2018-2019年浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题6.2 等差数列及其前n项和(测)及答案

第02节 等差数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为2n ，若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=，24272n a a a ++⋅⋅⋅+=，且1233n a a -=，则该数列的公差是（ ） A.3 B.-3 C.-2 D.-1 【答案】B.2．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a ⋅= （ ）A.10B.20C.40D.22log 5+ 【答案】B【解析】因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B.3．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=，所以数列{}n a 前21 项的和为1212121()212a a S +==，故答案为B ． 4．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第一次月考】数列{}n a 是首项11a =，对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =（ ） A. 121 B. 25C. 31D. 35 【答案】D【解析】令1m =,有13n n a a +=+,{}n a ∴等差，首项为1，公差为3，()13132n a n n ∴=+-=-,()535533235S a ∴==⨯-=. 5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则=-nnn S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 31【答案】D6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）A. 3B.4C.5D.6 【答案】B【解析】依题意，83S S =可知d a d a 2883311+=+，即d a 51-=，由k S S =7得d k k ka d a 2)1(2)17(7711-+=-⨯+，将d a 51-=代入化简得028112=+-k k ， 解得4=k 或7-=k （舍去），选B.7．【2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知等差数列{}n a 中， 1311,1a a ==-，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值是（ ） A. 15 B. 20 C. 26 D. 30 【答案】C 【解析】51351a a d -==-- ，所以通项公式()11314n a a n d n =+-=-+，当101430{{01130n n a n a n +≥-≥⇒≤-≤ ，解得111433n ≤≤ 即4n = ，即前4项和最大， ()4434113262S ⨯=⨯+⨯-=，故选C.8．【2018届广东省珠海市高三摸底考试】对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： 3331373152{ 3{9 4{ (517)1119，，，.仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( )A. 44B. 45C. 46D. 47 【答案】C9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2n a n =，则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-()2516n =--+，因此，当5n =时，n S 取最大值16，故选B.10．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15 B ．12-C ．32-D ．32【答案】B【解析】由已知得，597214a a a +==，故77a =，又19959()9902a a S a +===，故510a =，则7532a a d -=-=，32d =-，故125217102a a d =+=-12=-． 11．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 【答案】D ．12.【2017届四川省成都市第七中学高三6月1日热身】已知等差数列{}n a 中，254,7,,a a m n N +==∈，满足1231m m mm mn n a a a a a +++++=，则n 等于（ ）A. 1 和2B. 2和3C. 3和4D. 2和4 【答案】B【解析】由题意得公差()741,421252n d a n n -===+-⋅=+- ,即()()3423m mm m n n ++⋯++=+ ,代入验证得当23{{23m m n n ====或 时成立,选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2016江苏8】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则948320a =-+⨯=．14.【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】等差数列{}n a 满足113n n n a a a n -+++=()2n ≥，函数()2x f x =， ()2log n n b f a =，则数列{}n b 的前项和为________【答案】()12n n +15．【2018届江苏省南京市高三上期初调研】记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为__________． 【答案】6 【解析】{}n a 是等差数列， ()()()2112212110211102m m m a a S m m a m -+∴=⨯-=-=-=，可得6m =16．【2017届四川省广元市高三第三次统考】若数列是正项数列，且，则等于____________.A. B.C.D.【答案】【解析】当1n =时，124a =⇒=，当2n ≥时，()()22......11n n n n +=-+-=- ②，题设为①，①-2n =，即24n a n = ，那么244n a n n n n == ，所以()22144 (2222)n n n a a a n n n ++++==+. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【2018届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】已知{}n a 为等差数列，13248,12a a a a +=+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值. 【答案】(1) 2n a n =；（2）6k =.【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，得到等差数列的通项公式；（2）直接由a 1，a k ，S k+2成等比数列列式求得k 值． 试题解析：(1) 11228{2412a d a d +=+= 解得： 12,2a d ==，所以2n a n =.（2）212k k a a S +=， 2560k k --=， 1k =-（舍去），6k =. 18.【2018届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上第一次月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1*n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) 23n a n =+ (2) 222352,4128n n n nb n n T n n +=+=++试题解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ， 66515a s s =-=，所以6151515{ 51045a a d S a d =+==+=，解得15,2,23n a d a n ===+。

（2）()()()1122111213n n n n n n nb b b b b b b b a a a -----=-+-+-+=++++= 22n n +所以()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 22111135122124128n n n T n n n n +⎛⎫=+--= ⎪++++⎝⎭ 19．【2018届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31379,,,S a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足()12n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()1*n a n n N =+∈；（2）()11?22n n T n +=-+.（2）由数列{}n a 的公差不为0，可得2n n b n =⋅，则由错位相减法可求数列{}n b 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题得， 2317a a a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()211126a d a a d +=+，化简，得112d a =或0d =. 当112d a =时， 1111231939222S a a a ⨯=+⨯==，得12,1a d ==， ∴()()11211n a a n d n n =+-=+-=+， 即()1*n a n n N =+∈；当0d =时，由39S =，得13a =，即3n a =； （2）由题意可知， ·2n n b n =， ∴2121222?2n n n T b b b n =++=⨯+⨯++，①()231212221?2?2n n n T n n +=⨯+⨯++-+，②①-②，得31212(1)222222n n n n n n T ++-⋅=---=++++-，∴1(1)22n n T n +=-⋅+.20．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11•n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n a n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n -；（2）()143149n n ++-⋅.试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-（2）由（1）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以()23141424......144,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅()1141413444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯-- 所以()1143143144.999n n n n n T +++-⋅-=⨯+=21．【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三第二次月考】(1)在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列的通项公式是，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得，从而，进而求出，根据二次函数的性质可得当或时，取得最大值；（2）由已知得是首项为，公差为的等差数列，从而数列的前项和，由，得，从而时，时，，由此能求出数列的前项和.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，∴当n＝12或13时，Sn 取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋＝130.(2)∵an ＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令 ,由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则22．【2017届福建省高三4月单科质量检测】某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.（1）求第n 年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）【答案】（1）111000,16{220,7n n n a n -⎛⎫⨯≤≤ ⎪=⎝⎭≥， 8040,16{440,7n n n b n -≤≤=≥；（2）第8年. 【解析】试题解析：所以， 111000,80402n n n a b n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，令20n a <，得1250n ->，解得7n ≥，所以， 111000,16{220,7n n n a n -⎛⎫⨯≤≤ ⎪=⎝⎭≥， 8040,16{440,7n n n b n -≤≤=≥. （2）由（1）可知当16n ≤≤时，总利润()211000124080401200040200012212n nn n n S n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤+-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=⨯+- ⎪⎝⎭-， 所以， 1120008040,22nn n S S n n -⎛⎫-=-⨯+-≥ ⎪⎝⎭，因为()1200080402xf x x ⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭为增函数， ()()30,40f f ，所以，当23n ≤≤时， 1n n S S ->；当46n ≤≤时， 1n n S S -<， 又因为160,528.750S S <=-<， 所以，当16n ≤≤时， 0n S <，即前6年未盈利， 当7n ≥时， ()()()()67788528.754206n n n S S b a b a b a n =+-+-++-=-+-， 令0n S >，得8n ≥.综上，预计该公司从第8年起开始盈利.。