中科院高等数学甲历年真题

?
n =1
?1 ? 发散。 f? ? ÷ ÷ n? è
共 3页
中国科学院研究生院 2011 年招收硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲）
考生须知： 1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计为 180 分钟。 所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题（本题满分 40 分）
1
x
（ 1）极限 lim x [(1 + ) - e] = （ x ?+￥
求函数
在区间
上的傅里叶级数。
科目名称：高等数学（甲）
第2页
共 3 页
五、 ( 本题满分
10 分 ) 求曲面积分 的上侧 （法向量与 轴正向夹角为锐角的一侧）
，其中 及
为由 的下侧围成的有向曲
面。
六、 ( 本题满分 10 分 )
假设函数
满足
且对于
,
，
证明
存在 , 且不大于
。 满足：当 时， 。
七、 (本题满分 10 分 ) 设两个连续函数 证明存在唯一的数 使得
将函数 f(x) = x - 1 ,(0 ≤ x ≤ 2) 展开成周期为 若 g(x)为单调增加的可微函数，且当 ≤ g(x) - g(a).
4 的余弦级数 . ≤ g (x).证明：当
/
x ≥ a 时， | f / (x)|
x ≥ a 时， | f(x) - f(a)|
十、 (本题满分 10 分 ) 函数 f(x)在 [0,2] 上二阶可导，且 少存在一点 ξ ，满足 | f// (ξ )| 十一、 (本题满分 10 分 ) (1).x y
(A) 1
(B)
(C)
(D)
(3)
函数
在区间
上的最大值是（
） 。
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)
设 (A) (C)
，下面四个结论正确的是（ (B) (D)
） 。
科目名称：高等数学（甲）
第1页
共 3 页
(5)
已知
, 则
（
） 。
(A) 20 (6)
(B) 10 ( )。
(C) 5
(D)不能确定
(A) 0
充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。 (1) 函数 的导函数 在 上是连续函数， ）
, 则函数
一定是 （ ） 。 (A) 有界可微函数 (C) 连续可微函数 (2) (B) 有界连续函数 (D) 以上结论都不正确 ＝（ ） 。
òò (| x | + | y |) dxdy ，其中积分区域
D
D 是由直线 x = 0 ，
x + y = 3 ， y = x - 1 及 y = x +1 所围成的区域。
xdy - ydx ，其中是以 L 为 (1,0 中心，为 R 半 I =ò 2 2 ) L 4x + y
七、 （本题满分 10 分）计算曲线积分
充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。 ）
(1)
对于函数 A.在 (0,∞） 内有界 . C.在 (0.∞） 内处处可导 .
.结论不正确的是： B.在 (0, ∞） 内 f(x)没有最大值和最小值 .
+ D.当 x → ∞ 和 x → 0 时， f(x)极限存在 .
共 3 页
A.一定存在，且等于 C.一定不存在
B.一定存在，且只能等于 D.一定存在，且可以取到
M或 m [ m,M ] 上的任意值
，在其定义域内零点的个数是 A.2 (7) 设 a,b 为非零实向量，且 A.|b| 2 = 7| a| 2 B.3 C.4
(
) D.多于 4 )
2 a + b 与 a - b 垂直， a + 2b 与 a + b 垂直，则 ( B.|a| 2 = 7| b | 2 C.|b| 2 = 5| a| 2
（ D ） ）
x? a
f ( x ) - f (a ) = - 2 ，则函数 f ( x ) 在 x = a 处（ 4 ( x - a)
（ A ） 导数值不等于零 （ C） 取得极大值
（ B ）导数值等于零但 x = a 不是极值点 （ D ） 取得极小
（ 4） 设函数 f ( x) 在定义域内可导， f ( x ) 的图像如右图所示， 则 f￠ ( x ) 的图像最有可能为（ ）
￥ ￥ n
（ 7）若级数
￥
?u
n=1
和 ? vn 都发散，则级数（
n =1 ￥
）一定发散。
（ A) ? ( un + vn )
n =1 ￥
(B) ? u n vn
n =1 ￥
(C) ?
n =1
(
un + vn
)
2
(D) ? un +vn
n =1
(
2
2
)
1 n +1
(8)设两条抛物线 y = nx + 则 lim An = （ ?￥
科目名称：高等数学（甲）
第3页
共 3页
中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲）
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、
选择题 （ 本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填 请将你
m > n. 如果： ) C.S < T D.S,T大小关系不确定
B.S = T
(5) 设 对 任 意 的 x ∈
R ， 总 有 m ≤ f (x) < g(x) < h(x) ≤ M . 且 g(x) 为 连 续 函 数 ， 若
. 则对于
，下面结论正确的一个是
(
)
科目名称：高等数学（甲）
第1页
(B)
(C)
(D) 不存在
(7)
设 和
在 ( 2,2) 区间内可导且
，
， 为单位圆周
被 和
轴 正 半 轴 所 夹 的 弧 段 ， 则 关 于 弧 长 的 曲 线 积 分
满足 ( (A) (C) (8) 设二阶线性齐次常系数微分方程 ，则实数 (A) (C) (9) 幂级数 的收敛域是 ( 满足 ( )。
中国科学院 大学 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲）
整理版 考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、
选择题 （ 本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填
（A ）
（B）
(C)
（ D）
科目名称：高等数学（甲）
第 1 页 共 3 页
（ 5）设 x ln x 是函数 f ( x ) 的一个原函数，则不定积分 （A ）
2 3 x ln x +
3
2
xf '( x)dx = （ ò
）
1 9
x +C
3
（ B） 2 x - x ln x + C （ D ） 3x ln x + x + C y '' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0 的两个 ）
2 2
2
（ C） x 2 ln x + x2 + C
（ 6）设 y1, y2 是二阶线性函数齐次微分方程 特解， C 1 , C 2 是两个任意常数，则（
（ A ） C1 y1 + C 2 y 2 不一定是该微分方程的解 （ B ） C 1 y1 + C 2 y 2 是该微分方程的解，但未必是通解 （ C) C1 y1 + C 2 y2 是该微分方程的解，但不是通解 （ D) C 1 y1 + C 2 y 2 不是该微分方程的通解
n ，都有
ò
0
2π
f ( x)sin( x )dx ￡
三、（本题满分
10 分）设 f ( x ) 具有连续导数，且满足
f ( x)= x +ò tf ' ( x - t ) dt ，求极限 0
x
x?- ￥
lim f ( x) 。
2
? z 四、 （本题满分 10 分） 设函数 z = f ( x, y) 满足 0)= x ， f (0， y) = y 2 ， = x + y ， f ( x， ? x? y
a 1- a
f/ (0) = f / (2) = 0. 证明：在区间 (0,2) 内至
≥ f(2) | - f(0)|. 设 0 < a < 1,x ≥ 0且 y ≥ 0 ，证明：
≤ ax + (1 - a)y
(2). 设 x1,x2,...xn, y1 ,y2,...yn 均为实数，利用 (1) 的结果证明 x1y 1 + x 2y 2 + ... + x nyn ≤ .
科目名称：高等数学（甲）
第2页
共 3 页
五 、 ( 本 题 满 分 10 分 ) 已 知 y 1 = x, y2 = x2, y3 = ex 为 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 ： 的三特解，求该方程满足初始条件 的特解 .
六、 ( 本题满分 10 分 )
七、 (本题满分 10 分 )
八、 (本题满分 10 分 ) 九、 (本题满分 10 分 )
径的圆周
( R > 0， R 1 1) ，取逆时针方向。
f +￥ ) 上有定义，在 ( x ) 在 (-￥ ，
￥
八、 （本题满分 10 分）设函数
x = 0 的某个领域内有一阶
￥
连续的导数，且
lim
f
x? 0
百度文库( x) = a > 0 ，证明：
x f
?
n =1
(- 1)
n
?1 ? 收敛，而 f? ? ÷ ÷ n? è
。
八、 (本题满分 10 分 )
证明
。
九、 (本题满分 10 分 )
设 在 , 使得 上连续 , 在
，求 内可导 . 。 在 上二阶可导，且对任意 ，
和
。
十、 (本题满分 10 分 ) 函数 证明存在 十一、 ( 本题满分 和
10 分 )
函数
，有 成立。
， 证明，对任意
科目名称：高等数学（甲）
第3页
x
） 。 （ C）
e 2
（A ）0
（B） ￥
（D） -
e 2
2 ì x + 2x ? （ 2）若函数 f ( x ) = í ? ?ln(1 + ax )
( x 3 0) 在 x = 0 处可导，则 a 等于（ ( x < 0)
） 1
（ A ） - 2 （ 3）设极限 lim
（ B ）
2
（ C ）
- 1
D.|a| 2 = 5| b| 2
A.I1 < I2 < I3
B.I3 < I 1 < I2
C.I 1 < I3 < I2
D.I3 < I2 < I 1
A.2
2 2 2
B.
C.
D. x + 2y + z = 0 平分，则有 ( )
(10) 已知曲面 x + y + 2z = 5， 在其上点 (x 0,y0,z0 )处的切平面与平面 A.x0 : y 0 : z0 = 4 : 2 : 1 C.x 0 : y 0 : z0 = 1 : 4 : 2 B.x 0 : y0 : z0 = 2 : 4 : 1 D.x 0 : y0 : z0 = 1 : 2 : 4
A.1
B.0
C. ∞
D.
(3). 微分方程 A.x = y + Ce – 1
-y
的通解为 (
)
-x
B.y = x + Ce - 1 D.y = ln| y - x - 1| + C
C.x = ln| x - y - 1| + C
(4). 已知 m,n 为正整数，且 则下面结论正确的一个是 A.S > T (
试求
f ( x, y ) 。 第 2 页 共 3 页
科目名称：高等数学（甲）
五 、（ 本 题 满 分
2 2
10
分 ） 求 函 数
f ( x, y ) = ( x - 6) + ( y + 8)
2
2
在 区 域
D = {( x , y ) | x + y ￡25} 上的最大值和最小值。
六、 （本题满分 10 分）计算二重积分
二、 (本题满分 10 分 )
三、 ( 本题满分 10 分 ) 四、( 本题满分 10 分 ) 可微函数，且
，计算 设 D 为第一象限内由
在点 (π， 2) 处的值 .
y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 2 所围成的区域 ,f 为一元
f / = g ，记 L 为 D 的边界，证明：
)。 (B) (D) 的任一解 (B) (D) )。 满足当 时
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 过 ( (A) (C) )。
点且与直线
及
都平行的平面方程为
(B) (D)
二、 (本题满分 10 分 ) 三、 ( 本题满分 10 分 ) 的解。 四、 (本题满分 10 分 )
计算 求微分方程
。 满足初始条件
n
1 n
和 y = (n +1) x +
2
所围成的图形的面积为 An ，
） （ B) 1
10 分）设函数
（ A) 0
二、（本题满分 何整数
（ C) 2
（ D) 3 f '( x ) 3 0 ，求证：对任
f ( x) 在 [ 0,2π ] 上有连续导数，且 2 f (2π )( n f (0) ) 。