河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第五次月考数学试卷(理科) Word版含解析

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河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期第五次月考数学(文)试题 Word版含答案

文科数学试题第Ⅰ卷（共52分）一、选择题：本大题共13个小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}|2B x x =<，则A B = （） A ．{}0 B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,22.已知51sin()25πα+=，那么cos α=（） A ．25- B ．15- C ．15D ．253.命题“对任意的x R ∈，2210x x -+≥”的否定是（） A ．不存在0x R ∈，200210x x -+≥ B ．存在0x R ∈，200210x x -+≤ C ．存在0x R ∈，200210x x -+<D ．对任意的x R ∈，2210x x -+<4.双曲线221y x m-=的充分必要条件是（）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >5.已知x 可以在区间[],4t t -（0t >）上任意取值，则1,2x t t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的概率是（） A ．16B ．310C ．13 D ．126.某校高二年级文科共303名学生，为了调查情况，学校决定随机抽取50人参加抽测，采取先简单随机抽样去掉3人，然后系统抽样抽取出50人的方式进行，则在此抽样方式下，某学生甲被抽中的概率为（） A ．16B ．1100C ．175D ．503037.执行如图的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（）A ．[]3,4-B ．[]5,2-C ．[]4,3-D ．[]2,5-8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．3B ．83C ．6++D ．2+9.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的点212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒ ，则C 的离心率为（）A B ．13C ．12D 10.设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点，若||3||AF BF =，则l 的方程为（）A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)y x =-或1)y x =-11.若21()ln 2f x x b x =-+在(0,2)上是增函数，则b 的取值范围是（） A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,4)-∞12.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线22x py =（0p >）的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p =（） A ．4B ．3C ．2D ．113.已知函数3211()32f x x ax bx c =+++在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足1(1,0)x ∈-，2(0,1)x ∈，则242a b a +++的取值范围是（） A ．(0,2)B ．(1,3)C ．[]0,3D ．[]1,3第Ⅱ卷（共98分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S = ．15.在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状是．16.已知()f x 为偶函数，(2)(2)f x f x +=-，当20x -≤≤时，()2xf x =，则(2011)f = ．17.已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. （本小题满分10分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--，x R ∈．（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin()2sin A C A +=，求a ，b 的值．19. （本小题满分12分）在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生，在考室结束后，为调查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的相关性，抽取每个考室中座位号为05的考生，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．（1）在这个调查采样中，用到的是什么抽样方法？（2）写出这40个考生成绩的众数、中位数；（3）若从成绩在[60,70)的考生中任抽取2人，求成绩在[65,70)的考生至少有一人的概率．20. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21. （本小题满分12分）已知函数32()45f x x ax bx =+++的图象在1x =处的切线方程为12y x =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]3,1- 上的最值． 12. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BAD π∠=，12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（1）证明：CD ⊥平面1AOC ；（2）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值．23. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求k 的值． 24. （本小题满分12分）已知函数2()xf x e ax bx =--．（1）当0a >，0b =时，讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上零点的个数；（2）证明：当1b a ==，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x <．河北冀州中学2016-2017学年高二年级上学期第五次月考文科数学试题答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:DABDC 11-13：AAB二、填空题14.63 15.等腰三角形或直角三角形 16.1217.44 三、解答题18.解：（1）1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--，则()f x 的最大值为0，最小正周期22T ππ==．∵sin()2sin A C A +=，由正弦定理得12a b =，① 由余弦定理得2222cos 3c a b ab π=+-，即229a b ab +-=，②由①②解得a =b =． 19.解：（1）用的是系统抽样．（2）众数是频率分布直方图中最高矩形的宽的中点横坐标，即758077.52+=，再根据中位数所在的垂直于横轴的直线平分所有矩形的面积，可得中位数是0.50.050.10.27575 2.577.50.060---+=+=．（3）从图中可知，成绩在[60,65)的人数为10.015402m =⨯⨯=(人)，设为A ，B 成绩在[65,70)的人数为20.025404m =⨯⨯=（人），设为C ，D ，E ，F ．设事件A 表示成绩在[65,70)的考生至少有1人，从成绩在[60,70)的6名考生中任取2人共有15种情况：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ．成绩在[65,70)的考生至少有一人共有15114-=种情况，只有“AB ”这种情况不符合， ∴14()15P A =． 20.解：（1）依题意得11211132453550,22(3)(12),a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩解得13,2,a d =⎧⎨=⎩∴1(1)21n a a n d n =+-=+，即21n a n =+．（2）13n nnb a -=，113(21)3n n n n b a n --=⋅=+⋅， ∴2135373(21)3n n T n -=+⋅+⋅+++⋅…，213 353(21)3(21)3n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅++⋅… ，∴2123232323(21)3n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅…13(13)32(21)32313n n n n n --=+⋅-+⋅=-⋅- ，∴3n n T n =⋅．21.解：（1）2'()122f x x ax b =++，∵()y f x =在1x =处的切线方程为12y x =-，∴12'(1),(1)12,k f f =-=⎧⎨=-⎩ 即12212,4512,a b a b ++=-⎧⎨+++=-⎩解得3a =-，18b =-． ∴32()43185f x x x x =--+．（2）∵2'()126186(1)(23)f x x x x x =--=+-，令'()0f x =，解得1x =-或32x =，当1x <-或32x >时，'()0f x >；当312x -<<时，'()0f x <． ∵[]3,1x ∈-，∴()f x 在[]3,1x ∈-上无极小值，有极大值(1)16f -=，又∵(3)76f -=-，(1)12f =-，∴()f x 在[]3,1-上的最小值为76-，最大值为16． 22.解：（1）在图（1）中，因为12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥，即在图（2）中，1BE AO ⊥，BE OC ⊥，从而BE ⊥平面1AOC ，又//CD BE ，∴CD ⊥ 平面1AOC ．（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =，又由（1）知，1AO BE ⊥，所以1A O ⊥平面BCDE ，即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高，由（1）可知，1AO AB ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的体积2311133V S AO a =⨯⨯=⨯=，3=6a =． 23.解：（1）设(,)P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0,，为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴长1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足221,41,y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得22(4)230k x kx ++-= ，故12224k x x k +=-+，12234x x k =-+，2121212()1y y k x x k x x =+++，若OA OB ⊥，则12120x x y y +=，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++，化简得2410k -+=，所以12k =±，因为0∆>对于任意的k R ∈都成立，故所求12k =±． 24.解：（1）当0x >，0a >时，函数()f x 零点的个数即方程2()f x ax =根的个数．由2()f x ax =，故2x e a x =，令2()x e h x x =，故2(2)'()x xe x h x x -=，则()h x 在(0,2)上单调递减，这时()((2),)h x h ∈+∞；()h x 在(2,)+∞上单调递增，这时()((2),)h x h ∈+∞．所以(2)h 是()y h x =的极小值即最小值，即2(2)4e h =，所以()f x 在区间(0,)+∞上零点的个数，讨论如下：当2(0,)4e a ∈时，有0个公共点；当24e a =，有1个公共点；当2(,)4e a ∈+∞，有2个公共点．（2）证明：设2()1xh x e x x =---，则'()21xh x e x =--，令()'()21xm x h x e x ==--，则'()2xm x e =-，因为1(,1]2x ∈，所以当1[,ln 2)2x ∈时，'()0m x <；()m x 在1[,ln 2)2上是减函数，当(ln 2,1)x ∈时，'()0m x >，()m x 在(ln 2,1)上是增函数，又1()202m =<，(1)30m e =-<，所以当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，恒有()0m x <，即'()0h x <，所以()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以17()()024h x h ≤=<，即当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x <．。

河北省冀州中学高二(上)第五次月考数学试卷(理科)

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13个小题，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}2．已知向量=（2，m），=（1，﹣2）若•（﹣2）=2+m2，则实数m等于（）A．B．C．D．3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．4．已知双曲线经过点（6，），且它的两条渐近线的方程是y=，那么此双曲线的方程是（）A．B．C．D．5．若实数x，y满足条件则z=﹣的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣16．“m”是“函数f（x）=2的值不小于4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．8．已知A（4，0），B（2，2）为椭圆+=1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最小值是（）A．10+2B．10+ C．10﹣2D．10﹣9．若“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，则a的取值范围是（）A．a≤4 B．a≤1 C．1≤a≤4 D．∅10．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点11．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2D．213．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=，实数m，n满足m＜n＜0，若∀x1∈，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则n﹣m的最大值为（）A．4 B．2C．4D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为．15．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=2，a4=8，则S6=．16．=．17．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．19．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求其前n项和T n．20．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS ∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．21．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数hslx3y3h50，59）hslx3y3h60，69）hslx3y3h70，79）hslx3y3h80，89）hslx3y3h90，100）甲班频数56441乙班频数1365（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：，（n=a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635（2）先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．22．已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．23．已知函数f（x）=e x﹣k﹣x，（x∈R）．（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在两点；若存在，求零点个数．24．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，则A∩B={1，2}．故选：C．2．已知向量=（2，m），=（1，﹣2）若•（﹣2）=2+m2，则实数m等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵﹣2=（0，m+4），•（﹣2）=2+m2，则m2+4m=5+m2，解得m=．故选：D．3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【分析】根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：A．将代入可得y=≠±1，排除A；B.≠π，排除B．C．将代入，y=≠±1，排除C．故选D．4．已知双曲线经过点（6，），且它的两条渐近线的方程是y=，那么此双曲线的方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；将点（6，），代入方程，可得λ；即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；又因为双曲线经过点（6，），，代入方程可得，λ=1；故这条双曲线的方程是；故选C．5．若实数x，y满足条件则z=﹣的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出直线4x+3y=0平行的直线过可行域内A点时z有最大值，把C点坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，由z=﹣的最大值可知，4x+3y取得最大值时，z取得最大值，与4x+3y=0，平行的准线经过A时，即：可得A（1，2），4x+3y取得最大值，故z最大，即：z max==．故选：C．6．“m”是“函数f（x）=2的值不小于4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出m的范围，根据不等式的性质求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式求出m的范围即可．【解答】解：m=（4x﹣x3）=﹣3，f（x）≥2=2，若f（x）的值不小于4，则2≥4，解得：m≤﹣2，故选：A．7．已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B8．已知A（4，0），B（2，2）为椭圆+=1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最小值是（）A．10+2B．10+ C．10﹣2D．10﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知，MA+MB=10+|MB|﹣|MF|．当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值．【解答】解：A为椭圆右焦点，左焦点F（﹣4，0），B在椭圆内，∴|MA|+|MF|=2a=10，于是|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|﹣|MF|＜|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值，∴最小值|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|=10﹣|BF|=10﹣=10﹣2，故答案为：10﹣2．9．若“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，则a的取值范围是（）A．a≤4 B．a≤1 C．1≤a≤4 D．∅【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别求得“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题时a 的取值范围，再取交集即可．【解答】解：“∀x∈（0，+∞），x+≥a”⇔“∀x∈（0，+∞），a≤（x+）min，∵当x＞0时，x+≥2=4（当且仅当x=2时取“=”），即（x+）min=4，∴a≤4；又“∃x∈R，x2+2x+a=0”是真命题，∴方程x2+2x+a=0有实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1；∵“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，∴a≤1，故选：B．10．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数F（x）进行求导，可确定F'（x0）=0即x0有可能是函数的极值点，然后再判断函数f（x）的增长快慢从而确定F（x）的单调性，得到结论．【解答】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）∴F'（x0）=0，又由a＜x0＜b，得出当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，当x0＜x＜b时，f'（x）＞f′（x0），F'（x）＞0，∴x=x0是F（x）的极小值点故选B．11．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB．【解答】解：设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，∴当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB，∵圆心到直线的距离为=，OD==，∴|+|的最小值为2（﹣）=．故选D．12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．13．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=，实数m，n满足m＜n＜0，若∀x1∈，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则n﹣m的最大值为（）A．4 B．2C．4D．2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．【分析】利用导数法可得当x=1时，g（x）取最小值2，由f（x）=﹣x2﹣6x﹣3在x=﹣3时，取最大值6，令f（x）=2，则x=﹣5，或x=﹣1，数形结合可得答案．【解答】解：∵g（x）=，∴g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故当x=1时，g（x）取最小值2，由f（x）=﹣x2﹣6x﹣3在x=﹣3时，取最大值6，令f（x）=2，则x=﹣5，或x=﹣1，作两个函数的图象如图所示：由图可得：n﹣m的最大值为﹣1﹣（﹣5）=4，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为．【考点】几何概型．【分析】先求出G（x）的解析式，再根据所给的不等式解出a的范围，再结合几何概率模型的公式P=求出答案即可．【解答】解：∵G（x）表示函数y=2cosx+3的导数∴G（x）=﹣2sinx∵G（a）＜1∴﹣2sina＜1而x∈解得x∈（，π），由几何概率模型的公式P=得P==故答案为：．15．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=2，a4=8，则S6=63．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2=2，a4=8，∴2q2=8，解得q=2．2a1=2，解得a1=1．则S6==63．故答案为：63．16．=．【考点】定积分．【分析】由=2dx，dx表示三角形AOB及扇形AOC的面积之和，分别求得其面积..【解答】解：由定积分的性质可知：=2dx，定积分的几何意义可知：dx表示三角形AOB及扇形AOC的面积之和，则三角形AOB的面S1=××=，扇形AOC的面积S2=×π×12=×π×12==2dx=2（+）=．故答案为：．17．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为（，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可【解答】解：构造函数g（x）=x（e x﹣e﹣x），则g（x）=x（e x﹣e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x（e x﹣e﹣x）＞（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），即g（x）＞g（2x﹣1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，∴3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1==．∵0，∴，则．即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是．19．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求其前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，通过等差数列的通项公式，可得方程，解方程可得首项和公差，进而得到所求；（2）运用等差数列的求和公式，和数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，2a1+3a2=2a1+3（a1+d）=5a1+3d=11，2a3=a2+a6﹣4，即2（a1+2d）=a1+d+a1+5d﹣4，得d=2，a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2），，=（n∈N*）．20．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS ∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，推导出CPFQ为平行四边形，四边形AECQ为平行四边形，从而AE∥PF，由此能证明AE∥面SPD．（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，能求出二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos ＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D 为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．21．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数hslx3y3h50，59）hslx3y3h60，69）hslx3y3h70，79）hslx3y3h80，89）hslx3y3h90，100）甲班频数56441乙班频数1365（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：，（n=a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635（2）先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到2×2列联表中的数据，求出K2的观测值，判断即可．（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415总计202040根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，，，，．∴X的分布列为：X0123P∴．22．已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用极值点的导函数为零，求出参数的值，再通过单调性验证参数适合题意；（2）利用导函数值的正负求出函数的单调区间；（3）求出f（1），f′（1）的值，带入切线方程即可．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x﹣=，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=1或a=﹣1（舍）．∴a=1．当a=1时，x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0，所以a的值为1．（2）令f′（x）=0，解得x=a或x=﹣a（舍）．当x在（0，+∞）内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：x（0，a）a（a，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗由上表知f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（3）由（1）得：f′（x）=2x﹣=，故f（1）=1，f′（1）=2﹣2a2，故切线方程是：y﹣1=（2﹣2a2）（x﹣1），整理得：y=（2﹣2a2）x﹣1+2a2．23．已知函数f（x）=e x﹣k﹣x，（x∈R）．（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在两点；若存在，求零点个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（2）求出f（x）的导数，计算f（k），f（2k）的值，根据函数f（x）的单调性，令h （k）=e k﹣2k，结合零点存在定理判断即可．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=e x﹣x，f'（x）=e x﹣1，令f'（x）=0，得x=0，当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在．（2）当k＞1时，f（x）=e x﹣k﹣x，f'（x）=e x﹣k﹣1＞0在（k，2k）上恒成立．∴f（x）在（k，2k）上单调递增，又f（k）=e k﹣k﹣k=1﹣k＜0，f（2k）=e2k﹣k﹣2k=e k﹣2k，令h（k）=e k﹣2k，∵h'（k）=e k﹣2＞0，∴h（k）在k＞1时单调递增，∴h（k）＞e﹣2＞0，即f（2k）＞0，∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k，2k）内存在唯一零点．24．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．由此可知动点P的轨迹C的方程．（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此入手可推导出直线MA的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．化简并整理，得．∴动点P的轨迹C的方程是．（Ⅱ）依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则∴，∴∴，∴，①当m=0时，k=0；②当m≠0时，∵，∴0．∴．∴且k≠0．综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣．2017年3月14日。

河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期第五次月考数学(理)试题含答案

理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共13个小题,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,2,32.已知向量(2,)a m =,(1,2)b =-,若22(2)a a b b m ⋅-=+，则实数m 等于（)A ．12B ．52C ．54D ．543。

同时具有:①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称的函数是（ )A ．sin(2)6y x π=- B ．sin()26x y π=+C ．sin(2)6y x π=+ D ．sin ||y x =4.如果双曲线经过点3)，且它的两条渐进线方程是13y x =±，那么双曲线方程是( ）A ．221369x y -=B ．221819x y -=C ．2219x y -=D ．221183x y -=5.若实数x y 满足条件10,220,10,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则543z x y =-+的最大值为（ )A ．158-B ．54-C ．12-D ．1-6。

“221(43)m x dx ≤-⎰”是“函数1()22x x mf x +=+的值不小于4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7。

已知3cos()25πα+=，且3(,)22ππα∈，则tan α=（）A ．43B ．34C ．34-D ．34±8。

已知(4,0)A ,(2,2)B 为椭圆221259x y +=内的点，M是椭圆上的动点,则||||MA MB +的最小值是（）A ．10210+B ．1010+C ．10210-D ．1010-9.若“(0,)x ∀∈+∞，4x a x+≥”与“x R ∃∈，220x x a ++=”都是真命题，则a 的取值范围是( ） A ．4a ≤B ．1a ≤C ．14a ≤≤D ．∅10。

河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期开学调研考试理数试题Word版含解析

一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆Þ，则集合A 的个数是（） A ．8 B ．7C ．4D ．3【答案】B考点：1、集合的基本概念；2、子集概念及的应用.2．已知函数()1y f x =+定义域是[]2,3-，则()1y f x =-的定义域是（） A ．[]0,5 B ．[]1,4- C ．[]3,2- D ．[]2,3-【答案】A 【解析】试题分析：因为()1y f x =+的定义域是[]2,3-，即[]2,3x ∈-，所以[]11,4x +∈-，所以函数()f x 的定义域为[]1,4-，由114x -≤-≤得05x ≤≤，所以函数()1y f x =-的定义域是[]0,5，故选A. 考点：抽象函数的定义域.3．已知函数()()()()324,,lg log 105f x ax bx a b R f =++∈=，则()lg lg 2f =⎡⎤⎣⎦（）A ．3-B ．1-C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：因为21log 10lg 2=，故()()()()21lg log 10lg lg lg25lg2f f f ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()8f x f x +-=，故()()()()()()lg lg2lg lg25lg g 8l 2f f f -++==，则()()lg lg23f =，故选C.考点：1、对数的运算法则；2、函数的奇偶性.4．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（） A ．100 B ．99 C ．98D ．97 【答案】C 【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前9项的和为27，所以55927,3a a ==，又108a =，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C.考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式及前n 项和公式.5．已知,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（） A ．若,m l n l ⊥⊥，则m nB ．若,αγβγ⊥⊥，则αβC ．若,m l n l ，则m nD ．若,mn αα，则mn【答案】C考点：1、线面平行的性质；2、面面垂直的性质及空间直线间的位置关系. 6．已知直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（） A ．1B ．1-C ．2-或1-D ．2-或1【答案】D 【解析】试题分析：由直线的方程：20ax y a +--=得此直线在x 轴与y 轴上的截距分别为2a a+和2a +，由22a a a+=+得1a =或2a =-，故选D. 考点：1、直线方程的应用；2、直线的截距.7．若直线()120x m y m +++-=和直线280mx y ++=平行，则m 的值为（） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【答案】A考点：两直线平行的性质.8．下列各数中，最小的数是（） A ．75B ．()2111111C ．()6210D ．()985 【答案】B 【解析】试题分析：在B 中，()543210211111122222263=+++++=，在C 中，()26210261678=⨯+⨯=，在D 中，()98589577=⨯+=，故()2111111最小，故选B.考点：进位制的应用及等比数列求和.9．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（） A ．x x >乙甲，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B ．x x >乙甲，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ．x x <乙甲，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x <乙甲，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【答案】D 【解析】试题分析：由茎叶图知，甲的平均成绩是727879858692826+++++=，乙的平均成绩是788688889193876+++++=，所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，从茎叶图看出乙的成绩稳定，故选D.考点：1、平均值的算法；2、茎叶图的应用. 10．方程()2240x x y +-=与()222240x x y ++-=表示的曲线是（）A ．都表示一条直线和一个圆B ．都表示两个点C ．前者是两个点，后者是一直线和一个圆D ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点【答案】D考点：曲线与方程的概念.11．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：由图可得，该几何体为三棱柱，所以最大的球的的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则-+-=⇒=，故选B.S r r r62考点：1、几何体的三视图；2、几何体的内切球的性质.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方程分别是（）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6D．62.8，3.6【答案】D考点：1、样本平均数的算法；2、样本方差的算法.13．执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（） A ．203B ．165C ．72D ．158【答案】D 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1331,2,,2222M a b n =+====；第二次循环28382,,,33323M a b n =+====；第三次循环3315815,,,428838M a b n =+====，不满足3n ≤，跳出循环，输出158M =，故选D.考点：1、程序框图；2、循环结构. 14．已知函数()()211sinsin 0,222x f x x x R ωωω=+->∈．若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（） A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D考点：1、余弦的二倍角公式；2、辅助角公式的应用及三角函数的零点.【方法点睛】本题主要考查公式余弦的二倍角公式；2、三角函数的零点及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式()f x =sin cos a x b x ωω+=)x ωϕ+(tan baϕ=) 可以求出:①()f x 的周期2T πω=；②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（⎡⎣）；④零点、对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标及零点.15．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则AB =（） A．B ．4C．D ．6 【答案】C 【解析】考点：1、线性规划的应用；2、两点间的距离公式.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.对于比较复杂的目标函数，可以根据划归思想、数形结合思想先找到最优解再解答.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，满分20分．） 16．已知集合{}{}0,10A x x m B x mx =-==-=，若A B B =，则m 等于______．【答案】0或1或1- 【解析】试题分析：因为AB B =,所以B A ⊆，当B φ=时，0m =，当B φ≠时，{}1,A m B m ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭必有1m m=得1m =±，综上0m =或1或1-，故答案为0或1或1-. 考点：1、集合的表示；2、集合的交集及子集.17．关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的两根满足()()12110x x --<，则a 的取值范围是______．【答案】()2,1- 【解析】试题分析：由()()12,110x x --<，得方程有一根比1大的，另一根比1小的，令()()2212,f x x a x a =+-+-只需()10f <，求得21a -<<，故答案为()2,1-.考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、二次函数的图象与性质. 18．函数()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是______．【答案】3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点：对数函数的性质及复合函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）. 19．已知()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为______．【答案】13 【解析】试题分析：由()f x 的定义域为[]1,9，可得()g x 的定义域为[]1,3，又()()()()2223332log 2log log 33g x x x x =+++=+-，313,0log x ≤≤∴≤1x ≤，∴当3x =时，()g x 有最大值13，故答案为13.考点：1、函数的定义域与值域；2、单调性法、配方法求函数最值.【方法点睛】本题主要考查函数的定义域，函数的值域的求法，属于难题.求函数最值的常见方法有：①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题求最大值时主要应用方法①结合方法④解答的.20．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是______．【答案】考点：1、平面向量的数量积公式；2、数学的划归思想、数形结合思想及线性规划的应用.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式、数学的转化与划归思想、数形结合思想及线性规划的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在选择与填空问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度本题的解答首先利用转化和划归思想将1λμ+≤转化为112a ≤，进而根据数形结合思想利用线性规划解答的. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本小题满分10分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？w=时，估计该市居民该月的（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3人均水费．【答案】（1）3；（2）10.5.依题意，w至少定为．3（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2A π=或4A π=.（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有 1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =．又(),0,B C π∈，所以2C B π=±．当2B C π+=时，2A π=；当2C B π-=时，4A π=．综上，2A π=或4A π=．考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.23．（本小题满分12分）已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线:270m x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点．（1）求圆A 的方程．（2）当MN =时，求直线l 方程．【答案】（1）()()221220x x ++-=；（2）3460x y -+=或2x =-.∴3460x y -+=或2x =-为所求l 方程．考点：1、圆与直线的位置关系；2、点到直线距离公式及勾股定理.24．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠=︒==，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；（2）证明：AE ⊥平面PCD ；（3）求二面角A PD C --的正弦值．【答案】（1）45︒；（2）证明见解析；（3）4.（2）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，故,CD PA CD CA ⊥⊥，所以CD ⊥平面PAC ，所以,CD AE AE PC ⊥⊥，所以AE ⊥平面PCD ．（3）过E 作EM PD ⊥，连结AM ，则AM PD ⊥，所以AME ∠即为二面角的平面角，设,PA a AE ==，在ABCD 中30CAD ∠=︒，所以AD =．在Rt PAD ∆中，,sin 4PA AD AE AM AME PD AM ⋅==∠==．考点：1、线面垂直的判定定理；2、直线和平面成的角及二面角.25．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）另()()112n n n n n a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）31n b n =+；（2）232n n T n +=⋅.设数列{}n b 的公差为d ，由112223a b b a b b =+⎧⎨=+⎩，即111121723b d b d =+⎧⎨=+⎩，可解得14,3b d ==，所以31n b n =+．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.26．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()11f -=，若[],1,1,0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n+<+．（1）解不等式()112f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭；（2）若()221f x t at ≤-+对所有[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）11,42⎛⎤⎥⎝⎦；（2）2t ≤-或0t =或2t ≥. 【解析】试题分析：（1）先证明()f x 是减函数，再根据函数的定义域及单调性列不等式组，即可解出x 的范围；（2）()221f x t at ≤-+恒成立只需()2max 21f x t at ≤-+，根据()f x 的单调性进而得2211t at -+≥，根据数形结合思想得220t at -≥对[]1,1a ∀∈-恒成立2220220t t t t t ⎧-≥⎪⇔⇔≤-⎨+≥⎪⎩或0t =或2t ≥.将22y t at =-看作关于a 的函数，由[]1,1a ∈-知其图象是一条线段．所以220t at -≥对[]1,1a ∀∈-恒成立2220220t t t t t ⎧-≥⎪⇔⇔≤-⎨+≥⎪⎩或0t =或2t ≥. 考点：1、函数的奇偶性及单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利函数的奇偶性及单调性、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（函数图象恒在x 轴上方或下方）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①结合方法②求得t 的范围的.。

河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

理科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|4,|10A x Z x B x x =∈<=-≥，则AB 等于（）A ．()1,4B ．[)1,4C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3 2.不等式201x x -≤+的解集是（） A ．()(],11,2-∞-- B ．(]1,2- C ．()[),12,-∞-+∞ D ．[]1,2-3.1与1的等比中项是（）A ．1B ．-1C ．1±D ．124.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：（）根据上表中的数据可以求得线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为6．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为：（）A ．66.8万元B ．67.6万元C ．66.4万元D ．66.2万元5.已知,a b 是空间中两不同直线，,αβ是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（） A ．若直线//,a b b α⊂，则//a α B ．若平面,a αβα⊥⊥，则//a β C ．若,,//a b a b αβ⊥⊥，则//αβ D ．若平面//αβ，,a b αβ⊂⊂，则//a b6.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99．依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码是个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第七组中抽取的号码是（） A ．66 B ．65 C ．64 D ．637.设()22f x ax bx =++是定义在[]1,1a +上的偶函数，则()0f x >的解集为（）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．()(),11,-∞-+∞D ．∅8.已知,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式不正确的是（）A ．a b a b +<+B ．a b a b +>-C ．a b +D ．2b aa b+≥ 9.函数3cos ,,22y x x x ππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭的大致图象是（） A ．B ．C ．D ．10.如图是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（）A ．20?i <B ．20?i >C ．10?i <D ．10?i > 11.若正数,x y 满足3x y xy +=，则34x y +的最小值是（） A ．24 B ．25 C ．28 D ．3012.三棱锥P ABC -，则该三棱锥的外接球表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π 13. 1,3,0OA OB OA OB ===，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设()OC mOA nOB m n R =+∈、，则mn等于（） A ．13 B ．3C D ．3 14.已知不等式组422x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内为D ，点()()0,0,1,0O A ．若点M 是D 上的动点，则OA OM OM的最小值是（）A B ．10CD15.已知α为锐角，且tan 1α=，函数()2tan 2sin 24f x x x παα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，数列{}n a 的首项()111,2n n a a f a +==，则有（） A ．1n n a a +< B ．1n n a a +≤ C ．1n n a a +> D ．1n n a a +≥第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.已知直线()12:20,:210l ax y a l a x ay a -+=-++=互相垂直，则a 的值是___________．17.在ABC ∆中，若()()2,1,1,1AB BC =-=--，则cos BAC ∠的值等于___________． 18.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为___________3cm ．19.将函数()sin y x x x R =∈的图象向左平移()0n n >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则n 的最小值是_________．20.设变量,x y 满足约束条件20030x y y kx y k +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩且目标函数z y x =-的最大值是4，则k 等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列．（1）若2b c ==，求ABC ∆的面积；（2）若sin ,sin ,sinC A B 成等比数列，试判断ABC ∆的形状． 22.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈，都有()()134n n n a a S -+=，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若数列241n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 23. （本小题满分12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为正方形，,PA CD BC ⊥⊥平面PAB ，且,,E M N 分别为,,PD CD AD 的中点，3PF FD =．（1）证明：//PB 平面FMN ；（2）若PA AB =，求二面角E AC B --的余弦值．24. （本小题满分12分）已知不等式2210x x ++-<的解集为A ．（1）求集合A ；（2）若任意*,,a b A x R ∈∈，不等式()149a b x m x ⎛⎫+>--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．25．（本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=和圆()22:41C x y +-=．（1）判断圆O 和圆C 的位置关系；（2）过圆C 的圆心C 作圆O 的切线l ，求切线l 的方程；（结果必须写成一般式）；（3）过圆C 的圆心C 作动直线m 交圆O 于,A B 两点．试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点()2,0M ？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由．26．（本小题满分12分）已知函数()121x af x =-+（a 为常数）为R 上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）对(]0,1x ∈，不等式()21xs f x ≥-恒成立，求实数s 的取值范围；（3）令()()21g x f x =-，若关于x 的方程()()20g x mg x -=有唯一实数解，求实数m 的取值范围．参考答案A 卷： 1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6. A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12. B 13.B 14.C 15.A B 卷：1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.B 15.C16. 0或18．12π 19．23π 20．3421．解：∵A B C 、、成等差数列，可得2B A C =+． ∴结合A B C π++=，可得3B π=．（1）∵2b c ==，∴由正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sinB sin 32c C b π===． ∵b c >，可得B C >，∴C 为锐角，得6C π=，从而2A B C ππ=--=．因此，ABC ∆的面积为11222S bc ==⨯= （2）∵sin sin sin A B C 、、成等比数列，即2sin sin sin B A C =， ∴由正弦定理，得2b ac =，又∵根据余弦定理，得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，∴22a c ac ac +-=，整理得()20a c -=，可得a c =，∵3B π=，∴3A C π==，可得ABC ∆为等边三角形．当1n =时，()()111134a a a -+=，∴()()11130a a +-=，又10a >，∴13a =，所以，数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）知，13,2a d ==，∴21n a n =+，设*24,1n n b n N a =∈-；∵21n a n =+，∴()2141na n n -=+ ∴()()41114111n b n n n n n n ===-+++，∴12311111111223111n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭23．证明：（1）连结BD ，分别交AC 、MN 于点O G 、，连结EO FG 、， ∵O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴//EO PB ，又3PF FD =，∴F 为ED 中点，又,CM MD AN DN ==，∴G 为OD 的中点， ∴//FG EO ，∴//PB FG ．∵FG ⊂平面FMN ，PB ⊄平面FMN ，∴//PB 平面FMN ．（2）解：∵BC ⊥平面PAB ，∴BC PA ⊥，又,PA CD BC CD C ⊥=，∴PA ⊥平面ABCD ，由图可知，二面角E AC B --为钝角， ∴二面角E AC B --的余弦值为3-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．解：（1）()()222102210x x x x x <-⎧++-<⇒⎨-+--<⎩或()()222210x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或()()22210x x x >⎧⎨++-<⎩()5,5x ⇒∈-，∴()5,5A =- （2）∵(),5,5a b ∈-，∴()10,10a b +∈-， ∵()1444919363793725x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--+=-+≤-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()max14925x m m x ⎡⎤⎛⎫--+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由题可得，1025m -≥+，∴35m ≤-．25．解：（1）因为圆O 的圆心()0,0O ，半径12r =，圆C 的圆心()0,4C ，半径21r =，所以圆O 和圆C 的圆心距12403OC r r =->+=，所以圆O 与圆C 相离，（2）设切线l 的方程为：4y kx =+，即40kx y -+=，所以O 到l的距离2d ==，解得k =所以切线l40y -+=40y +-=，（3）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 经过圆O 的圆心O ，此时直线m 与圆O 的交点为()()0,2,0,2A B -，AB 即为圆O 的直径，而点()2,0M 在圆O 上，即圆O 也是满足题意的圆②当直线m 的斜率存在时，设直线:4m y kx =+，由2244x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消去y 整理，得()2218120k x kx +++=，由()22644810k k ∆=-+>，得k >k <()()1122,,,A x y B x y ，则有12212281121k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，①由①得()()()22121212122164444161k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=+，②()121212284481y y kx kx k x x k+=+++=++=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③ 若存在以AB 为直径的圆P 经过点()2,0M ，则MA MB ⊥，所以0MA MB =，因此()()1212220x x y y --+=，即()121212240x x x x y y -+++=，则2222121616440111k k k k k-+++=+++，所以16320,2k k +==-，满足题意，此时以AB 为直径的圆的方程为()()22121212120x y x x x y y y x x y y +-+-+++=，即22168120555x y x y +--+=，亦即2255168120x y x y +--+=，综上，在以AB 为直径的所有圆中，存在圆22:55168120P x y x y +--+=或224x y +=，使得圆P 经过点()2,0M ．26．解：（1）由题意知()00f =，即01021a-=+，所以2a =，此时()22112121x x x f x -=-=++，而()()21122112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，故2a =为所求；（2）由（1）知()2121x x f x -=+，因为(]0,1x ∈，所以210,210x x ->+>，故()21xs f x ≥-恒成立等价于21x s ≥+恒成立，因为(]212,3x+∈，所以只需3s ≥，即可使原不等式恒成立，故s 的取值范围是[)3,+∞．（3）由题意()()21g x f x =-，化简得()21xg x =+，方程()()20g x mg x -=，即22210x x m m -+-=有唯一实数解，令2xt =，则0t >，即等价为()210,0t mt m t -+-=>有一个正根或两个相等正根，设()21h t t mt m =-+-，则满足()00h ≤或002m ∆=⎧⎪⎨>⎪⎩由()00h ≤，得10m -≤，即1m ≥，当1m =时，()2h t t t =-，满足题意由002m ∆=⎧⎪⎨>⎪⎩得2m =，综上，m 的取值范围为1m ≥或2m =．。

河北省衡水中学2016届高三下学期五调考试数学试题

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.复数 13i ()1 iA ． 2 iB ． 2 iC ． 1 2iD ． 1 2i2.已知会合 A {1,3, m} ， B {1,m} ， A U B A ，则 m （）A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或3 3.已知函数 f ( x)sin( x)cos( x)( x R) ，则以下结论错误的选项是（）66A ．函数 f ( x) 的最小正周期为B ．函数 f ( x) 的图象对于直线 x对称12C ．函数 f ( x) 的图象对于点 ( 6 ,0) 对称D ．函数 f ( x) 在区间 [0, 5] 上是增函数124.若 y 3( x1) n ( nN * ) 的睁开式中存在常数项，则常数项为（）xyA ． 15B ．20C ．30D ．12025.已知函数 f (x)xax, x，若不等式 f ( x) 1 0在 x R 上恒成立，则实数 a的2x 1,x 0取值范围为（）A ． (,0]B ． [ 2,2]C ． (,2]D ． (0, 2]6.履行以下图的程序框图，则输出的 S 为（）A．2B．1C．1D．-3 327.某种子每粒抽芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，对于没有抽芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为X ，则 X 的数学希望为（）A． 100B．200C．300D．4008.已知公比为 2 的等比数列{ a n}的前n项和为S n，若a4a5a616 ，则 S9（）A． 48B．128C．144D．146x2y2的直9.点A为双曲线a2b21(a0, b0) 的右极点，过右焦点 F (1,0)且倾斜角为6线与直线 x a2交于点P ，若APF 为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．3D．310.某几何体的三视图以下图，该几何体的表面积是（）A．28B．24 6 2C．20 2 13D．16 6 2 2 13x 2 y5011.设实数x, y知足不等式组2x y70 ，若x, y为整数，则 3x 4 y 的最小值是x0, y0（）A． 13B．16C．17D．1912.已知函数f ( x)的定义域为R，且f'(x) f ( x) 2xe x，若 f (0)1，则函数 f ' ( x) 的f ( x)取值范围为（）A．( ,0]B．[ 2,0]C．[0,1]D．[0,2]第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知平面内点A(1,2)，点B(12, 22) ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后4得点 P ，则点 P 的坐标为.14.抛物线y x2与直线x0 、 x1及该抛物线在x t(0 t 1) 处的切线所围成的图形面积的最小值为.15.已知菱形ABCD的边长为3，且BAD60o，将ABD沿BD折起，使 A, C 两点间的距离为 3，则所得三棱锥的外接球的表面积为.16.如图，在正方形ABCD中作以下操作，先过点D作直线DE1交BC于E1，记CDE11，第一步，作ADE 1的均分线交AB于 E2，记 ADE 2 2 ，第二步，作CDE 2的均分线交BC于 E3，记 CDE 3 3 ，，第三步，作ADE 3的均分线交AB于 E4，记ADE4 4以此类推，得数列1, 2 ,3 ,L , n ,L ，若1，那么数列 { n } 的通项公式12为.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，角A, B,C的对边分别为a, b, c，已知b23，A3C. c3（1）求cosC的值；（2）求sin B的值；（3）若b 3 3 ，求ABC 的面积.18. （本小题满分 12 分）第 31 届夏天奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日～21 日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获取的金牌数的统计数据（单位：枚） .（1）依据表格中两组数据达成近五届奥运会两国代表团获取的金牌数的茎叶图，并经过茎叶图比较两国代表团获取的金牌数的均匀值及分别程度（不要求计算出详细数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获取的金牌数多（假定两国代表团获取的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙一定在两个代表团中选一个，已知甲、乙料中国代表团的概率都为4，丙料中国代表团的概5率为3，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设5三人中料中国代表团的人数为X ，求 X 的散布列及数学希望EX .19.（本小题满分 12 分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形， EF / / BD ，EF 1 BD ，平面EFBD平面ABCD.2（1）证明：DE / /平面ACF；（2）若梯形EFBD的面积为 3，求二面角A BF D的余弦值 .20.（本小题满分 12 分）已知点 F (0,1) ，直线 l1 : y 1 ，直线 l1l2于P，连结PF，作线段PF的垂直均分线交直线 l2于点H，设点H的轨迹为曲线 r .（1）求曲线r的方程；（2）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为 C , D .（ⅰ）求证：直线CD 过定点；（ⅱ）若 P(1,1) ，过点P作动直线L交曲线 r 于点 A, B ，直线CD交L于点 Q ，尝试究|PQ|| PQ |能否为定值？假如，求出该定值；不是，说明原因 .|PA||PB|21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) e x ax2 2ax 1.（1）当a1时，议论 f ( x) 的单一性；2（2）设函数g( x) f'(x)，议论g ( x)的零点个数；若存在零点，恳求出全部的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明原因（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已知 AB 为圆 O 的一条直径，以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于C, D两点，交圆 O 于E, F两点，过点 D 作垂直于 AD 的直线，交直线 AF 于 H 点.（1）求证：B, D, H , F四点共圆；（2）若AC2, AF 2 2 ，求BDF 外接圆的半径.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为：2 4 (cos sin ) 6 ，若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴成立平面直角坐标系.（1）求圆C的参数方程；（2）在直角坐标系中，点P( x, y)是圆C上动点，试求x y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 m, n 都是实数， m 0 ，f (x)| x 1| | x 2 |.（1）若f ( x) 2，务实数x的取值范围；（2）若| m n | | m n | | m | f (x)对知足条件的全部m, n都成立，务实数x的取值范围 .衡水中学 2015—2016 学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题： CBCBC DBDABBB12.解：由 f ( x)f ( x)2xe x 得 e x ( f ( x) f (x)) 2x 所以 (e x f ( x))2xxf ( x) x 2c ，由 f (0) 1 得 c 1 ，所以 f ( x)x 2 1，则 f ( x)( x 1) 2设 e e xex所以 f (x) ＝12x2,0x 2 1f ( x)二、填空题：13. (1,0)14. 115.912216.n6( 1 ) n 1 或 n 1 ( 1 ) n12 262三、解答题：17.【分析】（1）由于 A B C，A 3C，所以 B 2C .由正弦定理得：bc ，sin Bsin C所以bsin B ，即 2 3 2sin C cosC.csin C3sin C又 sin C 0 .故化简得 cosC3 .3（ 2）由于 C (0, ) ，所以 sin C1cos 2C116 ，33所以 sin B sin 2C 2sin C cosC 26 3 2 2 .（3）因 B2C ，所以 cos B cos 2C 2cos 2 C 1 21 11 ，33因 AB C，所以 sin A sin( B C) sin B cosC cos B sin C2 23 ( 1)66 .33 3 39因 b23， b33 .c3所以 c9 .2所以 ABC 的面 S1bc sin A1 3 3 9 6 92 .22 29 418. 【分析】（Ⅰ）两国代表得的金牌数的茎叶以下中国俄罗斯6 18 2 4 3 7 62 83 241 5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分P( X0)P( A) P(B) P(C)(14)2(1 3) 25 5125P( X1) P( ABC ) P( ABC)P(ABC )C 214(1 4 ) (1 3 ) (1 4 )2 3 1955 5 5 5 125P( X2) P( ABC ) P( ABC)P( ABC )(4)2(1 3) C 214(1 4) 3 565 5 55 5 125P( X3) P( A) P(B) P(C )( 4)23 4855125故 X 的散布列X 01 2 3P2 19 56 48 125125125125EX 02 19 56 48 111212535125125125 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19.【分析】（Ⅰ） AC 、BD 的交点 O ， OBD 的中点，接 OF由 EF // BD,EF1BD ，得 EF // OD,EF OD2所以四形 EFOD 平行四形，故 ED // OF⋯⋯⋯⋯3分又 ED 平面 ACF ,OF 平面 ACF所以 DE // 平面 ACF⋯⋯6 分（Ⅱ）方法一：因平面EFBD平面 ABCD ，交 BD ， AOBD所以 AO平面 EFBD ，作 OMBF 于 M ， AMQ AO平面 BDEF ， AO BF ，又 OMAO=OBF平面AOM ，BFAM ,故AMO二面角A BF D的平面角.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分取EF 中点P ，接 OP ，因四形 EFBD 等腰梯形，故 OP BD因 S 梯形 EFBD1 1 ( EFBD)OP(2 22)OP 322所以因OP2.由PF1OB2 ，得 BF OF OP 2PF 210222S FOB1OB OP1OM BF22所以 OMOB OP2 10，故 AMOA 2 OM 23 10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分BF5 5所以 cosOM2AMO3AM故二面角ABFD 的余弦2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分3方法二：取 EF 中点 P ，接 OP ，因四形 EFBD 等腰梯形，故 OP BD ，又平面 EFBD平面 ABCD ，交 BD ，故 OP 平面 ABCD ，如，以 O 坐原点，uuur uuur uuur分以 OA ， OB ， OP 的方向 x 、 y 、 z 的正方向，成立空直角坐系O xyz .因S梯形 EFBD1(EF BD)OP1( 2 22) OP32 2所以 OP2 ,A( 2,0，0), B(0，2,0), C( 2,0，0), F (0， 2, 2 )2 uuuruuur2 ，所以 AB( 2,，(0,2)2 0), BF2r( x, y, z) 平面 ABF 的法向量 nr uuur2x2 yrn AB，得，令 z 1(2, 2,1)由 r uuur0 2 y2z， n n BF2因 AOBD ，所以 AO 平面 EFBD ，uuur( 2,0,0)故平面 BFD 的法向量 OAuuur ruuur r 2 22OA n于是 cos OA, nuuur r2222123OA n 由意可知，所求的二面角的平面角是角，故二面角 A BF D 的余弦2⋯⋯12 分320. 【分析】（Ⅰ）由意可知， |HF|=|HP|，∴ 点 H 到点 F （0，1）的距离与到直l 1：y= 1 的距离相等，∴ 点 H 的迹是以点 F （0， 1）焦点，直l 1：y=1 准的抛物∴ 点 H 的迹方程 x 2=4y ．⋯⋯⋯ 2 分（Ⅱ）（ ⅰ）明： P （x 1， 1），切点 C （x C ，y C ）， D （x D ，y D ）．由12'1x ．∴直 PC ： y 1 14 x ，得 y2 2 x C ( x x 1) ，y又 PC 点 C ， y C 1 x C 2 ，∴ y c 1 1 x c ( x x 1 ) 1 x c 2 1 x c x 1 ，424 2∴ y c 1 2 y c1x c x 1 ，即 1x c x 1y c 1 0 ．同理 1x D x 1 22y D 1 0 ，2∴直 CD 的方程 1xx 1 y1 0∴直CD 定点（ 0 ，）．⋯⋯⋯6分21（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ） P （1， 1）在直 CD 的方程 1xx 1y 1 0，2得 x1=1，直 CD 的方程 1xy 1 0 ．2l ：y+1=k （x 1），与方程 1xy 10 立，求得 x Q4 2k． A(x A , y A ) ， B(x B , y B ) ．22k1立 y+1=k （x 1）与 x 24 y ，得x 2 4kx 4k 4 0 ，由根与系数的关系，得x Ax B 4k ． x A x B4k 4∵ x Q 1, x A 1, x B 1 同号，∴|PQ| |PQ| |PQ|( 11 ) |PA||PB||PA ||PB|1 k2 | x Q1| ?1 ( 11 )1 k2 | x 1| | x1|A B| x Q1| (11)1|| x B| x A 1|(42k1) ? x A x B 22k 1( x A 1)( x B 1) 5 4k 222k?51∴|PQ|| PQ |定，定 2.⋯⋯⋯ 12 分|PA||PB|21.【分析】（Ⅰ）当 a=1 ， f ( x)= e x x 1易知 f (x) 在 R 上增，且 f (0)0 ，所以，当 x 0 ， f ( x) 0 ；当 x， f ( x)故 f ( x) 在 ( ,0) 减，在 (0,) 增⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分（Ⅱ）由条件可得 g( x) e x 2ax2a ， g ( x) e x2a（i ）当 a 0 ， g( x)e x 0 ， g ( x) 无零点（ii ）当 a0 ， g ( x)0 ， g( x) 在 R 上增g(0) 1 2a, g(1) e①若 1 2a 0 ，即 a1 ， g(0)12a 0 ， g( x) 在 (0,1) 上有一个零点2②若 1 2a 0 ，即 a1 ， g(0) 0 ， g ( x) 有一个零点 021 2a12a12a 1③若 1 2a 0 ，即 0ae2a1 0 ， g (x) 在上有一个零2 ， g ()2a ,02a点⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（iii ）当 a 0 ，令 g ( x) 0 ，得 xln( 2a) ；令 g ( x) 0 ，得 xln( 2a)所以 g( x) 在,ln( 2a) 减，在 ln( 2a),增，g( x)min g(ln( 2a))2a ln( 2a) 22e①若 ln( 2a) 2 0 ，即a 0 ， g ( x)0 ， g(x) 无零点②若 ln(2a) 20 ，即 ae2 2e2③若 ln( 2a) 2 0 ，即 a2个零点；，， g(2) 0 ， g( x) 有一个零点 2g(1) e 0 ， g(ln( 2a)) 0 ， g (x) 在 1,ln( 2a) 有一⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分h( x)e xx 2 ( x 1) ， h (x)e x 2x ， u(x) e x 2x ， u ( x) e x2 ，当 x 1x2 e 20，所以 u(x)h (x) 在[1,) 增，， u ( x)eh ( x) h (1) e 20 ，所以 h( x) 在[1,) 增， h(x)h(1)e 10 ，即 x1 ，e x x 2 ，故 g( x) x 2 2ax 2ak (x)ln xx( x 1) ， k ( x)1 1 x ，所以 k( x) 在 [1,) 减，x1xk( x) k (1) 1 0，即 x 1 ， ln xx因 ae 2 ， 2ae 2 1 ，所以 ln(2a)2a ，又g( 2a) (2a)22a( 2a) 2a 2a 0，在 ln( 2a), 2a 上有一个零点，故g ( x)有g( x)两个零点上，当 a e2， g( x) 在1,ln(2a)和 ln(2a),2a上各有一个零点，共有两个零2点；当 a e2， g ( x) 有一个零点 2 ；当e2a0 ，g (x)无零点；当0 a1，222g( x) 在2a1,0上有一个零点；当 a1，g (x) 有一个零点0；当 a1，g ( x) 在2a22(0,1)上有一个零点.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分（22）（本小分 10 分）修 4-1：几何明明 :(Ⅰ)Q AB O 的一条直径；BF FH ,DH BDB, D , H , F 四点共⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解： (Ⅱ)AH 与 B相切于点 F ，由切割定理得 AF 2AD ，即22 AD，AC22解得AD4 ，所以 BD1AD AC1,BF BD 1，2又 AFB:ADH ，DH AD，得 DH 2 ，BF AF接 BH ，由（1）知 BHBDF 的外接直径，BHBD2DH 2 3 ，故BDF的外接半径3．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2（23）（本小分 10 分）修 4-4：坐系与参数方程解：（Ⅰ）因24(cos sin)224x 4 y 6 ，6 ，所以 x y所以 x2y24x 4 y 60 ，即 ( x2) 2( y 2) 22C的一般方程．所以所求的 C 的参数方程x2 2 cos (参数 ) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分y2 2 sin（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， x y 4 2(sincos ) 4 2sin()4当，即点 P 的直角坐 (3,3)，4xy 取到最大 6.⋯⋯10分（24）（本小分 10 分）修 4-5：不等式3 2x, x 1 2 得32x 2 或 x 2解： (Ⅰ) f ( x)1,1 x 2 由 f ( x) 2，2x 3, x2x 1 2x 3解得 x1或 x5.故所求数 x 的取范 (, 1) (5, ).⋯⋯5 分2 22 2（Ⅱ）由 m nm nm f (x) 且 m 0 得m nm n f (x)m又∵ m n m n m n m n2 ∴ f (x) 2 .mm∵ f ( x) 2 的解集 (, 1) ( 5, ) ，∴ f ( x)2的解集 [1 ,5] ，222 2∴所求数 x 的取范 [ 1 , 5] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2 2。

河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试卷(解析版).doc

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2015•衡阳三模）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．故选：B．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值的求法，是基础题．2．（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny ≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤101，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°∵=（1，﹣），∴||=2，又⊥（+），∴•（+）=0，∴=0，∴12+1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=120°故选：C【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，故它的逆否命题为假命题；即①正确；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求【解答】解：∵i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则==×2013=a1+b2013∵a1=1，a2=2，b1=2，∴a1+b2=a2+b1∴b2=3同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4b4=a2+b3﹣a1=5…∴b2013=2014=a1+b2013=2015即=2015故选D【点评】本题主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上所以构成的三角形为直角三角形所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，所以，解得，所以，答案为．【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有56种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z 的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：∵+=1，∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，∴xy====z++10≥6+10=16，当且仅当z=，即z=3时取等号，此时y=4，x=4，半径xy=16，则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理，得，∵sinA＞0，∴，即，∵0＜B＜π，∴．（2）∵由三角形面积公式，得，∴解得ac=4，∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．23．（12分）（2013•宁波模拟）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ的数学期望：．【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．。

2016-2017年河北省衡水中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．3．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，则=，即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，故选：C．4．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．5．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C．D．（2，4）【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．6．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∃n ∉N*，f（n）＞n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A （x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．8．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选：D．9．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故选：C．10．（5分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA ＞sinB，则A＞B，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C 判断错误．D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，故选：C．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故选：A．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．14．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F 1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：（1）（3）．【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣x A=8，解得x A=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．故答案为：（1）（3）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，所以事件M的概率为．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，得a=0.03．平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，则抽取3人的所有情形为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种第4组中恰有1人的情形有12种∴．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，=•|AB|•d=4，∴S△ABE∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，=8．∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．。

河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第三次月考数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷(理科）一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分,共65分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R,集合A={x|}，B={x｜1＜2x＜8}，则（∁U A）∩B等于(）A．［﹣1，3）B．（0,2］C．（1,2]D．（2，3）2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为()A．B．﹣C．2 D．﹣23．已知P是△ABC所在平面内一点，,现将一粒红豆随机撒在△ABC内,则红豆落在△PBC内的概率是（)A．B．C．D．4．已知正数x，y满足，则z=4﹣x•（)y的最小值为(）A．1 B．C．D．5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（)A．B．C．D．6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）(a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600 B．400 C．300 D．2007．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0。

7x+0。

35，那么表中m值为(）x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4。

5A．4 B．3。

15 C．4.5 D．38．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为,则这个四棱锥的外接球的表面积为(）A．12πB．36πC．72πD．108π9．将标号为1，2,3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=｜ln（x﹣1）|，若f（a）=f（b)，则a+2b的取值范围为（）A．（4，+∞）B．C．［6,+∞）D．11．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1812．按图所示的程序框图运算:若输出k=2，则输入x的取值范围是（)A．（20，25］B．（30,32］C．（28，57］D．（30，57]13．数列｛a n}中，a n+（﹣1)n a n=2n﹣1，则数列{a n｝前12项和等于（）+1A．76 B．78 C．80 D．82二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上)14．的展开式中的常数项为．15．若α∈(0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为．16．过点(3，1)作圆(x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为．17．已知O为△ABC的外心，||=16,||=10,若，且32x+25y=25，则｜｜=•三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A,B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．19．设数列{a n}的前n项和为S n,己知a1═1,S n=2S n+n+1（n∈N＊）．+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2）若b n=，数列｛b n}的前n项和为T n，n∈N*，求T n．20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．(1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷"（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？(注:0.95以上把握说明有关）非体育迷体育迷合计男女10 55合计(2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D(X）附：X2=，P(X2≥k) 0.05 0.01k 3.841 6。

河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第三次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R ，集合A={x |}，B={x |1＜2x ＜8}，则（∁U A ）∩B 等于（）A ．[﹣1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）2．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则log 4f （2）的值为（）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣23．已知P 是△ABC 所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是（）A ．B ．C ．D ．4．已知正数x ，y 满足，则z=4﹣x •（）y 的最小值为（）A ．1B ．C ．D ．5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N （90，a 3）（a ＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（） A ．600 B ．400 C ．300 D ．2007．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为=0.7x +0.35，8．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π9．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=|ln（x﹣1）|，若f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．（4，+∞）B．C．[6，+∞）D．11．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1812．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]13．数列{a n}中，a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于（）+1A．76 B．78 C．80 D．82二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．的展开式中的常数项为．15．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为．16．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为．17．已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=•三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．=2S n+n+1（n∈N*）．19．设数列{a n}的前n项和为S n，己知a1═1，S n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，n∈N*，求T n．20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？0.95法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）附：X2=，k 3.841 6.63522．已知函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．23．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|}，B={x|1＜2x＜8}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，3）B．（0，2]C．（1，2]D．（2，3）【考点】指数函数单调性的应用；交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出集合A，B，然后根据集合的运算求解即可．【解答】解：因为集合A={x|}=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|1＜2x＜8}=（0，3），又全集U=R，∴∁U A=（﹣1，2]，∴（∁U A）∩B=（0，2]，故选B．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】幂函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点．【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．【解答】解：由设f（x）=x a，图象过点（，），∴（）a=，解得a=，∴log4f（2）=log42=．故选A．3．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据P是△ABC所在平面内一点，，得点P是△ABC的重心．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．【解答】解：∵P 是△ABC 所在平面内一点，，∴P 是△ABC 的重心，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的．∴S △PBC =S △ABC ，将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为P=．故选B ．4．已知正数x ，y 满足，则z=4﹣x •（）y 的最小值为（）A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：=2﹣2x •2﹣y =2﹣2x ﹣y ，设m=﹣2x ﹣y ，要使z 最小，则只需求m 的最小值即可．作出不等式组对应的平面区域如图：由m=﹣2x ﹣y 得y=﹣2x ﹣m ，平移直线y=﹣2x ﹣m ，由平移可知当直线y=﹣2x ﹣m ，经过点B 时，直线y=﹣2x ﹣m 的截距最大，此时m 最小．由，解得，即B （1，2），此时m=﹣2﹣2=﹣4，∴的最小值为，故选：C5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的侧面积即可．【解答】解：该几何体是高为1，底面对角线长为2的菱形构成的四棱锥A﹣BCDE，如图所示，在直角三角形ABE中，AB=1，BE=，∴AE=，在三角形AED中，AE=，ED=，AD=，∴AE2+DE2=AD2，∴三角形AED是直角三角形，则该几何体的侧面积为S=2×（）+2×（）=+，故选C．6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600 B．400 C．300 D．200【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已恬得考试成绩在70分到110分之间的人数为600，落在90分到110分之间的人数为300人，由此能求出数学考试成绩不低于110分的学生人数．【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600，则落在90分到110分之间的人数为300人，故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200．故选：D．7．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，m【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．8．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．36πC．72πD．108π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO==3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，球的表面积S=4πr2=36π故选B．9．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，每盒放2个，基本事件总数n==90，标号为1，6的小球不在同一盒中，包含的基本事件个数m=﹣3C42=90﹣18=72，由此能求出标号为1，6的小球不在同一盒中的概率．【解答】解：将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，每盒放2个，基本事件总数n==90，先从3个盒子中选一个放标号为1，6的小球，有3种不同的选法，再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有C42=6种放法，余下放入最后一个盒子，∴1，6的小球在同一盒中的放法共有3C42=18种，故标号为1，6的小球不在同一盒中，包含的基本事件个数为：m=﹣3C42=90﹣18=72，∴标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为：p===．故选：A．10．已知函数f（x）=|ln（x﹣1）|，若f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．（4，+∞）B．C．[6，+∞）D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的解析式德，得到b=+1，再利用基本不等式即可求出2a+b的范围【解答】解：∵函数f（x）=|ln（x﹣1）|，f（a）=f（b），且x＞1，∴﹣ln（a﹣1）=ln（b﹣1），∴=b﹣1，∴b=+1，∴a+2b=a++2=a﹣1++3≥3+2=3+2，当且仅当a=+1取等号，∴a+2b的取值范围是[3+2，+∞）故选：B11．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】二项式定理的应用．【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B12．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x＞115，k=2时满足条件x＞11，求得x的范围．【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，当输出k=2时，应满足，得28＜x≤57．故选：C．13．数列{a n}中，a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于（）+1A．76 B．78 C．80 D．82【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11， (12)a11=21，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，利用数列的结构特征，求出{a n}的前12项和．+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9．a7+a6=11，…a11+a10=19，a12﹣a11=21 ∴a1+a3=2，a4+a2=8…a12+a10=40∴从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．的展开式中的常数项为﹣5．【考点】二项式定理．【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．=C6r（﹣1）r x6﹣2r，【解答】解：的展开式的通项为T r+1当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，的展开式有常数项1×（﹣20）=﹣20，当r=4时，T5=﹣C64=15，的展开式有常数项x2×15x﹣2=15，因此常数项为﹣20+15=﹣5故答案为﹣515．若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【考点】二倍角的正弦．【分析】由题意可得3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，求得cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=，分类讨论求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，故答案为：1，或﹣．16．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为2x+y﹣3=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣）2=，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y﹣3=0，故答案为：2x+y﹣3=0．17．已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=10•【考点】三角形五心；向量的模；平面向量的基本定理及其意义．【分析】若，则，根据向量数量积的几何意义分别求出，后，得出关于x，y的代数式，利用32x+25y=25整体求解．【解答】解：如图．若，则，O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线．=||（||cos∠DAO）=||×AD=||××||=16×8=128同样地，=||2=100所以2=128x+100y=4（32x+25y）=100∴||=10故答案为：10．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）把函数解析式的第三项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域可得出f（x）的值域，进而确定出函数f（x）的最大值，根据余弦函数的图象与性质可得出取得最大值时x的范围，确定出此时x的集合；（2）由第一问得到的解析式，根据f（A）=0，利用余弦函数的图象与性质得出A=kπ+（k∈Z），并根据A为三角形的内角，确定出A的度数，由a，sinA的值，利用正弦定理用sinB 和sinC分别表示出b与c，代入b+c中，并根据A的度数，求出B+C的度数，用B表示出C代入b+c化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可确定出b+c的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）f（x）=1﹣sin2x+2cos2x=cos2x﹣sin2x+2=2cos（2x+）+2，∵﹣1≤cos（2x+）≤1，∴0≤2cos（2x+）+2≤4，∴f（x）的最大值为4，当2x+=2kπ（k∈Z），即x=kπ﹣（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，则此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（2）由f（A）=0得：2cos（2A+）+2=0，即cos（2A+）=﹣1，∴2A+=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+（k∈Z），又0＜A＜π，∴A=，∵a=1，sinA=，由正弦定理==得：b==sinB，c=sinC，又A=，∴B+C=，即C=﹣B，∴b+c=（sinB+sinC）= [sinB+sin（﹣B）]=（sinB+cosB+sinB）=2（sinB+cosB）=2sin（B+），∵A=，∴B∈（0，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，则b+c的取值范围为（1，2]．19．设数列{a n}的前n项和为S n，己知a1═1，S n+1=2S n+n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，n∈N*，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由条件求得a2=3，当n≥2时，将n换为n﹣1，两式相减可得a n+1=2a n+1，两边加1，由等比数列的通项公式即可得到所求通项；（2）b n=n•（）n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）由a1=1，S n+1=2S n+n+1①，可得S2=2S1+2，即a1+a2=2a1+2，解得a2=3，当n≥2时，S n=2S n﹣1+n②，①﹣②，可得a n+1=2a n+1，即有a n+1+1=2（a n+1），可得a n+1=（a2+1）•2n﹣2=2n，对n=1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*）；（2）b n===n•（）n，T n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+n•（）n+1，两式相减可得，T n=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1=﹣n•（）n+1，化简可得T n=2﹣．20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAB．（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，则∠AHD是面PCD 与面PBA所成的二面角的平面角，由此能求出面PCD与面PAB所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．∴BC∥AD且∠DAB=90°，BC⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，而PA∩PB=A，∴BC⊥平面PAB…（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ，∴AD⊥PQ且AH⊥PQ，∴PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．∴∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角．…由题意得，，∴，∴，∴cos∠AHD=．∴面PCD与面PAB所成二面角的余弦值为．21．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？0.95法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）附：X2=，k 3.841 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X～B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2 2K2=≈3.030．…因为3.030＜3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．…（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率．…由题意知X～B（3，），从而X的分布列为…，．…22．已知函数f （x ）=m +log a x （a ＞0且a ≠1）的图象过点（8，2），点P （3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q 在f （x ）的图象上．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）令g （x ）=2f （x ）﹣f （x ﹣1），求g （x ）的最小值及取得最小值时x 的值．【考点】基本不等式；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）首先求出点P 关于直线x=2的对称点，然后把点（8，2）和P 的对称点的坐标代入函数f （x ）的解析式联立解方程组可求f （x ）的解析式；（Ⅱ）把f （x ）的解析式代入函数g （x ）=2f （x ）﹣f （x ﹣1），整理后把得到的函数中对数式的真数运用基本不等式求出最小值，然后借助于对数函数的单调性可求函数g （x ）的最小值．【解答】解析：（Ⅰ）点P （3，﹣1）关于直线x=2的对称点Q 的坐标为Q （1，﹣1）结合题设知，可得，即，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f （x ）=﹣1+log 2x ．（Ⅱ）g （x ）=2f （x ）﹣f （x ﹣1）=2（﹣1+log 2x ）﹣[﹣1+log 2（x ﹣1）]=（x ＞1），∵，当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log 2x 在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g （x ）取得最小值1．23．已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3=0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |=|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C 的切线在x 轴和y 轴的截距相等，设出切线方程x +y=a ，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d ，让d 等于圆的半径r ，列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx ，同理列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM 为直角三角形，根据勾股定理表示出点P 的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P 的轨迹为一条直线，所以|PM |的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．2017年1月11日。

河北省衡水市冀州中学2016届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}2．“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若角α的终边上有一点P（﹣1，m），且sinαcosα=，则m的值为（）A．B．C．或D．4．下列叙述正确的是（）A．命题：∃x∈R，使x3+sinx+2＜0的否定为：∀x∈R，均有x3+sinx+2＜0B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1．C．己知n∈N，则幂函数y=x3n﹣7为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减的充要条件为n=1D．把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象5．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S66．P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上7．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若|对x∈R恒成立且，则下列结论正确的是（）A．B．C．f（x）是奇函数D．是f（x）的单调递增区间8．已知A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2+x+=成立的实数x的取值集合为（）A．{﹣1}B．∅C．{0}D．{0，﹣1}9．在各项均为正数的等比数列{a n}中，（a1+a3）（a5+a7）=4a42，则下列结论中正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{a n}是递减数列C．数列{a n}是常数列D．数列{a n}有可能是递增数列也有可能是递减数列10．将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2014﹣5=（）A．2 018×2 012 B．2 020×2 013 C．1 009×2 012 D．1 010×2 01311．设sinα＞0，cosα＜0，且sin＞cos，则的取值范围是（）A．（2kπ+，2kπ+），k∈ZB．（ +， +），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈ZD．（2kπ+，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+π），k∈Z12．已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=π二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13．设向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π，若|2+|=|﹣2|，则β﹣α．14．数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2016=．15．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数；②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是．16．已知数列{a n}满足a1=15，，则的最小值为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．18．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．19．数列{a n}是等差数列，若公差d≠0，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若对任意的n∈N*，不等式++…≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．20．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=．（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设∠PRQ=θ，求tanθ．21．设二次方程a n x2﹣a n+1x+1=0（n∈N*）有两根α、β，且满足6α﹣2αβ+6β=3．（1）试用a n表示a n+1；（2）求证：{a n﹣}是等比数列；（3）若a1=，求数列{a n}的通项公式．22．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n sin2θ=sin2θcos2nθ．（Ⅰ）当θ=时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{b n}满足b n=sin，S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n＜3+．2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解分式不等式和一元二次不等式化简集合A与集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由，得，解得0≤x＜1．所以{x|}={x|0≤x＜1}，又B={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，所以A∩B={x|0≤x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式及二次不等式的解法，是基础的运算题．2．“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，可得＜2，解出即可判断出．【解答】解：圆x2+y2﹣4y=0配方为：x2+（y﹣2）2=4，可得圆心C（0，2），半径R=2．若直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交，则＜2，解得﹣2＜b＜6，因此“|b|＜2是“直线y=x+b与圆x2+y2﹣4y=0相交”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若角α的终边上有一点P（﹣1，m），且sinαcosα=，则m的值为（）A．B．C．或D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用考查任意角的三角函数的定义，求得m的值．【解答】解：∵角α的终边上有一点P（﹣1，m），∴sinα=，cosα=．再根据sinαcosα=，可得=，求得m=﹣或m=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．下列叙述正确的是（）A．命题：∃x∈R，使x3+sinx+2＜0的否定为：∀x∈R，均有x3+sinx+2＜0B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1．C．己知n∈N，则幂函数y=x3n﹣7为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减的充要条件为n=1D．把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】逐项判断即可．A、根据特称命题的否定形式判断；B、x=1或x=﹣1的否定为：x≠1且x≠﹣1；C、根据幂函数的性质易得；D、图象向左平移，应把x换成x+，从而得到D错误．【解答】解：A、根据特称命题的否定可知A错误；B、原命题的逆否命题应为：“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”，故B错误；C、因为幂函数为偶函数，所以3n﹣7为偶数，又函数为减函数，所以3n﹣7＜0，得：n≤2，故n=1，所以C正确；D、把函数y=sin2x的图象向左平移个单位所得函数的解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+π）=﹣sin2x，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了含有一个量词的命题的否定，逆否命题，幂函数的性质以及函数图象的平移．考查基本知识的掌握情况．属于基础题．5．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S6【考点】等差数列的性质．【分析】先根据d＜0，|a3|=|a9|确定a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，进而根据等差中项性质可知a6=0，进而可推断a5＞0，a7＜0；最后根据S6=S5+a6进而推断出S6=S5【解答】解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，∴a6=0，a5＞0，a7＜0；∴S5=S6．故选D【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．6．P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答】解：∵，，∴=，则，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，故选B．【点评】本题主要考查向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题．属于中档题．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若|对x∈R恒成立且，则下列结论正确的是（）A．B．C．f（x）是奇函数D．是f（x）的单调递增区间【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用正弦函数的对称性与单调性，可求得φ=2kπ+（k∈Z），于是得到f（x）=sin（2x+），再对A、B、C、D四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ），|对x∈R恒成立，∴x=为函数f（x）的一条对称轴，∴2×+φ=kπ+（k∈Z）；∴φ=kπ+（k∈Z）；又，∴sin（π+φ）＜sin（2π+φ），∴sinφ＞0，∴φ=2kπ+（k∈Z），∴f（x）=sin（2x+）；对于A，∵f（）=sin（+）=0，故A错误；对于B，f（）=sin（+）=﹣sin（+）＜sin（+）=f（），故B错误；对于C，f（0）=sin=≠0，故f（x）不是奇函数，故C错误；对于D，当x∈[0，]时，（2x+）∈[，]，f（x）=sin（2x+）为增函数，故D正确．故选：D．【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的对称性、奇偶性与单调性的综合判断，考查分析、运算能力，属于中档题．8．已知A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2+x+=成立的实数x的取值集合为（）A．{﹣1}B．∅C．{0}D．{0，﹣1}【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以o为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x．【解答】解：，即即∵A，B，C共线，∴﹣x2+1﹣x=1，解得x=0，﹣1当x=0时，，此时B，C两点重合，不合题意故选A．【点评】本题考查向量的运算法则、三点共线的充要条件：A，B，C共线⇔，其中x+y=19．在各项均为正数的等比数列{a n}中，（a1+a3）（a5+a7）=4a42，则下列结论中正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{a n}是递减数列C．数列{a n}是常数列D．数列{a n}有可能是递增数列也有可能是递减数列【考点】等比数列的性质．【分析】由条件利用等比数列的定义和性质可得+=2，设公比为q，则得q4+q8=2q6，求得q2=1，q=1，由此得出结论．【解答】解：各项均为正数的等比数列{a n}中，∵成立，即a1a5+a1a7+a3a5+a3a7=4成立．利用等比数列的定义和性质化简可得+++=4，进一步化简得+=2．设公比为q，则得q4+q8=2q6，化简可得1+q4=2q2，即（q2﹣1）2=0，∴q2=1，故q=1．，故此等比数列是常数列，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，求得q2=1，是解题的关键，属于中档题．10．将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2014﹣5=（）A．2 018×2 012 B．2 020×2 013 C．1 009×2 012 D．1 010×2 013 【考点】归纳推理．【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，a1=2+3=×（2+3）×2；n=2时，a2=2+3+4=×（2+4）×3；…由此我们可以推断：a n=2+3+…+（n+2）=×[2+（n+2）]×（n+1）∴a2014﹣5=×[2+（2014+2）]×（2014+1）﹣5=1010×2013．故选D．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．设sinα＞0，cosα＜0，且sin＞cos，则的取值范围是（）A．（2kπ+，2kπ+），k∈ZB．（ +， +），k∈ZC．（2kπ+，2kπ+π），k∈ZD．（2kπ+，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+π），k∈Z【考点】三角函数线．【分析】通过已知条件判断角的范围，推出的范围，利用不等关系式，求解即可．【解答】解：由sinα＞0，cosα＜0，故+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，故+＜＜+，当k=3n时， +2nπ＜＜+2nπ，由sin＞cos，故+2nπ＜＜+2nπ，n ∈Z当k=3n+1时， ++2nπ＜＜++2nπ，故+2nπ＜＜π+2nπ，n∈Z，符合sin＞cos当k=3n+2时， ++2nπ＜＜++2nπ，故+2nπ＜＜+2nπ，n∈Z，不符合sin＞cos综上， +2nπ＜＜+2nπ或+2nπ＜＜π+2nπ，n∈Z，即， +2kπ＜＜+2kπ或+2kπ＜＜π+2kπ，k∈Z，故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，三角函数的不等式的应用，注意角的范围以及三角函数线分类讨论思想的应用．12．已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=π【考点】正弦函数的对称性．【分析】函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ﹣，由此可求得a=tan∅=tan（kπ﹣）=﹣，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．【解答】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又图象关于对称，∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ﹣，由此可求得a=tan∅=tan（kπ﹣）=﹣，∴函数y=﹣sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=﹣）其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，即x=kπ+﹣θ又tanθ=﹣，故θ=k1π﹣，k1∈z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k﹣k1）π++=（k﹣k1）π+，k﹣k1∈z，当k﹣k1=1时，对称轴方程为x=故选A．【点评】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13．设向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π，若|2+|=|﹣2|，则β﹣α．【考点】向量的模．【分析】利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积公式求出；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程求出，求出两个角的差．【解答】解：∵，∴，=cos（β﹣α）∵∴∴即cos（β﹣α）=0；又有0＜α＜β＜π，∴故答案为【点评】本题考查向量模的坐标公式、向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方．=，若a1=，则a2016=．14．数列{a n}满足a n+1【考点】数列递推式．【分析】直接由数列递推式分段求出数列的前几项，可得数列{a n}是周期为3的周期数列，则答案可求．=，且a1=，得：【解答】解：由a n+1，，，，…，由上可知，数列{a n}是周期为3的周期数列，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了分段函数的应用，是基础题．15．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数；②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是①②．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】将函数f（x）化简成y=Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数图象及性质对各项进行判断即可．【解答】解：函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，化简得：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）．函数f（x）的单调增区间为[kπ，]，（k∈Z），当k=0时，可得函数f（x）在区间[﹣，]上是单调递增；∴①对．函数f（x）的对称中心坐标为（，0），（k∈Z），当k=1时，可得函数f（x）的对称中心坐标为（，0）；∴②对．函数y=sin2x的图象向左平移得到y=sin2（x+）=cos2x．∴③不对．当x∈[0，]，那么，当时，函数f（x）取得最小值为1，∴值域为[1，]．∴④不对．故答案为：①②．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的综合运用能力和计算，有一定的综合性，属于中档题．16．已知数列{a n}满足a1=15，，则的最小值为．【考点】数列递推式．【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求出数列的通项公式，得到关于n的函数，然后利用函数单调性求得最小值．【解答】解：由，得a n﹣a n=2n，+1∵a1=15，）∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1=15+2+4+…+2（n﹣1）=15+2×=n2﹣n+15．∴=n+﹣1，令f（x）=x+，得，∴当n取1，2，3时，n+﹣1减小，当n取大于等于4的自然数时n+﹣1的值增大．∵n=3时，=3+5﹣1=7；n=4时，=4+﹣1=．∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式的应用．【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根∴∴|x1﹣x2|==∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，由不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．可得：a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1，∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1，命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．①当a＞0时，显然有解．②当a=0时，2x﹣1＞0有解③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，从而命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．又命题q是假命题，∴a≤﹣1，故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a≤﹣1．【点评】若p为真命题时，参数a的范围是A，则p为假命题时，参数a的范围是C R A．这个结论在命题的否定中经常用到，请同学们熟练掌握18．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为bcsinA，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6ccos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bcsinA=32=．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．19．数列{a n}是等差数列，若公差d≠0，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若对任意的n∈N*，不等式++…≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a3是a1，a9的等比中项．∴=a1（a1+8d），即（1+2d）2=1+8d，d≠0，解得d=1．∴通项公式a n=1+（n﹣1）=n．（2）由通项公式知：==，∴++…+=+…+=1﹣≥，∵对任意的n∈N*，不等式++…+≥λ恒成立，∴．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=．（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设∠PRQ=θ，求tanθ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系．【分析】（Ⅰ）由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求ω，把p（1，0）代入f（x），结合|φ|≤，即可求得φ的值，把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式．（Ⅱ）由∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，根据tan（﹣θ）=即可解得tanθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵∠PQR=，∴OQ=OR，∵Q（m，0），∴R（0，﹣m），…又M为QR的中点，∴M（，﹣），又|PM|=，=，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2（舍去），…∴R（0，4），Q（4，0），=3，T=6，=6，，…把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+φ），Asin（+φ）=0，∵|φ|≤，∴φ=﹣．…把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），Asin（﹣）=﹣4，A=．…f（x）的解析式为f（x）=sin（x﹣）．所以m的值为4，f（x）的解析式为f（x）=sin（x﹣）．…（Ⅱ）在△OPR中，∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，∴tan（﹣θ）=，…∴=，解得tanθ=．…【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数关系、正余弦定理等解三角形基础知识；考查两点间距离公式、运算求解能力以及化归与转化思想．21．设二次方程a n x2﹣a n+1x+1=0（n∈N*）有两根α、β，且满足6α﹣2αβ+6β=3．（1）试用a n表示a n+1；（2）求证：{a n﹣}是等比数列；（3）若a1=，求数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式；一元二次方程的根的分布与系数的关系；等比关系的确定．【分析】（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α﹣2αβ+6β=3整理即可得．（2）对（1）的结论两边同时减去整理即可证：数列{}是等比数列；（3）先利用（2）求出数列{}的通项公式，即可求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由韦达定理得：，，由6α﹣2αβ+6β=3得6﹣=3，故．（2）证明：因为=a n ﹣=（），所以，故数列{}是公比为的等比数列；（3）当时，数列{}的首项，故==，于是．a n =．【点评】本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．22．已知数列{a n }满足：a 1=1，a n +1﹣a n sin 2θ=sin2θcos 2n θ．（Ⅰ）当θ=时，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{b n }满足b n =sin ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求证：对任意n ∈N *，S n ＜3+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当时，，，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：a n =，可得，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n ≥4时，由于，利用“错位相减法”、等比数列的前n 项函数公式即可得出．【解答】（1）解：当时，，，∴{2n ﹣1a n }是以1为首项、1为公差的等差数列，2n ﹣1a n =n ，从而．（2）证明：，∴当n=1，2，3时，；当n ≥4时，∵，，令，两式相减得，．综上所述，对任意．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项函数公式、三角函数的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

河北省衡水市冀州中学高二数学上学期第五次月考试题(B

P Q≤开始结束否是0,1,0P Q n ===n输出n P P a =+a输入21Q Q =+1n n =+河北冀州中学2015—2016学年度上学期第五次月考高二年级数学试题（理）考试时间150分钟试题分数120分一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合 {}{}21|,1,|2,23x A y y a y a B y y x -=<>+==≤≤或，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．3,2⎡⎤⎣⎦ C. (,2)3,2⎡⎤-∞-⎣⎦U D (,33,2⎤⎡⎤-∞-⎦⎣⎦U2. 命题“存在Z x ∈,使022≤++m x x ”的否定是（）A ．存在Z x ∈,使022>++m x xB ．不存在Z x ∈,使022>++m x xC ．对于任意Z x ∈,都有022>++m x xD ．对于任意Z x ∈,都有022≤++m x x3．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，则目标函数23 z x y =-的最大值为（）A ．5B ．4C ．3D ．24.抛物线22y x =上的两点A,B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A.2 B.3 C.4 D.55. 设b a ,R ∈,则()"0"2<•-a b a 是""b a <的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.下列命题中正确的是（）A.1y x x =+的最小值是2 B.2232x y x +=+的最小值是2C. ()4230y x x x=-->的最小值是243- D.()4230y x x x =-->的最大值是243-7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．错误!未找到引用源。

《解析》河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第二次月考数学理试卷Word版含解析

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题1．设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N 为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣1，0]2．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．63．设a=0.5，b=0.9，c=log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c4．已知||=，||=3，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．5．定义在R上的函数f（x）满足则f（8）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．47．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．28．数列{a n}的首项为1，{b n}为等比数列且b n=（n∈N*），若b4b5=2，则a9=（）A．16 B．32 C．4 D．89．已知α∈（0，π），cos（α+）=﹣，则tan2α=（）A．B．﹣或﹣C．﹣D．﹣10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）11．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种12．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．13．（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．36014．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．（1，2）D．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案直接答在答题纸上）16．（4分）在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cosB=．17．（4分）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是．18．（4分）设x，y满足约束条件的取值范围是．19．（4分）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为．20．（4分）若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．（1）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（2）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．22．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=，cosC=（Ⅰ）求a：b：c；（Ⅱ）若|+|=，求△ABC的面积．23．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB ⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．24．（12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）25．（12分）已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3）．令b n =．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若f （x ）=2x ﹣1，求证：T n =b 1f （1）+b 2f （2）+…+b n f （n ）＜（n ≥1）．26．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x +3）2+（y ﹣1）2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=4（1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为2，求直线l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（2009•陕西）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集．【解答】解：不等式x2﹣x≤0转化为x（x﹣1）≤0解得其解集是{x|0≤x≤1}，而函数f（x）=ln（1﹣|x|）有意义则需：1﹣|x|＞0解得：﹣1＜x＜1所以其定义域为{﹣1＜x＜1}，所以M∩N=[0，1），故选A【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算．2．（2016•张家口模拟）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．3．（2015秋•太和县期末）设a=0.5，b=0.9，c=log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由幂函数的性质比较a，b的大小，再由对数函数的性质可知c＜0，则答案可求．【解答】解：∵0＜＜0.50=1，c=log50.3＜log51=0，而由幂函数y=可知，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了幂函数与对数函数的性质，是基础题．4．（2016•中山市校级模拟）已知||=，||=3，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】将向量分解到，，可得=+，由解直角三角形知识和向量共线定理，可得m，n，即可得到所求值．【解答】解：如图所示，将向量分解到，，可得=+，由||=||cos30°=||，||=||sin30°=||，则m==，n==，即有=3．故选：B．【点评】本题考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的分解，以及向量共线定理的运用，属于基础题．5．（2011秋•枣庄期末）定义在R上的函数f（x）满足则f（8）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】根据分段函数f（x）的解析式所给的自变量x的取值范围可判断出8的所属区间然后代入相应的解析式即可得解．【解答】解：∵满足且8＞0∴f（8）=f（7）﹣f（6）∵7＞0∴f（7）=f（6）﹣f（5）∴f（8）=﹣f（5）∵5＞0∴f（8）=﹣f（5）=﹣[f（4）﹣f（3）]∵4＞0∴f（8）=﹣[f（4）﹣f（3）]=f（2）∵2＞0∴f（2）=f（1）﹣f（0）∴f（8）=f（1）﹣f（0）∵1＞0∴f（1）=f（0）﹣f（﹣1）∴f（8）=f（1）﹣f（0）=﹣f（﹣1）∵﹣1＜0∴f（﹣1）==1∴f（8）=﹣1故选A【点评】本题主要考察了已知分段函数求值，属常考题型，较易．解题的关键是判断出8的所属区间然后代入相应的解析式然后如此继续最终得出f（8）=﹣f（﹣1）！6．（2015•怀化二模）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+2048=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．（2016春•金昌校级期末）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【专题】转化思想；转化法；直线与圆．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．8．（2016秋•冀州市校级月考）数列{a n}的首项为1，{b n}为等比数列且b n=（n∈N*），若b4b5=2，则a9=（）A．16 B．32 C．4 D．8【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质结合已知得到，代入b n=得到=16．从而求得答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列，∴b1b8=b2b7=b3b6=b4b5=2，∴．则=16．∴a9=16a1=16．故选：A．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，训练了累积法求数列的通项，是中档题．9．（2014•金水区校级二模）已知α∈（0，π），cos（α+）=﹣，则tan2α=（）A．B．﹣或﹣C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知求得α+∈（，），从而可求sin（α+）的值，进而可求tan（α+）=±1，从而解得tanα=﹣2或+2，从而由二倍角公式可求tan2α的值．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵cos（α+）=﹣，∴sin（α+）=±=±，∴tan（α+）====±1，从而解得tanα=﹣2或+2，∴tan2α===﹣或tan2α===﹣．故选：C．【点评】本题考查二倍角的正切，求得tanα的值是关键，考查运算能力，属于基本知识的考查．10．（2016•安徽一模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意，利用周期公式可求．由f（x）≤f（）恒成立，结合范围|φ|＜，可求φ=，令=kπ（k∈Z），即可解得f（x）的对称中心，即可得解．【解答】解：由f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，得．因为f（x）≤f（）恒成立，所以f（x），即+φ=+2kπ（k∈Z），由|φ|＜，得φ=，故f（x）=sin（）．令=kπ（k∈Z），得x=2kπ﹣，（k∈Z），故f（x）的对称中心为（2kπ﹣，0）（k∈Z），当k=0时，f（x）的对称中心为（﹣，0），故选：A．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．11．（2015•菏泽一模）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】分类讨论，最前排甲；最前只排乙，最后不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最前排甲，共有=120种，最前只排乙，最后不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（2014•达州模拟）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】压轴题．【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax ﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．13．（2014•河南模拟）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．360【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由于（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n=10，=•2r•，令5﹣=0，求得r=2，故（+）10展开式的通项公式为T r+1∴展开式中的常数项是•22=180，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．14．（2010•眉山一模）设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．（1，2）D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；数形结合．【分析】题中原方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有5个不同实数解，即要求对应于f （x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f （x）=a时，它有三个根；再结合2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，即可求出结论．【解答】解：∵题中原方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．所以有：1＜a＜2 ①．再根据2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，得：△=（2a+3）2﹣4×2×3a＞0⇒②结合①②得：1＜a＜或a＜2．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．15．（2016•太原一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，==2∴S△SAD设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案直接答在答题纸上）16．（4分）（2015•江西校级一模）在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cosB=．．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】正弦定理可求sinB，由三角形中大边对大角可得∠B＜∠A，即∠B为锐角，由同角三角函数关系式即可求cosB．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===，∵a=3＞b=2，∴由三角形中大边对大角可得∠B＜∠A，即∠B为锐角．∴cosB==．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查．17．（4分）（2015•淮安一模）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是25．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】由两直线平行的条件得到，由2a+3b=（2a+3b）（）展开后利用基本不等式求得最值．【解答】解：∵直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，∴a（b﹣3）﹣2b=0且5a+12≠0，∴3a+2b=ab，即，又a，b均为正数，则2a+3b=（2a+3b）（）=4+9+．当且仅当a=b=5时上式等号成立．故答案为：25．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．18．（4分）（2010•河南二模）设x，y满足约束条件的取值范围是[，11] ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．【解答】解：由z==1+2×=1+2×，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域．而z表示可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率的2倍加1．数形结合可得，在可行域内取点A（0，4）时，z有最大值11，在可行域内取点B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故答案为：[，11]．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率，属于线性规划中的延伸题，解题的关键是对目标函数的几何意义的理解．19．（4分）（2016•安庆二模）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为9．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列求和公式化简已知条件，求出数列的通项公式，然后化简不等式，分离变量λ，利用函数的单调性求解函数的最值即可．【解答】解：，⇒a n=2n﹣1，n∈N*．就是．在n≥1时单调递增，其最小为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9．故答案为：9．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性以及函数最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．20．（4分）（2015秋•荆门期末）若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于﹣22015．【考点】二项式定理的应用．【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．【分析】（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，可得：当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．即可得出．【解答】解：∵（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，∴当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．∴a2+a4+…+a2014+a2016=﹣22015．故答案为：﹣22015．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）（2016秋•冀州市校级月考）已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．（1）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（2）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理．【专题】常规题型；函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）首先把f（x）写出分段函数，要使得f（x）有最小值，a+2≥0且a﹣2≤0；（2）函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解“，亦即有解．【解答】解：（1），要使函数f（x）有最小值，需∴﹣2≤a≤2，故a的取值范围为[﹣2，2]．（2）∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（sinx）=（a﹣2）sinx+4，“h（x）=f（sinx）﹣2=（a﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解“，亦即有解，∴，解得a≤0或a≥4，∴a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【点评】本题主要考查了绝对值函数与分段函数性质、函数零点、等价转化思想，属中等题．22．（12分）（2016秋•冀州市校级月考）已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=，cosC=（Ⅰ）求a：b：c；（Ⅱ）若|+|=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π﹣（A+C）]展开即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（I ）依题设：sinA===，sinC===，故cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos （A+C）=﹣（cosAcosC+sinAsinC）=﹣（﹣）=．故sinB===，从而有：sinA：sinB：sinC=：：=4：5：6再由正弦定理易得：a：b：c=4：5：6．（II ）由（I ）知：不妨设：a=4k，b=5k，c=6k，k＞0．故知：||=b=5k，||=a=4k．依题设知：||2+||2+2||||cosC=46⇒46k2=46，又k＞0⇒k=1．故△ABC的三条边长依次为：a=4，b=5，c=6．=absinC==．故有S△ABC【点评】本题主要考察了两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用，考察学生的计算能力，属于基础题．23．（12分）（2016•温州一模）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC 上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．24．（12分）（2015秋•黄冈期末）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，利用列举法求出基本事件个数，并找出可使|a﹣b|＞1发生的基本事件个数．由此能求出事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，利用几何概型能求出此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率．【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个，…（3分）其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故．…（6分）（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，则着弹点就不能落在分别以6为中心，半径为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分…（7分）因为，…（9分）满足题意部分的面积为，…（11分）故所求概率为．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型概率计算公式的合理运用．=2S n 25．（12分）（2015•广东模拟）已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，其前n项和S n满足S n+S n﹣2+2n﹣1（n≥3）．令b n=．﹣1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．【考点】数列递推式；数列的函数特性；不等式的证明．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意知a n=a n﹣1+2n﹣1（n≥3）（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n+1．（Ⅱ）由于=．故T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）=，由此可证明Tn=b1f （1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知S n﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2n﹣1（n≥3）即a n=a n﹣1+2n﹣1（n≥3）∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1（n≥3）检验知n=1、2时，结论也成立，故a n=2n+1．（Ⅱ）由于b n=，f（x）=2x﹣1，∴=．故T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）==．【点评】本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题．仔细解答．26．（12分）（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．。

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2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13个小题，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x |x （x ﹣3）＜0}，则A ∩B=（） A ．{0，1，2，3} B ．{0，1，2} C ．{1，2} D ．{1，2，3}2．已知向量=（2，m ），=（1，﹣2）若•（﹣2）=2+m 2，则实数m 等于（）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线经过点（6，），且它的两条渐近线的方程是y=，那么此双曲线的方程是（）A ．B ．C ．D ．5．若实数x ，y 满足条件则z=﹣的最大值为（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣16．“m”是“函数f （x ）=2的值不小于4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知，且，则tanα=（）A ．B ．C ．D ．8．已知A（4，0），B（2，2）为椭圆+=1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最小值是（）A．10+2B．10+C．10﹣2D．10﹣9．若“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，则a的取值范围是（）A．a≤4 B．a≤1 C．1≤a≤4 D．∅10．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点11．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．213．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=，实数m，n满足m＜n＜0，若∀x1∈[m，n]，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则n﹣m的最大值为（）A．4 B．2 C．4 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为．15．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=2，a4=8，则S6=．16．=．17．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．19．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求其前n项和T n．20．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS ∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．21．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：，（n=a+b+c+d）临界值表：（2）先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．22．已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．23．已知函数f（x）=e x﹣k﹣x，（x∈R）．（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在两点；若存在，求零点个数．24．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，则A∩B={1，2}．故选：C．2．已知向量=（2，m），=（1，﹣2）若•（﹣2）=2+m2，则实数m等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵﹣2=（0，m+4），•（﹣2）=2+m2，则m2+4m=5+m2，解得m=．故选：D．3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【分析】根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：A．将代入可得y=≠±1，排除A；B.≠π，排除B．C．将代入，y=≠±1，排除C．故选D．4．已知双曲线经过点（6，），且它的两条渐近线的方程是y=，那么此双曲线的方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；将点（6，），代入方程，可得λ；即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；又因为双曲线经过点（6，），，代入方程可得，λ=1；故这条双曲线的方程是；故选C．5．若实数x，y满足条件则z=﹣的最大值为（）A．﹣B．﹣ C．﹣ D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出直线4x+3y=0平行的直线过可行域内A点时z有最大值，把C点坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，由z=﹣的最大值可知，4x+3y取得最大值时，z取得最大值，与4x+3y=0，平行的准线经过A时，即：可得A（1，2），4x+3y取得最大值，故z最大，即：z max==．故选：C．6．“m”是“函数f（x）=2的值不小于4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出m的范围，根据不等式的性质求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式求出m的范围即可．【解答】解：m=（4x﹣x3）=﹣3，f（x）≥2=2，若f（x）的值不小于4，则2≥4，解得：m≤﹣2，故选：A．7．已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B8．已知A（4，0），B（2，2）为椭圆+=1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最小值是（）A．10+2B．10+C．10﹣2D．10﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知，MA+MB=10+|MB|﹣|MF|．当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值．【解答】解：A为椭圆右焦点，左焦点F（﹣4，0），B在椭圆内，∴|MA|+|MF|=2a=10，于是|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|﹣|MF|＜|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值，∴最小值|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|=10﹣|BF|=10﹣=10﹣2，故答案为：10﹣2．9．若“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，则a的取值范围是（）A．a≤4 B．a≤1 C．1≤a≤4 D．∅【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别求得“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题时a的取值范围，再取交集即可．【解答】解：“∀x∈（0，+∞），x+≥a”⇔“∀x∈（0，+∞），a≤（x+）min，∵当x＞0时，x+≥2=4（当且仅当x=2时取“=”），即（x+）min=4，∴a≤4；又“∃x∈R，x2+2x+a=0”是真命题，∴方程x2+2x+a=0有实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1；∵“∀x∈（0，+∞），x+≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，∴a≤1，故选：B．10．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数F（x）进行求导，可确定F'（x0）=0即x0有可能是函数的极值点，然后再判断函数f（x）的增长快慢从而确定F（x）的单调性，得到结论．【解答】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）∴F'（x0）=0，又由a＜x0＜b，得出当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，当x0＜x＜b时，f'（x）＞f′（x0），F'（x）＞0，∴x=x0是F（x）的极小值点故选B．11．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB．【解答】解：设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，∴当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB，∵圆心到直线的距离为=，OD==，∴|+|的最小值为2（﹣）=．故选D．12．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．13．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=，实数m，n满足m＜n＜0，若∀x1∈[m，n]，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则n﹣m的最大值为（）A．4 B．2 C．4 D．2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．【分析】利用导数法可得当x=1时，g（x）取最小值2，由f（x）=﹣x2﹣6x﹣3在x=﹣3时，取最大值6，令f（x）=2，则x=﹣5，或x=﹣1，数形结合可得答案．【解答】解：∵g（x）=，∴g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故当x=1时，g（x）取最小值2，由f（x）=﹣x2﹣6x﹣3在x=﹣3时，取最大值6，令f（x）=2，则x=﹣5，或x=﹣1，作两个函数的图象如图所示：由图可得：n﹣m的最大值为﹣1﹣（﹣5）=4，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为．【考点】几何概型．【分析】先求出G（x）的解析式，再根据所给的不等式解出a的范围，再结合几何概率模型的公式P=求出答案即可．【解答】解：∵G（x）表示函数y=2cosx+3的导数∴G（x）=﹣2sinx∵G（a）＜1∴﹣2sina＜1而x∈解得x∈（，π），由几何概率模型的公式P=得P==故答案为：．15．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=2，a4=8，则S6=63．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2=2，a4=8，∴2q2=8，解得q=2．2a1=2，解得a1=1．则S6==63．故答案为：63．16．=．【考点】定积分．【分析】由=2dx，dx表示三角形AOB及扇形AOC的面积之和，分别求得其面积..【解答】解：由定积分的性质可知：=2dx，定积分的几何意义可知：dx表示三角形AOB及扇形AOC的面积之和，则三角形AOB的面S1=××=，扇形AOC的面积S2=×π×12=×π×12==2dx=2（+）=．故答案为：．17．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为（，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可【解答】解：构造函数g（x）=x（e x﹣e﹣x），则g（x）=x（e x﹣e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x（e x﹣e﹣x）＞（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），即g（x）＞g（2x﹣1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，∴3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A ﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1==．∵0，∴，则．即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是．19．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求其前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，通过等差数列的通项公式，可得方程，解方程可得首项和公差，进而得到所求；（2）运用等差数列的求和公式，和数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，2a1+3a2=2a1+3（a1+d）=5a1+3d=11，2a3=a2+a6﹣4，即2（a1+2d）=a1+d+a1+5d﹣4，得d=2，a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2），，=（n∈N*）．20．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS ∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，推导出CPFQ为平行四边形，四边形AECQ为平行四边形，从而AE∥PF，由此能证明AE∥面SPD．（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，能求出二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．21．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：，（n=a+b+c+d）临界值表：（2）先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到2×2列联表中的数据，求出K2的观测值，判断即可．（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，，，，．∴X的分布列为：∴．22．已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用极值点的导函数为零，求出参数的值，再通过单调性验证参数适合题意；（2）利用导函数值的正负求出函数的单调区间；（3）求出f（1），f′（1）的值，带入切线方程即可．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x﹣=，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=1或a=﹣1（舍）．∴a=1．当a=1时，x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0，所以a的值为1．（2）令f′（x）=0，解得x=a或x=﹣a（舍）．当x在（0，+∞）内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：由上表知f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（3）由（1）得：f′（x）=2x﹣=，故f（1）=1，f′（1）=2﹣2a2，故切线方程是：y﹣1=（2﹣2a2）（x﹣1），整理得：y=（2﹣2a2）x﹣1+2a2．23．已知函数f（x）=e x﹣k﹣x，（x∈R）．（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在两点；若存在，求零点个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（2）求出f（x）的导数，计算f（k），f（2k）的值，根据函数f（x）的单调性，令h（k）=e k﹣2k，结合零点存在定理判断即可．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=e x﹣x，f'（x）=e x﹣1，令f'（x）=0，得x=0，当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（0）=1，∴m≤1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．（2）当k＞1时，f（x）=e x﹣k﹣x，f'（x）=e x﹣k﹣1＞0在（k，2k）上恒成立．∴f（x）在（k，2k）上单调递增，又f（k）=e k﹣k﹣k=1﹣k＜0，f（2k）=e2k﹣k﹣2k=e k﹣2k，令h（k）=e k﹣2k，∵h'（k）=e k﹣2＞0，∴h（k）在k＞1时单调递增，∴h（k）＞e﹣2＞0，即f（2k）＞0，∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k，2k）内存在唯一零点．24．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．由此可知动点P的轨迹C的方程．（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此入手可推导出直线MA的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．化简并整理，得．∴动点P的轨迹C的方程是．（Ⅱ）依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则∴，∴∴，∴，①当m=0时，k=0；②当m≠0时，∵，∴0．∴．∴且k≠0．综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣．2017年3月14日。