六年级下册奥数试题简单消长、工程、浓度问题全国通用(含答案)

第8讲简单消长、工程、浓度问题

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1．牛吃草问题

有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。

2．盈亏问题

盈亏问题的基本数量关系：

（盈+亏）÷两次分得的差=份数

（大盈-小盈）÷两次分得的差=份数

（大亏-小亏）÷两次分得的差=份数

3．工程问题

涉及工作量、工作时间和工作效率之间的数量关系的应用题，叫做工程问题。这类问题的特点是：问题给出一项工程或者一项任务时，并没有给出具体的数量，往往给出某人或几个单独完成或共同完成该工程所需要的时间，要求解答的是完成一定工作任务所需要的时间或在一定时间内所完成的工作。解答这类问题时，常常将这项工程或任务看做整体“1”，也就是用“1”来表示整个工作量，然后，抓住如下的基本关系式：

工作效率×工作时间=工作量

就可使问题顺利地得到解决。

4．浓度问题

一般地，我们把两种不同物体（其中至少有一种是液体）的混合物称为溶液，其中的一种物体称为溶质（可以是固体，如盐、糖，也可以是液体，如酒精），另一种物体称为溶剂（液体，如水）。浓度是溶质质量与溶液质量的比值，即：

（1）

由于溶液质量=溶质质量+溶剂质量，所以

（2）

（1）、（2）两式是有关浓度问题的基本关系式。许多与浓度有关的应用题，都可以通过（l）、（2）两式得到解决。

5．鸡兔同笼问题

鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只？

（1）解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：

先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数之差除以2，就可以算出共有多少只兔。

（2）解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）。

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）。

应注意到，这两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知总数，就可以算另一个。

（3）鸡兔同笼问题的变型有两类：

将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况：

1）已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；

2）已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；

3）已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只。

将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引申到同笼中不同东西是三种、四种等等。

注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决（详见例题）。

重点·难点

（1）解决牛吃草问题的关键是了解有关牧场的草的情况，即原有草量及每天新增的草量，这时，题目给出的条件往往是上述两种情况，涉及3个量，即牛数、草场面积、天数（时间），使用方法往往是比较的方法。注意，为比较方便，要使两种情况的草场面积一致。了解有关牧场草的情况之后，再研究牛的情况。一般可以从两个不同角度考虑：天数固定，草场的草的总量就知道；每天牧场新增加草量已知，就可以对牛的具体吃草情况分配。注意，也可以用追及问题的想法处理。

（2）在解答盈亏问题时，不论所求的问题是什么，最主要的是先求出份数，然后再解决其他问题。

学法指导

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量由两部分组成：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。

经典例题

［例1］小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，问小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？

思路剖析

要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。

（1）小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个格），而7点整时分针落后时针5×7=35（个格），因此在这段时间内分针要比时针多走35-30=5（个格），则这一段时间为：

（分）。所以小明开始解题时是7点分。

（2）小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7＝35（个格），因此这一段时间为：（分）。所小明解题

结束时是7点分。

这样小明解题所用的时间就可以求出来了。

解答

先求小明开始解题的时刻：

（分），所以小明开始解题时是7点分。

再求小明结束解题的时刻：

（分），所以小明结束解题时是7点分。

最后求小明解题所用的时间：

7点分-7点分=（分）

答：小明解题共用了分。

［例2］由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页／天）。如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作。问：公司聘任了多少名打字员？

思路剖析

和解决牛吃草问题类似，需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量。

设每个打字员的打字速度为单位1／天（具体页数不知道，用单位1表示），比较“如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。”可以得到：

由“5名打字员，24天就恰好打完所有材料”得材料总量为

5×24＝120（单位1）

由“9名打字员，12天就恰好打完所有材料”，得材料总量为

9×12＝108（单位1）

比较这两个总量，可以得到材料每天的增加情况：

（120-108）÷（24-12）=l（单位1／天）

进一步，可以得到原有材料的情况：

120-24×1＝96（单位1）

或者108-12×1＝96（单位1）

最后，看一下所求问题中的总量，“工作8天之后，每天新增的材料少了一半，这些打字员共用40天恰好完成。”计算材料总量

96+l×8+（40-8）×l÷2＝120（单位1）

聘任的打字员人数为

120÷40=3（人）

这里，利用材料总量观察比较简明，而从打字员的工作情况看，就需要一点技巧。

不妨先看看每天新增材料数量如果不变的情况下，人员的具体使用情况。

由于材料增加的速度是1（单位1／天），所以聘任的打字员中可以安排1人专门打印这些新增材料。

再留意一下材料增加的速度变化了，这个打字员的工作情况。

实际上，在剩下的40-8=32天中，这个打字员只需要用一半的精力应付每天新增的材料，剩余的一半精力做什么？帮助做原有的材料，并帮做了

32×1÷2=16（单位1）

其他专门打原有材料的打字员实际工作的总量不是原有的96（单位1），而是