3.3 多维随机变量的函数的分布

结论表明: 独立的正态变量之和仍为正态变量,即
2 2 2 2 N ( μ1 , σ1 ) N ( μ2 , σ2 ). N ( μ1 μ2 , σ1 σ2 )
独立正态变量的线性组合仍为正态变量
Xi ~ N(i, i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立,
n ~ N ai i , i 1 a i 1
0
x
α1 1 x
e

2
( z x )α2 1 e ( z x ) d x
令 x zt

e z
1 2
(α1 )(α2 )
z z
α1 α2 1

1
0
t α1 1 (1 t )α2 1 d t
e z
1 2
(α1 )(α2 )
第五节
两个随机变量的函数的分布
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z g( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
布确定 Z 的分布.
为了解决类似的问题,下面
我们讨论随机变量函数的分布.
设 (X1, X2, ……, Xn) 为n维随机变量 ， 则 Z = g(X1, ……, Xn) 是(X1, X2, ……, Xn) 的函数, Z 是一维随机变量. 问题：如何求出 Z= g(X1, ……, Xn)的分布？
Fmin ( z ) P { N z } 1 P { N z }
1 P { X z ,Y z } 1 P { X z } P {Y z }.
即 Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
推广 设 X 1 , X 2 ,, X n 是 n 个相互独立的随机变量,
3.3.3
卷积公式
1. 离散场合的卷积公式 设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X + Y 的分布列为
P ( Z zl ) P ( X xi ) P (Y zl xi )
i 1

=Байду номын сангаас
P( X z
j 1

l
y j ) P (Y y j )
例1
X
设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
n
2 i 2 i
实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则
ai X i i 1
n
伽玛分布的可加性
若 X Ga(1, )，Y Ga(2, ) ，且相互独立， 则 Z = X + Y Ga(1+2, ).
证 X , Y的概率密度分别为 1 α1 1 x x e , x 0, f X ( x ) (α1 ) 0, x 0. 2 α2 1 y y e , y 0, fY ( y ) (α2 ) 0, y 0.
3.3.1 多维离散随机变量函数的分布
(1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量. (2) 多维离散随机变量函数的分布的求法： i) 对(X1, X2, ……, Xn)的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.
P { M z } P { X z ,Y z }
又由于 X ,Y 相互独立, 得到 M max{ X ,Y }的
分布函数为
Fmax ( z ) P { M z } P{ X z ,Y z }
P { X z }P {Y z }.
即有 Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ). 类似地, 可得 M min{ X ,Y }的分布函数为
( X , Y )为二维连续随机变量的情形
设 X ,Y 是两个相互独立的随机变量, 它们的
分布函数分别为 FX ( x ) 和 FY ( y ).现在来求 M
max{ X ,Y }及N min{ X ,Y }的分布函数 .
由于M max{ X ,Y }不大于z等价于X和Y都不
大于z , 故有
证 先来求Z X Y的分布函数FZ (z ), 即有
FZ (z ) P { Z z }
x y z

p( x , y )d x d y ,
y
这里积分区域 G : x y z是
直线x y z及其左下方的
半平面(如图). 将二重积分化成累次积分, 得
FZ (z )
它们的分布函数分别为 FX i ( xi ) ( i 1, 2, , n), 则
M max{ X 1 , X 2 ,, X n }及N min{ X 1 , X 2 ,, X n }的
分布函数分别为
Fmax ( z ) FX ( z ) FX ( z ) FX ( z ), 1 2 n
1
3
X Y
1
0
1
5
3
所以 X Y , X Y 的分布律分别为
X Y 3
P
1 12
2
1 12
1
3 12
3 2
2 12
1 2
1 12
1
2 12
3
2 12
X Y
P
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
1 12
5
2 12
3
2 12
3.3.2
最大值与最小值分布
例3.3.1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.
Fmin ( z ) 1 [1 FX 1 ( z )][1 FX 2 ( z )][1 FX n ( z )]
当 X1 , X 2 ,, X n相互独立且具有相同的分布
函数F ( x ) 时有
Fmax ( z ) [ F ( z )] ,
n
Fmin ( z ) 1 [1 F ( z )]n .
f Z (z )
z

1
0
(α1 )
x α1 1e x

2
(α2 )
( z x )α2 1 e ( z x ) d x
f Z (z )
z

1
(α1 ) (α2 ) 1 2 e z z α1 1 x ( z x )α2 1 d x (α1 )(α2 ) 0
1 0.3 3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解
Z X Y P
3
0.18
5
7
0.54
0.28
泊松分布的可加性
若 X P(1) ，Y P(2)，且独立， 则 Z = X+ Y P(1+2). 结论:泊松分布的卷积仍为泊松分布.
即P(1 ) P(2 ) P(1 2 )
x y z
O
x



z y

p( x, y )d x d y.
FZ (z )




z y

p( x, y )d x d y.
z y p ( x ) p ( y )d x d y . X Y z y p ( x )d x p ( y ) d y . X Y
补充1
设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
1
1 2 3
0
2 12
求 (1) X Y , (2) X Y 的分布律.
解
X
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
1
2 0 12 1 1 3 2 1 2 2 概率 12 12 12 12 12 12 12 1 1 ( X ,Y ) ( 1,2) ( 1,1) (1,0) ,2 ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
分布的可加性
若同一类分布的独立随机变量和的分布仍 是此类分布，则称此类分布具有可加性. 可加性: (1)从分布的角度:卷积. (2)从随机变量的角度:独立随机变量的和.
二项分布的可加性
若 X b(n, p)，Y b(m, p)， 且独立， 则 Z = X+ Y b(n+m, p) . 注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + …… + Xn b(n, p).
由于 Exp( ) Ga(1, ),
n 1 ( n) Ga( , ) 得 2 2
2
(1) 独立同分布的指数变量之和为伽玛变量,即
Exp( ) Exp( ) Exp( ) Ga(m, )
(2) 独立的2变量之和为2变量(2 分布的可加性)
(n1 ) (n2 ) (nm ) (n1 n2 nm )
Z X Y的概率密度为
f Z (z )
f X ( x ) fY ( z x ) d x
亦即

易知仅当 x 0, z x 0,
x 0, x z,
时上述积分的被积函数不等于零(画图), 于是
知当z 0时f Z ( z ) 0,而当z 0时有
α1 α2 1
(α1 α2 ) 正是形状参数为α1 α2 ,尺度参数为的伽玛分布


1
(α1 )(α2 ) (α1 α2 )
2
z
α1 α2 1 z
e
伽玛分布的可加性
若 X Ga(1, )，Y Ga(2, ) ，且相互独立， 则 Z = X + Y Ga(1+2, ). 结论表明:尺度参数相同的相互独立的伽玛变量 之和仍为伽玛变量,其尺度参数不变,形状参数相加, 即 Ga(1 , ) Ga(2 , ) Ga(1 2 , )
上式两端对z求导，可得Z的密度函数为
pZ ( z )



pX ( z y ) pY ( y )d y
正态分布的可加性
2 2 设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1 , σ1 ), Y ~ N ( μ2 , σ2 ).
2 2 则Z X Y 仍然服从正态分布N ( μ1 μ2 , σ1 σ2 ).
2 2 2 2
3.3.4 变量变换法
已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数
U g1 ( X , Y ) 求 (U, V) 的分布. V g2 ( X , Y ) u g1 ( x , y ) 有连续偏导数 解: 若 v g2 ( x , y ) 且存在反函数
1 2 3
等价于
概率
1 12
1 12
3 12
2 12
1 12
2 12
2 12
1 1 ( X ,Y ) ( 1,2) ( 1,1) (1,0) ,2 ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
X Y 3
2
1
3 2 5 2
1 2 3 2
解: X 0 1 Y P 1/2 1/2 P Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1 0 1/2 1 1/2
P(Z=0) = P(X=0, Y=0) =P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 3/4
x x ( u, v ) y y ( u, v )
则 (U, V) 的联合密度为
pUV (u, v ) pXY ( x(u, v ), y(u, v )) | J |
( x , y ) ( u, v ) J 其中J为变换的雅可比行列式： ( u, v ) ( x , y )
2 连续型场合的卷积公式
定理 设X与Y 是两个相互独立的连续随机变量，
其密度函数分别为pX ( x )和pY ( y ), 则和Z X Y
的密度函数为
pZ ( z )

pX ( z y ) pY ( y )d y,
和
pZ ( z )


pX ( x ) pY ( z x )d x .