2019年江苏省泰州中学、宜兴中学、梁丰高中高考数学模拟试卷(4月份)

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2019年江苏泰州、南通、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市高三一模数学试卷-学生用卷

2019年江苏泰州、南通、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、【来源】 2019年江苏南通高三一模第1题5分已知集合A={1,3}，B={0,1}，则集合A∪B=．2、【来源】 2019年江苏南通高三一模第2题5分−3i（i为虚数单位），则复数z的模为．已知复数z=2i1−i3、【来源】 2019年江苏南通高三一模第3题5分某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为．4、【来源】 2019年江苏南通高三一模第4题5分如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．5、【来源】 2019年江苏南通高三一模第5题5分有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为.6、【来源】 2019年江苏南通高三一模第6题5分2017~2018学年江苏连云港高三上学期期末理科第8题5分2019~2020学年江苏泰州海陵区江苏省泰州中学高三上学期期中文科第10题5分2018年江苏徐州高三一模第8题5分2018~2019学年江苏苏州姑苏区苏州第三中学高二下学期期中理科第11题5分已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3√5cm，则这个正四棱柱的体积是cm3．7、【来源】 2019年江苏南通高三一模第7题5分若实数x，y满足x⩽y⩽2x+3，则xy的最小值为．8、【来源】 2019年江苏南通高三一模第8题5分在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线x24−y2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB=√6，则p的值为．9、【来源】 2019年江苏南通高三一模第9题5分在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=3x+t与曲线y=asin⁡x+bcos⁡x(a,b,t∈R)相切于点(0,1)，则(a+b)t的值为．10、【来源】 2019年江苏南通高三一模第10题5分已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列{1a n}是等比数列；④数列{lg a n2}是等比数列．其中正确的命题有个．11、【来源】 2019年江苏南通高三一模第11题5分已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)．当0<x⩽1时，f(x)=x3−ax+1，则实数a的值为.12、【来源】 2019年江苏南通高三一模第12题5分在平面四边形ABCD中，AB=1，DA=DB，AB→⋅AC→=3，AC→⋅AD→=2，则|AC→+2AD→|的最小值为．13、【来源】 2019年江苏南通高三一模第13题5分2018~2019学年5月江苏扬州广陵区江苏省扬州中学高一下学期月考第16题在平面直角坐标系xOy中，圆O:x+y2=1，圆C:(x−4)2+y2=4．若存在过点P(m,0)的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围．14、【来源】 2019年江苏南通高三一模第14题5分已知函数f(x)=(2x+a)(|x−a|+|x+2a|)(a<0)．若f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(672)= 0，则满足f(x)=2019的x的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15、【来源】 2019年江苏南通高三一模第15题14分2018~2019学年3月贵州贵阳云岩区贵阳第二中学高二下学期月考文科第19题12分如图，在四棱锥P−ABCD中,M ,N分别为棱PA ,PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD ,底面ABCD是矩形,DA=DP .(1) MN//平面PBC．(2) MD⊥平面PAB .16、【来源】 2019年江苏南通高三一模第16题14分2019~2020学年10月江苏苏州工业园区西安交通大学苏州附属中学高三上学期月考第16题14分2018~2019学年2月湖北武汉江岸区武汉市第六中学高一下学期月考第19题12分2018~2019学年3月江苏南京鼓楼区南京市宁海中学高一下学期月考第17题14分在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acos⁡B=√2bcos⁡A，cos⁡A=√33．(1) 求角B的值．(2) 若a=√6，求△ABC的面积．17、【来源】 2019年江苏南通高三一模第17题14分2019~2020学年甘肃兰州高二上学期期末理科（联片办学）第22题12分如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F，右顶点为A，上顶点为B．(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF的中点的横坐标为√22，求椭圆的标准方程．(2) 已知△ABF外接圆的圆心在直线y=−x上，求椭圆的离心率e的值．18、【来源】 2019年江苏南通高三一模第18题16分如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为2√3m和4m，上部是．圆心为O的劣弧CD，∠COD=2π3(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离．(2) 现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为ℎ，试用θ的函数表示ℎ，并求出ℎ的最大值．19、【来源】 2019年江苏南通高三一模第19题16分已知函数f(x)=a x +ln⁡x(a ∈R)．(1) 讨论f(x)的单调性．(2) 设f(x)的导函数为f ′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x 1，x 2．① 求实数a 的取值范围．② 证明：x 1f ′(x 1)+x 2f ′(x 2)>2ln⁡a +2．20、【来源】 2019年江苏南通高三一模第20题16分已知等差数列{a n }满足a 4=4，前8项和S 8=36．(1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 若数列{b n }满足∑(b k a 2n+1−2k )+2a n n k=1=3(2n −1)，(n ∈N ∗)．① 证明：{b n }为等比数列．② 求集合{(m,p)|a m b m =3a p b p ,m,p ∈N ∗}．三、选做题(本题包括21、22、23三小题，请选定其中两题作答．)．[选修4-2：矩阵与变换]21、【来源】 2019年江苏南通高三一模第21题10分已知矩阵M =[ac bd ]，N =[10012]，且(MN)−1=[14002]，求矩阵M ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22、【来源】 2019年江苏南通高三一模第22题10分在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =t y =t 2 （t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin⁡(θ−π4)=√2．求： (1) 直线l 的直角坐标方程．(2) 直线l 被曲线C 截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]23、【来源】 2019年江苏南通高三一模第23题10分已知实数a，b，c满足a2+b2+c2⩽1，求证：1a2+1+1b2+1+1c2+1⩾94．四、必做题(第22、23题，每小题10分，共计20分)24、【来源】 2019年江苏南通高三一模第24题10分“回文数”是指从左到右与从右到左都一样的正整数，如22，121，3553等，显然2位“回文数”共9个：11，22，33，⋯，99，现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果为X，从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．(1) 求X为“回文数”的概率．(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．25、【来源】 2019年江苏南通高三一模第25题10分设集合B是集合A n={1,2,3,⋯,3n−2,3n−1,3n}，n∈N∗的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S=0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数．(2) 集合A n的“和谐子集”的个数．1 、【答案】{0,1,3};2 、【答案】√5;3 、【答案】3;4 、【答案】7;5 、【答案】23;6 、【答案】54;7 、【答案】−6;8 、【答案】2√6;9 、【答案】4;10 、【答案】3;11 、【答案】2;12 、【答案】2√5;13 、【答案】−4<m<43;14 、【答案】337;15 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;16 、【答案】 (1) π4．;(2) 6+3√24．;17 、【答案】 (1) x28+y26=1．;(2) √22．;18 、【答案】 (1) 拱门最高点到地面的距离为5m．;(2) ℎ={4sin⁡θ+2√3cos⁡θ,0⩽θ⩽π62+2√3sin⁡(θ+π6),π6<θ⩽π2；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2+2√3)m．;19 、【答案】 (1) 当a⩽0时，f(x)在(0,+∞)为增函数；当a>0时，f(x)在(a,+∞)上为增函数；在(0,a)上为减函数．;(2)① a 的取值范围是(0,1e)． ② 证明见解析．;20 、【答案】 (1) an =n ． ;(2)① 数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ② {(6,8)}; 21 、【答案】 [4001]． ;22 、【答案】 (1) x −y +2=0． ;(2) 3√2．;23 、【答案】证明见解析． ;24 、【答案】 (1) 概率P =29． ;(2) 随机变量ξ的概率分布为：随机变量ξ的数学期望为：E(ξ)=79． ;25 、【答案】 (1) 4． ;(2) 23×2n+13×23n(n∈N∗)．;。

江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

T 的值是 ________．
a5＋ a3
7. 已知数列 {a n} 满足 log2an＋ 1－ log2an＝ 1，则
＝ ________．
a3＋ a1
8. 若抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的准线与双曲线 x 2－ y 2＝ 1 的一条准线重合，则 p＝ ________．
9. 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， M 为棱 AA 1 的中点，记三棱锥 A 1MBC 的体积为 V 1，四
17. (本小题满分 14 分 ) 如图，三个小区分别位于扇形
OAB 的三个顶点上， Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一
处开挖工作坑 P(不与点 O，Q 重合 )，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB，已知 OA ＝2 千米， π
∠AOB ＝ 3，记∠APQ ＝ θr ad ，地下电缆管线的总长度为 y 千米． (1) 将 y 表示成 θ的函数，并写出 θ的范围；
3. 复数 z 满足 zi＝ 4＋ 3i(i 是虚数单位 )，则 |z|＝ ________． 4. 函数 y＝ 1－ x2的定义域是 ________．
5. 从 1， 2， 3， 4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为
6 的概率为 ________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
V1
棱锥 A 1BB 1C1C 的体积为
V
2，则
V
的值是
2
________．
10. 已知函数 f(x) ＝2x4＋ 4x 2，若 f(a＋ 3)>f(a － 1)，则实数 a 的取值范围为 ________． 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1：(x－ k) 2＋(y ＋ k － 4)2＝ 1 上任一点 P 作圆 C2：x2＋ y2＝ 1

江苏省2019年高考数学模拟试题及答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ．【答案】}3{2．函数x y ln =的定义域为．【答案】),1[+∞3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)23,(m P ，则αtan ．【答案】3-4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ．【答案】32π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ．【答案】43π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ．【答案】17．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x在0=x 处的切线方程为．【答案】23+=x y8．实数1-=k 是函数xxk k x f 212)(⋅+-=为奇函数的条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要9．在ABC ∆中，060,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若⋅=⋅2，则AD ．【答案】332 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则=d ．【答案】6π 11．如图，在四边形ABCD 中，060,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=，CD CF λ=其中0>λ，若15=⋅AD EF ，则λ的值为．【答案】2512．已知函数x m x e m x x f x)1(21)()(2+--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．【答案】}1{-13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中211-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列}{n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是．【答案】)7,5(14．在ABC ∆中，3tan -=A ，ABC ∆的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00⋅≥⋅，则线段BC 的长为．【答案】6二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若函数)0,0()3sin()(>>++=b a b ax x f π的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求b a ,的值；（2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的最大值和最小值.16．（本小题满分14分）已知命题p ：函数m mx x x f +-=2)(2的图像与x 轴至多有一个交点，命题q ：1|1log |2≤-m ；（1）若q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围；17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知abC C 3sin cos 3=-；（1）求角A 的大小；（2）若6=+c b ，D 为BC 中点，且22=AD ,求ABC ∆的面积.18．（本小题满分16分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G ，为参观方便，现在新建两条道路CB CA ,，分别与圆O 相切于E D ,两点，同时与PQ 分别交与B A ,两点，其中G O C ,,三点共线且满足CB CA =，记道路CB CA ,长之和为l ；（1）①设θ=∠ACO ，求出l 关于θ的函数关系式)(θl ； ②设x AB 2=米，求出l 关于x 的函数关系式)(x l ；（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.19．（本小题满分16分）已知正项数列}{n a 的首项，前n 项和n S 满足n n n S a a 22=+（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 是公比4为的等比数列，且332211,,a b a b a b ---也是等比数列，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n b a λ单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列}{n b ，}{n c 都是等比数列；且满足n n n a b c -=，试证明数列}{n c 中只存在三项.20．（本小题满分16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得最大值或最小值，则称0x 为函数)(0x f y =的极值点.设函数b a bx ax x x f ---++=1)(23，)1()(-=x k x g ，R k b a ∈,,（1）若函数)(x g 为)(x f 在1=x 处的切线，①当)(x f 有两个极值点1x 、2x ，且满足121=x x 时，求b 的值及a 的取值范围； ②当)(x g 与)(x f 的图像只有一个交点，求a 的值；（2）若对满足“函数)(x g 与)(x f 的图像总有三个交点R Q P ,,”的任意实数k ，都有QR PQ =成立，求k b a ,,满足的条件．。

2019年江苏省泰州市高考数学一模试卷

2019年江苏省泰州市高考数学一模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共14小题）1.函数f（x）＝sin2x的最小正周期为．2.已知集合A＝{4，a2}，B＝{﹣1，16}，若A∩B≠∅，则a＝．3.复数z满足zi＝4+3i（i是虚数单位），则|z|＝．4.函数y＝的定义域为﹣．5.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是．6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是．7.已知数列{a n}满足log2a n+1﹣log2a n＝1，则＝．8.若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与双曲线x2﹣y2＝1的一条准线重合，则p＝．9.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1﹣MBC的体积为V1，四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2，则的值是．10.已知函数f（x）＝2x4+4x2，若f（a+3）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围为﹣11.在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1上任一点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝．12.已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则λμ＝﹣．13.已知函数，若存在x0＜0，使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是﹣．14.在△ABC中，已知sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，其中，若为定值，则实数λ＝．二、解答题（共6小题）15.已知向量，，其中x∈（0，π）．（1）若，求x的值；（2）若tan x＝﹣2，求||的值．16.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知P A⊥AB，P A⊥AD．求证：（1）直线PB∥平面OEF；（2）平面OEF⊥平面ABCD．17.如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，P A，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C 的离心率为，点A到右准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．19.设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”．（1）若函数不存在“优点，求实数a的值；（2）求函数f（x）＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；（3）求证：函数f（x）＝lnx的“优点”一定落在第一象限．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a2＝a3，且对任意的n∈N*，n≥2都有2nS n+1﹣（2n+5）S n+S n﹣1＝ra1．（1）若a1≠0，a2＝3a1，求r的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？说明理由；（3）当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为＝π，故答案为：π．【知识点】三角函数的周期性及其求法2.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{4，a2}，B＝{﹣1，16}，A∩B≠∅，∴a2＝16，解得a＝±4．故答案为：±4．【知识点】交集及其运算3.【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由zi＝4+3i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：5．【知识点】复数求模4.【分析】令被开方数大于等于0，解不等式求出定义域．【解答】解：要使函数有意义，需满足1﹣x2≥0解得﹣1≤x≤1故答案为{x|﹣1≤x≤1}【知识点】函数的定义域及其求法5.【分析】基本事件总数n＝＝10，这2个数的和为6包含的基本事件有2个，由此能求出这2个数的和为6的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n＝＝10，这2个数的和为6包含的基本事件有：（1，5），（2，4），共2个，则这2个数的和为6的概率是p＝＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式6.【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，T＝1满足条件i≤2，执行循环体，T＝1×21＝2，i＝2满足条件i≤2，执行循环体，T＝2×22＝8，i＝3不满足条件i≤2，退出循环，输出T的值为8．故答案为：8．【知识点】伪代码7.【分析】由对数的运算性质结合等比数列的通项公式可得结果．【解答】解：∵log2a n+1﹣log2a n＝1，∴＝2，∴数列{a n}是公比q为2的等比数列，∴＝q2＝4．故答案为：4．【知识点】等比数列8.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值．【解答】解：抛物线y2＝2px的准线为：x＝﹣，双曲线x2﹣y2＝1的左准线为：x＝﹣＝﹣，由题意可知﹣＝﹣，p＝．故答案为：．【知识点】圆锥曲线的综合9.【分析】设出棱柱的棱长，然后求解三棱锥A1﹣MBC的体积为V1，四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2，推出结果．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，A到BC是距离为：t，记三棱锥A1﹣MBC的体积为V1＝•t＝•t四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2＝则＝＝．故答案为：．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积10.【分析】根据f（x）的解析式可看出f（x）是偶函数，并且在（0，+∞）上单调递增，从而由f（a+3）＞f（a﹣1）得到f（|a+3|）＞f（|a﹣1|），从而得出|a+3|＞|a﹣1|，两边平方即可解出a的范围．【解答】解：f（x）＝2x4+4x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；∴由f（a+3）＞f（a﹣1）得：f（|a+3|）＞f（|a﹣1|）；∴|a+3|＞|a﹣1|；∴（a+3）2＞（a﹣1）2；解得a＞﹣1；∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【知识点】奇偶性与单调性的综合11.【分析】根据题意，由圆C1的方程求出圆心的坐标，分析可得圆心在直线y＝﹣x﹣4上，结合圆与圆的位置关系分析可得当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，据此可得＝1，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1的圆心为（k，4﹣k），半径r＝1，则圆心在直线y＝﹣x+4上，点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，此时有＝1，解可得：k＝2；故答案为：2．【知识点】圆方程的综合应用12.【分析】利用向量加减法把所给两个条件中的向量都转化为，对比可得解．【解答】解：由，得＝，即；…①由，得，即，∴，即（μ+1），∴，…②由①②可得，得，∴，故答案为：﹣【知识点】平面向量的基本定理及其意义13.【分析】分别求得x＜a，x≥a时f（x）的导数，求得单调性、极值，讨论a＝0，a＜0，a＞0，结合函数f（x）存在负的零点，可得a的范围．【解答】解：由f（x）＝x3+3x﹣4a的导数为f′（x）＝3x2+3＞0，可得x＜a为增函数，可得f（x）＜a3﹣a，且x≥a时，f（x）＝x3﹣3x﹣4a的导数为f′（x）＝3x2﹣3，即有﹣1＜x＜1时，f（x）递减；x＞1或x＜﹣1时，f（x）递增，可得x＝1为极小值﹣2+2a，x＝﹣1处取得极大值2+2a，a＝0时，x＜0时，f（x）＜0；x≥0时，f（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，无负的零点；0＜a＜1时，x＜a时，f（x）＜f（a）＜0，函数f（x）无负的零点；当a≥1时，x＜a时，f（x）递增，x≥a，f（x）递增，f（x）也无负的零点；当a＜0时，由f（a）≥0即a3﹣a≥0，解得﹣1≤a＜0，可得f（x）存在负的零点．故答案为：[﹣1，0）．【知识点】分段函数的应用14.【分析】由，可求sinθ，cosθ，然后由sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，结合两角差的正弦公式可求sin A sin B，然后进行化简，结合其特点及为定值可求λ．【解答】解：由，可得，sinθ＝，cosθ＝，∵sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，sin A sin B sin C﹣sin A sin B cos C＝λsin2C，∴sin A sin B＝＝∵＝＝，＝＝为定值，∴则实数λ＝故答案为：【知识点】两角和与差的余弦函数二、解答题（共6小题）15.【分析】（1）根据即可得出，从而得出sin2x＝1，根据x∈（0，π）即可得出2x∈（0，2π），从而得出2x＝，从而得出x的值；（2）根据tan x＝﹣2可得出sin x＝﹣2cos x，可求出，从而可求出．【解答】解：（1）∵；∴sin x cos x＝，即sin2x＝1；∵x∈（0，π）；∴；（2）∵tan x＝＝﹣2；∴sin x＝﹣2cos x；∵；∴＝＝．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示16.【分析】（1）由O为PB中点，F为PD中点，得PB∥FO，由此能证明PB∥平面OEF．（2）连结AC，推导出P A∥OE，由P A⊥AB，P A⊥AD，得P A⊥平面ABCD，从而OE⊥平面ABCD，由此能证明平面OEF⊥平面ABCD．【解答】证明：（1）O为PB中点，F为PD中点，∴PB∥FO，而PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，∴PB∥平面OEF．（2）连结AC，∵ABCD为平行四边形，∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，∴P A∥OE，∵P A⊥AB，P A⊥AD，AB∩AD＝A，∴P A⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又OE⊂平面OEF，∴平面OEF⊥平面ABCD．【知识点】直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定17.【分析】（1）由题意在△∠AOP中利用正弦定理求得P A、OP，把y表示为θ的函数，再求出θ的取值范围；（2）由（1）构造函数，利用导数f（θ）的单调性，求出f（θ）的最小值以及对应θ的值即可．【解答】解：（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性知P A＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝π﹣θ，∠OAP＝，由正弦定理，得：，又OA＝2，所以，P A＝，OP＝，所以，y＝P A+PB+OP＝2P A+OP＝＝，又∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝（π+）＝，所以，θ∈（，）；（2）令，θ∈（，），令，得：，所以，f（θ）在上单调递减，在（，）上单调递增；所以，当，即OP＝时，f（θ）有唯一的极小值，即是最小值：f（θ）min＝2，答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．【知识点】已知三角函数模型的应用问题18.【分析】（1）根据已知条件列有关a、c的方程组，解出a和c的值，进而可得出b的值，从而求出椭圆C的标准方程；（2）设直线AB的方程为x＝my﹣2，m≠0，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，求出点B的坐标，进而求出点P的坐标，分别写出直线OP和直线BQ的方程，联立这两条直线方程，求出x0的表达式，利用不等式的性质求出x0的取值范围．【解答】解：（1）依题意，有：，即，又＝6，所以，＝6，解得：a＝2，c＝1，b＝＝，所以，椭圆C的方程为：；（2）由（1）知，A（﹣2，0）、设AB：x＝my﹣2，m≠0，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，解得，即点B的坐标为，则，所以，直线OP的斜率为，则直线OP的方程为，直线BQ的斜率为k BQ＝﹣m，所以，直线BQ的方程为，将直线OP的方程与直线BQ的方程联立，得出．因此，x0的取值范围是（4，8）．【知识点】直线与椭圆的位置关系19.【分析】（1）由题意可得f′（x）＝f′（）对x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，不妨取0＜x＜1，求得导数，可得a的范围；（2）设A（t，t2），B（，），（0＜t＜1），求得导数和切线方程，求得交点的横坐标，结合基本不等式可得所求范围；（3）设A（t，lnt），B（，﹣lnt），0＜t＜1，求得导数，以及切线方程，求交点，由构造函数法，即可得到交点的坐标均为正数．【解答】解：（1）若函数不存在“优点，可得f′（x）＝f′（）对x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，不妨取0＜x＜1，可得f′（x）＝＝＝f′（），即3a＝x，即有a∈（0，），故存在两条切线平行，且a的范围是（0，）；（2）设A（t，t2），B（，），（t≠0），f′（x）＝2x，以A，B为切点的切线方程为y＝2tx﹣t2，y＝x﹣，令2tx﹣t2＝x﹣，可得x＝（t+）＞1或x＜﹣1，可得“优点”的横坐标的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）；（3）证明：设A（t，lnt），B（，﹣lnt），0＜t＜1，由f′（x）＝，以A，B为切点的切线方程为y＝+lnt﹣1；y＝tx﹣lnt﹣1，可令tx﹣lnt﹣1＝+lnt﹣1，可得x＝＞0，y＝（lnt2﹣），设t2＝m∈（0，1），可令h（m）＝lnm﹣，h′（m）＝﹣＝＞0，即h（m）递增，h（m）＜h（1）＝0，即lnt2﹣＜0，又＜0，则y＝（lnt2﹣）＞0，函数f（x）＝lnx的“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，一定落在第一象限．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程20.【分析】（1）在已知数列递推式中，取n＝2，可得4a3﹣5a2﹣4a1＝ra1，结合已知2a1+a2＝a3即可求得r值；（2）假设数列{a n}是等比数列，公比为q，求得q＝2或q＝﹣1，再由已知可得2n（q2﹣q）＝3q﹣1，不能得到对任意n≥3恒成立，故数列{a n}不可能是等比数列；（3）当r＝1时，令n＝2，整理得：﹣4a1﹣5a2+4a3＝ra1，结合已知可得a2＝3a1，a3＝5a1，令n＝3，得a4＝7a1．由（2）可知，4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2），进一步得到2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n（n≥3），可得2（n﹣1）a n+a n﹣2＝（2n+1）a n﹣1（n≥4）．得到2n[（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）]＝（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）（n≥4）．从而得到（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）＝0（n≥4）．即a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥4），由此可得数列{a n}是以a1为首项，以2a1为公差的等差数列．【解答】解：（1）令n＝2，得：4S3﹣9S2+S1＝ra1，即：4（a3+a2+a1）﹣9（a2+a1）+a1＝ra1，化简，得：4a3﹣5a2﹣4a1＝ra1，∵2a1+a2＝a3，a2＝3a1，∴4×5a1﹣5×3a1﹣4a1＝ra1，解得：r＝1；（2）假设数列{a n}是等比数列，公比为q，则，且a1≠0，解得q＝2或q＝﹣1．由2nS n+1﹣（2n+5）S n+S n﹣1＝ra1，可得4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2）．∴4S n﹣1＝2（n﹣1）a n﹣a n﹣1﹣ra1，两式相减得：2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n，两边同除以a n﹣1，可得2n（q2﹣q）＝3q﹣1，∵q≠1，∴q2﹣q≠0，则上式不可能对任意n≥3恒成立，故数列{a n}不可能是等比数列；证明：（3）当r＝1时，令n＝2，整理得：﹣4a1﹣5a2+4a3＝ra1，又由2a1+a2＝a3，可得a2＝3a1，a3＝5a1，令n＝3，可得6S4﹣11S3+S2＝a1，解得a4＝7a1．由（2）可知，4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2），∴4S n﹣1＝2（n﹣1）a n﹣a n﹣1﹣ra1（n≥3），两式相减得：2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n（n≥3），∴2（n﹣1）a n+a n﹣2＝（2n+1）a n﹣1（n≥4）．∴2n[（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）]＝（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）（n≥4）．∵（a4﹣a3）﹣（a3﹣a2）＝0，∴（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）＝0（n≥4）．即a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥4），又∵a3﹣a2＝a2﹣a1＝2a1，∴数列{a n}是以a1为首项，以2a1为公差的等差数列．【知识点】等比数列、数列递推式、等差数列。

江苏省泰州市2019届高三年级一模考试数学答案

解得a4＝7a1，
由(2)可知4Sn＝2nan＋1－an－a1(n≥2)，
所以4Sn－1＝2(n－1)an－an－1－a1(n≥3)，
两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝(2n＋3)an(n≥3)，
所以2(n－1)an＋an－2＝(2n＋1)an－1(n≥4)，
两式相减，可得2n[(an＋1－an)－(an－an－1)]＝(an－an－1)－(an－1－an－2)(n≥4)．
因为f′(x)＝，
所以A，B两点处的切线方程分别为y＝ x＋lnt－1，y＝tx－lnt－1，
令 x＋lnt－1＝tx－lnt－1，
解得x＝ >0，
所以y＝ · ＋lnt－1＝ (lnt－ )，
设h(m)＝lnm－，m∈(0，1)，
则h′(m)＝ >0，
所以h(m)单调递增，
所以h(m)<h(1)＝0，
(2)由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，
所以＝(1，0，－3)ห้องสมุดไป่ตู้ ＝(1，1，－3)，＝(1，1，3)，＝(0，1，0)，
设平面A1BC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
所以4×5a1－5×3a1－4a1＝ra1，
解得r＝1.
(2)假设数列{an}是等比数列，公比为q，则由2a1＋a2＝a3得2a1＋a1q＝a1q2，且a1≠0，解得q＝2或q＝－1，
由2nSn＋1－(2n＋5)Sn＋Sn－1＝ra1，
得4Sn＝2nan＋1－an－ra1(n≥2)，
所以4Sn－1＝2(n－1)an－an－1－ra1(n≥3)，两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝(2n＋3)an，
因为(a4－a3)－(a3－a2)＝0，

江苏省2019年高考数学模拟试题及答案

江苏省2019年高考数学模拟试题及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ．【答案】}3{2．函数x y ln =的定义域为．【答案】),1[+∞3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)23,(m P ，则αtan ．【答案】3-4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ．【答案】32π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ．【答案】43π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ．【答案】17．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x在0=x 处的切线方程为．【答案】23+=x y8．实数1-=k 是函数xxk k x f 212)(⋅+-=为奇函数的条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要9．在ABC ∆中，060,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若⋅=⋅2，则AD ．【答案】332 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则=d ．【答案】6π 11．如图，在四边形ABCD 中，060,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=，λ=其中0>λ，若15=⋅，则λ的值为．【答案】2512．已知函数x m x e m x x f x)1(21)()(2+--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．【答案】}1{-13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中211-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列}{n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是．【答案】)7,5(14．在ABC ∆中，3tan -=A ，ABC ∆的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00⋅≥⋅，则线段BC 的长为．【答案】6二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若函数)0,0()3sin()(>>++=b a b ax x f π的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求b a ,的值；（2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的最大值和最小值.16．（本小题满分14分）已知命题p ：函数m mx x x f +-=2)(2的图像与x 轴至多有一个交点，命题q ：1|1log |2≤-m ；（1）若q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围；17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知abC C 3sin cos 3=-；（1）求角A 的大小；（2）若6=+c b ，D 为BC 中点，且22=AD ,求ABC ∆的面积.18．（本小题满分16分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G ，为参观方便，现在新建两条道路CB CA ,，分别与圆O 相切于E D ,两点，同时与PQ 分别交与B A ,两点，其中G O C ,,三点共线且满足CB CA =，记道路CB CA ,长之和为l ；（1）①设θ=∠ACO ，求出l 关于θ的函数关系式)(θl ； ②设x AB 2=米，求出l 关于x 的函数关系式)(x l ；（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.19．（本小题满分16分）已知正项数列}{n a 的首项，前n 项和n S 满足n n n S a a 22=+（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 是公比4为的等比数列，且332211,,a b a b a b ---也是等比数列，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n b a λ单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列}{n b ，}{n c 都是等比数列；且满足n n n a b c -=，试证明数列}{n c 中只存在三项.20．（本小题满分16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得最大值或最小值，则称0x 为函数)(0x f y =的极值点.设函数b a bx ax x x f ---++=1)(23，)1()(-=x k x g ，R k b a ∈,,（1）若函数)(x g 为)(x f 在1=x 处的切线，①当)(x f 有两个极值点1x 、2x ，且满足121=x x 时，求b 的值及a 的取值范围； ②当)(x g 与)(x f 的图像只有一个交点，求a 的值；（2）若对满足“函数)(x g 与)(x f 的图像总有三个交点R Q P ,,”的任意实数k ，都有QR PQ =成立，求k b a ,,满足的条件．。

高三一轮复习难点突破(1)——公切线问题

2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点、最值问题有时也可以转化为公切线问题【典型例题】例1 （2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = ．例2 已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．例3 已知函数()ln ,111,122x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的最小值是_____.【方法归纳】【巩固训练】1．(2020·江南十校联考)已知f(x)＝e x (e 为自然对数的底数)，g(x)＝lnx ＋2，直线l 是f(x)与g(x)的公切线，则直线l 的方程为_________．2．若212y x e=与ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则a 的值为（） A ．2- B ．12C ．1D ．23．若2(0)y ax a =>与x y e =存在公切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[,)4e +∞D ．2(0,]4e4．已知函数2,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．(1,)-+∞B ．(ln 2,)-+∞C ．(2,1)--D ．(1,2)5．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．56．设函数23()2(0)2f x x ax a =->与2()ln g x a x b =+有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为____________．7. 设函数 f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中 a ∈R ，若不等式 f (x )≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为．8.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数，若函数()f x 有且只有1个零点，则a 的值为．9.已知函数31()4f x x x =-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．10.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a=>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为．11.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（）A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点问题有时也可以转化为公切线问题【典型例题】例1 （2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = ．解析：方法1（常规方法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++， ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++， ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．方法2（参数法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则11k x =，211k x =+，解得11x k =，211x k=-，所以1122ln 22ln ln(1)ln y x k y x k =+=-⎧⎨=+=-⎩，而112211y kx b b y kx b k b =+=+⎧⎨=+=-+⎩，故2ln 1ln 1k bk k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得2k =，1ln2b =-．例2 已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．解析：依题意有：2x e ax ->32ax ，即x e >232ax ax +恒成立，a ＝0时显然成立，a ＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a ≤0. 当a ＜0时，设23()2f x ax ax =+，()x g x e = 易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为()0,x x e ，则00200032322x x e ax ax e ax a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得00312x x =-=或（舍）∴切点为()11,e --【巩固训练】跟踪练习1．(2020·江南十校联考)已知f(x)＝e x (e 为自然对数的底数)，g(x)＝lnx ＋2，直线l 是f(x)与g(x)的公切线，则直线l 的方程为_________．【解析】设l 与f(x)＝e x 的切点为(x 1，ex 1)，与g(x)＝lnx ＋2的切点为(x 2，lnx 2＋2)．因为f′(x)＝e x ，g′(x)＝1x ，所以l ：y ＝ex 1·x －x 1·ex 1＋ex 1，y ＝1x 2·x ＋lnx 2＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ex 1＝1x 2，（1－x 1）ex 1＝lnx 2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1e .∴切线方程为y ＝x ＋1或y ＝ex.2．若212y x e=与ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则a 的值为（） A ．2- B ．12C ．1D ．23．若2(0)y ax a =>与x y e =存在公切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[,)4e +∞D ．2(0,]4e4．已知函数2,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．(1,)-+∞B ．(ln 2,)-+∞C ．(2,1)--D ．(1,2)5．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．55．设函数23()2(0)2f x x ax a =->与2()ln g x a x b =+有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为____________．6. 设函数 f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中 a ∈R ，若不等式 f (x )≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为．答案：,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数，若函数()f x 有且只有1个零点，则a 的值为．答案：1解析: 遇含参问题能分离变量则分离. 函数()f x 有且只有1个零点，意即()ln g x x =与2()h x ax ax =-的图象只有一个交点，由于()ln g x x = 与2()h x ax ax =-均过点(1,0)，所以()f x 的零点为1x =. 所以()ln g x x =与2()h x ax ax =-在点(1,0)处相切，故()1(1)2x h ax a a ='=-=与11(1)1x g x =⎛⎫'== ⎪⎝⎭相等，所以1a =.8.（2019·泰州中学、宜兴中学、梁丰高中4月联考）已知函数31()4f x x x =-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．答案：2分析：函数()y f x =的图象关于坐标原点对称，故两条平行的切线的切点也关于坐标原点对称，只需求坐标原点到其中一条切线距离的最大值即可.根据几何意义，该切线应与过切点与坐标原点的直线垂直. 解析：不妨设切点为11131,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（10x >） ∵12131()4f x x '=--，而过切点与坐标原点的直线的斜率为21314x -+ ∴22113131144x x ⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得1255x =故切点为255,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∴两切点间的距离是2，即为所求.9.（2018·安徽江南十校联考·10）若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a=>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为．答案：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（） A ．1ln2-B ．2(1ln 2)-C ．1ln2+D ．2(1ln 2)+【答案】B 解析：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称．问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ，因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112t e =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而2d =，所以min ||22(1ln 2)PQ d ==-，故选择B ．2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用例1 （2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = ．解析：方法1（常规方法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++， ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++， ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．方法2（参数法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则11k x =，211k x =+，解得11x k =，211x k=-，所以1122ln 22ln ln(1)ln y x k y x k =+=-⎧⎨=+=-⎩，而112211y kx b b y kx b k b =+=+⎧⎨=+=-+⎩，故2ln 1ln 1k bk k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得2k =，1ln2b =-．例2 已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．解析：依题意有：2x e ax ->32ax ，即x e >232ax ax +恒成立，a ＝0时显然成立，a ＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a ≤0. 当a ＜0时，设23()2f x ax ax =+，()x g x e = 易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为()0,x x e，则00200032322x x e ax ax e ax a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得00312x x =-=或（舍）∴切点为()11,e --，为使()()f x g x <，只需11(1)2f a e --=-<，故2a e>-又a＜0，所以2ae-<<.综上，实数a的取值范围为2(,0]e-．,22x+⎪⎩22x=+22x=+2x==得22x=+得1＝1x，所以＝1x·∴⎩⎪⎨⎪ex1＝1x2，（1－x1）ex1＝lnx2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，x2＝1或⎩⎪⎨⎪1x2＝1e.∴切线方程为y＝x＋1或y＝ex.2．若212y xe=与lny a x=在它们的公共点(,)P s t处具有公共切线，则a的值为（）A．2- B．12C．1 D．23．若2(0)y ax a=>与xy e=存在公切线，则a的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[,)4e +∞D ．2(0,]4e4．已知函数2,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．(1,)-+∞B ．(ln 2,)-+∞C ．(2,1)--D ．(1,2)5．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．56．设函数23()2(0)2f x x ax a =->与2()ln g x a x b =+有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为____________．7. 设函数 f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中 a ∈R ，若不等式 f (x )≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为．答案：,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数，若函数()f x 有且只有1个零点，则a 的值为．答案：1解析: 遇含参问题能分离变量则分离. 函数()f x 有且只有1个零点，意即()ln g x x =与2()h x ax ax =-的图象只有一个交点，由于()ln g x x = 与2()h x ax ax =-均过点(1,0)，所以()f x 的零点为1x =. 所以()ln g x x =与2()h x ax ax =-在点(1,0)处相切，故()1(1)2x h ax a a ='=-=与11(1)1x g x =⎛⎫'== ⎪⎝⎭相等，所以1a =. 9.已知函数31()4f x x x =-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．答案：2分析：函数()y f x =的图象关于坐标原点对称，故两条平行的切线的切点也关于坐标原点对称，只需求坐标原点到其中一条切线距离的最大值即可.根据几何意义，该切线应与过切点与坐标原点的直线垂直.解析：不妨设切点为11131,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（10x >），∵12131()4f x x '=--，而过切点与坐标原点的直线的斜率为21314x -+，∴22113131144x x ⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，解之得125x =，故切点为255,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴两切点间的距离是2，即为所求.10.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a =>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为． 2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（） A ．1ln2-B ．2(1ln 2)-C ．1ln2+D ．2(1ln 2)+【答案】B 解析：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称．问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ，因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112t e =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而2d =，所以min ||22(1ln 2)PQ d ==-，故选择B ．。

江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

2019届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为________．2. 已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则实数a＝________．3. 复数z满足z i＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y＝的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．7. 已知数列{a n}满足log2a n＋1－log2a n＝1，则＝________．8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p＝________．9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ的长最小时，k＝________．12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝若存在x0＜0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．14. 在△ABC中，已知sin A sin B sin(C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝，若＋＋为定值，则实数λ＝________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a＝(sin x，1)，b＝，其中x∈(0，π)．(1) 若a∥b，求x的值；(2) 若tan x＝－2，求|a＋b|的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为y千米．(1) 将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C 的离心率为，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．19. (本小题满分16分)设A，B为函数y＝f(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝不存在“优点”，求实数a的值；(2) 求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x)＝ln x的“优点”一定落在第一象限．20. (本小题满分16分)已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，求＋＋的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5.6. 87. 48. 9. 10. (－1，＋∞)11. 212. －13. [－1，0)14.15. (1) 因为a∥b，所以sin x cos x＝，即sin 2x＝1.因为x∈(0，π)，所以x＝.(2) 因为tan x＝＝－2，所以sin x＝－2cos x.因为a＋b＝，所以|a＋b|＝＝＝.16. (1) O为BD的中点，F为PD的中点，所以PB∥FO.因为PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC与BD交于点O，O为AC的中点．因为E为PC的中点，所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.因为OE⊂平面OEF，所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－，由正弦定理，得＝＝，又OA＝2，所以PA＝，OP＝，所以y＝PA＋PB＋OP＝2PA＋OP＝＝，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>，∠OAQ＝∠OQA＝(π－)＝，所以θ∈.(2) 令f(θ)＝，θ∈，f′(θ)＝＝0，得θ＝，f(θ)在区间上单调递减，在区间(，)上单调递增，所以当θ＝，即OP＝千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2.答：当工作坑P与O的距离为千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得解得所以b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB：x＝my－2，m≠0，联立解得或即B(，)，则P(，)，所以k OP＝－，OP：y＝－x.因为AB⊥BQ，所以k BQ＝－m，所以直线BQ的方程为BQ：y＝－mx＋，联立得x0＝＝8－∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝＝＝f′恒成立，即a＝，经验证，a＝符合题意．(2) 设A(t，t2)，B(t≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x，所以A，B两点处的切线方程分别为y＝2tx－t2，y＝x－，令2tx－t2＝x－，解得x＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t，ln t)，b，t∈(0，1)，因为f′(x)＝，所以A，B两点处的切线方程分别为y＝x＋ln t－1，y＝tx－ln t－1，令x＋ln t－1＝tx－ln t－1，解得x＝>0，所以y＝·＋ln t－1＝(ln t－)，设h(m)＝ln m－，m∈(0，1)，则h′(m)＝>0，所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t－<0.因为<0，所以y＝·＋ln t－1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n＝2，得4S3－9S2＋S1＝ra1，即4(a3＋a2＋a1)－9(a2＋a1)＋a1＝ra1，化简，得4a3－5a2－4a1＝ra1.因为2a1＋a2＝a3，a2＝3a1，所以4×5a1－5×3a1－4a1＝ra1，解得r＝1.(2) 假设数列{a n}是等比数列，公比为q，则由2a1＋a2＝a3得2a1＋a1q＝a1q2，且a1≠0，解得q＝2或q＝－1，由2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1，得4S n＝2na n＋1－a n－ra1(n≥2)，所以4S n－1＝2(n－1)a n－a n－1－ra1(n≥3)，两式相减，整理得2na n＋1＋a n－1＝(2n＋3)a n，两边同除以a n－1，可得2n(q2－q)＝3q－1.因为q＝2或－1，所以q2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立，故数列{a n}不可能是等比数列．(3) r＝1时，令n＝2，整理得－4a1－5a2＋4a3＝a1，又由2a1＋a2＝a3可知a2＝3a1，a3＝5a1，令n＝3，可得6S4－11S3＋S2＝a1，解得a4＝7a1，由(2)可知4S n＝2na n＋1－a n－a1(n≥2)，所以4S n－1＝2(n－1)a n－a n－1－a1(n≥3)，两式相减，整理得2na n＋1＋a n－1＝(2n＋3)a n(n≥3)，所以2(n－1)a n＋a n－2＝(2n＋1)a n－1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n＋1－a n)－(a n－a n－1)]＝(a n－a n－1)－(a n－1－a n－2)(n≥4)．因为(a4－a3)－(a3－a2)＝0，所以(a n－a n－1)－(a n－1－a n－2)＝0(n≥4)，即a n－a n－1＝a n－1－a n－2(n≥4)，又因为a3－a2＝a2－a1＝2a1，所以数列{a n}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3，B. 由题意得曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.将直线l的参数方程代入(x＋1)2＋y2＝4得＋＝4，即4t2－4t－3＝0，解得t1＝－，t2＝，则AB＝|t1－t2|＝＝2.C. 因为3a＋2b＋c＝1，所以＋＋＝(2a＋a＋b＋b＋c)·≥(×＋×＋×)2＝(＋1＋1)2＝6＋4，当且仅当＝＝时，等号成立，所以＋＋的最小值为6＋4.22. (1) 以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C1(1，1，3)，所以＝(－1，0，3)，＝(1，1，3)，所以cos〈，〉＝＝.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以＝(1，0，－3)，＝(1，1，－3)，＝(1，1，3)，＝(0，1，0)，设平面A1BC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝1，则n1＝(3，0，1)．设平面AC1D的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝1，则n2＝(－3，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－，所以平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值为.23. (1) 当n＝2时，f2(x)＝f1(1－|2x－1|)＝f(1－|2x－1|)＝1－|2(1－|2x－1|)－1|＝1，所以2(1－|2x－1|)＝1，所以1－|2x－1|＝，所以2x－1＝±，所以x＝或x＝，所以g2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n(0)＝f n(1)＝0.因为f1(x)＝1－|2x－1|∈[0，1]，当x∈时，f1(x)单调递增，且f1(x)∈(0，1]，当x∈时，f1(x)单调递减，且f1(x)∈[0，1)．下面用数学归纳法证明：方程f n(x)＝0(x∈(0，1])、方程f n(x)＝1(x∈(0，1])、方程f n(x)＝0(x∈[0，1))、方程f n(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n(1)．(ⅰ) 当n＝1时，方程f1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n＝k时，方程f k(x)＝0(x∈(0，1])、方程f k(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k(1)，则当n＝k＋1时，有f k＋1(x)＝f k(f1(x))．当x∈时，f1(x)∈(0，1]，方程f k＋1(x)＝0的根的个数为g k(1)．当x∈时，f1(x)∈[0，1)，方程f k＋1(x)＝0的根的个数也为g k(1)．所以方程f k＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k＋1(0)＝2g k(1)，同理可证：方程f k＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k(1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n(0)＝f n(1)＝0，所以g n(0)＝g n(1)＋1.。

2019届江苏省泰州市高三第一次模拟考试数学试卷及答案

2019届江苏省泰州市高三一模考试
数学试卷
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝1 3 Sh
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为________．
2. 已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则实数a＝________．
3. 复数z满足z i＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
4. 函数y＝1－x2的定义域是________．
5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．
7. 已知数列{a
n }满足log2a n＋1－log2a n＝1，则
a
5
＋a
3
a
3
＋a
1
＝________．
8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p ＝________．
9. 如图，在直三棱柱ABCA
1B
1
C
1
中，M为棱AA
1
的中点，记三棱锥A
1
MBC的体
积为V
1，四棱锥A
1
BB
1
C
1
C的体积为V
2
，则
V
1
V
2
的值是________．。

江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试数学试题(解析版)

2019年江苏省泰州中学、宜兴中学、梁丰高中高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1.已知集合{}1,2,3A =，{2,3,4}B =，则集合A B ⋃中元素的个数为_____．【答案】4 【解析】【分析】本题首先可以通过题意得出集合A 以及集合B 所包含的元素，然后利用并集定义写出A B ⋃，即可得出结果。

【详解】因为集合{}1,2,3A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B =U .所以集合A B ⋃中元素的个数为4，故答案为4。

【点睛】本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题。

2.在复平面内，复数12iz i+=对应的点位于第_____象限．【答案】四【解析】【分析】先对复数z 进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限. 【详解】解：因为()21212i 22i 1i i iz i i ++-+====-- 所以复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平面中坐标的关系，属于基础题.3.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_____．【答案】1200【解析】【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.【详解】解：由题意知高三年级抽取了100242650--=人所以该校学生总人数为506001200100⎛⎫÷=⎪⎝⎭人故答案为：1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.4.从集合{0,1,2,3}A=中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是_____．【答案】2 3【解析】【分析】先列出一共有多少种取法，再找出其中和为奇数的取法，即可求出其概率.【详解】解：集合A中共有4个元素，任取两个不同的元素有（0,1）、（0,2）、（0,3）、（1,2）、（1,3）（2,3）共6种取法，其中两个元素之和为奇数的有（0,1）、（0,3）、（1,2）、（2,3）共4种取法，所以42 P63 ==故答案为：2 3 .【点睛】本题考查了古典概型，当取法总数较少时可以采用穷举法，属于基础题.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的2n=，1x=，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为_____．【答案】6 【解析】【分析】先代入第一次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为否，再代入第二次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断仍为否，再代入第三次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为是，得到输出值. 【详解】解：第一次输入1a =，得1s =，1k =，判断否；第二次输入2a =，得3s =，2k =，判断否；第三次输入3a =，得6s =，3k =，判断是，输出6s = 故答案为：6.【点睛】本题考查了循环结构流程图，要小心每次循环后得到的字母取值，属于基础题.6.若双曲线222142x y a a -=-3a 的值为_____．【答案】1 【解析】【分析】先由双曲线方程求出c ，再利用ce a=列方程求解. 【详解】解：因为222142x y a a -=-代表双曲线所以420a ->，且242b a =-，242c a a +-所以2c423a a e a+-===解出1a = 故答案为：1.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于基础题.7.若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________。

江苏省泰州中学等2019届高三第二学期联合调研测试数学试题(解析版)

江苏省泰州中学等2019届高三第二学期联合调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.已知集合A＝{l，2，3}，B＝{2，3，4}，则集合A B中元素的个数为_______．【答案】4【解析】【分析】先求出集合A B，数出其中元素个数即可.【详解】解：因为集合A＝{l，2，3}，B＝{2，3，4}所以A B＝{l，2，3，4}，有4个元素故答案为：4.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于第_______象限．【答案】四【解析】【分析】先对复数进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限.【详解】解：因为所以复数对应的点为，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平面中坐标的关系，属于基础题.3.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_______．【答案】1200【解析】【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.【详解】解：由题意知高三年级抽取了人所以该校学生总人数为人故答案为：1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.4.从集合A＝{0，1，2，3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是_______．【答案】【解析】【分析】先列出一共有多少种取法，再找出其中和为奇数的取法，即可求出其概率.【详解】解：集合A中共有4个元素，任取两个不同的元素有（0,1）、（0,2）、（0,3）、（1,2）、（1,3）（2,3）共6种取法，其中两个元素之和为奇数的有（0,1）、（0,3）、（1,2）、（2,3）共4种取法，所以故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型，当取法总数较少时可以采用穷举法，属于基础题.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的n＝2，x ＝1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为_______．【答案】6【解析】【分析】先代入第一次输入的，计算出对应的，判断为否，再代入第二次输入的，计算出对应的，判断仍为否，再代入第三次输入的，计算出对应的，判断为是，得到输出值.【详解】解：第一次输入，得，，判断否；第二次输入，得，，判断否；第三次输入，得，，判断是，输出故答案为：6.【点睛】本题考查了循环结构流程图，要小心每次循环后得到的字母取值，属于基础题.6.若双曲线的离心率为，则实数a的值为_______．【答案】1【解析】【分析】先由双曲线方程求出，再利用列方程求解.【详解】解：因为代表双曲线所以，且，所以解出故答案为：1.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于基础题.7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，则A∩B=________．【答案】(0,1)【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1).2. 已知复数z=3+4i5i，其中i是虚数单位，则|z|=________．【答案】1【考点】复数的模【解析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=3+4i5i，∴|z|=|3+4i5i |=|3+4i||5i|=55=1．故答案为：1.3. 已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．【解答】解：双曲线C的方程为x24−y2=1，可得a=2，b=1，则c=√a2+b2=√5，所以双曲线的离心率为e=ca =√52．故答案为：√52.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．【答案】8【考点】伪代码【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下，T=1，i=2，满足T<6；T=2，i=4，满足T<6；T=4，i=6，满足T<6；T=8，i=8，不满足T<6，输出i=8．故答案为：8.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________．【答案】55【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4:4:3可得．【解答】解：依题意得抽取的样本容量为：1534+4+3=55.故答案为：55.6. 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．【答案】13【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率．【解答】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有： (2, 4)，(3, 4)，共2个，∴ 取出的两个球的编号之积大于6的概率为P =26=13．故答案为：13.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=2a 2，则S12S 8=________．【答案】 73【考点】等比数列的前n 项和【解析】设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 6a 2=q 4＝2，所以S12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1+q 4+q 81+q 4，将q 4＝2代入即可．【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，设其公比为q ．所以a6a 2=q 4=2，所以q ≠1，所以S 12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1−(q 4)31−(q 4)2=1−81−4=73．故答案为：73.8. 函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，则ω的最小值为________．【答案】 23【考点】余弦函数的对称性根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，∴π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k+83，∵ω>0，∴当k=−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.9. 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为________．【答案】11【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+1a+4b，∵1a +4b=(1a+4b)(a+b)=1+4+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba =4ab时，即a=13，b=23时取等号，故2a2+1a +2b2+4b≥2+9=11.故答案为：11.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0, +∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2+ 2)的解集为________．【答案】(−2, −1)∪(1, 2)【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f(3x)>f(x2+2)⇒f(|3x|)>f(x2+2)⇒|3x|>x2+2，由绝对值的定义可得{3x>x 2+2x≥0或{−3x>x2+2x<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且其定义域为R ，且在[0, +∞)上为增函数，则f(3x)>f(x 2+2)⇒f(|3x|)>f(x 2+2)⇒|3x|>x 2+2，则有{3x >x 2+2x ≥0 或{−3x >x 2+2x <0，解得：−2<x <−1或1<x <2，即不等式的解集为(−2, −1)∪(1, 2). 故答案为：(−2, −1)∪(1, 2).11. 过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为________．【答案】12【考点】圆的切线方程【解析】由题意画出图形，可得切线最小时的P 点，进一步求得PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90∘，则答案可求．【解答】解：根据题意，如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O 作直线y =x −2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|=√2， ∴ A ，B 为圆C:x 2+y 2=1与两坐标轴的交点，则PA =PB =1，∠APB =90∘， ∴ △PAB 的面积为12×1×1=12．故答案为：12.12. 已知点P 在曲线C:y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________．【答案】 1【考点】直线与抛物线结合的最值问题简单复合函数的导数平面向量数量积的运算【解析】设P(m, m 22)，求出直线PQ 的方程，根据根与系数的关系和OP →⋅OQ →=0列方程计算m 的值即可得出答案．【解答】解：由y =x 22可得y′=x ，设P(m, m 22)，则切线l 的斜率为m ，故直线PQ 的方程为：y −m 22=−1m (x −m)联立方程组{y −m 22=−1m (x −m)y =x 22 ，消去y 可得：x 2+2m x −m 2−2=0，设Q(n, n 22)，则mn =−m 2−2，∵ OP ⊥OQ ， ∴ OP →⋅OQ →=0，即mn +m 2n 24=0，∴ mn =0（舍）或mn =−4， ∴ −m 2−2=−4，即m 2=2． ∴ P 点纵坐标为m 22=1．故答案为：1.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB =90∘，AB =2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →⋅AQ →=83，则AQ →⋅CP →的最小值为________．【答案】−2√53【考点】两角和与差的余弦公式三角函数的最值数量积的坐标表达式平面向量的坐标运算【解析】以O 为原点建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，以及直线BC 的方程，设出Q 的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q 的坐标，再设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值．【解答】解：如图，以O 为原点建立直角坐标系，可得A(−1, 0)，B(1, 0)，C(−1, −2)，即有直线BC 的方程为y =x −1，可设Q(m, m −1)，∵ AB →⋅AQ →=83，即(2, 0)⋅(m +1, m −1)=2(m +1)=83，解得m =13，即Q(13, −23)，设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，可得AQ →⋅CP →=(43, −23)⋅(cosα+1, sinα+2)=43cosα+43−23sinα−43=23(2cosα−sinα)=2√53cos(α+θ)，θ∈(0, π2)，当cos(α+θ)=−1即α+θ=π时，可得AQ →⋅CP →的最小值为−2√53．故答案为：−2√53.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，则实数a 的取值范围为________．【答案】(−2e, 0] 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】将函数f(x)＝e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方转化为e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，然后分a >0，a ＝0，a <0分别求解．【解答】解：∵ 函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，∴ e x −ax 2−32ax >0对一切实数x 恒成立，即e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，设g(x)=e x ，ℎ(x)=ax 2+32ax ，则①当a >0时，ℎ(x)开口向上，根据ℎ(x)和g(x)的图象易知，当a >0时g(x)>ℎ(x)不恒成立，②当a =0时，g(0)=1>ℎ(0)=0，因此g(x)>ℎ(x)恒成立③当a <0时，e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，即1a <x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，令F(x)=x 2+32xex ，则F ′(x)=−2x 2+x+32e x =−(2x−3)(x+1)2e x，令F(x)=0，则x =−1或x =32， ∴ 当x <−1或x >32时，F ′(x)<0，当−1<x <32时，F ′(x)>0，∴ F(x)在(−∞, −1)和(32, +∞)上单调递减，在(−1, 32)上单调递增，又当x >0时，F(x)>0， ∴ F(x)min =F(−1)=−e2， ∴ 要使1a<x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，只需1a <F(x)min =−e2，∴ a >−2e ，又a <0，∴ −2e <a <0，综上，a 的取值范围为(−2e , 0]．故答案为：(−2e , 0].二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱锥P −ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．(1)求证：EF // 平面ABC；(2)求证：CE⊥AB．【答案】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF // CD，由此能证明EF // 平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．【解答】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3ac =2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cosC的值．【答案】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)＝1，结合范围A∈(0, π)，可得A+π6=π2，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin(B+π6)的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值．【解答】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V=13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米．(2)由V=13πr2ℎ=36π可得r2=108ℎ，故圆锥的母线l=√r2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2，∴容器的侧面积S=πrl=π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号，∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可；（2）用高ℎ表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的ℎ的值即可．【解答】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V =13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴ 圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴ 圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米． (2)由V =13πr 2ℎ=36π可得r 2=108ℎ，故圆锥的母线l =2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2， ∴ 容器的侧面积S =πrl =π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵ 108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号， ∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3)如果A 1H →=λA 1P →，试求λ的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4，可得a =2，a 2c =4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)，又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)，则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)，则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ，联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)，联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．【考点】椭圆的准线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程平面向量的坐标运算直线的斜率【解析】（1）由题意可得a ＝2，a 2c=4，故c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3，可得椭圆方程，（2）设直线A 1D:y ＝k(x +2)，再设直线A 2D:y ＝3k(x −2)，求出点G 的坐标，根据HG ⊥A 1D ，可求出k 的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H ，P 的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出．【解答】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4，可得a =2，a 2c=4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)，又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)，则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)，则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ，联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)，联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．已知函数f(x)=x 2+(2−a)x −alnx ，其中a ∈R ．(1)如果曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3)对任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值；当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ．当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意；当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]，由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2 ， ∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a 2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对f(x)求导后，由导数的几何意义可得f ′(1)＝2(2−a)＝1，从而求出a 的值；（2）根据函数f(x)的极小值不超过a2，对a 分类讨论，将问题转化为解关于a 的不等式，从而求出a 的最小值；（3）设f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，根据任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，知A ⊆B ，然后分情况求解可得a 的范围．【解答】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值；当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ．当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意；当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]，由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2，∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ∗，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立． (1)如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2)已知λ=1．①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n }中，a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1=1a 1，b 2=1a 2，b 3=1a i(i ∈N ∗)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【答案】(1)解：∵ n ≥3，且n ∈N ∗时，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立，则n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2λa 1a 3，∵ 数列{a n }各项都不为0，同除a 1a 2a 3，得：2λa 2=1a 1+1a 3，又∵ 1a 1,1a 2,1a 3成等差数列，则2a 2=1a 1+1a 3，联立得2λa 2=2a 2，∴ λ=1．(2)证明：①当λ=1，n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2a 1a 3，① 整理，得：1a 1+1a 3=2a 2，∴ 1a 2−1a 1=1a 3−1a 2，②当n =4时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4=3a 1a 4，③③-①，得：a 3a 4=3a 1a 4−2a 1a 3，∴ 1a 1=3a 3−2a 4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列【解析】（1）n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n＝λ(n−1)a1a n恒成立，n＝3时，a1a2+a2a3＝2λa1a3，同除a1a2a3，得2λa2=1a1+1a3，由1a1⋅1a2⋅1a3成等差数列，得2a2=1 a1+1a3，由此能求出λ的值．（2）①当λ＝1，n＝3时，1a1+1a3=2a2，从而1a2−1a1=1a3−1a2，当n＝4时，1a1=3a3−2 a4，从而1a4−1a3=1a3−1a2，当n≥3时，推导出1a1=na n−n−1a n+1，由此能证明数列{1an}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c+d，d＝c2−c1＝b2−b1＝cq−c，推导出cq＝c+d，b3＝c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd＝b3+x(cq−c)＝cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1＝q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1an}中的项．【解答】(1)解：∵n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=λ(n−1)a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：2λa2=1a1+1a3，又∵1a1,1a2,1a3成等差数列，则2a2=1a1+1a3，联立得2λa2=2a2，∴λ=1．(2)证明：①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：1a1+1a3=2a2，∴1a2−1a1=1a3−1a2，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4−2a1a3，∴1a1=3a3−2a4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题0分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[210a ]，其逆矩阵A −1=[b c01]，求A 2．【答案】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．【考点】逆变换与逆矩阵【解析】本题先根据公式AA −1＝E 可将具体矩阵进行代入计算得到a 、b 、c 的值，即可得到矩阵A ，则A 2即可求出．【解答】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2, 0)，(2√3, π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】解：由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y =√3(x −2)，曲线C ：(x −2)2+(y +√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r =2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．【考点】圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y=√3(x−2)，曲线C：(x−2)2+(y+√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r=2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．[选修4-5：不等式选讲]已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】不等式两边同乘(2a+2b+2c)，利用柯西不等式证明．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【必做题】第22，23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=22=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x −1, 2y)，把A(2x −1, 2y)代入y 2=4x可得：4y 2=8x −4，即y 2=2x −1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−4， ①若A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1>0，y 2<0，则S △AOB =12⋅OF ⋅(y 1−y 2)，S △BOF =12⋅OF ⋅(−y 2)， ∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 1−y 2=−3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4，∴ y 1=2√2，y 2=−√2．故x 1=2，x 2=12，把A(2, 2√2)代入x =my +1可得m =2√2=√24， ∴ 直线l 的方程为x −√24y −1=0，即4x −√2y −4=0．②若A 在第四象限，B 在第一象限，则y 1<0，y 2>0， S △AOB =12⋅OF ⋅(y 2−y 1)，S △BOF =12⋅OF ⋅y 2，∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 2−y 1=3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4， ∴ y 1=−2√2，y 2=√2．故x 1=2，x 2=12，把A(2, −2√2)代入x =my +1可得m =2√2=−√24， ∴ 直线l 的方程为x +√24y −1=0，即4x +√2y −4=0．综上，直线l 的方程为：4x −√2y −4=0或4x +√2y −4=0．已知数列{a n }，a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立．(1)求证：a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1(n ∈N ∗)；(2)求证：a n+1>n n +1(n ∈N ∗)．【答案】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1，则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ，则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f ′(x)=lnx 2+1x+1+1>lnx 2−1x+1+1=ln(x −1)+1≥ln2+1>0，∴ f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln 2716>0，则2klnk >(k +1)ln(k +1)，∴ lnk 2k >ln(k +1)k+1，即k 2k >(k +1)k+1， ∴ a k+1a k a k−1...a 2a 1>(k +1)k+1，则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， ∴ a n+1>n n +1. 【考点】数列递推式对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：a n+1>n n +1，由（1）a n+1＝a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，可用数学归纳法证明．【解答】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1，则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ，则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f′(x)=ln x2+1x+1+1>ln x2−1x+1+1=ln(x−1)+1≥ln2+1>0，∴f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln2716>0，则2klnk>(k+1)ln(k+1)，∴lnk2k>ln(k+1)k+1，即k2k>(k+1)k+1，∴a k+1a k a k−1...a2a1>(k+1)k+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a2a1>n n，∴a n+1>n n+1.。