919.面积问题与面积方法-奥数精讲与测试(9年级)

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(中考类)初中数学竞赛讲座精讲与练习题之精讲篇(一)

基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆；（2）A bc S ABCsin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21（5）Rabc S ABC 4=∆（6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B CB a S ABC +=∆ （8）)(21a cb r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+．例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB D EA CD E BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC的面积．求证：2132S S ≥．例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍；（2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABCPQR S S ．例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bca IN MI +≤．例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =，3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECNAC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值．例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切．训练题1．设ABC ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41．4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的面积．5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作ADBE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长． 7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤．9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值． 10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：CB D A DC B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLGKFLF=． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r （r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m 同余；(4) 同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程①证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1³23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≣0，解得≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26²31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y 必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A） 3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≢A≢105的整数A的个数是x³104+1，则x的值________.(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习二十1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z 都不能是整数.4.可仿例2解.5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。

初中面积问题方法总结

初中面积问题方法总结
初中面积问题通常涉及到平面几何中的基本图形，如三角形、四边形、圆等。

解决这类问题的方法主要包括以下几种：
1.公式法：对于常见的图形，如三角形、矩形、正方形、圆等，都有相应的面积计算公式。

熟练掌握这些公式，并能灵活应用，是解决面积问题的基本方法。

2. 分割法：对于复杂的图形，可以将其分割成几个简单的图形，然后分别计算这些图形的面积，最后求和。

这种方法需要准确判断图形的构成和分割方式。

3.补全法：有些图形可以通过补全成一个更简单的图形来方便计算面积。

例如，通过补全一个三角形为一个矩形或正方形，可以更容易地找到三角形的面积。

4.相似图形法：如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们对应边长的平方之比。

利用这个性质，可以通过已知图形的面积来求解未知图形的面积。

5.坐标法：在平面直角坐标系中，可以通过计算图形各顶点的坐标，然后利用坐标来计算面积。

这种方法通常用于求解不规则图形的面积。

6.面积比法：在一些情况下，可以通过比较图形的面积来求解问题。

例如，在比例尺问题中，可以通过比较实际面积和图上面积的比例来求解。

7.代数法：对于一些涉及变量和方程的面积问题，可以通过代数方法来求解。

这通常涉及到建立方程或不等式，并解出未知数的值。

解决初中面积问题时，首先要仔细分析问题的条件，选择合适的方法。

同时，还需要注意计算过程中的准确性和规范性，避免因为计
算错误而导致结果不正确。

初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法

word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。

中考数学专题复习《面积的计算》考点专题讲解-人教版初中九年级全册数学试题

面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360n r（n为圆心角，r为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1 用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG＝4，EF＝12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是 ( )A．16 B．20 C．24 D．28【切题技巧】【规X 解答】 B【借题发挥】把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】 1．如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形，则A ，B ，C ，D 的面积的和等于 ( )A ．94m 2 B ．52m 2 C ．114m 2 D ．3m 2考点2 用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5，S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规X 解答】【借题发挥】对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ，△CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于 ( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a b D ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例3 如图所示，△ABC 的面积是1cm 2．AD ＝DE ＝EC ，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规X解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点 4 面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O点，若△AOD 的面积是2，△COD 的面积是1，△COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．16B ．15C ．14D ．13【切题技巧】分析△AOD ，△DOC ，△AOB ，△COB 四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规X 解答】【借题发挥】两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCDABCDS S 四边形矩形等于 ( ) A ．56 B ．45 C ．34 D ．23考点5 例5 如图所示，在四边形ABCD 中，AM ＝MN ＝ND ，BE ＝EF ＝FC ，四边形ABEM 、MEFN 、NFCD 的面积分别记为S 1，S 2和S 3．求213?S S S =+ 【切题技巧】把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规X解答】连接A．E、EN、PC和AC．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】5．如图，X大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，X大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为X大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6 格点多边形的面积例6 如图，五边形ABCDE的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规X解答】如图，标上字母F、G、H、I、J点，使得△ABF，△BCG，△CDH，△DEI，△EAJ为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S，格点多边形内部有且只有n个格点，它各边上格点的个数和为x．则S＝12x＋n－1．【同类拓展】6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是 ( )A． 3：4 B．5：8 C．9：16 D．1：2参考答案1．A 2．A 3．S3＝S2＋S7＋S8．4．D 5．S△ABF＝S四边形AFCD． 6．B。

九年级数学面积问题与面积方法例题讲解

九年级数学面积问题与面积方法例题讲解知识点、重点、难点用面积方法解题，其基本原理是：首先根据问题中的几何量与有关图形面积之间的内在联系，用面积表示有关的几何量；其次把几何量之间的关系转化为面积关系，然后通过面积变形，得到原问题的解决方法。

面积方法解题有时更具有直观性、通用性和简洁性，因此在国内外数学竞赛试题中经常出现面积问题。

1.三角形的面积公式（1）12a S ah =；（2）S =pr （p 为三角形半周长，r 为内切圆半径）；（3）4abcS R =（R 为外接圆半径）；（4）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；（5）S p 为半周长）（海仑公式）。

2.四边形的面积公式设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的夹角为θ，则1sin .2ABCD S AC BD θ= 3.多边形的面积（1）设P 为多边形内一点，则122312nPA A PA A A AA S S S ∆∆=++多边形1.n PA A S ∆+（2）设多边形有内切圆，半径为r ，则12nA AA S pr =多边形（p 为半周长）。

4.等积变换的基本定理(1)等底等高的两个三角形面积相等；(2)两个三角形面积比，等于它们的底高积之比； (3)两个等底三角形面积之比，等于它们高之比； (4)两个等高三角形面积之比，等于它们底之比；(5)两个相似三角形面积之比，等于它们相似比的平方；(6)两个等角三角形面积比等于它们夹该角的两边之积的比；例题精讲例1：如图，五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE = BC ＋DE =1，求五边形A BCDE 的面积。

分析应用割补将五边形面积转化成两个三角形面积之和。

解因为AB = AE ，∠ABC =∠AED =90°，所以可将△AED 切割下补在△ABP 的位置。

如图， AP =AD ，BP =DE .观察△ACD 和△APC ，有PC =BP ＋BC =CD =1，AC =AC ，AP=AD. △ACD 和△APC 三条边都对应相等，△ACD 和△APC 是两个同样的三角形（△ACD ≌△APC ），所以,22ACD APC ABCDE APCD ACD ADC APC S S S S S S S ∆∆∆∆∆===+==⨯1() 1.2PC AB ⨯=例2：如图，将△ABC 的三个顶点与一个内点连结起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求ABC S ∆．解设另外两个小三角形面积分别为x 、y ，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，则得方程组4040843030353535304084848435,4030y x xx y x y y ⎧++=⎪++⎪⎪++=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩ 解得7056.x y =⎧⎨=⎩ 所以ABC S ∆=＝30＋35＋70＋84＋56＋40＝315.例3：如图，在△ABC 中，P 为BC 边上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA .若1ABC S ∆=，证明：BPF S ∆，PCE S ∆，和PEAFS 中至少有一个不小于4.9证明设(01)BPt t BC=≤≤，并且1ABC S ∆=．因为PE ∥BA ，PF ∥CA ，所以△BPF ∽△BCA ，△PCE ∽△BCA ，所以2()BPF ABC S BP S BC ∆∆==2t ，所以2.BPF S t ∆=同理可得22()(1),PCE ABC S CP t S BC∆∆==-所以2(1).P C E S t ∆=-所以221(1)2(1).PEAF ABC BPF PCE S S S S t t t t ∆∆∆=--=---=-原命题要证BPF PCE PEAF S S S ∆∆、、中至少有一个不小于49，用反证法。

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法面积是几何学中的一个重要概念，它描述的是二维平面上的一个区域的大小。

面积问题是与面积相关的数学问题，可以通过不同的面积方法来解决。

面积是一个物体所占据的平面区域的大小。

一般来说，平面上的物体可以被划分为无数个小的矩形、三角形或其他形状的小块，这些小块的面积可以通过不同方法来计算。

以下将介绍几种常见的面积计算方法。

1.矩形面积方法：矩形是最简单的平面图形之一，其面积可以通过公式A=l×w来计算，其中A代表面积，l代表矩形的长度，w代表矩形的宽度。

根据这个公式，我们可以得出一个矩形的面积。

2.三角形面积方法：三角形是另一个常见的平面图形，其面积可以通过两个边长和夹角来计算。

如果已知三角形的底边长度b和对应的高h，可以使用公式A=0.5×b×h计算三角形的面积。

3.梯形面积方法：梯形是一个具有两个平行边的四边形，其面积可以通过两个平行边的长度和梯形的高来计算。

如果已知梯形的上底长a、下底长b和高h，可以使用公式A=0.5×(a+b)×h计算梯形的面积。

4.圆形面积方法：以上介绍了几种常见的面积方法，但实际上还有更多的面积计算方法，例如多边形的面积计算、不规则图形的面积计算等。

不同的图形有不同的面积计算方法，因此在解决面积问题时需要灵活运用不同的方法。

除了基本的面积计算方法外，还有一些面积问题需要通过一些特殊的技巧来解决。

例如，在解决复杂图形的面积问题时，可以通过将图形分割为较简单的几何图形来计算每个部分的面积，然后将这些部分的面积相加得到整个图形的面积。

这种方法被称为分割法。

另一个常见的面积问题是求解一个围成的区域的面积。

例如，给定一条曲线的方程，可以通过求解曲线与坐标轴之间的交点，然后计算每个小的矩形或三角形的面积，并将它们相加得到整个区域的面积。

面积问题在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，设计师需要计算房间的面积以确定材料的用量；在农业中，农民需要计算土地的面积以确定农作物的种植面积；在地理学中，需要计算地图上国家或城市的面积以了解其大小等。

917.平面几何中的几个著名定理-奥数精讲与测试(9年级)

知识点、重点、难点梅内劳斯定理X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点，则X 、Y 、Z 共线的充分必要条件是1.CX BZ AYXB ZA YC=根据命题的条件可以画出如图所示的两种图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其他两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z三点分别都在三角形三边的延长线上。

证明（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则1.CX BZ AYXB ZA YC=设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ，则,,CX c BZ b AY aXB b ZA a YC c === 三式相乘即得1.CX BZ AY c b aXB ZA YC b a c== （2）充分性，即若1.CX BZ AYXB ZA YC=则X 、Y 、Z 三点共线。

设直线XZ 交AC 于Y'，由已证必要性得' 1.'CX BZ AY XB ZA Y C =又已知1CX BZ AYXB ZA YC=，所以'.'AY AYY C YC=因为Y'和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y'和Y 必重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线。

梅内劳斯定理的应用，一是求共线线段的比，即在CX BZ AYXB ZA YC、、三个比中，已知其中两个可以求得第三个；二是证明三点共线。

塞瓦定理从△ABC 的每个顶点出发作一条塞瓦线AX 、BY 、CZ ，则AX 、BY 、CZ 共点的充分必要条件是1.BX CY AZXC YA ZB=（连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线）证明(1)必要性，即设△ABC 中，AX 、BY 、CZ 是三条塞瓦线，如果1.BX CY AZXC YA ZB=则AX 、BY 、CZ 三线共点。

（如图）假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连结CP 交AB 于Z'，则CZ'也是一条过P 点的△ABC 的塞瓦线。

初中数学重点梳理：面积问题与面积方法(二)

面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理1、等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

九年级面积问题知识点归纳总结

九年级面积问题知识点归纳总结面积是数学中一个重要的概念，它在日常生活中的应用广泛。

九年级学生需要掌握与面积有关的几何图形的计算方法，理解面积的性质和应用。

本文将对九年级面积问题的知识点进行归纳总结。

一、矩形的面积计算方法矩形是最基础的几何图形之一，其面积可以通过长度和宽度相乘得到。

设矩形的长度为l，宽度为w，则矩形的面积S为S = l * w。

二、平行四边形的面积计算方法平行四边形是另一个常见的几何图形，它的面积可以通过底边和高的乘积得到。

设平行四边形的底边为b，高为h，则平行四边形的面积S为S = b * h。

三、三角形的面积计算方法三角形也是常见的几何图形，它的面积计算稍微复杂一些。

九年级学生需要掌握两种计算三角形面积的方法：通过底边和高的乘积，以及通过三边的长度计算。

1. 通过底边和高的乘积：设三角形的底边为b，高为h，则三角形的面积S为S = 0.5 * b * h。

2. 通过三边的长度计算：设三角形的三边分别为a、b、c，则可以使用海伦公式计算三角形的面积。

海伦公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s = (a + b + c) / 2。

利用海伦公式，可以根据三边的长度计算出三角形的面积。

四、圆的面积计算方法圆是一个特殊的几何图形，九年级学生需要掌握圆的面积计算方法。

圆的面积可以通过半径的平方乘以圆周率π来计算。

设圆的半径为r，则圆的面积S为S = π * r^2。

五、复合图形的面积计算方法复合图形是由两个或多个基本图形组成的图形。

计算复合图形的面积需要将其分解为基本图形的面积之和。

九年级学生需要学会计算常见的复合图形，如矩形与三角形的组合、矩形与圆的组合等。

六、面积性质和应用九年级学生还需要了解面积的性质和应用。

以下是一些常见的性质和应用：1. 对于相似的图形，其面积与边长的比例为平方关系。

即如果两个图形的边长之比为a：b，那么它们的面积之比为a^2：b^2。

2. 面积可以应用于解决实际问题，如计算土地面积、涂料要求以及物体的表面积等。

初三数学解题秘籍——无处不在的面积法

初三数学解题秘籍——无处不在的面积法同样的题目，不同的解答方法。

让我们再一次面对熟悉的题目：前面我们用了三种方法解答过此题：第一种是构造正方形的方法：初三数学解题秘籍——轴对称也是一种作辅助线的方法第二种是构造辅助圆的方法：初三数学解题秘籍——无中生有之辅助圆第三种是构造母子三角形的方法：初三数学解题秘籍——母子三角形与射影定理今天我们将和大家一起领略面积法在此题中的运用。

我们在原图的基础上再添加一条辅助线，作BE⊥AC于E，如图：在上面的解法中，我们用两种不同的底和高来求同一个三角形的面积，从而建立等式，求出结论，这种方法就是经典的面积法。

面积法是一种非常重要的方法，在解题中多有运用。

好啦！今天的分享就到这里，我们明天继续！往期推荐初中数学解题秘籍——旋转的魅力（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——旋转与点的坐标（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——表针的旋转（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——二次函数与刹车距离（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——一元二次方程与传染病问题（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——求二次函数解析式的无敌妙招（适合九年级学生阅读）初中数学解题秘籍——隐藏的秘密初中数学解题秘籍——等量代换用得好，几何解题无烦恼初中数学解题秘籍——无图有偶之“有加必有减”初中数学解题秘籍——只是调整了一下顺序，难度立马降低了初中数学解题秘籍——与圆有关的最值初中数学解题秘籍——经典切线长，方法谁最强初中数学解题秘籍——两个公式，一个秘密初中数学解题秘籍——心中有弧思路宽初三数学解题秘籍——牵线搭桥的圆初三数学解题秘籍——千古不易还是“易”（弧长与扇形的面积）初三数学解题秘籍——“造”的艺术（网格构造法）初三数学解题秘籍——角含半角必旋转初三数学解题秘籍——轴对称也是一种作辅助线的方法初三数学解题秘籍——无中生有之辅助圆初三数学解题秘籍——一类经典习题的两种经典解法（抛物线与三角形的最大面积）初三数学解题秘籍——母子三角形与射影定理。

919.面积问题与面积方法-奥数精讲与测试(9年级)

知识点、重点、难点用面积方法解题，其基本原理是：首先根据问题中的几何量与有关图形面积之间的内在联系，用面积表示有关的几何量；其次把几何量之间的关系转化为面积关系，然后通过面积变形，得到原问题的解决方法。

面积方法解题有时更具有直观性、通用性和简洁性，因此在国内外数学竞赛试题中经常出现面积问题。

1.三角形的面积公式（1）12a S ah =；（2）S =pr （p 为三角形半周长，r 为内切圆半径）；（3）4abcS R =（R 为外接圆半径）；（4）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；（5）()()()S p p a p b p c =---（p 为半周长）（海仑公式）。

4.等积变换的基本定理(1)等底等高的两个三角形面积相等；(2)两个三角形面积比，等于它们的底高积之比； (3)两个等底三角形面积之比，等于它们高之比； (4)两个等高三角形面积之比，等于它们底之比；(5)两个相似三角形面积之比，等于它们相似比的平方； (6)两个等角三角形面积比等于它们夹该角的两边之积的比；例题精讲例1：如图，五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE = BC ＋DE =1，求五边形A BCDE 的面积。

分析应用割补将五边形面积转化成两个三角形面积之和。

解因为AB = AE ，∠ABC =∠AED =90°，所以可将△AED 切割下补在△ABP 的位置。

如图， AP =AD ，BP =DE .观察△ACD 和△APC ，有PC =BP ＋BC =CD =1，AC =AC ，AP=AD. △ACD 和△APC 三条边都对应相等，△ACD 和△APC 是两个同样的三角形（△ACD ≌△APC ），所以,22ACD APC ABCDE APCD ACD ADC APC S S S S S S S ∆∆∆∆∆===+==⨯1() 1.2PC AB ⨯=例2：如图，将△ABC 的三个顶点与一个内点连结起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求ABC S ∆．解设另外两个小三角形面积分别为x 、y ，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，则得方程组4040843030353535304084848435,4030y x xx y x y y ⎧++=⎪++⎪⎪++=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩ 解得7056.x y =⎧⎨=⎩ 所以ABC S ∆=＝30＋35＋70＋84＋56＋40＝315.例3：如图，在△ABC 中，P 为BC 边上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA .若1ABC S ∆=，证明：BPF S ∆，PCE S ∆，和PEAF S 中至少有一个不小于4.9证明设(01)BPt t BC=≤≤，并且1ABC S ∆=．因为PE ∥BA ，PF ∥CA ，所以△BPF ∽△BCA ，△PCE ∽△BCA ，所以2()BPF ABC S BP S BC∆∆==2t ，所以2.BPF S t ∆=同理可得22()(1),PCE ABC S CP t S BC∆∆==-所以2(1).PCE S t ∆=-所以221(1)2(1).PEAF ABC BPF PCE S S S S t t t t ∆∆∆=--=---=-原命题要证BPF PCE PEAF S S S ∆∆、、中至少有一个不小于49，用反证法。

奥数竞赛面积计算公式

奥数竞赛面积计算公式在数学竞赛中，面积计算是一个常见的题型，也是考察学生对几何知识掌握程度的重要指标。

在奥数竞赛中，面积计算题目往往涉及到各种不规则图形的面积计算，需要学生灵活运用所学的面积计算公式来解题。

本文将介绍一些常见的面积计算公式，并通过例题来演示如何运用这些公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。

首先，我们来看一些常见的图形的面积计算公式。

1. 矩形的面积计算公式。

矩形是最简单的几何图形之一，其面积计算公式为，面积 = 长×宽。

这个公式非常简单，只需要将矩形的长和宽代入公式即可得到矩形的面积。

2. 正方形的面积计算公式。

正方形是一种特殊的矩形，其面积计算公式与矩形相同，面积= 边长×边长。

也就是说，正方形的面积就是边长的平方。

3. 三角形的面积计算公式。

三角形是另一种常见的几何图形，其面积计算公式为，面积 = 底×高 / 2。

其中，底代表三角形的底边长，高代表三角形的高。

4. 圆的面积计算公式。

圆是一个非常特殊的几何图形，其面积计算公式为，面积= π×半径的平方。

其中，π是一个无理数，约等于3.14，半径代表圆的半径长度。

除了上述常见图形的面积计算公式外，还有一些其他不规则图形的面积计算公式，例如梯形、圆环等，这里不一一列举。

接下来，我们通过一些例题来演示如何运用这些面积计算公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。

例题1，一个矩形的长为5厘米，宽为3厘米，求其面积。

解，根据矩形的面积计算公式，面积 = 长×宽，代入长和宽的数值，得到面积 = 5 × 3 = 15（平方厘米）。

因此，这个矩形的面积为15平方厘米。

例题2，一个半径为4厘米的圆的面积是多少？解，根据圆的面积计算公式，面积 = π×半径的平方，代入半径的数值，得到面积 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24（平方厘米）。

因此，这个圆的面积约为50.24平方厘米。

中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)

中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)2面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360nr （n 为圆心角，r 为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”3就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC沿着斜边AC 的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG＝4，EF＝12，△BEG4的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是( )A．16 B．20 C．24 D．28 【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】1．如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形，则A，B，C，D的面积的和等于( )A．94m2B．52m2C．114m2D．3m2考点2用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P是平行四边形ABCD内一56点，且S △PAB ＝5，S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规范解答】【借题发挥】对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ，△CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a b D ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例 3 如图所示，△ABC的面积是1cm2．AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．7【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点4面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，89△COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．16B ．15 C．14 D ．13【切题技巧】分析△AOD ，△DOC ，△AOB ，△COB 四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCD SS四边形矩形等于 ( )A．56B．45C．34D．23考点5例5如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，四边形ABEM、MEFN、NFCD 的面积分别记为S1，S2和S3．求213?S S S =+【切题技巧】把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】连接A．E、EN、PC和AC．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同10高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6格点多边形的面积例6如图，五边形ABCDE的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F、G、H、I、J点，使得△ABF，△BCG，△CDH，△DEI，△EAJ为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S，格点多边形内部有且只有n个格点，它各边上格点的个数x＋n－1．和为x．则S＝12【同类拓展】6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是( )A．3：4 B．5：8 C．9：16 D．1：2参考答案1．A2．A3．S3＝S2＋S7＋S8．4．D5．S S四边形AFCD．6．B△ABF＝。

初中数学奥数面积问题教案

初中数学奥数面积问题教案一、教学目标1. 让学生掌握面积的基本概念和常用公式。

2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。

3. 培养学生对数学的兴趣和自信心，为高中数学学习打下基础。

二、教学内容1. 面积的基本概念：面积的定义、面积的单位。

2. 常用面积公式：三角形、矩形、平行四边形、圆的面积公式。

3. 面积问题的解决方法：直接计算、转化计算、分割合并。

4. 实际问题举例：平面图形的面积计算、实际场景中的面积问题。

三、教学重点与难点1. 重点：掌握面积的基本概念和常用公式，学会解决实际问题。

2. 难点：面积问题的解决方法，特别是复杂图形的面积计算。

四、教学过程1. 导入：通过展示一些实际场景的图片，引导学生思考面积的概念和重要性。

2. 基本概念：介绍面积的定义和面积的单位，让学生理解面积的本质。

3. 常用公式：讲解三角形、矩形、平行四边形、圆的面积公式，让学生掌握计算面积的基本方法。

4. 面积问题的解决方法：引导学生学会直接计算、转化计算、分割合并等方法解决面积问题。

5. 实际问题举例：给出一些平面图形的面积计算题目，让学生运用所学知识解决实际问题。

6. 练习与总结：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，并对本节课的内容进行总结。

五、教学策略1. 采用直观教学法，通过展示图片和实际场景，让学生直观地理解面积的概念。

2. 采用案例教学法，通过讲解具体的实际问题，让学生学会解决面积问题。

3. 采用分组讨论法，让学生分组讨论和交流，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

4. 采用激励教学法，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的自信心和兴趣。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和积极性。

2. 练习题解答：评价学生在练习题中的解答情况，了解学生对面积公式的掌握程度和解决问题的能力。

3. 课后作业：布置一些有关面积问题的作业，评价学生在课后对所学知识的巩固程度和应用能力。

九年级奥数几何面积学习知识点总结

九年级奥数几何面积学习知识点总结
导读：本文九年级奥数几何面积学习知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

一、基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

二、常用方法：1. 连辅助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上)。

4. 利用特殊规律①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。

(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

九年级面积问题知识点

九年级面积问题知识点在九年级学习数学时，面积问题是一个非常重要的知识点。

面积是描述平面图形内部的覆盖面积大小的概念，通过学习面积问题，我们可以更好地理解图形的属性和关系，进一步提升解决实际问题的能力。

本文将介绍九年级面积问题的几个重要知识点，并提供例题进行讲解和练习。

一、长方形的面积计算长方形是最基本的平面图形之一，我们先来学习如何计算长方形的面积。

长方形的面积等于它的长度乘以它的宽度。

假设一个长方形的长度为L，宽度为W，则它的面积S可以通过以下公式计算得出：S = L × W例如，如果一个长方形的长度是5厘米，宽度是3厘米，那么它的面积为：S = 5 × 3 = 15平方厘米通过这个例子，我们可以看出计算长方形面积的方法是相对简单和直接的。

二、正方形的面积计算正方形是一种特殊的长方形，它的四条边相等。

正方形的面积计算同样也非常简单，因为它的长度和宽度相等。

我们可以使用以下公式计算正方形的面积：S = 边长 ×边长例如，如果一个正方形的边长是6厘米，那么它的面积为：S = 6 × 6 = 36平方厘米正方形的面积计算方法和长方形类似，只不过边长相等。

三、三角形的面积计算接下来我们来学习如何计算三角形的面积。

三角形是由三条边围成的平面图形，它的面积计算方法稍微复杂一些。

我们可以使用以下公式计算三角形的面积：S = 1/2 ×底边长 ×高其中，三角形的底边长是指与高垂直的一条边的长度，高是指从底边向垂直方向作垂线的长度。

例如，如果一个三角形的底边长是5厘米，高是4厘米，那么它的面积为：S = 1/2 × 5 × 4 = 10平方厘米通过这个例子我们可以看到，计算三角形的面积需要明确底边长和高的长度。

四、圆的面积计算圆是一个非常特殊的图形，它的面积计算方式与之前所学的长方形、正方形和三角形不同。

圆的面积计算需要使用圆的半径，而不是直接使用线段的长度。

几何面积奥数题解题技巧

几何面积奥数题解题技巧几何面积奥数题解题技巧奥数一般指国际数学奥林匹克竞赛。

以下是店铺帮大家整理的几何面积奥数题解题技巧，仅供参考，希望能够帮助到大家。

基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法：1.连辅助线方法2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上)。

4.利用特殊规律①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。

(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

奥数题的方法归类一、交换律(带符号搬家法)当一个计算题只有同一级运算(只有乘除或只有加减运算)又没有括号时，我们可以“带符号搬家”。

适用于加法交换律和乘法交换律。

例：256+78-56=256-56+78=200+78=278450×9÷50=450÷50×9=9×9=81二、结合律(一)加括号法1.当一个计算题只有加减运算又没有括号时，我们可以在加号后面直接添括号，括到括号里的运算原来是加还是加，是减还是减。

但是在减号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是加，现在就要变为减;原来是减，现在就要变为加。

(即在加减运算中添括号时，括号前是加号，括号里不变号，括号前是减号，括号里要变号。

) 例：345-67-33=345-(67+33)=345-100=245789-133+33=789-(133-33)=789-100=6892.当一个计算题只有乘除运算又没有括号时，我们可以在乘号后面直接添括号，括到括号里的运算，原来是乘还是乘，是除还是除。

但是在除号后面添括号时，括到括号里的运算，原来是乘，现在就要变为除;原来是除，现在就要变为乘。