2013年高考数学应试笔记大全

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2013年高考_文科数学知识点总结(十五)

2013年高考_文科数学知识点总结（十五）命题要点：同角三角函数的关系式及诱导公式(′11年3考，10′年3考).A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．cos 300°＝()．A．－B．－C.D.解析cos 300°＝cos 60°＝.答案C2．若tan α＝2，则的值为()．A．0 B.C．1 D.解析＝＝＝.答案B3．(2011·济南模拟)若cos(2π－α)＝且α∈，则sin(π－α)＝()．A．－B．－C．－D．±解析cos(2π－α)＝cos α＝，又α∈，∴sin α＝－＝－＝－.∴sin(π－α)＝sin α＝－.答案B4．(2011·深圳调研)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于()．A．－2 B．2 C．－2或2 D．0解析原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0.答案D5．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为()．A．－B．－C.D.解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.答案B二、填空题(每小题4分，共12分)6．若sin(π＋α)＝－，α∈，则cos α＝________.解析∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝，又α∈，∴cos α＝－＝－.答案－7．如果sin α＝，且α为第二象限角，则sin＝_____________________.解析∵sin α＝，且α为第二象限角，∴cos α＝－＝－＝－，∴sin＝－cos α＝.答案8．(2012·揭阳模拟)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值是________．解析1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝，又∵＜α＜，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－.答案－三、解答题(共23分)9．(11分)已知cos＝2sin.求：.解∵cos＝2sin，∴－sin α＝－2cosα，即sin α＝2cos α，∴原式＝＝＝.10．(★)(12分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.(1)求tan α的值；(2)把用tan α表示出来，并求其值．思路分析(思路一)：由已知条件与平方关系联立方程组求解；(思路二)：先求sin α－cos α再与已知条件联立方程组求解．解(1)法一联立方程由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴sin α＞0，∴∴tan α＝－.法二∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝，由得∴tan α＝－.(2)＝＝＝，∵tan α＝－，∴＝＝＝－.【点评】要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知f(cos x)＝cos 3x，则f(sin 30°)的值为()．A．0 B．1 C．－1 D.解析∵f(cos x)＝cos 3x，∴f(sin 30°)＝f(cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案C2．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()．A．1＋B．1－C．1±D．－1－解析由题意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得：m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.答案B二、填空题(每小题4分，共8分)3．化简：＝________.解析原式＝＝＝cos α－sin α.答案cos α－sin α4．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则＝________.解析∵方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，由题知sin α＝－，∴cos α＝－，∴tan α＝.∴原式＝＝－tan2α＝－.答案－三、解答题(共22分)5．(10分)化简：(k∈Z)．解当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.6．(12分)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解(1)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ.由条件知sin θ＋cos θ＝，故＋＝.(2)由sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，得m＝.(3)由知或又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.。

2013年江苏高考数学复习“应试笔记”

2013年江苏高考数学复习“应试笔记”2013年江苏高考·数学解题·高分策略——难点突破与培优提高第I 卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！解题常用经典再现A1.集合性质与运算 1、性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，．【注意】：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （注：C A B = ∅）．2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.3、A B C A B A C A B C A B A C == （）（）（）,（）（）（）； A B C A B C A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂= （）（）,（）（）4、 De Morgan 公式:()UUUC A B C A C B = ；()UUUC A B C A C B = .【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

A2.命题的否定与否命题*1.命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝.2013年江苏高考数学复习“应试笔记”命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. *2.常考模式：全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝. 特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝.A3.复数运算*1.运算律：⑪m n m n z z z +⋅=； ⑫()m n mn z z =； ⑬1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑪1212||||||z z z z =； ⑫1122||||||z z z z =； ⑬nn z z =.*3.重要结论：⑪2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+； ⑫2212z z zz ⋅==； ⑬()212i i ±=±； ⑭11i i i-=-+，11i i i+=-；⑮i 性质：T=4；1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i . 【拓展】：()()3211101ωωωωω=⇔-++=⇔=或1i 22ω=-±.A4.幂函数的的性质及图像变化规律： (1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（n N）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑪频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。

2013高考数学选择题考点全覆盖

2013高考数学选择题考点全覆盖2013年的高考数学选择题考察了多个数学知识点，下面将对这些考点进行全面的介绍和解析。

一、函数与方程1. 一次函数考查对一次函数的性质和应用的理解。

一次函数的一般式为y = kx+ b，其中k和b为常数。

2. 二次函数考查对二次函数的图像、性质和应用的理解。

二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

3. 绝对值函数考查对绝对值函数的图像、性质和应用的理解。

绝对值函数的一般式为y = |x|。

二、平面几何1. 相似三角形考查对相似三角形的性质和应用的理解。

相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2. 平行四边形考查对平行四边形的性质和应用的理解。

平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。

3. 圆与圆相关考查对圆的性质和应用的理解。

圆的半径、直径、弦、弧的概念，圆上两点的位置关系。

三、立体几何1. 体积与表面积考查对几何体体积和表面积的计算及应用的理解。

如正方体、长方体、圆柱体等的体积和表面积计算。

2. 立体图形的投影考查对立体图形在投影面上的视图和投影的理解。

如正交投影和斜投影。

四、概率论与统计1. 事件与概率考查对事件、样本空间、频率和概率的理解。

概率是指事件发生的可能性大小。

2. 离散型随机变量考查对随机变量及其概率分布的理解。

离散型随机变量取有限个或可数个值。

3. 统计图表的分析与应用考查对统计图表的分析和应用的理解。

如条形图、折线图、饼图等的绘制和解读。

五、数列与数学归纳法考查对数列及其性质的理解。

如等差数列和等比数列的通项公式的推导和应用。

六、解析几何考查对解析几何的基本概念和性质的理解。

如直线的方程、向量的运算、平面的方程等。

七、三角函数考查对三角函数的基本性质和应用的理解。

如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质。

八、导数与微分考查对导数和微分的计算及应用的理解。

如函数的极值、导数的应用等。

九、排列组合与数学证明考查对排列组合和数学证明的理解和运用。

2013高考数学考前重要考点串讲汇总

2013高考数学考前重要考点由讲要点1 集合要点10 不等式要点2 函数概念与基本初等函数要点n 简易逻辑要点3 立体几何初步要点12 圆锥曲线与方程要点4 平面解析几何初步要点13 空间向量与立体几何要点5 基本初等函数（三角函数）要点14 导数及其应用要点6 半向量要点15 复数要点7 三角恒等变换要点16 排列、组合、二项式定理要点8 解三角形要点17 要点9 数列■ ■ JL ■ 要点18 统计三、集合的运算I.交集与并集交集:一般地•由履于集台A IL屈于集合B的所有元索组成的集合•称为A l j B 的交集，记作AQBi读作“4交矿).即AOB= x\xeA,h.xeB\.并集'•般地.由所冇皿F隼合4或加「集合B的元素所组成的垦合.称为峯合4与E的并集，记作AUB(作"4并矿八B|MUB= X I XG A.L^XG B.【特别提醒】(I)寸仃龙二卧4、弘f：AHA =A,AUA = A 9A C10 = 0 U 0 =A.ADB =jBnA t AUB = BUA；AAAAAAAAAAAAAA2.全集与补集全集:一般地.如果一个集合含冇我们所研究问题中所涉及的所有元素•那么就称这个集合为全集.通席记作U.补集：对J：一个集合4 •由全集D中不属于•集合A的所有元索组成的望合称为集合>4相对F全集U 的补集,简称为集合A的补集.记作C屛.训「a A= x\X eU.\\.x^ 4 .【特别提靈】⑴M=0,AUC a A = UX川加）=A,C宀0,（“0 = U；（2）（</（An5）=（C^）u（C^）,C<,（Au^）=（C o A）n（C /）.vv返回目录四.基本初等函数(I.指数与对数:(I )卅二/Voh % /V 二b^a[^ = 7V(钊数恒辱」弋:a^,v=/V.a>Ojl.a# I ・">())・|O u N(2 )换底公式：1叽N = …(a >0, 11, a# I ・m>0. I L mH I .N >0).1伴/(3)换底公式推论：l牌(訴0 二土h%b( a >0.6 >D.n >0.m#0. 11, a #i ,6# 1 ).A A A A A A ■亠 A A A A A A-、空间几何体的直观图我们经常用斜二测画法画出几何体的比观图.要画出空间几何体的直观图.首先耍学会水平放置的平面图形的画法.画直观图的方法称为斜:测画法.它的步骤是:1.在LL知图形屮取万帕亚M的兀轴和y轴•两轴fll^T-'XO. mu |丫观图时.肥它们IM丿朮对応的护轴与/ftll.PM轴交丁点O'. \l.Pl!^x/oy, =45°( •J J C 135°).匹们确龙的平面表示水平面.2.12知图形中平行Jr仙或y轴的线段•在］t观图中分别㈣成平行JF轴或y' 轴的线段.3.(2知图形中平行F工轴的线段.在氏观图中保持乐氏度不变•平行尸常轴的线段,长度为原來的一半.二、空间几何体的表面积与体积 1. 柱体、锥休的表面积对丁棱林、棱锥等多面体•它们的表面积是兀各个面的面积之和.因此.可以把它们展开成平面图形，利川平面图形求面积的方法，求立休图形的表面积》2. 柱体、锥体的体积也 =5/K 5为底面积，仕为桂体的高); %体士Sh(S 为底面积鼻为锥体的窩).3. 球的体积与表面积 (1 )球的体积设球的半径为艮,那么它的体积卩=知疋. (2)球的表而枳设:球的半径为2?,那么它的棗面积S = 4TT R 2. 反向曰® 2. 线线平行\^a//b-a ~aI b _aa 0/3 二 b) a Ca.6 Ga\| a 丄a 1何1何平行:a 「、b =O jna 〃"：伽.加 a "a/ P=>a” b ；a fl-y 二 a/3Oy = b 三、证明位吉关系的主a a \ //b. a//^.b a// ca Q J 86. itfifttiiil ： a 丄a【特别提醍】证明立体几何中平行.垂直关系的基本思賂是科用践面关系的转化•即:线〃线— 一A 线〃面-*—•面〃面判定十性质丹儿■线丄线— 一线丄面 f 面丄面<—线〃线— —线丄面一一面〃面一. 直线的倾斜角与斜率I. 血线倾斜角的范I IH 是| 0.77）.经过R 点匕（冋.人）•卩2（ ”2 "2）•斜率公式2•倾斜角a 与斜率左之间的关系a 二（）。

2013高考数学考点分析

2013高考数学高频考点第一部分：函数一、考试内容及要求 1.集合、简易逻辑考试内容：集合：子集、补集、交集、并集；逻辑联结词，四种命题，充要条件.考试要求：⑴理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义,掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.⑵理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充要条件的意义. 2.函数考试内容：映射，函数，函数的单调性；反函数，互为反函数的函数图像间的关系；指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数.；对数、对数的运算性质，对数函数. 函数的应用举例.考试要求：⑴了解映射的概念，理解函数的概念.⑵了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.⑶了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数. ⑷理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质. ⑸理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质. ⑹能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、重要知识、技能技巧（省略的部分自己填写）1.函数是一种特殊的映射：f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域：⎩⎨⎧加条件的制约应用条件的限制或有附限定定义域复合函数对数或三角函数指数幂开方常涉及分母给解析式自然定义域:,,,,,,: 解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点. 2.函数值域、最值的常用解法⑴观察法；⑵配方法；⑶反表示法；如y=xx y b ax d cx 22cos 21sin -+=++或 ⑷△法；适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于y 的一元二次方程的一类函数；⑸基本不等式法；⑹单调函数法；⑺数形结合法；⑻换元法；⑼导数法. 3.关于反函数⑴求一个函数y=f(x)（定义域A ，值域D ）的反函数步骤；（略） ⑵互为反函数的两函数的定义域、值域、图象间关系； ⑶分段函数的反函数分段求解；⑷有关性质：定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；单调函数必有反函数，且两函数单调性相同；奇函数的反函数仍为奇函数；周期函数不存在反函数；f －1(a)=b ⇔f(b)=a. 4.函数奇偶性 ⑴判断①解析式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠±=-=--=--=0)(,1)()(0)()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f 或定义域关于原点对称②图象（关于y 轴或坐标原点对称）⑵性质：如果f(x)是奇函数且在x=0有定义，则f(0)=0；常数函数f(x)=0定义域(－l ,l)既是奇函数也是偶函数；在公共定义域上，两个奇、偶函数的运算性质.（略） 5.函数单调性 ⑴定义的等价形式如：2121)()(x x x f x f -->0⇔(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0⑵判断：①定义法；②导数法；③结论法（慎用）.奇偶函数在对称区间上的单调性；互为反函数的两函数单调性；复合函数的单调性（同增异减）；常见函数的单调性（如y=x+xa,a ∈R ）. 6.函数周期性⑴f(x)=f(x+a)对定义域中任意x 总成立,则T=a.如果一个函数是周期函数,则其周期有无数个.⑵f(x+a)=f(x －a)，则T=2a. ⑶f(x+a)=－)(1x f ，则T=2a. ⑷f(x)图象关于x=a 及x=b 对称，a ≠b ，则T=2(b －a).⑸f(x)图象关于x=a 及点(b,c) (b ≠a)对称，则T=4(b －a). 7.函数图象的对称性⑴若f(a+x)=f(a －x)或[f(x)=f(2a －x)]，则f(x)图象关于x=a 对称，特别地f(x)=f(－x)则关于x=0对称；⑵若f(a+x)+f(b －x)=2c ，则f(x)图象关于(2ba +,c)中心对称，特别地f(x)+f(－x)=0，则关于(0,0)对称；⑶若f(a+x)=f(b －x)，则y=f(x)关于x=2ba +对称； ⑷y=f(x)与y=f(2a －x)关于x=a 对称；y=f(x)与y=－f(x)+2b 关于y=b 对称；y=f(x)与y=－f(2a －x)+2b ，关于(a,b)对称. ⑸y=f(a+x)与y=f(b －x)，关于x=2ab -对称. 8.⑴要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合二次函数的图象进行分类讨论；结合图象探索综合题的解题切入点。

2013高考数学必考知识点

2013高考数学必考知识点2013高考数学必考知识点在众多的重点题型里，有50分以上的分值都分布在以下几个内容里，且这些内容应该是不论高、中、低端考生都不能也不容易做错的。

其主要内容有：平面向量、三角函数、立体几何。

(1)关于“平面向量”向量的内容多而杂，但可归为6个方面12个知识点。

即：向量的计算——加、减、乘(数乘、点乘);向量的应用——向量的特征(模、辐角)、平行、三垂直。

每个方面都有向量行式和坐标行式两种，因此共有12个知识点。

平面向量本是高等数学的一个基础内容，就历年出题的难度来看，难度并不大，因此提醒毕业生们：做此类题时，一定要把向量语言翻译成普通语言去解决。

之前讲的6个方面、12个知识点，即是一种最根本的翻译方法。

(2)关于“立体几何”在考试时遇到立体几何，考生们一定要马上想到“三垂线定理”。

三垂线正逆定理实际上是共面异面垂直的互相转化，“三垂线定理的应用，最能体现立体几何的学科特点。

”对此类题的归纳是：“大半证明，小半算，证明要用三垂线。

”以往很多考生遇到立体几何题就开始埋头苦算，即使算对，得分也并不高。

“数学打分是按步骤来的。

很多考生忽视证明，违背了出题者的意图。

此类题得分的关键是证明和推导，跳跃了证明的步骤，当然会被扣分。

”(3)关于“三角函数”谈到三角函数，下面是一道必考题。

例题：已知函数①当a=1时，求f(x)的单调递减区间。

②当a 三角函数出现2次方，难度系数加大了。

想化难为简，考生们则要选择“降幂升角”公式：把该方程式化为一次式方程。

然后再用划为同角同幂去研究，最后再画图示意，问题迎刃而解。

最后冲刺不要多做题最后几个月的复习，是研究细致、夯实基础的精细型复习。

建议大家，在最后一两个月的时间里，除了完成老师布置的试卷外，别再做更多更难更怪的题了。

“每周做3套回归型训练加2套综合模拟高考训练完全够了，一定要给自己减压!”现在做回归型即基础为主的训练题，主要是让大家找到自信，因为这些题以测试基础的解题思路、技巧为主，做完下来考生心理容易放松。

2013年高考文科数学必要知识点及备式归纳

2013年高考文科数学必要知识点及公式归纳一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是；⇔ ； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是 . ⇔ ；(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若，则)(x f 为增函数；若，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有，则)(x f 是偶函数；对于定义域内任意的x ，都有，则)(x f 是奇函数。

奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在点处的切线的斜率，相应的切线方程是: .4、几种常见函数的导数①'C = ；②=')(n x ； =')1(x； =')(x ； =')(x ； =')(2x ； =')(3x ；③=')(sin x ；④=')(cos x ；⑤=')(x a ；⑥=')(x e ； ⑦=')(log x a ；⑧=')(ln x ；5、导数的运算法则（1）='±)(v u ；（2）='⋅)(v u ；（3）=')(vu ；（4）（2）='])([x kf ；6、会用导数求单调区间、极值、最值若函数()y f x =在0x 处有极值：则；7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是值；(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是值．二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量8、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：；（1）商数关系：；9、正弦、余弦的诱导公式：； απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

2013数学高考完整版笔记(吐血整理)

集合与简易逻辑1集合的概念及运算B中的元素都属于A，则称A包含B.B中的元素都属于A且A中至少有一个元素不属于B，则称A真包含B.2四种命题及充要条件一．四种命题：1．原命题：若p 则q逆命题：若┑P 则┑q ，即交换原命题的条件和结论；否命题：若q 则p ，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若┑P 则┑q ，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定． 2．四个命题的关系：⑴ 原命题为真，它的逆命题不一定为真； ⑵ 原命题为真，它的否命题不一定为真； ⑶ 原命题为真，它的逆否命题一定为真．⑷两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假 ⑸两个命题互为逆命题或否命题，他们的真假性没有关系⑹原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立． ⑺命题的否定形式与原命题互异二．充分条件与必要条件1．“若p 则q ”是真命题，记做p q ⇒， “若p 则q ”为假命题，记做，2．若p q ⇒，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件若p q ⇒，且p q ⇐，则称p 是q 的充要条件； 3．若p 的充分条件是q ，则q p ⇒；若p 的必要条件是q ，则p q ⇒．注意：①注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题p的否定为“非p”，记作p ⌝，一般只是否定命题p的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。

3逻辑连结词、全称量词与存在量词一．全称量词与存在量词含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：,()x M p x∀∈，它的否定p⌝：,()x M p x∃∈⌝全称命题的否定是存在性命题。

含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：,()x M p x∃∈，它的否定：p⌝：,()x M p x∀∈⌝存在性命题的否定是全称命题5．关键词的否定函数1函数及其表示一．函数的概念1．映射：设A、B两个非空集合，如果按照某中对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．2．函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做()y f x=，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．3．函数三要素：①定义域②值域③对应关系二．函数的表示：①解析法②图像法③列表法解析式：（1）根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知xxxf2)1(+=+，求函数)(xf的解析式．（2）已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知()f x是一次函数，且[()]43f f x x=+，函数)(xf的解析式．（3）注明定义域（分段函数）三．函数的定义域（树立定义域优先的思想）（1）根据给出函数的解析式求定义域：①整式：x R ∈②分式：分母不等于0③偶次方根：被开方数大于或等于0④含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑤对数：底数大于0且不等于1，真数大于0⑥三角函数中的y=tanx：x≠kπ+k/2(k∈Z)（2）根据对应法则的意义求函数的定义域：①已知函数f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域，只需g(x)∈D例：()y f x=定义域为]5,2[，求(32)y f x=+定义域；②已知函数f[g(x)]的定义域，求函数f(x)的定义域，只需x∈{y|y=g(x)}，即g(x)的值域例：已知(32)y f x=+定义域为]5,2[，求()y f x=定义域；（3）实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．注意：判断单调性定义法两个增(减)函数的和仍为增(函数与一个减(增)函数的差是增函数奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性导数．单调区间的定义在区间D上是增函数或减函数，则称函数若(),()f xg x均为某区间上的增（减）函数，则()()f xg x+在这个区间上也为增（减）函数若()f x为增（减）函数，则()f x-为减（增）函数若()f x与()g x的单调性相同，则[()]y f g x=是增函数；若()f x与()g x的单调性不同，则[()]y f g x=是减函数。

2013高考数学重要知识点扫描

2013届高三数学考前提醒1．看清楚集合的代表元素：集合}{2,M y y x x R =|=∈，}{21,N y y x x R =|=+∈，则M N = ；[1,)+∞ 集合}{2,M y y x x R =|=∈，}{21,N x y x x R =|=+∈，则M N = ；[0,)+∞ 集合}{2(,),M x y y x x R =|=∈，}{2(,)1,N x y y x x R =|=+∈，则M N = ；∅2. 正确理解集合的元素：设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____ （答：)}2,2{(--）3. 集合中的等价转换：A B B B A =⇔⊆ A B B A B=⇔⊆ 4. 不能忽视空集：⑴}0158|{2=+-=x x x A ，，}01|{=-=ax x B 若A B ⊆，求实数a 的值.(不要遗忘a =0即B =∅的情况)⑵}012|{2=--=x ax x A ，如果A R +=∅ ，求a 的取值。

（答：a ≤0）5．命题中的“正难则反”：①已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2-）②要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是_____.（答：81[7,)8）6. 注意等价命题，认清哪个是条件哪个是结论：如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的条件。

（答：充分非必要条件）7．二次项系数是字母的要注意讨论：()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）； 8. 函数定义域是研究函数的首要对象：（1）函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是；（2）函数(2)xf 的定义域是（0,1],求2(log )f x 的定义域.（3）判断函数()3f x x =|+|-3的奇偶性（4）若2211()f x x xx+=+，则()f x =（5）函数()x f y =是R 上的奇函数，且0x >时，()12xf x =+，则()f x 的表达式为（6）若函数212log (3)y x ax a =-+在区间[)2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是9. 证明函数单调性的规范写法取值, 作差（分解因式）, 判正负.10．三角换元的作用：函数4y x =++____（答：[1,4]）； 11、反函数的一个有用结论：()1().fa b f b a -=⇔=12．函数奇偶性定义的应用：设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。

2013高考数学(理科)知识点总结

2013高考数学（理科）知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U UUUUUA B A B A B A B Y I I Y ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa Y5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

2013年高考_文科数学知识点总结(二十一)

2013年高考_文科数学知识点总结（二十一）命题要点：1平面向量基本定理′11年2考，′10年3考；2平面向量的坐标运算′11年1考，′10年2考；3平面向量共线的坐标运算′11年3考，′10年2考.A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·合肥二模)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()．A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3)解析依题意得a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．答案A2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()．A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．答案C3．(2011·宁波十校联考)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()．A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案C4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为()．A. B.C．(3,2) D．(1,3)解析设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，又＝2，∴∴故选 A.答案A5．(2011·广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λｂ)∥c，则λ＝()．A. B.C．1 D．2解析∵a＋λｂ＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)且(a＋λｂ)∥c，∴＝，∴λ＝.答案B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·北京)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.解析a－2b＝(，3)，∴3k－3＝0，∴k＝1.答案17．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．解析＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.答案8．(2011·湖南)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．解析设a＝λｂ(λ＜0)，则|a|＝|λ||b|，∴|λ|＝，又|b|＝，|a|＝2.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a＝λｂ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案(－4，－2)三、解答题(共23分)9．(11分)已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C，D的坐标和的坐标．解设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．因为＝，＝－，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而＝(－2，－4)．10．(12分)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以得(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－.B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2 ，则实数a等于()．A．2 B．1 C. D.解析设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，∵＝2，∴解得∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.答案A2．(2012·绍兴模拟)设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是()．A．[－6,1] B．[4,8]C．(－∞，1] D．[－1,6]解析由a＝2b，，得由λ2－m＝cos2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m－2，则－2≤4(m－1)2－m≤2，∴解得≤m≤2，而＝＝2－，故－6≤≤1，即选 A.答案A二、填空题(每小题4分，共8分)3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案－4．(2011·海南质检)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．答案(0，－2)三、解答题(共22分)5．(10分)已知向量＝(3,4)，＝(6，－3)，O＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，求实数m满足的条件．解∵＝－＝(3，－7)，＝－＝(2－m，－7－m)，又A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即，不共线，∴3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，得m≠－，故m应满足m≠－.6．(12分)已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；若P在y轴上，只需1＋3t＝0，∴t＝－；若P在第二象限，则∴－＜t＜－.(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若OABP为平行四边形，则＝，∵无解．所以，四边形OABP不能成为平行四边形．。

2013高考理数知识点总结精华

必修模块知识点总结高中数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

2013年江苏高考数学复习“应试笔记”(排列组合、二项式定理、概率统计、矩阵与变换)

江苏高考数学复习“应试笔记”江苏高考·数学解题·高分策略——难点突破与培优提高第卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A1．集合1．知识点（1）集合的表示方法．3种．列举法．（2）元素与集合的关系．2种．，．（3）集合与集合的关系．重点：AB，AB，A＝B．（4）集合的交、并、补运算．（5）常用数集的符号．任何一个集合是它本身的子集，记为AA；2．方法（1）利用数轴进行集合运算．（2）分清集合中的元素是什么，选择适当的方法进行运算．3．主要结论及其得出方法．若A＝{a1，a2，…，an}，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．4．注意点（1）空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集．（2）AB需分两种情况：①A＝，②A≠．（3）集合运算的结果需用集合表示，定义域、值域都要用集合表示．A2．基本初等函数1．知识点（1）函数的概念．非空数集间的一种特殊的对应关系．（2）函数值的求法，需要在定义域内，注意分段函数值．（3）定义域的几种类型．①分母；②对数；③偶次方根；④正切；⑤实际问题．本质上是解不等式或不等式组．（4）函数单调性的定义．注意区间内的任意性．（5）函数奇偶性的定义及其图象特征．（6）函数周期性的定义及其图象特征．（7）基本初等函数的图象及其分布、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．（8）指数、对数的意义及其运算法则．（9）方程的近似解的判断．计算端点处的函数值．（10）导数①导数的概念及其几何意义．②常见函数的导数．③导数的运算法则．④导数与函数单调性的关系．2．方法（1）画函数图象的方法①已知基本初等函数，直接画出．②利用区间的两个端点，简易画出．③利用导数，求出拐点，精确画出．④分段函数分开画出，并合并．⑤含参数的函数分类讨论．（2）函数单调性的求法①基本初等函数，直接写出．②复合函数的单调性，特别要注意定义域．如：y＝log2(x2－2x－3)．③迭加函数．如y＝x＋lnx(x＞0)．④复杂函数．利用导数．（3）函数最值的求法①研究函数的单调性，从而得出函数的图象．②换元或变形转化为基本初等函数．但要注意换元或变形后的字母的取值．如：y＝x＋．③利用基本不等式．一个最明显的形式是：分式有倒数．或有两个变量．（4）方程问题、不等式问题、存在性问题、恒成立问题常用分离参数转化为函数问题．如：①若关于x的方程x2－2x＋a＝0在区间[－1，4]上有解，求实数a的取值范围．此问题可以转化为a＝－x2＋2x在区间[－1，4]上有解，即：函数y＝a与函数y＝－x2＋2x(x[－1，4])的图象有交点．②若关于x的不等式2－x2＞|x－a|至少有一个负数解，求实数a的取值范围．此问题可以转化为在轴的左边函数f(x)＝2－x2的图象有在函数g(x)＝|x－a|的图象的上方部分．③已知f(x)＝ax3－3x＋1，当x[－1，1]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的值．此问题可以转化为：1)x(0，1]，a≥()max，且2)x＝0，aR，且3)x[－1，0)，a≤()min．（5）求函数的解析式①待定系数法．②比较法．（6）分类讨论，研究函数图象的局部形状．4．常用结论（1）函数f(x)在x＝0时有意义，则f(x)为奇函数的必要条件是f(0)＝0．（2）增函数＋增函数是增函数；增函数－减函数是增函数；减函数＋减函数是减函数；减函数－增函数是减函数．（3）偶函数±偶函数是偶函数；奇函数±奇函数是奇函数；偶函数×(÷)偶函数是偶函数；偶函数×(÷)奇函数是奇函数；奇函数×(÷)奇函数是偶函数．（4）函数图像的对称性①对于函数y＝f(x)，若存在常数a，b，使得函数定义域内的任意x，都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．当a＝b时，f(x)的图像关于直线x＝a对称. f(x)＝f(2a－x)．.对于函数y＝f(x)，若存在常数a，b，使得函数定义域内的任意，都有f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数y＝f(x)的图像关于点(，0)对称．当a＝b时，f(x)的图像关于点(a，0)对称．f(x)＝－f(2a－x)．②函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于直线y＝0对称；函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于直线x＝0对称；函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点(0，0)对称．（5）奇函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上也是递增的；偶函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上是递减的．A4．逻辑1．命题的否定与否命题命题pq的否定与它的否命题的区别：命题pq的否定是p﹁q，否命题是﹁p﹁q.命题“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”，“ p且q”的否定是“﹁p或﹁q”．2．全称命题p：xM，p(x)；全称命题p的否定﹁p：xM，﹁p(x)．存在性命题p：xM，p(x)；特称命题p的否定﹁p：xM，﹁p(x)．3．充要条件的判断．4．互为逆否的两个命题是等价的．5．“p或q”、“p且q”的真假性及解题规范．A5. 排列、组合和二项式定理（附加题部分）1．知识点（1）两个计数原理①加法原理：完成一件事是分类的．总方法数用加法．②乘法原理：完成一件事是分步的．总方法数用乘法．（2）两个计数模型①排列模型：从n个不同元素中选出m个不同元素排成一列．与顺序有关．②组合模型：从n个不同元素中选出m个不同元素放在一起．与顺序无关．主要计算公式：A＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)．(n，m∈N*，并且m≤n)．A＝n·(n－1)·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！．A＝．0！＝1．C＋1＝C＋C．C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．C＝C．（3）二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn 其中，n∈N*．二项式系数、系数，通项公式．C＋C＋C＋…＋C＝2n． C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1．2．方法（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：①直接法：②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊位置入手.（2）解排列组合问题的方法有：①特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）．②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）．③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）．④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）．⑤先选后排法．⑥至多至少问题间接法，分类法．⑦相同元素分组可采用隔板法．如：方程x＋y＋z＝100的正整数解的个数．⑧涂色问题先分步考虑至某一步时再分类．⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组，别忘除以n！．⑩最原始的方法：逐个列举，往往是最好的方法．（3）解决二项式问题的基本方法是从通项入手．Tk＋1＝Can－kbk．（4）有关系数和的问题用赋值法，对组合恒等式的证明常用到：①求导后赋值；②赋值；③kC＝nCA6．概率、统计【必修部分】1．知识点（1）概率的计算公式①古典概型：P(A)＝＝．②几何概型：P(A)＝．【注意】测度可以是长度、面积、体积等．③互斥事件A，B至少有一个发生的概率计算公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．④对立事件的概率计算公式是：P()＝1－P(A)．（2）统计中的抽样方法①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取．②分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（）．③系统抽样．即分组，只需要用简单随机抽样抽取第一组的一个，然后在其它组的同样位置抽取样本．（3）统计中的样本特征数①一组数据x1，x2，…，xn的样本平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)＝xi②一组数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(xi－)2＝(xi2)－(xi)2；标准差＝．【注意】两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，其中yi＝axi＋b的平均数、方差、标准差的关系．（4）统计中的表、图①频率分布表(分组、频数、频率、累积频率)②频率分布直方图（横坐标：样本分组；纵坐标：）a．频率＝；b．小长方形面积＝组距×＝频率；c．所有小长方形面积的和＝1．③茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图．2．方法（1）概率计算中，计数常用方法：列举法、树状图等，一般情况下不需要用到排列、组合知识，有初中的知识就足够了．（2）平均数、方差的计算．【附加题部分】1．知识点（1）概率分布（概率分布列、概率分布表）（2）随机变量X．（3）数学期望：若离散型随机变量X的概率分布为X x1 x2 …xnP p1 p2 …pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望，简称为期望．（4）几个分布①两点分布：随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1，“读成X服从两点分布”．②超几何分布：随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N)．超几何分布的数学期望：E(X)＝．③二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率均为p，那么在这n 次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，2，3，…，n．即X 0 1 2 …k …nPCqn Cpqn－1Cp2qn－2…Cpkqn－k…CpnPn(k)＝Cpkqn－k是二项式(q＋p)n展开式中的通项，故称X服从参数n，p的二项分布，记为X～B(n，p)，其中n，p为参数，n表示重复的次数，p指在一次试验中事件A 发生的概率．二项分布的数学期望E(X)＝np．（5）独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A?B)＝P(A)?P(B)；独立事件重复试验的概率计算公式是：Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k．条件概率：称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．A7．矩阵与变换（附加题部分）1．知识点（1）二阶矩阵与列向量的乘法＝．（2）常见的6个变换恒等变换，也叫单位矩阵；伸压变换，(k＞0)；投影变换，，；反射变换；旋转变换(逆时针方向)；切变变换，．（3）二阶矩阵的乘法＝．（4）复合变换：AB(先B后A，不得交换)（5）矩阵的逆矩阵：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，A也是B的逆矩阵．二阶矩阵A＝(ad－bc≠0)的逆矩阵为A－1＝(可直接使用，但须写上公式)．（6）特征向量、特征值、特征多项式二阶矩阵A，对于实数，存在一个非零向量α，使得Aα＝α，那么称为A 的一个特征值，而α称为A的属于特征值的一个特征向量．几何解释：特征向量的方向经过矩阵A对应的变换作用后，保持在同一直线上．当＞0时，方向不变；当＜0时，方向相反；当＝0时，特征向量就被变换成向量0．对于二阶矩阵A＝，∈R，我们把行列式f()＝＝2－(a＋d)＋ad－bc称为矩阵A＝的特征多项式．（7）行列式：＝ad－bc．2．方法（1）二阶矩阵将点变换成点．（2）一般情况下，二阶矩阵将直线变换成直线．（3）求曲线C在二阶矩阵对应的变换作用得到的曲线C1的方程．如：求出曲线y＝lnx在矩阵作用下变换得到的曲线．第一步：在曲线y＝lnx上任取一个点P'(x'，y')，在矩阵对应的变换作用下变为点P(x，y)．第二步：由＝，所以有y'＝x，x'＝y．第三步：因为y'＝lnx'，所以x＝lny，即y＝ex．所以，曲线y＝lnx在作用下变为曲线y＝ex．附：写给忙于2013年江苏高考备考师生的信。

2013年高考_文科数学知识点总结(十三)

2013年高考_文科数学知识点总结（十三）命题要点：1导数在生活中的优化问题′11年2考，′10年3考；2导数与不等式′11年5考，′10年4考；3运用导数解决恒成立及函数取值范围问题′11年4考，′10年2考.A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为()．A.cm B．100 cmC．20 cmD.cm解析设圆锥的体积为V cm3，高为h cm，则V＝π(400－h2)h＝π(400 h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝.所以当h＝cm时，V最大．答案A2．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()．A．f′(x)＞0，g′(x)＞0 B．f′(x)＞0，g′(x)＜0C．f′(x)＜0，g′(x)＞0 D．f′(x)＜0，g′(x)＜0解析由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0.答案B3．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p 是q的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥.故为充要条件．答案C4．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()．A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上递增．又g(－1)＝f(－1)－2(－1)－4＝0.∴g(x)＞0?x＞－1.故选B.答案B5．对于R上可导的任意函数f(x)，满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()．A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1)解析由(x－1)f′(x)≥0，得或①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)＞f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，f(2)＞f(1)．∴f(0)＋f(2)＞2f(1)．②函数y＝f(x)可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．已有函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)＜0的解集是________．解析在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x＞0时，f(x)＜0，∴0＜x＜1；当x＜0时，图象关于y轴对称，f(x)＞0，∴x＜－1.答案(－∞，－1)∪(0,1)7．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．答案(－2,2)8．(2011·北京)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析当x＜2时，f′(x)＝3(x－1)2＞0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]，因此，结合图形要使方程f(x)＝k有两个不同的实根，则0＜k＜1.答案(0,1)三、解答题(共23分)9．(11分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x＝40(千米/时)时，汽车从甲地到乙地行驶了＝ 2.5(小时)．要耗油×2.5＝17.5(升)．所以当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝·＝x2＋－(0＜x≤120)．h′(x)＝－＝(0＜x≤120)，令h′(x)＝0，得x＝80，当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120]时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.因此h(x)在(0,120]上只有一个极值，也是它的最小值．所以，当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．洛阳模拟)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，10．(12分)(2011·在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，且f′＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．解(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由f(x)在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，可知x＝0和x＝1是f′(x)＝0的解，∴即解得∴f′(x)＝3ax2－3ax.又由f′＝，得f′＝－＝，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3＋3x2.(2)由f(x)≤x，得－2x3＋3x2≤x，即x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m](m＞0)上恒成立，∴0＜m≤.故m的取值范围是.B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有()．A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)解析∵xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，∴′＝≤≤0，则函数在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0＜a＜b，则≥.即af(b)≤bf(a)．答案A合肥二模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上2．(2011·单调递减，则a2＋b2的取值范围是()．A.B.C.D.解析由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(x)≤0在x∈(－1,0)上恒成立，即3x2＋2ax＋b≤0在x∈(－1,0)上恒成立，∴∴a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O到直线2a－b－3＝0的距离d＝，∴a2＋b2≥d2＝，∴a2＋b2的取值范围为.答案C二、填空题(每小题4分，共8分)广州模拟)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－3．(★)(2012·1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案4【点评】本题考查了分类讨论思想构造函数，同时利用导数的知识来解决.4．(2010·江苏)将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．解析如图所示，设AD＝x m(0＜x＜1)，则DE＝AD＝x m，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝x2(m2)，∴梯形的面积为－x2(m2)，∴s＝×(0＜x＜1)，∴s′＝×，令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈时，s′＜0，s递减；当x∈时，s′＞0，s递增．故当x＝时，s的最小值是.答案三、解答题(共22分)江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 5．(10分)(2011·cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800.所以当x＝15 cm时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也就是最大值，此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.6．(★)(12分)(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解(1)根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f(x)不是单调函数．(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，∴∴－＜m＜－9.【点评】利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：第一步：确定函数的定义域；第二步：求函数f x的导数f′x；第三步：求方程f′x＝0的根；第四步：利用f′x＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第五步：由f′x在小开区间内的正、负值判断f x在小开区间内的单调性；第六步：明确规范表述结论.。

2013年高考_文科数学知识点总结(二十三)

2013年高考_文科数学知识点总结（二十三）命题要点：1平面向量在平面几何中的应用′11年1考，′10年1考；2平面向量在三角函数中的应用′11年2考，′10年3考，′09年2考；3平面向量在平面解析几何的应用′11年2考，′10年1考.A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，则·等于()．A.B.C．1 D.解析·＝(＋)·(＋)＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 120°＋1＋1×1×cos 60°＝.答案B2．(2012·武汉质检)已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P 一定在()．A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上解析由题意知：－＝λ，即＋＝λ，∴＝λ，即与共线，∴点P在AC边所在直线上．答案B3．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是()．A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C 成等差数列，故B＝.答案C湖南十二校联考(二))设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin 4．(2011·B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()．A.B.C.D.解析依题意得sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B), sin C＋cos C＝1，2sin＝1，sin＝.又＜C＋＜，因此C＋＝，C＝.答案C济南模拟)已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹5．(2011·是()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，∴·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.即y2＝x＋6.答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.解析设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2.∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.答案－87．已知向量m＝(cos ωｘ＋sin ωｘ，cos ωｘ)，n＝(cos ωｘ－sin ωｘ，2sin ωｘ)，其中ω＞0.设函数f(x)＝m·n，且函数f(x)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析∵m＝(cos ωｘ＋sin ωx, c os ωｘ)，n＝(cos ωｘ－sin ωｘ，2sin ωｘ)，∴f(x)＝m·n＝cos2ωｘ－sin2ωｘ＋2cos ωｘsin ωｘ＝cos 2ωｘ＋sin 2ωｘ＝2sin.∴f(x)＝2sin.∵函数f(x)的最小正周期为π，∴T＝＝π，ω＝1.答案1南京二模)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b 8．(2011·为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.答案三、解答题(共23分)9．(11分)已知向量a＝(sin θ，)，b＝(1，cos θ)，θ∈.(1)若a⊥b，求θ的值；(2)求|a＋b|的最大值．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ＋cos θ＝0.即tan θ＝－，又θ∈，故θ＝－.(2)|a＋b|2＝(sin θ＋1)2＋(＋cos θ)2＝5＋4sin，故当θ＝时，|a＋b|2的最大值为9，故|a＋b|的最大值为 3.杭州模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若·＝·＝10．(12分)(2011·k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．解(1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B，又·＝·，∴bccos A＝accos B，∴sin Bcos A＝sin Acos B，即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，∵c＝，∴k＝1.B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)厦门二检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，1．(2011·则点O，N，P依次是△ABC的()．A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由·＝·＝·得，·－·＝·＝0，则点P 在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．答案C2．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝()．A.B．－C.D．－解析由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，即cos(α－β)＝0，由于0＜α＜β＜π，故－π＜α－β＜0，故β－α＝.答案A二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，则a·b的最大值为________．解析a·b＝sin θ＋cos θ＝2sin≤2.答案2太原模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________. 4．(★)(2011·解析(构造法)∵等边三角形的边长为2，∴如图建立直角坐标系，∴＝(，－3)，＝(－，－3)，∴＝＋＝.∴＝＋＝(0,3)＋＝.∴·＝·＝－2.答案－2【点评】本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算．三、解答题(共22分)淄博模拟)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．5．(10分)(2011·(1)若x＝，求向量a与c的夹角；(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．解(1)设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝，cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π］，∴θ＝.(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，∵x∈，∴2x－∈，故sin∈，∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1.南通模拟)已知向量m＝，6．(12分)(2011·n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．cos ＋cos2解(1)m·n＝sin ·＝sin ＋＝sin ＋，∵m·n＝1，∴sin＝.cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.∴＜＋＜，sin∈.又∵f(x)＝sin＋.∴f(A)＝sin＋.故函数f(A)的取值范围是.。

2013年高考_文科数学知识点总结(二十九)

2013年高考_文科数学知识点总结（二十九）命题要点：1二元一次不等式组表示的平面区域′11年2考，′10年3考；2线性规划问题′11年6考，′10年6考.A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．不等式x－2y＞0表示的平面区域是()．解析将点(1,0)代入x－2y得1－2×0＝1＞0.答案D2．(★)(2011·合肥二模)不等式组所表示的平面区域的面积等于()．A. B.C. D.解析(数形结合法)画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S＝××1＝.答案C【点评】本题采用数形结合的方法，本讲大多数题都要用数形结合法，体现了此法的方便、快捷、实用性.全国)若变量x、y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为()．3．(2011·A．17 B．14C．5 D．3解析作出可行域(如图)，当目标函数过点A(1,1)时取最小值，故z min＝2×1＋3×1＝5.答案C西安模拟)满足线性约束条件的目标函数z＝x＋y的最大值是()．4．(2011·A．1 B.C．2 D．3解析由线性约束条件画出可行域如图，A、B、C的坐标分别为A，B(1,1)，C，由图可知z max＝1＋1＝2.答案C5．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()．A．2 000元B．2 200元C．2 400元D．2 800元解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当时z min＝2 200.答案B二、填空题(每小题4分，共12分)6．不等式组所表示的平面区域的整点的个数是________．答案9成都月考)若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表7．(2012·示的平面区域内，则m＝________.解析由题意可得解得m＝－3.答案－38．设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．解析由约束条件画出可行域如图．当直线3x－y＝0移至直线x＋2y＝4与直线x－y＝1的交点(2,1)时，目标函数z＝3x－y取得最大值等于3×2－1＝5.答案5三、解答题(共23分)9．(11分)用不等式组表示图中阴影部分表示的区域．解先求出四边形各边所在的直线方程如下AB：2x－11y＋17＝0，BC：2x－y－3＝0，CD：2x－11y＋67＝0，DA：2x－y＋7＝0.∴所求不等式组为10．(12分)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求出所有正整数解．解先将所给不等式转化为而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求的整数解．所给不等式等价于依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)．对于2x－3＜y≤3的正整数解，再画出表示的平面区域．如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组．B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是()．A. B.C. D.解析如图所示，画出可行域，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－.答案A2．(2011·佛山模拟)若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝()．A．－2 B．－1 C．1 D．2解析作出满足题设条件的可行域如图所示，设x＋y＝9，显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0的交点处满足要求．联立方程组解得即点A(4,5)在直线x－my＋1＝0上，∴4－5m＋1＝0，得m＝1.答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab/万吨c/百万元A50%1 3B70%0.56某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：目标函数为z＝3x＋6y，作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为z min＝3×1＋6×2＝15(百万元)．答案154．已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.解析由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部．当m＞0时，z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，得m＝1，当m＜0时，z＝x＋my在点A处取得最小值不合题意，当m＝0时不合题意，综上，m＝1.答案1三、解答题(共22分)5．(10分)若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积．解作出线性约束条件对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超过1即可．令z＝ax＋by，则y＝－x＋.因为a≥0，b≥0，则－1＜－≤0时，b≤1，或－≤－1时，a≤1.此时对应的可行域如图，所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为 1.6．(12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。

2013年高考_文科数学知识点总结(八)

2013年高考_文科数学知识点总结（八）命题要点：1函数图象的识辨′11年2考，′10年3考；2函数图象的应用′11年4考，′10年2考.A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(★)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是()．解析(筛选法)选项A中，一次函数的斜率a＞0，而二次函数开口向下，相互矛盾，排除A，同理排除 D.y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－，当a＞0，b＞0时，x＝－＜0，∴排除B.当a＜0，b＜0时，x＝－＜0，∴C符合．答案C【点评】本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数的特殊元素、特殊位置等内容确定它们是否吻合.2．(2012·北京海淀模拟)函数f(x)＝log a|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为()．解析f(x)在(0，＋∞)上为减函数，只能是A或D.f(1)＝1，只能是 A.答案A3．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是()．解析先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确，y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．综上所述，选 D.答案D4．函数y＝2x－x2的图象大致是()．解析由于2x－x2＝0在x＜0时有一解；在x＞0时有两解，分别为x＝2和x＝4.因此函数y＝2x－x2有三个零点，故应排除B，C.又当x→－∞时，2x→0，而x2→＋∞，故y＝2x－x2→－∞，因此排除 D.答案A5．(2011·陕西)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内()．A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根解析把原方程根的个数问题转化为两函数y＝|x|，y＝cos x的交点问题，再由这两个函数均为偶函数，只需画出这两个函数在[0，＋∞)上的图象即可(如下图)．答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．解析把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，得y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案y＝(x－1)2＋3.7．函数f(x)＝的图象的对称中心为________．解析f(x)＝＝1＋，故f(x)的对称中心为(0,1)．答案(0,1)8．已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．解析在函数g(x)的图象上任取一点(x，y)，在函数f(x)＝x的图象上任取一点(x0，y0)，则∴y＝2－x＝3x－2.答案y＝3x－2三、解答题(共23分)南昌五校联考)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x 9．(11分)(2011·＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解∵f(x)的图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)，又当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.当x＝0时，f(x)＝0.∴函数解析式为：f(x)＝作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为：(－∞，－1)，(1，＋∞)．函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．郑州)已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都10．(12分)(2011·满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式．(1)证明设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y ＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)解当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．所以f(x)＝B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)沈阳六校联合)定义运算a⊕b＝则函数y1．(2011·＝1⊕2x的图象只可能是()．解析由y＝2x的图象知，当x＜0时，0＜2x＜1；当x≥0时，2x≥1，结合题目中的定义知1⊕2x＝答案A2．已知函数f(x)＝|lg x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()．A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析如图，由f(a)＝f(b)，得|lg a|＝|lg b|.设0＜a＜b，则lg a＋lg b＝0.∴ab＝1，∴a＋b＞2＝2.答案C二、填空题(每小题4分，共8分)苏州模拟)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，3．(★)(2012·f(x)的图象如下图，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析(数形结合法)利用函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)【点评】本题采用了数形结合法，根据奇函数的性质作出y轴左边的图象.4．(★)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数为________．解析(数形结合法)根据f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，分别作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图象(如图)，可知函数y ＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数为 4.答案4【点评】本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.三、解答题(共22分)5．(★)(10分)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．思路分析分别作出函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象，观察它们的交点个数．解f(x)＝作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，(2,3)．(2)由题意|x2－4x＋3|＝x＋a.于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．如图所示．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由?x2－3x＋a＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－.由图象知当a∈时方程至少有三个不等实根．【点评】数形结合思想是高考每年必考内容，它对选择题、填空题、解答题均有很大的帮助，但对于解答题而言，图形只是起到帮助分析问题的作用，步骤还要有适当数学语言来表示．6．(12分)已知函数f(x)＝－，(a＞0，a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．(1)证明函数f(x)的定义域为R，任意一点(x，y)关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，f(x)＝－，则－1－y＝－1＋＝－.f(1－x)＝－＝－＝－＝－，∴－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点对称．(2)解由(1)知有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝f(－1)＋f(2)＝f(0)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.。

2013高考数学复习技巧：6大要点做数学笔记(六)

2013高考数学复习技巧：6大要点做数学笔
记(六)
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不仅要能给出各个单元的总结，还应梳理出有关单元的知识和方法的内在联系，从而形成知识体系。

2013年高考_文科数学知识点总结(二十)

2013年高考_文科数学知识点总结（二十）A级(时间：40分钟满分：60分)命题要点：1平面向量的概念′11年1考，′10年1考；2相等向量与共线向量′11年3考，′10年3考；3向量的线性运算及其几何意义′11年2考，′10年3考一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()．A.＝B.＋＝C.－A＝D.＋＝0解析－＝＝－.答案C2．(2011·皖南八校联考)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．(2011·宁波模拟)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则()．A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0解析如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2?P是AC的中点，∴＋＝0.答案B洛阳模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，4．(★)(2011·AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为()．A．3 B.C．2 D.解析(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.答案B【点评】本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条，其中包含平行于底边BC的直线，所以\f(xy,x＋y)的值不随M、N的位置变化而变化.5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∴∥，又与不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)解析由＝3得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.答案－a＋b7．(2012·湖州模拟)给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析①中，∵向量与为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案38．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析＝＋，＝＋，∴λ＝λ＋λ.＝＋，∴μ＝μ＋μ，∴＝＋＝＋，则∴λ＋μ＝.答案三、解答题(共23分)9．(11分)如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，.解＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)，＝(a＋b)，＝(a＋b)．10．(12分)设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，t b，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解设a－t b＝λ(λ∈R)，化简整理得a＋b＝0，∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有∴故t＝时，a，t b，(a＋b)的终点在一条直线上．B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2010·湖北)已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝()．A．2 B．3 C．4 D．5解析∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心，∴＋＝3，∴m＝3.答案B2．O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析＝＋λ，化为－＝λ，即＝λ.由于是上的单位向量i，是上的单位向量j，所以＋＝i＋j，由加法几何意义知，在∠BAC的平分线上，选 B.答案B二、填空题(每小题4分，共8分)3．在△ABC所在的平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．解析因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝ 2 ，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为.答案4．(★)若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．解析(等价转化法)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三、解答题(共22分)5．(10分)如图，以向量＝a，＝b为边作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，.100解∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝a＋b.又＝a＋b.∴＝＋＝＋＝＝(a＋b)．∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.即＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.6．(12分)已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明(1)m，n∈R，且m＋n＝1，∴＝m＋n＝m＋(1－m)，即－＝m(－)．∴＝m，而≠0，且m∈R.故与共线，又，有公共点 B.∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．即＝λ＋(1－λ).由＝m＋n.故m＋n＝λ＋(1－λ).又O，A，B不共线，∴，不共线．由平面向量基本定理得∴m＋n＝1.。

2013年高考_文科数学知识点总结(二十二)

2013年高考_文科数学知识点总结（二十二）命题要点：(1)数量积的定义(′11年6考，′10年4考)；(2)平面向量的夹角、模问题(′11年年1考，′10年2考).5考，′10年4考)；(3)利用平面向量的数量积解决垂直问题(′11A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()．1．(2011·A．－12 B．－6 C．6 D．12解析2a－b＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得：10＋2－k＝0，∴k＝12.答案 D2．(★)设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是()．A．|a|＝|b| B．a·b＝C．a∥b D．a－b与b垂直解析(筛选法)A项，∵|a|＝1，；|b|＝＝，∴|a|≠|b|B项，a·b＝1×＋0×＝；，∴a不平行于b；C项，∵1×－0×≠０D项，∵a－b＝，(a－b)·b＝·＝0，∴(a－b)⊥b.答案 D【点评】本题采用了筛选法.数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.湖北)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于3．(2011·()．A．－ B. C. D.解析2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a＋b与a－b的夹角为.答案 C4．(2011·全国)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()．A. B. C. D.解析由于|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝3，所以|a＋2b|＝.答案 B东北三校联考(二))已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上5．(2011·的投影是()．A．－4 B．4 C．－2 D．2解析设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos θ＝＝－，＝6×＝－4.∴|a|cos θ答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)南京调研(一))在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点6．(2011·分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.解析由题意得·＝1×cos＝1.答案 17．(2011·安徽)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析由(a＋2b)·(a－b)＝－6，得a2－2b2＋a·b＝－6，又|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝1，，所以θ＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，而0≤θ≤π答案新课标全国)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b 8．(2011·与向量ka－b垂直，则k＝________.由a＋b与向量ka－b且θ≠π．解析设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠０垂直，得＝0.－|b|2＝0，(k－1)(1＋cos θ）(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|2＋(k－1)|a||b|cos θ，∴k－1＝0，k＝1.又1＋cos θ≠０答案 1三、解答题(共23分)9．(11分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．解(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，＝，即cos θ＝，∴a·b＝，∴|a||b|cos θ又θ∈[0，π］，∴a，b所成的角为.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝.10．(12分)如图所示，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．(1)若∥，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝－＝(－x－4,2－y)．又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，又⊥，∴·＝0.即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，②联立①②化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)，||＝16；∴SABCD＝||·当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，∴SABCD＝||·||＝16.B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)武汉模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝1．(2011·()．A．－B．－ C. D.解析由于·＝||||cos∠BAC＝(||2＋||2－||2)＝×(9＋4－10)＝.答案 D北京东城4月抽检)如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积2．(2011·中最大的是()．A.·B.·C.·D.·解析由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排除＝a2，·＝||||cos 60°＝a2.D；设正六边形的边长是a，则·＝||||cos 30°答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)的值是________．＝2，α⊥(α－2β），则|2α＋β｜3．已知平面向量α，β，|α｜＝1，|β｜＝，故|2α＋β|2＝4|α|2＝1－2α·β＝0，解得α·β解析：据已知得α·(α－2β）＝|α|2－2α·β＋|β|2＝4＋4×＋4＝10，因此|2α＋β|＝.＋4α·β答案，且以向量a，b为邻边的平行四边4．(2011·浙江)若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|≤１形的面积为，则a和b的夹角θ的取值范围是________．，又0≤θ≤π，故有≤θ≤．，得sin θ≥＝，即sin θ＝，由|b|≤１解析依题意有|a||b|sin θ答案三、解答题(共22分)5．(10分)已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．解由题意知△ABC为直角三角形，⊥，∴·＝0，cos∠BAC＝，cos∠BCA＝，∴和夹角的余弦值为－，和夹角的余弦值为－，∴·＋·＋·＝20×＋15×＝－25.6．(★)(12分)设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与向量e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．思路分析转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．解由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0.得－7＜t＜－.设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜0)．∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π．∴夹角为钝角时，t的取值范围是∪.【点评】本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.。