题型专项(七) 方程、不等式、函数的实际应用题
不等式的应用练习题运用不等式解决实际问题
不等式的应用练习题运用不等式解决实际问题不等式是数学中一种重要的关系式，用来表示不同数值之间的大小关系。
不等式的应用十分广泛，尤其在解决实际问题时能发挥重要作用。
下面将通过一些实际问题来展示如何运用不等式解决相关问题。
问题一：某公司生产的某种产品A的每个单位成本为c元，销售价格为p元。
现有一批产品A，最多可生产n个单位，并且销售数量不少于m个单位。
问该公司最少需要以多少价格出售每个单位产品A，能够保证不亏本？解答：设x为每个单位产品A的出售价格，由题目可知不等式关系：nx ≥ mc。
根据题意，还需满足销售数量不少于m个单位，即p ≥ m。
根据不等式nx ≥ mc和p ≥ m，我们可以得到以下关系式：nx ≥ mcp ≥ m为了保证不亏本，我们需要求解x的最小值。
首先，根据nx ≥ mc，我们可以将c除以n，得到：x ≥ c/n然后，我们再考虑p ≥ m，可以选择最小的p值来保证不亏本。
因此，最小的x值为c/n，当且仅当p = m时，不等式达到最小值。
综上所述，公司最少需要以c/n元的价格出售每个单位产品A，才能保证不亏本。
问题二：某商品的原价为p1元，现在正在打折促销，降价至p2元。
已知促销期间每天能销售的商品数量不能超过n个，如果该店至少想要保持每天的销售额不低于m元，问降价后的最低售价是多少？解答：设x为商品降价后的售价。
根据题意，我们知道不等式关系：nx ≤ m。
根据不等式nx ≤ m，我们可以得到以下关系式：nx ≤ m为了保证每天的销售额不低于m元，我们需要求解x的最小值。
由于降价后的售价p2必须小于原价p1，所以我们可以选择最小的p2值作为降价后的售价。
根据nx ≤ m，我们可以将m除以n，得到：x ≤ m/n然后，我们再考虑p2 ≤ x，可以选择最小的x值来保证每天的销售额不低于m元。
因此，降价后的最低售价为m/n元，当且仅当p2 =m/n时，不等式达到最小值。
综上所述，降价后的最低售价为m/n元，才能保证每天的销售额不低于m元。
中考实际应用题(函数、方程、不等式)
一次函数的实际应用例1.如图,1l 表示商场一天的家电销售额与销售量的关系,2l 表示一天的销售成本与销售量的关系.①当2 x 时,销售额= 万元,销售成本= 万元.此时，商场是是赢利还是亏损？②一天销售 件时,销售额等于销售成本. ③1l 对应的函数表达式是 .④写出利润与销售量间的函数表达式.例2．某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租车公司签订租车合同．设汽车每月行驶xKm ，个体车主的月费用是y 1元，出租车公司的月费用是y 2元， y 1、y 2分别与x 之间的函数关系图像，如图，观察图像并回答下列问题； （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租用公司的车更省钱？ （2）每月行驶的路程在什么范围内时，租两家的车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程在2300Km ，那么这个单位租哪家的车比较合算？2 O 4 2 3l 1y (万元) x l 2· y （元）y 2y 1kmO 1000150030003000例3.某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨, 该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C、D 两县运化肥到A、B两县的运出发地C D运费目的地A 35 40B 30 45(1) 设C县运到A县的化肥为x吨,求总费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(2) 求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.例4. 如图，在边长为2的正方形ABCD的一边BC上，一点P从B点运动到C点，设BP ＝x，四边形APCD的面积为y.⑴写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围；⑵说明是否存在点P，使四边形APCD的面积为1.5？反比例函数的实际应用例1．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa) 是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其图像如图所示。
(1)求p 与S 之间的函数关系式；(2)求当S=0.5m 2时,物体承受的压强p 。
中考复习之函数、方程、不等式综合应用专题(doc 22页)
中考复习之函数、方程、不等式综合应用专题(doc 22页)变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。
两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。
三、考点精讲考点一：函数与方程（组）综合应用例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x 轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x ＝2时，y ＝0，∴关于x 的方程2x +b ＝0的解是x ＝2。
【解答】2【评注】本题考察的灵活运用所学的一次函数知识解决问题的能力，方法可以不同，但直接把函数转化为方程，理解它们之间的对应关系，无需求b 值，就会加快解题速度。
例2．（2010青海）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【分析】（1）根据利润的等量关系，列出方程，再根据题意，舍掉x 1（2）代入-=x a b 2即可【解答】解：（1）设每千克应涨价x 元，列方程得：(5+x)(200－x)=1500解得：x 1=10 x 2=5 因为顾客要得到实惠，5＜10所以 x=5答：每千克应涨价5元．（2）设商场每天获得的利润为y 元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x 2+150x －500当x=5.7)10(21502=-⨯-=-a b 时,y 有最大值. 因此，这种水果每千克涨价7.5元时，能使商场获利最多【评注】（1）中列方程解应用题关键是找出相等关系, 根据实际情况，解答的取舍很关键，这是个易错点（2）中二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的最值即可解题．考点二：函数与不等式（组）综合应用 例1．（2010江苏镇江）深化理解对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x >即：当n 为非负整数时，如果11,22nx n ≤<则<x >＝n如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝ （π为圆周率）； ②如果<2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为 ；（2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时；②举例说明><+>>=<+<y x y x 不恒成立；（3）求满足43x x 的所有非负实数x 的值；（4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x 2－x ＋14的自变量x 在n ≤x ≤n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ；满足k n 的所有整数k 的个数记为b .求证：a ＝b ＝2n .【分析】(1)第一空：π≈3，所以填3；第二空：根据题中的定义得3-12≤2x －1＜3+12，解这个不等式组，可求得x 的取值范围；（2）根据定义进行证明和举反例；（3）用图象法解，可设y ＝<x >，y ＝43x ，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x 的值．（4）根据在12＜n ≤x ≤n ＋1范围内y 随x 的增大而增大，所以可得出y 的取值范围，从而求出y 的整数解的个数，同样地由定义得，1122n k n ，把此式两边平方可得2211()(),22n k n k 与y 的取值范围一致．所以a ＝b.【解答】（1）①3；②x 79≤<44 2211()(),22n k n（2）①证明：[法一]设<x >＝n ，则n －12≤x ＜n ＋12，n 为非负整数；又(n ＋m )－12≤x ＋m ＜(n ＋m )＋12，且m ＋n 为非负整数，∴<x ＋m >＝n ＋m ＝m ＋<x >[法二]设x ＝k ＋b ，k 为x 的整数部分，b 为其小数部分1）当0≤b ＜0.5时，<x >＝km ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分<x ＋m >＝m ＋k∴<x ＋m >＝m ＋<x >2）当b ≥0.5时，<x >＝k ＋1则m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分<x ＋m >＝m ＋k ＋1∴<x ＋m >＝m ＋<x >综上所述：<x ＋m >＝m ＋<x >②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>，∴<x >＋<y >＝ <x ＋y >不一定成立．（3）[法一]作x y x y 34,=>=<的图象，如图 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）y＝<x>的图象与y＝43x图象交于点(0，0)、3(,1)4、3(,2)2∴x＝0，33,42[法二]∵x≥0，43x为整数，设43x＝k，k为整数则x＝34k，∴＜34k＞＝k，∴131,0242k k k k-≤<+≥∵0≤k≤2，∴k＝0，1，2 ∴x＝0，33,42（4）∵函数y＝x2－x＋14＝(x－12)2，n为整数，当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，∴(n－12)2≤y＜(n＋1－12)2即(n－12)2≤y＜(n＋－0.5 O 0.5y32.521.5112)2， ①∴n 2－n ＋14≤y ＜n 2 ＋n ＋14，∵y 为整数 ∴y ＝ n 2－n ＋1，n 2－n ＋2，n 2－n ＋3，…，n 2－n ＋2n ，共2n 个y .∴a ＝2n ② （8分） 则,)21()21(,212122+<≤-∴+<≤-n k n n k n ③比较①，②，③得：a ＝b ＝2n【评注】这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，学生要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要．就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练，还有二次函数式的变形能力也要求较高．例2．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价y 1（万元）之间满足关系式y 1=170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．y 2与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）用待定系数法，根据图形容易求解；（2）根据题意列不等式组，可求得月产量x 的范围；（3）利用利润=总售价-总成本，根据二次函数的性质求解.【解答】解：（1）y 2=500+30x.（2）依题意得：⎩⎨⎧≥-≤+.902170,5030500x x x解得：25≤x ≤40（3）∵W =xy 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x -500,∴W=-2(x-35)2+1950.而25<35<40, ∴当x=35时，1950W.最大即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．【评注】本题是一次函数、二次函数的综合运用的最优方案设计问题，是中考的热点题型，也是代数知识部分的核心知识.考点三：方程（组）与不等式（组）综合应用例1．（2010四川内江）已知非负数a，b，c满足条件a＋b＝7，c－a＝5，设S＝a＋b＋c 的最大值为m，最小值为n，则m－n ＝.【分析】把a＋b＝7和c－a＝5两式相加，即可得b＋c＝12，所以S＝a＋b＋c＝a＋12，故确定S的最大值和最小值的关键就是确实a的取值范围.由a＋b＝7得b＝7－a，根据a≥0，b≥0,有7－a≥0，所以0≤a≤7；由c－a＝5，得c＝5＋a，因为c≥0，所以5＋a≥0，即a≥－5，由于a≥0，所以一定有a≥－5，所以0≤a≤7，所以m＝7＋12＝19，n＝0＋12＝12，从而m－n＝7－0＝7.【解答】7【评注】代数式的最值问题是中学数学中比较常见的问题，这类问题解法多样，灵活性较强，常用的方法有：配方法、计算法、消元法、构造法、换元法、利用基本不等式法，等等.例2．（2010福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于l OO元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【分析】利用购买3个书包和2本词典的总价及二者单价间的关系可用一元一次方程求出书包和词典的单价；而在（2）中，根据购买书包和词典的价格范围列一元一次不等式组求出书包的范围，再根据书包的取值为正整数求出方案．【解答】（1）解：设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x －8)元．根据题意得： 3 x +2(x －8)＝124解得：x ＝28．∴ x －8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．（2）解：设昀买书包y 个，则购买词典(40－y )本．根据题意得：1000[232040]1001000[282040]120y y y y -+-⎧⎨-+-⎩（），（）．≥≤解得：10≤y≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12． 所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．【评注】利用一元一次方程（或二元一次方程组）与一元一不等式组结合来设计方案问题是中考的热点．解答这类问题关键是根据题意列出不等关系，再根据实际问题求出不等式（或组）的整数解来确定方案考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用例1．（2010湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。
方程不等式及函数的应用题
方程不等式及函数的应用题1．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？2．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？3．下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．用水量单价x≤22a剩余部分a+1.1（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？4．小明想从“天猫”某网店购买计算器，经査询，某品牌A号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？5．小明从今年1月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加，而且增加的距离相同．2月份，5月份他的跳远成绩分别为4.1m，4.7m．请你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离．6．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？7．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？8．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．9．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．10．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．11．大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．（1）求面料和里料的单价；（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）①进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP 客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．12．甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问：甲、乙每小时各做多少面彩旗？13．某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需要时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m的值是多少？14．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？15．某中学要进行理、化实验加试，需用九年级两个班级的学生整理实验器材．已知一班单独整理需要30分钟完成．（1）如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成任务，求二班单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）如果一、二的工作效率不变，先由二班单独整理，时间不超过20分钟，剩余工作再由一班独立完成，那么整理完这批器材一班至少还需要多少分钟？16．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．17．小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；（2）当8≤x≤15时，求y与x之间的函数关系式．18．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是千米/时，t=小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．19．已知A，B两地相距200千米，一辆汽车以每小时60千米的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后不再行驶，设汽车行驶的时间为x小时，汽车与B地的距离为y千米．（1）求y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围；（2）当汽车行驶了2小时时，求汽车距B地有多少千米？20．某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？。
中考数学总复习专题训练--方程、不等式、函数的实际应用
中考数学总复习专题训练--方程、不等式、函数的实际应用“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？【答案】（1）甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元；（2）2.某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格.（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg，现用两种原料生产处,A B两种产品共30件，已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获得700元；生产每件B产品甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利润900元，设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产,A B两种产品的方案有哪几种？（2）设生产这30件产品可获利y元，写出关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润.某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价位6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件.⑴第24天的日销售量是件，日销售利润是元；⑵求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；⑶日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟.若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图．请结合图象，解答下列问题：（1）a=；b=；m=；（2）若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在图中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围．一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5小时，轿车比卡车每小时多行驶60千米，两车到达甲城后均停止行驶．两车之间的路程y(千米)与轿车行驶时间t(小时)的函数图象如图所示．请结合图象提供的信息解答下列问题：（1）请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；（2）求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点D的坐标；（3）请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程s(千米)与轿车行驶时间t(小时)之间的函数关系式．(不要求写出自变量的取值范围)为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有,A B两种型号的健身器可供选择.（1）劲松公司2015年每套A型健身器的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器年平均下降率n；（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司,A B 两种型号的健身器材共80套，采购专项费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A 型健身器售价为1.6万元，每套B 型健身器售价我()1.51n - 万元. ①A 型健身器最多可购买多少套？②安装完成后，若每套A 型和B 型健身器一年的养护费分别是购买价的005 和0015 .市政府计划支出10 万元进行养护.问该计划支出能否满足一年的养护需要？某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等.⑴排球和足球的单价各是多少元？⑵若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
方程、不等式的实际应用问题
方程和不等式在实际应用中广泛用于解决各种问题。
以下是一些实际应用问题的示例，涉及方程和不等式的解决：1. 费用问题（线性方程）：问题：一家公司生产一种产品，每个产品的生产成本为100美元，销售价格为150美元。
公司希望知道需要卖多少个产品，才能达到盈亏平衡。
解决方法：设销售的产品数量为x，那么公司的总成本为100x美元，总收入为150x美元。
要实现盈亏平衡，总成本应等于总收入，即100x = 150x。
解这个线性方程可以得到x的值，即需要卖多少个产品才能盈亏平衡。
2. 距离、时间、速度问题（一元一次方程）：问题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，开了3小时后，它离起点多远？解决方法：使用速度=距离/时间的公式，我们可以得到距离=速度×时间。
将速度60公里/小时和时间3小时代入方程，计算出距离=60公里/小时×3小时= 180公里。
3. 增长与衰减问题（指数方程）：问题：一种细菌在每小时分裂成两倍，如果开始有100个细菌，多少小时后会有1000个细菌？解决方法：设t小时后有x个细菌，我们可以建立指数方程2^t = x，其中2表示细菌数量翻倍的速度。
解这个方程，我们可以得到t的值，即多少小时后会有1000个细菌。
4. 成本效益问题（不等式）：问题：一家工厂可以生产两种产品A和B，产品A的生产成本为5美元，产品B的生产成本为8美元。
如果工厂每天最多能生产100个产品，且希望最小化生产成本，应该生产多少个产品A和产品B？解决方法：设产品A的数量为x，产品B的数量为y。
我们可以建立以下不等式：5x + 8y ≤100（生产成本不超过100美元）x ≥0（产品A数量为非负数）y ≥0（产品B数量为非负数）通过解这组不等式，可以确定应该生产多少个产品A和产品B，以实现最小化生产成本的目标。
这些示例展示了方程和不等式在各种实际应用中的用途，从财务决策到物理问题和生产规划等。
方程和不等式是解决复杂问题的有力工具，可以用来优化决策、解决工程问题和预测趋势。
专题7-以方程、不等式、函数为主的代数应用性问题
代数应用性问题题型1 ：方程（组）与不等式（组）的实际应用模拟题六1.荆州市在创建国家级绿化模范城市中，绿化档次不断提升，某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查；购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元，购买A 种树木3棵，B种树木1棵，共需380元.（1）求A种、B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，学校与中标公司签订的合同中规定，在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按照市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.学在荆州P942.某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？题型2：方程与一次函数、二次函数的实际应用模拟题五3.荆州市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工厂，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y 只，y与x 满足如下关系：；(1)李红第几天生产的粽子数量为260只？(2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大利润是多少元（利润=出厂价﹣成本）模拟题四4.红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y1（万千克）与销售价格x（元／千克）(2≤x≤10)满足函数关系式y1 =0.5x+11，经市场调查发现：该食品市场需求量y2（万千克）与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)的关系如图所示，当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁.（1）求y2与x的函数关系式；（2）当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?（3）若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元)与销售价格x（元／千克）(2≤x≤10)之间的函数关系式．题型3：不等式（组）与一次函数、二次函数的实际应用模拟题一5. 为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．采购数量（件） 1 2 …A产品单价（元/件）1480 1460 …B产品单价（元/件）1290 1280 …（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案?（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．学在荆州P946.某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5(1) 若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式(2) 分别求出产销两种产品的最大年利润(3) 为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由. 模拟题七7.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一份物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示，快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示，按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品X千克.（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x （千克）之间的函数关系式；（2）小明应选择哪家快递公司更省钱？模拟题二8. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元. 根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.（1）试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元. 如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？题型4：一次函数、二次函数的实际应用模拟题三9.市某公司开发一种新型电子产品，现投资40万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量 y1 (万台）与本地的广告费用x（万元）之间的函数关系满足（万元）之间的函数关系满足；该电子产品的外地销量y2（万台）与外地广告费用t（万元）的关系可用如图所示的抛物线和线段AB表示．其中A为抛物线的顶点．（1）写出该电子产品的外地销量y2（万台）与外地广告费t（万元）的函数关系式；（2）求该电子产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式（其中y=y1+y2）（3）如何安排广告费才能使销售总量最大？10.九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．。
函数、方程、不等式应用问题专题
函数、方程、不等式应用问题专题数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型. 高考对应用题的考查已逐步趋于稳定，大体是两道选择填空题和一道解答题.解答这类问题的关键是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型。
在解题的过程中要涉及多方面的知识，常常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度可大可小，方法灵活，且具有一定的弹性. 在复习时应引起重视。
1、解应用题的一般思路在实际应用题中用到的有些概念和它的背景对学生来说，可能是全新的，就要对有关概念和背景事实作些必要的说明和阐释，导致文字繁多，叙述冗长.因此解应用题时，首先必须弄清每一个名词、概念，分析每一个已知条件和要求结论的数学意义，进而把实际问题抽象成数学问题，也就是从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括、利用数学知识建立相应的数学模型。
再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其一般思路可表示如下：2、解应用题的一般步骤第一步，阅读理解，认真审题.就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.在此基础上，分析出已知什么，求什么，都涉及哪些知识.审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敢于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化—— 是解题入门的第一关。
第二步，根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识，物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型——是关键的一关。
第三步，求解数学模型，得到数学结论。
解数学模型应注意两点：第一，充分注意到这个数学问题中元素的实际意义。
第二，注意巧思妙作，简化过程。
第四步，将所得到的数学结论，再转译成具体问题并检验作答.一、选择题1、某债券市场发行的三种债券：A种面值100元，一年到期本利共获103元。
方程不等式与一次函数专题(实际应用)
方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用）题型一：方程、不等式的直接应用典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．．每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资为b 元． （1）求a ，b 的值；（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？配套练习：3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.4、（2009，济南）自20XX 年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=⨯利润成本）题型二：方案设计典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。
方程、不等式、函数的实际应用题
题型专项（八）方程、不等式、函数的实际应用题本专题主要是对方程（组）应用和利用不等式以及函数进行方案设计的巩固和深化•解决这类题型时，我们需要认真审题，根据实际问题找出题目的已知条件并设出相应的未知数，充分利用“倍数”“是” “比” “多” “少” “共”等关键词找出等量关系，列出方程或函数关系式，利用“不超过”“不低于” “不少于”等关键词找出不等关系，利用函数的性质进行方案决策，把实际问题转化为数学问题进行解答.类型1方程的实际应用题1. （2016 •云南模拟）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米.求甲、乙两车的速度.解：设乙车速度为x千米/时，甲车速度为（x + 20）千米/时.根据题意，得23（x + x+ 20）= 128.解得x= 86.3则x + 20= 86 + 20 = 106.答：甲车速度为106千米/时，乙车速度为86千米/时.2 . （2016 •自贡）某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品.若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元.问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？解：设购买一支钢笔需x元，一本笔记本需y元.根据题意，得2x+ 3y=牡解得x= 16，5x + y = 90. |y = 10.答：购买一支钢笔需16元，一本笔记本需10元.类型2函数的实际应用题3. （2015 •宁德）宁德一中代表队荣获“中国谜语大会”金奖后，某校也准备举行“谜语”竞赛，规定每位参赛者需完成20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分.（1）设某位参赛者答对x题，得分为y分，求y与x之间的函数关系式；（2）已知学校规定竞赛成绩超过90分为一等奖.若小辉参加本次比赛，他想获得一等奖，则他至少要答对多少道题？解：（1）y = 10x —5（20 —x）= 15x —100（0 < x < 20）.38（2）由题意，得15x —100> 90.解得x> y.•/ x取最小整数.••• x= 13.答：他至少要答对13道题.4. （2016 •连云港）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数解析式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L ?为什么？解：（1）当0< x w 3时，设线段AB对应的函数表达式为y = kx + b.b = 10,把A(0 , 10)、B(3 , 4)代入得弋3k + b = 4.••• y =— 2x + 10. 当x>3时，设y = m ,X , 八「口 m 把B(3 , 4)代入得3= 4,—2x + 10 ( 0< x w 3),综上所述：y = 12(x>3).x12(2) 能.令 y = — = 1，则 x = 12<15.x•••该企业所排污水中硫化物的浓度能在 15天内达标.5. (2016 •云南模拟)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1 w x w 90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件 30元，设销售该商品的每天利润为 y 元.(1) 求出y 与x 的函数关系式；(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解：(1)当 1 w X V 50 时，y = (200 — 2x)(x + 40 — 30) = — 2x + 180x + 2 000. 当 50w x w 90 时，y = (200 — 2x)(90 — 30) =— 120x + 12 000.f2—2x + 180x + 2 000 (1w x<50), 综上所述：y =*—120x + 12 000 (50w x w 90).(2)当1w x V 50时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线 x = 45, 当 x = 45 时，y 最大=—2X 45 + 180X 45 + 2 000 = 6 050. 当50w x w 90时，y 随x 的增大而减小， 当x = 50时，y 最大=6 000.综上所述，销售该商品第 45天时，当天销售利润最大，最大利润是 6 050元.类型3方案设计题 6. (2016 •昆明模拟)某小区为了绿化环境，计划分两次购进 A 、B 两种花草，第一次分别购进 A B 两种花草30棵 和15棵，共花费675元；第二次分别购进 A 、B 两种花草12棵和5棵，共花费265元(两次购进的A 、B 两种花草 价格均分别相同).(1) A 、B 两种花草每棵的价格分别是多少元？(2) 若购买A 、B 两种花草共31棵，且B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的2倍，请你设计出一种费用最省 的方案，并求出该方案所需费用.解：(1)设A 种花草每棵的价格 x 元，B 种花草每棵的价格 y 元.由题意，得 30x + 15y = 675, x= 20,解得<12x + 5y = 265, y = 5.答：A 种花草每棵的价格是 20元，B 种花草每棵的价格是 5元.(2)设A 种花草的数量为 m 棵，则B 种花草的数量为(31 — m)棵，购买树苗总费用为 W 元，解得f=" 2,b = 10.12• m =12. • y =M•/ B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，••• 31 - m < 2m.解得 m > —.3■/ m 是正整数，• m 最小值=11.W= 20mi ^ 5（31 — m ）= 15mi ^ 155. •/ k > 0,「. W 随 x 的减小而减小.当 m = 11 时，W 最小值=15 X 11 + 155 = 320（元）.答：购进 A B 两种花草的数量为11棵、20棵，费用最省，最省费用是320元.7. （2015 •昆明模拟）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买 A, B 两种型号的污水处理设备共 10台.已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用 75万元购买B 型号的污水 处理设备的台数相同， 每台设备价格及月处理污水量如下表所示：（1） 求m 的值； （2） 由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数.经检验，m = 18是所列方程的解.（2）设购买A 型号的污水处理设备 x 台，则购买B 型号的污水处理设备为（10 — x ）台•依题意可得 18x + 15（10 — x ） < 165.解得 x w 5.••• x 为非负整数，• x 取 0, 1, 2, 3, 4, 5. •共有6种购买方案.设某种方案每月能处理的污水量为w 吨，则w = 220x + 180（10 — x ） = 40x + 1 800. 由一次函数的性质可知， w 随x 的增大而增大， •••当 x = 5, 血多=40 X 5 + 1 800 = 2 000. 即购买A 型号、B 型号的污水处理设备分别为5台、5台时，月处理的污水量最多为2 000吨.---------------- C CC裸后备考崇训 -----------1 . （2016 •大庆）某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工 20%结果提前10天完成任务，原计划每天能加工多少个零件？解：设原计划每天能加工 x 个零件，根据题意，得 360 360=10.解得 x = 6.x1.2x经检验，x = 6是原方程的解，且符合题意. 答：原计划每天能加工 6个零件.2 •某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如下表所示:注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球. 根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中 2分球和3分球各几个.解：设本场比赛中该运动员投中 2分球x 个，3分球y 个.根据题意，得10 + 2x + 3y = 60,x = 16,解: （1）根据题意，得90 m 民.解得m = 18.m- 3\ 解得Ix + y= 22. y = 6.答：本场比赛中该运动员投中 2分球16个，3分球6个.15,3 •昆明市某学校为创建书香校园，去年购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多 4元，用12 000元购进的科普书与用 8 000元购进的文学书本数相同，今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算 用10 000元再购进一批文学书和科普书•问：(1) 科普书和文学书的 单价各是多少元？(2) 若购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？解：(1)设文学书的单价为x 元，则科普书的单价为(x + 4)元•根据题意，得经检验，x = 8是所列方程的解. x + 4 = 12.答：科普书和文学书的单价各是 12元，8元. 2(2)(10 000 - 550X 8) - 12= 466尹 466(本). 答：至多还能购进 466本科普书.4. (2016 •曲靖模拟)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1 500万元，到2014年盈利2 160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同.(1) 求该公司盈利的年增长率；(2) 若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2016年盈利多少万元？解：(1)设该公司每年盈利的年增长率是 x.根据题意，得 1 500(1 + x) = 2 160 , 解得X 1 = 0.2 , X 2= — 2.2(不合题意，舍去). 答：每年盈利的年增长率是20%.2(2)2 160(1 + 0.2) = 3 110.4(万元). 答：预计2016年盈利3 110.4万元.5•某农业观 光园计划将一块面积为 900 m 2的园圃分成 A , B, C 三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平 方米栽种甲3株或乙6株或丙12株•已知B 区域面积是A 的2倍，设A 区域面积为x(m 2).(1) 求该园圃栽种的花卉总株数y 关于x 的函数表达式；(2) 若三种花卉共栽种 6 600株，则A , B , C 三个区域的面积分别是多少？(3) 已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在⑵ 的前提下，全部栽种共需84 000 元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价.解：(1)y = 3x + 12x + 12(900 - 3x)， 即 y =- 21x + 10 800.(2) 当 y = 6 600 时，—21x + 10 800 = 6 600. 解得x = 200.2x = 400， 900 — 3x = 300.答：A 区域的面积是200 m 2，B 区域的面积是400 m 2，C 区域的面积是300 m 2. (3) 种植面积最大的花卉总价为36 000元.6. (2016 •深圳)荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费 90元；后又购买了 1千克桂味和2千克糯米糍，共花费 55元.(每次两种荔枝的售价都不变)(1) 求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；(2) 如果还需购买两种荔枝共 12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所 需总费用最低.解：(1)设桂味售价为每千克 x 元，糯米糍售价为每千克 y 元.由题意，得2x + 3y = 90， x + 2y = 55，答：桂味售价为每千克 15元，糯米糍售价为每千克 20元.12 000 x + 48 000x .解得x = 8. y = 20.(2)设购买桂味t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍(12 — t)千克. •••12 — t > 2t. ••• t W 4.W= 15t + 20(12 — t) =— 5t + 240.k =— 5v 0,• W 随 t 的增大而减小. .•.当 t = 4 时，W = 220. 答：购买桂味4千克，糯米糍8千克时，总费用最 少.7. (2016 •十堰)一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是 80元/kg ，销售单价不低于 120元/kg.且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据：设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系.(1)直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围；⑵当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由表格可知：销售单价每涨 10元，就少销售5 kg , • y 与x 是一次函数关系.• y 与 x 的函数关系式为 y = 100 — 0.5(x — 120) =— 0.5x + 160.T 销售单价不低于 120元/kg ，且不高于180元/kg ,•自变量x 的取值范围为120W x W 180.1 2 1 2⑵设销售利润为 w 元，贝y w = (x — 80)( — 0.5x + 160)=—歹 + 200x — 12 800 = — ^(x — 200) + 7 200. • a = —0,答：当销售单价为180元时，销售利润最大, w = — 2(180 — 2 00)2+ 7 200 = 7 000(元). 最大利润是7 000元.•••当 X V 200 时, y 随x 的增大而增大.•••当 x = 180 时, 销售利润最大，最大利润是。
函数、方程、不等式综合应用专题
考点一：函数与方程（组）综合应用例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b＝0的解是x＝______例2．（2010青海）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？考点二：函数与不等式（组）综合应用例2．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？例2．（2010福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于l OO元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用例1．（2010湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。
由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。
题型专项方程、不等式、函数的实际应用题
题型专项(七) 方程、不等式、函数的实际应用题(黄石中考第23题)类型1 方程、不等式的实际应用1．(黄石2014T 23)某校九(3)班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和熏衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．(假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等)种植户 玫瑰花种 植面积(亩)熏衣草种 植面积(亩)卖花总 收入(元) 甲 5 3 33 500 乙3743 500(1)试求玫瑰花、熏衣草每亩卖花的平均收入各是多少？(2)甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和熏衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于熏衣草的种植面积(两种花卉的种植面积均为整数亩)，花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127 500元，则他们有几种种植方案？解：(1)设玫瑰花、熏衣草的亩平均收入分别为x ，y 元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝33 500，3x ＋7y ＝43 500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 000，y ＝4 500. 答：玫瑰花每亩的收入为4 000元，熏衣草每亩的平均收入是4 500元． (2)设种植玫瑰花m 亩，则种植熏衣草面积为(30－m)亩，依题意，得 m ＞30－m.解得m ＞15.当15＜m≤20时，总收入w ＝4 000m ＋4 500(30－m)＋15×100＋(m －15)×200≥127 500，解得15＜m≤20； 当m ＞20时，总收入w ＝4 000m ＋4 500(30－m)＋15×100＋5×200＋(m －20)×300≥12 7500，解得m≤20(不合题意)．综上所述，种植方案如下：种植类型 种植面积(亩)方案一 方案二 方案三 方案四 方案五 玫瑰花 16 17 18 19 20 熏衣草14131211101．(2016·长沙)2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝31，5x ＋6y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5. 答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨．(2)设该渣土运输公司派出小型号的渣土运输车m 辆，则派出大型号的渣土运输车为(20－m)辆．由题意，得5m ＋8(20－m)≥148.解得m≤4.∵小型渣土车至少派出2辆，∴m ≥2. ∴2≤m ≤4. ∵m 为正整数，∴m 取2，3，4.故有三种派车方案，第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆； 第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆； 第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．2．以“月季，城市因你而美丽”为主题的2016南阳月季展，将于本月底开幕．南阳月季博览园(主会场)出售的门票分为成人票和儿童票．购买3张成人票和2张儿童票共需40元，购买2张成人票和3张儿童票共需35元．(1)求成人票和儿童票的单价；(2)花展期间，若干家庭结伴到博览园游玩，成人与儿童共20人，售票处规定：一次性购票数量超过19张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售．请你帮助他们选择花费最少的购票方式．解：(1)设成人票的单价为x 元，儿童票的单价为y 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝40，2x ＋3y ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝5， 答：成人票的单价为10元，儿童票的单价为5元． (2)当购买团体票20张时，需要20×10×＝160(元)； 设20人中有儿童a 人，则成人(20－a)人，根据题意可得 5a ＋10(20－a)≤160， 解得a≥8，即儿童人数大于8时，单独购票，当儿童人数少于8人团体购票，当儿童人数为8人，两种方式都可以．类型2 一次函数的实际应用1．(黄石2013T 23)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y 1千米，出租车离甲地的距离为y 2千米，两车行驶的时间为x 小时，y 1，y 2关于x 的函数图象如图所示：(1)根据图象，直接写出y 1，y 2关于x 的函数关系式；(2)若两车之间的距离为s 千米，请写出s 关于x 的函数关系式；(3)甲、乙两地间有A ，B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝60x （0≤x≤10），y 2＝－100x ＋600（0≤x≤6）.(2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧－160x ＋600（0≤x≤154），160x －600（154<x≤6），60x （6<x≤10）.(3)由题意，得s ＝200.①当0≤x≤154时，－160x ＋600＝200，∴x ＝52.∴y 1＝60x ＝150(km )，即A 加油站离甲地的距离为150 km ； ②当154<x≤6时，160x －600＝200，∴x ＝5.∴y 1＝60x ＝300(km )，即A 加油站离甲地的距离为300 km ； ③当6<x≤10时，60x>360(舍)．综上所述，A 加油站离甲地的距离为150 km 或300 km .1．(2016·深圳)荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．(每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；(2)如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．解：(1)设桂味售价为每千克x 元，糯米磁售价为每千克y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝90，x ＋2y ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝20. 答：桂味售价为每千克15元，糯米味售价为每千克20元．(2)设购买桂味t 千克，总费用为w 元，则购买糯米磁(12－t)千克， ∴12－t≥2t.∴t≤4.w ＝15t ＋20(12－t)＝－5t ＋240.∵k ＝－5＜0，∴w 随t 的增大而减小． ∴当t ＝4时，w min ＝220(元)．答：购买桂味4千克，糯米磁8千克时，总费用最少．2．(2016·大庆)由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y 1(万m 3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l 1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y 2(万m 3)与时间x(天)的关系如图中线段l 2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y 1(万m 3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x ＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m 3)与时间x(天)的函数关系式(注明x 的范围)，若总蓄水量不多于900万m 3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x 的范围．解：(1)设y 1＝kx ＋b ，把(0，1 200)和(60，0)代入到y 1＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1 200，60k ＋b ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝1 200. ∴y 1＝－20x ＋1 200.当x ＝20时，y 1＝－20×20＋1 200＝800. (2)设y 2＝k 1x ＋b 1，把(20，0)和(60，1 000)代入到y 2＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧20k 1＋b 1＝0，60k 1＋b 1＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝25，b 1＝－500. ∴y 2＝25x －500.当0≤x≤20时，y ＝－20x ＋1 200；当20＜x≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1 200＋25x －500＝5x ＋700. y ≤900，则5x ＋700≤900，解得x≤40.当y 1＝900时，900＝－20x ＋1 200，解得x ＝15. ∴发生严重干旱时x 的范围为15≤x≤40.3．(2016·武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如下表：产品 每件售 价(万元)每件成 本(万元)每年其他 费用(万元)每年最大 产销量(件)甲 6 a 20 200 乙201040＋80其中(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 1万元、y 2万元，直接写出y 1，y 2与x 的函数关系式； (2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 解：(1)y 1＝(6－a)x －20(0＜x≤200)， y 2＝－＋10x －40(0＜x≤80)；(2)甲产品：∵3≤a≤5，∴6－a ＞0，∴y 1随x 的增大而增大． ∴当x ＝200时，y 1max ＝1 180－200a(3≤a≤5)． 乙产品：y 2＝－＋10x －40(0＜x≤80)， ∴当0＜x≤80时，y 2随x 的增大而增大． 当x ＝80时，y 2max ＝440(万元)．∴产销甲种产品的最大年利润为(1 180－200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元． (3)1 180－200a ＞440，解得3≤a＜时，此时选择甲产品； 1 180－200a ＝440，解得a ＝时，此时选择甲乙产品； 1 180－200a ＜440，解得＜a ≤5时，此时选择乙产品． ∴当3≤a＜时，生产甲产品的利润高； 当a ＝时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当＜a≤5时，生产乙产品的利润高．类型3 二次函数的实际应用1．(2015黄石T 23)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60＋x(元/件)(x ＞0即售价上涨，x ＜0即售价下降)，每月饰品销量为y(件)，月利润为w(元)．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； (3)为了使每月利润不少于6 000元应如何控制销售价格？解：(1)由题意，可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧300－10x （0≤x≤30）300－20x （－20≤x<0）；(2)由题意，可得w ＝⎩⎪⎨⎪⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x≤30），（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x<0）， 化简，得w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋100x ＋6 000（0≤x≤30），－20x 2－100x ＋6 000（－20≤x<0）， 即w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10（x －5）2＋6 250（0≤x≤30），－20（x ＋52）2＋6 125（－20≤x<0）. 由题意可知x 应取整数，故当x ＝－2或x ＝－3时，w ＜6 125＜6 250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6 250元． (3)由题意w≥6 000，如图，令w ＝6 000，即6 000＝－10(x －5)2＋6 250，6 000＝－20(x ＋52)2＋6 125，解得x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10.∴当w≥6 000时，－5≤x≤10.故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6 000元．1．(2016·大冶模拟)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1， ∵y ＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－，b 1＝60. ∴这个一次函数的表达式为y ＝－＋60(0≤x≤90)． (3)设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，∵经过点(0，120)与(130，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝120，130k ＋b ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－.b ＝120. ∴这个一次函数的表达式为y ＝－＋120(0≤x≤130)． 设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当0≤x≤90时，W ＝x[(－＋120)－(－＋60)]＝－(x －75)2＋2 250， ∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250；当90≤x≤130时，W ＝x[(－＋120)－42]＝－(x －65)2＋2 535，∴当x ＝90时，W ＝－(90－65)2＋2 535＝2 160，由－＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2 160， 因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大值为2 250元．2．(2016·黔东南)凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价×(18－10)＝(元)，因此所买的18只计算器都按每只元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？(2)求出该文具店一次销售x(x>10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因，当10<x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？解：(1)设一次购买x 只， 则20－(x －10)＝16， 解得x ＝50.答：一次至少买50只，才能以最低价购买． (2)当10<x≤50时，y ＝[20－(x －10)－12]x ＝－＋9x ， 当x>50时，y ＝(16－12)x ＝4x ；综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－＋9x （10<x≤50），4x （x>50）.(3)y ＝－＋9x ＝(x －45)2＋，①当10<x≤45时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大． ②当45<x≤50时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当x ＝46时，y 1＝， 当x ＝50时，y 2＝200. y 1>y 2.即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x ＝45时，最低售价为20－(45－10)＝(元)，此时利润最大． 3．(2015·黄石模拟)某店因为经营不善欠下38 400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30 000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其他费用为106元(不包含债务)．(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡(收人＝支出)，求该店员工的人数；(3)若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋140（40≤x≤58），－x ＋82（58<x≤71）.(2)设员工人数为n ，依题意，可得(48－40)·(－2×48＋140)－(106＋82n)＝0，352－106－82n ＝0，解得n ＝3. (3)设每天的利润为w ，依题意，有w ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －40）（－2x ＋140）－270（40≤x≤58），（x －40）（－x ＋82）－270（58<x≤71）. 整理为w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －55）2＋180（40≤x≤58），－（x －61）2＋171（58<x≤71）. 设该店最早需要m 天能还清所有债务，则有①m ＝68 400w ＝68 400－2（x －55）2＋180≥68 400180＝380(当x ＝55时取等号)； ②m ＝68 400w ＝68 400－（x －61）2＋171≥68 400171＝400.(当x ＝61时取等号) 所以该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．。
七年级方程不等式与实际应用拓展(最新)
方程、不等式与实际应用拓展例1 （1）如果21==x y ｛是方程组57=+=+cy bx by ax ｛的解，则a 与c 的关系式是？例2 解方程组7132=+-=-y x y x ｛例3 已知方程()0524322=-+++-y x y x 与方程组4312=-=+ay bx ay bx ｛有共同的解，求b a ,得值？例4 关于y x ,的方程组④③②①9)210(5108)8(965543-=++=---=+-=+y n m x y x m n y x y x 有解，求22n m +的值是多少？例5 已知关于y x ,的二元一次方程025)2()1(=-+++-a y a x a ，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求处这个公共解；能力训练1、若072,0634=-+=--z y x z y x )0(≠xyz ，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值是多少？2、关于z y x ,,的方程组cz y x b z y x az y x =-+=+-=++，求方程组的解；3、若方程组8442=+=+y x m y x ｛的解都是正整数，求m 的值；4、已知方程组102463361102361463-=+=+y x y x ｛的解是px q y ==｛，方程组321399113534113543=-+=++=++z y x z y x z y x 的解是tz n y mx ===，求))((t n m q p +--的值；5、已知方程组1622420-=+-=+by ax y cx ｛的解是810=-=x y ｛，小兜解题时把c 抄错了，因此得到的解是1213=-=x y ｛，则222c b a ++的值是多少？6、关于y x ,的二元一次方程052)1()3-2(=-+-+a y a x a ，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解，并说明对任何a 的值，它都能使方程成立；7、已知对任意有理数b a ,，关于y x ,的二元一次方程b a y b a x b a +=+--)()(有一组公共解，求这个方程的公共解；8，解方程组②①｛）（24)19(55321417)532(21)19(19=-++=+--x y y x例1 已知b a ,为有理数，不等式043)2( b a x b a -+-的解是94x ，求不等式032)4( b a x b a -+-的解集；例2 若正数c b a ,,满足不等式组b c a b a c b a c b a c 41125,3523,2611 +++，试比较c b a ,,的大小关系；例3 ①求不等式321≤-+-x x ，求x 的取值范围；②如果关于x 的不等式组0706≥--m x n x ｛的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对公有多少对？例4 ①若方程组4262=-=+ky x y x ｛的解为0,0 y x ，求k 的取值范围；②已知关于x 的方程为17834-=-x m x ，当m 为某些负整数时，方程的解为负整数，则负整数m 的最大值是多少？例 5 不等式组4252 a x b x +-｛的解集是20 x ，那么b a +的值等于多少？能力训练1、求不等式组4)2(35421≤----x x xx ｛的整数解；2、已知不等式02131 -x 的解均是不等式13 x ax +的解，求a 的值；3、在1kg 盐水中，含盐4%，再加入盐，使它的浓度不小于20%的食盐水，问至少加入多少盐？4、将若干铅笔分给甲、乙两个班级，甲班有一人分到6支，其余的每人都分到13支，乙班有一人分到5支，其余的每人都分到10支，如果分到两个班级的铅笔数目相同，并且大于100而不超过200，那么甲乙两个班各有多少人？5、某地区民政局将全市委四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件；（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区。
专题07 函数、方程与不等式实际应用(原卷版)
专题07 函数、方程与不等式实际应用目录热点题型归纳 (1)题型01 一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值） (1)题型02 一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案） (3)题型03 二元一次方程（组）与不等式的实际应用（最值） (6)题型04 二元一次方程（组）与不等式的实际应用（方案） (8)题型05 分式方程的实际应用 (9)题型06 二次函数的实际应用（最值） (9)题型07 反比例函数的实际应用 (13)中考练场 (16)题型01 一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值）【解题策略】一次函数的最值问题，关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求自变量的取值范围；③根据一次函数的增减性和自变量取值范围，求出最值问题即可。
【典例分析】例.（2023·江苏南通·中考真题）某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价(元/盒)2530销售价(元/盒)3240(1)若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；(2)若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？【变式演练】1．（2023·贵州贵阳·二模）丹寨县的苗族蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店选中A，B两款苗绣蜡染装饰品，其进货价和销售价如表：类别A款B款价格进货价（元/个）7068销售价（元/个）8075，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购进的数量；(2)第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A款进货数量不超过B款进货数量的一半．应如何设计进货方案才能获得最大利润，并求出最大利润．2．（2024·河南·一模）春节期间，A、B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A 超市B 超市优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元超市（填“120元时，选择 超市（填“A ”或“B ”）更省钱；(2)若购物金额为()100200x x ≤<元时，请分别写出A 、B 两超市的实付金额y （元）与购物金额x （元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？(3)对于A 超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%．若在B 超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．3．（2023·河南周口·二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元；购进6副“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元．(1)分别求这两种玩具的单价；(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数量不少于70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？题型02 一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案）【解题策略】根据题意列方程和不等式，根据未知数的取值范围列出几种方案。
查补重难点02 方程、不等式(组)与函数的实际应用(原卷版)
查补重难点02方程、不等式（组）与函数的实际应用考点一：方程（组）、不等式（组）的实际应用方程（组）的应用题以实际问题为背景，一般为生活中常见的分析决策问题，且情境真实、贴近学生生活。
程（组）的应用题考查数学抽象和数学建模以及阅读能力，让学生学会把实际问题转化成数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式等表示数学问题中的数量关系，并设计出适当的解决问题的方案，培养应用意识和模型思想，提高解决实际问题能力。
题型1.一次方程（组）的实际应用列一次方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）。
例1.（2023·江苏连云港·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，驽马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．12240150x x+=B．12240150x x=-C．()24012150x x-=D．()24015012x x=+变式1．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？根据译文，解决下列问题：(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为；(2)求兽、鸟各有多少．变式2．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）例2.（2023·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为.变式1．（2024·江苏无锡·一模）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组（）A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩C．5352x yx y=+⎧⎨=+⎩D．5225x yx y=+⎧⎨+=⎩变式2．（2022·江苏南京·中考真题）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸得箱数．题型2.分式方程的实际应用1.列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。
方程不等式函数应用题(教学知识)
（方程、不等式、函、数应用题精编）1、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9价格y1(元/件) 560580600620640660680700720y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)2、2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？3、张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C )。
题型专项(七)-方程、不等式、函数的实际应用题
题型专项(七) 方程、不等式、函数的实际应用题(黄石中考第23题)类型1 方程、不等式的实际应用1．(黄石2014T 23)某校九(3)班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和熏衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．(假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等)(1)试求玫瑰花、熏衣草每亩卖花的平均收入各是多少？(2)甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和熏衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于熏衣草的种植面积(两种花卉的种植面积均为整数亩)，花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127 500元，则他们有几种种植方案？解：(1)设玫瑰花、熏衣草的亩平均收入分别为x ，y 元，依题意，得⎩⎨⎧5x ＋3y ＝33 500，3x ＋7y ＝43 500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 000，y ＝4 500.答：玫瑰花每亩的收入为4 000元，熏衣草每亩的平均收入是4 500元．(2)设种植玫瑰花m 亩，则种植熏衣草面积为(30－m)亩，依题意，得m ＞30－m.解得m ＞15.当15＜m ≤20时，总收入w ＝4 000m ＋4 500(30－m)＋15×100＋(m －15)×200≥127 500，解得15＜m ≤20； 当m ＞20时，总收入w ＝4 000m ＋4 500(30－m)＋15×100＋5×200＋(m －20)×300≥12 7500，解得m ≤20(不合题意)．综上所述，种植方案如下：1．(2016·长沙)2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨．由题意，得⎩⎨⎧2x ＋3y ＝31，5x ＋6y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5. 答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨．(2)设该渣土运输公司派出小型号的渣土运输车m 辆，则派出大型号的渣土运输车为(20－m)辆．由题意，得5m ＋8(20－m)≥148.解得m ≤4.∵小型渣土车至少派出2辆，∴m ≥2.∴2≤m ≤4. ∵m 为正整数，∴m 取2，3，4.故有三种派车方案，第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆； 第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆； 第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．2．以“月季，城市因你而美丽”为主题的2016南阳月季展，将于本月底开幕．南阳月季博览园(主会场)出售的门票分为成人票和儿童票．购买3张成人票和2张儿童票共需40元，购买2张成人票和3张儿童票共需35元． (1)求成人票和儿童票的单价；(2)花展期间，若干家庭结伴到博览园游玩，成人与儿童共20人，售票处规定：一次性购票数量超过19张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售．请你帮助他们选择花费最少的购票方式．解：(1)设成人票的单价为x 元，儿童票的单价为y 元，根据题意可得⎩⎨⎧3x ＋2y ＝40，2x ＋3y ＝35，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝5， 答：成人票的单价为10元，儿童票的单价为5元． (2)当购买团体票20张时，需要20×10×0.8＝160(元)； 设20人中有儿童a 人，则成人(20－a)人，根据题意可得 5a ＋10(20－a)≤160， 解得a ≥8，即儿童人数大于8时，单独购票，当儿童人数少于8人团体购票，当儿童人数为8人，两种方式都可以．类型2 一次函数的实际应用1．(黄石2013T 23)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y 1千米，出租车离甲地的距离为y 2千米，两车行驶的时间为x 小时，y 1，y 2关于x 的函数图象如图所示：(1)根据图象，直接写出y 1，y 2关于x 的函数关系式；(2)若两车之间的距离为s 千米，请写出s 关于x 的函数关系式；(3)甲、乙两地间有A ，B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝60x （0≤x ≤10），y 2＝－100x ＋600（0≤x ≤6）.(2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧－160x ＋600（0≤x ≤154），160x －600（154<x ≤6），60x （6<x ≤10）.(3)由题意，得s ＝200.①当0≤x ≤154时，－160x ＋600＝200，∴x ＝52.∴y 1＝60x ＝150(km )，即A 加油站离甲地的距离为150 km ； ②当154<x ≤6时，160x －600＝200，∴x ＝5.∴y 1＝60x ＝300(km )，即A 加油站离甲地的距离为300 km ； ③当6<x ≤10时，60x>360(舍)．综上所述，A 加油站离甲地的距离为150 km 或300 km .1．(2016·深圳)荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．(每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；(2)如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．解：(1)设桂味售价为每千克x 元，糯米磁售价为每千克y 元，则⎩⎨⎧2x ＋3y ＝90，x ＋2y ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝20. 答：桂味售价为每千克15元，糯米味售价为每千克20元．(2)设购买桂味t 千克，总费用为w 元，则购买糯米磁(12－t)千克， ∴12－t ≥2t.∴t ≤4.w ＝15t ＋20(12－t)＝－5t ＋240.∵k ＝－5＜0，∴w 随t 的增大而减小． ∴当t ＝4时，w min ＝220(元)．答：购买桂味4千克，糯米磁8千克时，总费用最少．2．(2016·大庆)由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y 1(万m 3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l 1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y 2(万m 3)与时间x(天)的关系如图中线段l 2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y 1(万m 3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x ＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x ≤60时，水库的总蓄水量y(万m 3)与时间x(天)的函数关系式(注明x 的范围)，若总蓄水量不多于900万m 3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x 的范围．解：(1)设y 1＝kx ＋b ，把(0，1 200)和(60，0)代入到y 1＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧b ＝1 200，60k ＋b ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝1 200. ∴y 1＝－20x ＋1 200.当x ＝20时，y 1＝－20×20＋1 200＝800. (2)设y 2＝k 1x ＋b 1，把(20，0)和(60，1 000)代入到y 2＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎨⎧20k 1＋b 1＝0，60k 1＋b 1＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝25，b 1＝－500. ∴y 2＝25x －500.当0≤x ≤20时，y ＝－20x ＋1 200；当20＜x ≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1 200＋25x －500＝5x ＋700. y ≤900，则5x ＋700≤900，解得x ≤40.当y 1＝900时，900＝－20x ＋1 200，解得x ＝15. ∴发生严重干旱时x 的范围为15≤x ≤40.3．(2016·武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如下表：其中(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 1万元、y 2万元，直接写出y 1，y 2与x 的函数关系式； (2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 解：(1)y 1＝(6－a)x －20(0＜x ≤200)，y 2＝－0.05x 2＋10x －40(0＜x ≤80)；(2)甲产品：∵3≤a ≤5，∴6－a ＞0，∴y 1随x 的增大而增大． ∴当x ＝200时，y 1max ＝1 180－200a(3≤a ≤5)． 乙产品：y 2＝－0.05x 2＋10x －40(0＜x ≤80)， ∴当0＜x ≤80时，y 2随x 的增大而增大． 当x ＝80时，y 2max ＝440(万元)．∴产销甲种产品的最大年利润为(1 180－200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元． (3)1 180－200a ＞440，解得3≤a ＜3.7时，此时选择甲产品； 1 180－200a ＝440，解得a ＝3.7时，此时选择甲乙产品； 1 180－200a ＜440，解得3.7＜a ≤5时，此时选择乙产品． ∴当3≤a ＜3.7时，生产甲产品的利润高； 当a ＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当3.7＜a ≤5时，生产乙产品的利润高．类型3 二次函数的实际应用1．(2015黄石T 23)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60＋x(元/件)(x ＞0即售价上涨，x ＜0即售价下降)，每月饰品销量为y(件)，月利润为w(元)．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； (3)为了使每月利润不少于6 000元应如何控制销售价格？解：(1)由题意，可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧300－10x （0≤x ≤30）300－20x （－20≤x<0）； (2)由题意，可得w ＝⎩⎨⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30），（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x<0），化简，得w ＝⎩⎨⎧－10x 2＋100x ＋6 000（0≤x ≤30），－20x 2－100x ＋6 000（－20≤x<0）， 即w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10（x －5）2＋6 250（0≤x ≤30），－20（x ＋52）2＋6 125（－20≤x<0）. 由题意可知x 应取整数，故当x ＝－2或x ＝－3时，w ＜6 125＜6 250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6 250元． (3)由题意w ≥6 000，如图，令w ＝6 000，即6 000＝－10(x －5)2＋6 250，6 000＝－20(x ＋52)2＋6 125，解得x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10.∴当w ≥6 000时，－5≤x ≤10.故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6 000元．1．(2016·大冶模拟)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1， ∵y ＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎨⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.∴这个一次函数的表达式为y ＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，∵经过点(0，120)与(130，42)，∴⎩⎨⎧b ＝120，130k ＋b ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.6.b ＝120.∴这个一次函数的表达式为y ＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当0≤x ≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250， ∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250；当90≤x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535， ∴当x ＝90时，W ＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2 160， 因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大值为2 250元．2．(2016·黔东南)凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？(2)求出该文具店一次销售x(x>10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因，当10<x ≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？解：(1)设一次购买x 只， 则20－0.1(x －10)＝16，解得x ＝50.答：一次至少买50只，才能以最低价购买． (2)当10<x ≤50时，y ＝[20－0.1(x －10)－12]x ＝－0.1x 2＋9x ， 当x>50时，y ＝(16－12)x ＝4x ；综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋9x （10<x ≤50），4x （x>50）.(3)y ＝－0.1x 2＋9x ＝0.1(x －45)2＋202.5，①当10<x ≤45时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大． ②当45<x ≤50时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当x ＝46时，y 1＝202.4， 当x ＝50时，y 2＝200. y 1>y 2.即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x ＝45时，最低售价为20－0.1(45－10)＝16.5(元)，此时利润最大．3．(2015·黄石模拟)某店因为经营不善欠下38 400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30 000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其他费用为106元(不包含债务)．(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡(收人＝支出)，求该店员工的人数；(3)若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋140（40≤x ≤58），－x ＋82（58<x ≤71）.(2)设员工人数为n ，依题意，可得(48－40)·(－2×48＋140)－(106＋82n)＝0，352－106－82n ＝0，解得n ＝3. (3)设每天的利润为w ，依题意，有w ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －40）（－2x ＋140）－270（40≤x ≤58），（x －40）（－x ＋82）－270（58<x ≤71）.整理为w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －55）2＋180（40≤x ≤58），－（x －61）2＋171（58<x ≤71）. 设该店最早需要m 天能还清所有债务，则有 ①m ＝68 400w ＝68 400－2（x －55）2＋180≥68 400180＝380(当x ＝55时取等号)； ②m ＝68 400w ＝68 400－（x －61）2＋171≥68 400171＝400.(当x ＝61时取等号) 所以该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．。
方程与不等式与函数的实际应用
(2)凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得 折优惠，会员卡费用为 元．若小王购买会员卡并用此卡按需购买 包龟苓膏粉，共用了 元，设 品牌买了 包，请求出 与 之间的函数关系式．
(3)在（2）中，小王共用了 元，他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉，每包龟苓膏粉小王需支付邮费 元，若每包销售价格 品牌比 品牌少 元，请你帮他计算， 品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本（运算结果取整数）？
解得
答：商场计划购进甲种手机 部，乙种手机 部．
2. (2)设甲种手机减少 部，则乙种手机增加 部，由题意，得
解得
设全部销售后获得的毛利润为 元，由题意，得
，
随 的增大而增大，
当 时， ．
答：当该商场购进甲种手机 部，乙种手机 部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为 万元．
3. (1)连接 ．
， ， ，
(1)求直线 的解析式；
(2)求抛物线解析式及顶点坐标；
(3)点 是 上一动点（不同于 ， ），过点 作 的切线，交 轴于点 ，交直线 于点 ，设线段 长为 ， 长为 ，请猜想 的值，并证明你的结论．
(4)点 从 出发，以每秒 个单位速度向点 作直线运动，点 同时从 出发，以相同速度向点 作直线运动，经过 秒时恰好使 为等腰三角形，请求出满足条件的 值．
3.五边形 中， ， ，且满足以点 为圆心， 长为半径的圆弧 与边 相切于点 ，连接 ， ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，连接 ，分别与 ， 相交于点 ， ，若 ， ，求 的值．
4.如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 过 ， ， 三点， ， 坐标分别为 和 ，以 为直径的 经过 点，直线 垂直于 轴于点 ．
2023年中考复习大串讲初中数学之 方程、不等式、函数的实际应用 课件
(2)要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34 000 元，且不超过34 700元，问该专卖店有几种进货方案？
解：设购进甲种衬衫x件，乙种衬衫(300－x)件， 根据题意得 （260－100）x＋（180－90）（300－x）≥34 000， （260－100）x＋（180－90）（300－x）≤34 700， 解得100≤x≤110， ∵x为整数，∴共有110－100＋1＝11种进货方案．
②当a＝70时，70－a＝0，w＝27000， 此时(2)中所有方案获利都一样； ③当70＜a＜80时，70－a＜0，w随x的增大而减小， ∴当x＝100时，w最大， 此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件； 综上：当60＜a＜70时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫 190件；当a＝70时，(2)中所有方案获利都一样；当70＜a＜ 80时，应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
(2)旅游区库存的500个座椅是否够用？请说明理由．
解：够用．理由：设观众席内的座椅数为y， 由题意得y＝x(60－2x)，其中14≤x＜30，x为整数， 所以y＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450， 所以y的最大值为450. 因为450<500，所以库存的500个座椅够用．
类型2 销售利润问题
解：设购买绿萝m盆，则购买吊兰(46－m)盆，
依题意得m≥2(46－m)，解得m≥
92 3
.
设购买两种绿植的总费用为w元，则w＝9m＋6(46－m)
＝3m＋276，
∵3＞0，∴w随m的增大而增大．
∵m≥
92 3
，且m为整数，
∴当m＝31时，w取得最小值，最小值＝3×31＋276＝369.
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
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题型专项(七) 方程、不等式、函数的实际应用题(黄石中考第23题)类型1 方程、不等式的实际应用1．(黄石2014T 23)某校九(3)班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和熏衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．(假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等)种植户 玫瑰花种 植面积(亩)熏衣草种 植面积(亩)卖花总 收入(元) 甲 5 3 33 500 乙3743 500(1)试求玫瑰花、熏衣草每亩卖花的平均收入各是多少？(2)甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和熏衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于熏衣草的种植面积(两种花卉的种植面积均为整数亩)，花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127 500元，则他们有几种种植方案？解：(1)设玫瑰花、熏衣草的亩平均收入分别为x ，y 元，依题意，得⎩⎨⎧5x ＋3y ＝33 500，3x ＋7y ＝43 500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 000，y ＝4 500.答：玫瑰花每亩的收入为4 000元，熏衣草每亩的平均收入是4 500元．(2)设种植玫瑰花m 亩，则种植熏衣草面积为(30－m)亩，依题意，得m ＞30－m.解得m ＞15.当15＜m ≤20时，总收入w ＝4 000m ＋4 500(30－m)＋15×100＋(m －15)×200≥127 500，解得15＜m ≤20； 当m ＞20时，总收入w ＝4 000m ＋4 500(30－m)＋15×100＋5×200＋(m －20)×300≥12 7500，解得m ≤20(不合题意)．综上所述，种植方案如下：种植类型种植面积(亩) 方案一 方案二 方案三 方案四 方案五 玫瑰花 16 17 18 19 20 熏衣草14131211101．(2016·长沙)2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨．由题意，得⎩⎨⎧2x ＋3y ＝31，5x ＋6y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5. 答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨．(2)设该渣土运输公司派出小型号的渣土运输车m 辆，则派出大型号的渣土运输车为(20－m)辆．由题意，得 5m ＋8(20－m)≥148.解得m ≤4.∵小型渣土车至少派出2辆，∴m ≥2.∴2≤m ≤4. ∵m 为正整数，∴m 取2，3，4.故有三种派车方案，第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆； 第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆； 第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．2．以“月季，城市因你而美丽”为主题的2016南阳月季展，将于本月底开幕．南阳月季博览园(主会场)出售的门票分为成人票和儿童票．购买3张成人票和2张儿童票共需40元，购买2张成人票和3张儿童票共需35元． (1)求成人票和儿童票的单价；(2)花展期间，若干家庭结伴到博览园游玩，成人与儿童共20人，售票处规定：一次性购票数量超过19张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售．请你帮助他们选择花费最少的购票方式．解：(1)设成人票的单价为x 元，儿童票的单价为y 元，根据题意可得⎩⎨⎧3x ＋2y ＝40，2x ＋3y ＝35，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝5，答：成人票的单价为10元，儿童票的单价为5元． (2)当购买团体票20张时，需要20×10×0.8＝160(元)； 设20人中有儿童a 人，则成人(20－a)人，根据题意可得 5a ＋10(20－a)≤160， 解得a ≥8，即儿童人数大于8时，单独购票，当儿童人数少于8人团体购票，当儿童人数为8人，两种方式都可以．类型2 一次函数的实际应用1．(黄石2013T 23)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y 1千米，出租车离甲地的距离为y 2千米，两车行驶的时间为x 小时，y 1，y 2关于x 的函数图象如图所示：(1)根据图象，直接写出y 1，y 2关于x 的函数关系式；(2)若两车之间的距离为s 千米，请写出s 关于x 的函数关系式；(3)甲、乙两地间有A ，B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝60x （0≤x ≤10），y 2＝－100x ＋600（0≤x ≤6）.(2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧－160x ＋600（0≤x ≤154），160x －600（154<x ≤6），60x （6<x ≤10）.(3)由题意，得s ＝200.①当0≤x ≤154时，－160x ＋600＝200，∴x ＝52.∴y 1＝60x ＝150(km )，即A 加油站离甲地的距离为150 km ； ②当154<x ≤6时，160x －600＝200，∴x ＝5.∴y 1＝60x ＝300(km )，即A 加油站离甲地的距离为300 km ； ③当6<x ≤10时，60x>360(舍)．综上所述，A 加油站离甲地的距离为150 km 或300 km .1．(2016·深圳)荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．(每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；(2)如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．解：(1)设桂味售价为每千克x 元，糯米磁售价为每千克y 元，则⎩⎨⎧2x ＋3y ＝90，x ＋2y ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝20. 答：桂味售价为每千克15元，糯米味售价为每千克20元．(2)设购买桂味t 千克，总费用为w 元，则购买糯米磁(12－t)千克， ∴12－t ≥2t.∴t ≤4.w ＝15t ＋20(12－t)＝－5t ＋240.∵k ＝－5＜0，∴w 随t 的增大而减小． ∴当t ＝4时，w min ＝220(元)．答：购买桂味4千克，糯米磁8千克时，总费用最少．2．(2016·大庆)由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y 1(万m 3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l 1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y 2(万m 3)与时间x(天)的关系如图中线段l 2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y 1(万m 3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x ＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x ≤60时，水库的总蓄水量y(万m 3)与时间x(天)的函数关系式(注明x 的范围)，若总蓄水量不多于900万m 3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x 的范围．解：(1)设y 1＝kx ＋b ，把(0，1 200)和(60，0)代入到y 1＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧b ＝1 200，60k ＋b ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝1 200. ∴y 1＝－20x ＋1 200.当x ＝20时，y 1＝－20×20＋1 200＝800. (2)设y 2＝k 1x ＋b 1，把(20，0)和(60，1 000)代入到y 2＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎨⎧20k 1＋b 1＝0，60k 1＋b 1＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝25，b 1＝－500. ∴y 2＝25x －500.当0≤x ≤20时，y ＝－20x ＋1 200；当20＜x ≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1 200＋25x －500＝5x ＋700. y ≤900，则5x ＋700≤900，解得x ≤40.当y 1＝900时，900＝－20x ＋1 200，解得x ＝15. ∴发生严重干旱时x 的范围为15≤x ≤40.3．(2016·武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如下表：产品 每件售 价(万元)每件成 本(万元)每年其他 费用(万元)每年最大 产销量(件)甲6a20200乙 20 10 40＋0.05x 2 80其中a 为常数，且3≤a ≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 1万元、y 2万元，直接写出y 1，y 2与x 的函数关系式； (2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 解：(1)y 1＝(6－a)x －20(0＜x ≤200)，y 2＝－0.05x 2＋10x －40(0＜x ≤80)；(2)甲产品：∵3≤a ≤5，∴6－a ＞0，∴y 1随x 的增大而增大． ∴当x ＝200时，y 1max ＝1 180－200a(3≤a ≤5)． 乙产品：y 2＝－0.05x 2＋10x －40(0＜x ≤80)， ∴当0＜x ≤80时，y 2随x 的增大而增大． 当x ＝80时，y 2max ＝440(万元)．∴产销甲种产品的最大年利润为(1 180－200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元． (3)1 180－200a ＞440，解得3≤a ＜3.7时，此时选择甲产品； 1 180－200a ＝440，解得a ＝3.7时，此时选择甲乙产品； 1 180－200a ＜440，解得3.7＜a ≤5时，此时选择乙产品． ∴当3≤a ＜3.7时，生产甲产品的利润高； 当a ＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当3.7＜a ≤5时，生产乙产品的利润高．类型3 二次函数的实际应用1．(2015黄石T 23)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60＋x(元/件)(x ＞0即售价上涨，x ＜0即售价下降)，每月饰品销量为y(件)，月利润为w(元)．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6 000元应如何控制销售价格？解：(1)由题意，可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧300－10x （0≤x ≤30）300－20x （－20≤x<0）； (2)由题意，可得w ＝⎩⎨⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30），（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x<0），化简，得w ＝⎩⎨⎧－10x 2＋100x ＋6 000（0≤x ≤30），－20x 2－100x ＋6 000（－20≤x<0），即w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10（x －5）2＋6 250（0≤x ≤30），－20（x ＋52）2＋6 125（－20≤x<0）. 由题意可知x 应取整数，故当x ＝－2或x ＝－3时，w ＜6 125＜6 250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6 250元． (3)由题意w ≥6 000，如图，令w ＝6 000，即6 000＝－10(x －5)2＋6 250，6 000＝－20(x ＋52)2＋6 125，解得x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10.∴当w ≥6 000时，－5≤x ≤10.故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6 000元．1．(2016·大冶模拟)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1， ∵y ＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎨⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.∴这个一次函数的表达式为y ＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ， ∵经过点(0，120)与(130，42)，∴⎩⎨⎧b ＝120，130k ＋b ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.6.b ＝120.∴这个一次函数的表达式为y ＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当0≤x ≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250， ∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250；当90≤x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535， ∴当x ＝90时，W ＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2 160， 因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大值为2 250元．2．(2016·黔东南)凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？(2)求出该文具店一次销售x(x>10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因，当10<x ≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？解：(1)设一次购买x 只， 则20－0.1(x －10)＝16，解得x ＝50.答：一次至少买50只，才能以最低价购买． (2)当10<x ≤50时，y ＝[20－0.1(x －10)－12]x ＝－0.1x 2＋9x ， 当x>50时，y ＝(16－12)x ＝4x ；综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋9x （10<x ≤50），4x （x>50）.(3)y ＝－0.1x 2＋9x ＝0.1(x －45)2＋202.5，①当10<x ≤45时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大． ②当45<x ≤50时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当x ＝46时，y 1＝202.4， 当x ＝50时，y 2＝200.y 1>y 2.即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x ＝45时，最低售价为20－0.1(45－10)＝16.5(元)，此时利润最大．3．(2015·黄石模拟)某店因为经营不善欠下38 400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30 000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其他费用为106元(不包含债务)．(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡(收人＝支出)，求该店员工的人数；(3)若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋140（40≤x ≤58），－x ＋82（58<x ≤71）.(2)设员工人数为n ，依题意，可得(48－40)·(－2×48＋140)－(106＋82n)＝0，352－106－82n ＝0，解得n ＝3. (3)设每天的利润为w ，依题意，有w ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －40）（－2x ＋140）－270（40≤x ≤58），（x －40）（－x ＋82）－270（58<x ≤71）.整理为w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －55）2＋180（40≤x ≤58），－（x －61）2＋171（58<x ≤71）. 设该店最早需要m 天能还清所有债务，则有 ①m ＝68 400w ＝68 400－2（x －55）2＋180≥68 400180＝380(当x ＝55时取等号)； ②m ＝68 400w ＝68 400－（x －61）2＋171≥68 400171＝400.(当x ＝61时取等号) 所以该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．。