中科院高等数学甲历年真题
中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲
考试要求
1. 理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。
2. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元函数累次极限和极限的关系 会判断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性 了解有界闭区域上连续函数的性质。
3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念 了解二元函数可微、偏导数存在及连续的关系，会求偏导数和全微分，了解二元函数两个混合偏导数相等的条件 了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
考试要求
1. 熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念。
2. 熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。
3. 理解向量在轴上的投影，了解投影定理及投影的运算。理解方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4. 掌握平面方程和空间直线方程及其求法。
高等数学（乙）适用的招生专业：
大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等单函数的 n 阶导数。
4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。
5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数
6. 会求反函数的导数。
7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
《高等数学》考试试卷A卷及答案解析
《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。
中国科学院大学601高等数学(甲)历年考研真题及详解
目录
2016年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题（回忆版）及详解[视频讲解]
2015年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2014年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2013年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解
2012年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2011年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2010年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2009年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2008年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2007年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2006年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2005年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2004年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2003年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解。
中科院历年高等数学甲真题
点 ，以 (2,0) 为终点的上半圆周 (x 1)2 y2 1。
九、（12 分）计算曲面积分 (x3 x)dydz zdxdy ，其中 S 是有向曲面 S
z x2 y2 (0 z 1) ，其法向量与 z 轴正方向夹角为锐角。
十、（12 分）设 f (x) 是以 2 为周期的偶函数，当 0 x 时， f (x) 1 x2 。
x
y
A. 2x 2y B. 2x 2y 4.下列级数或积分中收敛是（
C. x y ）
D. x y
A.
1
n2 n ln n
B.
(1)n
n1 (1 1 )n1
n
C.
1 ln x dx 0 x(1 x)3
D.
0
arctan x x2 x
dx
5.设 m ， n ， q 都是正数，则 1 xn1(1 xm)q1dx 等于（ 0
1.以下说法中正确的是（ ） A. 无穷小量是比任何数都要小的数； B. 任意多无穷小量之积仍为无穷小量； C. 两个无穷大之和仍为无穷大量； D. 无穷大量与有界量之乘积未必是无穷大量。
2.设 0,1在上 f (x) 0 ，则 f (0) ，f (1) ，f (1) f (0) 间的大小顺序为（ ）
dx dx 四、（8 分）设 f (x) 满足条件 f (x) f (x) 1， f (0) 2。
（1）求 f (x) ；
（2）求不定积分 ( f (x) 1) ln f (x)dx 。
五、（8 分）求幂级数 (1)n
n
xn1 的收敛半径和函数。
n0
n 1
六、（8 分）求微分方程 y 2y y ex 的通解。
D. ln( x2 1)dx
中国科学院大学《高等数学(甲)》考试大纲
中国科学院大学硕士研究生入学考试《高等数学（甲）》考试大纲中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（甲）考试大纲一、 考 试 性 质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（甲）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业的考生。
二、 考试的基本要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、 考试方法和考试时间高等数学（甲）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
会求给定函数的复合函数和反函数。
中国科学院大学601高等数学(甲)考试内容要求及大纲解析详解(多元函数积分学)【圣才出品】
该体积为所求二重积分的值，有等式
这就是把二重积分化为先对 y，后对 x 的二次积分的公式．上面公式也可以写成
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f (x, y)d
为常数，表示过 z 轴的半平面，其中
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设点 M 在 xOy 面上的投影为 P，点 P 在 x 轴上的投影为 A，则 OA＝x，AP＝y，PM
＝z．又
因此，点 M 的直角坐标不球面坐标的关系为
则球面坐标形式的三重积分为
二、三重积分 1．定义
2．三重积分的计算
（1）利用直角坐标计算三重积分
假设积分区域 Ω 可表示为 Ω＝{（x，y，z）|z1（x，y）≤z≤z2（x，y），（x，y）∈Dxy}．
①将 x、y 看做定值，将 f（x，y，z）只看做 z 的函数，在区间[z1（x，y），z2（x，y）]
上对 z 积分的结果是 x、y 的函数，记为 F（x，y），即
部分是 X 型区域或 Y 型区域．
4．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D 可以用丌等式
来表示（图 6－3），其中函
数 φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式
为
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b
dx
2x f x, y dy
D
a
1 x
（2）Y 型区域
设积分区域 D 用丌等式
来表示（图 6－2），其中函数
中科院高等数学(甲)历年考研真题及答案
方程的通解。
八、(本题满分 10 分) 在曲线 x2 + y2 = 1上找一个位于第一象限的点，使得该曲线在该点 4
处的切线与该曲线、以及 x 轴和 y 轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。
∫∫ 九、(本题满分 10 分) 证明： π (R2 − r2 ) ≤
dσ
≤ π (R2 − r2) ，其中
科目名称：高等数学（甲）
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则
。
A. x0 不是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点
B. x0 是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点，但不是 f ( x) ⋅ g( x) 的极值点
科目名称：高等数学（甲）
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C. x0 是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点，且是它的极小值点 D. x0 是 f ( x) ⋅ g( x) 的驻点，且是它的极大值点 3. 已 知 连 续 函 数 f (x) 满 足 f (x) = f (2a − x) (a ≠ 0) ， c 为 任 意 常 数 ， 则
0
0
五、(本题满分 10 分) 若 u = f (xyz), f (0) = 0, f ′(1) = 1，且 ∂3u = x2 y2 z2 f ′′′(xyz) ， ∂x∂y∂z
求函数 u。
六、(本题满分 10 分) 设 L 是分段光滑的简单闭曲线，且点 (2, 0), (−2, 0) 均在闭曲线 L 所
则ϕ′(0) = （
）。
∫ 3.
dx =（
1+ 3 x + 2
）。
4. 微分方程 x2 y′ + xy = y2 的满足 y(1) = 2 的解为（
）。
5. 设 Σ 是曲面 x2 + y2 + z2 = a2 的外侧，cosα , cos β , cos γ 是其外法线向量的方向余弦，
高等数学(甲)
高等数学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 四、试卷分类及适用专业
应用 考试要求 1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 熟练掌握不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值 定理。掌握牛顿－莱布尼茨公式。熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分 法。 3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 4. 理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。 5. 理解广义积分（无穷限积分、瑕积分）的概念，掌握无穷限积分、瑕积分的收敛 性判别法，会计算一些简单的广义积分。 6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧 长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平 均值。 四、向量代数和空间解析几何 考试内容 向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积、向量积和混合积 两向量垂直、平行 的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲 面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与 直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 母线平行于坐标 轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线 的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 考试要求 1. 熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念。 2. 熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行 的条件。 3. 理解向量在轴上的投影，了解投影定理及投影的运算。理解方向数与方向余弦、 向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4. 掌握平面方程和空间直线方程及其求法。 5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的 相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6. 会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离。 7. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念。 8. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会 求其方程。 9. 了解常用二次曲面的方程、图形及其截痕，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程。 五、多元函数微分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续 有界闭区域上多元 连续函数的性质 多元函数偏导数和全微分的概念及求法 全微分存在的必要条件和充分 条件 多元复合函数、隐函数的求导法 高阶偏导数的求法 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 方向导数和梯度 二元函数的泰勒公式 多元函数的极值和条件极 值 拉格朗日乘数法 多元函数的最大值、最小值及其简单应用 全微分在近似计算中的 应用 考试要求 1. 理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。 2. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元函数累次极限和
中国科学院大学601高等数学(甲)考试内容要求及大纲解析详解(一元函数积分学)【圣才出品】
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第 3 部分 考试大纲详解
一、原函数、丌定积分和定积分
1．原函数
如果在区间 I 上，可导函数
的导函数为
，即对任意一
，都有
，则函数
就称为
在区间 I 上的
一个原函数．
2．丌定积分
（1）概念
在区间 I 上，函数 的带有任意常数项的原函数称为 （或
秱项，得
对这个等式两边求丌定积分，得
称为分部积分公式． 注：
②运用分部积分法需注意 a．v 要容易求得；
b．
要比
容易积出；
c．遵循“反对幂指三”原则： “反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、 指数函数和三角函数．“反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相 关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面 的看成“dv”．
3．定积分的换元法和分部积分法 （1）定积分的换元积分法 ①定理
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设函数 f（x）在区间[a，b]上连续，函数
满足条件：
a． =a, =b ；
b．
上具有连续导数，且其值域
，则有
该公式称为换元公式．
②应用换元公式的注意事项
设函数
的原函数存在，k 为非零常数，则
3．定积分
（1）概念
设有常数 I，对亍任意正数 ε，总存在一个正数 δ，使得对亍区间[a，b]的立，则称 I 是 （f x）在区间[a，b]上的定积分，记作
．
（2）性质 ①性质 1
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(
)。
(a) 条件收敛 (b) 发散
(c) 绝对收敛 (d) 不能确定
(8) 设 为螺旋面
,
,
的一部分，
,
,则
的值为 (
)。
(a)
(b)
(c)
(d)
(9)
的值为 (
)。
(a)
(b)
(c)
(d)
(10) 一平面过点 (a)
且与直线
的交线的方向数是 (
(b)
(c)
垂直，则该平面与平面 )。
(d)
二、(本题满分 10 分) 证明极限
(1) 函数
, 正确结论是 (
)。
(a) 在
内有界
(b) 当
时 为无穷大
(c) 在
内无界
(d) 当
时 极限存在
(2) 函数 在
上是连续函数, 且
。
则
的最大取值区间是 (
)。
(a) (3) 微分方程
(a)
(b)
的一个特解是 ( (b)
(c) )。
(c)
(d) (d)
(4) 已知
是正整数,且
, 如果
则下面结论正确的一个是 (
三、（本题满分 10 分）求微分方程
四、(本题满分 10 分) 计算
和抛物线
围成的闭区域。
五、(本题满分 10 分) 将函数
六、(本题满分 10 分) 设函数
存在, 并求出极限值。
，其中
的通解。 是由抛物线
(
)展开成正弦级数。
,求
的值。
七、 (本题满分 10 分) 计算曲线积分
，其中 是由直线
和半圆周
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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分50 分，每小题5 分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)(1)函数, 正确结论是( )。
(a)在内有界(b) 当时为无穷大(c) 在内无界(d) 当时极限存在(2)函数在上是连续函数, 且。
则的最大取值区间是( )。
(a) (b) (c) (d)(3)微分方程的一个特解是( )。
(a) (b) (c) (d)(4)已知是正整数,且, 如果则下面结论正确的一个是( )。
(a)(b) (c) (d) 的大小关系不确定(5)函数在其定义域内零点的个数是( )。
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3科目名称：高等数学（甲）第1 页共3 页(6)若函数的导函数在上连续, 则( )。
(a) (b) (c) (d)(7)若幂级数在处条件收敛，则级数( )。
(a)条件收敛(b) 发散(c) 绝对收敛(d) 不能确定(8)设为螺旋面, , 的一部分，,, 则的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(9)的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(10)一平面过点且与直线垂直，则该平面与平面的交线的方向数是( )。
(a) (b) (c) (d)二、(本题满分10 分) 证明极限存在, 并求出极限值。
三、（本题满分10 分）求微分方程的通解。
四、(本题满分10 分) 计算，其中是由抛物线和抛物线围成的闭区域。
五、(本题满分10 分) 将函数 ( )展开成正弦级数。
中国科学院大学601高等数学(甲)考试内容要求及大纲解析详解(函数、极限、连续)【圣才出品】
专题1 函数、极限、连续第1部分 考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念第2部分 考试要求（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.（2）理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.掌握判断函数这些性质的方法.（3）理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.会求给定函数的复合函数和反函数.（4）掌握基本初等函数的性质及其图形.（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.（6）掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算.（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限.掌握利用两个重要极限求极限的方法.（8）理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.（10）掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应用这些性质.（11）理解函数一致连续性的概念.第3部分考试大纲详解一、函数1．函数的定义设数集D R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，简记为，其中x称为自变量，y称为因变量．D称为定义域，记作，即．2．函数的表示方法（1）表格法（2）图形法（3）解析法（公式法）二、函数的性质1．有界性 （1）上界：若存在K 1，对任意x I Î有1()f x K £，则称函数()f x 在Ｉ上有上界，而K 1称为函数()f x 在Ｉ上的一个上界.（2）下界：若存在K 2，对任意x I Î有2()f x K ³，则称函数()f x 在Ｉ上有下界，而K 2称为函数()f x 在Ｉ上的一个下界.（3）有界：若对任意x I Î，存在M ＞0，总有()f x M £，则称()f x 在I 上有界.2．单调性（1）单调递增 当12x x <时，12()()f x f x <.（2）单调递减 当12x x <时，12()()f x f x >.3．周期性（1）定义 ()()f x T f x +=（T 为正数）.（2）最小正周期 函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.4．奇偶性f （x ）的定义域关于原点对称，则：（1）偶函数 f （－x ）＝f （x ），图形关于y 轴对称.（2）奇函数 f （－x ）＝－f （x ），图形关于原点对称.三、反函数、复合函数、隐函数1．反函数（1）定义设函数f ：D →f （D ）是单射，则它存在逆映射f －1：f （D ）→D ，称此映射f －1为函数f 的反函数.（2）特点 ①当f 在D 上是单调递增函数，f －1在f （D ）上也是单调递增函数；②当f 在D 上是单调递减函数，f －1在f （D ）上也是单调递减函数；③f 的图像和f －1的图像关于直线y ＝x 对称，如图1－1所示．图1－12．复合函数（1）复合函数概念设函数y ＝f （u ）的定义域为f D ，函数u ＝g （x ）的定义域为g D ，且其值域g f R D Ì，则函数称为由函数u ＝g （x ）与函数y ＝f （u ）构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量.注：函数g 与函数f 构成的复合函数，即按“先g 后f ”的次序复合的函数，记为 ，即.（2）构成复合函数的条件g 与f 能构成复合函数的条件是：函数g 的值域R g 必须包含于函数f 的定义域D f ，即g f R D Ì.3．隐函数 如果变量ｘ，ｙ满足一个方程(,)0F x y =，在一定条件下，当ｘ取区间I 任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程(,)0F x y =在区间I 确定了一个隐函数．四、基本初等函数1．初等函数定义 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.2．基本初等函数性质和图形（1）幂函数①表达式：(R)n y x n =∈；②定义域：使(R)n y xn =∈有意义的全体实数构成的集合；③性质： a ．当n ＞0时，图象过点（0，0）和（1，1），在区间(0,)+∞上是增函数; b ．当n ＜0时，图象过点（1，1），在区间(0,)+∞上是减函数④图像：图像如图1－2所示：图1－2（2）指数函数①表达式：(0,1)x y aa a =>≠；②定义域：R ；③值域：(0,)+∞④性质： a ．当a ＞1时，图象过点（0，1），在R 上是增函数； b ．当0＜a ＜1时，图象过点（0，1），在R 上是减函数． ⑤图像：图像如图1－3所示：图1－3（3）对数函数①表达式：log (0,1)a y x a a =>≠；②定义域：(0,)+∞；③值域：R④性质：a ．当a ＞1时，图象过点（1，0），在(0,)+∞上是增函数；b ．当0＜a ＜1时，图象过点（1，0），在(0,)+∞上是减函数． ⑤图像：图像如图1－4所示：。
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)。 (B) (D) 的任一解 (B) (D) )。 满足当 时
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 过 ( (A) (C) )。
点且与直线
及
都平行的平面方程为
(B) (D)
二、 (本题满分 10 分 ) 三、 ( 本题满分 10 分 ) 的解。 四、 (本题满分 10 分 )
计算 求微分方程
。 满足初始条件
(A) 1
(B)
(C)
(D)
(3)
函数
在区间
上的最大值是（
） 。
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)
设 (A) (C)
，下面四个结论正确的是（ (B) (D)
） 。
科目名称：高等数学（甲）
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(5)
已知
, 则
（
） 。
(A) 20 (6)
(B) 10 ( )。
(C) 5
(D)不能确定
(A) 0
中国科学院 大学 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲）
整理版 考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、
选择题 （ 本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填
?
n =1
?1 ? 发散。 f? ? ÷ ÷ n? è
òò (| x | + | y |) dxdy ，其中积分区域
D
D 是由直线 x = 0 ，
x + y = 3 ， y = x - 1 及 y = x +1 所围成的区域。
xdy - ydx ，其中是以 L 为 (1,0 中心，为 R 半 I =ò 2 2 ) L 4x + y
七、 （本题满分 10 分）计算曲线积分
￥ ￥ n
（ 7）若级数
￥
?u
n=1
和 ? vn 都发散，则级数（
n =1 ￥
）一定发散。
（ A) ? ( un + vn )
n =1 ￥
(B) ? u n vn
n =1 ￥
(C) ?
n =1
(
un + vn
)
2
(D) ? un +vn
n =1
(
2
2
)
1 n +1
(8)设两条抛物线 y = nx + 则 lim An = （ ?￥
x
） 。 （ C）
e 2
（A ）0
（B） ￥
（D） -
e 2
2 ì x + 2x ? （ 2）若函数 f ( x ) = í ? ?ln(1 + ax )
( x 3 0) 在 x = 0 处可导，则 a 等于（ ( x < 0)
） 1
（ A ） - 2 （ 3）设极限 lim
（ B ）
2
（ C ）
- 1
a 1- a
f/ (0) = f / (2) = 0. 证明：在区间 (0,2) 内至
≥ f(2) | - f(0)|. 设 0 < a < 1,x ≥ 0且 y ≥ 0 ，证明：
≤ ax + (1 - a)y
(2). 设 x1,x2,...xn, y1 ,y2,...yn 均为实数，利用 (1) 的结果证明 x1y 1 + x 2y 2 + ... + x nyn ≤ .
科目名称：高等数学（甲）
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中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲）
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、
选择题 （ 本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填 请将你
(B)
(C)
(D) 不存在
(7)
设 和
在 ( 2,2) 区间内可导且
，
， 为单位圆周
被 和
轴 正 半 轴 所 夹 的 弧 段 ， 则 关 于 弧 长 的 曲 线 积 分
满足 ( (A) (C) (8) 设二阶线性齐次常系数微分方程 ，则实数 (A) (C) (9) 幂级数 的收敛域是 ( 满足 ( )。
n ，都有
ò
0
2π
f ( x)sin( x )dx ￡
三、（本题满分
10 分）设 f ( x ) 具有连续导数，且满足
f ( x)= x +ò tf ' ( x - t ) dt ，求极限 0
x
x?- ￥
lim f ( x) 。
2
? z 四、 （本题满分 10 分） 设函数 z = f ( x, y) 满足 0)= x ， f (0， y) = y 2 ， = x + y ， f ( x， ? x? y
m > n. 如果： ) C.S < T D.S,T大小关系不确定
B.S = T
(5) 设 对 任 意 的 x ∈
R ， 总 有 m ≤ f (x) < g(x) < h(x) ≤ M . 且 g(x) 为 连 续 函 数 ， 若
. 则对于
，下面结论正确的一个是
(
)
科目名称：高等数学（甲）
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D.|a| 2 = 5| b| 2
A.I1 < I2 < I3
B.I3 < I 1 < I2
C.I 1 < I3 < I2
D.I3 < I2 < I 1
A.2
2 2 2
B.
C.
D. x + 2y + z = 0 平分，则有 ( )
(10) 已知曲面 x + y + 2z = 5， 在其上点 (x 0,y0,z0 )处的切平面与平面 A.x0 : y 0 : z0 = 4 : 2 : 1 C.x 0 : y 0 : z0 = 1 : 4 : 2 B.x 0 : y0 : z0 = 2 : 4 : 1 D.x 0 : y0 : z0 = 1 : 2 : 4
共 3 页
A.一定存在，且等于 C.一定不存在
B.一定存在，且只能等于 D.一定存在，且可以取到
M或 m [ m,M ] 上的任意值
，在其定义域内零点的个数是 A.2 (7) 设 a,b 为非零实向量，且 A.|b| 2 = 7| a| 2 B.3 C.4
(
) D.多于 4 )
2 a + b 与 a - b 垂直， a + 2b 与 a + b 垂直，则 ( B.|a| 2 = 7| b | 2 C.|b| 2 = 5| a| 2
2 22Biblioteka （ C） x 2 ln x + x2 + C
（ 6）设 y1, y2 是二阶线性函数齐次微分方程 特解， C 1 , C 2 是两个任意常数，则（
（ A ） C1 y1 + C 2 y 2 不一定是该微分方程的解 （ B ） C 1 y1 + C 2 y 2 是该微分方程的解，但未必是通解 （ C) C1 y1 + C 2 y2 是该微分方程的解，但不是通解 （ D) C 1 y1 + C 2 y 2 不是该微分方程的通解
A.1
B.0
C. ∞
D.
(3). 微分方程 A.x = y + Ce – 1
-y
的通解为 (
)
-x
B.y = x + Ce - 1 D.y = ln| y - x - 1| + C
C.x = ln| x - y - 1| + C
(4). 已知 m,n 为正整数，且 则下面结论正确的一个是 A.S > T (
共 3页
中国科学院研究生院 2011 年招收硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲）
考生须知： 1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计为 180 分钟。 所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题（本题满分 40 分）
1
x
（ 1）极限 lim x [(1 + ) - e] = （ x ?+￥
充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。 ）
(1)
对于函数 A.在 (0,∞） 内有界 . C.在 (0.∞） 内处处可导 .
.结论不正确的是： B.在 (0, ∞） 内 f(x)没有最大值和最小值 .
+ D.当 x → ∞ 和 x → 0 时， f(x)极限存在 .
试求
f ( x, y ) 。 第 2 页 共 3 页
科目名称：高等数学（甲）
五 、（ 本 题 满 分
2 2
10
分 ） 求 函 数
f ( x, y ) = ( x - 6) + ( y + 8)
2
2
在 区 域
D = {( x , y ) | x + y ￡25} 上的最大值和最小值。
六、 （本题满分 10 分）计算二重积分
（ D ） ）
x? a
f ( x ) - f (a ) = - 2 ，则函数 f ( x ) 在 x = a 处（ 4 ( x - a)
（ A ） 导数值不等于零 （ C） 取得极大值