新课标备战范文高考数学专题复习测试题排列组合二项式定理文科

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易错点15 计数原理、排列组合、二项式定理-备战高考数学考试易错题(新高考专用)(解析版)

专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第项【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。

高考数学排列、组合和二项式定理单元测试卷.doc

排列、组合和二项式定理单元测试卷(满分：150分时间：1)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有()A．12种B．C．24种D．48种答案：C解析：甲、乙捆绑后与第5种商品排列有A22种，产生的三个空排丙、丁，有A23种，再排甲、乙有A22种，共有A22A23A22＝24种．故选C.2．直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．36个C．100个D．225个答案：D解析：从构成矩形的四条边入手，可以从6条竖着的直线中任取两条，共有C26种选法；再从6条横着的直线中任取两条直线，共有C26种选法，所以可构成矩形C26·C26＝225(个)．故选D.3．二项式(a＋2b)n中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为()A．24 B．18C．16 D．6答案：D解析：由通项公式知，T2＝T1＋1＝C1n a n－1(2b)1＝2C1n a n－1b，依题意2C1n＝8，∴n＝4.∴C2n＝C24＝6.4．(·珠海模拟)已知(x＋1)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15，则a0＋a1＋a2＋…＋a7等于() A．215B．214C．28D．27答案：B解析：∵a0＋a1＋a2＋…＋a15＝C015＋C115＋C215＋…＋C1515＝215.∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1 2×215＝214.故选B.5．(·南宁市质检)在北京奥运会期间，某志愿者小组有12名大学生，其中男生8名，女生4名，从中抽取3名学生组成礼宾接待小组，则选到的3名学生中既有男生又有女生的不同选法共有()A．108种B．160种C．164种D．216种答案：B解析：从12名学生中随机抽取1名男生和2名女生的选法数C18C24，从12名学生中随机抽取2名男生和1名女生的选法数C28C14，所以选到的3名学生中既有男生又有女生的不同选法共有C18C24＋C28C14＝160种．6．(·珠海模拟)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数为()A．297 B．C．252 D．－45答案：B解析：∵(1＋x)10＝C010110x0＋C110x1＋C210x2＋C310x3＋C410x4＋C510x5＋…＝1＋10x＋45x2＋…＋252x5＋…∴(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数为252－45＝故选B.7．(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为()A．1 B．46 C．4245 D．4246答案：D解析：(1＋3x )6的通项公式为C r 6x r 3，(1＋14x)10的通项公式为C k10x －k 4，由r 3＋(－k 4)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝6k ＝8共三项，所以常数项为C 06C 010＋C 36C 410＋C 66C 810＝4246.故选D. 8．(·太原市测试)有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是( )A ．384B ．396C ．432D ．480 答案：C解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有C 12C 12C 12C 12A 44＝384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4，则共有A 44＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3，则共有A 44＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384＋24＋24＝432，故应选C.9．甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有( )A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种答案：B解析：(1)当甲值周六时，再为甲选一天有C 14种，为乙选两天有C 24种，则共有C 14C 24＝24种，(2)当甲不值周六时，为甲选两天，有C 24种，为乙选两天有C 23种，则共有C 24C 23＝18种，所以共有24＋18＝42种．故选B.10．若(1＋x )n ＋1的展开式中含x n －1的系数为a n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n的值为( )A.n n ＋1B.2n n ＋1C.n (n ＋1)2D.n (n ＋3)2答案：B解析：由题意可得a n ＝C n －1n ＋112＝C 2n ＋1＝(n ＋1)·n 2， ∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2·(1n －1n ＋1)， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝2⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.故选B. 11．(·昆明市质检)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )A ．56种B ．68种C ．74种D ．92种答案：D解析：本题是计数问题，根据特殊(或受限)元素进行分类，如本题属于“多面手”问题，根据划左舷中有多面手人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C 36种，有一个“多面手”的选派方法有C 12C 23C 35种，有两个“多面手”的选派方法有C 13C 34种，即共有0＋12＝92(种)．故选D.12．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有( )A ．A 412B ．A 212·A 212C ．C 212·C 212D ．C 412 答案：D解析：圆周上任意四个点连线的交点都在圆内，此四点的选法有C 412，则由这四点确定的圆内的交点个数为1，所以这12个点所确定的弦在圆内交点的个数最多为C 412.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共13．在(x －12x )9的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．答案：－212解析：T k ＋1＝C k 9x 9－k (－12x )k ＝C k 9x 9－k(－12)k x －k ＝C k 9x 9－2k(－12)k ，令9－2k ＝3，得k ＝3，∴T 4＝C 39x 3·(－12)3＝84×(－18)x 3＝－212x 3， ∴x 3的系数为－212.14．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝________.答案：502解析：令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝2＋22＋23＋…＋28＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.令x ＝0，得a 0＝8，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝502. 15．(·陕西理)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)答案：96解析：先安排最后一棒(A 12)，再安排第一棒(A 12)，最后安排中间四棒(A 44)，∴不同的传递方案有A 12A 12A 44＝96(种)．16.⎝⎛⎭⎫ax －1x 8的展开式中x 2的系数是70，则实数a 的值为________．答案：±1解析：T k ＋1＝C k 8(ax )8－k(－1x)k ＝C k 8a 8－kx 8－k －k 2(－1)k ，令8－k －k2＝2，得k ＝4，∴C 48a 4(－1)4＝70，∴a 4＝1，∴a ＝±1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)在一块10垄并排的田地中，选2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？解法一：(图示法)如图(1)，用并排一行的10个小矩形表示10垄田地，小矩形内加“○”表示选中，具体画出有6种选取方法．再对每种选取方式分别种植A 、B 两种作物，有A 22种种植方法．故共有6A 22＝12种种植方法．(1)(2)解法二：(图象法)设并排10垄田地依次编号为1,2,3，…，10，所选的垄田地为a 、b ，根据题设条件，得⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |≥7，1≤a ≤10，a ∈N ，1≤b ≤10，b ∈N .问题的解化为不等式组的整数解的个数．如图(2)所示，满足不等式组的解为坐标平面aOb 内标有“·”号的整点，数整点个数有12个，故符合题意的选垄方法有12种．18．(本小题满分12分)已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－12)r x －r3＝C r n(－12)r x n －2r3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r 3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z0≤r ≤10r ∈Z令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ， ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为T 3＝454x 2，T 6＝638，T 9＝45256x －2.19．(本小题满分12分)球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，则击球方法有几种？解：设击入黄球x 个，红球y 个符合要求，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x ＋y ≥5(x ，y ∈N )，由题意，得1≤x ≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0.相应每组解(x ，y )，击球方法数分别为C 14C 36，C 24C 26，C 34C 16，C 44C 06.∴共有不同击球方法数为C 14C 36＋C 24C 26＋C 34C 16＋C 44C 06＝195.本小题满分12分)(1)求证：nn ＋1≤2(n ∈N *)；(2)求证：(1＋x )n ＋(1－x )n <2n ，其中|x |<1，n ≥2，n ∈N *.证明：(1)要证n n ＋1≤2(n ∈N *)，只需证n ＋1≤2n 即可．∵2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＝1＋n ，∴n n ＋1≤2(n ∈N *)，当n ＝1时等号成立．(2)(1＋x )n ＋(1－x )n ＝2(1＋C 2n x 2＋C 4n x 4＋…＋C 2k n ·x 2k＋…)．∵|x |<1，∴0<x 2k <1. ∴(1＋x )n ＋(1－x )n <2(1＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C 2kn ＋…)＝2·2n －1＝2n ，成立． 21．(本小题满分12分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．解：由(165x 2＋1x)5，得T r ＋1＝C r 5(165x 2)5－r (1x)r ＝(165)5－r ·C r 5·x 20－5r2，令T r ＋1为常数项，则r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54.所以a ＝±3. 22．(本小题满分12分)4个男同学和3个女同学站成一排． (1)若3个女同学必须排在一起，则有多少种不同的排法？ (2)若任何两个女同学彼此不相邻，则有多少种不同的排法？(3)若其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，则有多少种不同的排法？ (4)若甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若女同学从左到右按高矮顺序排，则有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A 33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应用A 55种排法．由乘法原理，有A 33A 55＝7同排法．(2)先将男生排好，共有A 44种排法；再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生，有A 35种方法．故符合条件的排法共有A 44A 35＝1440种．(3)甲、乙2人先排好，有A 22种排法；再从余下的5人中选3人排在甲、乙2人中间，有A 35种排法；这时把已排好的5人视为一个整体，与最后剩下的2人再排，又有A 33种排法；这样，总共有A 22A 35A 33＝7同排法．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A 44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A 22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原来排好的4人的空当中，有A25种排法；这样，总共有A44A22A25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A47种排法；然后再在余下的3个位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法．这样共有A47＝840种不同排法．。

高考数学一轮复习排列、组合、二项式定理专题训练

排列、组合、二项式定理一、基础知识要记牢(1)分类计数原理：完成一件事情有n类方法，只需用其中一种就能完成这件事．(2)分步计数原理：完成一件事情共分n个步骤，必须经过这n个步骤才能完成．缺少任何一步不能完成这件事．二、经典例题领悟好[例1] (2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279[解析] 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．[答案] B解决此类问题的关键(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．三、预测押题不能少1．一个盒子里有3个分别标有号码1,2,3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A．12种 B．15种C．17种 D．19种解析：选D 取3次球，共有3×3×3＝27种取法，其中最大值不是3的取法有2×2×2＝8种，故有27－8＝19种取法．一、基础知识要记牢区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2013·陕西宝鸡)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28(2)(2013·浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[解析] (1)因为丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C39＝84种，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人，共有选法C37＝35种，所以满足条件的选法种数是84－35＝49.(2)①当C在第一或第六位时，有A55＝120(种)排法；②当C在第二或第五位时，有A24A33＝72(种)排法；③当C 在第三或第四位时，有A 22A 33＋A 23A 33＝48(种)排法．所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法． [答案] (1)C (2)480解排列组合综合应用题的解题流程三、预测押题不能少2．(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．48种解析：选C 将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A 22·A 22种排法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A 23种排法，故共有A 22·A 22·A 23＝24种排法．(2)有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方式的种数为________(用数字作答)．解析：依题意，当甲1人一组时，共有C 12C 23A 22＝12种不同的参赛方式；当甲和另1人一组时，共有C 13A 12A 22＝12种不同的参赛方式，所以共有24种不同的参赛方式．答案：24一、基础知识要记牢 (1)通项与二项式系数：T r ＋1＝C r n a n －r b r(r ＝0,1,2，…，n )，其中C r n 叫做二项式系数． (2)各二项式系数之和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . ②C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1. 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·全国新课标Ⅱ)已知(1＋ɑx )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)(2013·大同调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 210的展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(3)(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.[解析] (1)(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1. (2)∵T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 10(－2)r x 1052r-，∴10－5r 2＝0，∴r ＝2，∴常数项为C 210(－2)2＝180.(3)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4，∴C 38a 3＝7，∴a ＝12.[答案] (1)D (2)B (3)12解决此类问题关键要掌握的五个方面(1)T r ＋1表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项； (3)公式中a ，b 的指数和为n ，a ，b 不能颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(a －b )n展开式的通项公式要特别注意符号问题．三、预测押题不能少3．(1)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1 D ．－3解析：选A 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9；令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9.所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2的系数为________．解析：依题意得3n＝729，n ＝6.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r＝C r 6·26－r·x 6－4r 3.令6－4r 3＝2，得r ＝3.因此，在该二项式的展开式中x 2的系数是C 36·26－3＝160.答案：160二项式定理是高考热点内容，主要考查二项式的通项公式、二项式系数、二项式指定项(特定项)等知识，近年与函数、不等式、数列等知识交汇，让二项式定理问题在命题中有了“生机”．一、经典例题领悟好[例] (2013·陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，∴当x >0时，f (x )＝－x <0，∴f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6.∴展开式中常数项为C 36(x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－C 36＝－20.[答案] A以分段函数和复合函数的形式出现考查二项式定理的应用，凸显函数的主导作用，以复合函数的复合过程为切入点，再次使用不同区间上的表达式，再使问题化为二项展开式的问题，体现转化化归和特殊化思想在知识交汇处的具体应用. 二、预测押题不能少(1)已知f (x )＝(ax ＋2)6，f ′(x )是f (x )的导数，若f ′(x )的展开式中x 的系数大于f (x )的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析：选 A f (x )的展开式中x 的系数是C 5625a 6－5＝192a .f ′(x )＝6(ax ＋2)5(ax ＋2)′＝6a (ax ＋2)5，f ′(x )的展开式中x 的系数是6a C 4524a 5－4＝480a 2.依题意得480a 2>192a ，解得a >25或a <0.(2)已知a ＝20π⎰(sin 2x 2－12)d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋12ax 9的展开式中，关于x 的一次项的系数为( ) A ．－6316B.6316C ．－638D.638解析：选A a ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 2－12d x ＝20π⎰1－cos x 2－12d x ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2d x ＝－12.此时二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－r (－1)r x 9－2r.令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－4·(－1)4＝－6316.1．(2013·河南开封模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种解析：选B 分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 14＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．2．(2013·辽宁高考)使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由二项式定理得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x52n r－，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．3．(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a b不同值的个数，所以共有A 25－2＝20－2＝18个不同值．4．(2013·成都模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．360解析：选A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 552r －，令5－52r ＝0，则r ＝2，T 3＝4C 210＝180.5．(2013·深圳市调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( ) A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．6．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项解析：选C T r ＋1＝C r24·()x 24－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24·x 5126r－，且0≤r ≤24，r ∈N ，所以当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数是整数．7．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有不同的放法( ) A ．15种 B ．18种 C ．19种 D ．21种解析：选B 对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A 33＝6种；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A 33＝6种；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A 33＝6种．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18种.8．(2013·天津河西模拟)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( )A ．－180B ．180C ．45D ．－45解析：选B 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 81022(－1)8＝180.9．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( ) A ．288种 B ．144种 C ．72种 D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)． 10．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0.∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.11．(2013·张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种解析：选C 本题是一个分步计数问题．由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A 排列，有A 12＝2种结果．∵程序B 和C 在实施时必须相邻，∴把B 和C 看作一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有A 44A 22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果．12．(2013·全国新课标Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C.7 D.8解析：选B 根据二项式系数的性质知：(x ＋y )2m 的二项式系数最大有一项，C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m＋1的二项式系数最大有两项，C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．13．已知集合A ＝{x |x ＝a 0＋a 1×3＋a 2×32＋a 3×33}，其中a k ∈{0,1,2}(k ＝0,1,2,3)，且a 3≠0，则A 中所有元素之和等于( ) A ．3 240 B ．3 120 C ．2 997 D ．2 889解析：选D 可利用排除法，若a 3也可以取0，则a 0，a 1，a 2，a 3都可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3×3＝81(个)，显然0,1,2这3个数字每个数字要重复27次，故这些元素的和为27×(3＋3×3＋3×32＋3×33)＝27×120＝3 240；当a 3＝0时，a 0，a 1，a 2可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3＝27(个)，而0,1,2这3个数字每个数字要重复9次，故这些元素的和为9×(3＋3×3＋3×32)＝9×39＝351.所以集合A 中所有元素的和为3 240－351＝2 889.14．(2013·郑州预测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.16B.14C.13D.512解析：选D 注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C rn ·(x )n －r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12·4x r ＝C rn·2－r·x234n r-.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8 .∵二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r8·2－r ·x 344r －，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512.15．(2013·长春模拟)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．解析：A 22·C 12·A 22＝8个．答案：816．(2013·长沙模拟)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22的展开式中常数项是________．解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，∴T r ＋1＝C r 4x4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 4(－1)r x 4－2r ，令4－2r ＝0，解得r ＝2，∴常数项为C 24(－1)2＝6. 答案：6 17．(2013·湖北八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有C 12A 22A 22A 22种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A 22种方法，故舰艇分配方案的方法数为C 12A 22A 22A 22A 22＝32. 答案：3218．(2013·浙江名校联考)二项式(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．解析：∵(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 62(12－3r )x，若T r ＋1为常数项，则r ＝4，T 5＝15. 答案：1519．(2013·银川模拟)若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________.解析：原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 答案：1020.(2013·滨州模拟)如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．解析：按区域分四步：第一步A 区域有5种颜色可选；第二步B 区域有4种颜色可选；第三步C 区域有3种颜色可选；第四步由于D 区域可以重复使用区域A 中已有过的颜色，故也有3种颜色可选．由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法．答案：180。

排列组合二项式定理单元检测题(文科教师)

排列组合二项式定理单元检测题（文科）命题人：康华审题人：殷晓婷姓名学号一、选择题（每题5分，共50分）1．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ C ）（A）270种（B）216种（C）186种（D）108种2．在数字“1,2，3”与符号“＋，－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ B ）A．6 B. 12 C. 18 D. 243．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ B ）A．300种B．240种C．144种D．96种4．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两人的编号与座位号一致的坐法有（ B ）（A）10种（B）20种（C）30种（D）60种5．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（A ）A．70 B．140 C．280 D．8406．已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（A ）(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)367．将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（B ）（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种8.由数字1、2、3、4、5组成的“十位上的数字比百位、个位上的数字小，且千位上的数字比万位、百位上的数字小”没有重复数字的五位数（如：“21534”）的总个数是（ A ）(A)16 (B)18 (C)20 (D)229.为支持我市旅游业的发展，有6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加某项宣传活动。

他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，2名女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有（ A ）(A)48种 (B)40种 (C)68种 (D)60种10.设集合{}1,2,3,4,5I =。

高考数学总复习专题11 排列组合、二项式定理分项练习(含解析)理1

专题11 排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【2012全国，理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【答案】A2. 【2011全国新课标，理8】51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D 【解析】3. 【2011全国，理7】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种【答案】B【解析】第一类：从中取出的4本中有1本画册，3本集邮册，赠送给4位朋友有14C 种不同的赠送方法；第二类：从中取出的4本中有2本画册，2本集邮册，赠送给4位朋友有24C 种不同的赠送方法。

故共有124410C C +=种方法。

4. 【2009全国卷Ⅰ，理5】甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（） A.150种 B.180种 C.300种 D.345种【答案】D5. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C 中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C 且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C 城市，故乙只去过A 城市．6. 【2006全国，理15】安排7位工作人员在5月1日至5月7日值勤班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。

高考数学总复习专题12 排列组合、二项式定理、算法分

第十二章排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【2017高考上海，2】若排列数6654mP =⨯⨯ ，则m = .【答案】3【解析】由排列数的定义：()66561mP m =⨯⨯-+ ，则：614m -+= ，解得3m = .2.【2016高考上海理数】在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．【答案】112 【解析】试题分析：【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项进行求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.3.【2015高考上海理数】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．4、【2015高考上海理数】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决． 5.【2015高考上海文数】.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）. 【答案】240【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．6. 【2013上海,理5】设常数a ∈R.若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a＝______. 【答案】－2 【解析】T r ＋1＝255C ()()rrr ax x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2. 7. 【2012上海,理5】在(x －2x)6的二项展开式中，常数项等于__________．【答案】－160 【解析】(x －2x )6的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·(－2x)3＝－160. 8. 【2010上海,理7】2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

高考复习专题：排列组合、二项式定理测试题及答案

专题20 排列组合、二项式定理测试题满分150分时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 42.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．60种D ．72种4.已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024 D ．－1 0245.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．168C ．144D ．1006.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．457．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．4848.若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－29.某校开设A 类课3门，B 类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种10.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则不同的安排方法有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．114种11.若n⎛⎫的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中3y 的系数是（） A ．15 B ．15- C ．20 D ．20-12.在(x －2)2 006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S ＝( ) A ．23 008 B ．－23 008 C ．23 009 D ．－23 009 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有． 14．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．16.若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则函数f (x )＝a 2x 2＋a 1x ＋a 0的单调递减区间是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？18.赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？19、在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.20（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．21.从1到9这九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？22、已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012(23)(1)(1)n x a a x a x -=+-+-(1)n n a x ++-L .（1）求2a 的值；（2）求123n a a a a ++++L 的值.专题20 排列组合、二项式定理测试题参考答案一、选择题1.解析：选A 二项式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r，由6－r ＝4，得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 2.故选A.2.解析：选D 从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是取四个偶数，即C 44＝1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即C 25C 24＝60种方法；第三类是取四个奇数，即C 45＝5，故有5＋60＋1＝66种方法．学_科网3.解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．4.解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－943. 5.解析：选D 先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．(1)小品1，相声，小品2.有A 22A 34＝48； (2)小品1，小品2，相声．有A 22C 13A 23＝36； (3)相声，小品1，小品2.有A 22C 13A 23＝34.共有48＋36＋36＝100种． 6.解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r·x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.7..解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C.8.解析：选C 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.9.解析：可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 25种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 15种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C 13C 25＋C 23C 15＝30＋15＝45(种)．答案：C10解析：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为(2,2,1)时，有C 25C 23A 22·A 33＝90种，A ，B 住同一房间有C 23A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类计数原理共有42＋72＝114(种)，故选D. 答案：D11. 【答案】A 【解析】由题意得264,6nn ==，因此3363622166r r r r r r r T C C x y ---+==，从而333,42r r -==，因此展开式中3y 的系数是426615.C C ==选A. 12. 答案：B 解析：设(x －2)2 006＝a 0x 2 006＋a 1x 2 005＋…＋a 2 005x ＋a 2 006，则当x ＝2时，有a 0(2)2006＋a 1(2)2 005＋…＋a 2 0052＋a 2 006＝0①；当x ＝－2时，有a 0(2)2 006－a 1(2)2 005＋…－a 2 0052＋a 2 006＝23 009②.①－②得2[a 1(2)2 005＋…＋a 2 005(2)]＝－23 009，即2S ＝－23 009，∴S ＝－23 006.故选B. 二、填空题 13．【答案】65【解析】分二类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，52＋4×2×5＝65．14.解析：T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案：－215.解析：把8张奖券分4组有两种方法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，∴不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60. 答案：6016.解析：∵(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴a 0＝1，a 1＝－C 15＝－5，a 2＝C 25＝10，∴f (x )＝10x 2－5x ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋38，∴函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14三、解答题17、解方法一共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种).方法二将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个18.解分三类，第一类.2人只划左舷的人全不选，有C 35C 35＝100(种)；第二类，2人只划左舷的人中只选1人，有C 12C 25C 36＝400(种)；第三类，2人只划左舷的人全选，有C 22C 15C 37＝175(种).所以共有C 35C 35＋C 12C 25C 36＋C 22C 15C 37＝675(种).位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84(种)放法.故共有84种不同的选法.19.解：展开式的通项为2311()(0,1,22n rr r r n T C x r -+=-=,…,)n由已知：00122111()()()222n n n C C C -,,成等差数列，∴ 121121824n n C C n ⨯=+∴=,（1）5358T = （2）令1x =，各项系数和为125620.【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8=n ．∴ 中，令1=x（2）通项公式为，1，2， (8)整数，即8,5,2=r 时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即21.解 (1)分步完成：第一步：在4个偶数中取3个，有C 34种情况. 第二步：在5个奇数中取4个，有C 45种情况. 第三步：3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况.所以符合题意的七位数有C 34·C 45·A 77＝100 800(个).(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34·C 45·A 55·A 33＝14 400(个).(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34·C 45·A 33·A 44·A 22＝5760(个). (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)，共有C 34·C 45·A 44·A 35＝28 800(个).22.【解析】（1）根据二项式的系数和即为2n ，可得25129n n =⇒=，因此可将()f x 变形为99()(23)[2(1)1]f x x x =-=--，其二项展开式的第1r +为9919(1)2(1)(09)r r r r r T C x r --+=--≤≤，故令7r =，可得727292(1)144a C =-=-；（2）首先令令901,(213)1x a ==⨯-=-，再令令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，从而1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L . （1）由二项式系数和为512知，9251229n n ==⇒= 2分，99(23)[2(1)1]x x -=-- ，∴727292(1)144a C =-=- 6分；（2）令901,(213)1x a ==⨯-=-，令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，∴1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L 12分．。

(新课标Ⅱ)高考数学总复习专题11排列组合、二项式定理分项练习(含解析)理(2021学年)

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专题11 排列组合、二项式定理一.基础题组1．【2014新课标,理1３】 ()10x a +的展开式中,7x 的系数为15,则a ＝＿＿__＿___。

(用数字填写答案）【答案】12【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a =＝157x ,解得12a =. ２。

【2０10全国2,理1４】若（x －ax）9的展开式中ｘ3的系数是－８4，则a =＿__＿____．答案］: 1解析]:T r +1=9C r x９－r(-a x)r =(-1）r 9C rａr x9－２r，令9-2r =3，∴ｒ=3。

∴x 3的系数为(-1)３39C a ３=-84。

∴a 3＝1.∴ａ=１。

3. 【2006全国2，理13】在（x 4+x1)1０的展开式中常数项是。

(用数字作答）【答案】：45【解析】设T r+1项为常数项，∴Ｔr+１=C ｒ10(x ４）10—r·(x1)r =Ｃr １0x40—４r·x —r．∴４0-4r —r =0.∴r =８。

∴Ｔ9＝45。

二．能力题组1。

高三数学一轮总复习专题十三排列、组合与二项式定理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校专题十三、排列、组合与二项式定理抓住2个高考重点重点1排列与组合1．两个原理的应用假设完成一件事情有n类方法，这n类方法彼此之间是互相HY的，无论哪一类方法中的哪一种方法都能完成这件事情，求完成这件事情的方法种数就用分类加法计数原理；假设完成一件事情要分成n个步骤，各个步骤都是不可或者缺的，依次完成所有的步骤才能完成这件事情，而完成每一个步骤各有假设干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计数原理．从思想方法的角度看，分类加法计数原理的运用是将问题进展“分类〞考虑，分步乘法计数原理是将问题进展“分步〞考虑，这两种思想方法贯穿于解决这类应用问题的始终．〔1〕在处理详细的应用问题时，首先必须弄清楚是“分类〞还是“分步〞，其次要搞清楚“分类〞和“分步’’的详细HY分别是什么．选择合理、简洁的HY处理问题，可以防止计数的重复或者遗漏．〔2〕对于一些比较复杂的问题，既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理时，我们可以恰当地画出示意图或者列出表格，使问题的分析更直观、明晰．2．排列组合应用题〔1〕排列问题常见的限制条件及对策①对于有特殊元素或者特殊位置的排列，一般采用直接法，即先排特殊元素或者特殊位置．②相邻排列问题，通常采用“捆绑〞法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列．③对于元素不相邻的排列，通常采用“插空〞的方法.④对于元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制进展排列，然后再根据规定顺序的实情求结果．求解有约束条件的排列问题，通常有正向考虑和逆向考虑两种思路．正向考虑时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向考虑时，用集合的观点看，就是先从问题涉及的集合在全集中的补集入手，使问题简化．〔2〕组合问题常见的问题及对策①在解组合应用题时，常会遇到“至少〞、“最多〞等词，要仔细审题，理解其含义.②有关几何图形的组合问题，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法〔或者排除法〕．③分组、分配问题二者是有区别的，前者组与组之间只要元素个数一样，是不可区分的，而后者即使两组元素个数一样，但因元素不同，仍然是可区分的．〔3〕解排列、组合的应用题，要注意四点①仔细审题，判断是组合问题还是排列问题．要按元素的性质分类，按事件发生的过程进展分步．．②深化分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑，积极运用逻辑推理才能，同时尽可能地防止出错．③对于附有条件的比较复杂的排列、组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成假设干简单的根本问题后应用加法原理或者乘法原理来解决.④由于排列、组合问题的结果一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或者遗漏，也可采用多种不同的方案求解，看结果是否一样，在对排列、组合问题分类时，分类HY应统一，否那么易出现遗漏或者重复．[高考常考角度]角度1用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数一共有______个.〔用数字答题〕解析：此题主要考察分步乘法计数原理的应用．因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或者3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有42214-=个〔间接法〕点评：假设用直接法，分类会很复杂。

高考数学试题解析分项专题11 排列组合二项式定理文试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹年高考试题解析数学〔文科〕分项专题11排列组合、二项式定理2021年高考试题一、选择题:1．(2021年高考卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数一共有〔〕A ．20B ．15C ．12D ．10【答案】A【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有15C 种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有14C 种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的一共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有12C 种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以,21所以这个正五棱柱对角线的条数一共有2021121415=•••C C C ,所以选择A. 2.〔2021年高考全国卷文科9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，那么恰有2人选修课程甲的不同选法一共有〔A 〕12种〔B 〕24种〔C 〕30种〔D 〕36种二、填空题:3.〔2021年高考卷文科16)给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-〔1〕设1k =，那么其中一个函数f 在1n =处的函数值为；〔2〕设4k=，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，那么不同的函数f的个数为。

答案：〔1〕()a a 为正整数，〔2〕16[ 解析：〔1〕由题可知*()f n N ∈，而1k =时，1n >那么*()1f n n N =-∈，故只须*(1)f N ∈，故(1)()f a a =为正整数。

〔2〕由题可知4k=，4n >那么*()4f n n N =-∈，而4n ≤时，2()3f n ≤≤即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，由乘法原理可知，不同的函数f 的个数为4216=。

1【新课标】备战高考数学专题复习测试题——排列、组合、二项式定理(文科)1

高考第一轮复习专题素质测试题(附参考答案)排列、组合、二项式定理（文科）（考试时间60分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共80分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1．（10湖北）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（） A ．65B. 56C.5654322⨯⨯⨯⨯⨯D.6543⨯⨯⨯⨯2．(08全国Ⅱ)44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（）A ．4-B ．3-C ．3D ．43．（08江西）10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为（）A ．1B ．1210()C C ．120C D ．1020C 4．（07湖南）在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =（）A ．8 B. 9 C. 10 D.11 5．（05重庆）若nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于（）A ．5B ．7C ．9D ．116. (09全国Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.6种B.12种C.24种D.30种 7. （09陕西）若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ，则20091222009222a a a +++ 的值为（）A.2B.0C.1-D. 2-8．（09江西）若122n n n n n C x C x C x +++ 能被7整除，则,x n 的值可能为（）A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n ==9．（05福建）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A．300种B．240种C．144种D．96种10．（09湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B. 16 C. 20 D. 4811. (10全国Ⅱ)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种12.（10重庆）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）A.30种B.36种C.42种D.48种13.（07全国Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）Ａ．36种Ｂ．48种Ｃ．96种Ｄ．192种的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是14．（08全国Ⅰ）将1，2，3填入33一种填法，则不同的填写方法共有（）Array A．6种B．12种C．24种D．48种15.（06上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A.48B. 18C. 24D.3616．（07福建）某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A ．2000B ．4096C ．5904D ．8320一、选择题答题卡：二、填空题（每小题5分，共40分. 将你认为正确的答案填写在空格上）17.（06安徽）设常数0a >，42ax⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____. 18. (09全国Ⅱ)4)(x y y x -的展开式中33y x 的系数为．19. (05全国Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有种.20. (06全国Ⅰ)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)21.（07重庆）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 .（以数字作答）22．(08全国Ⅱ)从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）23. (10全国Ⅰ)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.(用数字作答) 24．（10江西）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.参考答案：一、选择题答题卡：二、填空题 17.21. 18. 6 ． 19. 100 . 20. 2400 . 21. 288 . 22． 420 . 23. 30 . 24． 90 .。

(新课标版)备战近年高考数学二轮复习专题1.7排列组合、二项式定理测试卷理(2021学年)

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专题１。

7 排列组合、二项式定理（一)选择题（12*５=6０分）1.【2018四川德阳三校联考】从5名学生中选出４名分别参加数学,物理，化学,生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为 A 。

48 Ｂ。

72 C 。

90 Ｄ。

96 【答案】D2． ()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（）A.10B.—３0 C ．－１０ D ．—20 【答案】C【解析】由题意得展开式中3x 的系数为32552102010C C -=-=-，选C ． 3.【２018广西桂梧高中联考】()713x -的展开式的第4项的系数为（ )A 。

3727C - B ． 4781C - C ． 3727C D 。

4781C【答案】Ａ【解析】由题意可得()713x -的展开式的第4项为()33733331771327T C x C x -+=⨯⨯-=-,选A ．４.【２０1８广西南宁摸底联考】的展开式中项的系数为（ ) A 。

80 B 。

C ．D 。

4８【答案】Ｂ【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-8０.选B 。

5．【２０18云南昆明一中摸底】二项式51x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ )A 。

新课标Ⅰ年高考数学总复习专题11排列组合二项式定理分项练习含解析理3

故共有124410C C +=种方法。

高三数学专题训练排列组合和二项式定理解析试题

仲元中学高三数学专题训练测试系列制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日(排列组合和二项式定理)时间是：120分钟分值：150分一、选择题(每一小题5分，一共60分)1．(2021·海淀期末)5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是( ) A．54B．45C．5×4×3×2 D.5×4×3×24！解析：依题意得，不同的分法即是从5个人中选出4人来分，因此相应的方法数为C45＝5×4×3×24！，选D.答案：D2．(x＋2)6的展开式中x3的系数为( ) A．20 B．40C．80 D．160解析：注意到(x＋2)6的展开式的通项是T r＋1＝C r6·x6－r·2r＝C r6·2r·x6－r，令6－r＝3得r＝3.因此(x＋2)6的展开式中x3的系数是C36·23＝160，选D.答案：D3．五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为( )A．60 B．48C．36 D．24解析：五个人排成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的排法可分为两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有A22·A33＝12种(先把除甲、乙、丙外的两个人排好，有A22种方法，再把甲、乙、丙插入其中，有A33种方法，因此此类方法有A22·A33＝12种)；另一类是乙、丙相邻但不与甲相邻，此类方法有A23·A22·A22＝24种方法(先把除甲、乙、丙外的两人排好，有A22种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个，作为甲和乙、丙的位置，此类方法有A23·A22·A22＝24种)．综上所述，满足题意的方法种数一共有12＋24＝36，选C.答案：C4．某小组一共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别分层随机抽取4人参加一项公益活动，那么不同的抽取方法有( ) A．40种B．70种C．80种D．240种解析：依题意得，所选出的4人必是3名男生、1名女生，因此满足题意的抽取方法一共有C36C12＝40种，选A.答案：A5．用0,1,2，…，9这十个数字组成无重复数字的三位数的个数是( ) A．9A29B．A310C．A310－A39D．A39解析：百位上有9种排法；其他数位上有A29种排法．一共有9A29个三位数，应选A.如用间接法，应为A310－A29.答案：A6．(2021·质量预测)在(x2－1x3)n的展开式中含有常数项，那么正整数n的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：其通项为T r ＋1＝C r n x2(n －r )(－1)r x －3r＝(－1)r C r n x 2n －5r.∵(x 2－1x3)n 的展开式中含有常数项，∴2n －5r ＝0，那么n 的最小值为5，选B. 答案：B7．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数一共有( )A ．288个B ．240个C ．144个D ．126个解析：个位是0的有C 14·A 34＝96个；个位是2的有C 13·A 34＝72个；个位是4的有C 13·A 34＝72个；所以一共有96＋72＋72＝240个．答案：B8．(2021·质量预测)(x 3－2x )2＋(x ＋1x)8的展开式中的整理后的常数项等于( )A ．－38B ．38C ．－32D ．70解析：要求展开式的常数项，即求(x ＋1x )8的常数项，因为T r ＋1＝C r 8x 8－r (1x)r ＝C r 8x 8－2r，所以由题意得8－2r ＝0，即r ＝4，∴T 5＝C 48＝70.答案：D9．(2021·东北三校一模)在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，假设只要求相邻两块广告牌的底色不都为红色，那么不同的配色方案一共有( ) A．55种B．56种C．46种D．45种解析：C08＋C18＋C27＋C36＋C45＝55.答案：A10．(2021·质检)有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻)，那么不同坐法的种数是( ) A．18 B．26C．29 D．58解析：假设把两人都安排在前排，那么有A23＝6种方法，假设把两人都安排在后排，那么有A24＝12种方法，假设两人前排一个，后排一个，那么有4×5×2＝40种方法，因此一共有58种方法，故正确答案是D.答案：D11．(2021·联考)假设自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，那么称n为“可连数〞．例如：32是“可连数〞，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数〞，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数〞的个数为( ) A．27 B．36C．39 D．48解析：根据题意，要构造小于1000的“可连数〞，个位上的数字的最大值只能为2，即个位数字只能在0,1,2中取．十位数字只能在0,1,2,3中取；百位数字只能在1,2,3中取．当“可连数〞为一位数时：有C13＝3个；当“可连数〞为两位数时：个位上的数字有0,1,2三种取法，十位上的数字有1,2,3三种取法，即有C13C13＝9个；当“可连数〞为三位数时：有C13C14C13＝36个；故一共有：3＋9＋36＝48个，应选D.答案：D12．(2021·二诊)为支持地震灾区的灾后重建工作，某公司决定分四天每天各运送一批物资到A、B、C、D、E五个受灾地点．由于A地间隔该公司较近，安排在第一天或者最后一天送达；B、C两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达(B在上午、C在下午与B在下午、C在上午为不同运送顺序)，且运往这两地的物资算作一批；D、E两地可随意安排在其余两天送达．那么安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序的种数为( ) A．72 B．18C．36 D．24解析：可分三步完成：第一类是安排送达物资到受灾地点A，有A12种方法；第二步是在余下的3天中任选1天，安排送达物资到受灾地点B、C，有A13A22种方法；第三步是在余下的2天中安排送达物资到受灾地点D、E，有A22种方法．由分步计数原理得不同的运送顺序一共有A12·(A13A22)·A22＝24种，应选D.答案：D二、填空题(每一小题4分，一共16分)13．沿海某区对口支援贫困山区教育，需从本区3所重点中学抽调5名老师分别到山区5所任教，每校1人；每所重点中学至少抽调1人，那么一共有__________种不同的支教方案．解析：5名重点中学老师到山区5所有A55种，而3所重点中学的抽调方法种数可由列举法一一列出为6种．故一共有6A55＝720种不同的支教方案．答案：72014．(2021·模拟)一个五位数由数字0,1,1,2,3构成，这样的五位数的个数为__________．解析：分两类：(1)万位取1，其余不同的四个数放在不同的四个位置上时有A 44个：(2)万位取2或者3，在余下的四个不同的位置中选两个位置放数字0与3或者2时有2A 24个，故总一共有A 44＋2A 24＝48.答案：4815．(2021·一模)(4x 2－4x ＋1)5的展开式中，x 2的系数为__________．(用数字答题) 解析：C 15·4＋C 25·(－4)2·1＝180. 答案：18016．(2021·质检二)假设(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，那么实数m 的值是__________．解析：令x ＝1，(1＋m )6＝a 0＋a 1＋…＋a 6 ①，令x ＝0,1＝a 0 ②，①－②，得：a 1＋…＋a 6＝(1＋m )6－1 ∴(1＋m )6－1＝63 ∴(1＋m )6＝64 ∴1＋m ＝±2 ∴m ＝1或者m ＝－3. 答案：1或者－3三、解答题(本大题一一共6个小题，一共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)(1)求值：C 5－nn ＋C 9－nn ＋1； (2)解不等式：1C 3n －1C 4n <2C 5n.解：利用组合数定义与公式求解．(1)由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，解得4≤n ≤5.∵n ∈N *，∴n ＝4或者5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5；当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.(2)由组合数公式，原不等式可化为3！(n －3)！n ！－4！(n －4)！n ！<2×5！(n －5)！n ！，不等式两边约去3！(n －5)！n ！，得(n －3)(n －4)－4(n －4)<2×5×4，即n 2－11n －12<0，解得－1<n <12.又∵n ∈N *，且n ≥5，∴n ＝5,6,7,8,9,10,11.18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A 18·A 16＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，不同的三位数有A 18A 18A 16＝8×8×6＝384个．综上，一共可组成不重复的三位数48＋384＝432个．解法2：(间接法)任取3张卡片一共有C 35·C 12·C 12·C 12·A 33种排法，其中0在百位不能构成三位数，这样的排法有C 24·C 12·C 12·A 22种，故符合条件的三位数一共有C 35·C 12·C 12·C 12·A 33－C 24·C 12·C 12·A 22＝432个．19．(12分)假设(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.解：令x －1＝t ，那么x ＝t ＋1，于是恒等式可变为(2t ＋3)100＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 100t 100，又令f (t )＝(2t ＋3)100，那么a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12[f (1)－f (－1)]＝12[(2＋3)100－(－2＋3)100]＝12(5100－1)． 20．(12分)平面上有n 个点，无三点一共线，过其中每两点作直线，这些直线中无两条直线平行，且除原n 个点外无三线一共点，问除平面上原有n 个点之外，这些直线还会有多少个新交点？解：(图形法)先从n 个点中选4点，有C 4n 种选法．如图1，设所选点为A 、B 、C 、D .因为在每选出的4点中，两点一组分成两组，每两点确定一条直线，两条直线相交就有符合题意的一个交点，所以A 、B 、C 、D 四点两两连线，可得3个新增交点．故符合题意的交点个数为3C 4n ＝18n (n －1)(n －2)(n －3)．图121．(12分)(3a －3a )n 的展开式的各项系数之和等于(43b －15b)5的展开式中的常数项，求：(1)(3a－3a )n展开式的二项式系数和；(2)(3a－3a )n 的展开式中a －1项的二项式系数．解：依题意，令a ＝1，得(3a －3a )n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n，(43b －15b)5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r (－15b)r ＝(－1)r C r 545－r5－r 2b 10－5r 6.假设T r ＋1为常数项，那么10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27，于是有2n＝27，得n ＝7.(1)(3a－3a )n展开式的二项式系数和为2n＝27＝128.(2)(3a－3a )7的通项为T ′r ＋1＝C r 7(3a)7－r·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35. 22．(14分)(1)求证：kC k n ＝nC k －1n －1； (2)等比数列{a n }中，a n >0，化简：A ＝lg a 1－C 1n lg a 2＋C 2n lg a 3－…＋(－1)n C nn lg a n ＋1.解：(1)∵左式＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝nC k －1n －1＝右式，∴kC k n ＝nC k －1n －1. (2)由：a n ＝a 1qn －1，∴A ＝lg a 1－C 1n (lg a 1＋lg q )＋C 2n (lg a 1＋2lg q )－C 3n (lg a 1＋3lg q )＋…＋(－1)n C nn (lg a 1＋n lg q )＝lg a 1[1－C 1n ＋C 2n －…＋(－1)n C n n ]－lg q [C 1n －2C 2n ＋3C 3n －…＋(－1)n －1C nn ·n ]＝lg a 1·(1－1)n －lg q [nC 0n －1－nC 1n －1＋nC 2n －1－…＋(－1)n －1·nC n －1n －1] ＝0－n lg q [C 0n －1－C 1n －1＋C 2n －1－…＋(－1)n －1·C n －1n －1]＝－n lg q (1－1)n －1＝0.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

高考数学复习排列、组合和二项式定理专题训练试题

2021届高考数学复习排列、组合和二项式定理专题训练制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题1． C 110+r +C r -1710的不同值有〔〕个A 1 B 2 C 3 D 42．假设n 为奇数，那么7n +C 1n ·71-n +C 2n ·72-n +…+C 1-n n ·7被9除，所得余数是〔〕A 0B 2C 7D 83． ()111-x 的展开式中含x 偶数次幂的项的系数和是〔〕 A 1024 B -1024 C -1023 D -20484．两个三口之家〔一共四个大人2个小孩〕乘“富康〞、“桑塔纳〞两辆小车出外交游，每辆车最多只能坐4人，其中两小孩不能独坐一辆，那么不同的乘车方法种数是〔〕A 40B 48C 60D 685．为宣传HY 的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目中原有4个节目，假如保持这些节目的相对顺序不变，拟再添加2个小品节目。

那么不同的排列方法有〔〕A 20种B 25种C 30种D 32种6． 6名旅客，安排在3个客房里，每个客房至少安排一名旅客，那么不同的安排方法有〔〕A. 360B. 240C. 540D. 2107．从集合{}12310，，，，中选出5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，那么这样的子集一共有〔〕个。

A. 10B. 16C. 20D. 32 8．编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，那么至多有两个号码一致的坐法种数为〔〕A. 120B. 119C. 110D. 1099．以1，2，3，…，9这九个数字中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，那么可以得到不同的对数值的个数为〔〕A、64B、56C、53D、51 10．直线ax+by+1=0中的a,，b是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些直线的条数一共有〔〕A、8条B、11条C、13条D、16条11.用长度分别为2，3，4，5，6〔单位：cm〕的5根细木条围成一个三角形〔允许连接，但不允许折断〕，能得到的三角形的最大面积为〔 B 〕2222A B C D cm.20 12.在1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的一共有〔〕13.5名志愿者分别到三所支教，要求每所至少有1名志愿者，那么不同的分配方法一共有〔〕14.高三〔一〕班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和一个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排。

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