(2020届)专题4：平面向量

暑假作业四：《平面向量、框图、合情推理》

一、重要的知识点和公式归纳： 班级 姓名

（一）、基本概念：

1、向量：既有 大小 又有 方向 的量叫向量．

2、单位向量：长度为 1 的向量。 与非零向量a

共线的单位向量是：|

|a ±

3. 平行向量(也叫共线向量）：若非零向量,a b

方向 相同或相反 ，则//a b ；

规定： 零向量 与任一向量平行。

4、向量相等：b a =⇔ 模相等且方向相同 ；相反向量：b a

-=⇔模相等且方向相反

5、两个非零向量a 、的夹角：做=a ；=b ；则AOB ∠叫做a 与b

的夹角。（强

调：共起点）

6、坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=a

j y i x +，则 ),(y x

叫做a 的坐标。

7.向量a 在方向上的投影：设θ为a 、的夹角，则θcos ||为a 在方向上的投影

（三）、基本定理、公式：

1、向量的模：a

＝

2、非零向量a 与b

的夹角：θcos

|

|||b a ⋅ =

3、向量平行和垂直的充要条件：a ∥b

b a λ= 1221y x y x = ；

a ⊥b

0=⋅b a 02211=+y x y x

4、平面向量基本定理：若1e 与2e 不共线，则对平面内的任意一个向量a

，有且只有一对

实数1λ、2λ；使得=

a

2211e e λλ+。

三点共线定理：C B A 、、三点共线1,=++=⇔y x y x 且

（四）、重要结论：1.ABC ∆中，D 为BC 边的中点，则)(2

1

+=

2.

二、典例讲解

题型一：考查向量平行和共线的充要条件

1．已知向量)5,6(),6,5(=-=，则与（ ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向

D ．平行且反向

2.已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-

，且a //b ，则23a b + ＝（ ） A 、(5,10)-- B 、(4,8)-- C 、(3,6)-- D 、(2,4)--

3.已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a

垂直，则λ是（ ）

A. －1

B. 1

C. －2

D. 2

4．若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝

题型二：考查平面向量的运算：（1）平面向量的几何运算

5．化简AC - BD + CD -

AB 得（ ）

A ．A

B B ．

C ．

D ．0

练1：设D 为ABC ∆所在平面内一点，,3CD BC =则（ ）

A ．3431+-=

B ．34

31-=

B ．A

C AB A

D 3134+= D ．AC AB AD 3

1

34-=

（2）数量积运算

6. 设向量),2,1(),1,1(-=-=则=⋅+)2(

练2：设向量,0)(),2,3(),,1(=⋅+-==m 则=m

7．在ΔABC 中,

60,43=∠==BAC ,则=⋅

8.在边长为2的正方形ABCD 中，F E ,分别是DC BC ,的中点，则=⋅

练3：在ABC ∆中，CD BAC AC AB ,30,30

=∠==是边AB 上的高，则=⋅CB CD

.

,0,

的重心为则若中ABC O ABC ∆=++∆

（3）：向量的模、夹角、投影的运算

9. a ，b 的夹角为120︒，1a = ，3b = 则5a b -=

．

练4.：已知向量a ,b 夹角为60°

，且|b |=1，|b －2a |=1，则|a|=

10．非零向量1),2,0(,1||,=⋅==满足，则b a ,的夹角为 .

11．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB

在CD 方向上的投影为

练5．已知e 为单位向量，||=4，e a 与的夹角为π3

2，则e a 在方向上的投影为

题型四：程序框图、推理

12.阅读下左边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为

（第14题） （第15题） （第16题）

13.（2016全国10）执行如上中间的程序框图,如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（ ）

（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =

14.某程序框图如上右图，若输出的S=57，则判断框内填（ ） （A ） k ＞4? （B ）k ＞5? （C ） k ＞6? （D ）k ＞7?

15. 已知数列{}n a

满足)*110,n a a n N +==∈，猜想20a =____________;

16.（2016山东）观察下列等式：22π2π4

(sin )

(sin )12333

--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4

(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；

2222π2π3π6π4(s i n )(s i n )(s i n )(s i n )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；

2222π2π3π8π4(s i n )(s i n )(s i n )(s i n )45

99993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；…… 照此规律，2222

π2π3π2π(sin )(sin )(sin )(sin )21212121

n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．

三、过关训练

1.（2011全国13）.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a b +

与向量

ka b -

垂直,则k = .

2.（2012全国15). 已知向量a ,b 夹角为45°

，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=

3.（2013全国15）已知两个单位向量a ,b 的夹角为60 ,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,

则t =_____.

4.（2014全国6）.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+（ ） A.AD B. AD 21 C. BC 2

1

D. BC

5.（2015全国2）、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--

，则向量BC = ( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)

6.（2016全国13）设向量a =(x ,x +1), b =(1,2),且a

⊥b ，则x = .

7.(2017全国13）已知向量),1,(),2,1(m b a =-=若向量b a +与b

垂直，则m =

8.（2015全国9）、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）

（A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12

9.（2016全国2）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.