2013届高考一轮复习单元测试(文数)第四章三角函数
山西省2013高考数学一轮单元复习测试：三角函数
山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且2α∈[0,2π），则tan α等于（ ） A ．－ 3 B ． 3 C ．－33 D ．33【答案】B 2． 已知tan()34πα-=， 则1sin cos αα=（ ）A ．52B ．75C ．52-D ．75-【答案】C 3．若1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．78-B ．14-C ．14D ．78【答案】A4．将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是 ( ） A ．9x π=B ． 8x π=C ．x π=D ． 2x π=【答案】D5．函数)4(sin )4(cos 22ππ+-+=x x y 是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A6．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x ，y)．若初始位置为P 0(23，21)，当秒针从P 0 (注此时t =0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（ ） A ．)630sin(ππ+=t yB ．)660sin(ππ--=t y C ．)630sin(ππ+-=t yD ．)330sin(--=t y【答案】C7．已知函数()y Asinx B =ω+ϕ+的一部分如下图所示。
如果A ＞0，0,2πωϕ><，则（ ）A ．A=4B ．B=4C ．1ω=D ．6πϕ= 【答案】D8． 若将函数2sin()y x ϕ=+的图像上每个点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变）， 再向右平移4π个单位后得到的图像关于点(,0)3π对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π【答案】A 9．函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A ．2,2πB ．1,2πC ．，1D ．，2【答案】C 10．已知31)tan(,41tan =-=βαα，则=βtan （ ） A ．117 B ．711- C ．131-D ．131【答案】C11．已知ABC ∆的三个内角满足：B C A cos sin sin ⋅= ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】B 12．已知tan()34πα-=， 则1sin cos αα= ( ）A ．52B ．75C ．52-D ．75-【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12； (2)图象上所有点的纵坐标不变， 横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移3π个单位； (4)图象向左平移3π个单位；(5)图象向右平移23π个单位；(6)图象向左平移23π个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sinx 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋ 3π)的图象，那么这两种变换正确的标号是______(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．【答案】(4)(2)或(2)(6) 14．已知21cos sin =-αα，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为 .【答案】214-15．如果21)4tan(,43)tan(=-=+παβα，那么)4tan(πβ+= . 【答案】11216．若ABC ∆的面积为3，O 60,2==C BC ，则边长AB 的长度等于 . 【答案】2三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= (1）求cos B 的值； (2）若2=⋅BC BA ，且22=b，求c a 和的值.【答案】（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B(II ）由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以.6==c a18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈且214ac b =. (1)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(2）若角B 为锐角，求p 的取值范围；【答案】由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (Ⅱ）解：由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-2()22cos a c ac ac B =+--2222cos ,22p b b b B =--即231cos ,22p B =+因为0cos 1B <<，得23(,2)2p ∈，由题设知0p >p <<19．已知函数f(x)=cos(-x 2)+cos(4k 1x22+π-)，k ∈Z ，x ∈R ． (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在［0,π)上的减区间； (3)若f(α)=5,α∈(0, 2π)，求tan(2α+ 4π)的值．【答案】(1)f(x)=cos(-x 2)+cos(4k 1x22+π-) =cos x 2+cos(2k π+ x 22π-)=sin x 2+cos x 2=x 2+4π),所以，f(x)的最小正周期T=2412π=π．(2)由2π+2k π≤x 32k 242π+≤π+π,k ∈Z得54k x 4k ,k Z 22π+π≤≤π+π∈． 令k=0，得5x 22π≤≤π；令k=-1，得73x .22π-≤≤-π 又x ∈［0,π)，∴f(x)在［0,π)上的减区间是［2π,π)． (3)由f(α)=5，得sin cos 225αα+=，∴1+sin α85=，∴sin α=35，又α∈(0, )2π， ∴cos α45==，∴232sin 32tan 244tan tan29cos 41tan 7116⨯ααα==∴α===α-α-，， ∴241tan2tan3174tan(2).244171tan2tan 147π+α+πα+===-π-α-20．已知向量()().cos 2,1,sin ,cos22x n x x m ==(I ）若n m ⊥且0＜x ＜π，试求x 的值； (II ）设(),n m x f ⋅=试求()x f 的对称轴方程和对称中心.【答案】（I ）∵.n m ⊥∴x x x n m cos sin 2cos 22+=⋅,0142sin 212sin 2cos =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x 即2242sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ∵,0π＜x＜∴,49,442⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππx ∴，x 474542πππ或=+∴.432ππ或=x (II ）().142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f令.,82,242Z k k x Z k k x ∈+=∈+=+πππππ可得 ∴对称轴方程为.,82Z k k x ∈+=ππ 令Z k k x ∈=+,42ππ可得,,82Z k k x ∈-=ππ ∴对称中心为.,1,82Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-ππ21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=． (1）求ABC ∆的面积；(2） 若6b c +=，求a 的值．【答案】（1）因为cos25A =，所以53cos =A ， 又π<<A 0,所以54sin =A ． 由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =所以5=bc故2sin 21==∆A bc S ABC ． (2）由5bc =，且6b c +=，解得⎩⎨⎧==,1,5c b 或⎩⎨⎧==.5,1c b 由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=， 故52=a22．如图，某园林绿化单位准备在一直角ABC 内的空地上植造一块“绿地△ABD ”，规划在△ABD 的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，若AB=a ，θ=∠DAB ，种草的面积为1S ，种花的面积为2S ，比值12S S 称为“规划和谐度”。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件 文
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2
=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α
cos
α
1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化
1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标 根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5
-
2
5 5
=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ
2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第4章 第28讲 三角函数的图象与性质(二)
三角函数图象的 综合应用
【例3】 2 的图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线 的斜率为－2. 如图，函数y＝2cos( x＋ )( x R,0
)
1 求 和的值； 2 已知点A(
2 ，，点P是该函数图象上一点， 0)
3 点Q ( x0，y0 )是线段PA的中点．当y0＝ ， 2 x0 [ ， ]时，求x0的值． 2
3.若动直线x＝a与函数f x ＝sinx和g x ＝ cosx的图象分别交于M 、N 两点，则 MN
2 的最大值为______________
【解析】因为 MN ＝ | sina－cosa | ＝ | 2sin(a－ ) | ， 4 所以 MN 的最大值为 2.
4.把函数f x 2cos( x )的图象向左平移 6 6 个单位，再把所得图象上每一点的纵坐标不 1 变，横坐标变为原来的 ，那么所得到的图象 2 的函数解析式是 y 2cos2x
本题利用点在函数的图象 上，求出θ的值，然后利用图象
的几何意义，求出x0的值．
【变式练习3】 设函数f x ＝sin(2x＋ )(－ 0)， y＝f x 的图象的一条对称轴是直线x＝ . 8 1 求的值；
2 求函数y＝f x 的单调递增区间； 3 证明：直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f x
【解析】将函数y＝sin x 0 的图象沿x轴向左 平移 个单位长度得到y＝sin ( x＋ )， 6 6 即y＝sin( x＋
6
)的图象．
将点( ， 代入y＝sin( x＋ 0) )，得sin( ＋ ) 3 6 3 6 ＝0，所以 ＝2k＋ ( k Z)，＝4k＋2( k Z)． 2 2 由图知T ,即 ，所以 6. 3 3 又 0，所以＝2.故y＝sin(2x＋ ). 3
安徽省2013届高三数学一轮复习单元训练 三角函数
安徽财经大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知C B A sin cos sin =，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ． 等腰直角三角形D ．正三角形 【答案】A2．已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为( )A ．2524-B ．2512-C ．54-D ．2524 【答案】A3．函数)34sin()(π+=x x f 的一条对称轴方程为( )A ． 3π-=xB ．6π=xC ． 2π=x D ． 32π=x 【答案】B4．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图象如图所示，则该函数表达式为( )A ．y ＝2sin(π3x －π6)＋1B ．y ＝2sin(π6x －π3)C ．y ＝2sin(π3x ＋π6)＋1D ．y ＝2sin(π6x ＋π3)＋1【答案】A5．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )A ．10=b ， 45=A ， 70=CB ．60=a ，48=c ， 60=BC ．14=a ，16=b ， 45=AD ． 7=a ，5=b ， 80=A【答案】C6．将函数)3sin(π-=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的图象所对应的函数是( )A ．)32sin(π-=x yB ．)322sin(π-=x yC ．)321sin(π-=x yD ．)621sin(π-=x y【答案】A7．如果一扇形的弧长为π，半径等于2，则扇形所对圆心角为( )A ．πB ．2πC ．π2D ．3π2【答案】C8．要得到函数sin()3y x π=-的图象，只需将函数sin()6y x π=-的图象( ) A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π单位 C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【答案】B9．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为1,3,3,,,===b a A c b a π且，则角B 等于( )A ．2πB ．6πC ．65πD ．656ππ或【答案】B10．已知锐角α的终边上一点P （sin 40︒，1cos 40+︒），则α等于( )A ．010B ．020C ． 070D ．080 【答案】C11．若△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 3sin 4sin 6==,则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C12．若α、β的终边关于y 对称，则下列等式正确的是( )A ．sin α=sin βB ．cos α=cos βC ．tan α=tan βD ．cot α=cot β【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若等式3sin α+cos α=413+m 能够成立，则m 的取值范围是 .【答案】7[3,]3-14．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东060，行驶h 4后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东015，这时船与灯塔距离为 km.【答案】23015．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =23,则∠C = 【答案】16．已知π2cos()23α-=，则cos α＝ ． 【答案】19三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设函数232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1)求g(t)的表达式；(2)对于区间[－1，1]中的某个t ，是否存在实数a ，使得不等式g(t)≤4a1＋a2成立？如果存在，求出这样的a 及其对应的t ；如果不存在，请说明理由．【答案】 (1)232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+232sin 12sin 434x t x t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+． 由(sinx －t)2≥0，|t|≤1，故当sinx ＝t 时，f(x)有最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t ＋3．(2)我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，g(t)在区间(－1，－12)和(12，1)单调增加，在区间(－12，12)单调减小，极小值为g(12)＝2，又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2 故g(t)在[－1，1]上的最小值为2 注意到：对任意的实数a ，4a 1＋a2＝4a ＋1a∈[－2，2] 当且仅当a ＝1时，4a 1＋a2＝2，对应的t ＝－1或12， 故当t ＝－1或12时，这样的a 存在，且a ＝1，使得g(t)≥4a1＋a2成立.而当t ∈(－1，1]且t ≠12时，这样的a 不存在.18．已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =+-∈ (I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；(Ⅱ）在锐角△ABC 中，若()1,2f A AB AC =⋅=，求△AB C 的面积．【答案】(1))32sin(2)(π+=x x f ππ==22T (2)22=s 19．已知2tan =x ，求下列各式的值：(1)x x x x sin cos sin cos -+ (2）x x x 2cos cos sin 21+ 【答案】(1)cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12x x x x x x +++===----(2）11tan 21tan cos cos sin 2cos sin 2222=++=++ααααααα20．在锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知322sin =A . (Ⅰ）求2sinCB +的值； (Ⅱ）若,2=a 2=∆ABC S , 求b 的值.【答案】（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，由322sin =A 可得31cos =A , 则2cos )22sin(2sinAA CB =-=+π =36(Ⅱ）由2=∆ABC S 得3=bc ,又由余弦定理得622=+c b ,可解得3=b21．已知tan （α＋4π）＝－3，α∈（0，2π）．(1）求tan α的值； (2）求sin （2α－3π）的值．【答案】（1）由tan （α＋π4）＝－3可得tan α＋11－tan α＝－3． 解得tan α＝2．(2）由tan α＝2，α∈（0，π2），可得sin α＝255，cos α＝55．因此sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，sin （2α－π3）＝sin2αcos π3－cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310．22．如图,渔船甲位于岛屿A 的南偏西60 方向的B 处,且与岛屿A 相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B 处沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求sin α的值.【答案】（I ）o120,20,12=∠==BAC AC AB ，由余弦定理可求得28=BC ，所以渔船甲的速度为14海里/小时. (II ）BCA ∠=α,由正弦定理可求得1433sin sin =∠=BCA α。
高考数学一轮复习练习第四章 三角函数、解三角形 第4讲 Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：分钟)一、填空题.(·徐州检测)函数()＝的单调递增区间是.解析当π－＜－＜π＋(∈)时，函数＝单调递增，解得－＜＜＋(∈)，所以函数＝的单调递增区间是(∈).答案(∈).已知函数()＝(ω>)和()＝(＋φ)的图象的对称中心完全相同，若∈，则()的取值范围是.解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝，所以()＝，那么当∈时，－≤－≤，所以－≤≤，故()∈.答案.(·云南统一检测)已知函数()＝－，则()的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.解析因为()＝)－＝，所以最小正周期＝＝，相邻两条对称轴之间的距离为＝.答案.如果函数＝(＋φ)的图象关于点中心对称，那么φ的最小值为.解析由题意得＝＝＝，∴＋φ＝π＋，∈，∴φ＝π－，∈，取＝，得φ的最小值为.答案.(·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数()＝(ω＋φ)(ω≠)对任意都有＝，则等于.解析由＝可知函数图象关于直线＝对称，则在＝处取得最值，∴＝±.答案±.(·南通调研)函数＝＋的单调递增区间是.解析∵＝＋＝，由π－≤＋≤π＋(∈)，解得π－≤≤π＋(∈).∴函数的增区间为(∈)，又∈，∴单调增区间为.答案.函数＝( )＋－())的定义域为.解析要使函数有意义必须有＞，－()≥，))即＞，≥()，))解得∴π＜≤＋π(∈)，∴函数的定义域为.答案(∈).函数＝＋－的值域为.解析＝＋－，令＝，∈[－，]，则有＝＋－＝－，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当＝－及＝时，函数取最值，代入＝＋－，可得∈.答案二、解答题.已知函数()＝))＋.()若＝－，求函数()的单调增区间；()若∈[，π]时，函数()的值域是[，]，求，的值.解()＝(＋＋ )＋＝＋＋.()当＝－时，()＝－＋－.由π＋≤＋≤π＋(∈)，得π＋≤≤π＋(∈)，∴()的单调增区间为(∈).()∵≤≤π，∴≤＋≤，。
高考数学总复习 第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式考纲要求1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝πtan π2k αα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭＋(k ∈Z ))．2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2α±，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__________； (2)商数关系：__________； (3)倒数关系：__________. 2．诱导公式总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇”“偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )．A ．－1213B ．1213C ．±1213D ．5122．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( )．A ．65B ．95C ．43D ．533．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )．A ．15B ．－15C ．513D ．－5134．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________．思维拓展1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.2．“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．一、同角三角函数关系式的应用【例1－1】已知tan α＝14，则cos 2α＋sin 2α的值为__________．【例1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 方法提炼1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.请做[针对训练]1二、诱导公式的应用 【例2－1】化简：sin(540°－x )tan(900°－x )·1tan(450°－x )tan(810°－x )·cos(360°－x )sin(－x )＝__________.【例2－2】化简：cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos(θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ.【例2－3】已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．方法提炼利用诱导公式化简求值时的原则为：1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．请做[针对训练]2三、sin x ±cos x 与方程思想【例3】已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.方法提炼1．已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x ，一般此法不常用，原因是计算麻烦．2．sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为：(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值．请做[针对训练]3考情分析从近几年的高考试题来看，同角三角函数的基本关系和诱导公式中是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查诱导公式在三角函数式求值，化简的过程中与同角三角函数的关系式，和差角公式及倍角公式的综合应用，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2013年高考仍将以诱导公式为主要考点，重点考查考生的运算能力与恒等变形能力．针对训练 1．(2011重庆高考，文12)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝__________.2．已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是__________．3．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求m 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1(2)tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z(3)tan α·cot α＝12．sin α －sin α －sin α sin α cos αcos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan α 锐角3．0 π6 π4 π3 π2 2π3 56ππ 3π2 0 12 22 32 1 32 120 －1 132 22 12 0 －12－32 －1 0 0 331 3 不存在 － 3 －33不存在基础自测1．A 解析：cos(α－π)＝－cos α＝－513，cos α＝513.sin α＝±1－cos 2α＝±1213，∵α是第四象限角，∴sin α＝－1213.2．B 解析：∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x 2＝1，∴sin 2x ＝45，∴sin 2x ＋1＝95.3．D 解析：由tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1及α是第四象限角，解得sin α＝－513.4．25 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得，tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 考点探究突破【例1－1】1617 解析：cos 2α＋sin 2α＝1－2sin 2α＋sin 2α＝cos 2α＝cos 2αcos 2α＋sin 2α＝11＋tan 2α＝1617. 【例1－2】解：(1)联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1.①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②.整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α.∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 【例2－1】sin x 解析：原式＝sin(180°－x )tan(180°－x )·1tan(90°－x )tan(90°－x )·cos x－sin x＝sin x－tan x ·ta n x ·tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x . 【例2－2】解：原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ. 【例2－3】解：∵cos(π＋α)＝－12.∴－cos α＝－12，cos α＝12.则sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(a ＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin(2n π＋π＋α)＋sin(－2n π－π＋α)sin(2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.【例3】解：(1)∵sin θ－cos θ＝12，∴(sin θ－cos θ)2＝14，即sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2θ＝14.由平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋cos θsin θ＋cos 2θ)．由平方关系及sin θ－cos θ＝12，可得sin 3θ－cos 3θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.(3)由(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θ·cos 2θ＋cos 4θ＝1，可得sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θ·cos 2θ＝1－2×964＝2332.演练巩固提升 针对训练1．43 解析：由1＋tan 2α＝1cos 2α，则tan 2α＝169.又因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故tan α＞0，则tan α＝43.2．{－2,2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．解：由韦达定理可知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2.①②由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，∴sin θcos θ＝34，由②得m 2＝34.∴m ＝32.。
高考数学一轮复习 第四篇 三角函数与解三角形 专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念练习(含解析)-
专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念【考试要求】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.【微点提醒】1.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.象限角的集合4.轴线角的集合【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)锐角的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)终边相同的角不一定相等.【教材衍化】2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为()A.－12B.12C.－32D.32【答案】 A【解析】 由题意得m <0且8m(8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°X 围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.【答案】 {－675°，－315°}【解析】 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ).解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.【真题体验】4.(2019·某某模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 D【解析】 由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.【答案】 3【解析】 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，所以α＝ 3.6.(2019·某某模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α<0，则tan α＝________.【答案】 －1【解析】 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－x x＝－1.【考点聚焦】 考点一 角的概念及其集合表示 【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.【答案】 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 【解析】 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【规律方法】 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z )的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的X 围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.【答案】 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 【解析】 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π， 所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 【答案】见解析【解析】由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). 【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【答案】见解析【解析】l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2). 【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】见解析【解析】由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10).所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25， 所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【规律方法】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【训练2】 (一题多解)(2019·某某质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【答案】 B【解析】 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3. 所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米). 法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB＝12×4×4×sin 2π3＝4 3. 故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12， 则sin(π＋α)＝－sin α＝－12. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.【规律方法】 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】 (1)(2019·某某一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 【解析】 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的X 围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .【反思与感悟】1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |＝r 一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.【易错防X 】1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z ) 【答案】 C【解析】 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确.3.(2019·某某区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27 B.127C.9 D.19【答案】 B【解析】 ∵tan 7π3＝3m m＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( )A.(2cos θ，2sin θ)B.(－2cos θ，2sin θ)C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)【答案】 C【解析】 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ).5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 B【解析】 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角.6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝() A.－45B.－35C.35D.45【答案】 B【解析】 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255 B.－55C.55D.255【答案】 A【解析】 由三角函数定义，cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【答案】 D【解析】 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 二、填空题9.(2019·某某徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________. 【答案】 3【解析】 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 10.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 【答案】 π3【解析】 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11.(2019·某某调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.【答案】 －43【解析】 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值X 围是________.【答案】 (－2，3]【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.14.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1 【答案】 B 【解析】 由题意可知tan α＝b －a 2－1＝b －a ， 又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（b －a ）21＋（b －a ）2＝23， ∴5(b －a )2＝1，得(b －a )2＝15，则|b －a |＝55. 15.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )【解析】 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边X 围(如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).16.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2的终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号. 【答案】见解析【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)知2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 故k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限. (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号. 综上，tan α2sin α2cos α2取正号. 【新高考创新预测】17.(多填题)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (单位：cm)表示成t (单位：s)的函数，则d ＝________(其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm.【答案】 10sin πt 6010 【解析】 根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60(t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理
,
= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2
a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;
2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,
2
即 cos A-cos A+=0,
sin B=2× = ,
2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2
2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+
综上,b= ,c=
+
.
或 c=
-
(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×
=
=
.
- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=
2sin Acos A=2×
(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形
2013年高考总复习数学理精练：第四章三角函数、解三角形单元检测(附答案)(答案含详解)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)且cosα＝－，则m的值为()．
14．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的 仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为__________m.
15．对于函数f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，h(x)＝x＋，有如下四个命题：
①f(x)－g(x)的最大值为；
(1)求cosB的值；
(2)若 ＝2，b＝2，求a和c.
20．(13分)设函数f(x)＝sin－2cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．
21．(14分)在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位
C．向左平移π个单位D．向右平移π个单位
5．函数y＝sin在区间的简图是()．
6．(2011福建三明模拟)把函数y＝sin(ωx ＋φ)的图像向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是()．
A．1，B．1，－C．2，D．2，－
7．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(φ＞0)，则下列命题错误的是()．
高考数学(文)一轮复习精编配套试题第四章《三角函数》(含答案精细解析)
2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第四章三角函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若0sin2<θ，则角θ是 （ ）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角 2、（2013年高考江西卷文）3sincos 2αα==若（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．233、【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6πa 的值为（ ） 33 4、（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．71.B ．71-.C ．7.D ．7-. 5 ．（2013年高考湖南（文5））在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于A .3πB .4πC .6πD .12π6．（2013年高考广东卷（文4））已知51sin()25πα+=,那么cos α=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．257．（2013年高考山东卷（文7））ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b =,则c =（ ） A ．23B ．2C ．2D ．18、（2013年高考天津卷（文6））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．1-B ．22-C ．22D ．0 9、【北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+10．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 minB.157 hC ．21.5 min D ．2.15 h 11．【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B = A.6πB.4πC.3πD.23π12、【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】已知函数，给出下列四个说法： ①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】tan 225o 的值为________.14、（2013年高考四川卷（文14））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.15．【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin 3cos c A a C =，则△ABC 的面积为．16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文16））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) （2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=(1) 求2()3f π的值; (2) 求使 1()4f x <成立的x 的取值集合18．(本小题满分12分)（2013年高考广东卷（文））已知函数()2,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.19．(本小题满分12分) 【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分) （2013年高考陕西卷（文））已知向量1(cos ,),(3sin ,cos 2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21．(本小题满分12分)（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）位于A 处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A 相距2海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处,135=AC .在离观测站A 的正南方某处E ,13132cos -=∠EAC(1)求θcos ; (2)求该船的行驶速度v (海里/小时);θ北CBAE22．(本小题满分12分)（江苏泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-3三角函数的图象与性质 新人教A版
4-3三角函数的图象与性质基础巩固强化1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B.2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是 x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12 C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A [解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 令k ＝0得x ＝π12，故选A.[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π6)的一个递减区间为( ) A ．(π6，2π3) B ．(－π3，π6) C ．(－π2，π2) D ．(π2，3π2)[答案] A [解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得， k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， 令k ＝0得，π6≤x ≤2π3，故选A.(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23 B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32.5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. (理)函数y ＝xsin xx ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C.6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 [答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝⎛⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形． 其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，即tan α<tan β不成立； ④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1， 所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1， 所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心． 综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－12，1]，则b －a 的最小值为________．[答案]2π3[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k ∈Z .由图象观察知，b －a 的最小值为2π3.(理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．[答案] 1[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)， ∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根， ∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________. [答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0， ∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1＝4cos x(32sin x＋12cos x)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6 )．所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.(理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋3 2＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，∴x＝kπ2＋π6，k∈Z.故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π6，0)(k∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]. 能力拓展提升11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin xx <π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y ＝sin x ·|cos xsin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝( )A．2＋ 3 B. 3C.33D．2－ 3[答案] B[解析] 由图可知：T＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A·tan(2×38π＋φ)＝A·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4＝A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4 )，∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan(π12＋π4)＝tanπ3＝ 3.12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972C ．99πD ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T＝4，∴t ≥74T ＝7，故选C.13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称； ③在[0，π6上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④.(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2， ∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真． 14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2，f π3＝12＋32，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1， ∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2. (2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4＝sin(2β＋π4)．∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β， ∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )． (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝233. (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]， sin(2x ＋π6∈[－12，1]． 因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3. 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32. 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2k ∈Z ) 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)， 又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3. (理)(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6， 因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π6] C ．[－π3，0] D ．[－π6，0] [答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.112D.233[答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －13(k ∈Z )，又∵ω>0，∴ωmin ＝233.3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8 C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)． 由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8令k ＝1得x ＝7π8 B.5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.6．对任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π3)＋1. 所以最小正周期为T ＝π.(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3＝1，得出x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。
2013届高考数学(文)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第四章三角函数
2013届高考数学（文）一轮复习单元测试第四章三角函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角 2、o585sin 的值为 （ ）(A) 2-(B)2(C)2- (D) 2 3、“2()6k k Z παπ=+∈”是“1c o s 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4、（2012年石家庄市高中毕业班教学质检）下列函数中，周期是π，又是偶函数的是 （ ） A ．y=sinx B ．y=cosx C ．y=sin2x D ．y=cos2x5 ．（2012课标文）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）6．（2012江西文）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）7．（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．C D8、（2012唐山市高三上学期期末）函数()2cos 2f x x x =+（ ） A ．在(,)36ππ--单调递减 B ．在(,)63ππ单调递增C ．在(,0)6π-单调递减 D ． ()f x 在(0,)6π单调递增9、（2012三明市普通高中高三上学期联考）右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为10．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 minB.157h C ．21.5 min D ．2.15 h 11．（2012上海文）在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ） A ．钝角三角形. B ．直角三角形. C ．锐角三角形.D ．不能确定.12、（2012武昌区高三年级元月调研）给出以下4个命题： ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈；③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象； ④函数在区间[0,]π上是减函数． 其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 14、（2012金华十校高三上学期期末联考）已知1tan 47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α= ；15．（2012陕西文）在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π,则b=______16．（ 2012江苏）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)【2012黄冈市高三上学期期末文】已知函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+>≤≤为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π。
高考数学一轮复习练习第四章 三角函数、解三角形 第2讲 Word版含答案
答案－
＝.
解析＝
＝＝ － ＝ － .
答案－
.已知α＝，则α－α的值为.
解析α－α＝α－α＝α－＝－＝－.
答案－
π·π·的值是.
解析原式＝··
＝··
＝××(－)＝－.
答案－
.(·四川卷)已知α＋α＝，则αα－α的值是.
解析由α＋α＝，得α＝－αα－α＝＝＝＝＝－.
答案－
.已知θ＝－，θ∈，则(θ－π)的值是.
解()(α)＝
＝
＝－α.
()∵＝－α＝，
∴α＝－，
又α是第三象限角，∴α＝－＝－.
故(α)＝.
能力提升题组
(建议用时：分钟)
.若＝，则等于.
解析∵＋＝.
∴＝
＝＝.
则＝－＝－.
答案－
.若θ，θ是方程＋＋＝的两根，则的值为.
解析由题意知θ＋θ＝－，θ·θ＝.
又＝＋θθ，
∴＝＋，解得＝±.
又Δ＝－≥，
∴≤或≥，∴＝－.
答案－
°＋°＋…＋°＝.
解析°＋°＋…＋°＝°＋°＋…＋°＋°＋°＋°＋…＋°＋°＝(°＋°)＋(°＋°)＋…＋(°＋°)＋°＋°＝＋＋＝.
答案
.是否存在α∈，β∈(，π)，使等式(π－α)＝，(－α)＝－(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①＋②，得α＋α＝.
∴α＝，∴α＝±.
∵α∈，∴α＝±.当α源自时，由②式知β＝，又β∈(，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知β＝，
又β∈(，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝，β＝满足条件.
2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教B版课后练习+单元测试)(77份打包).阶段性测试题四三角函数
阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011～2012·青岛市期末)已知tan(α＋π4)＝3，则tan α的值为( )A.12 B ．－12C.14 D ．－14[答案] A[解析] 由tan(α＋π4)＝3得，tan α＋11－tan α＝3，∴tan α＝12.(理)(2011～2012·绥化市一模)若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] D[解析] ∵tan α＝3，∴sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6.2．(2011～2012·吉林省延吉市质检)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135° [答案] B[解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，∴4332＝42sin B ， ∴sin B ＝22，∵AC <BC ，∴B <A ，∴B ＝45°. 3．(文)(2011～2012·山东苍山县期末)要得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象，可将y ＝sin2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度[答案] B[解析] y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，故只须将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，∴选B.(理)(2011～2012·兰州一中期末)y ＝sin(2x ＋π3)的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] C[解析] y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，向右平移π12个单位得y ＝sin2(x －π12＋π6)，∵当x ＝－π12时，sin2(x －π12＋π6)＝0，∴需向右平移π12个单位． 解法二：将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移φ个单位后，得y ＝sin[2(x －φ)＋π3]＝sin(2x ＋π3－2φ)，其图象关于点(－π12，0)对称，∴2×(－π12)＋π3－2φ＝k π，∴φ＝－k π2＋π12，∵k ∈Z ，∴k ＝0时，φ＝π12，故选C.4．(2011～2012·包头一中期末)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根[答案] C[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象知，两函数图象有且仅有两个交点．5．(文)(2011～2012·豫南九校联考)函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π，则a 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．±1[答案] D[解析]y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，T＝2π2|a|＝π|a|＝π，∴a＝±1.(理)(2011～2012·安徽六校教育研究会联考)函数y＝2－sin2x是()A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数[答案] D[解析]y＝2－sin2x＝2－1－cos2x2＝32＋12cos2x，周期T＝π为偶函数，∴选D.6．(2011～2012·浙江六校联考)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则α等于()A．10°B．20°C．70°D．80°[答案] C[解析]tanα＝1＋cos40°sin40°＝2cos220°2sin20°cos20°＝cot20°＝tan70°，∵α为锐角，∴α＝70°.7．(2011～2012·河北衡水中学调研)函数y＝2cos2(x－π4)－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos(2x －π2)＝sin2x ，∴周期为T ＝π，是奇函数．8．(2011～2012·深圳市一调)已知直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57 D ．1[答案] D[解析] 由条件得tan α＝2，tan β＝－13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝2＋(－13)1－2×(－13)＝1.9．(2011·浙江杭州月考)已知sin(x ＋π6)＝33，则sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝( )A.1＋33B.2＋33C.2－33D.6＋13[答案] B[解析] sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝sin[π－(5π6－x )]＋cos 2[π2－(π3－x )] ＝sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x ) ＝sin(π6＋x )＋1－sin 2(π6＋x )＝33＋1－(33)2＝2＋33. 10．(2011～2012·豫南九校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度 [答案] A [解析]T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2， 由最小值－1知A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将(π3，0)代入得sin(2π3＋φ)＝0，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，向右平移π6个单位长度，即可得g (x )＝sin2x 的图象．11．(2011～2012·青岛市期末)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62C. 3 D ．－ 3[答案] D[解析] ∵△EFG 为边长为2的正三角形，∴f (x )的周期为4，∴2πω＝4，∴ω＝π2，∵f (x )为奇函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝－A sin(π2x )，其最大值为A ＝3，∴f (x )＝－3sin π2x ，∴f (1)＝－ 3.12．(2011～2012·大庆铁人中学期末)在同一个坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )[答案] D[解析] 若a >1，则y ＝sin ax 的周期T ＝2πa <2π，排除A 、C ；若0<a <1，则y ＝sin ax 的周期T >2π，排除B ，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2011～2012·佛山市质检)函数y ＝3sin x ＋sin(x ＋π2)的最小正周期是________．[答案] 2π[解析] y ＝3sin x ＋sin(x ＋π2)＝3sin x ＋cos x ＝2(32sin x ＋12cos x )＝2sin(x ＋π6)，故最小正周期为2π.14．(文)(2011～2012·浙江宁波市期末)若α∈(0，π2)，且cos 2α＋sin(π2＋2α)＝12，则tan α＝________.[答案] 1[解析] ∵sin(π2＋2α)＝cos2α＝2cos 2α－1，∴cos 2α＋2cos 2α－1＝12，∴cos 2α＝12，∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，∴cos α＝22，∴sin α＝22，∴tan α＝1.(理)(2011～2012·安徽东至县一模)cos42°·cos78°＋sin42°·cos168°＝________.[答案] －12[解析] cos42°cos78°＋sin42°cos168°＝cos42°cos78°－sin42°sin78°＝cos(42°＋78°)＝cos120°＝－12.15．(2011～2012·山东东营市期末)小明爸爸开车以80km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A 处望见电视塔P 在北偏东30°方向上，15分钟后到达B 处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B 时与电视塔P 的距离是________km.[答案] 10 2[解析] 由条件知AB ＝80×1560＝20，∠APB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BPsin30°＝20sin45°，∴BP ＝20sin30°sin45°＝102(km)．16．(文)(2011～2012·厦门市质检)函数f (x )＝sin(x ＋π3)－3cos(x＋π3)，x ∈[0,2π)的单调递减区间是________． [答案] [π2，3π2][解析] f (x )＝sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)＝2sin[(x ＋π3)－π3]＝2sin x ，故在[0,2π)上的单调递减区间为[π2，3π2]．(理)(2011～2012·南通市调研)已知函数f (x )＝3sin x2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．[答案] 2π[解析] f (x )的周期T ＝4π，∵对任意实数x 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，∴f (x 1)是f (x )的最小值，f (x 2)是f (x )的最大值，因此|x 1－x 2|的最小值为半个周期即2π.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2011～2012·吉林延吉市质检)已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[解析] (1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：18．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·滨州市沾化一中期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.若b ＋c ＝6，求a 的值． [解析] 由cos A 2＝255得，cos A ＝2cos 2A2－1＝35，由bc ＝5，且b ＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝5.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20， 故a ＝2 5.(理)(2011～2012·厦门市质检)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边．a ＝2，sin B2＝55，且△ABC 的面积为4.(1)求cos B 的值； (2)求边b 、c 的长． [解析] (1)∵sin B2＝55，∴cos B ＝1－2sin 2B2＝1－2×(55)2＝35. (2)由(1)cos B ＝35，在△ABC 中，0<B <π，∴sin B ＝45，又由已知S △ABC ＝4，且a ＝2， ∴12ac sin B ＝4，解得c ＝5， ∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17，∴b ＝17，c ＝5.19．(本小题满分12分)(2011～2012·绥化市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.(1)求角B 的值；(2)已知函数f (x )＝2cos(2x －B )，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．[解析] (1)由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，得2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，得2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，又B 为三角形的内角，所以B ＝2π3. (2)∵B ＝2π3，∴f (x )＝2cos(2x －2π3)， ∴g (x )＝2cos[2(x ＋π12)－2π3]＝2cos(2x －π2)＝2sin2x ，由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )．20．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝cos x ·1＋sin x1－sin x＋sin x ·1＋cos x1－cos x.(1)当x ∈(－π2，0)时，化简f (x )的解析式，并求f (－π4)的值；(2)当x ∈(π2，π)时，求函数f (x )的值域．[解析] f (x )＝cos x ·1＋sin x1－sin x＋sin x ·1＋cos x1－cos x＝cos x ·(1＋sin x )2cos 2x＋sin x ·(1＋cos x )2sin 2x＝cos x ·1＋sin x |cos x |＋sin x ·1＋cos x|sin x |.(1)当x ∈(－π2，0)时，f (x )＝cos x ·1＋sin x cos x ＋sin x ·1＋cos x－sin x ＝sin x －cos x ，故f (－π4)＝－ 2.(2)当x ∈(π2，π)时，|cos x |＝－cos x ，|sin x |＝sin x ，故f (x )＝cos x ·1＋sin x －cos x ＋sin x ·1＋cos xsin x＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，当x ∈(π2，π)时，x ＋π4∈(3π4，5π4)，所以－1≤cos(x ＋π4)<－22；函数f (x )的值域是[－2，－1)．(理)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值； (2)求角β.[解析] (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝4 3.于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 21．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·江西赣州市期末)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．[解析] (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1，∴f (x )的最小值是－2，最小正周期为π.(2)∵f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，即sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，－π6<2C －π6<11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵m 与n 共线，∴sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝2a ， ①∵c ＝3，由余弦定理得，9＝a 2＋b 2－2ab cos π3， ②解方程组①②得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝23.(理)(2011～2012·青岛市期末)已知函数f (x )＝32sin2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位后得到图象对应函数g (x )，设△ABC 三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 、b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝32sin2x －12(cos 2x －sin 2x )－1＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1. f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，所以sin(2C －π6)＝1，因为2C －π6∈(－π6，11π6)，所以2C －π6＝π2，所以C ＝π3，由余弦定理知：a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，因为sin B ＝3sin A ，由正弦定理知：b ＝3a ， 解得a ＝1，b ＝3.(2)由条件知g (x )＝sin(2x ＋π6)－1，所以g (B )＝sin(2B ＋π6)－1＝0，所以sin(2B＋π6)＝1，因为2B＋π6∈(π6，13π6)，所以2B＋π6＝π2，即B＝π6，m＝(cos A，32)，n＝(1，sin A－33cos A)，于是m·n＝cos A＋32(sin A－33cos A)＝12cos A＋32sin A＝sin(A＋π6)，∵B＝π6，∴A∈(0，56π)，得A＋π6∈(π6，π)，∴sin(A＋π6)∈(0,1]，即m·n∈(0,1]．22．(本小题满分14分)(文)(2011～2012·吉林省延吉市质检)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求边AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．[解析](1)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝162＋102－2·16·10cos C ①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos D＝142＋142－2·142cos C ②由①②得：142＋142－2·142cos C＝162＋102－2·16·10cos C∴cos C＝1 2，又∠C为三角形的内角，所以C＝60°，又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，∴AB＝14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S△ABD＝12AD·BD sin DS△ABC＝12AC·BC sin C因为AD·BD>AC·BC，所以S△ABD>S△ABC，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．即小李的设计符合要求．(理)(2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟)一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：(1)求棒长L 关于α的函数关系式L (α)； (2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值． [解析] (1)如图，AB ＝2cos α，BC ＝2sin α，L (α)＝AC ＝AB ＋BC ＝2cos α＋2sin α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(2)L (α)＝2(cos α＋sin α)sin αcos α令t ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， ∵0<α<π4，∴t ∈(1，2]，则sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12＝t 2－12，∴L ＝22t t 2－1＝22t －1t ，当t ∈(1，2]时，t －1t 随着t 的增大而增大，所以t －1t ∈(0，22]，所以L ∈[4，＋∞)．所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4.[点评]L (α)的最小值，即通过此直角走廊的铁棒的最大长度，当α＝π4时，能通过走廊的铁棒最长．1．(2011～2012·平顶山、许昌新乡二调)设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[答案] C[解析] m ·n ＝3sin A cos B ＋3sin B cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin C ＝1－cos C ，∴sin(C ＋π6)＝12，∵0<C <π，∴C ＝2π3.2．(2011～2012·南通市调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且3aBC→＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a :b :c ＝________. [答案] 20:15:12[解析] ∵3aBC→＋4bCA →＋5cAB →＝0， ∴3aBC→＋4bCA →＋5c (AC →＋CB →)＝0， ∴(3a －5c )BC→＋(4b －5c )CA →＝0， ∵BC →与CA →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －5c ＝04b －5c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5c 3b ＝5c 4，∴a b ＝43＝2015，b c ＝54＝1512，∴a :b :c ＝20:15:12.3．(2011～2012·保定八校联合体联考)已知sin(α＋π4)＝13，则sin αcos α的值为( )A ．－718B ．－79C.718D.79[答案] A[解析] ∵sin(α＋π4)＝13，∴sin 2(α＋π4)＝19，∴1－cos (2α＋π2)2＝19，∴cos(2α＋π2)＝79，∴sin2α＝－79，∴sin αcos α＝－718.4．(2011～2012·辽宁本溪一中庄河高中联考)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，则向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为( )A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3[答案] B。
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形单元质检A文新人教B版
单元质检四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点在角α的终边上,则sin α的值为()A.-B.-C. D.2.(2017河北保定二模)若角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2θ=()A.2B.-4C.-D.-3.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-D.2π,2-4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若a cos B+b cos A=c sinC,S=(b2+c2-a2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2017河北保定二模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.21二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin,且x∈,则cos 2x的值为.8.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则的最大值是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx sin(ω>0)的最小正周期为.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.10.(15分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.11.(15分)(2017山东烟台一模)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x-.(1)求f(x)单调递减区间;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,a=2,c=4,若f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,求△ABC的面积.参考答案单元质检四三角函数、解三角形(A)1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为,即,所以由任意角的三角函数的定义,可得sinα==-,故选A.2.D解析∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tanθ=2;∴tan2θ==-,故选D.3.C解析因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin,所以最小正周期为π,当sin=-1时,取得最小值为2-.4.B解析由题意,得=2sin(2×0+φ),即sinφ=.又|φ|<,所以φ=.由2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,故选B.5.C解析由正弦定理得2R(sin A cos B+sin B cos A)=2R sin C sin C,于是sin(A+B)=sin2C,所以sin C=1,即C=,从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故选C.6.B解析∵ab≤=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=ab sin C≤×36×=9,故选B.7.-解析sin2x=cos=1-2sin2=1-2×=-,∵x∈,∴2x∈.∴cos2x=-=-.8.解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,∴△ABC的面积S=a·a=bc sin A.∴sin A=.由余弦定理,得cos A=, 故=2=sin A+2cos A=sin(A+α), 其中sinα=,cosα=.当sin(A+α)=1时,取到最大值是.9.解(1)f(x)=sin2ωx=sin2ωx-cos2ωx+=sin.因为T=,所以(ω>0),所以ω=2,即f(x)=sin.于是由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为x∈,所以4x-,所以sin,所以f(x)∈.故f(x)在区间上的取值范围是.10.解(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=.由正弦定理知,所以AB==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-=-.因为0<A<π,所以sin A=.因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.11.解(1)f(x)=sin2x+sin x cos x-(1-cos2x)+sin2x-sin2x-cos2x=sin,由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调减区间为(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=sin,当x∈(0,π)时,-<2x-,结合正弦函数的图象,当2x-,即x=时,f(x)取得最大值.∵f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,∴A=.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A,即12=b2+16-2×4b×,解得b=2,∴△ABC的面积S=bc sin A=×2×4sin=2.。
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2013届高考数学（文）一轮复习单元测试第四章三角函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角 2、o585sin 的值为 （ ）(A) (C) (D) 3、“2()6k k Z παπ=+∈”是“1c o s 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、（2012年石家庄市高中毕业班教学质检）下列函数中，周期是π，又是偶函数的是 （ ） A ．y=sinx B ．y=cosx C ．y=sin2x D ．y=cos2x5 ．（2012课标文）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）6．（2012江西文）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）7．（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．C D8、（2012唐山市高三上学期期末）函数()cos2f x x x +（ ） A ．在(,)36ππ--单调递减 B ．在(,)63ππ单调递增C ．在(,0)6π-单调递减 D ． ()f x 在(0,)6π单调递增9、（2012三明市普通高中高三上学期联考）右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为10．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 minB.157h C ．21.5 min D ．2.15 h 11．（2012上海文）在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ） A ．钝角三角形. B ．直角三角形. C ．锐角三角形.D ．不能确定.12、（2012武昌区高三年级元月调研）给出以下4个命题： ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈；③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象； ④函数在区间[0,]π上是减函数． 其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 14、（2012金华十校高三上学期期末联考）已知1tan 47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α= ；15．（2012陕西文）在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______16．（ 2012江苏）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)【2012黄冈市高三上学期期末文】已知函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+>≤≤为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π。
（1）求()f x 的解析式； （2）若1(,),()3233a f a πππ∈-+=，求2sin(2)3a π+的值。
18．(本小题满分12分) （2012北京文）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.19．(本小题满分12分)（2012天津理）已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.20．(本小题满分12分) （2012山东）已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3Am x n x x A ==> ,函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.21．(本小题满分12分)【2012吉林市期末质检文】在某海岸A 处，发现北偏东 30方向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有一艘走私船在A 处北偏西 15的方向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截走私船. 此时，走私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向.ACB3015· ·22．(本小题满分12分) 【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D ． (I)求AB 的长度；(Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．祥细答案：1、答案：C解析：由sin 0α<知α在三、四象限，又tan 0α>，α在一、三象限，综合可得α在第三象限 2、答案：A【解析】解：2245sin )45180sin()225360sin(585sin -=-=+=+=oooooo，故选A 。
4、【答案】 D【解析】周期是π的函数是y=sin2x 和y=cos2x ，其中y=cos2x 是偶函数 5、【答案】 A【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈), ∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.6. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 7.答案:B.解析：由正弦定理,可得sin 45sin60AC BC=︒︒,所以AC ==9、【答案】B【解析】由于最大值为2，所以A=2;又52()2212122T T πππππωω=--=⇒=⇒=⇒= ∴2sin(2)y x ϕ=+，将12x π=代入得sin()16πϕ+=，结合点的位置，知623πππϕϕ+=⇒=，∴函数的解析式为可为2sin(2)3y x π=+10、答案A解析 如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ， 乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°， DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝1507min.11、答案：A[解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选A. 12、【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的变换，三角函数的概念以及三角函数的性质.属于基础知识、基本运算和综合能力的考查.44sin cos y x x =-＝2222(sin cos )(sin cos )cos2x x x x x +-=-，周期为π，①正确；0k =时，②中0α=，终边不在y 轴上，②错误；把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象正确； sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝cos x -在区间[0,]π上是增函数．④错误。
所以真命题的个数是2。
二、填空题 13、【答案】35-【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.由已知，θ在第三象限，∴3cos 5θ===-，∴应填35-.14、【答案】 34-【解析】本题主要考查三角函数两角差的正切公式. 属于基础知识、基本运算的考查.11tan()tan3744tan tan()14441tan()tan 11447ππαππααππα-+-=+-===-++++⨯15.答案：2解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.16.【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭247=2525- 三、解答题17、【解析】（Ⅰ）因为周期为2,π所以1ω=，又因为0,ϕπ≤≤()f x 为偶函数，所以2πϕ=，则()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）因为1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又50,36ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为2sin 22sin cos 333πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12339=⋅= 18. 解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(s()sin x xxf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,19. ()=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又()14f π-=-,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-最小值为1-.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.20.解析:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A n m x f ,则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 另解:由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g ,则)(234Z k k x ∈+=+πππ,而]245,0[π∈x ,则24π=x ,于是367sin6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g , 故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 21、【解析】设缉私船至少经过t h 可以在D 点追上走私船，则t CD 35=，t BD 5= 在△ABC 中，由余弦定理得，4)3015cos(2222=+⋅-+= AC AB AC AB BC ,∴2=BC由正弦定理得，ABCACBC sin 45sin = ，∴23sin =ABC ， 60=∠ABC∴点B 在C 的正东方向上， 120=∠DBC又在△DBC 中，由正弦定理得B C DBDCD sin 120sin = ,∴21sin =BCD ，∴ 30=∠BCD∴ 30=∠BDC ，∴BC BD =，即25=t ，∴52=t ， 又 30=∠BCD 故缉私船至少经过52h 可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东 60. 22、【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 161021610cos AB AC BC AC BC C C =+-⋅=+-⋅⋅ ①在ABD ∆中，由余弦定理及C D ∠=∠整理得2222222cos 1414214cos AB AD BD AD BD D C =+-⋅=+-⋅ ②………2分AC B3015· ·D由①②得：222221414214cos 161021610cos C C +-⋅=+-⋅⋅ 整理可得 1cos 2C =，……………4分 又C ∠为三角形的内角，所以60C = ,又C D ∠=∠,AD BD =,所以ABD ∆是等边三角形， 故14AB =，即A 、B 两点的距离为14.……………6分。