指数函数学案
学案6：4.1.2 指数函数的性质与图像（二）
4.1.2 指数函数的性质与图像（二）素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从_______到______相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数___________．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解． 知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： ①函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有_______的定义域．②当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有_______的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性．思考：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性取决于哪个量？ (2)如何判断形如y ＝f (a x )(a ＞0且a ≠1)的函数的单调性？关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用 典例剖析典例1 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1； (4)55，33，2．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较． 对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是_________，值域是_________． 题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,8) B ．[4,8) C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≤x 0，g x ，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，求实数m 的取值范围．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．参考答案必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)下上(2)由大变小知识点解指数型不等式(1)单调性(2)单调性(3)①相同②相同相反思考：提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a ＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1解：(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝122＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜33，又2＝122＝(25) 110 ＝32110 ，55＝515 ＝(52) 110 ，而25＜32，∴55＜2． 总之，55＜2＜33． 对点训练1．解：(1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1． (2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212 ，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 解：令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 对点训练2．【答案】 [1，＋∞) ⎝⎛⎦⎤－∞，32【解析】令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1， 所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1) 【答案】B【解析】因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2) 解：①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2． 对点训练3．解：(1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2．(2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)． 参考答案。
学案6：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质学习目标1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)知识梳理教材整理1指数函数的定义阅读教材，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材，完成下列问题．R练一练2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有a x>1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()类型一：指数函数的概念例1 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x B ．y ＝x a (a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1名师指导1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．跟踪训练1 (1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 类型二：指数函数的定义域和值域 例2 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝√1−3x ； (2)y ＝(23)√−|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. 名师指导1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．跟踪训练2 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x−3；(2)y＝221()2x x.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2若函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？例3(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )名师指导指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .跟踪训练3 定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hhg <h ，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )课堂检测1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12xD.⎝⎛⎭⎫22x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－89，8 B.⎣⎡⎦⎤－89，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9D.⎣⎡⎦⎤19，93．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m )与g(－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案知识梳理教材整理1 指数函数的定义 y ＝a x ； x 练一练1【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误． 教材整理2 指数函数的图象和性质 (0，＋∞) ；(0,1)；增函数；减函数；y 轴 练一练2【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)当x ≤0时，a x ≤1.(3)因为f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数． 类型一：指数函数的概念 例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.跟踪训练1 【答案】 (1)3x (2) ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9.又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 类型二：指数函数的定义域和值域例2 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝ √1−3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以√1−3x ∈[0,1)，即函数y ＝ √1−3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝ (23)√−|x|的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝ (23)√−|x| ＝(23)0＝1，即函数y= (23)√−|x|的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ， 函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R . 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2 ＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 跟踪训练2 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x−3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1， 故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2， 则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)t ≥ (12)1＝12，故函数的值域为[12，+∞）.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1 【答案】 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)． 探究2 【答案】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.例3【答案】 (1)D (2)A【解析】(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.跟踪训练3 【答案】 B【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≥01x <0，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥11x <1，∴其图象为B ，故选B.课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 2．【答案】 A【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.3．【答案】 C【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 4．【答案】 (0,1)【解析】 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.5． 解：(1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m.。
指数函数图像与性质教学设计精选10篇
指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。
②.掌握指数函数的性质及应用。
③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。
2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
②培养学生观察问题，分析问题的能力。
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。
【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。
【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。
复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。
展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。
教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。
学生小组讨论，交流。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。
学案8：2.1.2 指数函数及其性质(二)
2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一 比较大小问题【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二 解简单的指数不等式【例2】 如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三 指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】 解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解 将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】 解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)． 【例3】 解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增． 故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12， 当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解 由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。
2023年高三数学指数学案
平陆中学高三年级理科数学学案《指数与指数函数》学习目标1. 能够准确熟练进行知识点梳理；2. 能够熟练进行指数运算，保证每一步骤的正确性；3. 会画指数函数及指数型函数的图象，并且会根据图象熟练总结指数函数的性质，进而可以运用性质解决几类问题；4. 能够分析与指数函数相关的复合函数的性质，达到解决问题的目的。
学习重点理解指数函数的图象和性质学习难点掌握指数函数的应用以及求解相关复合函数的性质的方法 学习过程一．知识梳理1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒ x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ．(2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )(教材习题改编)有下列四个式子： ① 3（－8）3＝－8；②（－10）2＝－10； ③4（3－π）4＝3－π；④2 018（a －b ）2 018＝a －b .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )函数f (x )＝1－e x 的值域为________．(教材习题改编)若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．三．典例分析例题一. 化简下列各式：(1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【方法总结】例题二. 若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【方法总结】1.指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．2. 指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质． 例题三.(1) 比较指数幂的大小已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2) 解简单的指数方程或不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(3)研究指数型函数的性质函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0，4]D ．[4，＋∞) 【方法总结】四．巩固练习1. 化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.2. (1) 函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2) 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．3．已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．五．课堂小结六．作业㈠.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． ㈡基础达标1．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．(2018·湖北四市联考)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )4．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A ．[18，2)B ．[18，2]C ．(－∞，18]D ．[2，＋∞)5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．化简：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5＝________． 7．(2018·陕西西安模拟)若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫x 0，13，则函数f (x )在[0，3]上的最小值等于________．8．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．1．(2018·河南濮阳检测)若“m >a ”是函数“f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．12．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) 3．若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 6．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。
2020-2021高中数学人教版第一册学案：4.2.1指数函数的概念含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：4.2.1指数函数的概念含解析4.2指数函数4．2.1指数函数的概念[目标] 1。
能说出指数函数的定义；2。
记住指数函数的图象与性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题．[重点] 指数函数的概念、图象、性质．[难点] 指数函数性质的概括总结．知识点一指数函数的概念[填一填］一般地，函数y＝a x(a〉0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.［答一答]1．下列函数是指数函数吗？①y＝3x＋1;②y＝3x＋1；③y＝3×2x；④y＝5x＋2－2.提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．2．指数函数定义中为什么规定a〉0且a≠1？提示:①如果a＝0，当x>0时,a x恒等于0;当x≤0时，a x无意义．②如果a〈0，例如y＝(－4)x,这时对于x＝错误!，错误!，…，在实数范围内的函数值不存在．③如果a＝1,则y＝1x是一个常量,无研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a〉0且a≠1.知识点二指数函数的图象和性质[填一填]［答一答]3．观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x的图象如图所示，能得到什么规律？提示：（1)当a>1时,a的值越大，图象越靠近y轴,递增速度越快．（2）当0<a〈1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．(3)底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即y＝a x与y＝错误!x 图象关于y轴对称．4．怎样快速画出指数函数y＝a x（a〉0，且a≠1）的图象？提示:由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝a x(a〉0，且a≠1）的图象恒过点(0，1）,(1，a),(－1，错误!），只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝a x(a〉0，且a≠1)的图象．类型一指数函数的概念[例1］（1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（）A．y＝(－4）x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝a x＋2(a>0,a≠1)（2)若y＝（a2－3a＋3）a x是指数函数，则(）A ．a ＝1或2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1(3)已知函数f (x )为指数函数，且f 错误!＝错误!，则f (－2)＝________。
指数函数学案
3.1.2 指数函数学习目标：1、理解指数函数的概念，明确其图象形状。
2、通过指数函数的图象，研究指数函数的性质。
3、应用指数函数的性质解决简单的问题。
B 案使用说明：认真阅读课本，完成以下题目，做好疑难标记准备讨论。
1、认真阅读课本P85左边的“百万富翁”和“细胞分裂”的故事，体会“指数爆炸”的事实。
2、一般地，函数叫做指数函数。
思考：什么样的函数才是指数函数？ 训练1：判断下列函数是否为指数函数 ①y=4x ②y=x 4 ③y=—4x④y=（—4）x⑤y=πx⑥y=xx⑦y=2x+22、a 为何值时，y=（a 2—3）·a x 是指数函数？3、在同一坐标系中作出y=2x 与y=（21）x 的图象。
x … —3 —2 —1 0 1 2 3 … y=2x… … y=x21……C 案使用说明：1、将自学中遇到的问题组内交流标记好疑难点。
2、组内解决不了的问题直接提出来作为全班展示。
[合作探究一] 在B 案第3个问题中已作出y=2x和y=(21)x 的图象，请在此基础上再做出y=3x和y=(31)x 的图象。
总结：根据图象总结指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质（1）定义域 值域 （2）图象经过定点（3）x>0时y x<0时y x>0时y x<0时y （4）单调性1、当a>0且a ≠1时，y=a x 与y=（a1）X 的图象对称。
2、指数函数中为何规定a>0且a ≠1？ 例1 求下列函数的定义域 （1）y=33－x（2）y=x5－11变式训练：解不等式 （1）（31）8—2x>3—2x（2）a 2x —7>a 4x —1（a>0且a ≠1）小结：（1）解指数不等式，需化为a f(x)<ag(x)形式。
（2）正确运用指数函数单调性（3）要有分类讨论的意识[合作探究二] 例2 比较大小：（1）1.7321.743（2）0.8-1 0.8-2（3）1.70.30.93.1 （4）1.70.31.50.3小结：（1）灵活运用“0，1”作辅助，比较大小（2）同一坐标系中y=a x，a 取不同值时图象的变化规律变式：根据下图比较大小则a 、b 、c 、d 、l 的大小关系为当堂检测：1、函数y=（a 2—3a+3）·a x 是指函数，则有A 、a=1或2B 、a=1C 、a=2D 、a>0且a ≠12、如果函数f(x)=(1—2a)x在实数集R 上是减函数，则a 的取值范围是A 、（21，+∞）B 、（0，21） C 、（—∞，21） D 、（—21，21）3、函数y=a x在[0，1]上最大值与最小值和为3，则a 等于A 、21 B 、2 C 、4 D 、414、比较大小：（1）0.9a 0.9a-1 1.1a-2 1.1a-2.1（2）已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8则a 、b 、c 大小关系是A 案1、求定义域 （1）y=x3—1（2）y=x)21(—12、已知f （x ）定义域为（0，1），则函数f （3—x）的定义域为 。
指数函数学案
2.2.2 指数函数（1）南大附中 张子超学习目标：1、掌握指数函数的概念（能理解对a 的限定）。
2、会作出指数函数的图像，能归纳出指数函数的几个基本性质。
3、能运用指数函数的性质解题。
教学过程：一、情境引入情境（一）：庄子曰：一尺之棰，日取其半 ，万世不竭。
若设木棒长度为y ，经历天数为x ，那么x 与y 的关系是什么？情境（二）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个细胞分裂x 次后，得到细胞的个数为y ，则y 与x 的关系是什么呢？二、数学建构思考：上面情境中的关系式与2x y =有什么不同？1、指数函数的定义：2、在定义中为什么要规定 (a ＞0且a ≠1)？3、指数函数的图象在同一坐标系画出(1)x y 2=，(2)xy )21(=的图象，4、观察并总结函数y ＝a x三、例题讲解例1，比较下列数的大小。
(1)2.35.25.1,5.1 (2)5.12.15.0,5.0 (3)2.13.08.0,5.1练一练1，比较下列各题中数值的大小（1）7.08.03,3 （2）5.3201.1,01.1 （3）1.33.09.0,7.12，在横线上填上适当的符号（<,>,=）（1）2.34.05____5-；（2）7.529.0____9.0；（3）2.13.28.1____7.2-；（4）7.27.25.0____2- 例2，解不等式82<x变一：812<x ， 变二：22>x例3，解不等式93222+-<x x 。
变一：932)21(2-<x x ， 变二：384+-<x x例4，求下列函数的定义域（1）221-=x y （2）x y )21(1-=四、形成性检测1、比较大小并填上适当的符号（1）2.37.23.1___3.1；（2）5.62.53.0___3.0；（3）2.23.06.0___7.3 2、解不等式8)21(2<-x3、求函数x y )31(3-=。
高中数学人教A版必修1学案：2.1指数函数知识导学案及答案
2.1 指数函数知识导学在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x 就叫a 的立方根.如此类推,我们便得出了n 次实数方根的定义.当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线.当0<a<1时,x →+∞,y →0;当a>1时,x →-∞,y →0.当a>1时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快;当0<a<1时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.(2)熟悉指数函数y=10x ,y=2x ,y=(21)x ,y=(101)x 在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.记忆口诀:(1)方根口诀正数开方要分清,根指奇偶大不同,根指为奇根一个,根指为偶双胞生.负数只有奇次根,算术方根零或正,正数若求偶次根,符号相反值相同.负数开方要慎重,根指为奇才可行,根指为偶无意义,零取方根仍为零.(2)指数函数性质口诀指数增减要看清,抓住底数不放松,反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(0,1)点.疑难导析用语言叙述这三个公式:(1)非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.(2)n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a ≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=a x (a>0,a ≠1)的形式.问题导思指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来. 另外,底数a 对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y 轴;当0<a<1时,底数越小,函数图象就越靠近y 轴.一定要注意底数a 对函数值变化的影响. 典题导考绿色通道根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些. 第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？黑色陷阱做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题. 典题变式1.计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(232a 21b )(-621a 31b )÷(-361a 65b ); (2)(41m 83-n )8. 答案:(1)4a;(2)32nm . 2.已知21a +21-a =3,求a 2+a -2的值. 答案:47.3.已知函数f(x)=a x +a -x (a>0且a ≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.答案:12绿色通道比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m 、n 的定位进行判断.黑色陷阱如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B 的情形.典题变式 如图2-1-5,曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x 、y=b x 、y=c x 和y=d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )图2-1-5A.a<b<1<c<dB.a<b<1<d<cC.b<a<1<c<dD.b<a<1<d<c 答案:D绿色通道1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.典题变式1.设y 1=40.9,y 2=80.44,y 3=(21)-1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2 B.y 2>y 1>y 3 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2答案:D2.当x>0时,函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( )A.1<|a|<2B.|a|<1C.|a|>1D.|a|>2 答案:D绿色通道本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.典题变式1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案:B2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.黑色陷阱解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q 呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q 0e -0.002 5t ,其中Q 0是臭氧的初始量,t 的单位是年.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.。
指数函数的概念(学案)
指数函数的概念
预习案
一、学习目标：
1 理解指数函数的定义
2.对比y=x 2与y=(21
)x 图像特点及联系
二、学习重点：
指数函数的定义
三、学习难点：
产生指数函数背景
四、知识链接：
1、指数函数的定义：
2、用描点作图法分别画y=x 2与y=(21
)x 图像,并指出其性质。
预习自测
1、下列函数哪些是指数函数：
（1）y=2x ；（2）y=2·x 4；（3）y=(12-a )x (a ＞21
,a ≠1)；
（3）y=(-4)x ；（4）y=x π；（5）y=363+x ；
2、函数y=(a 2—3a+3)a x
是指数函数，求a 的值.
探究案
1、若函数y=(a 2—3a)x 是指数函数,求a 的范围。
2、已知函数f(x)=x 3且f(a+2)=18，g(x)=ax 3—x 4
求g(x)的解析式
变式：设指数函数f(x)= a x （a ＞0且a ≠1）则下列等式不正确的是（
） A 、f(x+y)=f(x)·f(y)
B 、f((xy)n )=f n (x) ·f n (y)
C 、f(x-y)=)()
(y f x f
D 、f(nx)= f n (x)
训练案
1、函数y=(2m -2m-2)x 3是指数函数，求m 的值。
2、指数函数)(y x f =的图像经过点()e ,π，求)(),1(),0(π-f f f .
3、若a,b 是方程x 2=（21）x 1
-则a+b=＿＿。
(完整版)指数函数教案(中职数学)
学生
思考
解答
学生自主思考，积极回答问题。
自主回顾总结
填空回答
学生思考讨论
自主回顾总结
创设情景引入新课巩固并深刻 Nhomakorabea生对概念的认识
培养学生主动探求知识能力
通过分组快速得出答案，培养合作意识。
培养学生归纳总结的能力
培养学生应用知识解决问题能力，并深化知识
通过设问加强学生主动回忆知识意识
指数函数
课 题
指数函数
科目
数学
教学目标
１、理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用
2、通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力
教学重点
指数函数的图像、性质及其简单运用
教学难点
指数函数图象和性质的发现过程。
教师：设计6道针对性练习
下列函数中，哪些是指数函数？
1---6
二、发现问题，探求新知
教师引导学生发现问题
1.怎样得到指数函数图像?
2.指数函数图像的特点?
3.通过图像，你能发现指数函数的哪些性质?
三、归纳总结，加深理解
师：引导学生主动小结
四、当堂训练，共同提高
例1：比较下列各题中两值的大小
1---5
那个表格深深印在你的脑海中了吗？
体会到函数思想，数形结合思想，分类讨论思想了吗？
六、布置作业,学以致用
必做题2，选做题：练习册44页1
课后思考：激发学生兴趣
A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下去…那么,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗?若A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗?
学案3：4.2.1 指数函数的概念
4.2.1指数函数的概念1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是．名师点拨指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.2．指数函数的图象和性质R底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．自我检测1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝a x中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y ＝2－x 的定义域为{x |x ≠0}．( ) 2.函数y ＝(3－1)x 在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数3. y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )4.若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点⎝⎛⎭⎫3，18，则f (x )＝________． 5.函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． 讲练互动探究点1 指数函数的概念例1 下列函数中，哪些是指数函数？ ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x2－1；③y ＝a x ；④y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >12，且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 规律方法(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征；②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．(2)已知某函数是指数函数求参数值的方法①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程； ②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．[提醒] 解决指数函数问题时，要特别注意底数大于零且不等于1这一条件．1．若y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a ＞0且a ≠12．如果指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于________． 探究点2 指数函数的图象例2 根据函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，画出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，并借助图象，写出这个函数的一些重要性质． 求解策略求解指数函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 跟踪训练1．函数y ＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0，1) B ．(1，1) C ．(2，0) D ．(2，2)2．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0探究点3 指数型函数的定义域、值域问题 例3 求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |；(2)y ＝1－2x .函数y ＝a f (x )的定义域与值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域．(2)形如y ＝a f (x )的值域，应先求出f (x )的值域，再由函数的单调性求出a f (x )的值域．若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论．(3)形如y ＝f (a x )的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域． 跟踪训练1．函数y ＝3x 2－2－9的定义域为________．2．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．达标反馈1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝⎝⎛⎭⎫π2xB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x2．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－22D ．223．函数f (x )＝2x －3(1<x ≤5)的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，4) C ．⎝⎛⎦⎤14，4D ．⎝⎛⎭⎫0，14 4．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )5．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |.巩固提升 A 基础达标1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x－1. A ．0 B ．1 C ．3D ．42．函数y ＝1－3x 的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，2)内的值域是(1，a 2)，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )4．函数y ＝4－2x －1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－1，1) C ．(－1，＋∞)D ．[－1，1)5．已知函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，则( )A ．a ＞1，b ＞1B ．a ＞1，0＜b ＜1C ．0＜a ＜1，b ＞1D ．0＜a ＜1，0＜b ＜16．函数f (x )＝2x 在[－1，3]上的最小值是________． 7．已知函数y ＝a x－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m ＝________．8．已知函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围是________． 9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2.10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域．B 能力提升11．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )12．若方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．13．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f (x )＝2x 的图象经过怎样的变换得到的． (1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝－2x .14．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)． (1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．C 拓展探究15．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一平面直角坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案新知初探1．自变量自我检测1.【答案】(1)× (2)√ (3)×2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】⎝⎛⎭⎫12x5.【答案】(3，＋∞) 讲练互动探究点1 指数函数的概念例1 解：①中底数－8<0， 所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是关于x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④因为a ＞12且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1，所以y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1， 所以不是指数函数． 跟踪训练 1．【答案】C【解析】由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2. 2．【答案】64【解析】设y ＝f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 所以a －2＝14，所以a ＝2，所以f (4)·f (2)＝24×22＝64. 探究点2 指数函数的图象例2 解：g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x （x ≥0），2x （x <0），其图象如图．由图象可知，函数g (x )的定义域为R ，值域是(0，1]， 图象关于y 轴对称，单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是(0，＋∞)． 跟踪训练 1．【答案】D【解析】因为当x ＝2时，y ＝a x －2＋1＝2恒成立，所以函数y ＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点(2，2)． 2．【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线的位置看，是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 探究点3 指数型函数的定义域、值域问题 例3 解：(1)定义域为R .因为|x |≥0， 所以y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫32|x |≥⎝⎛⎭⎫320＝1. 故y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为[1，＋∞)．(2)因为1－2x ≥0，所以2x ≤1. 所以2x ≤20.所以x ≤0.又因为0<2x ≤1，所以－1≤－2x <0， 所以0≤1－2x <1.所以函数的定义域为(－∞，0]，值域为[0，1)． 跟踪训练1．【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】由题意有3x 2－2－9≥0，即3x 2－2≥32， 所以x 2－2≥2，即x 2≥4， 所以x ≥2或x ≤－2.故所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．2．解：①当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝a 1＝a ，最小值f (x )min ＝f (2)＝a 2，所以a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)；②当a ＞1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝a 2， 最小值f (x )min ＝f (1)＝a 1＝a ，所以a 2－a ＝a2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或a ＝32.达标反馈1．【答案】A【解析】指数函数形如y ＝a x (a >0，a ≠1)，所以选A.2．【答案】D【解析】因为函数f (x )是指数函数，所以12a －3＝1，所以a ＝8，所以f (x )＝8x，f ⎝⎛⎭⎫12＝812＝2 2.3．【答案】C【解析】因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2.而函数f (x )＝2x －3在其定义域上是单调递增的，所以14<f (x )≤4，即所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤14，4. 4．【答案】C【解析】函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1，0)，故可排除选项A ，B ，D. 5．解：(1)要使函数有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)要使函数有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0. 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．巩固提升 A 基础达标1．【答案】B【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．【答案】B【解析】因为1－3x ≥0，即3x ≤1，所以x ≤0，即x ∈(－∞，0]． 3．【答案】B【解析】对于函数f (x )＝a x ，当x ＝0时，f (0)＝a 0＝1，当x ＝2时，f (2)＝a 2. 由于指数函数是单调函数，则有a 2>1，即a >1.则函数f (x )的图象是上升的，且在x 轴上方，结合选项可知B 正确． 4．【答案】D【解析】因为4－2x ≥0，所以2x ≤4，即x ≤2，即函数的定义域是(－∞，2]．因为0<2x ≤4，所以－4≤－2x <0，所以0≤4－2x <4.令t ＝4－2x ，则t ∈[0，4)，所以t ∈[0，2)， 所以y ∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D.5．【答案】D【解析】根据图象，函数f (x )＝a x －b 是单调递减的，所以指数函数的底数a ∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x ＝0，y ＝1－b ∈(0，1)，解得b ∈(0，1)，即a ∈(0，1)，b ∈(0，1)，故选D.6．【答案】12【解析】因为f (x )＝2x 在[－1，3]上单调递增，所以最小值为f (－1)＝2－1＝12. 7．【答案】2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，a 2－m ＋2＝3得m ＝2. 8．【答案】(0，1)【解析】由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a <1.9．解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x >0且21x ≠1，故21x －1>－1且21x －1≠0，故函数y ＝21x －1的定义域为{x |x ≠0}，值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0<⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0，9]． 10．解：(1)因为函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝a ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，函数为减函数，当x ＝0时，函数取最大值2，故f (x )的值域是(0，2]，所以函数y ＝f (x )＋1＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋1(x ≥0)的值域是(1，3]．B 能力提升11．【答案】C【解析】由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.12．【答案】{a |a ≥1或a ＝0}【解析】作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，所以a ≥1或a ＝0.13．解：如图．(1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位长度得到的．(2)y ＝－2x 的图象与y ＝2x 的图象关于x 轴对称．14．解：(1)因为f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3. (2)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，因为f (0)＝1＋b <0，即b <－1，所以b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)由题图①可知y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图可知使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解的m 的取值范围为m ＝0或m ≥3.C 拓展探究15．解：(1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3； f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。
指数函数和性质导学案
2.1.2 指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点；【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy073.1=与xy)21(=的特点是 .（2）一般地，函数x ay=（）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 .2.指数函数的图象与性质（1）列表、描点、作图象xxy2=xy)21(=图象xy2=xy)21(= 2-5.1-1-5.0-5.015.12（2）两个图象的关系函数xy2=与xy)21(=的图象，都经过定点，它们的图象关于对称.通过图象的上升和下降可以看出，是定义域上的增函数，是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10<<a 1>a图象定义域 值域性质【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）xy )4(-=；（5）xy π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 2.作出xy 3=的图象.3.求下列函数的定义域及值域： （1）3-=x a y ； （2）xxy 223-=；（3）11)21(-=x y4.下列关系中正确的是（ ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例 1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.1.函数bx aa a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ ）.（A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与xx g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R4.若集合R},2{∈==x y y A x，R},{2∈==x x y y B ，则（ ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A I5.函数 xa x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6. 函数13-=-xy 的定义域和值域分别为 . 7.函数)10(2≠>=-a a ay x 且的图象必经过点 .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较aa -与bb2-的大小.10.已知函数b ax f x+=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.（1）求)(x f 的解析式； （2）画函数)(x f y =的图象；1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？2.1.2 指数函数及其性质（教案）（第1课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy 073.1=与xy )21(=的特点是 解析式都可以表示为xa y = 的形式 .（2）一般地，函数xa y =（1,0≠>a a 且）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R . 2.指数函数的图象与性质 x x y 2= xy )21(=图象x y 2=x y )21(=2- 25.0 41- 5.02 5.0- 70711.0 414.1 0 115.0 414.1 70711.0 1 2 5.0 2 4 25.0（2）两个图象的关系函数xy 2=与xy )21(=的图象，都经过定点 )1,0( ，它们的图象关于y 轴 对称.通过图象的上升和下降可以看出， xy 2=是定义域上的增函数，xy )21(=是定义域上的减函数.10<<a 1>a图象定义域 RR值域 ),0(+∞),0(+∞性质过定点)1,0(，即0=x 时，1=y在R 上时减函数在R 上时增函数1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）xy )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x且. 解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）. 2.作出xy 3=的图象.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,30,33x x y x xx，如图：3.求下列函数的定义域： （1）3-=x ay ； （2）xx y 223-=； （3）11)21(-=x y解：（1）要使式子有意义，则需要03≥-x ，即3≥x ，定义域为),3[+∞. （2）要使式子有意义，则需要x x 22-为实数，因此，定义域为R . （3）要使式子有意义，则需要11-x 有意义，定义域为{}1≠x x . 4.下列关系中正确的是（ D ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例 1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a 就可以了. 解：因为xa x f =)(得图象经过点),3(π，所以π=)3(f ，即π=3a解得31π=a ，于是3)(x x f π=. 所以，1)0(0==πf ，331)1(ππ==f ，ππ1)3(1==--f .【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数 解：（1）5.27.1，37.1可看作函数xy 7.1=的两个函数值.由于底数17.1>，所以指数函数xy 7.1=在R 上是增函数.因为35.2<，所以35.27.17.1<.（2）2.01.08.0,8.0--可看作函数x y 8.0=的两个函数值.由于底数18.00<<，所以指数函数x y 8.0=在R 上是减函数.因为2.01.0->-，所以2.01.08.08.0--<. （1） 由指数函数的性质知 17.17.103.0=> 19.09.001.3=<所以1.33.09.07.1>.【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1±.根据具体情况也可能是其他数值.1.函数bx aa a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ C ）.（A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与xx g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ C ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R4.若集合R},2{∈==x y y A x，R},{2∈==x x y y B ，则（ A ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A I5.函数 xa x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ B ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6.当]1,1[-∈x 时，函数xx f 3)(=的值域是 ]3,31[ .7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 )1,2( .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 47.1 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较aa-与bb2-的大小.解：（1）Θ21)54(与31)109(底数不同，指数也不同，∴应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31)54(或21)109(.x y =Θ在+∞,0(）上是增函数∴2121)109()54(<，又3121.11090><<，x y )109(=是减函数，3121)109()109(<∴ 3131)109()54(<∴（2）2b a =Θ ∴只需比较22b b-与bb2-的大小b b b >∴>2,1Θ，即b b 222-<-又xb y =是增函数，b b b b 222--<∴，即b a b a 2--<10.已知函数b ax f x+=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.(1) 求)(x f 的解析式；(2)画函数)(x f y =的图象；解：（1）由题意知：21)0(,3)21(=+==+=b f b a f ，解得：⎩⎨⎧==12b a1412)(2+=+=∴x x x f（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(>a a ,经过x 次漂洗后，存留污垢量为y ，则 经过第一次漂洗，41)431(•=-=a a y ， 经过第二次漂洗，2)41()431(41•=-••=a a y …… ……经过第x 次漂洗，x a a y )41(......4141•=••= 若使存留污垢不超过原来的%1，即%1•≤a y ，%1)41(•≤•a a x1004≥x... .下载可编辑. . 434256100644=<<=Θ4≥∴x至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%1.。
指数运算与指数函数——必修一函数复习学案
八、指数运算与指数函数知识要点1、指数运算公式2、分数指数幂（1）tsa a ⋅=____________________ ； nm a =___________________________（2）ts a )(=_____________________ ； nm a-=_____________________________（3）=t saa _______________________；（4）()=sab ______________________。
3、根式运算:=n n a ______________；n n a )(=________________ 二、指数函数1、定义：一般的,)10(≠>=a a a y x 且叫做_____________2、指数函数的图像及性质在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y =，（2）x )21(y =（3）x 2y =，（4）x 3y =，（5）x 5y = 结论：基础自测1． (课本改编题)化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________． 答案 7解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2． 若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.3． 若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.答案3解析 当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]． 因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]． 此时，定义域和值域不一致，故此时无解． 综上，a ＝ 3.4． (2012·四川)函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )答案 D解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B. 当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a <0，故选D. 5． 设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)答案 A解析 ∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.典型例题题型一： 指数的化简与计算例1. 将下列各式用另一种形式表示出来 54a ，()345a 1-， ()4322ba +， 865-a 32b例2. 化简下列各式 （1）()337-，()29-，()443π- （2）（232a 21b ）（-621a 31b ）÷（-361a 65b ）（3）()410001.0-+()3227-216449-⎪⎭⎫⎝⎛+5.191-⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）4332baa b b a练习：（1）5.0972⎪⎭⎫ ⎝⎛+21.0-+3127102-⎪⎭⎫ ⎝⎛+0π （2） 21211m m 2m m +++-- （3））（10a a 2a 3234<<+-a例3. 已知21a +21a-=3，求下列各值（1）1a -+a （2）2a +2a - （3）212123-23aa a a ---变式训练：2k )12k ()12k (222---+-+-等于 ( )A ．2k 2- B.)12k (2-- C.1)-(2k 2-+ D.2练习：244)(x x+=x f ，若10<<a ，求(1))1()()(a f a f x f -+=的值（2）)10011000(...)10013()10012()10011(f f f f ++++的值（二） 指数函数 题型一：判断指数函数例1. 若函数()x a a x f )12)(3(--=是指数函数，求a 的值。
学案5：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质学习目标1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)小组合作型类型一：比较大小与解不等式例1 (1)设a ＝133()4-，b ＝144()3，c ＝343()2-，则a ，b ，c 的大小顺序为( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <c<aD ．b <a <c(2)设0＜a ＜1，使不等式ax 2－2x ＋1＞ax 2－3x ＋5成立的x 的集合是________．名师指导1．比较幂的大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f (x )＞a g(x )(a ＞0，且a ≠1)的解法(1)当a ＞1时，f (x )＞g(x )；(2)当0＜a ＜1时，f (x )＜g(x )．跟踪训练1．设a ＝90.9，b ＝270.48，c ＝⎝⎛⎭⎫13－1.5，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b类型二：与指数函数有关的最值或值域问题例2 已知函数f (x )＝a －2x1＋2x(a ∈R )，且x ∈R 时，总有f (－x )＝－f (x )成立． (1)求a 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性；(3)求f (x )在[0,2]上的值域．名师指导1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．2．一般用函数单调性的定义证明指数函数与其它函数复合而成的函数的单调性．跟踪训练2．已知函数f (x )＝a ·4x －a ·2x ＋1＋2在区间[－2,2]上的最大值为3，求实数a 的值.探究共研型指数函数单调性的综合应用探究1 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋1的单调区间是什么？探究2 函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <0(a －3)(x ＋4a)，x ≥0，满足对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎡⎭⎫14，1D ．(0,3)名师指导1．求函数y ＝a f (x )的单调区间首先要确定a >1还是0<a <1，即确定y ＝a t 的单调性，然后根据函数t ＝f (x )的单调性求复合函数的单调区间．2．根据函数的单调性求分段函数中参数的取值范围时，最易忽视的是两段函数的最值间的大小关系对参数的影响．跟踪训练3．已知函数y ＝2－x 2＋4x －1，求其单调区间及值域．课堂检测1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 2．下列判断正确的是( )A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5 3．设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数4．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则常数a ＝______. 5．设函数f (x )＝a －22x ＋1， (1)判断并说明函数的单调性；(2)确定a 的值，使f (x )为奇函数及此时f (x )的值域．参考答案小组合作型类型一：比较大小与解不等式例1【答案】 (1)A (2)(－∞，4)【解析】(1)113334()()43a -==，144()3b =， 334432()()123c -==<， ∵指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x 为增函数，13＞14，∴a ＞b ＞1，∴a ＞b ＞c ，故选A. (2)∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 为减函数．∵a x 2－2x ＋1＞a x 2－3x ＋5，∴x 2－2x ＋1＜x 2－3x ＋5，解得x ＜4.跟踪训练1．【答案】 B【解析】 因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，a ＝31.8，b ＝270.48＝31.44，c ＝31.5.∴a ＞c ＞b . 类型二：与指数函数有关的最值或值域问题例2 解：(1)∵f (－x )＝－f (x )，∴a －2－x 1＋2－x ＝－a －2x1＋2x， 即a ·2x －11＋2x ＝2x －a 1＋2x ，∴a ＝1，∴f (x )＝1－2x1＋2x. (2)函数f (x )为R 上的减函数，证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R ，且x 2＞x 1，∴f (x 2)－f (x 1)＝1－2x 21＋2x 2－1－2x 11＋2x 1＝2(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2). ∵x 2＞x 1，∴2x 2＞2x 1>0.∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴函数f (x )为R 上的减函数．(3)由(2)知，函数f (x )在[0,2]上为减函数，∴f (2)≤f (x )≤f (0)，即－35≤f (x )≤0，即函数的值域为⎣⎡⎦⎤－35，0. 跟踪训练2．解：令t ＝2x .∵x ∈[－2,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，4，则g (t )＝at 2－2at ＋2.当a ＝0时，g (t )＝2≠3，故舍去a ＝0；当a ≠0时，g (t )＝a (t －1)2＋2－a ；当a ＞0时，g (t )m ax ＝g (4)＝8a ＋2＝3，∴a ＝18. 当a ＜0时，g (t )m ax ＝2－a ＝3，∴a ＝－1.综上，a ＝18或a ＝－1. 探究共研型指数函数单调性的综合应用探究1 【答案】 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t ＝x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．探究2 【答案】分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致；(2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反．例3 【答案】 A【解析】 ∵f (x )对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x <0(a －3)(x ＋4a)，x ≥0，为R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a －3<04a ≤1，解得0＜a ≤14. 跟踪训练3．解：令t ＝－x 2＋4x －1，则y ＝2t .又t ＝－(x －2)2＋3在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝2－x 2＋4x －1的单调递增区间为(－∞，2]，单调递减区间为[2，＋∞)． 又x ∈R 时，t ≤3，故0<y ≤23＝8，即值域为(0,8].课堂检测1．【答案】 D【解析】 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x 是增函数，∴x ＋1<0，∴x <－1.2．【答案】 D【解析】 ∵y ＝0.9x 在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.3．【答案】 D【解析】 ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，∴f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12|－x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝f (x )，故f (x )为偶函数， 当x ＞0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，是减函数，故选D. 4．【答案】 －12【解析】 ∵函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (0)＝0，130＋1＋a ＝0，a ＝－12. 5． 解：(1)任取x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，即2x 1－2x 2＜0，又∵2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴不论a 为何值，f (x )总为增函数．(2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1， 解得a ＝1，故f (x )＝1＋－22x ＋1在其定义域内是增函数， 又2x ＋1>1，所以0<12x ＋1<1，－1<1＋－22x ＋1<1. ∴f (x )的值域(－1,1)．。
数学指数函数教学教案(最新5篇)
数学指数函数教学教案（最新5篇）高一数学《指数函数》优秀教案篇一一、教学目标：1、知识与技能(1)理解指数函数的概念和意义；(2)与的图象和性质；(3)理解和掌握指数函数的图象和性质；(4)指数函数底数a对图象的影响；(5)底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小(6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。
2、情感、态度、价值观(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
(2)培养学生观察问题，分析问题的能力。
二、重、难点：重点：(1)指数函数的概念和性质及其应用。
(2)指数．函数底数a对图象的影响。
(3)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小。
难点：(1)利用函数单调性比较指数幂的大小。
(2)指数函数性质的归纳，概括及其应用。
三、教法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法。
②教具：多媒体。
四、教学过程：第一课时讲授新课指数函数的定义一般地，函数(0且≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(1，且)小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。
若0，如在实数范围内的函数值不存在。
若=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。
先来研究的情况。
下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象。
再研究，01的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象。
从图中我们看出。
通过图象看出实质是上的。
讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出的函数图象。
练习p711,2作业p76习题3-3A组2课后反思：高一数学《指数函数》优秀教案篇二教学目标：进一步理解指数函数及其性质，能运用指数函数模型，解决实际问题。
指数函数教案(通用3篇)
Don't complain when you encounter difficulties. Since you can't change the past, try to change the future.同学互助一起进步（页眉可删）指数函数教案（通用3篇）指数函数教案1教材分析（一）本课时在教材中的地位及作用：指数函数的教学共分两个课时完成。
第一课时为指数函数的定义，图像及性质；第二课时为指数函数的应用。
指数函数第一课时是在学习指数概念的基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。
（二）教学目标：1、知识目标：掌握指数函数的概念，图像和性质。
2、能力目标：通过数形结合，利用图像来认识，掌握函数的性质，增强学生分析问题，解决问题的能力。
3、德育目标：对学生进行辩证唯物主义思想的教育，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
（三）教学重点，难点和关键：1、重点：指数函数的定义、性质和图象。
2、难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质。
3、关键：能正确描绘指数函数的图象。
教学基本思路：在讲解指数函数的定义前，复习有关指数知识及简单运算，然后由实例引入指数函数的概念，因为手工绘图复杂且不够精确，并且是本节课的教学关键，教学中，我借助电脑手段，通过描点作图，观察图像，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出指数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。
一、学法指导：１、学情分析：大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高。
2、学法指导：针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法。
《2.6指数与指数函数》 学案
1
6 / 19
【答案】 (1)110
4 (2)a a
1 1
(3)a
1 1
【解析】 (1)原式＝
a 3b 2 · a 2b3 a b
1 6 5 6
＝＝ a
1 1 1 3 2 6
· b2
1 1 5 3 6
1 ＝ . a
5 1 － 2 － 1 2 (2)原式＝－ a 6 b 3÷ b 3 4 a 3 · 2
16 / 19
【拔高】 6．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈ R，不等式 f(t2－2t) ＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围． －2x＋b 是奇函数． ＋ 2x 1＋a
17 / 19
7．若函数 y＝ lg(3－4x＋x2) 的定义域为 M.当 x∈ M 时，求 f(x)＝2x 2－ 3× 4x 的最值及相应的 x 的值．
＋
18 / 19
课程小结
19 / 19
3 5 1 － 1 ＝－ a 6 · b 3÷ a 3 b 2 4
5 1 3 ＝－ a 2 · b 2. 4 5 1 5 ab ＝－ · 3 ＝－ . 4 ab 4ab2
7 / 19
【例题 2】 【题干】
函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是(
)
8 / 19
【答案】 【解析】
第六节
适用学科 适用区域 数学 新课标
指数与指数函数
适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
知 识 点
学习目标
1. 根式与指数幂 2. 指数幂的运算法则 3. 指数函数的概念 4. 指数函数的图象与性质 5. 与指数函数有关的复合函数问题的处理方法 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型 . 指数函数概念、指数函数的图像与性质 指数函数概念、指数函数的图像与性质
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指数函数
【使用说明及学法指导】
1.先精读一遍教材P90—P92，用红色笔进行勾画；再针对导学案二次阅读并回答，时间不超过20分钟；
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范，AA 完成所有题目，对于选作部分BC 层可以不做；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4.必须记住的内容：指数函数的概念、图象和性质 【学习目标】
1. 准确理解指数函数的定义，熟练掌握指数函数的图像与性质。
2.自主学习、合作交流，探究指数函数图像与性质应用的规律和方法。
3.激情投入、高效学习，体验学习的快乐。
一、问题导学：
【】1.下列函数是指数函数的有 1112(),(2)(2),(3)23
x
x x y y y +=⋅=-=（） 2.. (1)01,x y a >>∈时，则 ;(2)01,x y a <>∈时，则
3.比较大小 （1）0.8
3
0.73 （2）0.10.75- 0.10.75
【我的疑惑】
二、合作探究
探究点一：指数函数的图象和性质 例1. 已知指数函数(2a 1)x y =-，求满足下列条件时a 的取值范围 （考察指数函数的概念和图象）
（1）0,1x y >> （2）01x y <>，
【小结】
探究点二：指数函数性质的运用
例2.比较下列各题中两个值的大小 （考察灵活运用指数函数的性质）
（1）0.7a
与1
0.7a + （2）3
2
2
(2)
a
+与3
22
)
1(+a
（3）已知b a )7
4
()74(>，比较b a ,的大小；
（BC 选做）引申：.把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来
（1）32
)3
1(， 2)31(-，43 （2）5.22，0
)5.2( ，5.2)21(
【小结】 【课堂小结】
1.知识方面
2.数学思想方法。