第五章平面电磁波电磁场

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§5.2 复数形式Maxwell方程组
一、复数形式Maxwell方程组的导出
∇ × Re[ Ee jωt ] = − Re jω Be jωt
即 Re ∇ × E e jωt
故
[
[ ] ] = Re[− jωB e ]
jωt
∇ × E = − jω B
(a) (b) (c) (d) (e)
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同理 ， ∇ × H = J + j ω D
二、复矢量
• 复振幅
ˆEx (t ) + y ˆE y (t ) + z ˆEz (t ) E (t ) = x
E x (t ) = E xm cos (ω t + φ x )
E x (t ) = Re[( E xm e j φ x ) e j ω t ] = Re[ E x e j ω t ] E x = E xm e
[
]
[
]
因此
∂ E x ( t ) ↔ jω E x ∂t
E x (t ) 对时间的微分可化为对复振幅
E x 乘以
jω 的代数运算
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§5.1 时谐电磁场的复数表示
· 复矢量
ˆE xm cos(ωt + φ x ) + y ˆ E ym cos(ωt + φ y ) + z ˆE zm cos(ωt + φ z ) E (t ) = x ˆE xm e jφ x + y ˆE ym e = Re x
第5章 时变电磁场和平面电磁波
高中物理难点讲解：微信：dong198009
Time-Varying Fields and Plane EM Waves
· 日常遇到的电磁场问题大多数是时变电磁场问题;
· 最常见的是随时间按正弦（或余弦）规律作简谐
变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场；
上海电台“990新闻”用频率为990kHz的电磁波传送 例：
定义 S =
1 E × H ∗ 为复坡印廷矢量, 2
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其实部为平均功率流密度，即有功功率密度 。
§5.3 复坡印廷矢量和复坡印廷定律
· 坡印廷矢量的瞬时值与平均值之差是其交变分量：
S ( t ) − S av =
1 Re[ E × H e j 2 ω t ] 2
jω t
· 直接将 E e j ω t 与 H e
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§5.1 时谐电磁场的复数表示
例1
将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或做相反变换：
ˆ E0 sin(ωt − kz ) + y ˆ 3E0 cos(ωt − kz ) （1） E (t ) = x
（2） H = −y ˆ jH 0e − jkz sinθ
[解]（1）
ˆ E0 cos(ωt − kz − ) + y ˆ 3E0 cos(ωt − kz ) E (t ) = x 2
一、复数 · 定义
a = a ' + ja '' = a e jφ a = a (cos φ a + j sin φ a )
（1） （2）
· 复数的共轭 a * = a ' − ja '' = a e − jφa＝ a (cos φa − j sin φa )
· 共轭复数的运算
(a
± b) = a∗ ± b∗
Complex Poynting Vector and Theorem
• 电磁场是具有能量的，Poynting定律是时变电磁场中能量守恒定律的表达形式。 • 复坡印廷矢量和复坡印廷定律如何表达？
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§5.3 复坡印廷矢量和复坡印廷定律
一、复坡印廷矢量
(a) 复坡印廷矢量的瞬时值
S(t ) = E(t ) × H(t )
相乘，其实部代表电磁功率流密度瞬时值
与平均值之差，一个周期内的平均值为0。
·
⎡1 ∗⎤ Re EH 定义式中因子“1/2”是因为平均功率密度在数值上等于 , ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦
这里E、H都代表振幅最大值。 都代表振幅最大值
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§5.3 复坡印廷矢量和复坡印廷定律
二、复坡印廷定律
复坡印廷矢量的散度
1 1 1 ∇ ⋅ ( E × H∗ ) = H∗ ⋅ ∇ × E − E ⋅ ∇ × H∗ 2 2 2
——用复矢量表示的复坡印廷定律
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§5.3 复坡印廷矢量和复坡印廷定律
(a ) (b ) (c ) (d )
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§5.2 复数形式Maxwell方程组
齐次复矢量波动方程(无源区: J = 0, ρ v = 0 )
由(a ), ∇ × ∇ × E = − jωμ∇ × H
将(b )代入,有∇ ∇ ⋅ E − ∇ 2 E = ω2μεE
( )
将(c )代入,得
同理,
∇2 E + k 2 E = 0
10
( μ A /m )
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§5.2 复数形式Maxwell方程组
（b）在无源区内 ∇ × H = jωε 0 E
E =
=
− j
ωε
∇×H
ˆ x ∂ ∂x 0 ˆ y ∂ ∂y 0.01e
100 π −j z 3
0
−j 1 1010 π × ×10 −9 36π
ˆ z ∂ ∂z 0
⎛ 100π ⎞ ˆ 0.01e − j(100 π / 3) z ⎜ − j ˆ 1.2πe − j(100 π / 3) z =＋j3.6 x ⎟=x 3 ⎠ ⎝
jφ x
E x ( t ) ↔ E x = E x m e jφ x
E x 称为复振幅或相量
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§5.1 时谐电磁场的复数表示
比较：a) E x 是复数，仅仅是空间坐标的函数,即 E x ( x , y； , z );
b) E x (t )是实数，既是空间坐标的函数，又是时间t的函数，即 E x ( x, y, z , t ) c) 由E x便可得出E x (t ) :
k = ω με
∇2H + k 2H = 0
ˆ × ( E1 − E2 ) = 0 n ˆ × ( H1 − H 2 ) = J s n ˆ ⋅ ( D1 − D2 ) = ρ s n ˆ ⋅ ( B1 − B2 ) = 0 n
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复矢量边界条件
§5.2 复数形式Maxwell方程组
例1 设自由空间某点电磁场的电场强度为 ˆ E 0 sin( ω t − kz ) E(t ) = x
· 在空间，时谐电磁场的能量以电磁波形式传播。
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第5章
时变电磁场和平面电磁波
本章内容
1、时谐电磁场的复数表示
4、理想介质中的平面波
2、复数形式的场方程
5、导电介质中的平面波
3、复坡印廷定律
6、电磁波的极化
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§5.1 时谐电磁场的复数表示
Complex Representation of Time-Harmonic Fields
[(
jφ y
ˆE zm e jφ z e jωt +z
jφ y
) ]
ˆ E xm e jφ x + y ˆ E ym e E (t ) ↔ E = x
ˆ E zm e jφ z = x ˆ Ex + y ˆ Ey + z ˆ Ez +z
复矢量E →
E (t ) = Re E e jω t
[
]
E只是 ( x, y, z )的函数，E ( t ) 是 ( x, y, z, t )的函数。从而将4维问题化为3维问题。
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§5.3 复坡印廷矢量和复坡印廷定律
(b) 坡印廷矢量的平均值
它在一个周期内的平均值：
S
αv
1 = T
1 = T
∫
∫
T
0
T
S (t )dt
1 1 Re E × H ∗ dt + 2 T
0
[
]
∫
T
0
1 Re E × He j 2ωt dt 2
[
]
= Re[
1 E × H ∗ ] = Re[ S ] 2
( V /m )
求（a）电场强度复矢量 E ；（b）磁场强度 H(t )
ˆ E 0e [解] (a )E = x
− jkz − j
π
2
ˆE x = x
1
(b )H
=−
1 j ωμ 0 j
∇×E = j
ωμ 0
ˆ x ∂ ∂x Ex
ˆ y ∂ ∂y 0
ˆ z ∂ ∂z 0
π − jkz − j ∂ k 2 ˆ ˆ =y Ex = y E0e ωμ 0 ∂ z ωμ 0
E ( t ) = R e ⎡ E e jω t ⎤ ⎣ ⎦ ˆ 1.2 π e − j (100 π / 3 ) z + jπ 10 t ] = R e[ x 100 ˆ 1.2 π cos[(10 10 t − =x z )π ] 3
10
( μ V /m )
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§5.3 复坡印廷矢量和复坡印廷定律
E x (t ) = Re[ E x e jω t ]
•复振幅的求导运算
∂ ⎤ ⎡∂ E x ( t ) = Re ⎢ ( E x e jω t ) ⎥ = Re j ω E x e jω t ∂t ⎦ ⎣ ∂t
⎡ ∂2 ∂2 jωt ⎤ = E ( t ) Re ( E e )⎥ = Re − ω 2 E x x ⎢ 2 x 2 ∂t ⎣ ∂t ⎦
ˆ E0 e = Re[(x
− jkz − j
π
π
2
ˆ 3E0 e − jkz )e jωt ] +y