第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

一、1．如图所示，设滑块出发点为1P ，离开点为2P ，按题意要求11P O 、22P O 与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v ，则滑块

在2P 处脱离滑道的条件是

θcos 2

mg R

m =v

(1)

由机械能守恒

22

1

)cos 1(2v m mgR =-θ

(2)

(1)、(2)联立解得

54

cos =

θ或25365

4arccos '==οθ (3)

2．设滑块刚能在O 点离开滑道的条件是

mg R

m =2

v （4）

v 0为滑块到达O 点的速度，由此得

Rg =0v （5）

设到达O 点的速度为v 0的滑块在滑道OA 上的出发点到1O 的连线与竖直的夹角为0θ，由机械能守恒，有

2

02

1)cos 1(v m mgR =

-θ （6）

由（5）、（6）两式解得

3

π0=

θ （7）

若滑块到达O 点时的速度0v v >，则对OB 滑道来说，因O 点可能提供的最大向心力为mg ，故滑块将沿半径比R 大的圆周的水平切线方向离开O 点．对于0v v >的滑块，其在OA 上出发点的位置对应的

θ角必大于0θ，即0θθ>，由于2π=max θ，根据机械能守恒，到达O 点的最大速度

Rg max 2=v

（8）

由此可知，能从O 点离开滑道的滑块速度是v 0到max v 之间所有可能的值，也就是说，θ从3π至2π下滑的滑块都将在O 点离开滑道．以速度v 0从O 点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至2O 的距离

t x 00v =

（9）

2

2

1gt R =

（10）

由（5）、（9）、（10）式得

R x 20=

（11）

当滑块以max v 从O 点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到2O 的距离

t x max max v =

（12）

由（8）、（10）、（12）式得

R x max 2=

（13）

因此，凡能从O 点脱离滑道的滑块，其落水点到2O 的距离在R 2到R 2之间的所有可能值．即 R x R 22≤≤ （14）

二、1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为1q -、2q -和3q -的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1及感应电荷（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷

q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．

当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．

O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电荷（3q -）

共同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k

321++， Q 在O 点产生的电势为R

Q

k 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有

⎪⎭

⎫

⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 22222321321 （1）

因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电势为

r

q k

U 3

-='' (2)

根据电势叠加定理，O 3点的电势为

⎪⎭⎫

⎝

⎛-+++=''+'=r q R q q q Q k U U U 33212222

(3)

故q 3的电势能

⎪⎭⎫

⎝

⎛-+++==r q R q q q Q kq U q W 3321332222

(4)

2． 由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q 1仅受到腔内壁感应电荷1q -的静电力作用，因q 1不在空腔1的中心O 1点，所以感应电荷1q -在空腔表面分布不均匀，与q 1相距较近的区域电荷面密度较大，对q 1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，

q 1最后到达空腔1表面，与感应电荷1q -中和．同理，空腔2中q 2也将在空腔表面感应电荷2q -的静

电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷2q -中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O 3的电势仍由球外的电荷Q 和导体球外表面的电量

()321q q q ++及空腔3内壁的电荷3q -共同产生，故O 3

处的电势U 与q 3

的电势能W 仍如(3)式与(4)

式所示．

三、答案如图所示．

附计算过程：

电阻通电后对气体缓慢加热，气体的温度升高，压强增大，活塞开始有向外运动的趋势，但在气体对活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前，活塞不动，即该过程为等容过程．因气体对外不做功，根据热力学第一定律可知，在气体温度从T 0升高到T 的过程中，气体从电阻丝吸收的热量，

()0T T C Q -=

(1)

此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和．若用T 1表示此过程达到末态的温度，p 表示末态的压强，Q 1表示此过程中气体从电阻丝吸收的热量，由等容过程方程有

1

0T T p p =

(2)

由力的平衡可知

F S p pS +=0

(3)

由（2）、（3）两式可得

()S

p T F S p T 00

01+=

(4)

代入(1)式得

S

p CFT Q 00

1=

(5)

由以上讨论可知，当1Q Q ≤时，T 与Q 的关系为

0T C

Q

T +=

(6)

在Q T ~图中为一直线如图中ab 所示，其斜率