两个值得商榷的高中数学教材中的概念
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ｘ － ２ ｖ ＋ ５ ＞３
次 不 等式 。不等 式组
ｔ －７＜ ｙ＋５
＋ ４ｔ
一
１≥ ３
可 视 为二 元 一 次不 等式
ｍ ＋ｌ ｌ ≤４
Ｘ≥ 一１
组
６ 口
，
却 不 是 二 元 一 次 不 不 等 式 组 ｛ ２ ： ＜ ５ 、 【 ≥ ３ 、 ；
平 口
ｆ ｘ － ２ ｙ ＋ ５ ＞ 。， ２ ｚ ｙ ＜ ５
人 教Ａ 版《 数学 必修５ 》 的３ ． ３ － ． 元一 次不 等式 （ 组） 与简 单 的线性 规 划 问题 ～ 节 中 ， 有 两 个概 念 ： 把 含 有 两个 未 知 数 ， 并且 未知 数的次 数是 ｌ 的不等 式称 为二元 一次不 等式 。由几 个 二 元 一 次 不 等 式 组 成 的不 等 式 组 称 为 二 元 一 次 不 等 式 组 。… 这两个 概念 容易让 学生 引起 认识 上的混 乱 。 按 照上述 概念 ， ｘ ｙ ＋ ５ ｘ 一 ３ ｙ ＜７ 、 ２ ｘ ｙ 一 ３ ｙ ≥一 ７ ９都 是 二元 一
ｆ ｘ ＋ ｙ ＝ ７
于 二元 一 次 不等 式 （ 组） 的概 念 是 在 高 中学 的 ， 而 一元 一 次 不 等式 （ 组） 是在 初 中学 的 。且都 是 在一 元 一次 方程 与 二元 次方程 的学 习之后 。按 初 中教材 的编排 ， 一元一 次不 等式 的概念 与解 法都 是 类 比于一 元 一 次方程 得 出 的 。故 二 元一 一 次 不等 式 （ 组） 的概念 应 该也 与 二元 一次 方 程 （ 组） 的概 念 在 某 种 认识 上 要 达成 一致 ， 这样 ， 才 不 至 于产 生 矛 盾 ， 让 人 怀 疑概念 的严谨 性 、 连贯性 与 正确性 。从教 材编排 的体 系和 意 图来 看 ， 二 元 一次 不 等 式 （ 组） 的知 识 点 放在 简 单 的 线性 规 划问题 前 面呈 现 。也 就是 说是 利 用线 性关 系 来解 决规 划 问 题 的 。而 只有 未知项 的次 数是 １ 次 的二元 不等式 才能 体现 出 线性关 系 。 未知 数 的次 数是 １ 的二元不 等式 如ｘ ｖ ＜ｌ 就 能体 现 出两个 未知数 之 间是线性 关 系。从 概 念的 内涵 与外延来 看 ， 教材 中的二元 一 次不 等式 的 概念 的 内涵 被缩 小 ，因而外 延 被扩 大 。我们需 要 认识 “ 未 知数 的 次数 为 ｌ ” 与“ 未 知项 的次 数为 １ ” 的含 义 。“ 未知 数 的次数 为 １ ” 意 思很 清楚 ， 只要 未 知 数 的次数 为 １ 就行 ， 但 未知 数 的次 数 为 ｌ ， 并不 保证 含该 未 知 数 的项 的次数 为 ｌ 。而 “ 未 知项 的次数 为 １ ． ＇ 意 为含 未 知数 的 项 的次数 为 １ ， 不但 包 括未 知数 的 次数 一定 为 １ 的意 思 ， 而 且 排除 了含 未知数 的项 的次数 不 为ｌ 的不等式 。同时 它还 隐禽 了一 个 条件 ，就 是该 项必 须 是整 式 ，只 有整 式 才谈 得上 次 数 ，对 于 分 式 和 根 式 等是 没 有 次 数 而 言 的 。 如 在 不 等 式 ｘ ｙ — ｘ ＞７ 中， ｘ ｙ 与ｘ 都 是 含 未 知数 的项 ， ｘ ｙ 这 一 项 含有 两 个 未 知数 ， 并且 每个 未知 数 的次 数都 是 １ 次， 但该 项 的次 数 却是 ２
ｘ≥ ３
ｖ ＞一 ２
等 式组 。 显然， 这都 和事 实不相 符 。 因此 ， 笔 者认 为这 两个概 念 值得 商榷 。 从 教材 的衔 接 和思 维 的严谨 性 来看 ，教材 中 的这 两个 概 念需 要进一 步完 善 。最新 的湘教 版初 中教 材有这 些概 念 ： 含有两 个 未知数 （ 二元 ） ， 并 且 含未 知 数 的项 的次 数都 是 ｌ 的 方 程 为二 元一 次方 程 。把两 个含有 相 同未 知数 的二元 一 次 方程（ 或 者一 个 二元 一 次方 程 ， 一 个 一 元 一次 方 程 ） 联 立起 来， 组 成 的方 程 组 ， 叫做 二元 一次 方 程 组 。翻 含有 三 个 未 知 数， 每 个 方程 中含 有未 知 数 的 项 的次 数 均 为 ｌ ， 并 且 一 共有 ｊ 个方程 ， 像 这样 的方程 组 叫做 三元 一 次方 程组 。１ ３ ］ 并 且 该
一
次； 这 一项 的次数是 １ 次， 该 项 的次数 也为 １ 次。 而一 是 分式 ，
、 ／ ｘ ｙ 是根式 ， 这些项 都不存 在 次数之 说 。 综上 所 述 ， 二 元一 次 不等 式 的概 念可 为 ： 把 含有 两 个未 知数， 并且 含未 知 数 的项 的次 数是 １ 的不 等 式称 为二 元 一次
冰
长沙 ４ １ ０ １ ２ ９ ）
４ ２ ５ １ ９ ９ ； ２ ． 湖 南省 长沙 市南雅 中学 ， 湖南
摘要 ： 本文对二元一次不等式及二元一次不等式组的概念进行 了简要辨析 ， 有利于教 师在教 学中准确把握 ， 有助于学生
对 这 两个概 念 的理 解 与应 用
关键 词 ： 二元 一 次 ； 不 等式 ； 不等 式组 中图分 类 号 ： Ｇ ６ ３ ２ 文 献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ５ ２ — ０ ０ ９ ２ 坛
Ｅ ＤＵ ＣＡ ＴＩ ＯＮ Ｔ ＥＡ ＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ Ｏ ＲＵＭ
Ｄ ｅｃ ． ２０１ ３ Ｎ ０． ５ ２
第 ５ ２期
两个值得 商榷 的高 中数学教材 中的概念
周宇剑 ， 谭
（ １ ． 湖南 科技 学 院 数学 与计 算科 学 系 ， 湖南 永州
次 不 等式 。不等 式组
ｔ －７＜ ｙ＋５
＋ ４ｔ
一
１≥ ３
可 视 为二 元 一 次不 等式
ｍ ＋ｌ ｌ ≤４
Ｘ≥ 一１
组
６ 口
，
却 不 是 二 元 一 次 不 不 等 式 组 ｛ ２ ： ＜ ５ 、 【 ≥ ３ 、 ；
平 口
ｆ ｘ － ２ ｙ ＋ ５ ＞ 。， ２ ｚ ｙ ＜ ５
人 教Ａ 版《 数学 必修５ 》 的３ ． ３ － ． 元一 次不 等式 （ 组） 与简 单 的线性 规 划 问题 ～ 节 中 ， 有 两 个概 念 ： 把 含 有 两个 未 知 数 ， 并且 未知 数的次 数是 ｌ 的不等 式称 为二元 一次不 等式 。由几 个 二 元 一 次 不 等 式 组 成 的不 等 式 组 称 为 二 元 一 次 不 等 式 组 。… 这两个 概念 容易让 学生 引起 认识 上的混 乱 。 按 照上述 概念 ， ｘ ｙ ＋ ５ ｘ 一 ３ ｙ ＜７ 、 ２ ｘ ｙ 一 ３ ｙ ≥一 ７ ９都 是 二元 一
ｆ ｘ ＋ ｙ ＝ ７
于 二元 一 次 不等 式 （ 组） 的概 念 是 在 高 中学 的 ， 而 一元 一 次 不 等式 （ 组） 是在 初 中学 的 。且都 是 在一 元 一次 方程 与 二元 次方程 的学 习之后 。按 初 中教材 的编排 ， 一元一 次不 等式 的概念 与解 法都 是 类 比于一 元 一 次方程 得 出 的 。故 二 元一 一 次 不等 式 （ 组） 的概念 应 该也 与 二元 一次 方 程 （ 组） 的概 念 在 某 种 认识 上 要 达成 一致 ， 这样 ， 才 不 至 于产 生 矛 盾 ， 让 人 怀 疑概念 的严谨 性 、 连贯性 与 正确性 。从教 材编排 的体 系和 意 图来 看 ， 二 元 一次 不 等 式 （ 组） 的知 识 点 放在 简 单 的 线性 规 划问题 前 面呈 现 。也 就是 说是 利 用线 性关 系 来解 决规 划 问 题 的 。而 只有 未知项 的次 数是 １ 次 的二元 不等式 才能 体现 出 线性关 系 。 未知 数 的次 数是 １ 的二元不 等式 如ｘ ｖ ＜ｌ 就 能体 现 出两个 未知数 之 间是线性 关 系。从 概 念的 内涵 与外延来 看 ， 教材 中的二元 一 次不 等式 的 概念 的 内涵 被缩 小 ，因而外 延 被扩 大 。我们需 要 认识 “ 未 知数 的 次数 为 ｌ ” 与“ 未 知项 的次 数为 １ ” 的含 义 。“ 未知 数 的次数 为 １ ” 意 思很 清楚 ， 只要 未 知 数 的次数 为 １ 就行 ， 但 未知 数 的次 数 为 ｌ ， 并不 保证 含该 未 知 数 的项 的次数 为 ｌ 。而 “ 未 知项 的次数 为 １ ． ＇ 意 为含 未 知数 的 项 的次数 为 １ ， 不但 包 括未 知数 的 次数 一定 为 １ 的意 思 ， 而 且 排除 了含 未知数 的项 的次数 不 为ｌ 的不等式 。同时 它还 隐禽 了一 个 条件 ，就 是该 项必 须 是整 式 ，只 有整 式 才谈 得上 次 数 ，对 于 分 式 和 根 式 等是 没 有 次 数 而 言 的 。 如 在 不 等 式 ｘ ｙ — ｘ ＞７ 中， ｘ ｙ 与ｘ 都 是 含 未 知数 的项 ， ｘ ｙ 这 一 项 含有 两 个 未 知数 ， 并且 每个 未知 数 的次 数都 是 １ 次， 但该 项 的次 数 却是 ２
ｘ≥ ３
ｖ ＞一 ２
等 式组 。 显然， 这都 和事 实不相 符 。 因此 ， 笔 者认 为这 两个概 念 值得 商榷 。 从 教材 的衔 接 和思 维 的严谨 性 来看 ，教材 中 的这 两个 概 念需 要进一 步完 善 。最新 的湘教 版初 中教 材有这 些概 念 ： 含有两 个 未知数 （ 二元 ） ， 并 且 含未 知 数 的项 的次 数都 是 ｌ 的 方 程 为二 元一 次方 程 。把两 个含有 相 同未 知数 的二元 一 次 方程（ 或 者一 个 二元 一 次方 程 ， 一 个 一 元 一次 方 程 ） 联 立起 来， 组 成 的方 程 组 ， 叫做 二元 一次 方 程 组 。翻 含有 三 个 未 知 数， 每 个 方程 中含 有未 知 数 的 项 的次 数 均 为 ｌ ， 并 且 一 共有 ｊ 个方程 ， 像 这样 的方程 组 叫做 三元 一 次方 程组 。１ ３ ］ 并 且 该
一
次； 这 一项 的次数是 １ 次， 该 项 的次数 也为 １ 次。 而一 是 分式 ，
、 ／ ｘ ｙ 是根式 ， 这些项 都不存 在 次数之 说 。 综上 所 述 ， 二 元一 次 不等 式 的概 念可 为 ： 把 含有 两 个未 知数， 并且 含未 知 数 的项 的次 数是 １ 的不 等 式称 为二 元 一次
冰
长沙 ４ １ ０ １ ２ ９ ）
４ ２ ５ １ ９ ９ ； ２ ． 湖 南省 长沙 市南雅 中学 ， 湖南
摘要 ： 本文对二元一次不等式及二元一次不等式组的概念进行 了简要辨析 ， 有利于教 师在教 学中准确把握 ， 有助于学生
对 这 两个概 念 的理 解 与应 用
关键 词 ： 二元 一 次 ； 不 等式 ； 不等 式组 中图分 类 号 ： Ｇ ６ ３ ２ 文 献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ５ ２ — ０ ０ ９ ２ 坛
Ｅ ＤＵ ＣＡ ＴＩ ＯＮ Ｔ ＥＡ ＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ Ｏ ＲＵＭ
Ｄ ｅｃ ． ２０１ ３ Ｎ ０． ５ ２
第 ５ ２期
两个值得 商榷 的高 中数学教材 中的概念
周宇剑 ， 谭
（ １ ． 湖南 科技 学 院 数学 与计 算科 学 系 ， 湖南 永州