高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

椭 圆

1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) . 2.椭圆的标准方程：

12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12

2=+b

a （a ＞

b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2

+ny

2

=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法

.

,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0

, y 0

),

则x ＝x 0, y ＝ 2

0y

得x 0＝x ， y 0＝2y.

∵x 02

＋y 02

＝4, 得 x 2

＋(2y)2

＝4,

即.14

2

=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.

4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2

，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的

长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．

|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．

在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2

．

）的离心率为（轴分成三等份，则椭圆若椭圆的连个焦点把长 .1

无法确定 D. 3

2 C. 31 B. 61 A.

.

7),0()0,()0,()0(1 .21122

22=-->>=+e b

AB F b B a A c F b a b

y a x ，则椭圆的离心率的距离为到直线如果是两个顶点，

、，的左焦点为椭圆

.1612)2,1( .32

2的标准方程有相同的离心率的椭圆，且与椭圆求经过点=+y x M

越小，因此椭圆越扁；

，从而越接近时，越接近当221)1(c a b a c e -=

因此椭圆越接近于圆；

，越接近，从而越接近时，越接近当a b c e 00)2(

. 0)3(222a y x c b a =+==为圆，方程成为，两焦点重合，图形变时，当且仅当

.

)2(; )1(12045 .2221212

21点坐标求求，

为左右焦点，，上的点，为椭圆已知P S PF PF F F y x P F PF ∆⊥=+

椭圆典型例题

例1 已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2

2

2

c b a +=可求出m 的值．

解：方程变形为

1262

2=+m

y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2

262=-m ，5=m 适合．故5=m ．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数

法，

求出参数a 和b （或2

a 和2

b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b y a x ．

由椭圆过点()03，

P ，知1092

2=+b

a ．又

b a 3=，代入得12=b ，92

=a ，故椭圆的方程为19

22

=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b x a y ．

由椭圆过点()03，

P ，知1092

2=+b

a ．又

b a 3=，联立解得812=a ，92

=b ，故椭圆的方程为

19

812

2=+x y ．

例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．

（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．

设G 点坐标为()y x ，，