高中数学等比数列的概念及通项学案新人教B版必修5
人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)
§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析 由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一 等比数列通项公式的应用【例1】 在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一 由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明 令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解 法一 由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解 令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1， 故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析 设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案 －60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案 －25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解 不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。
高中数学第二章数列2-3等比数列同步导学案新人教B版必修5
高中数学第二章数列2-3等比数列同步导学案新人教B版必修5考纲要求1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及性质3、并能利用有关知识解决相应问题B案（基础回归）1、如果—1，a，b，c，—9成等比数列，那么A、b=3，ac=9B、b=—3，ac=9C、b=3，ac=—9D、b=—3，ac=—92、在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为A、2B、3C、4D、83、在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于A、—1B、1C、0D、24、在等比数列{an}中，a8=10，则a3·a13= 。
5、已知an=2an—1（n≥2），a1=1，cn=，则{cn}的前n项和Sn=1。
2an6、已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，则S30= 。
C 案（典型例题分析）题型一、等比数列的基本量例1：等比数列{an}中，Sn 为前n 项和，若S3+ S6=2S9，求q 的值。
二、等比数列的证明例2：设数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，bn=an+1—2an （1）求证：数列{bn}为等比数列。
（2）求数列{bn}的前n 项和Tn 。
引申2：已知数列{an}中a1=1且满足an+1=2an+1求{an}的通项公式。
三．等比数列的综合应用例3：已知a1=2，点（an ，an+1）在函数f （x ）=x2+2x 的图象上。
其中n=1，2，3……（1）证明数列{lg （1+an ）}是等比数列。
（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）……（1+an ）求Tn 。
当堂检测：1、已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且S3=3a1，则数列{an}的公比q 的值为 。
2、（1）例题2中如果Cn=nna 2 求证：{cn}为等差数列（2）求{an}的通项公式。
A 案 必做题：1、在等比数列{an}中，a3·a4·a5=3，a6·a7·a8=24，则a9·a10·a11的值等于 A 、48 B 、72C 、145D 、1922、等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是 A 、递增数列 B 、递减数列C 、常数列D 、无法确定增减性3、等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则=1020a a A 、 B 、3223C 、或D 、—或—322332234、正项等比数列{an}中，a5a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10= A 、5 B 、10C 、20D 、405、正项等比数列{an}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5= A 、33 B 、72C 、84D 、1896、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数为 。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 2.3.1 等比数列》7
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
创设情景
列举印度国王奖励国际象棋发明者的故事。得到有数列。
通过实际生活中的等比数列问题，感受等比数列在现实中的广泛基础。
通过生活实例激发学生的学习兴趣，提高学生求知的欲望培养学生思维的主动性，自然地引入课题。
探求新知
问：下面这几组数有什么共同特点
观察、联想，发现
通过定义解决疑问，感知该知识的用法。
归纳总结
与学生一块得出等比数列公比不为0的结论
做笔记，熟记。
加深印象，并与等差数列作比较。
得出公式
问;能类比等差数列得出等比数列的通项公式吗
思考、类比后，师生互动得出结论。
类比等差数列求通项公式的方法推导出等比数列的通项公式。初步运用例1源自引导学生分析已知及所求量之间的关系。
思考，回答问题
引导学生归纳解决问题的方法和技巧。
例2，引导学生分析已知及所求量之间的关系。
小组讨论，学生板演。
公式变形
通过类比等差数列的两个通项公式，提出等比数列是否也有第n项与第m项之间的关系。
思考，回答问题，得到公式的变形。
通过例2提出疑问，是否有更简便的方法计算，类比等差数列的通项公式得到一个新的公式，让学生体验收获知识的成就感。
情感态度和价值观：
通过对等比数列通项公式的推导，培养发现意识、创新意识；感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养对数学学习的积极情感。
学情分析
一般特征：高一学生数学基础薄弱，在刚刚学完等差数列基础上，已经对数列这一全新的领域有了感性认识，然而对数学符号语言缺乏理性认识，综合性问题还难以解决，方向不明，方法不清，学生容易产生畏惧心理。面对又一个新数列的学习，需要教师教学时不断激发学生学习兴趣，难点分散，常抓不懈，克服学生眼高手低的毛病，培养学生勇于克服困难的学习习惯。
【B版】人教课标版高中数学必修五教案1-等比数列-新版
2.3.1等比数列★教材分析:本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列对比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会对比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。
★教学重点：等比数列的概念和通项公式。
★教学难点：1、在具体问题中抽象出数列的模型和数列的对比关系；2、对比数列与等差数列的关系。
★学习目标与任务一、学习目标描述（一）、知识与技能1、了解现实生活中存在着一类特殊的数列；2、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；3、能在具体的问题情境中，发现数列的对比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；4、等比数列与等差数列的关系。
（二）、过程与方法1、采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2、发挥学生的主体作用，做好探究性活动；3、密切联系实际，激发学生学习的积极性。
（三）、情感态度与价值观1、通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2、通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学生学习的兴趣。
二、学习内容与学习任务说明等比数列是继学过的等差数列之后又一种有着特殊性质的数列，本课通过比较式教学法，通过对等差、等比两种数列作比较来让学生更好的了解和掌握等比数列，同时也巩固之前学过的等差数列。
本课以一些实际例子开头，引导学生去探究生活中的数学问题。
★学习者特征分析:高中生与初中生相比，心理和心里都日趋成熟，认识能力也有提高，对事对人都有自己的看法，不愿盲从他人，同时他们思维的独立性也较为成熟，喜欢独立思考问题以获取答案，甚至还具备了一定的自学能力。
本节课要讲的等比数列是建立在他们已经学过的等差数列的基础之上，因此，将等比数列与等差数列做比较从而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的学习兴趣。
高中数学 2.3.1 等比数列教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
2．3.1 等比数列整体设计教学分析等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分表达这些重要的数学思想方法，所有能力的表达最终归结为数学思想方法的表达．三维目标1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．重点难点教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境引入)将一X厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1 000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296 m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一X报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一X报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．思路2.(实例导入)先给出四个数列：1,2,4,8,16，……1，－1,1，－1,1，……－4,2，－1，……1,1,1,1,1，……由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？ 6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？ 7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．引导学生发现数列①②③的共同特点：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12. 也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12. ①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a 1＝a ，a n ＋1＝a n ·q(n＝1,2,3，…)．②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，那么G x ＝y G，即G 2＝xy ，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……归纳得到a n＝a1＋(n－1)d.类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，……归纳得到a n＝a1q n－1.这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：∵{a n}是等比数列，∴a na n－1＝q，a n－1a n－2＝q，a n－3a n－4＝q，…，a2a1＝q.把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，那么可得到a na1＝q n－1，于是得到a n＝a1q n－1.对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：(1)不要把公式错误地写成a n＝a1q n.(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比〞，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.(4)类比等差数列中d ＞0，d ＜0时的情况，假设q ＞0，那么相邻两项符号同号，假设q ＜0，那么各项符号异号；假设q ＝1，那么等比数列为非零常数列；假设q ＝－1，那么为如2，－2,2，－2，…这样的数列；假设|q|＜1，那么数列各项的绝对值递减．最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．讨论结果：(1)～(3)略．(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．(5)并不是所有的两个数都有等比中项．(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．(7)(8)略． 应用示例例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．(1)a n ＝2n ；(2)a n ＝14·10n . 活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问． 解：(1)a n ＝2·2n －1，∴a 1＝2，q ＝2.(2)∵a n ＝14·10·10n －1， ∴a 1＝14×10＝52，q ＝10. 点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a 1＝21＝2，a 2＝22＝4，∴q ＝2.变式训练设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，那么2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为() A.14B.12C.18 D ．1答案：A解析：由题意，知a 2＝a 1q ＝2a 1，a 3＝a 1q 2＝4a 1，a 4＝a 1q 3＝8a 1，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.例2(教材本节例3)活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．点评：解完本例后，启发引导学生观察a 5，a 10，a 15，a 20的规律．变式训练{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，那么q≠0.∵a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18.∴a n ＝18×(13)n －1＝183n －1＝2×33－n.当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.例3数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．活动：教师引导学生观察，数列{a n }不是等差数列，也不是等比数列，要求a n 的表达式，通过转化{a n ＋1}是等比数列来求解．解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．∵a 1＝1，故a 1＋1≠0，那么有a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1，即a n ＝2n－1. 点评：教师引导学生进行解后反思．如此题(1)，不能忽视对a n ＋1≠0的说明，因为在等比数列{a n }中，a n ≠0，且公比q≠0，否那么解题会出现漏洞．变式训练数列{lga n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列．证明：∵{lga n }是等差数列，设公差为d ，那么lga n ＋1－lga n ＝d ，即a n ＋1a n＝10d (常数)． ∴{a n }是等比数列．知能训练1．等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，那么a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2432．在等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，那么项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：1．A 解析：由a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，知q ＝2，a 1＝1.所以a 7＝a 1·q 6＝64.2．B 解析：设等比数列为{a n }．又∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴q n －1＝a n a 1，即(23)n －1＝827. ∴n－1＝3，n ＝4，即项数为4. 课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．作业课本习题2—3 A 组1；习题2—3 B 组1.设计感想本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．(设计者：X 晓君)第2课时导入新课思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)推进新课新知探究提出问题1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.2回忆怎样证明一个数列是等比数列？3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究〞中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为a n ＝2n －1的数列的图象和函数y ＝2x －1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q q n ，而y ＝a 1q q x (q≠1)是一个不为零的常数a 1q与指数函数q x 的乘积．从图象上看，表示数列{a 1q q n }中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点．和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．就任一等差数列{a n}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？在等差数列{a n}中，我们已经探究了，假设m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，那么a m＋a n ＝a p＋a q，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{a n}，假设m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，那么a m·a n＝a p·a s.让学生对此给出证明．证明：设等比数列{a n}的公比为q，那么有a m·a n＝a1·q m－1·a1·q n－1＝a21·q m＋n－2，a p·a s＝a1q p－1·a1q s－1＝a21·q p＋s－2，∵m＋n＝p＋s，∴有a m·a n＝a p·a s.经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{a n}中，假设m ＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，那么有a m·a n＝a p·a s.结合等比中项，我们很容易有这样的结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：1．等比数列的判断方法(1)a n＝a n－1·q(n≥2，q是不等于零的常数，a n－1≠0){a n}是等比数列．(2)a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)a n＝c·q n(c、q均是不为零的常数){a n}是等比数列．2．主要性质(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{a n}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{a n}是递减数列，当q＝1时，{a n}是常数列；当q＜0时，{a n}是摆动数列．(2)a n＝a m·q n－m(m、n∈N*)．(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有a m·a n＝a p·a q.(4)当数列{a n}是各项均为正数的等比数列时，数列{lga n}是公差为lgq的等差数列．(5)数列{a n}中，公比q≠1，那么连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．讨论结果：(1)让学生默写．(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)等比数列的通项公式是关于n 的指数型函数． (4)最常用的是活动中的第3个性质．应用示例例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项． 活动：本例是课本上例题3，由题意知a 3＝12，a 4＝18，求a 1，a 2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a 1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．解：设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么a 1q 2＝12，① a 1q 3＝18.②②÷①，得q ＝32，③把③代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.点评：通过此题让学生体会方程思想．变式训练在等比数列{a n }中，a 5·a 7＝6，a 2＋a 10＝5，那么a 18a 10等于( )A ．－23或－32B.23C.32D.23或32答案：D解析：∵a 5·a 7＝a 2·a 10，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 10＝6，a 2＋a 10＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 10＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 10＝2.∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或a 18a 10＝23.例2(1)在等比数列{a n }中，a 1＝5，a 9a 10＝100，求a 18； (2)在等比数列{b n }中，b 4＝3，求该数列前七项之积； (3)在等比数列{a n }中，a 2＝－2，a 5＝54，求a 8.活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．解：(1)∵a 1a 18＝a 9a 10，∴a 18＝a 9a 10a 1＝1005＝20.(2)b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7＝(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 24＝b 1b 7＝b 2b 6＝b 3b 5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2 187. (3)∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542＝a 8×(－2)．∴a 8＝－1 458. 另解：a 8＝a 5q 3＝a 5·a 5a 2＝54×54－2＝－1 458.点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．变式训练等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝15，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝45. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝11－log 2a 2n ＋13，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝15，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝45，解得q ＝2，a 1＝3，∴a n ＝3·2n －1.(2)由(1)得a 2n ＋1＝3·22n，∴b n ＝11－log 2a 2n ＋13＝11－2n.∴数列{b n }是首项为9，公差为－2的等差数列． 从而S n ＝n9＋11－2n 2＝－n 2＋10n.例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据条件寻找关于a 、d 的两个方程，通过解方程组即可获解．解：设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，那么由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a ＋32＝a －d ＋1a ＋d ＋9，解此方程组，得a ＝5，d ＝2.∴所求三个数为3,5,7.点评：此类问题要注意设未知数的技巧．假设设所求三个数为a ，b ，c ，那么列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．例4根据以下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？活动：此题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但此题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．解：假设将打印出来的数依次记为a 1(即A)，a 2，a 3，…， 可知a 1＝1，a 2＝a 1×12，a 3＝a 2×12.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1n>1.由于a n a n －1＝12，因此，这个数列是等比数列． 其通项公式是a n ＝(12)n －1.点评：通过此题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，a n ＋1a n是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列． 知能训练1．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1·a 2·a 3＝8，求a n .2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)答案：1．解：∵a 1a 3＝a 22，∴a 1·a 2·a 3＝a 32＝8.∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 3＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2，当a 1＝4时，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝4·(12)n －1＝23－n (n∈N *)．点评：本例解答中易产生的错误是在求得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1后，由a 3＝a 1q2分别得出q ＝±2或q ＝±12.求得a n ＝2n －1或a n ＝(－2)n －1或a n ＝4·(12)n －1或a n ＝4·(－12)n －1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a 2＝2，a 1＞0，必有q ＞0这一隐含条件．2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列，其中a 1＝0.84，q ＝0.84. 设a n n＝0.5.两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5， 用计算器算得n≈4.答：这种物质的半衰期大约为4年．点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，此题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列那么可以与指数函数联系起来．2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要表达在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．作业课本习题2—3 A组2、3、4.设计感想本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段〞的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．备课资料一、备用例题例1.无穷数列10，10，1025，…，1015n ，….求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项为哪一项它后面第五项的110；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．例2.设a ，b ，c ，d 均为非零实数，(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， 求证：a ，b ，c 成等比数列且公比为d.证法一：关于d 的二次方程(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0有实根， ∴Δ＝4b 2(a ＋c)2－4(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)≥0.∴－4(b 2－ac)2≥0.∴－(b 2－ac)2≥0. 那么必有b 2－ac ＝0，即b 2＝ac ，∴a，b ，c 成等比数列． 设公比为q ，那么b ＝aq ，c ＝aq 2，代入 (a 2＋a 2q 2)d 2－2aq(a ＋aq 2)d ＋a 2q 2＋a 2q 4＝0. ∵(q 2＋1)a 2≠0，∴d 2－2qd ＋q 2＝0，即d ＝q≠0. 证法二：∵(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， ∴(a 2d 2－2abd ＋b 2)＋(b 2d 2－2bcd ＋c 2)＝0. ∴(ad－b)2＋(bd －c)2＝0.∴ad＝b ，且bd ＝c.∵a，b ，c ，d 非零，∴b a ＝cb ＝d.∴a，b ，c 成等比数列且公比为d.二、备用习题1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，那么公比为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．2153．各项为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，那么a 3＋a 4＋a 5等于 …… ( )A ．33B ．72C ．84D ．1894．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为__________．5．在等比数列{a n }中，(1)假设a 1＝256，a 9＝1，求q 和a 12； (2)假设a 3·a 5＝18，a 4·a 8＝72，求q.6．{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝c ＞0，a 2n ＋1＝b 2n ＋1，比较a n ＋1与b n ＋1的大小．参考答案： 1．答案：C解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意，得a 23＝a 2a 6，(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d)．∴d＝－2a 1.设等比数列的公比为q ，那么q ＝a 3a 2＝3.2．答案：B解析：由a 1a 2a 3a 4…a 30＝230，得 a 33q 3·a 36q 3·a 39q 3·…·a 330q 3＝230， ∴a 33·a 36·a 39·…·a 330＝(2q)30. ∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220. 3．答案：C解析：由a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q 2＝7. 解得q ＝2，q ＝－3(舍去)，∴a 3＝a 1q 2＝3×4＝12. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 3(1＋q ＋q 2)＝12×7＝84. 4．答案：216解析：设插入的三个数为a 、b 、c ，那么b 2＝83×272＝4×9＝ac ，所以b ＝6，ac ＝36，故abc ＝216.5．解：(1)∵a 9＝a 1·q 8，∴256·q 8＝1，即q ＝±12.当q ＝12时，a 12＝a 1·q 11＝256·1211＝18；当q ＝－12时，a 12＝a 1·q 11＝256×(－12)11＝－18.(2)a 1·q 2·a 1·q 4＝18，即a 21·q 6＝18. 又a 1q 3·a 1q 7＝72，即a 21·q 10＝72. 两式相除得q 4＝7218＝4，∴q＝± 2.6．解：由题意知c ＋2nd ＝cq 2n，∴nd＝c 2(q 2n －1)．∵a n ＋1－b n ＋1＝c ＋nd －cq n ＝c ＋c 2(q 2n －1)－cq n ＝c 2(q n －1)2≥0，∴a n ＋1≥b n ＋1.三、斐波那契数列的奇妙性质我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位： 11＝1.000 0 21＝2.000 0 32＝1.500 0 53＝1.666 7 85＝1.600 0 138＝1.625 0 2113＝1.615 4 3421＝1.619 0 5534＝1.617 6 8955＝1.618 2 14489＝1.618 0 253144＝1.618 1 如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数1＋52表示出来．2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如以下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：3．在斐波那契数列中，请你验证以下简单的性质： 前n 项和S n ＝a n ＋2－1， a n a n ＋1－a n －1a n －2＝a 2n －1(n≥3)， a 2n －1＋a 2n ＝a n －1(n≥2)， a n －2a n ＝a 2n －1－(－1)n(n≥3)．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{U n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，U n ＋1＝U n ＋U n －1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式U n ＋1U n －1－U 2n ＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式S n ＝[(1＋52)n －(1－52)n]，现在称之为比内公式．世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．。
高中数学人教B版必修5学案2.3.1等比数列学案
等比数列．理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列．．掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题．．了解等比数列与指数函数的关系．．等比数列的定义如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示．定义表达式为．()由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此也不能为.()对于公比，要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒．()“从第项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意如果一个数列不是从第项起，而是从第项或第项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第项起或第项起是等比数列．()如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．【做一做】下列数列中，等比数列的个数是．①－，－，－，－；②，－，，－；③；④，，，.．等比数列的通项公式设等比数列{}的首项为，公比为，则通项公式为．其中，，均不为.等比数列的通项公式＝－的另外一种形式为＝·－.【做一做】在等比数列{}中，＝，＝，则公比为( )．．．．．．等比中项如果与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，即．等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项，即＝－＋，反过来，如果，同号，＝或－，即＝，那么是，的等比中项．()，，成等比数列等价于“＝”(，均不为)，可以用它来判断或证明三数成等比数列，要注意“，，成等比数列”与“＝”是不等价的，而应与“＝±”等价．()当，同号时，，的等比中项有两个，异号时没有等比中项．()在任意两个非零实数和之间，也可以插入个数使之成为等比数列．但要注意：在实数范围内，当＞时，，之间可以插入任意个数；当＜时，在和之间只能插入偶数个数使之成为等比数列．【做一做】若＋，－成等比数列，则的值是( )．．．－．± ．一、解读等比数列的主要性质剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质．等比数列有以下性质：()两个等比数列的积仍为等比数列．()在等比数列{}中，若＋＝＋，则＝.()数列{}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积．()在等比数列{}中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为＋.()当数列{}是各项都为正数的等比数列时，数列{ }是公差为的等差数列．()当，，(，，∈＋)成等差数列时，，，成等比数列．()等比数列{}中，若公比为，则数列{λ}仍是公比为的等比数列；若{}是公比为′的等比数列，则数列{·}是公比为·′的等比数列；数列{}是公比为的等比数列；{}是公比为的等比数列．二、求数列通项公式的方法剖析：.如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得，(或)，直接套用公式即可．．若已知数列的前项和求通项时，通常用公式＝(\\(，＝，－－，≥，))用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和(≥)合为一个表达式．．对于形如＋＝＋()型或形如＋＝()型的数列，其中()是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出取到时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式．．有些数列本身并不是等差数列或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法．例如：在数列{}中，＝，＝，＋＝＋＋，我们在上式的两边减去＋，得＋－＋＝－(＋－)，即可构造一个等比数列来解决问题．当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项．三、教材中的“？”．为什么≠？等比数列中的项有可能等于吗？剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为，除数也不可能为，故≠，在等比数列中，各项都不会为.．等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式？剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公式，然后利用迭乘的方法证明得＝－.．你能通过公比的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？剖析：当＞，＞或＜＜＜时，数列{}为递增数列；当＞＜＜或＜，＞时，数列{}为递减数列；当＝时，数列{}为常数列；当＜时，数列{}为摆动数列．四、教材中的“思考与讨论”对于例中的数列，你是否发现，，，恰好成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此。
等比数列的概念(教案)
§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。
而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。
所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。
高二数学同步检测 2-3-1《等比数列的概念及通项公式》 新人教B版必修5
第2章 2.3 第1课时 等比数列的概念及通项公式一、选择题1．公差不为零的等差数列{a n }，a 2，a 3，a 7成等比数列，则它的公比为( ) A ．－4 B ．－14C.14 D ．4[答案] D[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知d ≠0，且a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，化简，得a 1＝－23d .∴a 2＝a 1＋d ＝－23d ＋d ＝13d ，a 3＝a 2＋d ＝13d ＋d ＝43d ，∴a 3a 2＝4，故选D.2．若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．0或2[答案] B[解析] 由题意，得b 2＝4ac ，令ax 2＋bx ＋c ＝0，∴Δ＝b 2－4ac ＝0，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相切，故选B. 3．在等比数列{a n }中，a 5·a 6·a 7＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 7·a 8·a 9的值等于( )A ．48B ．72C ．144D ．192[答案] D[解析] 设公比为q ，则a 6·a 7·a 8＝a 5·a 6·a 7·q 3， ∴q 3＝243＝8.又a 7·a 8·a 9＝a 6·a 7·a 8·q 3＝24×8＝192.4．(2010·全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2[答案] A[解析] 由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2. 5．(2011·福州高二检测)等比数列{a n }的各项为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.12 B ．±12C ．2D ．±2[答案] A[解析] 由q 2＝4得q ＝±2， 因为数列{a n }各项为正数，所以q ＝2， 又因为a 4＝a 3q ，a 5＝a 4q ， ∴a 4＋a 5＝a 3q ＋a 1q ＝(a 3＋a 4)q ， ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝12. 6．(2011·沈阳高二检测)已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝80，则a 5＋a 6等于( )A ．480B ．320C ．240D ．120[答案] B[解析] ∵a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)·(a 5＋a 6)，即802＝20·(a 5＋a 6)．∴a 5＋a 6＝320，故选B.二、填空题7．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.[答案] 18[解析] 由题意得a 4＋a 5＝2，a 4a 5＝34，∵q >1，∴a 5>a 4，解得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝3，∴a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝18.8．若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5为等比数列，其公比为2，则2a 2＋a 32a 3＋a 5＝________.[答案] 14[解析] 由已知：a 3＝2a 2，a 4＝4a 2，a 5＝8a 2， ∴2a 2＋a 32a 4＋a 5＝2a 2＋2a 28a 2＋8a 2＝416＝14. 三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ，又∵2q ＋2q ＝203，解得q ＝13或q ＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n ；当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.10．(2011·宿州高二检测)已知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }是等差数列，且b 3＝a 3，b 5＝a 5，求数列{b n }的通项公式及前n 项的和．[解析] (1)因为数列{a n }是等比数列且a 1＝2，a 4＝16，所以q 3＝a 4a 1＝162＝8，故q ＝2.数列{a n }的通项公式为：a n ＝a 1·q n －1＝2·2n －1＝2n . (2)由(1)知：b 3＝a 3＝23＝8，b 5＝a 5＝25＝32， 而数列{b n }是等差数列，故数列{b n }的公差d ＝b 5－b 35－3＝32－82＝12.所以{b n }的递项公式b n ＝b 3＋(n －3)d ＝8＋(n －3)·12即b n ＝12n －28(n ∈N ＋)，又b 1＝－16，所以其前n 项的和S n ＝－16＋12n －n2＝6n 2－22n .能力提升一、选择题1．(2010·江西文)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)n D ．－(－2)n[答案] A[解析] 由a 5＝－8a 2，a 5>a 2知a 1>0，根据a 5＝－8a 2有a 1q 4＝－8a 1q 得q ＝－2.所以a n ＝(－2)n －1.2．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90[答案] C[解析] 由a 24＝a 3·a 7，得(a 1＋3d )2＝(a 1＋3d )(a 1＋6d )，得2a 1＋3d ＝0， 又∵S 8＝8a 1＋28d ＝32， ∴a 1＝－3，d ＝2， ∴S n ＝10a 1＋45d ＝60. 故选C. 二、填空题3．已知a 、b 、c 成等差数列，且a 、c 、b 成等比数列，则a :b :c ＝________.(其中a 、b 、c 不相等)．[答案] 4:1:(－2) [解析] 由已知，得⎩⎨⎧a ＋c ＝2b ①ab ＝c 2 ②由①，得a ＝2b －c ，代入②得2b 2－bc －c 2＝0，解得b ＝－12c ，或(b ＝c 舍去)．∴c ＝－2b .∴a ＝2b －c ＝4b . ∴a :b :c ＝4b :b :(－2b )＝4:1:(－2)．4．已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q ＝________.[答案]－1＋52[解析] 设该正项等比数列为{a n }，公比为q ，由题意，得a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∵q >0，∴q ＝－1＋52.三、解答题5．(2010·全国Ⅰ文)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .[解析] 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎨⎧2a 1a 3＋＝a 22a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎨⎧a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0a 1＋d ＝4，解得a 1＝1，d ＝3或a 1＝8，d ＝－4， 因此S n ＝12n (3n －1)，或S n ＝2n (5－n )．6．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．[解析] 设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16a ＋a ＋d ＝12，解得a ＝4或9.当a ＝4时，d ＝4，这四个数依次为0,4,8,16. 当a ＝9时，d ＝－6，这四个数为15,9,3,1. ∴这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.7．设数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3…)． 求证：数列{S n n}是等比数列． [解析] ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n . ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2S nn . 故{S n n}是以2为公比的等比数列．8．(2011·江西)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值． [解析] (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2) 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2 所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1 或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*) 由a >0得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程(*)有两个不同的实根． 由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.。
高中数学 等比数列的通项及性质(1)学案 新人教B版必修5
等比数列的通项及性质（1）使用课时数2课时教学目标：1． 继续熟练等比数列的定义及通项。
2．理解等比中项。
3．掌握等比数列的性质。
知识梳理：1．定义： ，数学表示： 。
2．通项：n a = = ； n ma a = 。
3．三个数,,abc 成等比数列，则2b ac =，b 称为,a c 的等比中项。
思考：①2b ac =,,a b c ⇔成等比数列是否成立？②等比数列{}n a 中，211n n n a a a -+=∙（证明等比数列的两种方法之一）。
4例题：例1．若,,a G b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，（1）求45和80的等比中项； （2）已知两个数9k +和6k -的等比中项是2k ，求k 。
例2．（1）等比数列{}n a 中，487,63a a ==，则6a = 。
（2）已知等比数列{}n a 中，4738512,124a a a a ∙=-+=，公比q Z ∈，则10a = 。
（3）在等比数列{}n a 中，61035480,41,5n a a a a a a a >∙+∙=∙=，则48a a +=例3．在等比数列{}n a 中，110a >，公比()0,1q ∈，且153528225aa a a a a ++=，又3a 与5a 的等比中项为2，①求n a ；②设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 和为n S ，当1212n S S S n+++最大时，求n 的值。
例4．三个数成等比数列，其和为14，积是64，求此等比数列的通项公式。
作业：1．等比数列{}n a 中，34527a a a =，则127a a a ∙= 。
2．数列{}n a 成等比数列，0n a >，354657281a a a a a a ++=，则46a a += 。
3．等比数列{}n a 中，0n a >3632a a ∙=，则212228log log log a a a +++=4．已知,,a b c 成等比数列，,,,,a x b b y c 和都成等差数列，0xy ≠，则a c x y +的值为 。
人教版高中必修5(B版)2.3.2等比数列的前n项和教学设计
人教版高中必修5(B版)2.3.2等比数列的前n项和教学设计课程背景等比数列是高中数学重点内容之一，本教学设计是对《人教版高中必修5(B 版)》中2.3.2等比数列的前n项和的教学设计。
在掌握等比数列的基本概念和性质的前提下，本教学设计旨在通过学生自主学习、小组合作和整体讲评三个环节，提高学生的数学思维和解决实际问题的能力。
教学目标1.理解等比数列的概念和通项公式。
2.掌握等比数列的项与项之间的关系和性质。
3.能够求等比数列的前n项和，同时应用所学知识解决实际问题。
4.培养学生的自主学习、合作学习和创新精神。
教学重点和难点教学重点：等比数列的前n项和的计算方法。
教学难点：如何将所学知识应用到实际问题中去。
教学过程设计知识导入（15分钟）知识拓展•向学生介绍等比数列的概念和性质•通过ppt讲解等比数列的基本概念，让学生进一步理解等比数列。
•引导学生掌握等比数列的通项公式和项与项之间的关系。
学生自主探究•给学生分组进行小组活动•学生在小组内制定计划，利用教材、课外书籍和互联网进行自主学习，理解等比数列。
•学生要求在小组中查找至少一个与等比数列相关的实际问题，从中引出等比数列的前n项和的问题。
合作学习（30分钟）教师引导•在小组活动进行一段时间后，教师介绍等比数列的前n项和的计算方法。
•让学生对前n项和的计算方法进行分析和讨论。
小组合作•通过ppt讲解前n项和的计算方法，让学生进行计算实践。
•学生在小组内共同解决所选实际问题，并讨论答案的正确性和实际意义。
整体讲评（30分钟）分享与展示•让小组进行汇报，在全班分享所选实际问题的解决过程和答案，并讨论各组的优点和不足。
•引导学生总结等比数列前n项和的计算方法及其实际应用。
•通过实例分析，加深学生对等比数列及其前n项和的理解。
作业布置及反思（5分钟）•布置课后作业，要求学生选择一道求等比数列前n项和的问题进行解答。
•让学生反思本节课的学习过程和结果。
教学评价•通过小组合作和整体讲评，学生们在全方位地学习中体验到了自主学习的乐趣和合作的必要性。
高中数学 等比数列的通项公式学案 新人教版必修5
课时及内容： 等比数列通项公式 学习目标: （1）进一步掌握等比数列的通项公式； （2）掌握推导等比数列的性质 一：预学案: 学法指导 1．已知等比数列的首项1a 与公比q 可求得任何一项。
2．在通项公式中，已知1,,,n a q n a 四个量中的任何三个量，可求得另一量。
3．通项公式的推广式：)(m n q a a m n m n ≥⋅=-，由此可知，已知等比数列的任意两项，这个数列就是一个确定的数列。
三、课前预习 1．如果一个数列从 起，每一项与它前一项的 等于 ，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示。
2．如果三个数,,a G b 成等比数列，那么G 叫做 。
根据定义得2,G ab G ab ==±，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们是 ，这一点与等差数列不同。
二：探究案 1．通项公式的推广式：)(m n q a a m n m n ≥⋅=- 2．如果等比数列}{n a 中， 若q p m +=2，则 （,,m p q a a a 有何关系） 若k+m=r+t, 则 （,,,k m r t a a a a 有何关系） 3．已知三数成等比数列，一般情况下设该如何设这三个数． 数学运用：例1． 在等比数列{}n a 中，已知 578,2a a ==，且该数列的各项都为正数，求{}n a 的通项公式。
学习札记 班级——————————————小组——————————姓名 ————————————例2：在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．例3．已知等比数列{}n a 的通项公式为32n n a =⨯，求首项 1a 和公比q例4：（1）各项均为正数的等比数列}{n a 中，653,,a a a 成等差数列，求6453a a a a ++的值. （2）等差数列}{n a 中，若103=a ，且1073,,a a a 又成等比数列，求公差d.三：训练案课本练习题四：提高案1．已知在等比数列中，34a =-，654a =，则9a = ．2．设4321lg ,lg ,lg ,lg a a a a 成等差，5=d ，则14a a =_________________. 3等比数列}{n a ，9,065=>a a a n ，则1032313log log log a a a +++ =________________教（学）后反思。
人教版高中数学必修五学案 第1课时 等比数列的概念及通项公式
§2.4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．递推公式形式的定义：a na n －1＝q (n >1)⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N *.3．等比数列各项均不能为0.知识点二 等比中项与等差中项的异同知识点三 等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．1．若a n ＋1＝qa n ，n ∈N *，且q ≠0，则{a n }是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )3．等比数列1，12，14，18，…中，第10项为129.( √ )4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )题型一 等比数列的判定命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32, 33，…，3n －1，…；(2)－1,1,2,4,8，…；(3)a1，a2，a3，…，a n，….解(1)记数列为{a n}，显然a1＝1，a2＝3，…，a n＝3n－1，….∵a na n－1＝3n－13n－2＝3(n≥2，n∈N*)，∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{a n}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，∵a2a1＝－1≠a3a2＝2，∴此数列不是等比数列．(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，a n，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.反思感悟判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1下列各组数成等比数列的是()①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④答案 C解析①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；a不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2已知递推公式判断是否为等比数列例2已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明∵a n＋1＝2a n＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)． ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n . 即a n ＝2n －1.反思感悟 等比数列的判定方法(1)定义法：a n a n －1＝q (n ≥2，q 是不为0的常数)⇔{a n }是公比为q 的等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，a n ，a n －1，a n ＋1均不为0)⇔{a n }是等比数列． 跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 又a 1－1＝－2，a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．∴数列{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1. 题型二 等比数列通项公式的应用 例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解 (1)设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝4，a 1q 4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q ＝－12.∴a n ＝a 1q n －1＝(－8)⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n －4. (2)设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18.∴a 4＝16，a n ＝a 4·q n －4＝16·⎝⎛⎭⎫12n －4. 由16·⎝⎛⎭⎫12n －4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9. 反思感悟 等比数列通项公式及应用应注意两点(1)a 1和q 是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出． (2)等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，知任意三个就可以求出另外一个． 跟踪训练3 在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .解 (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1，n ∈N *.方程的思想在等比数列中的应用典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题解 方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎨⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)， 由条件得⎩⎨⎧2aq －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？ 解 设这四个数依次为aq，a ，aq ，aq 2(q ≠0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4·q 2＝210，a ＋aq ＝4，解得q ＝－2或－12，当q ＝－2时，a ＝－4，所求四个数依次为2，－4,8，－16. 当q ＝－12时，a ＝8，所求四个数依次为－16,8，－4,2，综上，这四个数依次为2，－4,8，－16或－16,8，－4,2.[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：①若三个数成等比数列，可设三个数为aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2(q ≠0)．②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2或a q 3，aq，aq ，aq 3(q ≠0)．(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1．等比数列{a n }的公比|q |＞1，{a n }中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中．则q 等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 C解析 ∵{a n }中的项必然有正有负， ∴q <0.又|q |＞1， ∴{|a n |}递增或递减．由此可得{a n }的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q ＝－32.2．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1，2n －1＝32，所以n ＝6. 4．45和80的等比中项为 ． 答案 －60或60解析 设45和80的等比中项为G ， 则G 2＝45×80，∴G ＝±60.5．若{a n }为等比数列，且3a 4＝a 6－2a 5，则公比是 ． 答案 －1或3解析 设公比为q (q ≠0)，则3a 1q 3＝a 1q 5－2a 1q 4， 因为a 1q 3≠0，所以q 2－2q －3＝0， 解得q ＝－1或q ＝3.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *，且数列各项均不为零)．2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四人教版高中数学必修五个量.11。
高中数学等比数列的概念和通项公式(一)教案新人教版必修5
等比数列的概念和通项公式（一）
教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；
培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的
逻辑推理能力，增强学生的应用意识.
教学重点：等比数列的定义及通项公式.
教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.
教学过程：
一．问题情境：
1.放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质
Q,那么量。
如果某个质量为Q的放射性物质在时间h中衰变到
2称h为物质的半衰期。
镭的半衰期是1620年，如果从现有的10g 镭开始，那么每隔1620年，剩余量依次为：
2.某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10％（即这辆轿车每年减少它的价值的10％）
那么从该车购买当年算起，逐年的价值依次为：
2.某人年初投资10 000元，如果年收益率为5％，那么按照复利
计算，5年内各年末的本息和依次为：
问题1：以上数列有什么特征？
二．建构数学：
等比数列的定义：
（5）.所有的常数数列都可以看成公差为0的等差数列，也可以看成公比为1的等比数列。
练习：1.已知{a n}是无穷等比数列，公比为q.
(1)将数列{a n}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这
个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
(2)取出数列{a n}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数
列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
(3)在数列{a n}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，
这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？
【个性化设计】
三．课时小结：
四．作业：。
人教课标版高中数学必修5《等比数列》第一课时参考学案
§2.4等比数列（1）1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质； 2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力； 3. 体会等比数列与指数函数的关系.一、课前准备（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处） 复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ， 等差数列的性质有：二、新课导学 ※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，… 思考以上四个数列有什么共同特征？ 新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1nn a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ； 24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：※ 典型例题例1 （1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n na a +是一个不为0的常数就行了. ※ 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（ ）.A.B.C.D. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系. ※ 知识拓展在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列； ⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 722. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）.A. a ≠1B. a ≠0且a ≠1C. a ≠0D. a ≠0或a ≠14. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，则123422a a a a ++＝ .5. 在等比数列{}n a 中，4652a a a =-，则公比q ＝ .在等比数列{}n a 中， ⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ； ⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ； ⑶ 44a =，76a =，求9a ； ⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .。
1.3.1等比数列的定义和通项学案(高中数学必修五北师大版)
1.3.1等比数列的定义和通项1.理解等比数列、公比、等比中项的概念.2.掌握等比数列的通项公式.3.会运用等比数列的通项公式解决相关数列问题.某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为多少?问题1:等比数列的定义如果一个数列从,每一项与它前一项的比等于,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数就叫作等比数列的,常用字母“q”表示.即数列{a n}为等比数列?a n÷ａn-1=q(n≥2,n∈N+).问题2:等比数列通项公式的推导(1)累乘法类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式?设等比数列{a n}中,=q(n∈N+,n≥2,q为常数),那么=q,=q,…,=q.将以上这n-1个等式相乘,得··…·=q n-1,整理得a n=a1q n-1,当n=1时上面的式子也成立,所以等比数列的通项公式为.(2)归纳法若一等比数列{a n}的首项是a1,公比是q,则据其定义可得:a2÷ａ1=q,即a2=a1·,a3÷ａ2=q,即a3=a2·q=a1·,a4÷ａ3=q,即a4=a3·q=a1·,…由此归纳等比数列的通项公式可得:a n=.问题3:(1)等比中项:若三个数a,G,b构成等比数列,则G叫作a与b的,并且G=.(2)在等比数列中,①=,②=a n+1·a n-1=a n+2·a n-2=…问题4:若{a n}是等比数列,则数列{ka n}是,公比为.1.已知等比数列{a n}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则a n等于().A.4·()nB.4·()nC.4·()n-1D.4·()n-12.已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于().A.-B.-2C.2D.3.在等比数列{a n}中,a1=1,公比q=2,若a n=64,则n的值为.4.一个等比数列{a n}中,a1+a4=133,a2+a3=70,求这个数列的通项公式.用定义探究通项公式已知数列{a n}为等比数列.(1)若a2=2,a6=162,求a10;(2)若a1+a2=30,a3+a4=120,求a5+a6;(3)若a1a2a3...a30=230,求a2a5a8 (29)等比数列的定义考查一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则-13是否是这个数列中的一项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.等比中项的考查若a、b、c成等比数列,试证:a2+b2,ab+bc,b2+c2也成等比数列.。
高中数学2.4等比数列(1)教案新人教B版必修5
等比数列(1)教学目标：1通过实例理解等比数列的概念。
2．探索并掌握等比数列的通项公式，会解决已知na 、1a 、q 、n 中的三个，求另外一个的问题。
3．培育学生的观察、归纳能力。
教学重点：1．等比数列的概念。
2．等比数列的通项公式。
教学难点：等比数列"等比"特征的理解、掌握及应用。
教学方式：启发式、归纳法教学。
一．知识引入：1.问题探索：国王为何不能兑现许诺国王为何不能兑现他对国际象棋发明者的奖赏许诺？印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想取得什么样的奖赏，大臣说："陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止。
并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您的仆人。
"国王以为这位大臣的要求不算多，就爽块地承诺了。
国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒……第十格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了。
国王这才发现，即便把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏许诺，这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？计算结果是。
用等比数列求和公式，可以算出结果为。
即共有18，446，744，073，709，551，615粒麦子，结果按每35粒重1克估算，这些麦子共重5270亿吨，以那时的生产能力计算，这些麦子需要全世界所有耕地在两千年内才能生产出来。
如此庞大数量的麦子国王能拿得出来！2.观察下列数列，写出它们的一个通项公式和递推公式，并说出它们的一路特征： 1）国际象棋棋查问题里的麦粒数的数列：1，2，4，8，…，6322）讲义54页《庄子》中"一尺之棰"的论述3）某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始，平均增加率为10％，近十年的国内生产总值别离是：2000，2000×,2000×21.1，…，91.12000⨯4）某种汽车购入价是10万元，每一年折旧率为15％，这辆车每一年开始时的价值别离是：10，10×, 285.010⨯,38510⨯,…。
人教B版数学必修五等比数列一教学设计
人教B版数学必修五“等比数列（一）”教学设计数课程名高一六新授学生人5一、教材及教学内容分使用教人版《数学》必修等比数第二教学内教材分等比数列的应用在生活中的非常广泛，如贷款、存款、产值增长率等。
因此学好本节课有助于提高学生分析与解决实际问题的能力4个课时（合分钟）安二、教学对象分学生的专业知识有了一定的基础， 1教学对象是普通高中高一年级的学生学生的学习习惯较好，但数学基础和归纳涉及专业的题目表现出浓厚的兴趣2括能力较弱3学生的自主探究、合作交流有了一定的基础且有较强的表现欲三、教学目理解等比数列的定义；掌握等比数列的通项公式认知目培养学生处理数据的能力和类比归纳能力能力目情感目在竞争与合作中培养学生的探究、创新精神四、教学重点与难教学重等比数列的定义及其通项公式的应用等比数列通项公式的推导和运用教学难五、教法、学法与教具准教问题教学尝试教学学案教学类比学习法】【学法小组学习法】教具准备【折纸多媒体课件会计专用计算器1六、教学过程：教教学内设计意环破播放儿歌《数青蛙活围，激发学习兴趣，打开学只青蛙呢？请同学们数一数那的思维，并从中引导学生复儿歌中蕴含的等差数列复等差数列的定义，为等比数4青蛙个数旧的学习做好铺垫（《数青蛙，青蛙的眼睛个数青蛙腿的个数1视频来自百度1'活全班分个大组：活：假设一张纸的厚度0.0毫米，那对个大组的学生通过次次次次，?，请观察纸由其趣厚度是怎样变化“纸的厚（单位毫米主探究、动手操作得出数活构成数，活由另个大组通过仿课本题目得出数200万元如。
两活某工厂今年的产值探大组同时进这样做既节通过技术改造，在今后年内，每年的产发时间又优化了课堂结构20都比上一年增那么今年及以年的'时让学生感受到数学来源于值构成下面的（单位：万元活数，问观察数和数，回答下面问题问：引导学生观察数数：从项起，每一项与前一项的比，发现数列的特征问;培养学生的创新思维问：从锻炼学生类比的能项起，每一项与前一项的比数问.培养学生把语言文问你能给具有这种特征的数列起个名字转化为数学语言的能力问你能类比等差数列的定义给等比数列问等比数列的推导是节课的难点。