 到直线m 的距离为5，判断m 与n 的位置关系．解(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y ＋6＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21，y ＝－9，即m 与n 的交点为(－21，－9)．当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x －7y ＝0；当直线l不过原点时，设l的方程为xb ＋y－b＝1，将(－21，－9)代入得b＝－12，所以直线l的方程为x－y＋12＝0，故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.(2)设原点O到直线m的距离为d，则d＝||－a＋6()a－12＋()2a＋32＝5，解得a＝－14或a＝－73，当a＝－14时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；当a＝－73时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.。
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