高中数学最新学案第2章第4课时数列的概念及其通项公式(4)(教师版)新人教A版必修5

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人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第四章数列第1课时数列的概念与简单表示

函数类似,即数列的事实—数列概念的定义、表示—性质—等差数列与等
比数列,也特别注重函数思想和方法的应用,在此过程中,进一步提升学生
的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养.
本学习单元的内容是整个大单元的基础.在研究数列产生的现实背景、
数学本质和价值的基础上,帮助学生初步认识数列;学习数列的一般概念,
减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则
看项的个数是有限个还是无限个.
探究点二
根据数列的前几项求通项公式
问题3类比函数的表示,思考数列的表示方式有哪些?
问题4类比函数的表示,数列的通项公式与函数的哪种表示方式最相似?
问题5如何猜想归纳数列的通项公式?如何发现数列中蕴含的特征?
用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差,再变
形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值
与1的大小关系.
角度2.利用数列单调性求数列最大(小)项
问题8类比函数单调性性质的研究,数列单调性有哪些性质?如何利用这些
性质运算?
【例5】已知数列{an}的通项公式an=(n+1)
10
11

(n∈N*),试问数列{an}有
没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
分析数列{an}的通项公式
计算 an+1-an
求解最大项
解设ak(k>1)是数列{an}的最大项,
( + 1)
≥ -1 ,
则
即
≥ +1 ,
( + 1)
10
11
10
解这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项

新教材高中数学第四章数列1第2课时数列的通项公式与递推公式学案新人教A版选择性必修2(含答案)

新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：第2课时数列的通项公式与递推公式新课程标准学业水平要求1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2．了解数列是一种特殊函数．1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．(逻辑推理)2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.什么是数列的递推公式？2．什么是数列的前n 项和？1.递推公式(1)概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．(2)作用：递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．(1)数列1，2，4，8，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1有什么关系？ (2)所有的数列都有递推公式吗？提示：(1)a n ＋1＝2a n ；(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式，如 2 精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． 2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：a n ＝2n.②递推公式法： 1n 1n a 2a a 2n N*.⎧⎨∈⎩＋＝，＝＋，③列表法：n 1 2 3 … k … a n246…2k…④图象法：3．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n 与它的前一项a n －1(或前几项)之间的关系表示a n 与n 之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．仅由数列{a n }的关系式a n ＝a n －1＋2(n≥2，n∈N *)就能确定这个数列吗？提示：不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 4．数列的前n 项和的概念数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .如何用S n 和S n －1的表达式表示a n?提示：a n＝1n n n 1S ,n 1,a S S ,n 2.=⎧=⎨≥⎩－－1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)递推公式是表示数列的一种方法．( √ )(2)根据递推公式可以求出数列已知项以外的任意一项．( √ )(3)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( √ ) 提示：(1)递推公式也是给出数列的一种重要方法．(2)只需将已知的项代入递推公式即可逐个求得数列的其他项． (3)由前n 项和的定义可知正确．2．符合递推关系式a n ＝ 2 a n －1(n≥2)的数列是( ) A ．1，2，3，4，…B ．1， 2 ，2，2 2 ，… C. 2 ，2， 2 ，2，…D ．0， 2 ，2，2 2 ，…【解析】选B.B 中从第二项起，后一项是前一项的 2 倍，符合递推公式a n ＝ 2 a n －1. 3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A.－3B ．－11C ．－5D ．19【解析】选D.由a n ＋1＝a n ＋2－a n ，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12， a 5＝a 3＋a 4＝19.4．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 (n≥2)，则a 5＝________．【解析】由a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 ，得a 2＝2，a 3＝32 ，a 4＝53 ，a 5＝85 .答案：855．已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为________．【解析】由已知a 4＝S 4－S 3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 答案：8关键能力·合作学习类型一由递推公式求数列的项(数学运算)1．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116 B ．117 C ．110 D ．125 【解析】选C.a 2＝a 13a 1＋1 ＝13＋1 ＝14 ，a 3＝a 23a 2＋1 ＝1434＋1 ＝17，a 4＝a 33a 3＋1 ＝1737＋1 ＝110.2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B ．2516 C ．6116 D ．3115 【解析】选C.由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222 ＝94 ，a 5＝5242 ＝2516 .故a 3＋a 5＝6116.3．已知数列{a n}满足n n n 1n n 12a 0a 2a 12a 1a 12⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩＋，，＝－，，若a 1＝67 ，则a 2 021＝________．【解析】计算得a 2＝2a 1－1＝57 ，a 3＝2a 2－1＝37 ，a 4＝2a 3＝67 .故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 021＝673×3＋2，所以a 2 021＝a 2＝57 .答案：57由递推公式求数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1 －a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项．【解析】由a 2n ＋1 －a n a n ＋2＝(－1)n ，得a n ＋2＝a 2n ＋1 －（－1）na n，又因为a 1＝1，a 2＝3，所以a 3＝a 22 －（－1）1a 1 ＝32＋11 ＝10，a 4＝a 23 －（－1）2a 2 ＝102－13＝33，a 5＝a 24 －（－1）3a 3 ＝332＋110＝109.所以数列{a n }的前5项为1，3，10，33，109.Ｋ类型二由递推公式求通项公式(逻辑推理) 角度1 累差法【典例】已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n∈N *，求通项公式a n .【思路导引】先将a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．【解析】因为a n ＋1－a n ＝1n （n ＋1），所以a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3 ；a 4－a 3＝13×4 ；…；a n －a n －1＝1（n －1）n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2 ＋12×3 ＋…＋1（n －1）n＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋1n －1 －1n ＝1－1n .所以a n ＋1＝1－1n ，所以a n ＝－1n(n≥2).又因为n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，所以a n ＝－1n(n∈N *).将条件变为“a 1＝12 ，a n a n －1＝a n －1－a n (n≥2)”求数列{a n }的通项公式．【解析】因为a n a n －1＝a n －1－a n ，所以1a n －1a n －1＝1.所以1a n ＝1a 1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋ ()n 11111-++⋯+个＝n ＋1.所以1a n＝n ＋1(n≥2)，又a 1＝12 也适合上式，所以a n ＝1n ＋1 .角度2 累乘法【典例】设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)，求通项公式a n .【思路导引】先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)变形为a n a n －1 ＝n －1n ，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．【解析】因为a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)，所以a n a n －1 ＝n －1n ，a n ＝a n a n －1 ×a n －1a n －2 ×a n －2a n －3 ×…×a 3a 2 ×a 2a 1 ×a 1＝n －1n ×n －2n －1 ×n －3n －2×…×23 ×12 ×1＝1n.又因为n ＝1时，a 1＝1，符合上式，所以a n ＝1n(n∈N *).由递推公式求通项公式的方法1．累差法：形如a n ＋1－a n ＝f(n)的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n≥2，n∈N *)求通项公式；2．累乘法：形如a n ＋1a n ＝f(n)的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1 ·a 3a 2 ·…·a n a n －1 ＝a n (n≥2，n∈N *)求通项公式．1．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n≥2，n∈N *)，则数列的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)【解析】选C.因为a n ＝a n －1＋3，所以a n －a n －1＝3. 所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝3，以上各式两边分别相加，得a n －a 1＝3(n －1)，所以a n ＝a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)＝3n －2.当n ＝1时，也适合上式．2．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________．【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，即a n a n －1 ＝n ＋1n －1 ，则a 100＝a 1·a 2a 1 ·a 3a 2 ·…·a 100a 99＝1×31 ×42 ×…×10199 ＝5 050.答案：5 050类型三由a n 与S n 的关系求通项公式(逻辑推理)【典例】已知数列{}a n 满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n()a n ＋a n ＋1 ，求数列{}b n 的前2 020项和S 2 020.四步内容理解题意条件：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *结论：数列{}a n 的通项公式思路探求(1)将n 换为n －1得另一个式子，两式相减即可求出；(2)直接求和．书写表达(1)由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *，可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)2，所以na n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1，即a n ＝2－1n()n≥2，n∈N *，当n ＝1时，a 1＝1也满足，所以a n ＝2－1n ()n∈N *.(2)S 2 020＝b 1＋b 2＋…＋b 2 020＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－11＋2－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＋2－13 ＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 019＋2－12 020 ＋ ⎝⎛⎭⎪⎫2－12 020＋2－12 021 ＝1－12 021 ＝2 0202 021 .题后反思解决a n和S n关系问题，常常利用a n＝1n n 1S ,n 1S S ,n 2=⎧⎨≥⎩－－解决．由a n 与S n 的关系求通项公式的方法1．对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n＝1n n 1S n 1S S n 2.⎧⎨≥⎩－，＝，－，这一关系对任何数列都适用．2．若在由a n ＝S n －S n －1(n≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n≥2)所得通项公式也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示；若在由a n ＝S n －S n －1(n≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n≥2)所得通项公式不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．(1)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1(2)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－3n －1，则a n ＝________．【解析】(1)选D.当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＝1，当n≥2时，由a n ＝S n －S n －1得a n ＝n 2－()n －1 2＝2n －1，验证当n ＝1时，a 1＝2×1－1＝1满足上式．故数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－3－1＝－3，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－3n －1－[(n －1)2－3(n －1)－1]＝2n －4，当n ＝1时，2－4＝－2≠a 1，所以a n＝3n 1,2n 4n 2.=⎧⎨≥⎩－，－，答案：3n 1,2n 4n 2=⎧⎨≥⎩－，－，备选类型数列的周期性(直观想象、逻辑推理)【典例】已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n∈N *，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 020项？【思路导引】由递推公式求数列中的指定项时，如果项数比较大，则该数列通常具有周期性，即数列的项会有周期性的变化．【解析】a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6. 证明如下：因为a n ＋2＝a n ＋1－a n ，所以a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . 所以a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . 所以数列{a n }是周期数列，且T ＝6. 所以a 2 020＝a 336×6＋4＝a 4＝－1.递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律．已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A ．x 100＝－a ，S 100＝2b －aB ．x 100＝－b ，S 100＝2b －a C.x 100＝－b ，S 100＝b －aD ．x 100＝－a ，S 100＝b －a【解析】选A.x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，所以{x n }是周期数列，周期为6，所以x 100＝x 4＝－a ，因为x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，所以S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a.课堂检测·素养达标1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12 a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B ．12C ．34D ．58【解析】选B.由a 1＝1，所以a 2＝12 a 1＋12 ＝1，依此类推a 4＝12 .2．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S n ＝1n ，n∈N *，则a 2＝( )A ．－12B ．－16C ．16D ．12【解析】选A.因为S n ＝1n ，所以a 1＝S 1＝11 ＝1，因为S 2＝a 1＋a 2＝12 ，所以a 2＝12 －1＝－12.3．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34 (n∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝( )A ．13B ．14C ．15D ．16【解析】选A.由a n ＋1＝4a n ＋34 ⇒a n ＋1－a n ＝34 ，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34×16＝13.4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝－1a n －1(n≥2，n∈N *)，则a 2 020＝________．【解析】因为a 2＝－1a 1 ＝－12 ，a 3＝－1a 2 ＝2，a 4＝－12 ＝a 2，所以{a n }的周期为2，所以a 2 020＝a 2＝－12 .答案：－12。

高中数学第二章《数列》全章教案新人教版必修

2.1 数列的概念与简单表示法（第 1 课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ . 课题导入三角形数： 1， 3， 6， 10，⋯正方形数： 1， 4， 9， 16， 25，⋯Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，⋯，第n 项，⋯ .例如，上述例子均是数列，其中①中，“ 4”是这个数列的第 1 项（或首项），“ 9”是这个数列中的第6项 .⒊数列的一般形式： a1 , a2 , a3 , , a n ,，或简记为 a n，其中 a n是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“1”是这个数列3的第“ 3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项111112345↓↓↓↓↓序号 1 2 3 45这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：a n 1来表示其对应关系n即：只要依次用 1， 2， 3⋯代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋数列的通项公式：如果数列a n的第n项 a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0 ， 1， 0， 1， 0，⋯它的通项公式可以是a n 1 ( 1)n 1，也可以是 a n| cosn 1| .22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项 .数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5. 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N * （或它的有限子集 {1 ， 2，3，⋯， n} ）为定义域的函数a nf n( ) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

2019_2020版高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式课件新人教A版必修

2.4 等比数列
第1课时等比数列的概念及通项公式
课标阐释 1.理解等比数列的概念,理解等比中项的概念. 2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题. 3.掌握等比数列的判断与证明方法.
思维脉络
等比数列的概等比数列的概念
念及通项公式等比中项等比数列的通项公式
一二三
一、等比数列
23;(4)不是等比数列;(5)是等比数列,公比为-4.
一二三
二、等比中项
【问题思考】
1.能否在如下的两个数之间,插入一个数,使这三个数构成等比数列?
(1)2,
,8;(2)-10,
,-10;(3)9,
,-1.
提示(1)能,插入的数是4或-4;(2)能,插入的数是10或-10;(3)不能.
2.填空: 等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b 的等比中项,这三个数满足关系式ab=G2.
(1)证明由 an=23an-1+1,得 an-3=23(an-1-3).因为 bn=an-3,所以
bn-1=an-1-3, 因此 bn=23bn-1,故数列{bn}是公比为23的等比数列.
(2)解
由(1)知,b1=a1-3=5-3=2,所以
bn=2·
2 3
��
-1
,即
an-3=2· 23
an=3n-1; (2)a1=1,a2=3a1,a3=3a2=a1·32,…,an=a1·3n-1.
2.填空: 等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1.
3.做一做:
已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=-2,则an= ( )

高中数学最新学案第2章第2课时数列的概念及其通项公式(2)(教师版)新人教A版必修5

听课随笔第2课时数列的概念及其通项公式【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3．了解地推数列的概念；【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为 {}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

4．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<； (iii) 摆动数列 l N *∈任意k ,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >．5．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式．【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）;515;414,313;2122222---- 544,433,322,211)2(（3）9，99，999，9999【解】(1)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是： 2(1)11n n a n +-=+；(2) 这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和, 所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++(3) 这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000.所以它的一个通项公式是：101nn a =-【例2】已知数列｛a n ｝的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式. 【解】由a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1－2a n 得a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×1＝7 a 4＝3 a 3－2a 2＝3×7－2×3＝15 a 5＝3a 4－2a 3＝3×5－2×7＝31……a n ＝2n －1. 【例3】设12n n S a a a =+++，其中n S 为数列的前n 项和，已知数列{}n a 的前n 项和251n S n =+，求该数列的通项公式。

高中数学第二章数列2.4等比数列第一课时等比数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

所以 Sn 1 =2 Sn . S1 = a1 =1,故{ Sn }是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列.
n1 n 1 1
n
(2)Sn+1=4an.
证明:(2)由(1)知 Sn1 =4· Sn1 (n≥2), n 1 n 1
于是 Sn+1=4(n+1)· Sn1 =4an(n≥2). n 1
同号非零两数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数.
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=
a1qn-1
(n∈N*,q≠0).
4.等比数列通项公式的推导方法一(归纳法):由等比数列的定义可知 a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,…,归纳得 an=a1qn-1. 当 n=1 时,上面的等式两边均为 a1,所以等式也成立.因此当 n∈N*时,an=a1qn-1 成立.
(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.
解:(2){an}不是等比数列.理由如下: 当 n=1 时,a1=S1=p,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1,
所以
an=
p(n 1),
(
又因为 a2=3S1=3, 故 S2=a1+a2=4=4a1,满足上式, 因此对于任意正整数 n 都有 Sn+1=4an.
方法技巧判定数列是等比数列的常用方法
(1)定义法: an1 =q(q 是常数)或 an =q(q 是常数,n≥2)⇔{an}为等比数列.
an
an 1
(2)等比中项法:

新人教版高中数学选择性必修第二册第四章数列的概念及通项公式

第四章 §4.1 数列的概念
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 5.了解数列是一种特殊函数.
导语
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20 卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数： 100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列.
3.
分类标准名称
含义
按项的有穷数列
项数有限的数列
个数无穷数列
项数无限的数列
递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
按项的变化趋势
递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
周期数列
项呈现周期性变化
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项摆动数列
小于它的前一项
解 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)(5)是递减数列； (3)是常数列； (6)是摆动数列.
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断. (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
知识梳理
1ห้องสมุดไป่ตู้一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 an表示.其中第1项也叫做首项. 2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an} .

人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第四章数列第1课时等比数列的概念及通项公式

(1)若
3
a2=3,a5= ,求{an}的通项公式;
8
分析先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决
其他问题.
1 = 3,
1 = 6,
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
解设{an}的公比为 q,则
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;
(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.
微思考
1.若数列{an}具备
an+1
an
=n(n∈N*)的递推关系,则此数列是否为等比数列?
提示此数列不是等比数列,因为从第2项起,每一项与前一项的比值不是同
一个常数.
2.常数列可以是等比数列吗?
提示各项不为0的常数列是等比数列;各项为0的常数列不是等比数列.
学习单元3
等比数列
在等差数列的基础上,本学习单元探究第二类特殊数列——等比数列.
研究其概念、性质及应用,研究方法与学习等差数列完全相同.首先引导学
生通过研究具体问题中的数列,以运算为手段来探索具体数列的取值规律,
抽象出等比数列的定义,然后从定义出发,推导出等比数列的通项公式.接
下来,从通项公式出发,探究等比数列与指数函数之间的关系,再结合指数
②任意指数型函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则
f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列,其首项为ka,公比为a.
知识点3 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比

数学人教A版选择性必修第二册4.1.1数列的概念与通项公式课件

思考：在数列中 {}与表示的意义一样吗？为什么？
{}：表示数列
：仅表示数列中的第项这一个数值
数列{}中的每一项与它的序号(下标)有下列的对应关系：
序号
1
项 a1
2
3
a2
a3
…
n
… an …
…
问题4：数列中各项与各项序号之间的对应关系是什么关系？
序号
1
2
3
…
思考：观察三个例题中的数列的项数有什么区别？
项数有限的数列称为有穷数列，如数列1、2；
项数无限的数列称为无穷数列，如数列3．
概念辨析
（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两
个数列是不是同一个数列？
（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
思考：数列中的每一个数和集合中的元素有什么区别？
可否用一个公式表示?
如果数列{ }的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
思考：你能写出例3中

−

= −

、

、− 、 ...，数列的通项公式吗？

追问：数列的通项公式有什么作用？
追问：例1、例2中的两个数列也能写成通项公式的形式吗？
系列的形数.
他们发现,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角
形,如图(a),他们把这些数叫做三角形数;
当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,如图(b),
他们把这些数叫做正方形数;等等.
新知探究
实例1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：

数学人教A版选择性必修第二册4.1数列的概念课件

问题1：记王芳第i岁时的身高为 hi ，那么 h3 __9_6___，h13 __1_6_0__. 问题2：上述身高数据 hi 有什么意义，能否交换位置吗？说明理由.
意义：王芳成长的身高数据；
不可以，因为成长是不可逆的，一旦交换位置，那么 hi 的意义就产生了改变.
学习目标
学习活动
学习总结
任务：分析实例，归纳数列的概念. 实例2.在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第 15天每天月亮可见部分的数：
学习目标
学习活动
学习总结
练一练
2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，
1 2
，
1 3
， 1
4
，…
；
（2）2，0，2，0，…．
学习目标
学习活动
学习总结
解：（1）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数
项为负，所以它的一个通项公式为
an
(1)n1 ；
n
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为
an (1)n1 1. 思考2 数列（2）还有没有其他通项公式？
解： an
2, 0,
n为奇数 n为偶数
学习目标
学习活动
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. 关键词“数列”、“通项公式”、“分类”、“增减性”.
学习目标
学习活动
学习总结
任务：分析实例，归纳数列的概念.
实例3.
1 2
的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
1， 1
24
， 1
8
，116 ，…
问题4：仿照上面的叙述，这列数可以si交换位置吗？不可以，该列数都是按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……等排列的数，如果交换位置，该列数没有意义.

高中数学最新学案第2章第3课时数列的概念及其通项公式(3)(教师版) 新人教A版必修

高中数学最新学案第2章第3课时数列的概念及其通项公式（3）（教师版）新人教A版必修【学习导航】知识网络学习要求1、体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；2、掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数就叫做等差数列的公差（common difference），常用字母“d”表示。

⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差2、等差数列的通项公式；4、如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；且。

【精典范例】【例1】根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；（1）1，1，1，1，1，1（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，0，1，2，3【解】（1）（2）（3）思考：如果一个数列的通项公式为，其中都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？是【例2】求出下列等差数列中的未知项：（１）３，ａ，５；（２）３，ｂ，ｃ，－９、【解】（１）根据题意，得ａ－３＝５－ａ，解得ａ＝４、（２）根据题意，得ｂ－３＝ｃ－ｂ，ｃ－ｂ＝－９－ｃ，解得ｂ＝－１，ｃ＝－５【例3】听课随笔（1）求等差数列8，5，2…的第20项？（2）401是不是等差数列5，9，13，…的项？如果是，是第几项？【解】（1）（2）是，第100项【追踪训练一】XXXXX：１、判断下列数列是否为等差数列：（１）－１，－１，－１，－１，－１；（２）１，１２，１３，１４；（３）１，０，１，０，１，０；（４）２，４，６，８，１０，１２；（５）７，１２，１７，２２，２７、２、目前男子举重比赛共有１０个级别，除１０８公斤以上级外，其余的９个级别从小到大依次为（单位：ｋｇ）５４，５９，６４，７０，７６，８３，９１，９９，１０８，这个数列是等差数列吗？３、已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：（１）（），５，１０；（２）１，，（）；（３）３１，（），（），１０、4、已知数列是等差数列，求未知项的值。

高中数学第二章数列数列的概念与简单表示法时数列的通项公式与递推公式新人教A必修讲课文档

[典例 3] 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an2＋1－nan2＋an＋1an ＝0(n∈N*)，则它的通项公式 an＝________. [解析] 法一(累乘法)：把(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0 分解因式，得 [(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. ∵an>0，∴an＋1＋an>0， ∴(n＋1)an＋1－nan＝0， ∴aan＋n 1＝n＋n 1，
前一项 an－1 (或前
几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示．则此公式就叫
作这个数列的递推公式．
第五页，共31页。
[双基自测]
1．下列数列满足 an＋1＝a1n的是(
)
A．1,1,1,1，…
B．2,2,2,2，…
C．3,1,3,1，…
D．－1,1，－1,1，…
答案：A
第六页，共31页。
2．数列 0,2,4,6，…的递推公式可以是( )
A．an＋1＝an＋2 C．an＋1＝an，a1＝0
B．an＋1＝2an D．an＋1＝an＋2，a1＝0
答案：D
第七页，共31页。
3．已知数列{an}，a1＝1，an＝2an－1－1(n＞1，n∈N*)，则 a99 等于( )
A．1
B．99
C．－1
第十六页，共31页。
由递推公式求通项公式的三个步骤第一步：先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前 3 项)；第二步：根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；第三步：写出一个通项公式．(通项公式形式可能不唯一)
第十七页，共31页。
2．已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝ a3n－an＋31(n∈N*)，则 a2 017＝(

数列的概念(数列的概念与通项公式)课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

项,用 a2 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中
第1项也叫做首项.
(3)数列的一般形式是a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.因为数列{an}中的每
一项an与它的序号n有下面的对应关系:
所以数列{an}是从正整数集 N* (或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R
【变式训练1】下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;
(2)所有自然数能构成数列;
(3)-3,-1,1,-3,5,7,1,11是一个项数为6的数列;
(4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
解:(1)错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列.
与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
二、数列的分类
1.如果组成两个数列的数相同但排列顺序不同,那么它们是否为同一数
列?
提示:不是同一数列.
2.有没有各项都为同一个数的数列?
提示:有.
3.数列的分类
(1)按项的个数分类
类别
含义
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
(2)按项的变化趋势分类
∵n∈N*,
∴2n+3>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是递增数列.
【变式训练3】已知数列{an}的通项公式为an=
大项与最小项.
2-5
,求数列{an}中的最
2-7
2-7+2
1
解:an=
=1+ 7.
2-7
2
画出 y=1+
1
7
2
的图象,如图所示.

新教材高中数学第4章第2课时数列的通项公式与递推关系pptx课件新人教A版选择性必修第二册

1)2，∴两式相除得an＝
2
，
−1 2
1
2
3
4
又∵a1＝12＝1，不适合an＝
2
，
2
an－1
表示an与它的前一项________(或
n
表示an与__之间的关
前几项)之间的关系
系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
知识点3 数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第_项起到第__项止的各项之和称为数列{a
1
n
n}的前n项
a1＋a2＋…＋an
1
2
3
4
3．设数列{an}满足a1 ＝1，且an＋1 －an ＝1(n∈N*)，则数列{an}的通
n
项公式为an＝________．
n
[由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，
以上各式相加，得an－a1＝1 + 1 + ⋯ + 1＝n－1，
−1 个
因为a1＝1，则an＝n(n≥2)，
第四章
4.1
第2课时
数列
数列的概念
数列的通项公式与递推关系
1．理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．
(逻辑推理)
学习
2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几
任务
项．(数学运算)
3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推
理、数学运算)
01
必备知识·情境导学探新知
观察下列钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．
1
1
3
[由已知，得a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝．]

2023_2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第4章数列4.1数列的概念第2课时数列的通项公

(2)若数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ应满足什么条件？
[解析] (1)证明：∵an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1 ＝n＋1[2nn＋2＋112＋－1n]2[n2n＋＋112＋1] ＝[n＋122n＋＋11]n2＋1，
由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列． (2) 因为 {an} 为递增数列，所以 an ＋ 1>an ，即 (n ＋ 1)2 ＋ λ(n ＋ 1)>n2 ＋ λn，则λ>－2n－1.又n∈N*，故λ>－3.
题型四
数列单调性的判断
典例 4 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性．
[解析] 方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0(n∈N*)，即an＋1>an，故数列{an}是递增数列．方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则aan＋n1＝3n＋31n22－－nn＋1＝n＋n 1·33nn＋－21>1(n∈N*)．又易知an>0，故an＋1>an，即数列{an}是递增数列．
对点训练❶ (1)在数列{an}中，a1＝13，an＝(－1)n2an－1(n≥2)，
则 a5＝( B )
A．－136
B．136
C．－83
D．83
(2)数列{an}满足 an＋1＝1－a1n，且 a1＝2，则 a2 020 的值为( C )
A．12
B．－1
C．2
D．1
[解析] (1)由 an＝(－1)n2an－1 知 a2＝23，a3＝－2a2＝－43. a4＝2a3＝－83，a5＝－2a4＝136. (2)由 an＋1＝1－a1n及 a1＝2，得 a2＝12，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为 3 的周期数列：2，12，－1,2，12，－1，…. 而 2 020＝673×3＋1，故 a2 020＝a1＝2.