非均质粘弹性介质的准静态位移反演

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第 3 期
杨海天等: 非均质粘弹性介质的准静态位移反演
423 ( 21)
Ρ + ( E 1 + E 2 ) Ρ Γ2 = D ( Ε+ E 2 Ε Γ2 ) 其中 E 1 , E 2 , Γ2 为本构参数.
摘要 从有限元及优化方法出发, 给出非均质粘弹性介质的分阶反演公式, 对粘弹性 本构模式的识别作了初步探讨, 考虑了信息误差的影响并给出有关算例. 关键词 非均质, 粘弹性, 本构模型, 反演
引 言
准静态位移 ( 有时也称之静力位移) 反演技术被广泛地用于地学领域, 关于弹性、 粘 [1 ～ 5] 弹性参数及地应力等的准静态位移反演研究, 已取得了不少成果 , 其基本思想是通 过 “静力” 作用下的位移信息, 识别材料或结构的物性参数及其它物理量. 在准静态位移反演中, 有两个重要因素应予以足够考虑, 一是材料及结构的非均质 性, 二是其本构模式的识别. 对绝大部分实际问题而言材料或结构是非均质的, 其本构 模式一般也是未知的. 据我们查阅, 目前还未见到与非均质准静态位移反演直接有关的 文献, 与本构模式识别有关的文献也不多. 文献 [ 6 ] 对均质粘弹性隧道围岩, 通过函数变 换等方法, 提出了本构模式识别的几个判定定理 . 以上两个问题的研究不仅具有重要的 理论意义, 而且可望在准静态位移反演的实际工程应用方面迈进一大步 . 本文通过变量展开, 结合有限元及优化方法, 给出分阶、 分区的反演公式, 对粘弹性 本构模式的识别及信息误差作了初步探讨, 并进行了有关数值验证.
m m m m
H 1 Ρm + F m = 0 H 2 u = Ε
m m m
( 17) ( 18) ( 19) ( 20)
N Ρm = P m , 在 # Ρ 上 u = u , 在 # u 上
- m
2 分阶的本构方程
将式 ( 12) , ( 13) 代进式 ( 3) 可得分阶的本构方程. 若材料的本构关系为三体线性模型, 即
T
Ρk d 8 =
N 6∫
#j
T 1
P d# +
k
N 6∫
8j
T 1
F d8
k
( 32)
. k 代表展开阶数
由于是准静态位移, 所以 P = P 0 , F = F 0. 设材料或结构由 M 个区域组成, 每个区域具有相同的本构参数. 式 ( 32 ) 左端可按这 . 以三体线性模型为例, 对每个区域, 将式 ( 23 )～ ( 25 ) 代入式 M 个区域进行分块累加 ( 32). 对零阶方程, 其左端可写作
1 基本方程
粘弹性静力问题的控制方程可写作
( 1) 平衡方程: H 1 Ρ + F = 0 ( 2) 位移应变关系: H 2u = Ε ( 3) 应力应变关系: S 1 Ρ= S 2 Ε ( 4) 力边界条件: N Ρ= P , 在 # Ρ 上 θ ( 5) 位移边界条件: u = u , 在 # u 上 T T Ρ, Ε分别为应力和应变向量, Ρ= ( Ρx , Ρy , Ρz , Σx y , Σy z , Σz x ) , Ε= ( Ε x, Ε y, Ε z, Χ xy , Χ yz , Χ zx ) . F θ 体积力向量; P 是力边界 # Ρ 上的已知面力向量; u 是位移边界 ru 上的已知位移向量; u =
1)
英国威尔士卡地夫大学访问学者.
1994205211 收到第一稿, 1995211210 收到修改稿 .
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力 学 学 报 1996 年 第 28 卷
(u , v , w ) T 为位移向量; H 1 , H 2 , S 1 , S 2 , N 为算子矩阵, 其中
5 5x H 1 =
0 0
0
0 0
5 5y
0 0 0
5 5y 5 5x
0 0
n m n
0
5 5z
0 ( 6)
5 5z
5 5z 5 5y
5 5x
( 7)
H 2 = H
6 u t. 6 u t.
m m e m m t
u t 是第 k 阶包含 M 个区域的总k Nhomakorabea6
其中 P 0 t= 6 对一阶方程
M
0 (B 1 j K 1 j + B 2 j K 2 j ) u 0 t = P t
( 36)
j= 1
∫ N
#j
T 1
P d# +
0
N 6∫
8j
T 1
F d 8.
0 1
6
对二阶方程
令
∃ c0 =
( 40)
0 0 0
5u 0 t = 5c0
6
M
B 1j K 1j +
i= 1
6
B 2j K 2j
- 1
K 11 u t , K 21 u t , …, K 1M u t , K 2M u t
0
( 41)
01=
1 1 T 1 1 (L u 1 u 3 ) (L u t - u 3 ) t 2
2 2 0 1
其中 f 1 = E 1 ( Γ1 + Γ2 ) Γ1 Γ2; f 2 = E 2 E 2 Γ2 . 2; f 3 = E 2 Γ 2
3 分阶分区的反演公式
由虚位移原理有
B 6∫
8j
T
Ρd 8 =
N 6∫
#j
T 1
P d# +
N 6∫
8j
T 1
F d8
( 31)
N
1
是有限元的形函数矩阵, B = H 2N 1.
. B 1 j 和 B 2 j 分别代表第 j 个区域上 B 1 和 B 2 的值
对一阶方程有
B Ρ 6∫
T 1
d8 =
B D B (u 6∫
T T 2
e
1
0 0 ) d 8 = K ju1 - c1 j u e c1 j K j u t t -
( 34)
对二阶方程有
B Ρ 6∫
T 2
d8 =
B D B (u 6∫
T 5u 1 t T 1 1 L (u 3 - L u t ) 5c1
( 42)
极小化0 1 , 可对 cT 1 = ( c11 , c12 , …, c1 M ) 进行识别, 0 1 的极小化可通过下列迭代公式实现 令
2 T 2 2 ( 45) 0 2 = (L u 2 u 3 ) (L u t - u 3 ) 2 t T 极小化 0 2 , 可对 C 2 = ( c21 , c22 , …, c2M ) 进行识别 0 2 的极小化可通过下列迭代公式实现 T 5u 1 5u 1 t t T L L 5c1 5c1
¨
( 26)
. Γ1 也是本构参数
分阶的本构方程为
0 Ρ0 = (B 1A 1 + B 2A 2 ) Ε 1 0 ) Ρ1 = D ( Ε 2f 1 Ε
( 27) ( 28) ( 29) ( 30)
Ρ = D ( Ε + f 1 ( f 1 Ε 2Ε ) 2 + f 2 2) 3 2 1 0 0 (f 2 Ρ3 = D ( Ε 2( 2f 1 Ε 2( f 2 f 2 f 3 Ε 6) 1 + f 2) Ε ) 6 + 1 + 2f 2 ) f 1 Ε 6 2
将各物理量按时间 t 展开
u=
Ρ= Ε=
P = F = u=
6 6 6 6 6 6
u t
m m
( 11) ( 12) ( 13) ( 14) ( 15) ( 16)
Ρm tm
m m Ε t
P t F t u t
m m
m m
- m m
(m = 0, 1, 2, …) m θm . m 为展开阶数, u , Ρ , Ε , P , F , u 为第 m 阶与 t 无关的系数向量 将式 ( 12) , ( 15) 代进式 ( 1) ; ( 11 ) , ( 13 ) 代进式 ( 2 ) ; ( 12 ) , ( 14 ) 代进 ( 4 ) ; ( 11 ) , ( 16 ) 代 进 ( 5) , 可得分阶的控制方程
M
K ju t =
j= 1
6
M
c1 j K j u t
0
( 37)
M
j= 1
6
按 t 展开 u 3 =
M
K jut =
2
j= 1
6
M
1 c1 j K j ( u t -
c1 j u t ) 2 -
0
j= 1
6
c1 j c 2 j K j u t ) 2
0
( 38)
j= 1
对粘弹性问题而言, 设已知节点位移向量为 u 3 , 设 u 3 = L u t , L 是一个关系矩阵. 将 u 3 也
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力 学 学 报 1996 年 第 28 卷
将式 ( 12) , ( 14) , ( 15) 代入 ( 31) 有
B 6∫
8j
( 23) ( 24)
0
Ρ = D ( Ε + c1 ( c1 Ε 2Ε ) 2 + c1 c2 Ε 2)