高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》评估训练

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人教版A版高中数学必修4：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

bB
θ
O
A
a B1
向量的数量积是一个数量，不是一个向量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当0°≤θ ＜ 90°时a b· 为正；
当90°＜θ ≤180°时a b· 为负。当θ =90°时a ·b为零。
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解： a b a b cos
5 4cos120 5 4( 1)
2 10
设 a、b 是非零向量，则
(1)a

b

a

b

0.
(2)当a与b同向时，
a

b
|
a
||
b
|;
当ห้องสมุดไป่ตู้与b反向时，
a

b

|
a
||
b
|;
特别地
a

a
|
a
|2
b|;
|| b |;
a

a|
a
|2

或
|
a
|
a a

a
2
| a b || a || b |
(3)a
b等于a的长度
a
与b在a的方向上的投影
b
cos的乘积。
作业：
P106 练习1、2、3 P108 A组2、10
(√)
6)若a b a b ,则 a ∥b
(√)
7)对任意向量a有a2 a 2
(√)
小结：(1)a b a b cos
当0°≤θ ＜ 90°时a b· 为正；

高中数学必修四2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

r a
r b

1
r [(a

r b)2

uur (a

r b)2
]
4
有时也将上式写成: 4a b (a b)2 (a b)2 .
答案: 1 33
8
4.两个半径分别为 r1, r2 的圆 M , N ,公共弦 AB 3 ,则 AM AB AN AB ____.
答案:9.
5.在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P, AP 3 , 且 AP AC = _ __.
答案:18.
知识拓展
极化恒等式:设 a, b 是两个平面向量，则根据向量的运算可得:
ar
r b
|
ar
r || b
| cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
rr
a 与b的夹角的范围
rr a b的正负
0,

2

2
正0

2
,

负
数量积符号由cos的符号所决定.
问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？
r b cos120o
2 3 ( 1) 3
2
（2）ar 2
r2 b

r a
2

r2 b

49

5
3
rr 2a b

rr a 3b
r2 r r r2 2a 5a b 3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3b 8 15 27 34
求a=2m+n,b=2n-3m的夹角？

人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。

数学必修Ⅳ人教新课标A版2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(30张)

[活学活用]
1．(大纲卷)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b
＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：B
2．已知正方形 ABCD 的边长为 2，分别求：
(1) AB·CD；Leabharlann 2) AB·AD；(3)DA·AC .
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[导入新知] 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件定义记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积均为 0 .
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2．4
平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[提出问题] 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图．问题 1：如何计算这个力所做的功？提示：W＝|s||F|cos θ.
问题 2：力 F 在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos θ. 问题 3：力做功的大小与哪些量有关？提示：与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[提出问题]

高中数学人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

(3)根据 θ∈[0,π]确定夹角 θ 的大小.
题型一
题型二a,b 满足| a|=|b|,(2a+b)· b=0,则 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 :∵(2a+b)· b=0, ∴2a· b+|b| 2=0, 即 a· b=− |b|2.设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= − , ∴ �� = 120° . 答案 :C
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性质与运算律解决有关问题.
向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和联系剖析:从运算的定义、表示方法、性质和几何意义上来分析对比. (1)从定义上看,两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量; 向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实数的积是一个实数. (2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成 a· b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a· b是两个向量的数量积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
求向量的数量积
【例1】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b· (3a+b) 的值为 . 解析:b· (3a+b)=3a· b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8. 答案:-8 反思已知向量a与b的夹角为θ,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)· (sa+tb), 其中x,y,s,t,m,n∈R,且m>0,n>0,其步骤是:(1)先求a· b;(2)化简(x a+y b)· (s a+t b)=xs|a|2+(xt+ys)a· b+yt|b|2;(3)将a· b,|a|,|b|代入即可.

高中数学(人教A版必修4)课件2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

类型二向量垂直问题例2 不共线向量a与b满足什么条件时，a＋b与a－b互相垂直．分析可由向量a＋b与a－b互相垂直的条件：(a＋b)· (a －b)＝0出发得a，b的关系，即是a，b满足的条件．
解
若(a＋b)⊥(a－b)，则(a＋b)· (a－b)＝0，
整理得a2＝b2，即|a|＝|b|. ∴当向量a与b的模相等时，a＋b与a－b互相垂直．规律技巧本题可以从向量加、减法的平行四边形法则
5．平面向量数量积的运算律数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即a(b· c)不一定等于(a· b)c，这是因为 a(b· c)表示一个与a共线的向量而(a· b)c表示一个与c共线的向量，而a与c不一定共线.
典例剖析
类型一向量的模与数量积例1 已知|a|＝1，|b|＝ 2 ，当①a∥b；②a⊥b；③a与b 的夹角为30° 时，分别求a与b的数量积．分析关键是通过条件得出a与b的夹角，然后代入数量积的计算式求得．
当0° ≤θ<90° 时，cosθ>0，a· b>0；当θ＝90° 时，cosθ＝0，a· b＝0；当90° <θ≤180° 时，cosθ<0，a· b<0. (3)当我们规定了0与任意向量的数量积为0以后，由a· b ＝0，也不能推出a或b一定是零向量．这是因为两个向量垂直时，其夹角为90° ，此时cos90° ＝0，故也有a· b＝0. 应注意0· a＝0，但0a＝0，a0＝0(a∈R)．
解 ①若a与b同向，则θ＝0° ，此时a· b＝|a||b|cos0° ＝1× 2×1＝ 2. 若a与b反向，则θ＝180° ，此时a· b＝|a||b|cos180° ＝1× 2×(－1)＝－ 2. ②∵a⊥b， ∴a与b的夹角θ＝90° ，a· b＝|a||b|cos90° ＝1× 2× cos90° ＝0. 3 6 ③根据定义，a· b＝|a||b|cos30° ＝1× 2× 2 ＝ 2 .

第二章平面向量数量积的物理背景及其含义

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知识预览
1．定义 (1)已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ(θ 为 a 与 b 的夹角)． (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上) 的投影(其中 θ 为 a 与 b 的夹角)． (3)零向量与任一向量的数量积为 0. (4)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
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(a＋3b)·(7a－5b)＝0 解：由已知条件得 (a－4b)·(7a－2b)＝0 7a2＋16a·b－15b2＝0 即 2 7a －30a·b＋8b2＝0
，
① ② ②－①得 23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得 a2＝b2， 1 2 b a·b 2 1 π ∴|a|＝|b|，∴cosθ＝＝＝ .∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 3 |a||b| |b|2 2
解：设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， ∵(2a)·(3b)＝24，∴a·b＝4. π a·b 4 1 ∴cosθ＝＝＝ .又 θ∈[0，π]，∴θ＝， 3 |a||b| 2×4 2 π 即向量 a 与向量 b 的夹角为 . 3
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数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)

功率
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时间的比值。在平面向量中，速度可以表示为向量，其模即为线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与时间的比值。在平面向量中，加速度可以表示为速度向量的变化率，其模即为速度变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速度的乘积。平面向量数量积可以用来描述动量，即物体的动量等于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘积。平面向量数量积可以用来描述冲量，即冲量等于力向量与时间向量的模的乘积。
功与功率
功

人教A版高中数学必修四 2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 (共17张PPT)

本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量的数量积运算
探究新知探究一：数量积的概念
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F
|F| |s| cosα 所做的功： W= _______________
向____量， F（力）是向 s（位移）是 ____量，
F α S
学以致用
例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2；（2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2；（2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)· (a－b)＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝a· a＋b· a－a· b－
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
概念解析
θ A O |b|cosθ B1 a
b
B
的长度 | a |与 b 在a方向上的投影 a b 等于 a
| b | cos 的乘积。
概念辨析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
注： (a b ) c a (b c )
证明运算律(3)
向量a、b、a + b b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 a a+b 则 ON, N c O M (a + b ) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.

高中数学人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)

其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积．向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本课时栏目开关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习本课时必须透彻理解数量积概念的内涵．时栏目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰开关富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严格区分，a· b 中的“· ”不能省略.

高中数学人教A版必修四2.4.1【教学设计】《2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义》

《2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义》第一课时一、讲什么1．教学内容（1）概念原理：平面向量的数量积(内积)、投影、平面向量数量积的几何意义。

（2）思想方法：数形结合，类比、归纳。

（3）能力素养：几何直观、数学抽象。

2．内容解析：前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算----向量数量积。

教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系。

二、为何讲1．教学目标：（1）了解向量数量积的物理背景，经历平面向量数量积概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量数量积的几何意义，理解投影的概念，体会数学研究的一般过程。

2．目标解析：（1）要让学生体会到向量数量积这个概念来自于物理学科，感受数学抽象的过程。

（2）让学生从数形两方面理解向量数量积这个概念的本质，帮助学生从两个要素全面考虑，防止顾此失彼。

（3）让学生理解到一堂概念课，更为重要的不是向量数量积的定义和相关概念，而是能让学生去体会认识和研究数学新对象的方法和基本思路，而且提高抽象问题的能力。

3. 教学重点：向量数量积概念的形成过程及理解。

三、怎样讲（一）教学准备1．教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后抽象向量数量积的概念，一时难以适应；（2）向量数量积的几何意义的应用。

2．教学支持条件：科大讯飞问答系统。

（二）教学过程设计【问题1】如图所示，物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W 为多少？【设计意图】认识向量的数量积的实际背景，为引出数量积运算作铺垫。

【预设师生活动】（1）学生：cos W θ=F s ．（2）老师：功W 是向量吗？（3）学生：不是。

数学人教A版必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义上课课件

课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】已知 |a| ＝ 1 ， |b| ＝ 2 ， a 与 b 的夹角 θ ＝ 120° ，则 a·b ＝ ________，a在b方向上的投影为________．
1 解析 a· b＝|a||b|cos θ＝1×2×(－2)＝－1， 1 1 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝1× (－2)＝－2．
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( 提示但180°不是钝角． )
)
)

(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(
(1)×，当a与b 的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0 ，
(2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°
或0°，则a∥b． (3)√，由a⊥b⇔a·b＝0知其正确性．
|a|2 或______________ |a|＝ a· a 3．a·a＝______ ． a· b 4．cos θ＝__________ ． |a||b| ≤ 5．|a·b|_______ |a||b|．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(
运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练 1】在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，∠BAD → → ＝60° ，E 是 CD 的中点，求AE· BD．

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案241平面向量数量积的物理背景及含义.doc

2. 4. 1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其儿何意义；2.掌握平而向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平而向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向暈垂貢的条件.教学重点：平回向量的数量积定义教学难点：平而向量数量积的定义及运算律的理解和平而向量数量积的应川教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：己知非零向量齐与'作0A = a 9 OB = b,则Z/ 0B= 0（ 0 W 乃）叫匂与b的夹角.说明：（1）〃 =0 时, 0 =兀时,(2)(3)(3)(4)JT〃=丝时,2注意在两向量的夹允定义，两向暈必须是同起点的•范围0。

£共180。

两向量共线的判定练习1•若沪(2, 3), 戻(4，T+y),且a// by则尸(C )A.6B.5C.7D.8A•-3 〃•一1 C. 1 D. 3B（l, 3）, CQ, 5）三点共线，则/的值为（B ）力做的功：W = |F|-|s|cos6, 0是尸与s的夹角.〃二、讲解新课：1.平而向量数量积（内积）的定义：己知两个非零向量a与b,它们的夹角是（）, 则数量|a| \b\cos。

叫a与的数量积，记作a・b,艮睛a-b- \a\\b\ cosO, 0 W 0W乃）・并规定0向量为任何向量的数暈积为0.•探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为止？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号山cos。

的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成"方；今后要学到两个向量的外积氷b,而"方是两个向屋的数量的积，书写时要严格区分.符号“・”在向量运算屮不是乘号，既不能省略,也不能用“ X ”代替.（3）在实数中，若麻0, Q. 5-Z F O,则H0；但是在数量积中，若曲0,且击0,不能推出E0.因为其中cosO有可能为0.(4)已知实数臼、b、c(/?^0),则ab=bc =>臼二c.但是a-b -方・c井如右图:a-b = | c?| | Z?| cosp = \b\ |0A|, b・c 二\ b\ \ c\cosa = | => a-b= b-c但日 H c(5)在实数中,W (a-Z?) c = a(b-c),但是(a-6) c h a(b-c)显然，这是因为左端是与C共线的向量，而右端是与臼共线的向量，而一般臼与c不共线.2.“投影”的概念：作图定X： 1*1 cosO叫做向量力在a方向上的投影•投影也是一个数量,不是向量;当e为锐角吋投影为正值；当e为钝角吋投影为负值；当&为直角吋投影为o；当e = o。

数学必修四人教A版 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。

难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。

有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。