辽宁省大连市2018届高三第一次模拟考试数学理

合集下载

2018年辽宁省大连市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2018年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确）1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x﹣3）＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，3）D．（1，3）2．（5分）若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示的程序框图是为了求出满足2n﹣n2＞28的最小偶数n，那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（）A．n＝n+1和6B．n＝n+2和6C．n＝n+1和8D．n＝n+2和8 5．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．4B．C．2D．7．（5分）6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两段端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种．A．24B．36C．48D．608．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C+c cos A，b＝2，则△ABC面积的最大值是（）A．1B．C．2D．49．（5分）已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角B﹣AD﹣C，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π10．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝cos（2x+）的图象，则a的值可以为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．（5分）若直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和曲线E：y＝ax3+bx2+（ab≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，曲线E 在点A，点C处的切线总是平行的，则过点（b，a）可作曲线E的（）条切线．A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y+5的最大值为．14．（5分）已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与R之间的概率为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2x，过点（1，0）任作一条直线和抛物线C交于A、B两点，设点G（2，0），连接AG，BG并延长分别和抛物线C交于点A′和B′，则直线A′B′过定点．16．（5分）已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若||＝2，则（•+4）•（•）的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2﹣n+1，在正项等比数列{b n}中，b2＝a2，b4＝a5．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi ﹣（w i ﹣xi y i w i y i表中w i ＝，＝w i（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x ＝64时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1．（Ⅰ）求证：EF ∥平面DCP ；（Ⅱ）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点M（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（﹣2，0）与Q（2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+5﹣（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）＝e x f（x），当m≥1时，若g（x1）+g（x2）＝2g（m），且x1≠x2，求证：x1+x2＜2m．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请标清题号。

高三数学-2018年高三第一次高考模拟考试(理) 精品

数学试卷（理科农医类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟。

以下公式可供解题时参考：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ），如果事件互相独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n p p C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．z i z 则,215+== （）A ．i 31035-- B ．i 31035+-C ．1－2iD ．1+2i 2．函数)4(sin )4(cos 22ππ+-+=x x y（）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数3．设)2tan(,21)tan(),2(53sin βαβππαπα-=-<<=则的值等于（）A ．－724B ．－247C ．724D ．2474．正方形ABCD ，沿对角线BD 折成直二面角后不会成立的结论是（）A ．AC ⊥BDB ．△ADC 为等边三角形C ．AB 、CD 所成角为60°D ．AB 与平面BCD 所成角为60°5．已知向量)()53(,2||,3||,60,m -⊥+==若夹角为，则m 的值为（）A ．2332 B ．4223 C ．4229 D ．2942 哈尔滨三中东北育才大连育明天津耀华2018年第一次高考模拟考试6．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（）A ．54 B ．45 C ．43 D ．34 7．关于直线a ,b,c 以及平面M ，N ，给出下面命题：①若a //M ，b//M, 则a //b ②若a //M, b ⊥M ，则b ⊥a ③若a ⊂M ，b ⊂M,且c ⊥a ，c⊥b,则c ⊥M ④若a ⊥M, a //N ，则M ⊥N ，其中正确命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．用四种不同颜色给正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色，则共有涂色方法（） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种9．已知a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 各项都大于零的数列，命题①a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8不是等比数列；命题②：a 1+a 8<a 4+a 5则命题②是命题①的（） A ．充分且必要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件10．袋中有编号为1，2，3，4，5的五只小球，从中任取3只球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E （ξ）的值是（） A ．5 B ．4.75 C ．4.5 D ．4 11．点P 的曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（） A ．]2,0[πB ．),43[)2,0[πππC ．),43[ππD ．]43,2(ππ 12．直线3x+4y －12=0与椭圆C ：191622=+y x 相交于A 、B 两点，C 上点P ，使得△PAB 的面积等于3，这样的点P 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．若不等式|ax +2|<6的解集为（－1，2），则实数a 等于14．把直线133+-=x y 绕点（1，1）顺时针旋转，使它与圆x 2+y 2－2x =0相切，则直线转动的最小正角是15．已知9)222(-x的展开式的第7项为421，)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 则的值为16．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述命题：①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A （1，0）对称 ②若对x ∈R ，有f (x +1)= f (x －1)，则f (x )的图象关于直线x =1对称 ③若函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称，则f (x )为偶函数 ④函数f (1+x )与函数f (1－x )的图象关于直线x =1对称其中正确命题的序号为三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)0,0,0(cos sin )(>>>+=b a x b x a x f ωωω周期为.3)4(,2)(,=≤ππf x f（1）写出f (x )的表达式；（2）写出函数f (x )的单调递增区间；（3）说明f (x )的图象如何由函数y=2sin x 的图象经过变换得到.已知数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列（1）求证：a2 , a8, a5也成等差数列（2）判断以a2, a8, a5为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{a n}中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由.如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，D ，E 分别为AC 1，BB 1的中点.（1）求证：DE//平面A 1B 1C 1；（2）求二面角A 1—DE —B 1的大小.E A B B 1CD C 1A 1某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七局四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束.在每场比赛中，甲队获胜的概率是,32乙队获胜的概率是31.根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：（1）组织者在此决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？（2）组织者在此决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少？21．（本小题满分12分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅（1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.22．（本小题满分14分）如图所示，曲线段OMB 是函数f (x )=x 2(0<x <6)的图象，BA ⊥x 轴于A ，曲线段OMB 上一点M(t, f (t)处的切线PQ 交x 轴于P ，交线段AB 于Q.（1）试用t 表示切线PQ 的方程；（2）设△QAP 的面积为g(t)，若函数g(t)在（m , n ）上单调递减，试求出m 的最小值；（3）]64,4121[∈∆QAP S ，试求出点P 横坐标的取值范围.数学试卷（理科农医类）答案一、选择题答案1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．B 12．B 二、填空题答案 13．－4 14．3π15．41-16．①③三、解答题答案 17．（1）x x x f 2cos 2sin 3)(+=…………………………………………4分（2）在每个闭区间Z k k k ∈+-],6,3[ππππ…………………………8分（3）将函数y=2sin x 的图象向左平移6π个单位，再将得到的函数图象上的所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21………………………………………………12分18．证明：（1）S 3=3a 1, S 9=9a 1, S 6=6a 1, 而a 1≠0，所以S 3，S 9，S 6不可能成等差数列……2分所以q ≠1，则由公式qq a q q a q q a q q a S n n --+--=----=1)1(1)1(1)1(2,1)1(6131911得……4分即2q 6=1+q 3 ∴2q 6a 1q=a 1q+q 3a 1q , ∴2a 8=a 2+a 5 所以a 2, a 8, a 5成等差数列…………6分（2）由2q 6=1+q 3=－21……………………………………………………………………8分要以a 2, a 8, a 5为前三项的等差数列的第四项是数列{a n }中的第k 项，必有a k －a 5=a 8－a 2,所以1632-=-q q a a k 所以,45)21(,45,453222-=--=-=--k k k q a a 所以所以由k 是整数，所以45)21(32-=--k 不可能成立，所以a 2, a 8, a 5 为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列{a n }中的一项.………………………………………………………12分 19．（1）取A 1C 1中点F ，连结B 1F ，DF ，∵D ，E 分别为AC 1和BB 1的中点，∴DF//AA 1，DF=1AA 1哈尔滨三中东北育才大连育明天津耀华2018年第一次高考模拟考试B 1E//AA 1，B 1E=21AA 1，∴DF//B 1E ，DF=B 1E ，∴DEB 1F 为平行四边形，……………………2分∴DE//B 1F ，又∵B 1F ⊂平面A 1B 1C 1，DE ⊄平面A 1B 1C 1，∴DE//平面A 1B 1C 1.……4分（2）连结A 1D ，A 1E ，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∵平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，A 1C 1是平面A 1B 1C 1与平面ACC 1A 1的交线，又∵B 1F ⊂平面A 1B 1C 1，且B 1F ⊥A 1C 1，∴B 1F ⊥平面ACC 1A 1，又DE//B 1F ，∴DE ⊥平面ACC 1A 1， ∴∠FDA 1为二面角A 1—DE —B 1的平面角，…………8分并且∠FDA 1=21∠A 1DC 1，设正三棱柱的棱长为1，∵∠AA 1C 1=90°，D 是AC 1中点，∴DC 1=22，A 1D=22，∠A 1DC 1=90°∴∠FDA 1=45°，即二面角A 1—DE —B 1为45°.………12分20．（1）①门票收入为120万元的概率为8117)31()32(44=+………………………15分（2）门票收入不低于180万元的概率814031)32()31(32)31()32(31)32()31(32)31()32(3336333623352335=⨯+⨯+⨯+⨯C C C C …12分 21．（1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2,(),0)(2,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-…………………2分040),2,1(2=+-=⋅-=y x y 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y ……4分（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时，则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y 得，不合题意，故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y=k x +b(k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x 得…6分由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(4212221212-===>=y y x y x y x x y 故有上又y 2=4x , y=k x +b 得ky 2－4y+4b=0,……………………8分所以)3216(1||),21(16.2,8422222++=+=∆-=-=k k k AB k k b k b ……10分因为.480)3216(196,304||64222≤++≤≤≤kk k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是]1,21[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分22．（1）).60(2),(2,2)(22<<-=-=-∴='=t t tx y t x t t y t t f k 即………2分（2）令y=0得.12,6;22t t y x tx-===令 .124,03664)12)(26(21||||21)(232<<<+-=--==∴t t t t t AQ AP t g 得又0<t<6,∴4<t<6，g(t)在(m, n)上单调递减，故（m, n ）.4)().6,4(min =∴⊆m …………8分)(,0)(,40t g t g t ∴>'<<时,2.61)64,4121(.1)40(41213664,412154)6(,64)4(23t x t S t t t t t g g QAP =≤≤⇔∈∴=<<=+->==∆又点的横坐标得解方程∴P 的横坐标的取值范围为)3,21[.……………………………………………………14分。

2018届高三数学第一次模拟考试试题文(1)

辽宁省大连市2018届高三数学第一次模拟考试试题文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A． B． C． D．2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．1 B．0 C． D．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A． B． C． D．4.如图所示程序框图是为了求出满足的最小正偶数，那么空白框中及最后输出的值分别是（）A．和6 B．和6 C. 和8 D．和85.函数的部分图象大致为（）A． B．C. D．6.等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前9项和是（）A．9 B．81 C.10 D．907.某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（）A． B． C. D．8.已知首项与公比相等的等比数列中，若满足，则的最小值为（）A．1 B． C.2 D．9.过曲线上一点作曲线的切线，若该切线在轴上的截距小于0，则的取值范围是（）A． B． C. D．10.已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行翻折，使为直角，则过四点的球的表面积为（）A． B． C. D．11.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）A． B． C. D．12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A． B． C.2 D．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数，满足约束条件，则的最大值为．14.已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长小于的概率为．15.已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点．16.已知菱形的一条对角线长为2，点为上一点且满足，点为的中点，若，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角的对边分别为，若，且.求的大小；求面积的最大值.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中，.根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，的中点，.求证：平面；求到平面的距离.20.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.求椭圆的方程；已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.21. 已知函数，.若恒成立，求的取值范围；已知，是函数的两个零点，且，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.求与交点的极坐标；设点在上，，求动点的极坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.当时，求不等式的解集；，都有恒成立，求的取值范围.。

2018高考数学(理科)模拟考试题一含答案及解析

2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B. 5 C．4 D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B. 2 C. 3 D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝ 3.故选C.图D1884．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π24．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图M1-2A ．1B ．2C ．3D ．46．B 解析：输入a ＝1，则k ＝0，b ＝1；进入循环体，a ＝－12，否，k ＝1，a ＝－2，否，k ＝2，a ＝1，此时a ＝b ＝1，输出k ，则k ＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( )图M1-3A ．10B ．11C ．12D ．137．C 解析：由题意，得78＋88＋84＋86＋92＋90＋m ＋957＝88，n ＝9.所以m ＋n ＝12.故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元8．D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z ＝3x ＋4y .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．C 解析：由题意，必有a 1＝0，a 8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016年天津)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，18B.⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎭⎫58，1 C.⎝⎛⎦⎤0，58 D.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 10.D 解析：f (x )＝1－cos ωx 2＋sin ωx 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0，所以x ＝k π＋π4ω(π，2π)，(k ∈Z )．因此ω⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，54∪⎝⎛⎭⎫98，94∪…＝⎝⎛⎭⎫18，14∪⎝⎛⎭⎫58，＋∞⇒ω∈⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58.故选D.11．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为243π16的同一球面上，则P A ＝( )A ．3 B.72C ．2 3 D.9211．B 解析：如图D190，连接AC ，BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，则OE∥P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，12PC ＝12P A 2＋AC 2＝12P A 2＋8，所以由球的体积可得43π⎝⎛⎭⎫12P A 2＋83＝243π16，解得P A ＝72.故选B.图D19012．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AOF 面积之和的最小值为( )A ．4 B.3 132 C.17 24D.1012．B 解析：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－m ，因为OA →·OB →＝6，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝6，从而(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0，因为点A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1·y 2＝－3，故m ＝3，不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥2138·y 1·92·1y 1＝3132，当且仅当13y 18＝92y 1，即y 1＝6 1313时取等号，故其最小值为3 132.故选B.第Ⅱ卷(非选择题满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝2 5，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|.∴5m ＋85＝8m ＋202 5.解得m ＝2.14．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．14.5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c,2b )在双曲线上，有c 2a 2－4b 2b2＝1，则e 2＝5，e ＝ 5.15．(2016年北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式T r ＋1＝C r 6·(－2)r x r 可知，x 2的系数为C 26(－2)2＝60，故填60.16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为________．16.13 解析：由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π时，sin x ≤12. 所以所求概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10.消去d ，得q 4－2q 2－8＝0.解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB ⊂平面PBE ，CM 平面PBE ，所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角．所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.如图D191，过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角．在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1，所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝3 22，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.图D191 图D192方法二，由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角．所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD .设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD → ，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13 .所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x ；(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .20．解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，则g ′(x )＝c －1－c x ln c . 令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c .当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．由(2)知，1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2, 0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b 2＝1.②由①②，解得a ＝2 2，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－2 2，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2. 所以x 0＝2 21＋2k2，则y 0＝2 2k 1＋2k2.所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋2 2)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令x ＝0得y ＝ 2 2k1＋1＋2k2，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1＋1＋2k 2. 同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2 2k 1－1＋2k 2. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2k 1＋1＋2k 2－ 2 2k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k .则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋2 2k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A (2，π)、B ⎝⎛⎭⎫2，4π3. (1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．22．解：(1)将A 、B 化为直角坐标为A (2cos π，2sin π)，B ⎝⎛⎭⎫2cos 4π3，2sin 4π3，即A ，B 的直角坐标分别为A (－2,0)，B (－1，－3)，k AB ＝－3－0－1＋2＝－3，∴直线AB 的方程为y －0＝－3(x ＋2)，即直线AB 的方程为3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设M (2cos θ，sin θ)，它到直线AB 的距离d ＝|2 3cos θ＋sin θ＋2 3|2＝|13sin (θ＋φ)＋2 3|2， ∴d max ＝13＋2 32.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．23．解：(1)当a ＝3时，f (x )>0，即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0. 解得1<x ≤32，或32<x <53. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)f (x )＝2－x －|2x －a |，所以f (x )<0可化为|2x －a |>2－x ， ①即2x －a >2－x ，或2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ，∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。

2018年辽宁省大连市瓦房店市高考数学一模试卷(理科)

2018年辽宁省大连市瓦房店市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知全集U=Z，A={x|x 2-x-2＜0，x∈Z}，B={-1，0，1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{-1，2}B．{-1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．(★)若复数，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(★)下列说法错误的是（）A．命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2-4x+3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则綈p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题4．(★)某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个5．(★★)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺6．(★)执行如图的程序框图，如果输入的a=1，b=2，那么输出的n的值为（）A．3B．4C．5D．67．(★)已知实数x，y满足，则z=x-2y的最大值为（）A．-4B．C．-1D．-28．(★★)设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m∥α，n∥α，则m∥n；③若m⊂α，n⊂α且m∥β，n∥β，则α∥β；④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．其中所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④9．(★★)如图所示，在边长为l的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．(★★)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A= ，cos C= ，a=1，则b=（）A．B．C．D．211．(★★★)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．12．(★★★)已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右支与抛物线x 2=4y交于A，B 两点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，且|AF|+|BF|=4|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．(★★★)写出（）5的展开式中常数项：．14．(★★)直线ax+y-2=0与圆C：x 2+y 2=4相交于A，B两点，若，则a= ．15．(★★)市内某公共汽车站6个候车位（成一排）现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是．16．(★★)已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a n}满足a 1=-1，a n=a n-1-1（n∈N +，且n≥2），则f（a 5）+f（a 6）= ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，．（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18．(★★★)为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动．在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查，被抽取的观众的评分结果如图所示．（Ⅰ）计算：①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90分的人数为X，求X的分布列与期望；（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率．19．(★★★)如图，已知AB⊥BC，BE∥CD，∠DCB=90°，平面BCDE⊥平面ABC，AB=BC=BE=2，CD=4，F为AD中点．（Ⅰ）证明：EF⊥平面ACD；（Ⅱ）求直线CE与平面ABD所成角的余弦值．20．(★★)已知椭圆=1（a＞b＞0）的短轴长为，离心率为，点A（3，0），P是C上的动点，F为C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．21．(★★★★★)已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，圆C 1的参数方程为（α为参数），圆C 2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C 1和C 2的极坐标方程；（Ⅱ）C 1和C 2交于O，P两点，求P点的一个极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★)已知函数f（x）=2|x+1|-|x-a|（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+3|x-a|，当a=1时，函数g（x）的最小值为t，且（m＞0，n＞0），求m+n的最小值．。

东北三省三校2018届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题Word版含解析

东北三省三校2018届高三第一次联合模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤< C ．{|11}x x -<≤ D ．{|21}x x -<≤ 【答案】B 【解析】试题分析：∵集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤{|02}x x =≤≤，∴{|01}A B x x =≤<I ，故选：B ．考点：交集及其运算．2.=（）A ．iB ．i -C ．)i +D ．1i +【答案】A 【解析】i ==，故选：A ．考点：复数代数形式的乘除运算．3.点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（） A ．14 B ．112- C ．14或112- D ．14-或112 【答案】C 【解析】试题分析：抛物线2y ax =化为：21x y a =，它的准线方程为：14y a=-，点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，可得1|1|24a +=，解得11412a =-或．故选：C ．考点：抛物线的简单性质．4.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（） A ． 6 B ． 7 C ． 10 D ． 9 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴782()0a a +=，∴780a a +=，又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B. 考点：等差数列的前n 项和．5.执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（）A ． 2012B ． 2016C ． 2014D ． 2015 【答案】A 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求2sinsinsin 333t S πππ=+++L 的值，因为sin 3t π的取值以6为周期，且(1)(6)sinsin sin 0333k k k πππ+++++=L ，由201233562=⨯+，所以输入的t 值是2012时，2sin sin3133S ππ=+=>， 201433564=⨯+，所以输入的t 值是2014时，2343sinsinsin sin 13333S ππππ=+++=<，201533565=⨯+，所以输入的t 值是2015时，2345sin sinsin sin sin 0133333S πππππ=++++=<， 201633566=⨯+，所以输入的t 值是2016时，2345sinsinsin sin sin sin 20133333S ππππππ=+++++=<，故选：A ．考点：程序框图．6.下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件； ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充要条件． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【答案】B 【解析】试题分析：①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥，因此不正确； ②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当0m =时，直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直；0m ≠时，若两条直线垂直，则3()121m m m-⨯-=--，解得1m =-，可知：“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2．故选：B ．考点：命题的真假判断与应用．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 12 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB ⊥面ABC ，VE ⊥AB ，CD ⊥AB ，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积1111543103232V AB CD VE =⨯••=⨯⨯⨯⨯=，故选：C 考点：由三视图求面积、体积．8.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若||3FB d ≥，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1,3]D ．[3,)+∞ 【答案】A考点：双曲线的简单性质． 9.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为（） A ．932 B ．732C ．916D ．716【答案】A 【解析】试题分析：分别画出点集A ，B 如图，A 对应的区域面积为4×4=16，B 对应的区域面积如图阴影部分面积为2223211119(2)(2)232x x dx x x x --+-=+-=⎰，由几何概型公式得，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为9921632=；故选A ．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．10.设二项式1()2n x -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b +++=+++L L （） A ．123n -+ B ．12(21)n -+ C ．12n + D ． 1【答案】C 【解析】试题分析：由于二项式1()2n x -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则2nn a =，2nn b -=，所以1212n n a a a b b b +++=+++L L 12111212(12)2221222(12)22212n nn n n+-------+++-==-+++-L L ，故选：C ．考点：二项式定理的应用；数列的求和．11.已知数列{a n }满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（） A ．14 B ．13 C ．14- D ．13-【答案】B 【解析】试题分析：数列3215334n a n n m =-++，令3215()334f x x x m =-++，（1x ≥）．'25()2f x x x =-，由'()0f x >，解得52x >，此时函数()f x 单调递增；由'()0f x <，解得512x ≤<，此时函数()f x 单调递减．∴对于()f n 来说，最小值只能是(2)f 或(3)f 中的最小值．458(3)(2)9(5)043f f -=--->，∴(2)f 最小，∴185313m ⨯-++=，解得13m =．故选：B ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．12.已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，0x ≥，()f x =2241y x -=在第一象限的部分，渐近线方程为12y x =±；当1k =时，由ln(1)y x =--，可得'111y x==-，可得0x =，即ln(1)y x =--在0x =处的切线方程为y x =，此时函数()()F x f x kx =-有且只有1个零点，∴若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为1(,1)2，故选：C ．考点：函数的零点与方程根的关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量,a b r r 满足||1a =r，||b =r ()(2)a b a b +⊥-r r u u r r，则向量a r 与b r 的夹角为．【答案】090 【解析】试题分析：因为||1a =r，||b =r ，()(2)a b a b +⊥-r r u u r r ，所以22()(2)20a b a b a a b b +•-=+•-=r r u u r r r r r r ，则220a b +•-=r r ，即0a b •=r r ，所以a b ⊥r r ，则向量a r 与b r的夹角为90°，故答案为：90°．考点：平面向量数量积的运算．14.三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0120ACB ∠=，CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为．【答案】64π 【解析】试题分析：在ABC ∆中，0120ACB ∠=，CA CB ==6AB =，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r =，设此圆圆心为O′，球心为O ，在'Rt OAO ∆中，得球半径4R ==，故此球的表面积为2464R ππ=．故答案为：64π．考点：球的体积和表面积．15.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．【答案】84 【解析】试题分析：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为246C =种，四个学生选这两种课共有4216=中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有241484C =种．故答案为：84．考点：排列、组合及简单计数问题．16.已知函数sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线x=1对称，则sin 2ϕ= ．【答案】45- 【解析】试题分析：sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+)x πϕα=+-，其中sinα=，cos α=． ∵函数的图象关于直线x=1对称，∴2k ππϕαπ+-=+，即2k πϕαπ=-+，则sin 2sin 2()sin(22)2k k πϕαπαππ=-+=-+sin(2)sin 22sin cos απααα=-=-=-425=-=-，故答案为：45-.考点：两角和与差的正弦函数．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）已知△ABC 的面积为2，且满足04AB AC <•≤u u u r u u u r ，设AB u u u r 和AC u u ur 的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数2()2sin ()24f πθθθ=+的取值范围．【答案】（1）[,)42ππ；（2）1[,2]2. 【解析】试题分析：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域等基础知识，属中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由数量积和三角形的面积公式可得tan θ的范围，进而可得θ的取值范围；第二问，利用倍角公式和两角和与差的正弦余弦公式，化简可得()12sin(2)3f πθθ=+-，由θ的范围和三角函数公式，结合三角函数图象可得三角函数的值域．试题解析：（1）由题意可得cos AB AC cb θ•=u u u r u u u r，∵△ABC 的面积为2，∴1sin 22bc θ=，变形可得4sin bc θ=， ∴4cos 4cos sin tan AB AC cb θθθθ•===u u u r u u u r ，由04AB AC <•≤u u u r u u u r ，可得404tan θ<≤，解得tan 1θ≥，又∵0θπ<<， ∴向量夹角θ的范围为[,)42ππ；（2）化简可得2()2sin ()24f πθθθ=+1cos(2)2222πθθ-+=⨯1sin 22θθ=+12sin(2)3πθ=+-∵由（1）知[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈-，∴1sin(2)[,1]32πθ-∈-， ∴11sin(2)[,2]32πθ+-∈，∴()f θ的取值范围为：1[,2]2考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．18.（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2，频率分布表Ⅰ（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）33.5（岁）；（2）分布列详见解析；12EX =. 【解析】试题分析：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．第一问，利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的①②位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄；第二问，由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．试题解析：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：300.30100=．补全频率分布直方图，如图所示．平均年龄估值为：12（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，21522021(0)38CP XC===，1151522015(1)38C CP XC===，252201(2)19CP XC===，∴X的分布列为：2115110123838192EX=⨯+⨯+⨯=．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．19.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q存在，是EF中点.【解析】试题分析：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；第二问，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为55，计算即可．试题解析：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴1//2MF DC==，正方形ABCD中E为AB中点，∴1//2AE DC==，∴//AE MF==，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P （0，0，2），B （0，1，0），C （1，1，0），E （0，12，0），F （12，12，1），由题易知平面PAD 的法向量为n r=（0，1，0），假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=u u u r u u u r ，∵1(,0,1)2EF =u u u r ，∴1(,,)22Q λλ=，1(,,)22AQ λλ=u u u r ，λ∈，设平面PAQ 的法向量为(,,)x y z ∏=u u r，由10220x y z z λλ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，可得(1,,0)λ∏=-u u r ， ∴2cos ,||||1m n m n m n λ•<>==+u r ru r r u r r ，251λ=+12λ=，所以满足条件的Q 存在，是EF 中点．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．20.（12分）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，点A 2)在椭圆上，且2AF 与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求△AOB 面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）22. 试题解析：（1）有已知：2c =，22b a =22a =24b =，故椭圆方程为22184x y +=；（2）当AB 斜率不存在时：1222222AOB S ∆=⨯= 当AB 斜率存在时：设其方程为：22(2)(2y k x k =-≠，由22(22)28y kx k x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得222(21)22)22)80k x k kx k +++-=，由已知：2222216(22)8(21)[(22)4]8(22)0k k k k k ∆=-+-=>，即：22k ≠-， 2222|22||121k AB k k -+=++，O 到直线AB 的距离：221d k =+，∴214||22|221AOB S AB d k ∆==-+， ∴221[1,2)(2,)k +∈+∞U ， ∴242[2,0)(0,2)21k -∈-+U ，∴此时(0,22]AOB S ∆∈，综上所求：当AB 斜率不存在或斜率存在时：△AOB 面积取最大值为．考点：椭圆的简单性质．21.（12分）已知a 是实常数，函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点A （0，﹣2），求实数a 的值；（2）若()f x 有两个极值点12,x x （12x x <）， ①求证：102a -<<； ②求证：211()()2f x f x >>-．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．第一问，求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a ；第二问，①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <），设()ln 21g x x ax =++，求出导数，讨论当a≥0时，当a ＜0时，求得函数g （x ）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化，求得()f x 的增区间，通过导数，判断1(0,1)x ∈，设1()(ln )2h x x x x =-（0＜x ＜1），求得h （x ）的单调性，即可得证．试题解析：（1）由已知可得，'()ln 12f x x ax =++（x ＞0），切点(1,)P a ，()f x 在x=1处的切线斜率为12k a =+，切线方程：(21)(1)y a a x -=+-，把(0,2)-代入得：a=1；（2）证明：①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <），设()ln 21g x x ax =++ 则：'1()2g x a x=+（x ＞0）当a≥0时，有'()0g x >，所以()g x 是增函数，不符合题意；当a ＜0时：由'()0g x =得：102x a=->，列表如下：依题意：11()ln()022g a a -=->，解得：102a -<<，综上可得，102a -<<得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化如下：由表可知：()f x 在上为增函数，所以：21()()f x f x > 又'(1)(1)120f g a ==+>，故1(0,1)x ∈，由（1）知：111ln 2x ax --=，211111111()ln (ln )2f x x x ax x x x =+=-（101x <<）设1()(ln )2h x x x x =-（01x <<），则'1()ln 02h x x =<成立，所以()h x 单调递减，故：1()(1)2h x h >=-，也就是11()2f x >-,综上所证：211()()2f x f x >>-成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-1：几何证明选讲】（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边上的中点，连接OD 交圆O 与点M ．（1）求证：DE 是圆O 的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．第一问，连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线；第二问，1()2DM OD OM AC AB=-=-，从而DM•AC+DM•AB=1()()2AC AB AC AB-•+212BC=，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．试题解析：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴1()2DM OD OM AC AB =-=-，∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）1()()2AC AB AC AB-•+221()2AC AB=-212BC=DE BC=•．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 23.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是312x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．【答案】（1）222x y x +=，3x π=+；（2）12m =±【解析】试题分析：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第一问，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程．直线L 的参数方程是3212x t m y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），把2t y =代入3x m =+消去参数t 即可得出；第二问，把3212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：22(33)20t m t m m ++-=，由△＞0，得13m -<<．利用12||||PA PB t t •=，即可得出．试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L 的参数方程是312x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得3x y π=+．（2）把312x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：22(33)20t m t m m +-+-=，由△＞0，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t •==， ∴221m m -=，解得12m =±．又满足△＞0． ∴实数12m =±．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 24.【选修4-5：不等式选讲】设函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f （x ）＞0；（Ⅱ）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1{|3}3x x x <->或；（2）1522m -<<. 试题解析：（Ⅰ）不等式()0f x >，即|21||2|x x ->+，即2244144x x x x -+>++，即23830x x -+>，求得它的解集为1{|3}3x x x <->或．（Ⅱ）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤<⎨⎪⎪->⎪⎩，故()f x 的最小值为15()22f =-，根据0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，可得25422m m ->-，即24850m m --<，求得1522m -<<．考点：绝对值不等式的解法．。

2018届高三数学第一次模拟考试试题理word版本

辽宁省大连市2018届高三数学第一次模拟考试试题理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x<1}，B={x|x(x-3)<0}，则A B=（A．(-1,0)B．(0,1)C．(-1,3)D．(1,3)）2.若复数z=1+i1+ai为纯虚数，则实数a的值为（）1A．1B．0C．-D．-123.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A．B．C．D．4.如图所示程序框图是为了求出满足2n-n2>28的最小正偶数n，那么输出的n值分别是（）空白框中及最后A．43B．10c o a s bA．n=n+1和6B．n=n+2和6 C.n=n+1和8D．n=n+2和85.函数f(x )=1+x2+tan xx的部分图象大致为（）A．B．C.D．6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）83 C.23D．3337.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种.A．24B．36 C.48D．608.∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2b cos B=C cos c+A，=2，则∆ABC 面积的最大值是（）A．1B．3 C.2D．49.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使∠BDC为10. 将函数 f (x ) = sin 2 x + ⎪ 的图象向右平移 a (a > 0)个单位得到函数g (x ) = cos 2 x + ⎪ 的图象，则 a 的值可以为（A ． 5πA ． 53 13.设实数 x ， y 满足约束条件 ⎨4 x - y ≥ 0 ，则 z = x + 2 y +5 的最大值为．⎪ x + y ≤ 5 和 ′，直角，则过 A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ． 3πB ． 4πC. 5π D ． 6π⎛ ⎝π ⎫ 3 ⎭⎛π ⎫ ⎝ 4 ⎭）7π 19π 41π B ．C.D ．1212 24 2411. 已知双曲线 C : x 2 y 2 -m 2 m 2 - 1= 1的左、右焦点分别为 F 、 F ，若 C 上存在一点 P 满足 1 2PF ⊥ PF ，且 ∆PF F 的面积为 3，则该双曲线的离心率为（）1 2 1 27B ．C.2 D ．32212.若直线 kx - y - k + 1 = 0 (k ∈ R ) 和曲线 E : y = ax 3 + bx 2 +5(b ≠ 0) 的图象交于 A (x , y )，1 1B (x , y ) ，C (x , y2233)(x 1< x < x )三点时，曲线 E 在点 A 、 C 点处的切线总是平行的，则过2 3点 (b , a )可作曲线 E 的（）条切线. A ．0 B ．1 C.2D ．3第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）⎧ y ≥ 0 ⎪⎩14.已知半径为 R 的圆周上有一定点 A ，在圆周上等可能地任意取一点与点 A 连接，则所得弦长介于 R 与 3R 之间的概率为．15.已知抛物线 C : y 2 = 2 x ，过点 (1,0 ) 任作一条直线和抛物线 C 交于 A 、B 两点，设点 G (2,0 )，连接 AG ， BG 并延长，分别和抛物线 C 交于点 A ′ B ′ 则直线 A ′B 过定点．16.已知腰长为 2 的等腰直角 ∆ABC 中， M 为斜边 AB 的中点，点 P 为该平面内一动点，若PC = 2 ，则 (P A • PB + 4)(PC • PM )的最小值为．b b ( )∑ (x - x )2 ∑ (w - w )2 ∑ x y∑ w y8( ) ( )三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{a n}的前 n 项和为 Sn ，且 S =n 2-n + 1 ，在正项等比数列{bn n}中， 2 = a ， = a .2 4 5 Ⅰ 求 {a }和 {b }的通项公式；n n(Ⅱ)设 c n= a b ，求数列{c }的前 n 项和.n n n18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量 y （单位： t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x 和年销售量iy (i = 1,2, …,8 ) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.ixyw8 i =1i8 i =1i8i =1i i8 i =1i i46.6573 6.8289.8 1.6 215083.4 31280表中 w = x ， w = i 1 ∑ 8i =1w .i Ⅰ 根据散点图判断， y = a + bx 与 y = c + d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(Ⅱ)根据 Ⅰ 的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；(Ⅲ) 已知这种产品的年利润 z 与 x 、 y 的关系为 z = 0.2 y - x .根据 (Ⅱ)的结果回答下列问题：(i )年宣传费 x = 64 时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii )年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 (u , v ), (u , v ),……, (u , v 1122nn二乘估计分别为：) ，其回归直线 v = α + β u 的斜率和截距的最小β=∑(u-u)(v-v)i i，α=v-βu.∑(u-u)2()=1(a>b>0)的离心率为，点M(1,)在椭()()∧ni=1ni∧∧i=119.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E,F分别是线段AD，PB的中点，P A=AB=1.Ⅰ求证：EF//平面DCP；(Ⅱ)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y213+a2b222圆C上.Ⅰ求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点，求四边形APBQ面积的最大值.21.已知函数f(x)=x2-4x+5-a(a∈R).e xⅠ若f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)设g(x)=e x f(x)，当m≥1时，若g(x)+g(x)=2g(m)，且x121≠x，求证：2x+x<2m.12请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C : ρ = 4cos θ 0 ≤ θ < ⎪ ， C 2 : ρ cos θ= 3 . 2 ⎭ ⎝ ( ) 3 ( )⎛ π ⎫ 1Ⅰ求 C 与 C 12 交点的极坐标；(Ⅱ)设点 Q 在 C 上， OQ = 2QP ，求动点 P 的极坐标方程.123.选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x ) = 2x + 2x + 3 + m ， m ∈ R .Ⅰ 当 m = -2 时，求不等式 f (x ) ≤ 3 的解集；(Ⅱ) ∀x ∈ (-∞,0 ) ，都有 f (x ) ≥ x + 2 恒成立，求 m 的取值范围.x试卷答案() ⎪⎩2 (n -1) (n ≥ 2)∴ a = ⎨(Ⅱ)由 (Ⅰ)得： c ⎧⎪ 1 (n = 1) ⎧⎪⎪⎩2 (n - 1)⋅ 2n -1 (n ≥ 2 ) = ⎨⎪⎩(n - 1)⋅ 2n (n ≥ 2 )一、选择题1-5: CDADB6-10: BABCC 11、12： BC二、填空题 13.14 14.115. (4,0 )16. 48 - 32 23三、解答题17.解： Ⅰ Q S = n 2 - n + 1 ， n∴当 n = 1 时， a = 1 ， 1a = S - Sn nn -1= 2 (n -1)， (n ≥ 2)，n⎧⎪ 1 (n = 1).又 Q 数列 {b n}为等比数列， b 2= a = 2 ， b = a = 82 4 5∴ b4 = q 2 = 4 ，b2又 Q b > 0n∴ q = 2 ，∴ b = 2n -1 .n1 (n = 1)=⎨ n设数列 {c n}的前 n 项和为 Tn当 n ≥ 2 时，T = 1 + (2 -1)⋅ 22 + (3 -1)⋅ 23 + L + (n -1)⋅ 2n n= 1 +1⋅ 22 + 2 ⋅ 23 + L + (n -1)⋅ 2n ，2T = 1⋅ 2 + 1⋅ 23 + 2 ⋅ 24 + L + (n - 2)⋅ 2n + (n - 1)⋅ 2n +1 n∴ -T = 3 + 23 + 24 + L + 2n - (n -1)⋅ 2n +1n=3+23(1-2n-2)()∑(y-y)(w-w)∑(w y-wy-yw+wy)∑w y-∑wy∑w y-8wy∑(w-w)∑(w-w)∑(w-w)∑(w-w)22221-2-(n-1)⋅2n+1=3+8(2n-2-1)-(n-1)⋅2n+1=2n+1-(n-1)⋅2n+1-5=(2-n)⋅2n+1-5∴T=5+(n-2)⋅2n+1(n≥2).n当n=1时，T=c=1，11又当n=1时，T=5+(n-2)⋅2n+1=1，n综上，T=5+(n-2)⋅2n+1(n≥1).n18.解：Ⅰ由散点图可以判断y=c+d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(Ⅱ)令w=x，先建立y关于w的线性回归方程d=888888888i iiiiiiiii ii=1i=1i=1i=1=31280-6.8⨯573⨯8=68，1.6c=y-dw=573-68⨯6.8=110.6，所以y关于w的线性回归方程为y=110.6+68w，所以y关于x的线性回归方程为y=110.6+68x.(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知，当x=64时，年销售量y的预报值为y=110.6+6864=654.6，年利润z的预报值为z=654.6⨯0.2-64=66.92.(ii)根据(Ⅱ)的结果知，年利润z的预报值z=0.2⨯(110.6+68x)-x=-x+13.6x+22.12=-(x-6.8)+68.36，2E为DA中点，ABCD为正方形，∴DE//CB,DE=CB，(当x=6.8，即x=46.24时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.19.解：Ⅰ)方法一：取PC中点M，连接DM,MF，1M,F分别是PC,PB中点,∴MF//CB,MF=CB，212∴MF//DE,MF=DE,∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF//DM, EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF//平面PDC.方法二：取P A中点N，连接NE，NF.E是AD中点，N是P A中点，∴NE//D P，又F是PB中点，N是P A中点，∴NE//AB，AB//CD，∴NF//CD，又NE NF=N，NE⊂平面NEF，NF⊂平面NEF，DP⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴平面NEF//平面PCD.又EF⊂平面NEF，∴EF//平面PCD.E 0,0, ⎪,F , ,0 ⎪EF = , , - ⎪ ，则 ⎨ ,即 ⎨ ,取 n = (1,0,1)，( , , , , ⎪方法三：取 BC 中点 G ，连接 EG ， FG ，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 中点， G 是 BC 中点∴GE / /CD又 F 是 PB 中点， G 是 BC 中点，∴GF / / P C ，又 PCCD = C ，GE ⊂ 平面GEF , G F ⊂ 平面GEF ，PC ⊂ 平面 P CD , CD ⊂ 平面 P CD ，∴ 平面 GEF //平面 PCD .EF ⊂ 平面 GEF∴EF / / 平面 PCD .方法四：P A ⊥ 平面 ABC ,且四边形 ABCD 是正方形，∴ AD , AB, AP 两两垂直，以 A 为原点， AP ，AB ， AD 所在直线为 x, y , z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ，则 P 1,0,0) D (0,0,1) C (0,1,1)⎛1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭⎛ 1 1 1 ⎫ ⎝ 2 2 2 ⎭则设平面 PDC 法向量为 n = (x, y , z )， PD = (- 1,0,1) PC = (- 1,1,1)⎧ P D ⋅ n = 0 ⎧- x + z = 0 ⎪⎩ PC ⋅ n = 0⎩- x + y + z = 01则 P (1,0,0), D (0,0,1), C (0,1,1), E 0,0, ⎪, F , ,0 ⎪ EF = , ,- ⎪, FC = - , ,1⎪⎧⎪EF ⋅ n = 0 ⎪ 1 则 ⎨ , 即 ⎨ 1 1 ⎪⎩FC ⋅ n = 0 ⎪⎩ 2 12 1 1, 则 ⎨ ,即 ⎨ ,取 n = (1,0,1)， ⎧PD ⋅ n = 0 ⎧- x + z = 0⎩- x 2 + y 2 + z 2 = 0 ⎪⎩PC ⋅ n = 0=n ⋅n = 3 ⨯ 1 + (- 1)⨯ 0 + 2 ⨯ 1n ⋅ EF = 1 - = 0 ，2 2所以 EF ⊥ n ，又EF ⊄ 平面 PDC ，∴ EF ∥平面 PDC .(Ⅱ )P A ⊥ 平面 ABC ,且四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD , AB, AP 两两垂直，以 A 为原点，AP ， AB ， AD 所在直线为 x, y , z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ，⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭设平面 EFC 法向量为 n = (x , y , z )，1111⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎝ 2 2 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭1取 n = (3,-1,2),1⎧ x + y - z = 0 1 1 - x + y + z = 01，则设平面 PDC 法向量为 n = (x , y , z 2222)， PD = (- 1,0,1) PC = (- 1,1,1)2 2 22 2cos n , n11 2 n ⋅ n 1 214 ⨯ 2 = 5 7 14.∴ 平面 EFC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值为（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）5 7 14.() 2 2 (Ⅱ)方法一：设 l 的方程为 x = my +1，联立 ⎨ 4 ⎩ 3m 2 + 4 3m 2 + 4 = ⎪ 3t +20. 解： Ⅰ 由 c = 1 可得， a = 2c ，又因为 b 2 = a 2 - c 2 ，所以 b 2 = 3c 2 . a 2所以椭圆 C 方程为x 2 y 2 3 12+ = 1 ，又因为 M (1, ) 在椭圆 C 上，所以4c 3c 2 4c 2 3( )2 + 2 3c 2 = 1 .所以 c 2 = 1 ，所以 a 2= 4, b 2 = 3 ，故椭圆方程为 x2 y 2 + = 1 .4 3⎧ x 2 y 2 ⎪ + = 1 3， ⎪ x = my + 1消去 x 得 (3m 2 + 4) y 2 + 6my - 9 = 0 ，设点 A( x , y ), B( x , y ) ，1 122有 ∆ > 0, y + y = 1 2 -6m -9, y y = ,1 2 y - y =( y 1 21+ y 2)2 - 4 y y1 2=⎛ -6m ⎫2⎝ 3m 2 + 4 ⎭12 m 2 + 1(3m 2 + 4)- 4 ⨯-9 3m 2 + 4所以 1 12 m 2 + 1 S = 2 ⨯ 4 ⨯ (3m 2 + 4)令 t = 1 + m 2 , t ≥ 1 ，有 S = 24t 24 =3t 2 + 1 1t，由1函数 y = 3t + ， t ∈ [1,+∞ )ty ' = 3 - 1 t 2> 0, t ∈ [1,+∞ )方法二：设 l 的方程为 x = my +1，联立 ⎨ 4⎩ 3m 2 + 4 3m 2 + 41 + m2 ，点 Q(2,0) 到直线 l 的距离为，1 + m2 3t +1故函数 y = 3t + ，在 [1,+∞ ) 上单调递增，t24t 241故 3t + ≥ 4 ，故 S == ≤ 63t 2 + 11 t3t +t当且仅当 t = 1即 m = 0 时等号成立，四边形 APBQ 面积的最大值为 6 .⎧ x 2 y 2 ⎪ +3= 1，⎪ x = my + 1消去 x 得 (3m 2 + 4) y 2 + 6my - 9 = 0 ，设点 A( x , y ), B( x , y ) ， 1 122有 ∆ > 0, y + y = 12-6m -9, y y = ,1 2有 | AB |= 1 + m 2 121 + m2 12(1+ m 2 ) =3m 2 + 4 3m 2 + 4 ，点 P(-2,0) 到直线 l 的距离为 311 + m 2从而四边形 APBQ 的面积1 12(1+ m2 ) 424 1 + m 2 S = ⨯ ⨯=2 3m 2 + 43m 2 + 4令 t = 1 + m 2 , t ≥ 1 ，有 S = 24t 24 =3t 2 + 11 t，1函数 y = 3t + ， t ∈ [1,+∞ )ty ' = 3 - 1 t 2> 0, t ∈ [1,+∞ )1故函数 y = 3t + ，在 [1,+∞ ) 上单调递增，t= ≤ 6 当且仅当 t = 1 即 m = 0 时等号成立，四边形 APBQ 面3 + 4k 23 + 4k 2⎩⎡(x + x )2 - 4x x ⎤ = 12 ⨯ k (k + 1) ，1 2 ⎦ (3 + 4k 2 )22 (3 + 4k 2 )2S = 6 ⨯ -3 ⨯ ⎪ - 2 ⨯ + 1 , (0 < < ) ∴S = 6 ⨯ -3 ⨯ ⎪ - 2 ⨯ + 1,(0 < < ) (有 3t + 1≥ 4 ，故 S =t积的最大值为 6 .方法三：①当 l 的斜率不存在时， l : x = 1此时，四边形 APBQ 的面积为 S = 6 .②当 l 的斜率存在时，设 l 为： y = k ( x - 1) ， (k ≠ 0)⎧ x 2 y 2 ⎪ + 则 ⎨ 4 3= 1 ⎪ y = k ( x - 1)∴ (3 + 4k 2 )x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 08k 2 4k 2 - 12 ∆ > 0, x + x =, x x =，1 21 2y - y = k ( x - x ) = k 121 22⎣ 1 2 2 2∴四边形 APBQ 的面积1 k2 (k 2 + 1)S = ⨯ 4 ⨯ y - y = 24 ⨯12令 t = 3 + 4k 2(t > 3) 则 k 2 =t - 34⎛ 1 ⎫21 1 1 ⎝ t ⎭ t t 3⎛ 1 ⎫21 1 1 ⎝ t ⎭ t t 3 ∴0 < S < 6综上，四边形 APBQ 面积的最大值为 6 .21.解： Ⅰ) Q f (x )在 (-∞, +∞)上是单调递增函数,∴在 x ∈ R 上， f ' (x ) = 2x - 4 + ae x≥ 0 恒成立，即： a ≥ (4 - 2x )e x⎣ ⎦∴设 h (x ) = (4 - 2x )e x x ∈ R∴ h ' (x ) = (2 - 2x )e x ，∴当 x ∈ (-∞,1)时 h ' (x ) > 0 ，∴ h (x ) 在 x ∈ (-∞,1)上为增函数，∴当 x ∈ (1,+∞) 时 h ' (x ) < 0 ，∴ h (x ) 在 x ∈ (1,+∞) 上为减函数，∴ h (x )max= h (1) = 2eQ a ≥ ⎡(4 - 2x )e x ⎤ max∴ a ≥ 2e ，即 a ∈[2e , +∞) .(Ⅱ )方法一：因为 g ( x ) = e x ( x 2 - 4 x + 5) - a ，所以 g '( x ) = e x ( x - 1) 2 ≥ 0 ，所以 g ( x ) 在 (-∞, +∞)上为增函数，因为 g ( x ) + g ( x ) = 2g (m ) ，即 g ( x ) - g (m ) = g (m ) - g ( x ) ，1 212g ( x ) - g (m )和g (m ) - g ( x ) 同号，1 2所以不妨设 x < m < x ,设 h( x ) = g (2m - x) + g ( x ) - 2 g (m )( x > m ≥ 1) ，…8 分1 2所以 h'( x ) = -e 2m - x (2m - x - 1) 2 + e x ( x - 1) 2 ，因为 e 2m - x < e x ， (2m - x - 1)2 - ( x - 1)2 = (2 m - 2)(2 m - 2 x ) ≤ 0 ，所以 h '(x) > 0 ，所以 h( x ) 在 (m , +∞) 上为增函数，所以 h( x ) > h(m ) = 0 ，所以 h( x ) = g (2m - x ) + g ( x ) - 2 g (m ) > 0 ，2 22所以 g (2m - x ) > 2 g (m ) - g ( x ) = g ( x ) ，2 21所以 2m - x > x ，即 x + x < 2m .2 112方法二：Q g (x ) = e x f (x ) = (x 2 - 4x + 5)e x - ag (x )+ g (x ) = 2g (m ) m ∈[1, +∞) ，12(⎨2，θ=∴(x21-4x+5)e x1-a+(x2-4x+5)e x2-a=2(m2-4m+5)e m-2a 122∴(x2-4x+5)e x1+(x2-4x+5)e x2=2(m2-4m+5)e m 1122∴设ϕ(x)=(x2-4x+5)e x x∈R，则ϕ(x)+ϕ(x)=2ϕ(m)，12∴ϕ'(x)=(x-1)2e x≥0∴ϕ(x)在x∈R上递增且ϕ'(1)=0令x∈(-∞,m)，x∈(m,+∞)12设F(x)=ϕ(m+x)+ϕ(m-x),x∈(0,+∞)，∴F'(x)=(m+x-1)2e m+x-(m-x-1)2e m-xQ x>0∴e m+x>e m-x>0，(m+x-1)2-(m-x-1)2=(2m-2)2x≥0∴F'(x)>0，F(x)在x∈(0,+∞)上递增，∴F(x)>F(0)=2ϕ(m)，∴ϕ(m+x)+ϕ(m-x)>2ϕ(m)，x∈(0,+∞)令x=m-x1∴ϕ(m+m-x)+ϕ(m-m+x)>2ϕ(m)11即：ϕ(2m-x)+ϕ(x)>2ϕ(m)11又Qϕ(x)+ϕ(x12)=2ϕ(m)，∴ϕ(2m-x)+2ϕ(m)-ϕ(x)>2ϕ(m)即：ϕ(2m-x)>ϕ(x 1212 Qϕ(x)在x∈R上递增∴2m-x>x，即：x+x<2m得证.1212)22.Ⅰ)解：联立⎧ρcosθ=3，cosθ⎩ρ=4cosθ3 =±，20≤θ<ππ6，⎛θ ∈ ⎡⎢0, ⎫⎪ ， ,θ )且 ρ = 4cos θ ⎣ 2 ⎭⎪ρ0 = 2 ⎧ 2 OQ = QP ，得 ⎨ 3⎩θ0 = θ∴ ρ =4cos θ ，点 P 的极坐标方程为 ρ = 10 cos θ ,θ ∈ ⎢0, ⎪ .- ＜x ＜0 ⎪ , ⎝ 2 ⎭ ( ) ⎨ x ≤- ⎪ 当 ⎨ 解得 0 ≤ x ≤ ；当 - ＜x ＜0， 1 ≤ 3 恒成立x ≥ 0 2 2 ⎪⎩ 2 此不等式的解集为 ⎢-2 ， ⎥ .⎪3 + m- ＜x ＜0 ⎪⎝ 2 ⎭x ≤- ⎪ 当 - ＜x ＜0 时，不等式化为 3+m ≥ x + = -[(- x ) + (- )] ≤ -2 (- x )(-ρ = 2 3 ，交点坐标 2 3, ⎝π ⎫ ⎪ .6 ⎭(Ⅱ )设 P (ρ,θ ), Q (ρ0 0 0 0 ， 0π由已知 ⎪ρ 5 ，2 ⎡ π ⎫ 5 ⎣ 2 ⎭23.解： ⎧⎪4 x + 1 ⎪Ⅰ 当 m =-2 时， f (x ) = 2 x + 2 x + 3 -2= ⎪1⎪(x ≥ 0)⎛ 3 ⎫⎪ ⎪-4 x - 5 ⎩⎛⎝ 3 ⎫ 2 ⎭⎧4 x + 1 ≤ 3 1 3 ⎩⎧-4 x - 5 ≤ 3 ⎪当 ⎨ 3 x ≤-解得 -2 ≤ x ≤ -3 2⎡ 1 ⎤ ⎣2 ⎦⎧ (Ⅱ)当 x ∈ (-∞,0 )时 f (x ) = 2 x + 2 x + 3 + m = ⎪⎨⎪-4 x - 3 + m⎪⎩⎛ 3 ⎫⎛3⎫ ⎝ 2 ⎭，3 2 2 x.由 x + 2 2 2 ) = -2 2x x x∴m ≥ 5x + + 3 ，令 y = 5x + + 3 ， x ∈ (-∞, - ] .∴y = 5x + + 3 在 (-∞, - ] 上是增函数.∴ ∴m ≥ - .当且仅当 - x = - 2即 x = - 2 时等号成立.x∴m + 3 ≥ -2 2 ，∴m ≥ -3 - 2 2 .当 x ≤- 3 2时，不等式化为 -4 x - 3 + m ≥ x + .2 x2 2 3x x 2 y ' = 5 - 2 3> 0, x ∈ (-∞, - ] ，x 2 22 3x 2 3 2 35∴ 当 x =- 时， y = 5x + + 3 取到最大值为 - .2 x 6 356综上 m ≥ -3 - 2 2 .。

2018高三数学(理)第一次模拟考试题(东北三省三校有答案)

2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2018年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的模为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知，则 ( ) A. B. C. D. 5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( ) A. B.2 C. D. 6. 展开式中的常数项是( ) A. B. C.8 D. 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( ) A. B. C.1 D.3 8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( ) A.B. C. D. 9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( ) A.148 B.37 C.333 D.0 10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( ) A. B. C. D. 11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( ) A. B. C. D. 12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在中，，，，则 ______________.14.若满足约束条件，则的最大值为______________. 15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科. 可以判断乙教的学科是______________. 16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.(1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。

【高三数学试题精选】2018届高考数学理科第一次模拟考试题(大连市附答案)

2018届高考数学理科第一次模拟考试题（大连市附答案）
5 c 大连市4坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（2）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值
23选修4-5不等式选讲
已知，函数的最小值为1
（1）求证；
（2）若恒成立，求实数的最大值
2018年大连市高三一模测试
数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题
（1）A；（2）D；（3）A；（4）D；（5）c；（6）A；（7）D ；（8）A；（9）B；（10）c；（11）B；（12）D．
二填空题
（13）48；（14）；（15）；（16）．
三解答题
（17）
解（I）∵ ，
∴ ，
∴当时，取得最小值2．
(2) ∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．。

高三数学-2018年大连市高三第一次模拟考试数学试卷精品

2018年大连市高三第一次模拟考试数学参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：球的表面积公式：，其中R表示球的半径球的体积公式：，其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. （）A. B. C. D. 22. 函数的反函数图象是（）3. 若二项式的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为（）A. 15B. 12C. 10D. 64. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在［2700，3000］的频率为（）A. 0.001B. 0.3C. 0.01D. 0.0185. 函数的图象的一个对称中心是（）A. B.C. D.6. 下列各式中正确的个数为（）（1）；（2）；（3）；（4）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（）A. 48B. 47C. 46D. 458. 设是椭圆C：的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 09. ABCD是空间四边形，已知AB＝CD，AD＝BC，但AB≠AD，M、N为两对角线AC、BD的中点，则（）A. MN与AC垂直，MN与BD不垂直B. MN与BD垂直，MN与AC不垂直C. MN与AC、BD都不垂直D. MN与AC、BD都垂直10. 设均是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.11. 空间有8个点，其中任何四点不共面，则经过每两点的所有直线中异面直线的对数为（）A. 420B. 210C. 70D. 3512. 给出下列命题：（1），则；（2）奇函数的图象必过原点；（3）与它的反函数的图象若相交，则交点必在直线上；（4）若等差数列的公差小于0，则其前n项和一定有最大值。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第一次模拟考试数学(理)试卷扫描版

2018年三省三校一模考试（数学理科）答案一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题：13.1 14.3215.C 16. ①③ 三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =. ……1分当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，Q 0n a >，12n n a a -∴-=， ……4分所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，故3(1)221n a n n =+-⨯=+. …….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：22111111()1444(1)41n n b a n n n n n n ====--+++， ……9分12+n n T b b b ∴=++L 11111111(1)(1)422314144nn n n n =-+-++-=-=+++ . ……12分18．（本题满分12分）解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300…….4分（2）由已知①当订购200台时，E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) …….7分② 当订购250台时，E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+[200250]0.437500⨯⨯=（元）…….11分综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。

…….12分 19．（本题满分12分） .解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，4PEO π∠=，OP OE =.方法一：因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.又14EF PE ==，12EQ OE =，所以EF EQ EO EP ==，所以EFQ ∆∽EOP ∆，所以2EFQ EOP π∠=∠=，所以PE FQ ⊥.且MN FQ Q = ，所以PE ⊥平面MNF .方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ,连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.又因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB m =，AD n =，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,022n m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭，于是()0,,PE m m =-,,,244n m m MF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .所以0P E M F ⋅= ，所以P E M F ⊥，且M N M F M = ，所以PE ⊥平面M N F ……6分.（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB AD m ==，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,02m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是()0,,PE m m =- ，0,,02m BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，,,244m m m BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. (8)分.设平面BMF 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则0BM BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，从而020244my m m m x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令1x =,得()1,0,2=1n .而平面N M 的一个法向量为=2n ()0,,PE m m =-. ……10分.所以co ⋅<>==121212=n n n n n n ……12分.20．（本题满分12分）.解: （Ⅰ）(0,1),1F b ∴= ，又1126F F F F ⋅=，226,c c ∴==又222,2a b c a -=∴=，∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……3分（Ⅱ）设直线l 与抛物线相切于点00(,)P x y ，则2000:()42x x l y x x -=-，即20024x x y x =-，联立直线与椭圆200222414x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22340001(1)404x x x x x +-+-=.由240016(1)0x x ∆=+->，得2008x <<+. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则：34001212220016,14(1)x x x x x x x x -+==++. ……6分则120|||AB x x =-==……8分原点O 到直线l的距离2d =……9分故OAB∆面积1||2S d AB =⋅=420200(1111x x +=≤=+，当且仅当24400016(1)x x x +-=，即204x =+取等号，故OAB ∆面积的最大值为1. ……12分21．（本题满分12分）解（Ⅰ）:当0b =时：()h x kx =由()()()f x h x g x ≥≥知：ln xe kx x ≥≥依题意：ln x e xk x x≥≥对(0,)x ∈+∞恒成立 ……1分设/2(1)()(0),()x x e e x m x x m x x x-=>∴= 当(0,1)x ∈时/()0m x <；当(1+)x ∈∞，时/()0m x >，min [()](1)m x m e ∴== (3)分设/2ln 1ln ()(0),()x x n x x n x x x -=>∴= ……5分当(0,)x e ∈时/()0n x >；当(+)x e ∈∞，时/()0n x <，max 1[()]()n x n e e∴==故：实数k 的取值范围是1[]e e， ……6分（Ⅱ）由已知：()'x fx e =，()'1g x x =①：由()1111x xy e e x -=-得：()()1111xxh x e x e =+-⋅ 由()2221ln y x x x x -=-得：()221ln 1h x x x x =+- 故()11212111ln x x e x e x x⎧=⎪⎨⎪-=-⎩……8分Q 10x <，()1110x e x ∴-<，2ln 1x ∴>，故：2x e > ……9分②：由①知：12x x e -=，()11111xe x x -=+且21x e >>由()11ln 0a x x x x -+-≥得：()11ln a x x x x -≥-，()2x x ≥ 设()()2ln G x x x x x x =-≥ ()'1l n 1l n 0Gx x x =--=-<()G x ∴在)2,x +∞⎡⎣为减函数，()()2222max ln G x G x x x x ∴==-⎡⎤⎣⎦……11分由()12221ln a x x x x -≥-得：()()12211ln a x x x -≥- ∴ ()()1111a x x -≥-又10x < 1a ∴≤ ……12分22.解：（本小题满分10分）（Ⅰ）4cos ρθ=Qθρρcos 42=∴222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+∴==Q x y x 422=+∴1C ∴的直角坐标方程为:x y x 422=+ ……3分13,23),x t y x y ⎧=-⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎩Q 2C ∴的普通方程为)3(3--=x y ……5分（Ⅱ）将x y x t y t x 4,23,21322=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=代入得：)213(443)213(22t t t -=+-t t t 212932-=+-∴ 032=--∴t t3,12121-=⋅=+∴t t t t ……8分由t 的几何意义可得：32121===⋅⋅t t t t AQ AP ……10分23．（本小题满分10分）（Ⅰ）当1a =时：不等式为:25211x x x -++>-等价于：:11552222252112521125211x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧<--≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-+-->--+++>--++>-⎩⎩⎩或或 ……3分解得：:11552222x x x <--≤≤>或或所以：不等式的解集为:∞∞（-,+) ……5分（Ⅱ）设函数()2521f x x x =-++=1442156225442x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩设函数()1g x ax =-过定点（0，-1） ……7分画出),()f x g x （的图像， ……8分由数形结合得a的范围是14[4,)5- (10)分。

辽宁省大连市2018届高三数学第一次模拟考试试题文

辽宁省大连市2018届高三数学第一次模拟考试试题文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则AB =（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,3-D ．()1,32.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．12- D ．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ．4.如图所示程序框图是为了求出满足2228nn ->的最小正偶数n ，那么空白框中及最后输出的n 值分别是（）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D ．2n n =+和85.函数()2tan 1xf x x x=++的部分图象大致为（） A ． B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项和是（）A ．9B ．81 C.10 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．8.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若,m n N *∈满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为（） A ．1 B ．32 C.2 D ．929.过曲线x y e =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若该切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是（）A ．()0,+∞B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. ()1,+∞ D ．()2,+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为（） A ．3π B ．4π C.5π D ．6π 11.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（）A ．512π B ．712π C.1924π D ．4124π12.已知双曲线2222:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（）AC.2 D ．3 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0405y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则25z x y =++的最大值为．14.已知半径为R 的圆周上有一定点A ，在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接，则所得弦的概率为．15.已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点，设点()2,0G ，连接AG ，BG 并延长，分别和抛物线C 交于点A ′和B ′，则直线A B ′′过定点．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 为AD 上一点且满足12AE ED =，点F 为CD 的中点，若2AD BE ∙=-，则CD AF ∙= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b =，且2cos cos cos b B a C c A =+.()Ⅰ求B 的大小；()Ⅱ求ABC ∆面积的最大值.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题：()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121niii nii u u v v u u β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.()Ⅰ求证：//EF 平面DCP ； ()Ⅱ求F 到平面PDC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上.()Ⅰ求椭圆C 的方程；()Ⅱ已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. 已知函数()ln f x x =，()g x x m =+.()Ⅰ若()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围；()Ⅱ已知1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，且12x x <，求证：121x x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos 02C πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，2:cos 3C ρθ=.()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标；()Ⅱ设点Q 在1C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x x m =+++，m R ∈.()Ⅰ当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；()Ⅱ(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x ≥+恒成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDADD 6-10:BBACC 11、12：CB 二、填空题 13.14 14.2315.()4,0 16.-7 三、解答题17.解：()Ⅰ由2cos cos cos b B a C c A =+可得2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=，故1cos 2B =，所以3B π=.()Ⅱ方法一：由2,3b B π==，根据余弦定理可得224ac a c =+-，由基本不等式可得22424,ac a c ac =+-≥-所以4ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立.从而11sin 422ABC S ac B ∆=≤⨯=，故ABC △方法二：因为sin sin sin a b c A B C ====所以,a A c C ==，112sin sin sin()2233S ac B A C B A A π==⋅=-)6A π=-+当262A ππ-=，即3A π=时，max S =故ABC △18.解：()Ⅰ由散点图可以判断y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w y 关于w 的线性回归方程()()()()()()()88888111118888222211118iii iiii iii ii i i i i iiiii i i i y y w w w y wy yw wy w y wy w y wyd w w w w w w w w =========----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==，57368 6.8110.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为110.668y w =+，所以y 关于x 的线性回归方程为110.6y =+()Ⅲ()i 由()Ⅱ知，当64x =时，年销售量y 的预报值为110.6654.6y =+=，年利润z 的预报值为654.60.26466.92z =⨯-=.()ii 根据()Ⅱ的结果知，年利润z 的预报值)20.2(110.622.12 6.868.36z x x =⨯+-=-+=-+，6.8=，即46.24x =时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大. 19.()Ⅰ方法一：取PC 中点M ，连接MF DM ,，F M , 分别是PB PC ,中点, CB MF CB MF 21,//=∴， E 为DA 中点，ABCD 为正方形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//,∴四边形DEFM 为平行四边形，⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面PDC .方法二：取PA 中点N ，连接NE ，NF .E 是AD 中点，N 是PA 中点，//NE DP ∴，又F 是PB 中点，N 是PA 中点，//NE AB ∴，//AB CD ，//NF CD ∴，又NE NF N =，NE ⊂平面NEF ，NF ⊂平面NEF ，DP ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴平面//NEF 平面PCD .又EF ⊂平面NEF ，//EF ∴平面PCD .方法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点//GE CD ∴又F 是PB 中点，G 是BC 中点，//GF PC ∴，又PCCD C =，,GE GEF GF GEF ⊂⊂平面平面， ,PC PCD CD PCD ⊂⊂平面平面， ∴平面GEF //平面PCD .EF ⊂平面GEF//EF ∴平面PCD .()Ⅱ方法一：//EF 平面PDC ，F ∴到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离，⊥PA 平面ABCD ，PA DA ⊥∴，1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ，⊥PA 平面A B C ，PA CB⊥∴，又⊥CB AB ，A AB PA = ,AB PAB PA PAB ⊂⊂平面，平面， CB ⊥∴平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，CB PB ⊥∴,故PC =.222PD DC PC +=∴ ， PDC ∆∴为直角三角形，PDE C PDC E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，则1111111132322h ∙∙∙=∙∙∙∙，4h =∴F ∴到平面PDC 的距离42.方法二：//EF 平面PCD ，∴点F 到平面PCD 的距离等于点E 到平面PCD 的距离，又AD 平面PCD D =,E 是AD 中点，∴点A 到平面PCD 的距离等于点E 到平面PCD 距离的2倍.取DP 中点H ,连接AH ,由=AD AP 得AH PD ⊥, 由AB AP ⊥,AB AD ⊥,ADAP A =, AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，AB ⊥∴平面PAD ，又//AB CD CD ⊥∴平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD .又平面PCD平面PAD PD =，AH PD ⊥，AH ⊂平面PAD ，AH ⊥∴平面PCD ，AH ∴长即为点A 到平面PCD 的距离，由1AP AD ==，AP AD ⊥，2AH ∴=. E ∴点到平面PCD的距离为4，即F 点到平面PCD的距离为4.20. 解：()Ⅰ由12c a =可得，2a c =，又因为222b a c =-，所以223b c =. 所以椭圆C 方程为2222143x y c c +=，又因为3(1,)2M 在椭圆C 上，所以22223()12143c c+=.所以21c =，所以224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. ()Ⅱ方法一：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++1234y y m -===+所以()214234S m =⨯⨯+令1t t =≥，有224241313t S t t t ==++，由函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t'=->∈+∞故函数13y t t=+，在[1,)+∞上单调递增，故134t t +≥，故2242461313t S t t t ==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法二：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++有2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t =≥，有22424313t S t t t ==++，函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t'=->∈+∞故函数13y t t=+，在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ面积的最大值为6.方法三：①当l 的斜率不存在时，:1l x = 此时，四边形APBQ 的面积为6S =.②当l 的斜率存在时，设l 为：(1)y k x =-，(0)k ≠则22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k ∴+-+-=2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+==++，1212()12y y k x x -=-== ∴四边形APBQ 的面积1214242S y y =⨯⨯-= 令 234(3)t k t =+> 则 234t k -=6S =11(0)3t <<116)3S t =<<∴06S <<∴综上，四边形APBQ 面积的最大值为6.21.解：()Ⅰ令()()()ln (0)F x f x g x x x m x =-=-->，有11()1xF x x x-'=-=，当1x >时，()0F x '<，当01x <<时，()0F x '>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，()F x 在1x =处取得最大值，为1m --，若()()f x g x ≤恒成立，则10m --≤即1m ≥-.()Ⅱ方法一：120x x <<，211x x >∴， 11221122ln 0,ln ln ln 0x x m x x x x x x m --=⎧-=-⎨--=⎩∴，即2121ln ln x x x x -=-21211ln ln x x x x -=-∴，欲证：121x x <21211ln ln x x x x -=-，只需证明21ln ln x x -<只需证明21lnx x <.设1t =>，则只需证明12ln ,(1)t t t t <->，即证：12ln 0,(1)t t t t-+<>.设1()2ln (1)H t t t t t =-+>，22221(1)()10t H t t t t -'=--=-<， ()H t ∴在(1,)+∞单调递减，()(1)2ln1110H t H ∴<=-+=， 12ln 0t t t-+<∴，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函数()()()F x f x g x =- 有两个零点，有(1)0F >，则1m <-，且1201x x <<<，要证121x x <，只需证211x x <，由于()F x 在(1,)+∞上单调递减，从而只需证211()()F x F x >，由12()()0F x F x ==，只需证111111()ln 0F m x x x =--<，又111()ln 0F x x x m =--=，11ln m x x =-∴ 即证1111111111lnln ln 0m x x x x x x --=-+-< 即证11112ln 0x x x -+-<，1(01)x <<. 令1()2ln (01)h x x x x x =-+-<<，2221221()10x x h x x x x -+'=+-=>，有()h x 在(0,1)上单调递增，()(1)0h x h <=，11111()2ln 0h x x x x =-+-<∴. 所以原不等式121x x <成立. 22.()Ⅰ解：联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ，交点坐标⎪⎭⎫⎝⎛6,32π.()Ⅱ设()θρ,P ,()00,θρQ 且004cos ρθ=，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ，由已知23OQ QP =，得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052，2=4cos 5ρθ∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ. 23.解：()Ⅰ当m =-2时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜, 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2 此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223=3432mx f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜，当302x -＜＜时，不等式化为23+≥+m x x.由22[()()]+=--+-≤-=-x x x x 当且仅当2-=-x x即=x. 3m +≥-∴3m ≥--∴当32≤-x 时，不等式化为243--+≥+x m x x.253m x x ≥++∴，令253y x x =++，3(,]2x ∈-∞-. 22350,(,]2y x x '=->∈-∞-，253y x x=++∴在3(,]2-∞-上是增函数.∴当32=-x 时，253=++y x x取到最大值为356-.∴356m ≥-∴.综上3m ≥--。

辽宁省大连市2018届高三数学第一次模拟考试试题理-含答案

辽宁省大连市2018届高三数学第一次模拟考试试题理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则AB =（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,3-D ．()1,32.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．0 C ．12- D ．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ．4.如图所示程序框图是为了求出满足2228nn ->的最小正偶数n ，那么空白框中及最后输出的n 值分别是（）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D ．2n n =+和85.函数()2tan 1xf x x x=++的部分图象大致为（） A ． B ．C. D ．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种.A ．24B ．36 C.48 D ．608. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则ABC ∆面积的最大值是（）A ．1B ．49. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为（） A ．3π B ．4π C.5π D ．6π 10. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（）A ．512π B ．712π C.1924π D ．4124π11. 已知双曲线2222:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（）AC.2 D ．3 12.若直线()10kx y k k R --+=∈和曲线()325:03E y ax bx b =++≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，()()33123,C x y x x x <<三点时，曲线E 在点A 、C 点处的切线总是平行的，则过点(),b a 可作曲线E 的（）条切线. A ．0 B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0405y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则25z x y =++的最大值为．14.已知半径为R 的圆周上有一定点A ，在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接，则所得弦长介于R之间的概率为．15.已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点，设点()2,0G ，连接AG ，BG 并延长，分别和抛物线C 交于点A ′和B ′，则直线A B ′′过定点．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ∙+∙的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中，22b a =，45b a =.()Ⅰ求{}n a 和{}n b 的通项公式；()Ⅱ设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题：()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121niii nii u u v v u u β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-.19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.()Ⅰ求证：//EF 平面DCP ；()Ⅱ求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上.()Ⅰ求椭圆C 的方程；()Ⅱ已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. 已知函数()()245x af x x x a R e=-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；()Ⅱ设()()x g x e f x =，当1m ≥时，若()()()122g x g x g m +=，且12x x ≠，求证：122x x m +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos 02C πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，2:cos 3C ρθ=.()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标；()Ⅱ设点Q 在1C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x x m =+++，m R ∈.()Ⅰ当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； ()Ⅱ(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADB 6-10:BABCC 11、12：BC 二、填空题13.14 14.1315.()4,0 16.48-三、解答题 17.解：()ⅠQ 21n S n n =-+，∴当1n =时，11a =，()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥，∴()()()11212n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ . 又Q 数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==，又0n b >Q∴2q =， ∴12n n b -=.()Ⅱ由()Ⅰ得：()()()()()()111112122122n n nn n c n n n n -==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-⋅≥-⋅≥⎪⎪⎩⎩设数列{}n c 的前n 项和为n T当2n ≥时，()()()23121231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅L ()231122212n n =+⋅+⋅++-⋅L ，()()34121212222212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L∴()341322212n n n T n +-=++++--⋅L()()32121231212n n n -+-=+--⋅-()()21382112n n n -+=+---⋅()112125n n n ++=--⋅- ()1225n n +=-⋅-∴()()15222n n T n n +=+-⋅≥.当1n =时，111T c ==，又当1n =时， ()15221n n T n +=+-⋅=，综上，()1522n n T n +=+-⋅()1n ≥.18. 解：()Ⅰ由散点图可以判断y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w y 关于w 的线性回归方程()()()()()()()88888111118888222211118iii iiii iii ii i i i i i i i i i i i i y y w w w y wy yw wy w y wy w y wyd w ww ww ww w=========----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==，57368 6.8110.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为110.668y w =+，所以y 关于x 的线性回归方程为110.6y =+()Ⅲ()i 由()Ⅱ知，当64x=时，年销售量y 的预报值为110.6654.6y =+=，年利润z 的预报值为654.60.26466.92z =⨯-=.()ii 根据()Ⅱ的结果知，年利润z 的预报值)20.2(110.622.12 6.868.36z x x =⨯+-=-+=-+，6.8=，即46.24x =时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大. 19.解：()Ⅰ方法一：取PC 中点M ，连接MF DM ,，F M , 分别是PB PC ,中点, CB MF CB MF 21,//=∴， E 为DA 中点，ABCD 为正方形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//,∴四边形DEFM 为平行四边形，⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面PDC .方法二：取PA 中点N ，连接NE ，NF .E 是AD 中点，N 是PA 中点，//NE DP ∴，又F 是PB 中点，N 是PA 中点，//NE AB ∴，//AB CD ，//NF CD ∴，又NE NF N =，NE ⊂平面NEF ，NF ⊂平面NEF ，DP ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴平面//NEF 平面PCD .又EF ⊂平面NEF ，//EF ∴平面PCD .方法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点//GE CD ∴又F 是PB 中点，G 是BC 中点，//GF PC ∴，又PCCD C =，,GE GEF GF GEF ⊂⊂平面平面， ,PC PCD CD PCD ⊂⊂平面平面， ∴平面GEF //平面PCD .EF ⊂平面GEF//EF ∴平面PCD.方法四：⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则设平面PDC 法向量为(),,n x y z =，()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD 则00PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩, 即⎩⎨⎧=++-=+-0z y x z x , 取()1,0,1n =，11022n EF ⋅=-=，所以EF n ⊥，又EF ⊄平面PDC ， EF ∴∥平面PDC.()Ⅱ⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 设平面EFC 法向量为()1111,,n x y z =，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,21,21,21,21FC EF则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n , 即111111011022x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取()2,1,31-=n ,则设平面PDC 法向量为()2222,,n x y z =，()()1,1,1,1,0,1-=-=则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n , 即2222200x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩, 取()1,0,12=n ，()1475214120113=⨯⨯+⨯-+⨯=⋅=n n .∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. （若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）20. 解：()Ⅰ由12c a =可得，2a c =，又因为222b a c =-，所以223b c =. 所以椭圆C 方程为2222143x y c c +=，又因为3(1,)2M 在椭圆C 上，所以22223()12143c c +=.所以21c =，所以224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. ()Ⅱ方法一：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++()12234y y m -===+所以()214234S m =⨯⨯+令1t t =≥，有22424313t S t t t ==++，由函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t'=->∈+∞故函数13y t t=+，在[1,)+∞上单调递增，故134t t+≥，故224246313t S t t t ==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6.方法二：设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y my ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++有2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t =≥，有224241313t S t t t ==++，函数13y t t =+，[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t'=->∈+∞故函数13y t t=+，在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立，四边形APBQ面积的最大值为6.方法三：①当l 的斜率不存在时，:1l x = 此时，四边形APBQ 的面积为6S =.②当l 的斜率存在时，设l 为：(1)y k x =-，(0)k ≠则22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k ∴+-+-=2212122284120,,3434k k x x x x k k-∆>+==++，1212()12y y k x x -=-== ∴四边形APBQ 的面积1214242S y y =⨯⨯-= 令 234(3)t k t =+> 则 234t k -=6S =11(0)3t <<116)3S t =<<∴06S <<∴综上，四边形APBQ 面积的最大值为6.21.解：()ⅠQ ()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,∴在x R ∈上，()240xa f x x e '=-+≥恒成立，即：()42xa x e ≥- ∴设()()42x h x x e =- R x ∈ ∴()()22x h x x e '=-，∴当(),1x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数，∴当(1,)x ∈+∞时()0h x '<，∴()h x 在(1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()()max 12h x h e ==Q ()max 42xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦∴2a e ≥，即[)2,a e ∈+∞ .()Ⅱ方法一：因为a x x e x g x -+-=)54()(2，所以0)1()('2≥-=x e x g x ，所以)(x g 在(),-∞+∞上为增函数，因为)(2)()(21m g x g x g =+，即)()()()(21x g m g m g x g -=-，)()()()(21x g m g m g x g --和同号，所以不妨设12x m x <<,设()(2)()2()(1)h x g m x g x g m x m =-+->≥，…8分所以222)1()12()('-+---=-x e x m e x h x x m ，因为2m xx ee -<，22(21)(1)(22)(22)0m x x m m x ----=--≤，所以'()0h x >，所以)(x h 在(,)m +∞上为增函数，所以()()0h x h m >=，所以222()(2)()2()0h x g m x g x g m =-+->，所以221(2)2()()()g m x g m g x g x ->-=，所以212m x x ->，即122x x m +<. 方法二：Q ()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+ ∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞设()()()F x m x m x ϕϕ=++-, ()0,x ∈+∞，∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----Q 0x >∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴()0F x '>， ()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=，∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又Q ()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->Q ()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<得证.22.()Ⅰ解：联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ，交点坐标⎪⎭⎫⎝⎛6,32π. ()Ⅱ设()θρ,P ,()00,θρQ 且004cos ρθ=，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ，由已知23OQ QP =，得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052，2=4cos 5ρθ∴，点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ. 23.解：()Ⅰ当m =-2时，()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩＜＜, 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2 此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223=3432mx f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜，当302x -＜＜时，不等式化为23+≥+m x x.由22[()()]+=--+-≤-=-x x x x 当且仅当2-=-x x即=x. 3m +≥-∴3m ≥--∴当32≤-x 时，不等式化为243--+≥+x m x x . 253m x x ≥++∴，令253y x x=++，3(,]2x ∈-∞-.22350,(,]2y x x '=->∈-∞-，253y x x =++∴在3(,]2-∞-上是增函数. ∴当32=-x 时，253=++y x x取到最大值为356-.∴356m ≥-∴.综上3m ≥--。