江苏专题04 直击轨迹方程问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练

合集下载

高二轨迹方程练习题

高二轨迹方程练习题首先，我们先回顾一下高中数学中的轨迹方程概念。

轨迹方程是一种用来描述运动物体路径的数学表达式。

在数学中，轨迹方程通常由一组函数或方程组成，用来表示物体在平面内的移动轨迹。

在高二数学中，我们经常遇到求解轨迹方程的问题。

下面就让我带你一起解析几道高二轨迹方程练习题。

题目一：求解抛物线的轨迹方程已知一个抛物线的焦点为F（2，0），并且经过点A（-2，3）。

求解这个抛物线的轨迹方程。

解析：首先，我们知道焦点为F（2，0），则抛物线的焦点坐标可以表示为（2a，0）。

然后，我们已知抛物线上的一点A（-2，3），将坐标带入抛物线的一般方程y=ax²+bx+c中可以得出方程为3=-a*2²-b*2+c。

由于焦点在抛物线的轴上，根据抛物线的性质，可得 a = 1/(4a)。

再通过解方程组，我们可以得到b = 0，c = 2a。

因此，抛物线的轨迹方程为 y = ax² + 2a。

题目二：求解椭圆的轨迹方程已知一个椭圆的焦点分别为F1（-2，0）和F2（2，0），离心率为3/4。

求解这个椭圆的轨迹方程。

解析：我们知道椭圆的离心率（e）定义为焦点到准线的距离与焦点到椭圆上一点的距离的比值。

根据已知条件，我们可以得到 e = 3/4。

在椭圆的轨迹方程中，准线与x轴平行且位于原点两侧。

由于焦点位于x轴上，可以得知椭圆式的一般方程为 x²/a² + y²/b² = 1。

由椭圆的离心率可以得到 a² = b² * (1 - e²)。

将已知条件代入方程，我们可以得到 a² = b² * (1 - (3/4)²)。

进一步化简得到 7a² = 16b²。

因此，椭圆的轨迹方程为 x²/(7a²) + y²/(16b²) = 1。

题目三：求解双曲线的轨迹方程已知一个双曲线的焦点分别为F1（-3，0）和F2（3，0），离心率为2。

【高二数学试题精选】高二数学下册轨迹问题单元训练题及答案

高二数学下册轨迹问题单元训练题及答案
5
c
时训练50 轨迹问题
【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟
一、选择题（每小题6分，共42分）
1两定点A（-2，-1），B（2，-1），动点P在抛物线=x2上移动，则△PAB重心G的轨迹方程是（）
A=x2- B=3x2- c=2x2- D= x2-
答案B
解析设G（x,），P（x0,0）则
x0=3x，0=3+2，代入=x2得
重心G的轨迹方程3x+2=(3x)2
2曲线c上任意一点到定点A（1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线c是（）
A抛物线 B由两段抛物线弧连接而成
c双曲线 D由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成
答案B
解析设P（x,）为曲线c上任意一点，由题意，得 -|x-4|=5，故2=
故曲线c是由两段抛物线弧连接而成
3下列命题中，一定正确的是（）
A到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆
B到定点F（-c，0）和到定直线x=- 的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆的左半部分
c到定直线x=- 和到定点F（-c，0）的距离之比为（a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆
D平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹。

2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第77讲轨迹方程的求法

第77讲轨迹方程的求法【知识要点】一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；（3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程；（4）代点坐标到方程；（5）化简：化方程为最简形式；（6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略）三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.四、轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.【方法讲评】【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足，求动点的轨迹方程．【解析】【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法.【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹.【点评】（1）这道题运用的是直接法，但是它是把已知条件转化得到的一个等式，不是现存的等式.（2）轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.所以本题要描述轨迹的基本特征.【反馈检测1】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x 轴上），连[交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．【反馈检测2】一条双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线与交点的轨迹的方程式；（2）若过点（）的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值.【例3】已知动圆P与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程．【点评】（1）此道题通过对已知的分析得到，即动点到两个定点的距离的差是一个常数，与双曲线的定义相符，所以其轨迹是双曲线的一支，利用的是待定系数法；（2）利用待定系数法求轨迹方程时，一定要比较全面地分析条件和曲线的定义，看是曲线的全部，还是曲线的部分，此题也不是双曲线的全部，是双曲线的一支.【例4】已知点到点的距离比到点到直线的距离小4；（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若曲线上存在两点关于直线l:对称，求直线的方程.【解析】（1）结合图形知，点不可能在轴的左侧，即到点的距离等于到直线的距离的轨迹是抛物线，为焦点，为准线的轨迹方程是：（2）设则相减得又的斜率为－4则中点的坐标为，即经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意．【点评】（1）本题的第一问利用的就是待定系数法，通过对动点的分析，发现它满足抛物线的定义,所以动点的轨迹是抛物线.(2)第二小问利用了点差法，可以提高解题效率.【反馈检测3】已知垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知点，过点且斜率为（）的直线与点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.某被动点之所以在运动，是因为主动点在某曲线上运动引起的先利用被动点的坐标表示主动点把动点化简【例5】已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程．【点评】点之所以在动，就是因为点在动，所以点是被动点，点是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程.【反馈检测4】已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．如果动点的运动主要是由于某个参数）用这个参数表示动点的坐标，即【例6】已知曲线（1）证明:当时，曲线是一个圆；（2）求证圆心在一条定直线上.【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答.【反馈检测5】已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第77讲:轨迹方程的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）直线恒过定点．【反馈检测2答案】（1）；（2）.【反馈检测2详细解析】由双曲线的左、右顶点分别为得.所以两式相乘得而点在双曲线上，所以即故，即.（2）设，则由知，.将代入得，即，由与E 只有一个交点知，，即.同理，由与E 只有一个交点知，，消去得，即，从而，即.【反馈检测3答案】（1）;（2）.（2）设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点,将直线方程代入椭圆：，整理得：，因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且.直线的方程为，直线的方程为，令，得点，点，所以点的坐直线的斜率为.将代入上式得，. 所以为定值. 【反馈检测4答案】【反馈检测5答案】【反馈检测5详细解析】如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系．设点，则由题意，得．由点斜式得直线的方程分别为．两式相乘，消去，得．这就是所求点的轨迹方程．。

2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法(含答案)

高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解：),3(),,2(y x PB y x PA --=---= ，2)3)(2(y x x PB PA +---=⋅∴226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例 2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x .三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例3 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --. N.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得,111=--x x y y 即011=-+-x y y x .②联解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=22322311x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--，半径为25221=AB ，方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x .五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例 5 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ，则直线OB 的斜率为k1-.直线OA 的方程为kx y =，由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==kpy k px 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -.由中点坐标公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=pk k p y pk k p x 22，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程. 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=①；直线N A 2的方程为)(11a x ax y y -+-=②. ①×②得)(22221212a x ax y y ---=③. 又,1221221=-b y a x )(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(22222a x ab y --=，化简得12222=+by a x ，此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段2．（）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠）（B ）221144169x y +=（0x ≠）（C ）22116925x y +=（0y ≠）（D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是；5．已知圆C：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是．212y x =8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．4kx =（28k y >） 9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为．解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-．解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-．当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程．（定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ，求动点P 的轨迹方程．3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b +=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x y G ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=．故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k -++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+， ∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且k ≠．故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y +=整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）． 7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-，且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+，OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±．故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ． ∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02x x y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =．（2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x kx x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴x x x x y y 646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA FBFA θ…………10分由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2yPF =-，又0PM PF ⋅=，∴204yx -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． 10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =，故动点P 的轨迹方程为214y x =． 11．如图()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值；（2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN=，求l 的方程．解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-， ∴ 14mn =．（2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB=+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l 的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I ）求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=．即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II ）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)．故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=．又 4t ≤， ∴421517≤-λλ．解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）．13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2．（1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（y x =±）（2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525xy +=）提示：||1010AB =⇒=，又11y x =，22y x =，则1221)3yy x x +=-，2112)3y y x x -=+．又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知||2PF d =，且2332d ≤≤．（1）求动点P 的轨迹方程；15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b 43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k -．即k >或1k 2<，且k≠0． ∴k 的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）．第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->．20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

九年级数学轨迹与作图高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法
二、定义法
三、代入法
四、几何法
五、参数法
六、交轨法
直线的方程为①；直线的方程为②.
高考动点轨迹问题专题讲解
（一）选择、填空题
3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是；
4．P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是；
分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为．
点C的轨迹方程是；（）
10．过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．
（二）解答题
1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．
（定义法）
7．设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，，且．
（1）求点的轨迹的方程；（定义法）
（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．
解：（1）；
（2）因为过轴上的点．若直线是轴，则两点是椭圆的顶点．
，所以与重合，与四边形是矩形矛盾．
故直线的斜率存在，设方程为，．
由消得此时＞恒成立，且，，
，所以四边形是平行四边形．
若存在直线，使得四边形是矩形，则，即．
，
∴．
即．
．，得．
解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则，，．
∵，，∴，．
∵，∴，
即所求点的轨迹方程为．
（2）设点
设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为
由…………6分
…………7分
…………8分
…………10分
由于…………11分解得…………13分。

2018年高考数学专题(轨迹方程问题汇总)+已可排版打印+(详细解析)+新人教A版

2y.轨迹方程问题汇总11. 已知点 M( — 3, 0)、N(3, 0)、B(1 , 0),O O 与 MN 相切于点 B ,过的两直线相交于点 P ,贝U P 点的轨迹方程为 ____________ .解析:如图，|PM| — | PN|=| PA|+| AM| — |Pq — | CN|=| MA| — | NC|=| MB| P八• P 点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b 2=l8l.2 2•方程为T —务=1(x >1).2答案：x 2— y=1(x >1)12. 点M 到一个定点F(0, 2)的距离和它到一条定直线 y=8的距离之比是轨迹方程是 ___________ .2, ac由 c=2,=8,得 a=4,满足 e= =cX 。

2、2 x 2 y 0y -y 02 x 0 2x 2 2,•••椭圆方程为 2 2 y x + =1.16 12 2 =1 2 答案：乞+ X16 16.(本小题满分10分)设F 1、F 2是双曲线 12 x 2— y 2=4的左、右两个焦点, M ,求点M 的轨迹方程.P 是双曲线上任意N由已知可得M 为 F I N 的中点，一点，过F 1作/ F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为 M 、N 与O O 相切—| NB|=4 — 2=2.1 : 2，贝U M 点的解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0,为原点的直角坐标系，则曲线为x2a22y_b2=1,1其中a=25,c=- | AB|• c=25 .. 7 ,b2=c2—a2=3750.2 •••所求曲线方程为—6252y3750=1(x> 25,y> 0).18.(本小题满分12分)已知点F(1, 0)，直线l:x=2.设动点| PF= 一d,_ w dw —.2 3 2(1)求动点P的轨迹方程；P到直线I的距离为d,且——. 一1 —一(2)若PF • OF =—，求向量OP与OF的夹角.32解:⑴根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,— =2/. a-. 2 .c畤=护¥满足吋孑止2 2/ P点的轨迹为—+-^=1.2 1a2 2 3又 d = ——x,且2w d w3又I NF2|=| PN| —| PF2|=| PF1| - | PF2|=2 a=4,•••(x o—2、2 )2+y o2=16.••• (2x+2 .. 2 —2 . 2 )2+(2y)2=16. • x2+y2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m , PB=150 m，/ APB=60° .能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程解:设M是这种界线上的点，则必有| MA|+| PA=| MB|+| PB|,即| MA| —| MB|=| PB| —| PA=50.•这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支•建立以AB为x轴，AB中点P2(2)直线l 的斜率k tan45 1.2 w 2-X W3 1w X W 43 2、 2 3X 2 2 1 V V 4 +y 2=1( w x w ).2 2 3X 2° 1 4P 点的轨迹方程为 —+y 2=1( - w x w —),.•. F (1,0)、 2 23OF =(1,0), OP =(x o ,y o ), PF =(1 — x o , — y o ).•- PF • OF = !,. 1 — x o =[.332 丄一7…X o = — ,y o = ±33又 OP • OF =| OP | • | OF | • cos e , .1 • X o +0 • y o = . X 02 y 。

考点39 轨迹与轨迹方程-2018版典型高考数学试题解读与变式含解析精品

典型高考数学试题解读与变式2018版考点39 轨迹与轨迹方程【考纲要求】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等【命题规律】轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题. 【典型高考试题变式】（一）求点的轨迹方程例1.【2017新课标卷】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【分析】（1）设出点P 的坐标，利用2=NP NM 得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=0，即⊥OQ PF ，据此即可得出结论．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---．由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=．所以OQ PF ⋅=0，即⊥O Q P F ．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．【变式1】【2016新课标卷】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22ba Rb Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y .【变式2】在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM ·ON ＝1A P ·2A P (O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．【解析】OM ＝(x,1)，ON ＝(x ，－2)，1A P ＝(x ＋2，y )，2A P ＝(x －2，y )． ∵λ2OM ·ON ＝1A P ·2A P ， ∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线； ②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆； ③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 2－λ2＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 2λ2－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．（二）求点的轨迹例2. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A B C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )【答案】D【解析】当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.【名师点津】轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．【变式1】已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线．【数学思想】①数形结合思想． ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同.一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．【典例试题演练】1. 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1【答案】D【解析】设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16， ∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.2. 已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP ·QF ＝FP ·FQ ，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x【答案】A【解析】设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP ·QF ＝FP ·FQ ，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .3. 已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0【答案】D【解析】设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0. 4. 已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】B【解析】设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16＞0，所以动点P 的轨迹是圆．5. 平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】A【解析】设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.6. 已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内一动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C7. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y23＝1(y ≠0)【答案】C【解析】依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y3.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．8. 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( )A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分【答案】D【解析】设点Q 在双曲线的右支上(如图)，延长QF 2，交F 1P 的延长线于点M ，连接OP ，则有||QM ＝||QF 1，P 为F 1M 的中点，∴||PO ＝12||F 2M ＝12(||QM －||QF 2)＝12(||QF 1－||QF 2)＝a ，且P 点不能落在x 轴上，故P 点的轨迹是圆的一部分.故选D.9. 已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．【答案】椭圆【解析】由题意可知|PM |＋|PN |＝|MA |＝6.又M (－2,0)，N (2,0)，∴动点P 的轨迹是椭圆． 10.【2016广东省湛江市模拟】已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．【答案】15922=+y x11. 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C的方程为____________________．【答案】x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)【解析】由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．12. 在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于点D ，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．【答案】x 22－y 22＝1(x ＞2)【解析】以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴顶点A 的轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．13. 设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴左、右顶点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2的交点P 的轨迹方程为________.【答案】x 29－y 24＝1.【解析】设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 1，－y 1)，易求A 1(－3，0)，A 2(3，0)，则直线A 1P 1的方程为y ＝y 1x 1＋3(x ＋3)，①直线A 2P 2的方程为y ＝－y 1x 1－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 21x 21－9(x 2－9).③∵点P 1在椭圆上，∴x 219＋y 214＝1，得y 21＝－4（x 21－9）9，即y 21x 21－9＝－49.④把④代入③整理得x 29－y 24＝1，这就是点P 的轨迹方程.14. 平面内与两定点距离之比为定值)1(≠m m 的点的轨迹是________.【答案】圆15.【2017广西南宁、梧州联考】已知点C 的坐标为()1 0，，A ，B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB ⋅=.（1）求证：点 A C B ，，共线；（2）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB ⋅=时，求动点Q 的轨迹方程.（2）由题意知，点Q 是直角三角形AOB 斜边上的垂足，又定点C 在直线AB 上，90OQB ∠=︒，（3）设动点() Q x y ，，则() OQ x y =，，()1 CQ x y =-，，又0OQ CQ ⋅=，所以()210x x y -+=，即()2211024x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭，动点Q 的轨迹方程为()2211024x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭.。

【高三数学试题精选】轨迹方程的求法复习测试题(附答案)

轨迹方程的求法复习测试题（附答案）
5 第七时轨迹方程的求法时作业
题号123456
答案
1(2018年北京卷)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
c．双曲线D．抛物线
2．一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是( )
A．双曲线B．双曲线的一分支
c．圆D．椭圆
3．已知|AB→|＝3，A、B分别在轴和x轴上运动，为原点，P→＝13A→＋23B→，则动点P的轨迹方程是( )
Ax24＋2＝1B．x2＋24＝1
cx29＋2＝1D．x2＋29＝1
4．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且12|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
c．抛物线D．线段
5．已知两定点A－2，0、B1，0，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．9πB．8π
c．4πD．π
6．一动圆与两圆⊙x2＋2＝1和⊙Nx2＋2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为__________．
7．过抛物线x2＝4的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则。

专题04 直击轨迹方程问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练(选修2-1) 含解析

一、选择题1．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为()0,0O ， ()1,0A ，()1,1B ， ()0,1C ，点D ， E 分别在线段OC ， AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是（）.A . ()()101y x x x =-≤≤B . ()()101x y y y =-≤≤C . ()201y x x =≤≤D . ()2101y x x =-≤≤【答案】A本题选择A 选项.点睛：求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (4)代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程2．【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点()3,0A -， ()3,0B ，动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹为（）A . 直线B . 圆C . 椭圆D . 双曲线【答案】B【解析】点P 的坐标为(),x y =()22516x y -+=，所以点P 的轨迹为圆，选B ．3．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期第8周周考】设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A . (x －1)2＋y 2＝4B . (x －1)2＋y 2＝2C . y 2＝2xD . y 2＝－2x【答案】B【解析】设圆(x －1)2＋y 2＝1圆心为C ，则P 点的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，选B .点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．4．【四川省达州市高级中学高2015级零诊】若方程C ： 221y x a+=（a 是常数）则下列结论正确的是（） A . a R +∀∈，方程C 表示椭圆 B . a R -∀∈，方程C 表示双曲线 C . a R -∃∈，方程C 表示椭圆 D . a R ∃∈，方程C 表示抛物线【答案】B∵不论a 取何值，方程C ： 221y x a+=中没有一次项a R ∴∀∈，方程C 不能表示抛物线，故D 项不正确综上所述，可得B 为正确答案故选B5．【江西师大附中2017-2018学年上学期高二10月月考】动圆M 与圆()221:11C x y ++=外切，与圆()222:125C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A . 22189x y +=B . 22198x y +=C . 2219x y +=D . 2219y x += 【答案】B点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．二、解答题6．【2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三（上）10月月考】已知点P 是圆F 1：（x ﹣1）2+y 2=8上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的垂直平分线分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点G （0，13）的动直线l 与点的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y += （2）在y 轴上存在定点Q （0，﹣1），使以AB 为直径的圆恒过这个点．【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出F 1、F 2的坐标，结合题意可得点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆，并求得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）直线l 的方程可设为13y kx =+，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A ，B 横坐标的和与积，假设在y 轴上是否存在定点Q （0，m ），使以AB 为直径的圆恒过这个点，可得AQ BQ ⊥ ，即0AQ BQ ⋅= ．利用向量的坐标运算即可求得m 值，即定点Q 得坐标．（2）直线l 的方程可设为13y kx =+，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2213{12y kx x y =++= 可得9（1+2k 2）x 2+12kx ﹣16=0．则1x +2x =()24312k k -+ ， 1x 2x =()216912k-+ ，假设在y 轴上是否存在定点Q （0，m ），使以AB 为直径的圆恒过这个点，则AQ BQ ⊥，即0AQ BQ ⋅=．∵()11,AQ x m y =-- ， ()22,BQ x m y =--∴AQ BQ ⋅=1x 2x +()1m y - ()2m y -=1x 2x +121133m kx m kx ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()22121222222222212113391121612133991291218189615912k x x k m x x m m k m k m m k k m k m m k ⎛⎫=++-++-+⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪+⎝⎭=--+-+++-+--==+∴2218180{ 96150m m m -=--= ，解得m =﹣1．因此，在y 轴上存在定点Q （0，﹣1），使以AB 为直径的圆恒过这个点．点睛：本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法，除此以外还有直接法，相关点法，消参法等.7．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积()20525b b -<<.（1）求点M 的轨迹方程；（2）在点M 的轨迹上有一点P 且点P 在x 轴的上方， 120APB ∠=︒，求b 的范围.【答案】（1）()2221525x y x b+=≠±；（2）03b <≤.【解析】试题分析：（1）设点M 的坐标为(),x y ，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于()20525b b -<<建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点P 的坐标为()00,x y ，利用斜率公式及夹角公式，可得00,x y 的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出b 的范围.化简，得点M 的轨迹方程为()2221525x y x b+=≠± 方法一：设点P 的坐标为()00,x y ，过点P 作PH 垂直于x 轴，垂足为H ，000055tan ,tan x x APH BPH y y +-∠=∠= 00000200020005510+tan120552511x x y y y x x x y y y +-︒==+---⋅-因为点P 的坐标为()00,x y 在点M 的轨迹上，所以()220021525x y x b +=≠±所以解得03b <≤. 方法二：设点P 的坐标为()00,x y ，点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0- 直线AP 的斜率()00055AP y k x x =≠+，直线BP 的斜率()00055BP yk x x =≠- 由120APB ∠=︒得0000000055tan120155y yx x y y x x --+︒=+⋅-+所以220025x y +-=（1）又由于点P 的坐标为为()00,x y 在点M 的轨迹上，所以()220021525x y x b+=≠± 得220022525x y b -=-，代入（1）得202251y y b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20y =.因为00y b <≤，20b <≤，2250b +-≤.所以解得0b<≤又由于点P 的坐标为为()00,x y 在点M 的轨迹上，所以()220021525x y x b +=≠± 005,{.x cos y bsin θθ==代入（1）得22225cos sin 25b θθ+-=，222sin 25sin b θθ-=，225b -= 10sin 1,1sin θθ<≤≤，2225250b b -≥-≤.所以解得0b <≤方法四：设点P 的坐标为()00,x y ，点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0- 直线AP 的斜率()0055AP y k x x =≠+，直线BP 的斜率()0055BP yk x x =≠- 由120APB ∠=︒得0000000055tan120155y yx x y y x x --+︒=+⋅-+所以02021025251y x b-=-（1）方法五设点P 的坐标为()00,x y ，点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0- 直线AP 的斜率()0055AP y k x x =≠+，直线BP 的斜率()0055BP yk x x =≠- 由120APB ∠=︒得1BM AMBM AMk k k k -=+2125BM AMk k b -=-2125AM BM b k k ⎫-=-⎪⎭0,0,0AM BM BM k k k >-2125AM BM b k k ⎫-=-≥⎪⎭2125b ⎫-≥⎪⎭212255b b ⎫-≥⎪⎭2250b +-≤.所以解得0b <≤点睛：本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可，注意222,ca b c e a=+=的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．8．【北京昌平一中2016-2017学年高二上学期期中】已知点A 的坐标为()2,0-，圆C 的方程为224x y +=，动点P 在圆C 上运动，点M 为AP 延长线上一点，且AP PM =．（1）求点M 的轨迹方程．（2）过点()3,4Q 作圆C 的两条切线QE ， QF ，分别与圆C 相切于点E ， F ，求直线EF 的方程，并判断直线EF 与点M 所在曲线的位置关系．【答案】（1）()22216x y -+=（2）:3440EF x y +-=，相交试题解析：（1）设(),M x y ，点A 的坐标为()2,0-，动点P 在圆C 上运动，点M 为AP 延长线上一点，且AP PM =，则点P 为A ， M 的中点，所以得2,22x y P -⎛⎫⎪⎝⎭代入圆C 的方程()22224216x y x y +=-+=，得．（2）过点()3,4Q 作圆C 的两条切线QE ， QF ，分别与圆C 相切于点E ， F ，则,Q E E CQ F F C ⊥⊥ ，则QE QF =，设圆D 以Q 为圆心，以QE 为半径，5OQ =，∴QE ==∴()()22:3421D x y -+-=．则EF 为圆D 与圆C 的公共弦，联立C ， D ，作差得直线EF 方程∴:3440EF x y +-=， 245d ==<，∴相交．点睛：本题主要考查了直线与圆的方程的应用，第一问求轨迹的方程是相关点法，设所求点的坐标为(),x y ，找出所求点与已知点的等量关系，借助已知点所满足的方程求出所求，此外还有定义法，直接法，参数法. 9．【云南省德宏州芒市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知圆C ： 222410,x y x y o ++-+=为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆的切线，设切点为M .若点P 运动到（1,3）处，求此时切线l 的方程；求满足条件|PM||PO|=的点P 的轨迹方程.【答案】(1) 1x =或34150x y +-=；（2）2410x y -+=【解析】试题分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线方程；（2）设出P 点的坐标，代入两点间距离公式，化简即可得轨迹方程.（2）设(),P x y ,则()()22222|||124PM PC MC x y =-=++--，222||PO x y =+，由|PM||PO|=得： ()()2222124x y x y ++--=+，化简得： 2410x y -+=点睛：本题主要考查直线与圆相切，点斜式求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，分析斜率存在与不存在两种情形，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于,x y 的关系，化简即可求出轨迹方程.10．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】两点，，曲线上的动点满足．（Ⅰ）求曲线的方程．（Ⅱ）曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) (2) 存在和【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义判断并确定基本量，写出其标准方程（2）设点坐标，利用向量数量积得点坐标关系式，再与椭圆方程联立解方程组可得点的坐标（Ⅱ）假设存在点，∵，，∴，，∴．∴，，∴存在和，满足条件．11．【云南省昆明一中2018届高三一模】已知动点(),M x y 满足：=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点()1,0N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）直线过定点()2,0- ，证明见解析.试题解析：（1）由已知，动点M 到点()1,0P -， ()1,0Q 的距离之和为且PQ <M的轨迹为椭圆，而a = 1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程： 2212x y +=. （2）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则()11,C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为： ()1y k x =+由()221{ 12y k x x y =++= 得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+， 21222212k x x k-=+，直线BC 的方程为： ()212221y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---，令0y =，则()()()()12121212122121121222222kx x k x x x x x x x y x y x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点()2,0D -.12．【湖北省沙市中学2017-2018学年高二上学期第三次双周考】已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB的长为D 是AB 的中点．（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ，当|PQ |＝3时，求直线l 的方程。

高考动点轨迹方程的常用求法含练习题及答案

轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，那么有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，那么点P 的轨迹是〔〕 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---，，(3)PB x y =--，，由2PA PB x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．应选D ．三、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、待定系数法：当曲线的形状时，一般可用待定系数法解决.例5：A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =，1()2AE AB AD =+．〔1〕求E 点轨迹方程；〔2〕过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：〔1〕设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，那么22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠；〔2〕设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，2211k k =+∴，解得33k =±．将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴，又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量〔参数〕，把x ，y 联系起来例4：线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OPOP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，，那么由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1.椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,那么动点A 的轨迹方程为_________.4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y 〕,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y 〕，依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0〕(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，那么Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),那么A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++① A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y --② ①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0〕,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,那么(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

2018年人教版《高中数学》必会基础题型—《求轨迹方程的常用方法》(专题汇编含答案)

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。

例2：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。

高考数学轨迹问题的题型与方法试题

智才艺州攀枝花市创界学校高考数学轨迹问题的题型与方法主要内容：轨迹与轨迹方程−−坐标化坐标化〔探求轨迹：利用特殊化〔特殊点、位置〕，画草图分析，寻找轨迹〕2．求轨迹方程的一般步骤：①建系②设点③列式④化简⑤检验﹙较易忽略﹚3．轨迹方程的求法〔1〕曲线类型————待定系数法〔2〕未知曲线类型————①定义法②直接法③代点法④交轨法⑤参数法如直接法：〔解题思路〕4．注意轨迹的纯粹性与完备性--------在求出曲线的方程之后要仔细地检查有无“不法分子〞掺杂其中，将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼〞“逍遥法外〞将其找回。

范例及其解法：圆C ：(x ﹣1)2+y2=1,过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程。

解题点拨：考虑问题的角度不同，可有多种解法。

解法1：〔直译法〕设OQ 为过O 的任一弦，点P 〔x,y 〕为弦OQ 中点y，那么由平几知识得CP ⊥OQ ，设OC 中点为M )0,21(OCx 那么|MP|=21|QC|=21〔直译法〕于是有〔x －)212+y2=41(o ＜x ≤1)解法2：〔定义法〕∵∠OPC=90°,动点P 在以M 〔0,21〕为圆心，OC 为直径的圆上，那么|OC|=1，由圆方程可得：〔x –)212+y2=41〔o ＜x ≤1〕解法3：〔参数法〕设动弦OQ 所在直线方程为y=kx ，将它代入圆C 方程得：(x-1)2+k2x2=1，即(1+k2)x2–2x=0〔*〕设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦OQ 的中点为P(x,y) 那么x1,x2是方程〔*〕的两根，221k 12x x +=+，221k 112x x x +=+=∴……①而y=kx=2k1k+……②由①、②消去k ，整理得)1x 0(41y )21x (22≤<=+-解法4：〔代入法〕〔即相关点法〕设圆C 的任一点Q(x0，y0)，弦OQ 的中点P 的坐标为(x,y)那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2y y 2x x 00⇒⎪⎩⎪⎨⎧==y2y x 2x 00又因为(x0-1)2+y02=1，所以有(2x-1)2+4y2=1即所求的轨迹方程是)1x 0(41y )21x (22≤<=+-例2．如下列图，直线l1和l2相交于点M ，l1⊥l2，点N ∈l1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l2的间隔与到点N 的间隔相等，假设△AMN 是锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线C 的方程。