九年级数学上册 第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 21.2.2 积的算术平方根习题讲评课
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除21.2.3二次根式的除法教案新版华东师大版
21.2.3 二次根式的除法1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)，并运用它们进行计算．2．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．3．理解最简二次根式的概念，并运用它将不是最简二次根式的化成最简二次根式．重点1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)，ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简．2．最简二次根式的运用．难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定．最简二次根式的运用．一、情境引入(学生活动)请同学们完成下列各题．1．写出二次根式的乘法规定及逆向公式．2．填空：(1)916＝________，916＝________；(2)1636＝________，1636＝________；(3)416＝________，416＝________；(4)3681＝________，3681＝________．规律：9 16________916；1636________1636；4 16________416；3681________3681.3．利用计算器计算填空：(1)34＝________；(2)23＝________；(3)25＝________；(4)78＝________．规律：3 4________34；23________23；2 5________25；78________78.教师用多媒体展示，每组推荐一名同学阐述运算结果，教师最后点评．二、探究新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定a b ＝ab(a≥0，b>0)．反过来，ab＝ab(a≥0，b>0)．下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1 计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116； (4)648.解：(1)123＝123＝4＝2；(2)32÷18＝32÷18＝32×8＝3×4＝3×4＝23；(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2；(4)648＝648＝8＝2 2.例2 化简：(1)63；(2)3 64；(3)15； (4)68.解：(1)63＝37；(2)364＝364＝38；(3)15＝55×5＝55；(4)68＝6×28×2＝32.观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中所含的因数(或因式)的幂的指数都小于2.教师在此过程中强调，要求最后结果化成最简二次根式．三、练习巩固1．化简：(1)3512；(2)－172－132；(3)2－13； (4)13－2.2．已知1－aa2＝1－aa，则a的取值范围是________．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5 cm，BC＝6 cm，求AB的长．第1题可由学生自主完成，第2、3题教师可给予相应的指导．四、小结与作业小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上．布置作业从教材“习题21.2”中选取．本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情．。
§21.2.2-二次根式的除法
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
华师大版数学九年级上册 第21章21.2 二次根式的乘除(3)二次根式的乘法教案
华师大版数学九年级上册第21章21.2 二次根式的乘除（3）二次根式的乘法教案课题二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．2．熟练进行二次根式的乘法运算及化简．掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简．一、情景导入感受新知问题情境：你能解决下面的问题吗？如图，设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知a＝2，b ＝，求S.二、自学互研生成新知【自主探究】自学课本P5－7的内容，完成下面问题：1．计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？(1)×＝__15__，＝__15__．(2)×＝__12__，＝__12__．(3)×＝__20__，＝__20__．2．用计算器填空：(1)×__＝__(2)×__＝__(3)×__＝__(4)×__＝__【合作探究】探究1：二次根式乘法1．参考上面的结果，用“＞”“＜”或“＝”填空．×__＝__.×__＝__.×__＝__.2．总结归纳：你找出二次根式进行乘法运算的规律了吗？含字母的二次根式呢？结论：·＝(a≥0，b≥0)．探究2：积的算术平方根问题：把·＝(a≥0，b≥0)反过来，仍然成立吗？积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0)．思考：(1)a，b的取值范围有什么特点？(2)这个公式与二次根式乘法在用法上有什么区别和联系？【师生活动】①明了学情：关注学生对二次根式乘法和积的算术平方根的理解与掌握．②差异指导：巡视中发现个性问题及时点拨，共性问题及时引导．③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑．三、典例剖析运用新知【合作探究】【例1】计算：(1)×；(2)×.分析：运用公式计算后，结果要进行化简．解：(1)×＝＝；(2)×＝＝＝4.【例2】化简，使被开方数不含完全平方的因数．分析：被开方数12＝22×3，含有完全平方因数22，利用＝a(a≥0)将这个因数开出来．解：＝＝×＝2.【变式迁移】计算：(1)；(2)·.解：(1)原式＝3；(2)原式＝5.四、课堂小结回顾新知通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？请谈谈你的想法和同学们分享。
华东师大版九年级数学上册第21章《二次根式》教案
第21章二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取..本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2 二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.理解b【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.由具体数据发现规律，导出b【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养通过探究b学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.a•=ab（a≥0,b 【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出b≥0）.二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为ba•=ab（a≥0，b≥0）.：【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥0）.2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.a•=ab（a≥0,b 这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.2.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=ba•（a≥0,b≥0）.2.运用ab=b【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.利用逆向思维，得出ab=b【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，让学生推导ab=b增强学生准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.反过来，一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向a•（a≥0,b≥0）.思维，得出ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab =b a •（a ≥0,b ≥0）直接化简即可. 例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.2.自由落体的公式为s=21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为120m ，则下落的时间是 s.四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a •（a ≥0,b ≥0）.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.3.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【情感态度】 通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），bab a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b ab a =（a ≥0,b ＞0） 反过来,bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1 计算：【教学说明】 直接利用b aba （a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.化简：3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.21.3二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.本章复习【知识与技能】掌握本章重要知识，能熟练运用二次根式的有关运算法则进行运算.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的类比思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生兴趣.【教学重点】回顾本章知识点，构建知识体系.【教学难点】利用二次根式的有关运算法则、性质解决实际问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，边回顾边建立结构图.二、释疑解感，加深理解1.二次根式的意义：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，注意二次根式有意义的条件是被开方数a≥0，a表示a的算术平方根，它具有双重非负性，即a ≥0（a ≥0）.2.二次根式的性质：主要要理解公式的应用.①）（2a =a （a ≥0）,3.二次根式的化简与运算：（1）掌握的应用.（2）掌握二次根式的乘法运算：ab b a =•（a ≥0,b ≥0）. （3）掌握积的算术平方根的运算b a ab •=（a ≥0，b ≥0）. （4）掌握二次根式的除法运算：b a b a =（a ≥0,b ＞0）,反过来bab a =（a ≥0,b ＞0）.（5）掌握二次根式的加减法运算：先化成最简二次根式再进行合并，在二次根式的运算过程中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用，最后结果一定要化成最简二次根式.三、典例精析，复习新知 例1 若21-+x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 【分析】1+x 有意义的条件为x+1≥0，同时注意分母x-2≠0这一条件，所以x 的取值范围为x ≥-1且x ≠2.例2若5-a +(b+2)2=0，则a+b 的值为 .四、复习训练，巩固提高五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关二次根式的知识吗？能熟练进行二次根式的有关运算吗？你还有哪些困惑与疑问？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.本节课通过学习归纳本章内容，以二次根式的概念及其有意义的条件、二次根式的性质及应用、二次根式的化简与运算等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，，加强对重点知识的训练，使学生在全面掌握知识点的前提下抓住重点.。
华东师大版九年级上册21.2.1二次根式的乘除法(共18张PPT)
※拓展应用
(2)将根号外的因式移到根号内： (x 1) 1 x 1
如：2 3 4 3 43 12
a a a2 a a3
3 2 9 2 18
(x 1) 1 x 1来自解：由 1 0及x 1 0得x 1 0 x 1
(x1) 1 (x1)2 1
x 1
x 1
(x 1)2 ( 1 ) x 1
3、根据上面的结果，直接用“＞、＜ 或＝”填空：
(1) 4 9 = 4 9 ； (2) 16 25 = 16 25；
(3) 100 36 = 100 36 ； (4) 2 3 = 6 ； (5) 2 5 = 10 ； (6) 5 6 = 30 .
4、归纳：
当a≥0，b≥0时， a b = ab
4、下面的解题方法、过程对吗？
112 92 112 92 119 2.
112 92 (11 9)(119) 40 4 10 2 10
5、比较下列各组数的大小：
(1)2 5与3 3 ； (2) 2 13与 3 6.
解：【(1【)法法二一】】 (22 55)2 222 2 (5 5)222 4 55 2200,， 3(3 33)2 332 2 (3 3)232 9 3 3 227,， 而而2200＜ 2277，， 22 55＜3 33. 3
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
(课时一)
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
2、单项式与单项式相乘，将它们的
系数、相同字母的幂分别相乘，对于
人教版九年级数学上第二十一章21.2二次根式的乘除
二次根式的乘除授课年级九年级学科数学主题二次根式乘除（1）任课教师李国柱课型问题解决课课时 1 授课日期2008、8、教材分析本节内容“二次根式乘除”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
本节主要学习二次根式乘除运算，它是二次根式相关内容的发展，又是后面运算的基础，本节起到承上启下的作用。
学生分析本节内容让学生先复习二次根式的有关知识，学生通过自学，与实际问题联系，教师作为引路人，学生自主、合作、交流，练习操作，掌握解方程的方法。
计算个别学生需进行个性化指导。
设计理念新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流，来倡导新的学习观，让他们完成二次根式乘除知识研究。
教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，与学生零距离接触共同探究。
在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”，通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。
从而营造一个接纳的、支持的、宽容的良好氛围进行学习。
教学目标知识目标：1、会做简单的二次根式乘、除法运算，并在此基础上会比较两个二次根式的大小。
2、充分进行讨论、交流，得到二次根式的乘法法则，进而归纳出除法法则。
能力目标：能够深刻理解应用二次根式乘除运算并能熟练应用。
情感目标：要注意培养自己的自学探索能力及运算能力。
重点、难点教学重点：能够深刻理解应用二次根式乘除运算并能熟练应用。
教学难点：二次根式乘除法则的推导。
关键问题二次根式乘除法则的应用。
教学方法1、问题发现法：在教师的启发引导下，鼓励学生积极参与，采用“问题—探索—发现”的研究模式，让学生自主探索，合作学习，归纳结论，掌握规律。
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除3二次根式的除法160
21.2.3 二次根式的除法 知识点 1a b ＝a b 成立的条件 1．若xx ＋1＝x x ＋1成立，则有x ________0，x ＋1________0，所以x 的取值范围是________． 2．等式－b a ＝－ba 成立的条件是( )A ．a ，b 异号B ．a >0，b >0C ．a ≥0，b ≥0D ．a >0，b ≤0知识点 2 二次根式的除法 3．计算：483＝（）（ ）＝________．4．计算：(1)183； (2)328；(3)315÷135； (4)3ab32ab 2.知识点 3 商的算术平方根5．计算：29＝（ ）（ ）＝________．6．若3＋x3－x ＝3＋x3－x 成立，则x 的取值范围是( )A ．－3≤x ＜3B ．x ＜3C ．x ＞－3D ．－3＜x ≤3 7．化简： (1)916； (2)325；(3)549； (4)－11－36.知识点 4 最简二次根式8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是() A ．－ 2 B.12 C.15 D.a 29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个．①x 2； ②0.3； ③118； ④2x 2＋1. 10．化简： (1)17； (2)113；(3)510； (4)4 38.11．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b ，②a b ·b a ＝1，③ab ÷a b＝－b 中，正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．若 2m ＋n －2和 33m －2n ＋2都是最简二次根式，则m n ＝________．13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47；(2)113÷223×135；(3)3 223÷12 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15.14．王聪学习了二次根式的除法公式a b ＝a b 后，他认为该公式逆过来a b ＝a b 也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．15．请先化简x －1x －1÷1x 2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…. (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥02. D3. 48 3 16 44．(1) 6 (2)2 (3) 2 (4)32 b 5.2 9 236．A7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35. (3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116. 8．A 9．310．解：(1)17＝77×7＝77. (2)113＝43＝4×33×3＝2 33. (3)510＝ 5 1010×10＝5 1010＝102. (4)4 38＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6. 11． B 12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝354 2. (2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝25 5. (3)原式＝9×83÷12 1025×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158 ＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对．理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义． 改正：－27－3＝273＝9＝3. 15．解：由题意得x >1,所以原式＝x －1x －1·x ()x －1 ＝()x －12x x －1＝x －1x －1 x ＝x .代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2. 当x ＝9时，原式＝3.16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝5 16，5＋17＝6 17，6＋18＝7 18. (2)规律：n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2. 证明：n ＋1n ＋2＝n （n ＋2）＋1n ＋2＝n 2＋2n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2.。
华师版九年级数学上册第21章2 二次根式的乘除
知3－练
(1) 48； 3
解：方法一： 48＝ 3
438＝ 16＝4；
方法二：
48＝ 3
16× 3＝ 3
16＝4.
(2)－－21255； －－21255＝ 21255＝12 1255＝12 25＝12×5＝52.
(3)－ 2 13÷ 16；
知3－练
解：－
1 23÷
16＝－
73÷16＝－
73×6＝－ 14.
C.
(
1 4
)2－(
1 5
)2＝210
D. 94x＝23xx
知4－练
例 7 去掉下列各式分母中的根号：
知4－练
(1) 3 ；(2) 3
12；(3) 32
2 ； (4) 2ab
3＋ 3－
2. 2
解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进
行变形 .
解：(1)
3＝ 3
3× 3×
3 3
＝333＝
3.
知4－练
知1－讲
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变， 即： a · b · c＝ abc(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简 化运算 .
特别提醒
知1－讲
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积 的算术平方根 .
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单 项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为积 的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的被开方数， 即：a b ·c d＝ac bd(b ≥ 0，d ≥ 0).
裕安区六月上旬九年级数学上册 第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除21.2.1 二次根式的乘法
.21.2 二次根式的乘除21．2.1 二次根式的乘法理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．由具体数据发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)并运用它进行计算．通过探究a·b＝ab(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．重点a·b＝ab(a≥0，b≥0)及它的应用．难点发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)．一、情境引入1．填空：(1)4×9＝________，4×9＝________；(2)16×25＝________，16×25＝________；(3)100×36＝________，100×36＝________．参照上面的结果，用“>”、“<”或“＝”填空．4×9________4×9；16×25________16×25；100×36________100×36.2．利用计算器计算填空．2×3________6；2×5________10；5×6________30；4×5________20.二、探究新知(学生活动)让3，4个同学上台总结规律．教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab(a≥0，b≥0)．例1 计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)12× 6.解：(1)5×7＝35；(2)13×9＝13×9＝3；(3)12×6＝12×6＝ 3.三、练习巩固1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( )A．3 2 cm B．3 3 cmC．9 cm D．27 cm2．化简a－1a的结果是( )A.－aB. aC．－－a D．－ a3．等式x－1·x＋1＝x2－1成立的条件是( )A．x≥1 B．x≥－1C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－14．下列各等式成立的是( )A．45×25＝8 5B．53×42＝20 5C．43×32＝7 5D．53×42＝20 6四、小结与作业小结1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳二次根式的乘法规定a·b＝ab(a≥0，b≥0)．布置作业从教材“习题21.2”中选取．这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．21.4 二次函数的应用第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用1.抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）2.抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．(A)（2，－3）；(B) （－2，3）；(C) （2，3）；(D) （－2，－3）3.二次函数522-+=x x y 有（ ）A ． 最大值5-B ． 最小值5-C 最大值6-D ． 最小值6-4.如图, 某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园, 矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为x ,面积为y .(1) 求y 与x 的函数关系式,并求自变量x 的取值范围;(2) 生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1 点和圆的位置关系1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题．重点点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点讲授反证法的证明思路．一、复习引入(学生活动)请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．(老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．(2)圆规：一个定点，一个定长画圆．(3)都等于半径．(4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP ＝d，则有：点P在圆外⇒d>r；点P在圆上⇒d＝r；点P在圆内⇒d<r；反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接着研究确定圆的条件：(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？(老师在黑板上演示)(1)无数多个圆，如图(1)所示．(2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示．(3)作法：①连接AB，BC；②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．即不在同一直线上的三个点确定一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段BC的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例 1 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；(2)作两线段的中垂线，相交于一点O.则O 就为所求的圆心．图略．三、巩固练习教材第95页 练习1，2，3.四、课堂小结(学生总结，老师点评)本节课应掌握：1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．五、作业布置教材第101，102页 习题1，7，8.。
九年级数学上册 第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 3 二次根式的除法课件
，
16 25
＝
4
____5____；
13060＝____53____，
13060＝____53____．
②根据①，你猜想一下，在 a≥0，b＞0 的条件下， ab_____＝___ ab.
2021/12/11
第四页，共十七页。
3. 二次根式(gēnshì)的除法
(2)商的算术平方根： 把上式反过来写是什么？
以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确答案．
2021/12/11
第十五页，共十七页。
3. 二次根式(gēnshì)的除法
[答案] 不正确，错误出现在忽略 ba＝ ba成立的条件：a≥0，b>0. －－237本身有意义，但是 －－237却无意义．
正确的解答过程如下： －－237＝ 9＝3.
目标(mùbiāo)四 能把二次根式化为最简二次根式
例 4 教材例 4 针对训练化简 25，使分母中不含二次根式，并 且被开方数中不含分母．
解：
2＝ 5
2× 5×
55＝52
5.
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3. 二次根式(gēnshì)的除法
【归纳(guīnà)总结】化简二次根式的类型和方法：
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第21章 二次根式(gēnshì)
21.2 二次根式 的乘 (gēnshì) 除
第一页，共十七页。
第21章 二次根式(gēnshì)
3. 二次根式 的除法 (gēnshì)
知识目标 目标突破 总结反思
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3. 二次根式(gēnshì)的除法
知识目标
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九年级数学 第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除 3二次根式的除法上课 数学
第八页，共二十二页。
例3 计算(jìsuàn)：
（1）15； （2）24.= 2 6 = 2 .
3
66
解 （ 1） 1 5 = 1 5 5 . 33
（ 2） 24 = 2 4 4 = 2 . 66
还可以怎 样化简？
第九页，共二十二页。
上述(shàngshù)“概括”中利 行的用二等这次式个根，性式也质的可可化以以简写进. 成
第十七页，共二十二页。
2.已知
1a a2
是0__<__a_≤__1____.
1 a，则 a 的取值范围(fànwéi) a
1a 1a a2 a
1a 1a
a
a1 a 0Fra biblioteka0
0 < a≤ 1
第十八页，共二十二页。
二次根式(gēnshì)的除法 课堂小结
a aa0，b0.
bb
二次根式 (gēnshì)的化 简
第二页，共二十二页。
• 学习重点(zhòngdiǎn)：
1.理解
a aa0， b0， a( a >a0，b > 0)及利用
bb
bb
它们进行计算和化简.
2.最简二次根式的运用.
• 学习难点：
发现规律，归纳出二次根式的除法规定(guīdìng). 最简二次根式的运用.
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复习导入
二次根式(gēnshì)的乘法规定
3
3 2
解：（ 1 ）3
5= 12
9 5 = 12
15 4
15 ； 2
第十六页，共二十二页。
（2） 172 132 = 17131713
= 304=2 30；
（ 3 ） 2 1 =
初三上册数学知识点
初三上册数学知识点初三上册数学知识点第21-22章第21章二次根式先生曾经学过整式与分式，知道用式子可以表示实践效果中的数量关系。
处置与数量关系有关的效果还会遇到二次根式。
〝二次根式〞一章就来看法这种式子，探求它的性质，掌握它的运算。
在这一章，首先让先生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相关于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先布置二次根式的乘除，再布置二次根式的加减。
〝二次根式的乘除〞一节的内容有两条开展的线索。
一条是用详细计算的例子体会二次根式乘除法那么的合理性，并运用二次根式的乘除法那么停止运算;一条是由二次根式的乘除法那么失掉并运用它们停止二次根式的化简。
〝二次根式的加减〞一节先布置二次根式加减的内容，再布置二次根式加减乘除混合运算的内容。
在本节中，留意类比整式运算的有关内容。
例如，让先生比拟二次根式的加减与整式的加减，又如，经过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法那么和乘法公式依然适用。
这些处置有助于先生掌握本节内容。
第22章一元二次方程先生曾经掌握了用一元一次方程处置实践效果的方法。
在处置某些实践效果时还会遇到一种新方程——一元二次方程。
〝一元二次方程〞一章就来看法这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程处置一些实践效果。
本章首先经过雕像设计、制造方盒、排球竞赛等效果引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的普通方式。
然后让先生经过数值代入的方法找出某些复杂的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，〝22.2降次——解一元二次方程〞一节引见配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。
下面区分加以说明。
(1)在引见配方法时，首先经过实践效果引出形如的方程。
这样的方程可以化为更为复杂的形如的方程，由平方根的概念，可以失掉这个方程的解。
进而举例说明如何解形如的方程。
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。