2018年北京市中考数学试卷含答案解析

北京市2018年中考数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间
120分钟．2
．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B
铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几何体中，是圆柱的为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】A 选项为圆柱，B 选项为圆锥，C 选项为四棱柱，D 选项为四棱锥．【考点】立体图形的认识
2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
a b c 10
3
2 1
4
2
3
4
A ．
B ．
C ．
D ．||4a >0c b ->0ac >0
a c +>【答案】B
【解析】∵，∴，故A 选项错误；
43a -<<-34a <<数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B 选项正确；b c ∵，，∴，故Ｃ选项错误；
0a <0c >0ac <∵，，，∴，故D 选项错误．
0a <0c >a c >0a c +<【考点】实数与数轴3．方程组的解为
3
3814x y x y -=⎧⎨-=⎩
A ．
B ．
C ．
D ．1
2
x y =-⎧⎨
=⎩12
x y =⎧⎨
=-⎩21
x y =-⎧⎨
=⎩21
x y =⎧⎨
=-⎩【答案】D
【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D 选项同时满足两个方程，故选D ．【考点】二元一次方程组的解
4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为，则FAST 的反射面27140m 积总面积约为A ．B ．C ．
D ．32
7.1410m ⨯42
7.1410m ⨯522.510m ⨯62
2.510m ⨯
【答案】C
【解析】（），故选C ．5714035249900 2.510⨯=≈⨯2m 【考点】科学记数法
5．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为
60︒A ．B ．C ．D ．360︒540︒
720︒
900︒
【答案】C
【解析】由题意，正多边形的边数为，其内角和为．360660n ︒
=
=︒
()2180720n -⋅︒=︒【考点】正多边形，多边形的内外角和．
6．如果，那么代数式的值为a b -=22()2a b a
b a a b
+-⋅
-
A B ．C ．D ．【答案】A
【解析】原式，∵，∴原式()2
222222
a b a b ab a
a a
b a a b a a b -+--=⋅=⋅=
--a b -=
．
=【考点】分式化简求值，整体代入．
7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足y m x m 函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，2y ax bx c =++0a ≠x y 根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A ．
B ．
C ．
D ．10m 15m 20m 22.5m
【答案】B
【解析】设对称轴为，
x h =由（，）和（，）可知，，054.04046.2040
202
h +<=由（，）和（，）可知，，054.02057.9020
102
h +>=∴，故选B ．
1020h <<【考点】抛物线的对称轴．
8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴x y 的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表
示广安门的点的坐标为（，）时，6-3-表示左安门的点的坐标为（5，）；6-②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，12-6-表示左安门的点的坐标为（10，）；12-③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（，）时，11-5-表示左安门的点的坐标为（，）；1111-④当表示天安门的点的坐标为（，），1.5 1.5表示广安门的点的坐标为
（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）．16.5-7.5-16.516.5-上述结论中，所有正确结论的序号是A ．①②③B ．②③④
C ．①④
D ．①②③④
【答案】D
【解析】显然①②正确；
③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；
④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（
，）时，表示左安门的点的坐标为（，）”的基础上，将所有点18-9-1518-向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故④正确．
1.5 1.5【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移
E
D
C
B
A
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．右图所示的网格是正方形网格，________．（填“
BAC ∠DAE ∠”，“”或“”）>=<【答案】>
【解析】如下图所示，
是等腰直角三角形，∴，∴．AFG △45FAG BAC ∠=∠=︒BAC DAE ∠>∠另：此题也可直接测量得到结果．
【考点】等腰直角三角形
10
在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______．
x 【答案】0
x ≥【解析】被开方数为非负数，故．0x ≥【考点】二次根式有意义的条件．
11．用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是
a b c a b <ac bc <_____，______，_______．
a =
b =
c =【答案】答案不唯一，满足，即可，例如：，，a b <0c ≤21-【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【考点】不等式的基本性质
12．如图，点，，，在上，，，，则A B C D O CB
CD =30CAD ∠=︒50
ACD ∠=︒________．
ADB ∠=【答案】70
【解析】∵，∴，∴， CB
CD =30CAB CAD ∠=∠=︒60BAD ∠=︒∵，∴．
50ABD ACD ∠=∠=︒18070ADB BAD ABD ∠=︒-∠-∠=︒【考点】圆周角定理，三角形内角和定理
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若
ABCD E AB DE AC F ，，则的长为________．
4AB =3AD =CF
【答案】
103
【解析】∵四边形是矩形，∴，，，
ABCD 4AB CD ==AB CD ∥90ADC ∠=︒在中，，∴，Rt ADC △90ADC ∠=
︒5AC ==∵是中点，∴，E AB 11
22
AE AB CD ==∵，∴
，∴．AB CD ∥12AF AE CF CD ==21033
CF AC ==【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定
14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的
公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数线路
3035
t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计
A
59151166124500B 5050122278500C
45
265
167
23
500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【答案】C
【解析】样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率
45也最小，故选C ．
【考点】用频率估计概率15．某公园划船项目收费标准如下：
船型两人船（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最
低为________元．【答案】380
【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为（元）
100130150380++=【考点】统筹规划
16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情
况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．
【答案】
【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．
【考点】函数图象获取信息
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第
27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点．
P
求作：，使得．
∥
PQ PQ l
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长
A PA A AP PA
线于点；
B
C A BC C CB
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画
BC Q
弧，交的延长线于点；
③作直线．
PQ
所以直线就是所求作的直线．
PQ
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
AB=CB=
∴（____________）（填推理的依据）．
PQ l ∥【解析】（1
）尺规作图如下图所示：
（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
PA CQ 【考点】尺规作图，三角形中位线定理18．计算：
．
04sin 45(π2)|1|︒+--【解析】解：原式
4112=-+=【考点】实数的运算
19．解不等式组：．
3(1)1922
x x x x +>-⎧⎪
⎨+>⎪⎩【解析】解：由①得，，
2x >-由②得，，
3x <∴不等式的解集为．
23x -<<【考点】一元一次不等式组的解法20．关于的一元二次方程．
x 210ax bx ++=（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
2b a =+（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的
a b 根．
【解析】（1）解：由题意：．
0a ≠∵，()2
2242440b a a a a ∆=-=+-=+>∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
240b a -=0a ≠解：令，，则原方程为，1a =2b =-2210x x -+=解得：．
121x x ==【考点】一元二次方程
21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，
ABCD AB DC ∥AB AD =AC BD O 平分，过点作交的延长线于点，连接．AC BAD ∠C CE AB ⊥AB E OE （1）求证：四边形是菱形；ABCD （2）若，，求
的长．
AB =2BD =OE
【解析】（1）证明：∵AB CD
∥∴CAB ACD ∠=∠∵平分AC BAD ∠∴CAB CAD ∠=∠∴CAD ACD ∠=∠∴AD CD =又∵AD AB =∴AB CD =又∵AB CD
∥∴四边形是平行四边形ABCD 又∵AB AD =∴是菱形
ABCD Y （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．
ABCD AC BD O ∴．，，AC BD ⊥12OA OC AC ==1
2
OB OD BD ==∴．1
12
OB BD =
=在中，．Rt AOB △90AOB ∠=︒
∴．2OA ==∵，CE AB ⊥∴．
90AEC ∠=︒在中，．为中点．Rt AEC △90AEC ∠=︒O AC ∴．1
22
OE AC OA =
==【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线
22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为
AB O O P O PC PD ，，连接，．C D OP CD （1）求证：；
OP CD ⊥（2）连接，，若，，，求的长．
AD BC 50DAB ∠=︒70CBA ∠=︒2OA =OP
【解析】（1）证明：∵、与相切于、．
PC PD O ⊙C D ∴，平分．
PC PD =OP CPD ∠在等腰中，，平分．PCD △PC PD =PQ CPD ∠∴于，即．PQ CD ⊥Q OP CD ⊥（2）解：连接、．
OC OD ∵OA OD
=∴50OAD ODA ∠=∠=︒
∴18080AOD OAD ODA ∠=︒-∠-∠=︒同理：40BOC ∠=︒
∴．18060COD AOD BOC ∠=︒-∠-∠=︒在等腰中，．COD △OC OD =OQ CD ⊥∴．1
302
DOQ COD ∠=
∠=︒∵与相切于．PD O ⊙D ∴．OD DP ⊥∴．
90ODP ∠=︒在中，，Rt ODP △90ODP ∠=︒30POD ∠=︒∴
cos cos30OD OA OP POD =
===∠︒【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数
23．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点（4，1），直线xOy k
y x
=
0x >G A 与图象交于点，与轴交于点．1
4
l y x b =
+∶G B y C （1）求的值；k （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，
G A B OA ，围成的区域（不含边界）为．OC BC W ①当时，直接写出区域内的整点个数；
1b =-W ②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．W b 【解析】（1）解：∵点（4，1）在（）的图象上．A k
y x
=
0x >∴
，14
k
=
A
∴．
4k =（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．
② ．当直线过（4，0）时：，解得a 1
404
b ⨯+=1
b =-．当直线过（5，0）时：，解得b 1504b ⨯+=5
4
b =-
．当直线过（1，2）时：，解得c 1124b ⨯+=7
4b =
．当直线过（1，3）时：，解得d 1134b ⨯+=11
4
b =
∴综上所述：或．
514b -<-≤711
44
b <≤【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题
24．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接
Q AB AB P AB 并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，PQ
AB C AC 6cm AB =A P x cm ，两点间的距离为，，两点间的距离为．
P C 1cm y A C 2cm y
小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了1y 2y x 探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组
x 1y 2y x 对应值；
/cm x 0123456
1/cm y 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37
2/cm
y 5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，
xOy x ）
，（，），并画出函数，的图象；1y x 2y 1y 2y
（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为
APC △AP ____．cm 【解析】（1）3.00
（2）如下图所示：
（3）或或．
3.00
4.83
5.88如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．
【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究
25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A ，B 两门课程的学习情况，从中随机抽
取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．A 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，
a 4050x <≤5060x <≤，，，）；
6070x <≤7080x <≤8090x <≤90100x ≤≤
．A 课程成绩在这一组是：
b 7080x <≤70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79 78.578.579.5
．A ，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
c 课程平均数
中位数
众数
A 75.8m 84.5B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
m （2）在此次测试中，某学生的A 课程成绩为76分，B 课程成绩为71分，这名学生
成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A 课程成绩超过分的人数．75.8【解析】（1）78.75
（2）B ．该学生A 课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B 课程分
数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）解：抽取的60名学生中．A 课程成绩超过的人数为36人．
75.8∴
（人）36
30018060
⨯=答：该年级学生都参加测试．估计A 课程分数超过的人数为180
75.8人．
【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体
26．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线
xOy 44y x =+x y A B 经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．23y ax bx a =+-A B C （1）求点的坐标；C （2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．BC a 【解析】（1）解：∵直线与轴、轴交于、．
44y x =+x y A B ∴（，0），（0，4）A 1-B ∴（5，4）
C （2）解：抛物线过（，）
23y ax bx a =+-A 1-0∴．
30a b a --=2b a
=-∴223y ax ax a =--∴对称轴为．212a
x a
-=-
=
（3）解：①当抛物线过点时．
C
，解得．251034a a a --=13
a =②当抛物线过点时．
B
，解得．
34a -=4
3a =-③当抛物线顶点在上时．
BC
此时顶点为（1，4）
∴，解得．234a a a --=1a =-∴综上所述或或．43a <-
1
3
a ≥1a =-【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题
27．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，
ABCD E AB A B DE 点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点A DE F EF BC G DG 作交的延长线于点，连接．
E EH DE ⊥DG H BH （1）求证：；
GF GC =
（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．
BH
AE 【解析】（1）证明：连接．
DF ∵，关于对称．A F DE ∴．．AD FD =AE FE =在和中．ADE △FDE △AD FD
AE FE DE DE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴ADE FDE
△≌△∴．DAE DFE ∠=∠∵四边形是正方形ABCD ∴．90A C ∠=∠=︒AD CD =∴90DFE A ∠=∠=︒
∴18090DFG DFE ∠=︒-∠=︒∴DFG C ∠=∠∵．AD DF =AD CD =∴DF CD
=在和．Rt DCG △Rt DFG △DC DF DG DG
=⎧⎨
=⎩∴≌Rt DCG △Rt DFG △∴．CG FG =（2）
．
BH =证明：在上取点使得，连接．AD M AM AE =ME ∵四这形是正方形．ABCD ∴．．AD AB =90A ADC ∠=∠=︒∵≌DAE △DFE △∴ADE FDE
∠=∠同理：CDG FDG ∠=∠∴EDG EDF GDF ∠=∠+∠11
22
ADF CDF =∠+∠1
452
ADC =
∠=︒∵DE EH
⊥
H
H
∴90DEH ∠=︒
∴18045EHD DEH EDH ∠=︒-∠-∠=︒∴EHD EDH ∠=∠∴．DE EH =∵90A ∠=︒
∴90ADE AED ∠+∠=︒∵90DEH ∠=︒
∴90AED BEH ∠+∠=︒∴ADE BEH
∠=∠∵．AD AB =AM AE =∴DM EB
=在和中DME △EBH △DM EB MDE BEH DE EH =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=∠⎩
∴≌DME △EBH △∴ME BH
=在中，，．Rt AME △90A ∠=︒AE AM =
∴ME ==∴
．
BH =【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形
的性质与判定
28．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，
xOy M N P M 为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图Q N P Q 形，间的“闭距离”，记作（，）．
M N d M N 已知点（，6），（，），（6，）．A 2-B 2-2-C 2-（1）求（点，）；
d O ABC △（2）记函数（，）的图象为图形，若（，）y kx =11x -≤≤
0k ≠G d G ABC △，直接写出的取值范围；
1=k （3）的圆心为（，0），半径为1．若（，），直接写出的取
T T d T ABC △1=值范围．
【解析】（1
）如下图所示：
∵（，），（6，）B 2-2-C 2-∴（0，）
D 2-∴（，）d O ABC △2OD ==（2）或10k -<≤01
k <≤
（3）或或．
4t =-04t -≤≤4t =+
【考点】点到直线的距离，圆的切线。