上交计算机视觉课件13
合集下载
中国科学院大学模式识别国家重点实验室计算机视觉课件
图像分割的难点
• 图像分割是中层视觉中的最基本问题，也是计算视觉和图像 理解中的最基本问题之一。它还是该领域国际学术界公认的 将会长期存在的最困难的问题之一。
• 图像分割之所以困难的一个重要原因是其并不完全属于图象 特征提取问题，它还涉及到各种图像特征的知觉组织。
阈值法
阈值法基本原理：通过设定不同的特征阈值，把图像像素点分 为若干类．常用的特征包括：灰度、彩色特征、由原始灰度或 彩色值变换得到的特征。
阈值法—Otsu法
最大类间方差法是由日本学者大津于1979年提出的，是一种自 适应的阈值确定的方法，又叫大津法，简称Otsu法。 Otsu法按图像的灰度特性将图像分成背景和目标两部分，背景 和目标之间的类间方差越大，说明构成图像的两部分的差别越 大。当部分目标错分为背景或部分背景错分为目标都会导致两 部分差别变小。 因此，使类间方差最大的分割意味着错分概率最小。
计算机视觉—图像分割
申抒含 中国科学院自动化研究所 模式识别国家重点实验室
计算机视觉课程结构图
图像 2.特征检测 3.特征匹配
4.图像分割 6.运动估计 7.目标跟踪
5.图像配准
8-11.三维重建
12.识别 13.人脑工程
什么是图像分割
图像分割就是指把图像分成互不重叠的区域并提取出感兴趣目 标的技术和过程。
对于直方图中波峰不明显或者波谷平坦宽阔的图像无法使用。
阈值法—迭代法
基本流程： 1. K=0，初始阈值选取为图像的平均灰度TK ； 2. 用TK将图像的象素点分作两部分，计算两部分各自的平均 灰度，小于TK的部分为TA，大于TK的部分为TB； 3. 计算TK＋1 =(TA + TB) /2，将TK＋1作为新的全局阈值代替TK； 4. K=K+1; 5. 重复过程2-5，如此迭代，直至TK 收敛，即TK＋1 ＝TK。
ComputerVision计算机视觉英文实用PPT课件
• There are two ultimate goal that computer vision will realize, they can be simply described as follow:
• one is to realize the understanding of the world,in other words, it can realiz e some f un ctions of the human visual system;
第6页/共23页
Advances in computer vision research
• After nearly 50 years, research in computer vision has made considerable achievements. This makes the field to become the most active part of the AI research in the past 40 years.
• 3 T h e third purpose is to c a l c u l a t e t h e p h y s i c a l characteristics from the observation point to the object according to one or more 2D images;
• In the work of Roberts, the relationship between 3D objects and 2D imaging is introduced, and some simple methods of feature extraction are introduced.
• one is to realize the understanding of the world,in other words, it can realiz e some f un ctions of the human visual system;
第6页/共23页
Advances in computer vision research
• After nearly 50 years, research in computer vision has made considerable achievements. This makes the field to become the most active part of the AI research in the past 40 years.
• 3 T h e third purpose is to c a l c u l a t e t h e p h y s i c a l characteristics from the observation point to the object according to one or more 2D images;
• In the work of Roberts, the relationship between 3D objects and 2D imaging is introduced, and some simple methods of feature extraction are introduced.
Class13 computer vision 计算机视觉
S1
A A1
15
Frontal Plane Projection
S1
A-1
A1
16
General Planar Projection
H1
H2
H
17
Summary: Planar Projection
Pixel coords Internal params Perspective projection v y x Homography u
Translation is 0 This is important!
37
Special Case : Rotating Camera
Internal params Projection Relative R,T
38
Relations among Images Taken by Rotating Camera
8
Frontal Plane
So the homography for a frontal plane simplifies:
Similarity Transformation!
9
Convert to Pixel Coords
Internal camera a11 a12 a13 parameters a21 a22 a23 v pixels
11
Planar Projection Diagram
Here’s where transformation groups get useful!
12
General Planar Projection
H1
H A1
13
General Planar Projection
H1
《计算机视觉》PPT课件
实例：雷达测距系统
computer vision
3
7.1 立体视觉基础
被动测距方法
双目视觉系统：使用两个相隔一定距离的 摄像机同时获取场景图像来生成深度图。
单目运动视觉：一个摄像机在不同空间位 置上获取两幅或两幅以上图像，通过多幅 图像的灰度信息和成像几何来生成深度图
特征深度测量：使用灰度图象的明暗特征、 纹理特征、运动特征间接的估算深度信息。
14
7.2 立体成像
依据双目立体视觉几何关系的深度计算
结合以下公式：
x
x
l
zF
x B x r zF
可以得到： z B F x l x r
其中F是焦距，B是基线距离， xl 是xr 视差。
各种场景中的点的深度就可以通过计算视差来实 现。视差一般是整数。
对于一组给定的摄像机参数，提高场景点深度计
即使两个摄像机处于一般的位置和方向时， 对应场景点的两个图像点仍然位于图像平 面和外极平面的交线（外极线）上。
computer vision
20
7.3 立体成像
从原理上讲根据“立体图象对”抽取深度信息的 处理应包括以下四部分：
在图象中寻找在两幅图象中都便于区分的特征或 用于匹配的基元（primitive）。
立体匹配的匹配规则约束
立体匹配：立体成像的深度信息测量的一个重要 步骤就是寻找立体成像对中的共轭对，即求解对 应问题。
问题：实际中求解对应问题是非常困难的，一是 计算量大，二是匹配的准确度要求高。
解决：为了求解对应，建立了许多约束来减少对 应点误匹配，并最终得到正确的匹配特征点的对 应。
computer vision
computer vision
4
上交计算机视觉课件运动理解
A 3D vector can be expressed as a quaternion with scalar part being zero:
p xi yj zk r 0 xi yj zk 0 p
p Rp
Pure rotation in 3D:
3-D Motion
Rigid object motion
Articulated object motion
Non-rigid object motion
3D rigid motion understanding
Use 3D Features
Use 2D Features
Points
Lines
Monocular Images
Let 3D motion from of time t1 to p of t2 (1) p = R p + T
Where
p
r11 R r21 r 31
r12 r22 r32
r13 r23 ; r33 ,
T Tx
Ty
Tz
Tx T Ty be translation vector. T z
Then, from time t1 to t2 :
p Rp T
r11 R r21 r 31
r12 r22 r32
r13 (1) (2) ( 3) r23 r | r | r r33
R = [ E( 1 ) T + E( 2 ) E( 3 ) | E( 2 ) T + E( 3 ) E( 1 ) | E( 3 ) T + E( 1 ) E( 2 )]
《计算机视觉》课件
特征提取方法
学习常用的特征提取方法， 如边缘检测、角点检测和 纹理描述子等。
分类器的选择与训练
了解不同的分类器及其应 用，学会使用机器学习算 法对图像进行分类。
第三部分：视觉任务
图像分类
学习图像分类的基本概念、传 统方法和深度学习方法，以及 其在各个应用领域中的应用。
对象检测
掌握对象检测的基本概念、传 统方法和深度学习方法，了解 对象检测在不同领域的应用。
《计算机视觉》PPT课件
计算机视觉是研究如何使机器“看”的技术。本课程将帮助您全面了解计算机 视觉的定义、应用领域以及其历史和发展。
第一部分：简介
什么是计算机视觉？计算机视觉的应用领域及其历史和发展。
第二部分：基础知识
图像处理基础
掌握图像处理的基本概念 和常用技术，包括滤波、 增强、几何变换等。
3
计算机视觉技术的发展趋势
分析计算机视觉技术的发展趋势，包括硬件设备的进步、深度学习的发展和数据 集的丰富等。
结束语
总结课程内容并鼓励学生主动探索计算机视觉领域的未来发展方向，以提升技术水平和应用能力。
语义分割
了解语义分割的基本概念、传 统方法和深度学习方法，探索 语义分割在各个应用领域中的 意义。
第四部分：计算机视觉技术的未来
1
计算机视觉技术的未来发展方向
展望计算机视觉技术的未来发展趋势，如智能交通、医疗诊断和智能安防等领域。
2
可能的应用பைடு நூலகம்域与场景
探讨计算机视觉技术在各个行业中的可能应用，如无人驾驶、人脸识别和机器人 导航等。
计算机视觉ppt课件
19
(2) 路径
和 路48路路[径i径径0 :,从::像 像互j像0 素素为]素与与邻[,i其其点1,近近j1 邻邻][到i像像 0像,,素 素素j,是是0[]i48n 连连,通通jn 关关]的系系一[[个iikn像,, jj素kn]序] 列：[ik1, jk1]
，
(3)前景
图像中值为1的全部像素的集合，用S表示．
5，5，1，5，4
18
3.5 二值图像算法 3.5.1 定义 （1）近邻：
4邻点(4-neighbors):有公共边关系的两个像素． 8邻点(8-neighbors):两个像素至少共享一个顶角 4连通(4-connected):一个像素与其4邻点的关系 8连通(4-connected):一个像素与其8邻点的关系
第 3章
二值图象分析 Binary Image Analysis
1
3.1 二值图象
二值图像例
2
(2) 二值图象的特点 a. 二值图像只有两个灰度级，其中物体像素值为1，背景像素值为0； b. 图象中许多的特征如边缘、轮廓可以用二值图像表示； c.二值图像处理的算法简单，所需的内存小，计算速度快； d.二值视觉系统技术可用于灰度图像视觉系统 。
3
(3)二值图象的获取 a. 硬件实现
敏感元二值输出或逻辑输出。敏感元模拟值 输出，通过硬件电路二值 化。 b. 软件实现
灰度图象可以通过阈值（threshold）分割进行二值化处理。
4
(4)灰度图象的二值化
图象二值化 设一幅灰度图像中物体的灰度分布在某一区间内，经过阈值运算后的图
像为二值图像。
7
(1) 尺寸和位置 一幅二值图像区域的面积（或零阶矩）由下式给出：
8
物体的中心位置：
(2) 路径
和 路48路路[径i径径0 :,从::像 像互j像0 素素为]素与与邻[,i其其点1,近近j1 邻邻][到i像像 0像,,素 素素j,是是0[]i48n 连连,通通jn 关关]的系系一[[个iikn像,, jj素kn]序] 列：[ik1, jk1]
，
(3)前景
图像中值为1的全部像素的集合，用S表示．
5，5，1，5，4
18
3.5 二值图像算法 3.5.1 定义 （1）近邻：
4邻点(4-neighbors):有公共边关系的两个像素． 8邻点(8-neighbors):两个像素至少共享一个顶角 4连通(4-connected):一个像素与其4邻点的关系 8连通(4-connected):一个像素与其8邻点的关系
第 3章
二值图象分析 Binary Image Analysis
1
3.1 二值图象
二值图像例
2
(2) 二值图象的特点 a. 二值图像只有两个灰度级，其中物体像素值为1，背景像素值为0； b. 图象中许多的特征如边缘、轮廓可以用二值图像表示； c.二值图像处理的算法简单，所需的内存小，计算速度快； d.二值视觉系统技术可用于灰度图像视觉系统 。
3
(3)二值图象的获取 a. 硬件实现
敏感元二值输出或逻辑输出。敏感元模拟值 输出，通过硬件电路二值 化。 b. 软件实现
灰度图象可以通过阈值（threshold）分割进行二值化处理。
4
(4)灰度图象的二值化
图象二值化 设一幅灰度图像中物体的灰度分布在某一区间内，经过阈值运算后的图
像为二值图像。
7
(1) 尺寸和位置 一幅二值图像区域的面积（或零阶矩）由下式给出：
8
物体的中心位置：
计算机视觉课件精品文档
(7) Perimeter
Def.1: The total length of lines that separate pixels
of S from S .
Def.2: The number of boundary pixels.
(8) Compactness
P2
c
A
Where P— perimeter, A— area. The smallest value of
Horizontal projection:
H[i]B[i, j]
j
Vertical projection:
V[j]B[i, j]
j
For a well alined text binary image, the projection has comb shape, image can be easily partitioned.
b. 8-neighbors: the 4-neighbors pixels plus the diagonal neighbors.
[i-1,j]
[i-1,j-1] [i-1,j] [i-1,j+1]
[i,j-1] [i,j] [i,j+1]
[i,j-1]
[i,j]
[i,j+1]
[i+1,j]
[i+1,j-1] [i-1,j] [i+1,j+1]
(3) Boundary-following:
Track boundary pixels of a region in a particular order (chain sequence)
Algorithm:
a) Use systematic scan (from left to right, and from top
计算机视觉课件课件1210v14
W代表权值的总数，Pi代表第i层的感知器数量： 当网络层数不多的时候，随着感知器单元数量的增加，权值数目是平方增加的趋势
、
4.3 前向传播与反向传播算法
随着神经网络的崛起而名声大噪的方法
前向传播算法
假设上一层结点i, j, k,…与本层的结点w有连接，结点w的计算方法就是通过上一层的i, j, k等结点以及对应的连接权值进行加权和运算， 最终结果再加上一个偏置项（图中为了简单省略了），最后通过一个非线性函数（即激活函数），如ReLU，sigmoid等函数，得到的 结果就是本层结点w的输出。最终通过逐层运算的方式，得到输出层结果。
正向传播后： 反向传播：
链式推导：
最终结果：
更新权值：
、
4.4 卷积神经网络概述
计算机视觉核心网络。
卷积神经网络概述
卷积神经网络是一种前馈神经网络，它的人工神经元可以响应一部分覆盖范围内的周围单元，对于大型图像处理有出色表现。 卷积神经网络由一个或多个卷积层和顶端的全连通层（对应经典的神经网络）组成，同时也包括关联权重和池化层。这一结构使得卷 积神经网络能够利用输入数据的二维结构,其中最早比较有名的卷积神经网络为LeNet-5。与其他深度学习结构相比，卷积神经网络在 图像和语音识别方面能够给出更好的结果。这一模型也可以使用反向传播算法进行训练。相比较其他深度、前馈神经网络，卷积神经 网络需要考量的参数更少，使之成为一种颇具吸引力的深度学习结构。
卷积神经网络架构回顾
输入层 -> [[卷积层 -> 线性整流层]*N -> 池化层?]*M -> [全连接层 -> 线性整流层]*K -> 全连接层 堆叠几个卷积和整流层，再加一个池化层，然后再用全连接层控制输出。 上述表达式中，问号符号代表0次或1次，符号N和M则代表具体的数值。通常情况下，取N >= 0 && N <= 3,M >= 0,K >= 0 && K < 3。
、
4.3 前向传播与反向传播算法
随着神经网络的崛起而名声大噪的方法
前向传播算法
假设上一层结点i, j, k,…与本层的结点w有连接，结点w的计算方法就是通过上一层的i, j, k等结点以及对应的连接权值进行加权和运算， 最终结果再加上一个偏置项（图中为了简单省略了），最后通过一个非线性函数（即激活函数），如ReLU，sigmoid等函数，得到的 结果就是本层结点w的输出。最终通过逐层运算的方式，得到输出层结果。
正向传播后： 反向传播：
链式推导：
最终结果：
更新权值：
、
4.4 卷积神经网络概述
计算机视觉核心网络。
卷积神经网络概述
卷积神经网络是一种前馈神经网络，它的人工神经元可以响应一部分覆盖范围内的周围单元，对于大型图像处理有出色表现。 卷积神经网络由一个或多个卷积层和顶端的全连通层（对应经典的神经网络）组成，同时也包括关联权重和池化层。这一结构使得卷 积神经网络能够利用输入数据的二维结构,其中最早比较有名的卷积神经网络为LeNet-5。与其他深度学习结构相比，卷积神经网络在 图像和语音识别方面能够给出更好的结果。这一模型也可以使用反向传播算法进行训练。相比较其他深度、前馈神经网络，卷积神经 网络需要考量的参数更少，使之成为一种颇具吸引力的深度学习结构。
卷积神经网络架构回顾
输入层 -> [[卷积层 -> 线性整流层]*N -> 池化层?]*M -> [全连接层 -> 线性整流层]*K -> 全连接层 堆叠几个卷积和整流层，再加一个池化层，然后再用全连接层控制输出。 上述表达式中，问号符号代表0次或1次，符号N和M则代表具体的数值。通常情况下，取N >= 0 && N <= 3,M >= 0,K >= 0 && K < 3。
计算机视觉课件13
NW
W
SW
NE N
E
S SE
3) Surface Patches
Surface patch is a portion of surface. It can be modeled by polynomial or tensors-product if it is a graph surface. (1) Polynomial surface patch
Vertex Record{
int: vertex_number; int: position(x,y); pointer: edge1, edge2, edge3;}
Facet Record{
int: facet_number; pointer: edge1,edge2, …, edgen; int: other attributes; }
Edge Record{
int: edge number, other attributes; pointer: North-vertex, south_vertex; pointer: left_facet, right_facet pointer: NE_winged_edge,
NW_winged_edge, SE_winged_edge, SW_winged_edge ; }
2D curve at point P is called normal
curvature of the surface at point P.
---- At a surface point. The surface has infinite many normal curvatures.
---- The minimum and maximum normal curvatures, K1 and K2 are called principal curvatures.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Mean curvature:
K1 K 2 H 2
(3) Types of a surface region
K(x,y)
+ 0 –
+
peak
ridge
saddle ridge
minimal surface saddle Valley
H ( x, y )
0
flat
–
pit
valley
(4) Curvature Calculation:
With connection conditions:
pi (1) ' pi (1)
pi 1 (0) ' pi 1 (0)
2) Polygonal mesh surfaces: ----- Each mesh is a planar polygon (facet)
----- How to structure data if n data points are given.
0 t 1
When one uses: a (a x , a y , az ) b (bx , by , bz ) c ( c x , c y , cz ) then a curve can be written as:
3 2 p(t ) at b t c t d , 0 t 1
1. Basic Geometry
1) Curve: Parameter form:
p(t ) ( x, y, z) ( x(t ), y(t ), z(t )) t0 t t1 e.g., a line segment between p1 and p2 :
p(t ) tp2 (1 t ) p1 0 t 1
(1) Normal curvature:
The intersection of a surface n and a plane that passes through p the normal at a point P of the surface is a 2D curve. The curvature of the 2D curve at point P is called normal curvature of the surface at point P. ---- At a surface point. The surface has infinite many normal curvatures.
----- Easily search from facet, edge or vertex.
Data structure of polygonal mesh surface has 3 records: edge record, vertex record and facet record. Each record links the other two by proper pointers.
n
e2 n e1
Then the plane equation is:
p ue1 ve2 p0
where
u, v are parameters, (u, v) D
4) Surface Curvatures:
Assume a surface in form of
a v 3 1 2 a v T 2 3 2 p (u , v) p1 (u ) p2 (v) u , u , u ,1 b1 , b2 , b3 , b4 v a3 Denote a4 1 a 3 3 1 u v a 2 2 u v M 2 b1 , b2 , b3 , b4 U V a3 u v 1 1 a4
2. Representation of curve and surface
1) Curve representations: ----- Piecewise curve segments -----Joint condition: smooth at least in the first order derivatives,i.e. continuous in curve slope.
p(u, v) ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))
(u, v) D
The normal of the surface of point p is
pu p v n ( p) pu p v
where pu , pv are partial derivatives of the surface.
For a curve, it is in piecewise form: 3 2 p1 (t ) a1t b1t c1t d1 3 2 p2 (t ) a2t b2t c2t d 2
3 2 pn (t ) ant bnt cnt d n
---- The minimum and maximum normal curvatures, K1 and K2 are called principal curvatures.
(2) Gaussian and mean curvatures. Gaussian curvature:
K K1K 2
----- Lowerest order of polynomials.
This leads to cubic spline curve:
x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx
y(t) = ayt3 + byt2 + cyt + dy z(t) = azt3 + bzt2 + czt + dz
Course 13 Curves and Surfaces
----- Surface Representation
• Representation
• Interpolation • Approximation
----- Surface Segmentation
• Segmentation • Registration
z = a0 + a1x + a2y z = a0 + a1x + a2y + a3xy
Biquadratic patch:
z = a0 + a1x + a2y + a3xy + a4x2 + a5y2
Other high-order patches.
The coefficients of polynomials are determined from data points using surface fitting methods, such as least-square regression.
Implicit form: Explicit form:
f ( x, y , z ) 0
z f ( x, y )
(graph surface)
3) Planes: Assume p0 , p1, p2 are 3 non-collinear points in space. A plane is uniquely determined by the points. Let
N
Vertex Record{ int: vertex_number; int: position(x,y); pointer: edge1, edge2, edge3;} Facet Record{ int: facet_number; pointer: edge1,edge2, …, edgen; int: other attributes; }
For a surface z f ( x, y)
K
H
f xx f yy f 2 xy (1 f 2 x f 2 y ) 2
(1 f 2 y ) f xx (1 f 2 x ) f yy 2 f x f y f xy 2( 1 f 2 x f 2 y ) 3
(2) Tensor –product surfaces:
Tensor-product surface representation is formed by combination of two curve representations, one for each parametric coordinate. Let curve1 and curve2 be cubic polynomial curves:
Create data of surface from existing data points, e.g. ----- rectify the coordinate grids.
----- smooth representation of a surface by planar meshes.
Edge Record{ int: edge number, other attributes; pointer: North-vertex, south_vertex; pointer: left_facet, right_facet pointer: NE_winged_edge,
NE NW
NW_winged_edge, SE_winged_edge, SW_winged_edge ; }
e1 p1 p0
e2 p2 p0
n e2 e1
The equation of the plane is
K1 K 2 H 2
(3) Types of a surface region
K(x,y)
+ 0 –
+
peak
ridge
saddle ridge
minimal surface saddle Valley
H ( x, y )
0
flat
–
pit
valley
(4) Curvature Calculation:
With connection conditions:
pi (1) ' pi (1)
pi 1 (0) ' pi 1 (0)
2) Polygonal mesh surfaces: ----- Each mesh is a planar polygon (facet)
----- How to structure data if n data points are given.
0 t 1
When one uses: a (a x , a y , az ) b (bx , by , bz ) c ( c x , c y , cz ) then a curve can be written as:
3 2 p(t ) at b t c t d , 0 t 1
1. Basic Geometry
1) Curve: Parameter form:
p(t ) ( x, y, z) ( x(t ), y(t ), z(t )) t0 t t1 e.g., a line segment between p1 and p2 :
p(t ) tp2 (1 t ) p1 0 t 1
(1) Normal curvature:
The intersection of a surface n and a plane that passes through p the normal at a point P of the surface is a 2D curve. The curvature of the 2D curve at point P is called normal curvature of the surface at point P. ---- At a surface point. The surface has infinite many normal curvatures.
----- Easily search from facet, edge or vertex.
Data structure of polygonal mesh surface has 3 records: edge record, vertex record and facet record. Each record links the other two by proper pointers.
n
e2 n e1
Then the plane equation is:
p ue1 ve2 p0
where
u, v are parameters, (u, v) D
4) Surface Curvatures:
Assume a surface in form of
a v 3 1 2 a v T 2 3 2 p (u , v) p1 (u ) p2 (v) u , u , u ,1 b1 , b2 , b3 , b4 v a3 Denote a4 1 a 3 3 1 u v a 2 2 u v M 2 b1 , b2 , b3 , b4 U V a3 u v 1 1 a4
2. Representation of curve and surface
1) Curve representations: ----- Piecewise curve segments -----Joint condition: smooth at least in the first order derivatives,i.e. continuous in curve slope.
p(u, v) ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))
(u, v) D
The normal of the surface of point p is
pu p v n ( p) pu p v
where pu , pv are partial derivatives of the surface.
For a curve, it is in piecewise form: 3 2 p1 (t ) a1t b1t c1t d1 3 2 p2 (t ) a2t b2t c2t d 2
3 2 pn (t ) ant bnt cnt d n
---- The minimum and maximum normal curvatures, K1 and K2 are called principal curvatures.
(2) Gaussian and mean curvatures. Gaussian curvature:
K K1K 2
----- Lowerest order of polynomials.
This leads to cubic spline curve:
x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx
y(t) = ayt3 + byt2 + cyt + dy z(t) = azt3 + bzt2 + czt + dz
Course 13 Curves and Surfaces
----- Surface Representation
• Representation
• Interpolation • Approximation
----- Surface Segmentation
• Segmentation • Registration
z = a0 + a1x + a2y z = a0 + a1x + a2y + a3xy
Biquadratic patch:
z = a0 + a1x + a2y + a3xy + a4x2 + a5y2
Other high-order patches.
The coefficients of polynomials are determined from data points using surface fitting methods, such as least-square regression.
Implicit form: Explicit form:
f ( x, y , z ) 0
z f ( x, y )
(graph surface)
3) Planes: Assume p0 , p1, p2 are 3 non-collinear points in space. A plane is uniquely determined by the points. Let
N
Vertex Record{ int: vertex_number; int: position(x,y); pointer: edge1, edge2, edge3;} Facet Record{ int: facet_number; pointer: edge1,edge2, …, edgen; int: other attributes; }
For a surface z f ( x, y)
K
H
f xx f yy f 2 xy (1 f 2 x f 2 y ) 2
(1 f 2 y ) f xx (1 f 2 x ) f yy 2 f x f y f xy 2( 1 f 2 x f 2 y ) 3
(2) Tensor –product surfaces:
Tensor-product surface representation is formed by combination of two curve representations, one for each parametric coordinate. Let curve1 and curve2 be cubic polynomial curves:
Create data of surface from existing data points, e.g. ----- rectify the coordinate grids.
----- smooth representation of a surface by planar meshes.
Edge Record{ int: edge number, other attributes; pointer: North-vertex, south_vertex; pointer: left_facet, right_facet pointer: NE_winged_edge,
NE NW
NW_winged_edge, SE_winged_edge, SW_winged_edge ; }
e1 p1 p0
e2 p2 p0
n e2 e1
The equation of the plane is