复习因式分解--华师大版

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华师大版—初二数学因式分解知识点及经典例题详解

华师大版—初二数学因式分解知识点及经典例题详解初二数学——分解因式一、考点、热点分析整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

(一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）①二次三项式：把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．②十字相乘法的依据和具体内容它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么运用c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”.如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x（6）分组分解法：在多项式am+ an+ bm+ bn 中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．即：原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．口诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．二、典型例题分解因式：1．m²(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a²＋b²＋c²)－a3bc＋2ab²c²；5．(x²－2x)²＋2x(x－2)＋1；6．(x－y)²＋12(y－x)z＋36z²；7．x²－4ax＋8ab－4b²；8．(ax＋by)²＋(ay－bx)²＋2(ax＋by)(ay－bx)；9．(1－a²)(1－b²)－(a²－1)²(b²－1)²；10．(x＋1)²－9(x－1)²；11．x 3n ＋y 3n ；12．(x ＋y)3＋125；13．8(x ＋y)3＋1；（1）1522--x x （2）2265y xy x +-（3）3522--x x （4）3832-+x x四、课后练习一、选择题1.下列分解因式正确的是（）A ． ﹣a+a 3=﹣a （1+a 2）B ． 2a ﹣4b+2=2（a ﹣2b ）C ． a 2﹣4=（a ﹣2）2D ． a 2﹣2a+1=（a ﹣1）22.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=﹣10，则ab的值是（）A．﹣2 B．2C．﹣50 D．503.把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D．x（x﹣y）24．把a2﹣2a﹣1分解因式，正确的是（）A．a（a﹣2）﹣1 B．（a﹣1）2C．D．5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（）A．3B．5C．7D．96．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的一个因式，则m的值为（）A．4B．1C．﹣1 D．07．若481x2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则下列叙述正确的是（）A．a=1 B．b=468 C．c=﹣3 D．a+b+c=398．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（）A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣69．如果x2+3x﹣3=0，则代数式x3+3x2﹣3x+3的值为（）A．0B．﹣3 C．3D．二．填空题10．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= _________ ．11．分解因式：2x2+2x+= _________ ．12．分解因式：﹣x3+2x2﹣x= _________ ．13．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4= _________ ．14．将多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得_________ ．三．解答题15．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．16．计算：（1）（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x；（2）已知：m﹣n=4，m2﹣n2=24，求（m+n）3的值．（3）已知﹣2x3m+1y2n与7x n﹣6y﹣3﹣m的积与x4y是同类项，求m2+n的值．（4）先化简，再求值：（﹣2a4x2+4a3x3﹣a2x4）÷（﹣a2x2），其中a=，x=﹣4．17.证明：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.。

因式分解[上学期]--华师大版-

（3）m2-n2+1=(m+n)(m-n)+1(×) （4）ma+mb+mc=m(a+b+c) (√)
（5）x2-4y2=(x多项式 ma+mb+mc ，你发现这个多项式中的每一项有什么特征？多项式中的每一项都含有的相公因式：同的因式，我们称之为公因式。 ma+mb+mc=m(a+b+c)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
细心找一找
6a+3b
讨论:如何确定多找出下列多项式中的公因式：项式的公因式?
3 2m 7xy
2m2-6m
21x2y+7xy2
找公因式的方法
1、找系数:各项系数的最大公约数 2、找字母:取各项都含有的相同字母
沙尘暴
近年来，我国土地沙漠化问题严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。每列都种树68棵，其中一队种树42列，二队种树31列，三队种树27列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？
近年来，我国土地沙漠化问题严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。每列都 b 列， m 棵，其中一队种树 42 a 列，二队种树 31 种树 68 三队种树 27 列c ,完成这次植树活动共需要多少棵树苗？
耐心练一练
1. 4a2b＋10ab 2. 2xy2 -xy+x 3. -12xyz+6y2z2 -9x2y2
例2 把(a-b)2-2(a-b)因式分解

专题(七) 因式分解的技巧PPT课件(华师大版)

(2)x(x－1)－y(y－1)．解：(x－y)(x＋y－1)
二、巧用因式分解解决问题类型一简化计算 5．(1)计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718；解：271.8
(2)已知(202X－b)×(202X－b)＝202X，求(202X－b)2＋(202X－b)2的值．解：设202X－b＝m，202X－b＝n，则mn＝202X， m－n＝(202X－b)－(202X－b)＝202X－b－202X＋b＝2， ∴(202X－b)2＋(202X－b)2＝m2＋n2＝ m2－2mn＋n2＋2mn＝(m－n)2＋2mn＝22＋2×202X＝4040
类型二求值 6．已知m＋n＝2，求m2－n2＋4n的值．
解：∵m＋n＝2，∴原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n ＝2(m＋n)＝2×2＝4
7．已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋202X的值．
解：∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1，∵a3－2a＋202X＝a3－a－a－1＋202X，
八年级数学上册（华师版）第十二章整式的乘除
专题(七) 因式分解的技能
专题(七) 因式分解的技能
一、因式分解的技能类型一符号变换 1．分解因式： (1)(m＋n)(x－y)＋(m－n)(y－x)；解：2n(x－y) (2)－a2－2ab－b2. 解：－(a＋b)2
类型二系数变换 2．分解因式： (1)4x2－12xy＋9y2；解：(2x－3y)2
(2)14x2＋x3y＋19y2. 解：316(3x＋2y)2
类型三指数变换 3．分解因式： (1)x4－y4；解：(x2＋y2)(x＋y)(x－y)
(2)a4－2a2b2＋b4. 解：(a＋b)2(a－b)2

1.1因式分解课件华东师大版八年级数学上册

公因式 m
定义：多项式中的每一项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
4 4 4a 4a2b
思考：
多项式中的公因式是如何确定的？
华东师范大学出版社《义务教育教科书》
八年级数学(上册)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) ________ (2)m(a b c) __________
猜想：ab ac ( )( )
ma mb mc ( )(
)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) _a_b_+_a_c___ (2)m(a b c) _m_a_+_m_b_+_m_c__ 猜想：ab ac ( a )(b+c )
解：(1)原式=x(x-25) (2)原式=2x(2x2-1) (3)原式=2ab(a-2b+3) (4)原式=-3x(1-2x)
三、课堂小结：
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法？ 3、提公因式法因式分解步骤(分两步)？
达标检测，当堂反馈（7分钟）
检测指点： 1、闭卷检测，独立完成（5分钟） 2、对子互批，自主纠错（1分钟） 3、小组汇报，师生点拨（1分钟）
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
解：(1)原式=3a(a-3b) (2)原式=-5a(a-5)

华东师大版12.2因式分解

完全平方公式
完全平方公式是形如 $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 或 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ 的公式。
完全平方公式在因式分解中也非常重要，可以用于解决一些复杂的因式分解问题。
在使用完全平方公式时，需要注意 $a$ 和 $b$ 的取值范围，以及公式的变形和应用。
因式分解在解方程中的应用
01
02
03
一元二次方程
对于一元二次方程，通过因式分解可以将其转化为两个一元一次方程，从而更容易求解。
高次方程
对于高次方程，因式分解同样是一种有效的求解方法，可以将问题转化为低次方程的求解。
分式方程
在解分式方程时，因式分解可以帮助我们消去分母，从而将问题转化为整式方程的求解。
公式法的应用举例
平方差公式应用举例
综合应用举例
$x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 y^2) = (x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$。
$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$。
பைடு நூலகம்
完全平方公式应用举例
02 提取公因式法
公因式的概念
公因式是指多项式各项都含有的公共因子。
可以是单项式，也可以是多项式。
可以是数字、字母或数字与字母的积。
提取公因式法的步骤
找出多项式各项的公因式。提取公因式，将多项式化为几个整式的积的形式。
提取公因式法的应用举例
分解因式：$6x^2y + 18xy^2$ 找出公因式：$6xy$

2021年秋华师大八年级上册 12.5.3因式分解(复习)课件ppt

(5)x 2 4 12 y 9 y 2 (6)a 2 a b2 b
课件在线
8
6、因式分解综合：
（1）18a2－50
（2）2x2y)
（4）a4－16
（5）81x4－72x2y2＋16y4
（6）(a2＋b2)2－4a2b2
（7） (x y)2 2(x y) 1
（5）已知 x2 2x y2 10 y 26 0 ，
求（1）x+2y的平方根（2）2y+2x的立方根
课件在线
12
9、若a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状。
课件在线
13
一提：提公因式a2±2ab+b2=(a±b)2
二用：运用公式
三查：检查因式分解的结果是否正确
（彻底课件性在）线
3
1、提公因式法因式分解：
（1）3mx-6my （2）x2y+xy2 （3）12a2b3－8a3b2－16ab4 （4）3x2-6xy+x
(5)-24x3 –12x2 +28x (6)2a(y-z)-3b(z-y)
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
课件在线
11
1
8、（1）已知x2－y2=－1 ， x+y= ，求x－y的值。
2 （2）已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)2－(3m－n)2的值。
（3）已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值。
（4）已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值。
（8）a4－2a2b2＋b4
（9）－2xy－x2－y2

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第1课时)教学设计

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）教学设计一. 教材分析“因式分解”是初中数学的重要内容，也是八年级上册的教学重点。

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）的教学设计，主要让学生掌握因式分解的基本方法和应用。

本节课的内容包括：认识因式分解，掌握提公因式法和公式法进行因式分解，以及理解因式分解在解决实际问题中的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法，包括提公因式法和公式法。

但是，对于因式分解的概念和方法，以及如何运用因式分解解决实际问题，还需要进一步的学习和理解。

同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以便更好地掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。

2.培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。

2.运用因式分解解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导学生思考，案例让学生理解因式分解的方法，小组合作学习法培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考：已知一个二次方程的解为2和-3，求这个二次方程。

让学生认识到因式分解在解决实际问题中的重要性。

2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念和方法，通过PPT课件展示提公因式法和公式法的步骤和例子。

让学生理解因式分解的方法，并能够运用到实际问题中。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个练习题进行因式分解。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生总结因式分解的步骤和注意事项，并通过PPT课件进行讲解。

然后，再让学生进行一次练习，巩固所学的知识。

5.拓展（10分钟）让学生运用因式分解解决实际问题，如分解一个多项式，或者解决一个优化问题。

华师大版八年级上册数学第十二章整式的乘除与因式分解复习课件

7、平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即: (a+b)(a−b)= a2−b2
例8 用平方差公式计算:（x+2y)(x-2y) 解：原式＝ x2 - (2y)2
＝x2 - 4y2 练习：运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y)；（4）2007×2013.
1 3
m 2n（4）30a5
4a 4
6a 3
例6 先化简再求值:
x2 (x2 x 1) x(x3 x2 x 5)，其中x 1 .
x5 答案：化简得：
1 值为：5
25
6、多项式与多项式相乘的法则:
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
例7 计算： (1)(3x+1)(x+2)
推广：(abc)n = anbncn(n为正整数)
逆用： anbncn = (abc)n
4、单项式与单项式相乘的法则:
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4 计算：(1) (-5a2b)(-3a); (2) (2x)3(-5xy2).
例9 化简：(x y)( x y)( x2 y2 )(x4+y4 )
8、完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍.即：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
例9、运用完全平方公式计算：

因式分解的复习PPT课件(华师大版)：

因式分解的复习
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的情势叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解与整式乘法的关系是什么﹖
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
练习１下列各式中，是因式分解的，请在括号内打“√”，否则打“×”。
（１）m(x-y)=mx-my
( × )
( ×)
( √ )
(பைடு நூலகம்× )
( × )
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法（2）套用公式法
（3）分组分解法（4）十字相乘法
1、提公因式法的关键是确定公因式。
即系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。
2、套用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并熟记公式特征。
3、分组分解法的关键是适当分组，一般情况下，四项采用二二分组法或一三分组法，五项采用二三分组法。分组后还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析
1、把下列各式分解因式
（1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
(2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3
解：
原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)]
=5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2

华师大八上数学-因式分解方法汇总

解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。配方法的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。
（3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分组。
在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
例题1多项式
x2 y y2z z2x x2z y2x z2 y 2xyz
因式分解后的结果是解：将原式重新整理成关于x的二次三项式，
则原式= ( y z)x2 ( y2 z2 2 yz)x (zy 2 z2 y)
分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有：
（1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起；
（2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂排列，再分组；
x3 1 2x2 5x 7 (x 1)(x2 x 1) (x 1)(2x 7) (x 1)(x 3)(x 2)
(12)原式= a4 2a2b2 b4 2ab(a2 b2 ) a2b2 (a2 b2 )2 2ab(a2 b2 ) a2b2
（3） (x y)(x y 2xy) (xy 1)(xy 1)
（4） 1999 x2 (1999 2 1)x 1999

12.5 因式分解(第2课时运用两数和乘以这两数的差公式因式分解)

5652 4352
利用因式分解计算
巩固
4. 计算：
(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
探究根据数的开方知识填空：
4 ( )2
3 ( )2
结论：
a ( a )2 (a 0)
范例例4 在实数范围内因式分解：
(1)x2 3
(2) 5 4a2
巩固 5.在实数范围内因式分解：
4
范例例2 因式分解：
(1)16(x y)2 9(x y)2 (2) 4 (2m n)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4. 把下列各式因式分解：
(1)(a b)2 c2 (2)( x p)2 (x q)2 (3)( x y)2 (z m)2
范例例3 简便计算：
作业
2.已知 a b 3, a2 b2 12，求 a b 的值。
范例例1 因式分解：
(1)x2 4 (2) 4n2 9m2
先确定a2和b2
巩固
2.下列多项式能否用两数和乘以这两数的差的公式因式分解？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固 3. 因式分解：
(1) 9 4x2 (2)x2 y2 1 z2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a 2 b2 进行因式分
解？
(a b)(a b) a2 b2
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
归纳
因式分解方法
公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积。

因式分解(十字相乘)[上学期]--华师大版

上睑下垂常见于哪些情况？货运代理企业为客户提供的产品是A.货物运输服务B.货物运输能力C.舱位D.货运总量患者左侧面神经麻痹，伴有味觉缺失、听觉过敏（听力存在），其他脑神经检查正常，最可能的解剖定位是A.颅腔内病变侵犯桥小脑角附近B.颅腔内病变侵犯颅底内耳门附近C.面神经管等颞骨内结构病变D.茎乳孔附近病变产品处于成长期的特征有A、顾客对产品已经熟悉B、大量的新顾客开始购买C、市场逐步扩大D、生产成本相对降低血液最为重要的缓冲系统是A.CO2B.PaCO2C.HCO-3D.HCO-3/H2CO3E.H2CO3 杜氏利什曼原虫的寄生部位是A.淋巴结B.红细胞C.巨噬细胞D.肝细胞E.肌肉患者，73岁，腹外疝手术后，出现下腹剧痛伴排尿困难，值班护士判断可能是合并前列腺增生引起尿潴留，下列正确的处理方法是()A．立即与医生联系，给予对症处理B．注射利尿剂C．立即进行导尿术D．热敷，按摩下腹部E．鼓励患者自行解尿《素问·阴阳应象大论》中“先痛而后肿者”是由于A.寒伤形B.热伤气C.形伤气D.气伤形E.寒伤气上清肺润燥，中清胃生津，下滋阴降火的药物是A.知母B.芦根C.石膏D.竹叶E.夏枯草家庭功能不包括.A.满足家庭成员基本生理需要B.满足人们爱和被爱的情感需要C.传授社会技巧和知识D.经济收入公开，共同享用E.发展建立人际关系能力汽机轴封系统的作用是。A.防止缸内蒸汽向外泄漏B.防止空气漏入凝结器内C.防止高压蒸汽漏出，防止真空区空气的漏入 [问答题,论述题]对于偶发故障，如何用故障征兆模拟试验方法判断故障部位？慢性骨髓炎迁延不愈、反复发作的最主要原因是A.窦道的形成B.死骨的残留C.瘢痕组织增生D.机体抵抗力低E.细菌毒力太强 n级复矩阵A的所有特征值的乘积等于。A.|A|B.（-1）n|A|C.（-1）n+1|A|D.（-1）n-1|A| 流速仪法测排污截面底部需要硬质平源，戴面形状为规则的几何形，排污品处有不小于m的平直过流水段，且水位高度不小于m，孕妇患急性肾盂肾炎应首选A.红霉素B.氨苄青霉素C.青霉素D.四环素E.庆大霉素流行性出血热的“三痛”是指A.头痛、腰痛、眼眶痛B.头痛、腹痛、眼眶痛C.头痛、腰痛、眼睛痛D.头痛、腹痛、眼眶痛E.头痛、胸痛、眼睛痛下列关于女性生殖系统炎症的叙述，错误的是。A.滴虫阴道炎患者其性配偶也应检查B.生殖器炎症常为需氧菌及厌氧菌混合感染C.衣原体支原体所致生殖器炎症属性传播疾病D.滴虫阴道炎治疗一疗程后复查阴性即为治愈E.外阴阴道念珠菌病久治不愈，应查血糖当在颈部行常规甲状腺显像，未见甲状腺显影，结合XCT等其他影像检查疑有异位甲状腺的患者，应选择下列哪种显像剂来确诊异位甲状A.B.C.D.E.以上都不对肾病综合征出现大量蛋白尿其主要机制是A.肾小球上皮细胞足突裂隙增大B.肾小球基膜糖蛋白成分变化负电荷消失C.肾小球滤过膜内皮窗孔径异常过大D.肾血流量增加E.肾静脉回流障碍下列关于移民安置规划正确的是。A.农村移民安置主要采取补偿性移民方针B.城（集）镇移民安置规划包括重新就业问题C.移民安置规划的目标是达到规划设计基准年农村移民应达到的预期目标D.农村移民安置规划是移民安置规划的重点 95℃时杀灭HBV需要的时间是A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟E.25分钟下列是扑救精密仪器火灾的最佳选择。A、二氧化碳灭火剂B、干粉灭火剂C、泡沫灭火剂某企业外部融资占销售增长的百分比为5%，则若上年销售收入为1000万元，预计销售收入增加到1200万，则相应外部应追加的资金为()万元。A.50B.10C.40D.30 节流阀的降温效果是节流前温度越越好。A.高B.不变化C.低D.与温度无关设，且a≠b，记｜a-b｜=m，求a-b与x轴正方向的夹角的余弦值。不适合做CT扫描的是A.颅脑外伤B.脑肿瘤C.新生儿缺氧缺血性脑病D.精神分裂症E.脑实质变性设备制造前供货方提交履约保函和金额为合同设备价格10%的商业后，采购方支付合同设备价格的作为预付款。A.2%B.5%C.7%D.10% 患者，男性，20岁，左眼视力渐进性下降。查远视力：右眼为0.8，左眼为0.2。检查无斜视，裂隙灯、眼底镜检查未见有明显器质性病变。对于该患者，最好的治疗方案是()A．框架眼镜B．软性接触镜C．硬性透氧性接触镜D．PMMA眼镜E．双光眼镜典型肺炎链球菌肺炎体征描述，不正确的是A.患侧呼吸运动减弱B.患侧语颤减弱C.患侧叩诊呈浊音D.患侧听诊有支气管呼吸音、湿性啰音E.累及胸膜时，可闻及胸膜摩擦音以下情况能够献血的是。A.慢性皮肤病患者B.乙型肝炎表面抗原阴性者C.过敏性疾病及反复发作过敏患者D.骨结核患者E.系统性红斑狼疮患者写字板属于。A、主群组B、应用程序组C、附件组D、游戏组二十四节气歌是怎么说的？依法管理原则为了确定淋巴瘤病人的腹腔内有无肿大的淋巴结，腹部检查的首选方法是A.淋巴造影B.剖腹探查C.腹部B超D.腹部CTE.腹部MRI 大语文加盟品牌有哪些

华东师大版八年级上册数学因式分解同步练习

华东师大版八年级上册数学12.5 因式分解同步练习知识点1 因式分解的概念1. 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值为.2. 下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是 ( )A.x(x-2)=x2-2xB.(x+1)2=x2+2x+1)C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x+2=x(1+2x知识点2 公因式3. 8x3y2和12x4y的公因式是.4. 多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中,各项的公因式是 ( )A.a2bB.-4a2b2C.4a2bD.-a2b知识点3 用提公因式法分解因式5. 把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式m-1后,另一个因式为 ( )A.m+1B.2mC.2D.m+26. 下列多项式中,不能用提公因式法分解因式的是( )A.6x2-3yB.x2y-xy2C.x2+2xy+y2D.16x3y2z+8x2y37. 下列分解因式错误的是 ( )A.3a2b-6ab2=3ab(a-2b)B.-6a3+15ab2=-3a(2a2-5b2)C.9x2y+7x2y2-xy=xy(9x+7xy+1)D.14bx-8b2x+6x=2x(7b-4b2+3)8. 因式分解:a2+a= .9. 分解因式:xy-x= .10. 因式分解:x(x-2)-x+2= .11. 若实数a,b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,则ab的值是.知识点4 用公式法分解因式12. 多项式a2-2ab+b2,a2-2ab-b2, (a+b)2+4(a+b)+4中,能用完全平方公式分解因式的有 ( )A.0个B.1个C.2个D.3个13. 下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( )A.a2+b2B.2a-b2C.a2-b2D.-a2-b214. 分解因式:9(x+2y)2-4(x-y)2= .15. 分解因式:m2-25= .16. 将x(x-2)+1因式分解的结果是.知识点5 综合运用提公因式法和公式法分解因式17. 把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是.18. 分解因式:ab2-a= .19.把下列多项式分解因式:(1) x2(x-y)+y2(y-x) (2) x3y-10x2y+25xy知识点6 因式分解的应用20. 对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能 ( )A.被8整除B.被6整除C.被3整除D.被5整除21. 已知a,b,c是三角形的三边长,则代数式(a-b)2-c2的值 ( )A.大于零B.小于零C.等于零D.大于或等于零22.若一个正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),则该正方形的边长为.23.用简便方法计算:(1)20.62-10.62;(2)80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52.。

第2课时因式分解法-2024-2025学年数学华师大九年级(上册)课件

这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步骤一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：右化零左分解两因式各求解
例题讲解例1 解下列方程
情景导入根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，
即
10x－4.9x2＝0.
①
用什么方法解方程①比较简单呢？
(1)3x2+2x=0;
解(2)：x2（=31x）方程左边分解因式，得
x(3x+2)=0
所以 x=0 或 3x+2=0
得
x1
0,
x2
2 3
（2）移项，得 x2-3x=0
方程左边分解因式，得 x(x-3)=0
所以 x=0 或 x-3=0 得 x1 0, x2 3
例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）；
获取新知一起探究
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0，那么a = 0或 b = 0.
x =0 或 10-4.9x=0
降次，化为两个一次方程
x1 0,
x2
100 49
2.04

华东师大版数学八年级上册1因式分解(共21张)

(2)3a2bc=3a.a.b.c 不是，因式分解是对多项式而言的一种变形
(3) x2－3x+1=x(x－3)+1
不是，因式分解的结果是几个整式的积的情势
(4) x2
x
x2
1
1 x
不是，整式的积的情势
(5)3x2 2xy x x 3x 2y 不是，左边不等于右边
• 1、因式分解是整式乘法的逆变形。 • 2、因式分解的对象应是多项式。 • 3、因式分解的结果一定是积的情势。 • 4、结果中的每一个因式都必须是整式。
例1 把下列多项式分解因式：
（1）5a2+25a
（2）3a2-9ab
分析（1）：由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式：
1、定系数：系数5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为5；
2、定字母：两项中的相同字母是a，故公因式的字母取a；
3、定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1；所以，5a2+25a的公因式为：5a
例1 把下列多项式分解因式：（2）3a2-9ab
解(2):3a2-9ab =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
例2、把下列各式因式分解：
1、 2xy2+x2y +xy
解：（1） 2xy2+x2y+xy =2y.xy+x.xy+1.xy =xy(2y+x+1)
2、 -5a2+25a
(2): -5a2+25a = -(5a2-25a) =-(5a.a-5a.5) =-5a(a-5)
对照
1).m(a+b+c)=ma+mb+mc 2).(x+1)(x+2)=x2+3x+2

华师大版八年级上册1因式分解小结课件

(1) a 2 x 2 y axy 2
(2) 14abc 7ab 49ab2c
(3) mx y2 x y
（2）运用公式法：
公式法：利用平方差和完全平方公式，将多项式因式分解的方法。运用公式法中主要使用的公式有如下几个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
2、下列因式分解中，正确的是（）
A．3m2－6m=m(3m－6) B．a2b+ab+a=a(ab+b) C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2 D．x2+y2=(x+y)2
提取公因式法
1、9x3 y 2 12 x 2 y 2 6xy 3中各项的公因
式是__________。
公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。找公因式的方法：
1：系数为
；
2：字母是
；
3：字母的次数
。
练习：①5x2－25x的公因式为
；
②－2ab2＋4a2b3的公因式为
，
③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是
。
提取公因式法
练习： 1、把多项式m2(a－2)+m(2－a)分解因式等于（） A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m) C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1) 2、把下列多项式分解因式
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方公式 ]
（2）运用公式法：
例题：把下列各式分解因式
①x2－4y2
② 9x2-6x+1
解：原式=
解：原式=

数学华师大版九年级上册22.直接开平方法和因式分解法课件)

（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（2－χ）2－9=0
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
以变形为：（χ+1）2 =4 现在再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解： (1) 移项，得（χ+1）2=4
∴ χ+1=±2
∴ χ1=1，χ2=－3.
1.直接开平方法的理论根据是平方根的定义 2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或（χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
解：1）方程左边分解因式，得χ（3χ+2）=0.
∴ χ=0,或 3χ+2=0，解得 χ1= 0,χ2= 2 .
3
2) 方程移项，得χ2－ 3χ =0 方程左边分解因式，得
χ（ χ－3）=0 ∴ χ=0，或 χ－3=0，
解得 χ1=0 ，χ2= 3 .
采用因式分解法解方程的一般步骤：
（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积情势：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
22.2
1. 直接开平方法和因式分解法
华东师大版九年级上册
x a 1.如果 x2 a(a 0) ，则就叫做的平方根。
2.如果 x2 a(a 0) ，则x = a 。

华东师大版八年级数学上册1《因式分解》教学课件

3、如图，在一块边长为
acm 的正方形的四角，各剪
去一个边长为bcm的正方形，
求剩余部分的面积。如果
a
a=3.6，b=0.8呢?
b
a2−4b2
4.下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
巩固练习
1、判断正误
x²+y²=(x+y)(x+y) ( ) x²-y²=(x+y)(x-y) ( ) -x²+y²=(-x+y)(-x-y)( ) -x²-y²=-(x+y)(x-y) ( )
2.计算
a2-81 1- 16b2 0 .25q2 -121p2 9a2p2 –b2q2
36- x2 m2 – 9n2 169x2 -4y2 -16x4 +81y4
① x2－25 ② 9x2－ y2
□2－△2
尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
整式乘法 a²- b² = (a+b)·(a-b)
因式分解
平方差公式
➢平方差公式
（1）公式：
a2 b2 (a b)(a b)
（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这
两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。
口算
1）(x 5)(x 5) _x_2___2_5_ 2）(3x y)(3x y) _9_x_2___y2 3) (1 3a)(1 3a) _1_－__9_a_2
(a b)(a b) _________ （整式乘法）
a2 b2 _________ （分解因式）
探索交流