第3章3.3-3.3.3简单的线性规划问题

第3章 不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.3 简单的线性规划问题A 级 基础巩固一、选择题1．目标函数z ＝3x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线在y 轴上的截距C ．该直线在y 轴上的截距的相反数D ．该直线在x 轴上的横截距解析：把目标函数变形为y ＝3x －z ，由此可见，z 是该直线在y 轴上的截距的相反数． 答案：C2．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x≥1，x ＋y≤3，y≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y 轴上的截距，当z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，代入y ＝a (x －3)得a ＝12.答案：B3．平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：作出可行域，由图象可知当点M 位于点A 时，OM 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 即A (3，－1)，此时OM 的斜率为－13＝－13.答案：C4．(2014·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( ) A ．7 B ．8 C ．10 D ．11解析：画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4，2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C.答案：C5．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( )A ．10个B ．9个C ．3个D ．无数个解析：选择单位长度，找整数点．答案：A二、填空题6．图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y≤5，2x ＋y≤6，x≥0，y≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：目标函数可化为y ＝－34x ＋z 8，因为－34>－1，所以当过点(0，5)时，目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值．答案：(0，5)7．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为A (4，4)，这时12＝4k ＋4，k ＝2.答案：28．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，则z ＝x －y 的取值范围为________．解析：画出可行域，如图中的阴影部分所示．由图知，－z 是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距，当直线y ＝x －z 经过点A (2，0)时，－z 取最小值，此时x ＝2，y ＝0，则z 的最大值是x －y ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 经过点B (0，1)时，－z 取最大值，此时x ＝0，y ＝1，则z 的最小值是x－y ＝0－1＝－1，所以z ＝x －y 的取值范围为－1≤z ≤2.答案：[－1，2]三、解答题9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元？解：设购买重量为每袋35千克的x 袋，重量为每袋24千克的y 袋，则所要花费的金额z ＝140x ＋120y ，依题意，可得关于x 、y 的约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y≥106，x ∈N ，y ∈N ，如图所示，当直线经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫10635，0时，目标函数z 的值最小， 又x ，y ∈N ，寻找可行域上靠近边界的几个点．令x ＝0，知y ≥5，当x ＝1，知y ≥3，当x ＝2，知y ≥2，当x ＝3，知y ≥1，当x ＝4，知y ≥0，将靠近边界的几个点(0，5)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)分别代入目标函数，可知直线z ＝140x ＋120y 过点(1，3)时，目标函数z 有最小值500元．10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个．两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？解：设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳(3x ＋6y )个，B 种产品外壳(5x ＋6y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x ∈N ，y ∈N ，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .可行域是如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A ，B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．B 级 能力提升一、选择题11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y≥0，x －y≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：如下图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x －y≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2，2)．因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1，1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.答案：A12．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：如图所示，当直线x ＝m 经过y ＝2x 与x ＋y －3＝0的交点时，函数y＝2x的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0得x ＝1，所以m ≤1.答案：B13．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y≤800，x≥1，y≥1，x ，y ∈N*求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)． 答案：B二、填空题14．已知⎩⎨⎧x≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0画出可行域，得交点A (1，2)，B (3，4)，如图所示，根据x2＋y2表示可行域一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2＝5.答案：515．给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出可行域，其中z ＝x ＋y 取最小值的整点为(0，1)，取得最大值时的整点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共5个．故可确定的直线有5＋1＝6(条)．答案：6 三、解答题16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润．解：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x 亩和y 亩，则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x ，y ＞0.目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y ，作出可行域如图所示．由图知，z ＝x ＋0.9y 经过点A 时，z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x·0.9y ＝54⇒A (30，20)，所以种植30亩黄瓜和20亩韭菜时，总利润最大，最大利润为48万元．。