高一数学下学期期末考试试题(7)
黑龙江省鹤岗市宝泉岭高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
黑龙江省鹤岗市宝泉岭高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数5i 2-的共轭复数为（ ） A ．i+2B ．2i --C ．i 2-D ．2i -2．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r，则（ ） A ．//a b r rB ．a b ⊥r rC ．()//a a b -r r rD ．()a ab ⊥-r r r3．抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是2,3,4”为事件A ，“向上的点数是1,5”为事件B ，则下列选项正确的是（ ） A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件 C ．()=1P A B ⋃D ．()56P AB =4．有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ） A ．甲与乙相互独立 B ．甲与丙相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．乙与丁相互独立5．若222b c bc a +-=，且tan tan b B c C=，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形6．如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A．116B．18C．316D．148．已知某圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体（每条棱长都为a的三棱锥），并且正四面体内接于圆锥的内切球．圆锥的轴截面如图所示，其中轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，则a的最大值为（）A．1 BC D．2二、多选题9．光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（）A．选取的这部分学生的总人数为500人B．合唱社团的人数占样本总量的40%C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多12510．下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2B ．已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C ．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为1611．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，点P 是AD 上的动点，将,ADE CDF △△分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点G ，则下列结论正确的是（ ）A ．BG ⊥EFB ．G 到平面DEF 的距离为23C ．若BG ∥面EFP ，则二面角D −EF −P D ．四面体G −DEF 外接球表面积为24π三、填空题12．已知向量,a b r r 的夹角为4π，|||1a b ==r r ，则|3|a b +=r r ．13．某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取人14．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示，四面体A BCD -为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC CD ===，E ，F 分别是棱AC 和BD 上的动点，且=AE BF ，则EF 的长最小为.四、解答题15．已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 是锐角，2sin a B =⋅. （1）求A ；（2）若7a =，ABC V 的面积为22b c +的值.16．已知(()(),3,23243a b a b a b ==-⋅+=-r r r r rr ．（1）求a r 与b r的夹角θ；（2）若()1c ta t b =+-r r r，且0b c ⋅=r r ，求实数t 及c r ．17．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本每天阅读时间的第75百分位数；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[70,80)和[]90,100的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率.18．平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，DB =DE AB ⊥于点E ，将ADE V 沿着DE 翻折，使点A 与点P 重合，如图乙所示．(1)设平面PEB 与平面PDC 的交线为l ，判断l 与CD 的位置关系，并证明； (2)当四棱锥-P BCDE 的体积最大时，求二面角P BC D --的正切值；(3)在（2）的条件下，G 、H 分别为棱DE ，CD 上的点，求空间四边形PGHB 周长的最小值． 19．如图1，四边形ABCD 是矩形，将ADC △沿对角线AC 折起成AD C 'V ，连接D B '，如图2，构成三棱锥D ABC '-.过动点D ¢作平面ABC 的垂线D O '，垂足是O .(1)当O 落在何处时，平面AD C '⊥平面ABC ，并说明理由；(2)在三棱锥D ABC '-中，若,AD BD P =''为D A '的中点，判断直线OP 与平面BD C '的位置关系，并说明理由；(3)设T 是ABC V 及其内部的点构成的集合，2,1AB BC ==，当O T ∈时，求三棱锥D ABC '-的体积的取值范围.。
重庆市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案
高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。
河北省保定市唐县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
河北省保定市唐县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数21z zω=-在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ②若m γ⊥，n γ⊥，则//m n ③若//m α，n α⊥，则m n ⊥ ④若//m n ，//n α，则//m α 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A ．11B ．12C ．16D ．174．已知正四面体-P ABC 的棱长为1，空间中一点M 满足PM xPA yPB zPC =++u u u u ru u u ru u u ru u u r，其中x ，y ，R z ∈，且1x y z ++=.则PM u u u u r的最小值为（ ）A B C ．23D ．15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=--r r．若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π36．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A ．45B ．23C ．35D ．14157．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A ，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B ，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C ，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D ，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与D 相互独立 C ．A 与C 相互独立D ．C 与D 对立8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位1cm 10mm =）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨二、多选题9．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，下列说法正确的是（ ）A ．若45A =o ，a =b =ABC V 有两解B ．若cos cos a bB A=，则△ABC 为等腰三角形 C ．若ABC V 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．若ABC V 的外接圆的圆心为O ，且2A O A B A C =+u u u r u u u r u u u r ，AO AB =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在向量CB u u u r 上的投影向量为34CB u u ur10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 为等边三角形，G 为111A B C △的重心，112BP PA =u u u r u u u r ，若111π,13BAA CAA AB AA ∠∠====，则（ ）A ．1112333PG AB AC AA =-++u u u r u u ur u u u r u u u rB ．1AA BC ⊥u u u r u u u rC ．PG u u u r//1BC u u u u rD ．PG =u u u r 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,,EFG 分别为11,,BC CC BB 的中点，点P 为线段1AG 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线EF 与1AGB ．三棱锥P AEF -的体积为定值C ．平面AEF 截正方体所得的截面周长为D ．直线AF 与平面11B BCC三、填空题12．已知纯虚数z 满足2i 1z -=，则z 可以是．13．在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为． 14．如图，已知两座山的海拔高度300MC =米，100NB =米，在BC 同一水平面上选一点A ，测得M 点的仰角为60,N ︒点的仰角为30︒，以及45MAN ∠=︒，则M ，N 间的距离为米.（结2.490≈）四、解答题15．已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且c o s 0a B B c b --=．(1)求A ；(2)若a =ABC V )224b c +，求ABC V 的周长． 16．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，E 为棱1AA 中点1BE EC ⊥．(1)证明BE ⊥平面11EB C ． (2)求二面角1B EC C --的正弦值．17．在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．根据以往赛事统计，甲、乙对局中，甲获胜的频率为23，乙获胜的频率为13．为便于研究，用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率．决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金． (1)求前两局乙均获胜的概率； (2)前2局打成1：1时，①求乙最终获得全部奖金的概率；②若比赛此时因故终止，有人提出按2:1分配奖金，你认为分配合理吗?为什么?18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.(1)证明：平面AEF ⊥平面PCD ；(2)是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45o ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.19．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2c o s s i n co s t a n a A BB c C=-．若P 是ABC V的“费马点”，a b c =<． (1)求角A ；(2)若4PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=-uu r uu r uu r uu u r uu u r uu r，求ABC V 的周长；(3)在（2）的条件下，设()42||||||xxf x m PA PB PC =-⋅+++u u u r u u u r u u u r，若当[0,1]x ∈时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
贵州省遵义市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,62.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A. B.514C.514-D.143.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c++r r rB.a b c+-r r rC.a b c -+r r rD.a b c--4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.8-B.378C.9714-D.97145.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.56.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.87.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米B.34米C.米D.30米8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=t D.复数z 的共轭复数为23iz =-+10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，3BD =，求2a c +的最小值．18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n nf x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,6【答案】C 【解析】【分析】根据交集和补集含义即可得到答案.【详解】由题意得{}3,4A B = ，则(){}1,2,5,6U A B = ð.故选：C.2.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A.5314-B.514C.514-D.14【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理即可得到答案.【详解】根据正弦定理有sin sin a b A B =，即10sin 2A =sin 14A =.故选：D.3.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c ++r r rB.a b c+-r r rC.a b c-+r r rD.a b c--【答案】A【解析】【分析】利用图形结合向量线性运算即可.【详解】AC AD DC A a b c B BD DC =+=++++=.故选：A.4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A. B.8C.14-D.14【答案】B 【解析】【分析】首先求出cos 4α=，再利用二倍角正弦公式即可.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 4α=，则cos 4α==，则3sin 22sin cos 24ααα==⨯⨯.故选：B.5.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.5【答案】C 【解析】【分析】根据平均数计算公式直接求解即可.【详解】全班75名学生的平均成绩4035828583.47575x =⨯+⨯=.故选：C .6.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.8【答案】A 【解析】【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.【详解】||AB == ，||BC ===,||AC ===222||||AC AB BC ∴+=，所以三角形ABC 为直角三角形，1=2S ∴⨯，故选：A .7.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米 B.34米C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】根据仰角可得BC AB h ==，BD ==，在三角形BCD 利用余弦定理即可求解.【详解】设教学楼的高度为h ，在直角三角形ABC 中，因为45ACB ∠= ，所以BC AB h ==，在直角三角形ABD 中，因为30ADB ∠= ，所以tan 30ABBD= ，所以BD ==，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠，代入数值可得)22233022h h =+-⨯，解得30h =或30h =-（舍），故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减【答案】B 【解析】【分析】对A ，赋值法令0x y ==求解；对B ，赋值法结合奇函数的定义判断；对C ，令2y =求得函数的周期求解；对D ，利用单调性定义结合赋值法求解判断.【详解】对于A ，令0x y ==，可得()()()0002f f f =+-，解得()02f =，故A 错误；对于B ，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+--，又()02f =，则()()()222f x f x f x ⎡⎤--=-+=--⎣⎦，所以函数()2f x -是奇函数，故B 正确；对于C ，令2y =，得()()()()222f x f x f f x +=+-=，则()f x 是周期函数，周期为2，所以()()202402f f ==，故C 错误；对于D ，令1x x =，21y x x =-，且210x x >>，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+--，即()()()21212f x f x f x x -=--，而0x >时，()f x 与2大小不定，故D 错误.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=tD.复数z 的共轭复数为23iz =-+【答案】AB 【解析】【分析】对A ，根据复数的模的计算公式即可判断；对B ，根据复数虚部的定义即可判断；对C ，根据复数的分类可判断；对D ，根据共轭复数的定义即可判断.【详解】对于A ，z ==A 正确；对于B ，复数23i z =+的虚部为3，故B 正确；对于C ，因为()i 23i z t t +=++是实数，则30t +=，即3t =-，故C 错误；对于D ，复数23i z =+的共轭复数为23i z =-，故D 错误.故选：AB.10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B = D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A ，若A 与B 相互独立，则()()()1113412P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()111134122P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故A 对；对于B ，因为()13P A =，()14P B =，则()()131144P B P B =-=-=，因为()()()131344P A P B P AB =⨯==，所以事件A 与B 相互独立，故B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()1173412P A B P A P B ⋃=+=+=，故C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()14P AB P B ==，故D 对．故选：ABD11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】根据图象变换得到()f x 的解析式，进而可判断A ，B ，C 选项；对D ，题意转化为πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，根据正弦函数的性质求解判断.【详解】把函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，可得πsin 13y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()πsin 2π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，周期2π12πT ==，故A 正确；对于B ，令πππ2π2π2π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，即511212k x k -++≤≤，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为51,1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故B 错误；对于C ，()22ππsin 2π1sin 2π13333f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππsin 2πsin 2π233x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2π2πsin 2π233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππsin 2πsin 2π2233x x ⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故C 正确；对于D ，根据题意方程112f x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭即πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，ππππ2π333x ωω∴≤+<+，由正弦函数性质得π4π2π5π3ω<+≤，解得11763ω<≤，故D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：三角函数的定义13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．【答案】1()2sin(24f x x π=+【解析】【分析】根据函数()f x 的图象求得2,4A T π==，得到1()2sin()2f x x ϕ=+，再由(22f π=和题设条件，求得4πϕ=，即可求得函数的解析式.【详解】由函数()f x 的图象可得72,()422A T πππ==--=，所以22142T ππωπ===，即1()2sin()2f x x ϕ=+，又由()22f π=，即1sin()122πϕ⨯+=，可得2,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以4πϕ=，所以1()2sin()24f x x π=+.故答案为：1()2sin(24f x x π=+.14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．【答案】⎡-+⎣【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AB AF 所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则()()0,0,4,0A B 过H 作AF的垂线，垂足为N ，正八边形ABCDEFGH 中，边长为4，所以()821801358HAB ︒︒-⨯∠==，所以AN HN =，所以222AN HN HA AN +=⇒=，所以4AF =+，设(),P x y ，则()()4,0,,AB AP x y == ，所以4AP AB x ⋅=，因为P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），所以x 的范围为4x -≤≤+所以416x -≤≤+故答案为：⎡-+⎣.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．【答案】（1）5（2）1-或89【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，向量模的公式运算得解；（2）根据向量的坐标运算求得ma c + 和a mb +坐标，再由向量共线即可计算出m 的值.【小问1详解】因为()1,4a =- ，()2,1b =-r，所以()5858582,43,4777777a b ⎛⎫-=--⨯⨯+=- ⎪⎝⎭r r ，所以58577a b -==r r .【小问2详解】因为()2,5ma c m m +=-+r r ，()21,4a mb m m +=--+r r，又ma c + 与a mb +共线，所以()()()24521m m m m -+-+=-，所以2980m m +-=，解得1m =-或89.所以m 的值为1-或89.16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．【答案】（1）82.5；（2）15.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，结合75%分位数的意义列式计算即得.（2）求出抽取的6人中，“探月达人”人数，再利用列举法求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图知，成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的频率依次为：0.05,0.15,0.2,0.3,0.2，则成绩在80分以下的频率为0.7，成绩在90分以下频率为0.9，因此参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为(80,90)x ∈，由(80)0.020.05x -⨯=，解得82.5x =，所以参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为82.5.【小问2详解】由于0.30.20.163,62,610.30.20.10.30.20.10.30.20.1⨯=⨯=⨯=++++++，则6人中，成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生分别为3人，2人，1人，其中有3人为“探月达人”，设为a ，b ，c ，有3人不是“探月达人”，设为,,d e f ，则从6人中选择2人作为学生代表，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ，共15种，其中2人均为“探月达人”为,,ab ac bc ，共3种，所以被选中的2人均为“探月达人”的概率为31155=.17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，BD =，求2a c +的最小值．【答案】（1）π3B =（2）6+【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案；（2）根据面积法得1112a c +=，再利用乘“1”法即可得到最小值.【小问1详解】因为sin sin sin C A Ba b a c-=+-，所以由正弦定理可得c a ba b a c-=+-，即222a c b ac +-=，又因为222cos 2a c b B ac+-=，则1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABD CBD ABC S S S += 所以1π1π1πsin sin sin 262623AB BD BC BD AB BC ⨯+⨯=⨯，因为BD =，所以c BD a BD ⨯+⨯=，所以2()c a ac ⨯+=，即1112a c +=，所以22242(2)66c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当22a c ==+时，2a c +取得最小值6+.18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．【答案】（1）最小值为2-，x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈（2）6365-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则得到其最小值和此时所对应的x 的集合；（2）首先求出4sin()5αβ-=，再计算出3cos()5αβ-=，5cos 13β=-，12sin 13β=，最后化简为繁，利用两角和的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】21()14sin cos cos 1cos 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭π121cos 22sin 26x x x ⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭当ππ22π,Z 62x k k +=-+∈，即ππ,Z 3x k k =-+∈时，()f x 取得最小值2-，此时x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈.【小问2详解】πππ82sin 22sin()21221265f αβαβαβ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则4sin()5αβ-=，因为ππ2β<<，所以ππ2β-<-<-，又因为ππ2α<<，所以ππ22αβ-<-<，所以3cos()5αβ-=，因为πππ102sin 22sin 2cos 26266213f βπβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5cos 13β=-，因为ππ2β<<，所以12sin 13β==，cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---354126351351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．【答案】（1）下凸函数，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）作差()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭，化简即可证明；（2）任意取12,(0,π)x x ∈，作差()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其符号即可；（3）根据（2）中结论得sin sin sin sin sin 44A B C D A B C D ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，代入计算即可得到答案.【小问1详解】下凸函数，理由如下：任意取12,R x x ∈，因为()()()()22221212*********22424f x f x x x x x x x x x f ++-+++⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时等号成立，故2()1(R)f x x x =+∈是下凸函数.【小问2详解】任意取12,(0,π)x x ∈，不妨设12x x ≤，()()12121212sin sin sin 2222h x h x x x x x x x h ++++⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121122sincos cos sin sin cos sin cos 22222222x x x x x x x x=+--2112sin sin cos cos 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于12π0222x x <≤<，根据sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则2112sin sin ,cos cos 2222x x x x ≥≥，所以()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，即函数()h x 是上凸函数.【小问3详解】当(0,,π,),A B C D ∈，且πA B C D +++=，由（2）知()sin ,(0,π)h x x x =∈是上凸函数，所以sin sin sin sin πsin sin 4442A B C D A B C D++++++⎛⎫≤==⎪⎝⎭，故πsin sin sin sin 4sin 4sin 244A B C D A B C D +++⎛⎫+++≤== ⎪⎝⎭所以当且仅当π4A B C D ====时等号成立，即sin sin sin sin A B C D +++的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其正负即可.。
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（ ） A ．3B ．3.5C ．4D ．52．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若50,a =则9S =（ ） A ．5- B ．0 C ．5 D ．93．下列说法中：（1）某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖（2）做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37（3）若事件,,A B C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=（4）若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 互为对立事件正确的说法有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．34．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，且数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞- B ．(2)-∞-, C ．(2,)-+∞D ．(3,)-+∞5．设m 、n 为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）A ．若m 上有两个点到平面α的距离相等，则m αPB ．若m α⊥，n β⊂，则“m n ∥”是“αβ⊥”的既不充分也不必要条件C ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若m 、n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n α∥，则αβ∥6．在四面体ABCD 中，AB ＝CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为50°，M ，N 分别是边BC ，AD 的中点，则异面直线MN 和AB 所成的角为（ ） A ．25°或50°B ．25°或65°C ．50°D ．65°7．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ） A ．圆台的母线长是20 B ．圆台的表面积是1100πC ．圆台的高是D 8．已知ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ） A ．2-B ．52-C ．3-D ．4-二、多选题 9．已知复数2i1iz =-，则下列结论不．正确的是（ ） A ．z 在复平面对应的点位于第二象限 B ．z 的虚部是i C ．1i z =+D ．2z =10．将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ）A ．事件甲与事件丙是互斥事件B ．事件甲与事件丁是相互独立事件C ．事件乙包含于事件丙D ．事件丙与事件丁是对立事件11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1AG 与平面AEF 平行 C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等三、填空题12．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A ，B ，C 这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A ，B 至少有一所被选择的概率为．136cos 5x x -=，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是.四、解答题15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.(1)证明：1//CD 平面1A BD ； (2)求二面角1A BD A --的正弦值.16．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a 、b 的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224b c a +-=，12ABC S =△. (1)求tan A ；(2)若D 在边BC 上且2BD DC =，AC =AD 的长.18．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段DE 的长.19．如果数列{}n a 满足：1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+且()12313N ,n a a a a n n *+++⋅⋅⋅+=≥∈，则称{}n a 为n 阶“归化”数列.(1)若某3阶“归化”数列{}n a 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；(2)若某11阶“归化”数列{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式； (3)若{}n a 为n 阶“归化”数列，求证12311111.2322n a a a a nn+++⋅⋅⋅+≤-。
安徽省蚌埠市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A .OCB.BCC.CBD.CA2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.23.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.64-B.4-C.64D.1044.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA 边上的高为（）A. B. C.2 D.45.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，πsin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.10-B.10C.10D.108.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M 分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A .//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为3011.已知向量a ，b满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m =，(b =- ，则0m =或-B.若||a b +=，则||b =C.若||a =||2b =r，则向量b 在向量aD.向量b 在向量a 上的投影向量为2a-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．14.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB =，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A.OCB.BCC.CBD.CA【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则及运算律计算可得.【详解】OA OB AC OA BO AC BO OA AC BC -+=++++==.故选：B 2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C3.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.4-B.4-C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出2m ，再由定义计算可得.【详解】因为点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且2cos 4m α=，即cos 4m α==，解得25m =，所以sin 4α===-.故选：A4.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA边上的高为（）A. B. C.2 D.4【答案】B 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，即可得OAB 的原图，根据长度关系即可求解.【详解】根据题意可得OAB 的原图如图所示，其中D 为AB 的中点，由于D ¢为A B''的中点，O D ''=且2OD O D ''==，则OAB中OA 边上的高为2OD =故选：B.5.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ，举例判断，对于D ，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.【详解】对于A ，如图当m α⊂，n β⊂，m ∥n 时，α与β相交，所以A 错误，对于B ，如图，当m α⊥，m β⊥时，α∥β，所以B 错误，对于C ，如图当m α⊂，n β⊂，m n ⊥时，α∥β，所以C 错误，对于D ，设l αγ= ，在平面α内作b l ⊥，因为αγ⊥，所以b γ⊥，因为β∥γ，所以b β⊥，因为b α⊂，所以αβ⊥，所以D 正确.故选：D 7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.210-B.210C.210D.310【答案】C 【解析】【分析】由π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出πcos 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案.【详解】因为π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以ππ0,122x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2ππ25cos 1sin 12125x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin 2cos cos 2sin124124x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππsin 2cos 221212x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22πππ2sin cos 2cos 12121212x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦225552212555⎡⎤⎛⎢⎥=⨯+⨯- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦210=.故选：C8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得2B A =，由正弦定理得sin A B =，再利用正弦的二倍角公式可得答案.【详解】因为()cos cos cos cos +=-+B C B A B cos cos cos sin sin 2sin sin =-+=B A B A B A B ，所以()cos cos cos sin sin cos =+=-B A B A B A B ，因为0,πA B <<，所以B A B =-，或B A B =-+舍去，可得2B A =，因为a =，由正弦定理得sin A B =，所以sin 22sin cos B B B B ==，因为0πB <<cos B =，可得π6B =，π23A B ==，所以π2C =.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，由共轭复数的概念即可判断A ，由复数的模长公式即可判断B ，由复数的四则运算，即可判断CD【详解】对A 因为复数11i z =-，21i z =+，则121i z z =+=，故A 正确；对B,12z z ====12||||z z =，故B 正确；对C,()()()()121i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ----====-++-，故C 错误；对D,()()2222121i 1i 2i 2i 0z z +=++-=-=，()()12221i 1i 4z z =-+=，所以2212122z z z z <+，故D 错误；故选：AB10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A.//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为30【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线的定义可判断A ；连接BD ，取BD 中点O ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在MEC 中由余弦定理求出cos ∠EMC 可判断B ；设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线EM 与直线1CC 所成的角即为EMO ∠，求出EMO ∠可判断C ；连接BD 、AC 相交于点O ，利用线面垂直的判定定理得1AD O ∠即为EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，求出1sin ∠AD O 可判断D .【详解】对于A ，因为E ∈平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，E BC ∉，M ∉平面ABCD ，所以EM 与BC 是异面直线，故A 错误；对于B ，连接BD ，取BD 中点O ，连接,,,MO EO OC EC ，可得1//MO DD ，所以OM ⊥平面ABCD ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则11,22====OE OM OC BD ，225=+=CE EB BC ，222=+=ME OM OE ，223=+=MC OM OC 由余弦定理得222235cos 02223+-∠===⋅⨯⨯ME MC CE EMC ME MC ，所以90∠= EMC ，所以EM MC ⊥，故B正确；对于C ，由B ，1//MO DD ，11//DD CC ，所以1//MO CC ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以直线EM 与直线1CC 所成的角即为EM 与直线MO 所成的角，即为EMO ∠，因为1==OE OM ，OM ⊥平面ABCD ，所以45∠= EMO ，即直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45 ，故C 正确；对于D ，连接1AD ，因为,E M 分别为AB ，1BD 的中点，所以1//EM AD ，连接BD 、AC 相交于点O ，则AO BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1DD AO ⊥，且1DD BD D =I ，1、⊂DD BD 平面11BB D ，所以AO ⊥平面11BB D ，所以1AD O ∠等于EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则122AD =，2AO =，所以111sin 2AO AD O AD ∠==，1π02<∠<AD O ，所以130AD O ∠= ，所以EM 与平面11BB D 所成的角大小为30 ，故D正确.故选：BCD.11.已知向量a ，b 满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m = ，(3b =- ，则0m =或23-B.若||5a b += ，则||5b = C.若||5a = ||2b =r ，则向量b 在向量a 5D.向量b 在向量a 上的投影向量为2a - 【答案】ABD【解析】【分析】A选项，计算出(20,a m b =++ ，根据向量垂直得到方程，求出0m =或-，A 正确；B选项，||a b +=||b = C 选项，根据垂直关系得到21522a b a ⋅=-=- ，从而根据投影向量的模长公式求出C 正确；D 选项，在C 选项基础上，根据投影向量的公式进行求解.【详解】A选项，(20,a m b =++ ，因为()2a b a +⊥ ，所以()(()(20,2,0b m a a m m m +⋅=+⋅+== ，解得0m =或-，A 正确；B选项，||a b += 两边平方得，2225a a b b +⋅+= ，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅= ，故25b =，则||b = B 正确；C 选项，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅=，||a = 21522a b a ⋅=-=- ，则向量b 在向量a上的投影数量为252b a a-⋅==- ，C 错误；D 选项，由C 选项知，212a b a ⋅=- ，向量b 在向量a 上的投影向量为2b a a a a a⋅⋅=- ，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．【答案】1【解析】【分析】先利用根与系数的关系，再利用两角和的正切公式可求得答案.【详解】因为()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，所以()3tan tan 2αββ-+=，()1tan tan 2αββ-⋅=-，所以()tan tan αββ⎡⎤=-+⎣⎦()()tan tan 1tan tan αββαββ-+=--321112==⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：114.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．【解析】【分析】设,,AM x BM y CM z ===，根据ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 可得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理可得2223x y z ++=，再求出2()x y z ++可得答案.【详解】设,,AM x BM y CM z ===，因为22AC AB ==，AB BC ⊥，所以BC =，因为2π3AMC BMC ∠=∠=，所以2π3AMB ∠=,因为ABC AMB BMC AMC S S S S =++ ，所以11()24xy xz yz ⨯⨯=++，得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 分别由余弦定理得221x y xy ++=，223y z yz ++=，224x z xz ++=，所以2222()8x y z xy xz yz +++++=，所以2222()28x y z +++=，得2223x y z ++=，所以2222()2()347x y z x y z xy xz yz ++=+++++=+=，所以7x y z ++=，即7AM BM CM ++=.故答案为：7【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，解题的关键是在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理找出,,AM BM CM 的关系，再结合ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 又得到,,AM BM CM 的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．【答案】（15（2）1a <.【解析】【分析】（1）由已知求出a ，再由模的意义求出结果.（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.【小问1详解】由z 为纯虚数，得232020a a a ⎧-+=⎨-≠⎩，解得1a =，则i z =-，所以|2||2i |z +=-=.【小问2详解】由复数z 在复平面内对应的点在第四象限，得232020a a a ⎧-+>⎨-<⎩，解得1a <，所以实数a 的取值范围是1a <.16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AF FB = ，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF ；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．【答案】（1）12BE b a =- ，23DF a b =- （2）59,24m n =-=-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；（2）对AC mBE nDF =+ 结合（1）化简用a ，b 表示，而A C a b =+ ，然后列方程组可求得结果；（3）设BG BE λ= ，DG DF μ= ，由AG AB BG =+ ，AG AD DG =+ ，用用a ，b 表示，列方程组求出,λμ，从而可得12AG AH = ，进而证得结论.【小问1详解】因为在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB = ，所以1122BE AE AB AD AB b a =-=-=-uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r r r ，2233DF AF AD AB AD a b =-=-=- ．【小问2详解】由（1）知12BE b a =- ，23DF a b =- ，所以12212332AC mBE nDF m b a n a b n m a m n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为A C a b =+ ，所以213112n m m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5294m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【小问3详解】12AH AB BH a b =+=+ ，设BG BE λ= ，DG DF μ= ，则()11122AG AB BG a b a a b λλλ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，又()22133AG AD DG b a b a b μμμ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭ ，所以213112μλμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124AG a b =+ ，∴111222AG a b AH ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，∴AG AH，即A ，G ，H三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）112．【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理证明；（2）应用面面垂直判定定理证明；（3）等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】连接1AB ，因为直三棱柱111ABC A B C -，1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，又11BB AA BC ==∴11BB C C 是正方形且O 为线段1B C 的中点，又M 为线段AC 中点，∴1//MO AB ，又OM ⊄平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴//OM 平面11ABB A ；【小问2详解】∵1BB AB ⊥，1B C AB ⊥，1111,BB B C B B C ⋂=⊂平面111,BCC B BB ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥平面11BCC B ，又AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11BCC B ；【小问3详解】∵M 为线段AC 中点，∴111111111111222362212B BOM M BB O A BB O BB O V V V S AB ---===⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，即三棱锥1B BOM -的体积为112．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）2（3）ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）先化简，再根据正弦函数的单调性求解；（2）根据函数两个不相等的实数根，结合正弦单调性及值域求参；（3）把恒成立问题转化为解三角不等式即可.【小问1详解】()333π3cos2sin2222262f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈，解得()ππππZ 36k x k k -≤≤+∈，令()ππ3π2π22πZ 262k x k k +≤+≤+∈，解得()π2πππZ 63k x k k +≤≤+∈，故函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】由（1）知函数()f x 在区间π[0,]6单调递增，在区间ππ[,]62单调递减，又()0f =π3362f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()f x 图象可知a 的取值范围是2．【小问3详解】即不等式2π3sin 20616m x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对R m ∈恒成立，有2π31π1Δ3sin 20,sin 264262x x ⎛⎫⎛⎫=+-≤-≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π22π+666k x k -+≤+≤或5ππ7π2π22π666k x k +≤+≤+解得πππ6k x k -+≤≤，或ππππ32k x k +≤≤+故x 的取值范围是ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）7（3）1434⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则OEAC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，故OE BE ⊥，故1BE ==，又因为1AE BE CE ===，得到AB BC ⊥；（2）求出AB BC ==BE OE ⊥，得到线面垂直，线线垂直，求出BD =，由余弦定理和同角三角函数关系得到sin 4BCD ∠=，得到△BCD 外接圆的半径，进而得到点到平面的距离；（3）作出辅助线，得到0BDE ∠为BD 与平面OAC 所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，表达出02cos sin BE θθ=，202cos CE θ=，由余弦定理求出0DE =，得到0tan BDE ∠=由基本不等式，求出线面角的正切值的最大值，从而得到余弦值的最小值为1434⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】证明：取AC 中点E ，连接BE ，OE ，OC ，因为2OA OB OC OD ====，所以平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则2AC CD ==，60OAC ∠=︒，故OE AC ⊥，且OE =又平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，OE ⊂平面OAC ，所以OE ⊥平面ABC ，因为BE ⊂平面ABC ，所以OE BE ⊥，故221BE OB OE =-=，又因为1AE BE CE ===，所以,ABE BAE CBE BCE ∠=∠∠=∠，因为180ABE BAE CBE BCE ∠+∠+∠+∠=︒，所以90ABE CBE +=︒∠∠，AB BC ⊥．【小问2详解】因为AB BC =，2AC =，又AB BC ⊥，所以2AB BC ==BE AC ⊥，又3OE =1BE =，2OB =，故222BE OE OB +=，故BE OE ⊥，又AC OE E = ，,AC OE ⊂平面OAC ，所以BE ⊥平面OAC ，因为DE ⊂平面OAC ，所以BE DE ⊥，在ODE 中，OE ⊥AC ，故OE ⊥OD ，由勾股定理得222237DE OE OD =+=+=在△BDE 中，由勾股定理得2222BD BE DE +=，所以在△BCD 中，易知2222cos 24222BC CD BD BCD BC CD +-∠==-⋅⨯，则214sin 1cos 4BCD BCD ∠=-∠，记△BCD 外接圆的半径为r ，故872sin 8BD r BCD ==∠，即477r =，所以点O 到平面BCD距离7d ==．【小问3详解】作0BE AC ⊥于0E ，因为平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，0BE ⊂平面ABC ，所以0BE ⊥平面OAC ，因为0DE ⊂平面OAC ，所以00BE DE ⊥，故0BDE ∠为BD 与平面OAC所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，其中cos 2cos BC AC θθ==，0sin 2cos sin BE BC θθθ==，20cos 2cos CE BC θθ==，在0CDE 中，0120E CD ∠=︒，由余弦定理得222420002cos12044cos 4cos E D CD E C CD E C θθ=+-⋅︒=++，故0DE =，故000tan BE BDE DE ∠===≤当且仅当2tan θ=时，等号成立，143cos4BDE⎛⎫∠=≥ ⎪⎝⎭，故BD与平面OAC所成角的余弦值的最小值为1434⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.。
陕西省汉中市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2023—2024学年第二学期期末考试2026届高一数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1i)2i z +=，则z 等于（）A.1i+ B.1i-+ C.1i- D.1i--2.已知点()3,1P -是角α终边上一点，则cos α=（）A .10-B.1010C.31010-D.310103.下列关于空间几何体的论述，正确的是（）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线D.存在三棱锥，其四个面都是直角三角形4.已知,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m ,n α α，则m nB.若,,m n m αα⊂⊂ ,n ββ，则α βC.若,m n α⊥ ,βαβ⊥，则m n ⊥D.若,αβγβ⊥⊥，且m αγ= ，则m β⊥5.已知正数a ，b ，c 满足1222111log ,,222abca b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系是（）A.c a b <<B.c b a<< C.a c b<< D.a b c<<6.已知π3sin 125α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.2425 B.2425-C.725D.725-7.若:1p k =，:q 函数()1ln kx f x x k-=+为奇函数，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =、3BC =，M 、N 分别为棱AB 、1BB 的中点，点P 在对角线11A C 上，且13A P =，过点M 、N 、P 作一个截面，该截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.若a b = 则a b =B.若a b = ,则//a bC.若a b > 则a b> D.若0,a = 则0a = 10.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）A.平均数为14B.方差为13.4C.第85百分位数为18D.众数为1211.已知四面体ABCD 的所有棱长均为1，M N ，分别为棱AD BC ，的中点，F 为棱AB 上异于A B ，的动点.下列结论中正确的是（）A.线段MN 的长度为2B.FMN 周长的最小值为22+C.四面体ABCD 的外接球的表面积是3π2D.异面直线MN 和CD 所成的角为π4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，且//a b，则y =______．13.已知函数()2π2ππcos 2,,333f x x x ⎫⎛⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎣⎦⎭，则函数()f x 的单调递减区间为______.14.在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且()14AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm ），得到以下频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值和中位数．（2）若树高185cm 及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中按分层随机抽样的方法抽取40株树苗做进一步研究，则不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？16.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =，()()sin sin sin 3sin a c A C bB c A ++=+（1）求B ；（2）若2a =，求ABC 的面积.17.在五面体ABCDEF 中，CD ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE .（1）求证：//AB CD ；（2）若1,2,3,90AD DE EF AB CD ADE =====∠=︒，求二面角A BC F --的余弦值.18.已知三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，且12BC BB =，160CBB ∠=︒，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点.（1）求证：平面1C AD ⊥平面1B AD ；（2）在棱1AA 上是否存在点Q ，使得BQ 与平面11ACC A 的所成角为60°.如果存在，请求出1AQAA ；如果不存在，请说明理由.19.已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的12x x ∈R ，，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．（1）判断和证明()21f x x =+是否是[)0+∞，关联？是否是[]01，关联？（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式()23f x ≤≤；（3）证明：“()f x 是{}1关联，且是[)0+∞，关联”的充要条件是“()f x 是[]12，关联”．2023—2024学年第二学期期末考试2026届高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】4-【13题答案】【答案】2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）0.0250；190（2）14株和26株【16题答案】【答案】（1）π3；（2）439 8+.【17题答案】【答案】（1）证明见详解（2）3【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【19题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）1,5⎤⎦（3）证明见解析.。
福建省漳州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
漳州市2023-2024学年（下）期末高中教学质量检测高一数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()1i 2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =（）A.1C.2D.2.设x ∈R ，向量()(),1,2,4a x b ==- ，且a b ⊥ ，则a b += （）A.3B.5C.9D.253.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（）比赛成绩678910班级数35444A.8.5B.9C.9.5D.104.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若,m αβ⊥∥α，则m β⊥B.若m ∥,n αα⊥，则m n ⊥C.若,m n n α⊥⊥，则m ∥αD.若α∥,,m m βα⊂∥n ，则n ∥β5.某校高一､高二､高三的学生志愿者人数分别为100,100,50.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心.从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人来自不同年级的概率为（）A.15B.25C.35D.456.如图，在ABC 中，3AB AD =，点E 是CD 的中点.设,AB a AC b ==，则AE =（）A.1162a b +B.1132a b +C.1162a b-+ D.1162a b - 7.如图，A O B ''' 是由斜二测画法得到的AOB 水平放置的直观图，其中2O A O B '=''='，点C '为线段A B ''的中点，C '对应原图中的点C ，则在原图中下列说法正确的是（）A.0OC AB ⋅=B.AOB 的面积为2C.OC 在OB 上的投影向量为2OBD.与AB 同向的单位向量为10AB8.威镇阁坐落于漳州市区战备大桥引桥左侧，是漳州市的标志性建筑之一.某同学为测量威镇阁的高度MN ，在威镇阁的正北方向找到一座建筑物AB ，高约为26m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，威镇阁顶部M 的仰角分别为30 和45 ，在A 处测得威镇阁顶部M 的仰角为15 ，威镇阁的高度约为（）A.65mB.60mC.52mD.45m二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知甲､乙两位同学在高一年六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（）A.若甲､乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >B.若甲､乙两组数据的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差10.在复平面内，下列说法正确的是（）A.复数12i z =-，则z 在复平面内对应的点位于第四象限B.232024i i i i 0++++= C.若复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z =D.若1z =，则1i z ++1+11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别为1,BB BC 的中点，下列说法正确的是（）A.直线1A D 与平面1D EF 平行B.直线EF 与平面ABCD 所成的角为60C.异面直线1AC 与BD 所成角的余弦值为2D.若点G 是该正方体表面及其内部的一个动点，且AG ∥平面1BDC ，则线段CG 的长的取值范围是3⎡⎢⎣三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.，上､下底面半径分别为2，3，则该圆台的体积为__________.13.复数1+是方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=__________.14.二面角l αβ--为π,,,3A l D B C β∈∈､为线段AD 的三等分点，且AD =D 到l 的距离为3.若P 为平面α内一动点，则BPC ∠最大时，cos BPC ∠的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数()12121i ,12i,z b b z z z =+∈=+R 为纯虚数.（1）求b 的值；（2）在复平面内，若12,z z 对应的向量分别为,OA OB，其中O 为原点，求cos ,OA OB .16.（15分）漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；（2）已知满意度分值落在[)70,80的平均数175z =，方差219s =，在[)80,90的平均数为285z =，方差224s =，试求满意度分值在[)70,90的平均数z 和方差2s .17.（15分）如图1，在直角三角形P BC '中，90,,P CB A D ∠=' 分别为,P B P C ''的中点，将P AD ' 沿AD 折起，形成四棱锥P ABCD -，如图2.点,,E F M 分别为,,PB BC PD 的中点，设平面PAB 与平面PCD 的交线为l .（1）求证：l ∥平面AEF ；（2）求证：l BC ⊥；（3）过点,,A E M 的平面交PC 于点N ，求PNNC的值.18.（17分）孟德尔在观察踠豆杂交时发现了以下规律：㱧豆的各种性状是由其遗传因子决定的.以子叶颜色为例，踠豆的子叶分黄､绿两种颜色，其中黄色为显性性状，绿色为隐性性状.我们用DD 表示子叶为黄色的踠豆的遗传因子对，用dd 表示子叶为绿色的踠豆的遗传因子对.当这两种踠豆杂交时，父本的其中一个遗传因子与母本的其中一个遗传因子等概率随机组合，子一代的遗传因子对全部为Dd ，如下图所示，其中D 为显性遗传因子，d 为隐性遗传因子.当生物的遗传因子对中含有显性遗传因子时呈现显性性状，否则呈现隐性性状.例如：DD,Dd 均指示黄色子叶，dd 指示绿色子叶.我们称以上定律为孟德尔定律.已知人的单､双眼皮性状服从孟德尔定律，其中双眼皮是显性性状，记其遗传因子对为AA 或Aa ；单眼皮是隐性性状，记其遗传因子对为aa .若仅考虑眼皮性状，已知甲的母亲､父亲､伯父､姑父､姑母的遗传因子对均为Aa ，伯母为单眼皮.（1）求甲和堂弟都是单眼皮的概率；（2）求甲和堂弟､表妹三人中至少两人为单眼皮的概率.19.（17分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =（1）用“三斜求积”公式证明1sin 2S ac B =；（2）若2b =cos B C c ⋅+=，求ABC 面积的最大值；（3）定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体E FGH -的外接球表面积为1,S FGH 的外接圆面积为2S .已知,FG a FH b ==，且()()()()()222222222222222222222,xy z y zz x x y y z zx xy x y z x y b ++++=+++++=，222y z a +=，试用,,x y z 表示21S S ，并求21S S 的取值范围.漳州市2023-2024学年（下）期末高中教学质量检测高一数学参芳答案评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12345678BBCBDADC二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACDBDAD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.19π313.114.2四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为121i,12i z b z =+=+，所以()()()()2121i 12i 12i i 2i 122i z z b b b b b =++=+++=-++，因为12z z 为纯虚数，所以120,20,b b -=⎧⎨+≠⎩解得12b =.（2）由（1）得111i 2z =+，又212i z =+，所以12,z z 在复平面内对应点的坐标分别为11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,2B ，所以()11,,1,22OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭cos ,||||OA OBOA OB OA OB ⋅=4.5=16.解：（1）由频率分布直方图可得，()0.0050.0120.020.025101a +⨯+++⨯=，解得0.03a =，由频率分布直方图可估计众数为85.满意度分值在[)40,80的频率为()0.0050.0120.02100.450.5+⨯+⨯=<，在[)40,90的频率为()0.0050.0120.020.03100.750.5+⨯++⨯=>，所以中位数落在区间[)80,90内，所以中位数为0.50.452458010820.33-+⨯=≈.（2）由频率分布直方图得，满意度分值在[)70,80的频率为0.02100.2⨯=，人数为20；在[)80,90的频率为0.03100.3⨯=，人数为30，把满意度分值在[)70,80记为1220,,,x x x ，其平均数175z =，方差219s =，在[)80,90记为1230,,,y y y ，其平均数285z =，方差224s =，所以满意度分值在[)70,90的平均数12203020753085815050z z z +⨯+⨯===，根据方差的定义，满意度分值在[)70,90的方差为()()203022211150i j i j s x z y z==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()203022112211150i j i j x z z z y z z z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑由()20201111200iii i x z x z==-=-=∑∑，可得()()()()2020111111220ii i i x z zz z z x z ==--=--=∑∑，同理可得()()3022120jj yz z z =--=∑，因此，()()()()202030302222211221111150i j i i j j s x z z z y z z z====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑()()2222112220305050s z z s z z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦2220309(7581)4(8581)305050⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦17.解法一：（1）取PC 中点G ，连接,DG EG，如图所示，因为E 是PB 中点，所以EG 为PBC 的中位线，所以EG ∥1,2BC EG BC =，因为AD ∥1,2BC AD BC =，所以AD ∥,EG AD EG =，所以四边形ADGE 是平行四边形，所以AE ∥DG ，因为DG ⊂平面,PCD AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ，又AE ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以AE ∥l ，因为AE ⊂平面,AEF l ⊄平面AEF ，所以l ∥平面AEF .（2）在P BC ' 中，,A D 分别为,P B P C ''的中点，所以AD 为P BC ' 的中位线，所以AD ∥BC ，因为90P CB ∠=' ，即P C BC '⊥，所以AD P C ⊥'，所以翻折后，,AD PD AD CD ⊥⊥，因为,PD CD D PD ⋂=⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，因为平面PAB ⋂平面PCD l =，所以l ⊂平面PCD ，所以l BC ⊥.（3）由（1）知，AE ∥平面PCD ，因为平面AENM ⋂平面PCD MN =，AE ⊂平面AENM ，所以AE ∥MN ，所以MN ∥DG ，因为M 是PD 中点，所以N 是PG 中点，所以13PN NC =.解法二：（1）如图，延长,CD BA 交于点Q ，连接PQ ，则直线PQ 即为交线l .（理由如下：因为CD AB Q ⋂=，所以,Q CD Q AB ∈∈，因为CD ⊂平面,PCD AB ⊂平面PAB ，所以Q ∈平面PCD ，Q ∈平面PAB ，又P ∈平面,PCD P ∈平面PAB ，所以平面PAB ⋂平面PCD PQ =.）在P BC ' 中，,A D 分别为,P B P C ''的中点，所以AD 为P BC ' 的中位线，所以AD ∥BC ，且12AD BC =，所以A 为BQ 中点.因为E 为PB 中点，所以AE 为PBQ 的中位线，所以AE ∥,PQ 因为AE ⊂平面,AEF PQ ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AEF ，即l ∥平面AEF .（2）同解法一.（3）取PC 中点G ，连接,DG EG ，因为E 是PB 中点，所以EG ∥1,2BC EG BC =，因为AD ∥1,2BC AD BC =，所以,AD EG AD =∥EG ，所以四边形ADGE 是平行四边形，所以AE ∥DG ，因为DG ⊂平面,PCD AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ，因为平面AENM ⋂平面,PCD MN AE =⊂平面AENM ，所以AE ∥MN ，所以MN ∥DG ，因为M 是PD 中点，所以N 是PG 中点，所以13PN NC =.18.解：（1）设事件A =“甲为单眼皮”，事件B =“堂弟为单眼皮”，事件,A B 为相互独立事件，事件AB =“甲和堂弟都是单眼皮”，因为甲的母亲､父亲的遗传因子对均为Aa ，所以甲的遗传因子有三种类型：AA,Aa ，aa ，其中AA ，aa 出现的概率都是14，Aa 出现的概率为12，甲为单眼皮时，遗传因子为aa ，所以()14P A =，因为伯父遗传因子对为Aa ，伯母遗传因子对为aa ，所以堂弟的遗传因子有两种类型：Aa ，aa .其中Aa ，aa 出现的概率均为12，所以堂弟为单眼皮的概率()12P B =，故甲和堂弟都是单眼皮的概率()()()111428P AB P A P B ==⨯=.（2）设事件C =“表妹为单眼皮”，则,,,,,A B C A B C 相互独立，事件ABC =“甲和堂弟单眼皮，表妹双眼皮”，事件ABC =“甲和表妹单眼皮，堂弟双眼皮”，事件ABC =“表妹和堂弟单眼皮，甲双眼皮”，事件ABC =“甲和堂弟､表妹都是单眼皮”，则事件,,,ABC ABC ABC ABC 两两互斥，因为1331(),(),(,()4442P C P C P A P B ====，所以1133(()()()42432P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，1111()()()()42432P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，3113(()()(),42432P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，1111()()()(),42432P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以甲和堂弟表妹三人中至少两人为单眼皮的概率为()()()()()P ABC ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC P ABC +++=+++31311.323232324=+++=19.解法一：（1）证明：由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以2222cos a c b ac B +-=，所以S ===1sin 2ac B ==所以1sin 2S ac B =得证.（2cos B C c ⋅+=，由余弦定理得，22222222a c b a b c c ac ab+-+-⋅+=因为2b =，代入上式化简得22ac =，所以c =，所以S ====所以当2a =时，ABC （3）由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，设GH c =，则222z x c +=，设等腰四面体的外接球半径为R ，所以R =所以()222214ππS R x y z ==++，在FGH 中，由余弦定理得222cos 2a b c F ab+-=，222222sin 1cos 12a b c F F ab ⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭()()()()4222222222222221y x y x z y z y z x y y z x y ++=-=++++所以sin F =设FGH 的外接圆半径为r，由正弦定理得2sin c r F =，所以2sin c r F==，所以()()()()22222222222222ππ4y z z x x y S r y z z x x y +++==++，所以()()()()()222222222222222214y z z x x y S S y z z x x y x y z +++=++++，因为()()()()()222222222222222222x y z y z z x x y y z z x x y x y z ++++=++++，所以()()()()()()2222222222222222144y z z x x y S S y z z x x y x y z +++=++++，所以()()()()()()2222222221222222244y z z x x y x y z S S y z z x x y ++++=+++()()()22222222244x y z yz z x x y =++++因为2222222,2,2x y xy y z yz z x xz +++ ，所以()()()2222222228y z z x x y x y z +++ ，所以()()()222222222412x y z y z z x x y +++ ，所以()()()2222222224942x y z yz z x x y ++++ ，当且仅当x y z ==时，等号成立，又因为()()()22222222240x y z y z z x x y >+++，所以()()()222222222444x y z y z z x x y +>+++，所以()()()22222222249442x y z y z z x x y <++++ ，即12942S S < ，所以212194S S < ，所以21S S 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法二：（1）同解法一.（2）因为2sin sin sin a b c R A B C===，所以2sin ,2sin c R C b R B ==，因为cos b B C c =⋅+=，cos cos B C c ⋅=，2sin cos 2sin cos 2sin R C B R B C R C +=，()sin C B C +=sin A C =，所以22c R R=，所以c =，所以S ===所以当2a =时，ABC（3）由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，设GH c =，则222z x c +=，设等腰四面体的外接球半径为R ，所以R =所以()222214ππS R x y z ==++，又因为FGH S ===设FGH 的外接圆半径为r ，由正弦定理得2sin c r F =，因为1sin 2FGH S ab F = ，所以2sin FGH S F ab = ，代入，22FGHabcr S ==所以()()()()22222222222222ππ4y z z x x y Sr y z z x x y +++==++，下同解法一.。
河南省郑州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
辽宁省鞍山市第一中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
鞍山市第一中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学科试卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 与角终边相同的角是（ ）A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ）A. B. C D. 3. 已知复数z 满足，则（ ）A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）A. B. 4C. D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 若相邻两条对称轴的距离为，则；B. 若，则时，的值域为；C. 若在上单调递增，则；.20- 300- 280- 320340()2tan 26f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭6x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭,6x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ,26k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ()1i i +-z z =1i-1i+22i-22i+OAB V OAB '''V OAB '''V B x ()2ππsin 2sin 22cos 1(0)66f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π22ω=1ω=π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []1,1-()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦203ω<≤D. 若在上恰有2个零点，则.6. 已知，则的值为（ ）A. 1B.C. 2D. 7. 设m 、n 为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（）A. 若m 上有两个点到平面的距离相等，则B.若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 若，，，则D. 若m 、n 是异面直线，，，，，则8. 如图，在正四面体中，是棱上三等分点，记二面角，的平面角分别为，则（ ）A.B.C. D. 二、选择题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分）.9. 下列命题正确的是（ ）A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件B. 若C. 在中，若，则为锐角三角形D. 已知，且，则10. 下列有关向量的命题正确的是（）的()f x []0,π11171212ω≤<20α=︒tan 4sin αα+αβαm αP m α⊥n β⊂m n ∥αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥m α⊂m βP n β⊂n α∥αβ∥ABCD ,E F CD C AB E --,E AB F F AB D ----123,,θθθ123θθθ==123θθθ<<132θθθ=>132θθθ=<:p α:q cos 0α<p q α+=ABC V tan tan 1A B ⋅>ABC V π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos2α=tan α=A. 若均为非零向量，且，则B. 已知单位向量满足，则C. 在中，若，且，则为等边三角形D. 若点在所在平面内，且，则点的轨迹经过的外心．11. 如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P 是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（ ）A.B. 平面平面C. 直线与平面所成角D. 若的轨迹的长度为三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分）.12. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为，且，则______．13. 四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________的,,a b c a b a c ⋅=⋅ b c= ,,a b c 2340a b c ++= 14a b ⋅=ABC V 0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅= ABC V P ABC V ,2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ⎛⎫+ ⎪=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭R u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r P ABC V 111ABC A B C -112,,AA M M =11,AB A B 11AA B B 11MM C C ⊥11AA B BCP 11AA B B CP =P 2πABC V ,,a b c 222,4a c b ac +-==AB BC ⋅=P ABCD -E PD 35PE PD =PF PC λ=//BF ACE λ=14. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为__________．四、解答题（本大题共5道小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 在中，内角所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：平面；ABCD ,ADE BCF V V EF P ,4CD EF =ABC V ,,A B C ,,,6a b c b=cos sin b C a B =+B BAC ,D BD =E AC 2EC EA =BDE V 111ABC A B C -6AC =10AB =3cos 5CAB ∠=18AA =D AB 1//AC 1CDB（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．17. 已知向量，函数．（1）求函数在上的单调递减区间；（2）若，且，求的值；（3）将图象上所有点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．18. 已知函数的图象如图所示，点B ，D ，F 为与x 轴的交点，点C ，E 分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值.（1）求参数φ的值；（2）若，求向量与向量夹角余弦值；（3）若点P 为函数图象上的动点，当点P 在C ，E 之间运动时，恒成立，求A 的取值范围.19. 如图，四面体中，，，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上；①点为中点，求与所成角的余弦值；的的1AC BC ⊥11A B CD -(cos ,2sin ),(2cos )a x x b x x ==()f x a b =⋅()f x a b =⋅ [0,π]()0115f x =0ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0cos2x ()g x π6()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x m =m π()sin (0,π)2f x A x A ϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x ()f x ()f x 12x =-1A =2BC CD - 3BC CD +()f x 1BP PF ⋅≥ABCD AD CD ⊥AD CD =ADB BDC ∠=∠E AC BED ⊥ACD 2AB BD ==60ACB ∠=︒F BD F BD CF AB②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．AFC △CF ABD鞍山市第一中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学科试卷答案一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、选择题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分）.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分）.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##四、解答题（本大题共5道小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1） （2【16题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略 （3）64【17题答案】【答案】（1） （2 （3）【18题答案】【答案】（1） （2） （3）【19题答案】【答案】（1）证明略 （2．-1332π332π32π3B =π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)11,02⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭π4ϕ=-(A ∈。
2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z =(2−ai)(1+2i)为纯虚数，则实数a =( )A. −2B. 2C. −1D. 12.已知向量a =(2,−1)，b =(k,2)，且(a +b )//a ，则实数k 等于( )A. −4B. 4C. 0D. −323.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γC. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//nD. 若m//α，m//β，则α//β4.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为线段AC 和线段A 1B 的中点，求直线MN 与平面A 1B 1BA 所成角为是( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 75∘5.已知cos 2α=23，则cos(π4−α)cos(π4+α)的值为( )A. 13B. 23C.23 D.2 296.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为−12b ，则|a−b |=( )A. 1B. 2C.2D.37.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H(单位：米，记水筒M 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式H =2sin(π30t +φ)+54，φ∈(0,π2)，且t =0时，盛水筒M 位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M 距离水面的高度为( )米．A. 3.25B. 2.25C. 1.25D. 0.258.已知角α，β满足cos α=13，cos (α+β)cos β=14，则cos (α+2β)的值为( )A. 112B. 18C. 16D. 14二、多选题：本题共3小题，共15分。
福建省福州2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（答案在最后）（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.122.已知复数12z i =-，则zz=（）A.12B.1C.2D.43.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C .若αβ⊥，//l α，//m β，则l m⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+= B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.77,3D.77,77.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为610.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQC.若1A BQ △的外心为M ，则11AB A M ⋅为定值2D.若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,ACB AC AB ACB ∠∠===的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.13.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由.19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】【分析】利用百分位的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：9，9，10，10，11，12，13．上四分位数即75%分位数，775% 5.25⨯=，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第6个数，即12，故选：D．2.已知复数12z i=-，则zz=（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算法则，得到34i55zz=--，再利用复数模的定义，即可求出结果.【详解】因为12z i =-，所以12i 14i 434i 12i 555z z ---===--+，得到1z z=，故选：B.3.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C.若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m 【答案】B 【解析】【分析】根据线面平行或垂直的判定及性质定理逐个判断即可．【详解】对于A ，若//αβ，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能相交，还可能异面，故A 错误；对于B ，若//l m ，m β⊥，则l β⊥，又//αβ，所以l α⊥，故B 正确；对于C ，D ，αβ⊥，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能异面或相交，故C ，D 错误；故选：B ．4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+=B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-【答案】A 【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为0，再由向量的数量积运算化简可得λ和μ的关系.【详解】因为向量,a b 满足||||a b == ，=0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，所以22()()(1)()3()0a b a b a a b b λμμλμλλμ+⋅+=++⋅+=+=，所以0λμ+=．故选：A ．5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再利用直角三角形边角关系求解即得.【详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠，sin sin(π)BC s γαγ=--，则sin sin()s BC γαγ=+，在Rt ABC △中，sin sin tan tan tan sin()sin()s s AB BC ACB γγββαγαγ=∠=⋅=++.故选：A6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.277,3D.277,7【答案】D 【解析】【分析】将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段AB ，利用余弦定理即可求解，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，由题意得到AM 为上坡路段，MB 为下坡路段，计算即可.【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，由题可得该扇形半径2PA =，弧长为24π2π33⨯=，故圆心角4π2π323APB ∠==，最短路线即为扇形中的直线段AB ，由余弦定理可得：222cos 7AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=；2227cos 27PB AB PA PBA PB BA +-∠==⋅，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，当蚂蚁从A 点爬行到点M 过程中，它与点P 的距离越来越小，故AM 为上坡路段，当蚂蚁从点M 爬行到点B 的过程中，它与点P 的距离越来越大，故MB 为下坡路段，下坡路段长27cos 7MB PB PBA =⋅∠=，故选：D7.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件【答案】C 【解析】【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由3434,A A A A =∅≠Ω 即可判断A ；由1313()()()P A P A P A A ≠即可判断B ；由2424()()()P A P A P A A =即可判断C ，由24A A ≠∅ 即可判断D.【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间Ω如下：()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6}，共36个样本点．则事件1A 包括(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共6个，11()6P A =，事件2A 包括(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),，共18个，21()2P A =，事件3A 包括(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共5个，35()36P A =，事件4A 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，461()366P A ==.对于A ，3434,A A A A =∅≠Ω ，所以3A 与4A 不为对立事件，故A 错误；对于B ，事件13A A 包括(2,4)，则131()36P A A =，又11()6P A =，35()36P A =，所以131315()()()636P A P A P A A =⨯≠，即1A 与3A 不相互独立，故B 错误；对于C ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则241()12P A A =，又21()2P A =，41()6P A =，所以2424111()()()2612P A P A P A A =⨯==，即2A 与4A 相互独立，故C 正确；对于D ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则24A A ≠∅ ，即2A 与4A 不为互斥事件，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键.8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2AB BC AC ===，从而得-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】PA PB PC == ，BPA CPA CPB ∠=∠=∠，所以AB BC AC ==，故ABC 为等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，取AC 的中点O ，连接,PO BO ，则,AC BO AC PO ⊥⊥，又,,BO PO O BO PO =⊂ 面PBO ，所以AC ⊥面PBO ，又BP ⊂面PBO ，所以AC PB ⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，又,PA PC ⊂面PAC ，所以,PA PB PC PB ⊥⊥，PA PB PC === ，2AB BC AC ∴===，在APC △中由勾股定理得PA PC ⊥，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==2R =，344π338V R ∴=π=⨯=，故选：D ．【点睛】思路点睛：补体法解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，由余弦定理得sin cos 2CC =，求出sin tan 2cos C C C==；B 选项，由正弦定理和sin sin cos cos sin C A B A B =+化简得到sin cos A A =，求出π4A =；C 选项，在A 选项基础上求出sin 5C =，cos 5C =，从而得到sin 10B =，由正弦定理得到b =D 选项，由三角形面积公式求出答案.【详解】A 选项，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，故sin tan 2cos CC C==，A 正确；B 选项，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B +=+，即sin sin cos sin B A A B =，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，故sin cos A A =，又()0,πA ∈，故π4A =，B 正确；C 选项，由A 选项可知，sin cos 2C C =，又22sin cos 1C C +=，故25sin 14C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，解得sin 5C =，故5si cos n 2C C ==，()sin sin sin cos cos sin 252510=+=+=⨯+⨯=B AC A C A C ，由正弦定理得sin sin a bA B=12=b =C 错误；D 选项，△ABC的面积为11sin 6225ab C ==.故选：ABD10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQ 5C.若1A BQ △的外心为M ，则11A B A M ⋅为定值2D.若17AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π【答案】ABD 【解析】【分析】由题易证得1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，可判断A ；取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，由面面平行的判定定理可得平面1//A BP 面AMN ，因为AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP ，当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值可判断B ；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C ；在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，易知点Q 的轨迹为圆弧23A A 可判断D.【详解】对于A ，因为11//A B D C ，又因为1A B ⊂面1A BP ，1D C ⊄面1A BP ，所以1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，故A 正确；对于B ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，则易证明：//AM PC ，AM ⊄面1A BP ，PC ⊄面1A BP ，所以//AM 面1A BP ，又因为1//A B MN ，，MN ⊄面1A BP ，1A B ⊄面1A BP ，所以//MN 面1A BP ，MN AM M ⋂=，所以平面1//A BP 面AMN ，AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值，则易求出5,2,AM MN ==2212cos1204122172AN AD DN AD DN ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,Q M 重合，所以则AQ 的最小值为5AM =，故B 正确；对于C ，若1A BQ △的外心为M ，，过M 作1MH A B ⊥于点H ，2212+2=22A B 则21111==42A B A M A B ⋅ .故C 错误；对于D ，过1A 作111A O C D ⊥于点O ，易知1A O ⊥平面11C D D ，111cos 13OD A D π==在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，则13127A A A A ==，32732OA OA ==-=所以若17AQ =，则Q 在以O 为圆心，2为半径的圆弧23A A 上运动，又因为1131,3,D O D A ==所以323A OA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,7,ACB AC AB ACB ∠∠=== 的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.【答案】23【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理可得：1BC =，由正弦定理可得21sin 7B =，根据角平分线的性质可得：2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BD B DCB =∠即可求解.【详解】因为在ABC 中，120,2,7ACB AC AB ∠===由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AB BC ACB =+-⋅⋅∠，解得1BC =由正弦定理可得：sin sin AC AB B ACB =∠，即27sin 3B =，解得：21sin 7B =，因为ACB ∠的角平分线交AB 于D ，所以60BCD ︒∠=，由角平分线性质可得：BD BCDA AC=，所以2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BDB DCB =∠7321372=23CD =故答案为：2313.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．【答案】()315e -【解析】【分析】先根据题意以及题中数据，可得：向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此即可估计出曲边三角形的面积.【详解】由题意以及表中数据可得，向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，所以其频率为63105=，因为矩形区域面积为()111e e -⨯=-，所以这个曲边三角形面积的一个近似值为()315e -.故答案为()315e -【点睛】本题主要考查几何概型，以及定积分在求面积中的应用，属于常考题型.14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.【答案】4+4【解析】【分析】根据条件求出正四面体ABCD 的棱长为2，设(01)AF AD λλ=<<，利用几何关系得到空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，即可求出结果.【详解】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，设正四面体ABCD ，所以正方体的边长为a ，易知正方体的外接球直径为体对角线DH 的长，又DH =，所以正四面体的半径22DH R ==，依题有224π3π6πR a ==，得到a =，即正四面体ABCD 的棱长为2，因为//BD 面CEF ，面ABD ⋂面CEF EF =，BD ⊂面ABD ，所以//EF BD ，设(01)AF AD λλ=<<因为2AB AD BD ===，则2AF AE λ==，22BE DF λ==-，在EAF △中，因为π3EAF ∠=，所以2EF λ=，在FDC △中，π3FDC ∠=，2DC =，则FC =，所以空间四边形BCFE 的四条边长之和2222442L λλ=+-++++，又01λ<<，当12λ=时，min 4L =+，故答案为：4+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出(01)AF AD λλ=<<后，利用几何关系得出FC =2EF λ=，22BE λ=-，从而得出空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，转化成求L 的最小值来解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.【答案】（1）0.125；（2）310【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得a 的值；（2）再由[)15,17和[)17,19的频率比0.120.153=，确定这5株分别在[)15,17和[)17,19的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可.【小问1详解】依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17的频率为：20.0500.1⨯=；高度在[)17,19的频率为：20.0750.15⨯=；且0.120.153=，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，因此记高度在[)15,17植株为,m n ，记高度在[)17,19植株为,,A B C ，则所有选取的结果为（m ，n ）、（m ，A ）、（m ，B ）、（m ，C ）、（n ，A ）、（n ，B ）、（n ，C ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共10种情况，令抽取的2株高度均在[)15,17内为事件M ，事件M 的所有情况为（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共3种情况，由古典概型的计算公式得：()310P M =.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.【答案】（1（2）()1,5【解析】【分析】（1）在BCD △中，由正弦定理可得sin CBD ∠，从而求得cos CBD ∠.（2）解法一：由（1）求得sin ADB ∠sin cos 55A A =∠+∠，AB 21tan A =+∠，从而ABD S = 21tan A +∠，再利用ππ22ABD A -∠<∠<，即可求得ABD △面积的取值范围；解法二：作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，求得1A D ，1A B ，2A D ，分别求出1A BD S ，2A BD S ，利用12A BD ABD A BD S S S <<△△△即可求得范围.【小问1详解】在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BD CDBCD CBD ∠∠=，所以22sin 5CBD ∠==，又π0,4CBD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5CBD ∠==.【小问2详解】解法一：由（1）可知，πsin sin cos 25ABD CBD CBD ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，所以()sin sin ADB A ABD ∠=∠+∠sin cos cos sin A ABD A ABD =∠∠+∠∠sin cos 55A A =∠+∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠∠，所以sin 2cos sin sin ADB A AAB A A∠∠+∠==∠∠21tan A =+∠，1sin 2ABD S AB BD ABD=⋅⋅∠122112tan 5tan A A⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪∠∠⎝⎭，因为()πADB ABD A ∠=-∠+∠，且ABD △为锐角三角形，所以()π0π2π02ABD A A ⎧<-∠+∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩，所以ππ22ABD A -∠<∠<，所以πtan tan 2A ABD ⎛⎫∠>-∠⎪⎝⎭πsin cos 12πsin 2cos 2ABD ABD ABD ABD ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠⎛⎫-∠ ⎪⎝⎭，所以102tan A<<∠，所以2115tan A<+<∠，即15ABD S <<△，所以ABD △的面积的取值范围为()1,5.解法二：由（1）可知，sin sin cos 25πABD CBD CBD ∠∠∠⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，tan 2ABD ∠=，如图，作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，所以15sin 525A D BD ABD ∠=⋅==，15cos 515A B BD ABD ∠=⋅==，所以112112A BD S =⨯⨯=△，又2tan 5225A D BD ABD ∠=⋅==，所以215552A BD S =⨯=△.由图可知，仅当A 在线段12A A 上（不含端点）时，ABD △为锐角三角形，所以12A BD ABD A BD S S S <<△△△，即15ABD S <<△.所以ABD △面积的取值范围为()1,5.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．【答案】（1）“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为31;52；（2）“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122,,;255三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率825【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.【小问1详解】记=i A “玲儿姐回答正确第i 个问题”，i B =“关关姐回答正确第i 个问题”，i C =“页楼哥回答正确第i 个问题”，1,2i =.根据题意得111111122()()()(1())(1())(1)(1())315P A B P A P B P A P B P B ==--=--=，所以13()5P B =；1111133()()()()510P B C P B P C P C ===，所以11()2P C =；故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为35和12.【小问2详解】由题意知222324(),(),()435P A P B P C ===，“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为11212231()()()342P P A A P A P A ====；“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为21212322()()()535P P B B P B P B ====；“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为31212142()()()255P P C C P C P C ===⨯=；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为123123123(1)(1)(1)P P P P P P P PP P =-+-+-122132123825525525525=⨯⨯+⨯⨯+⨯=.所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122255，，；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为825.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，112BN BB =.【解析】【分析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证.（3）当点N 为1BB 的中点，设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，进而有DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证.【小问1详解】连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM，在1B AC △中M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OM B C ，又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，所以1//B C 平面1A BM .【小问2详解】因为1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥.又M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥.因为1AA AC A = ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BM ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥.因为2AC =，所以1AM =.又1AA =，在1Rt ACC V 和1Rt A AM中，11tan tan AC C A MA ∠=∠=，所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，所以11A M AC ⊥，又1BM A M M = ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM .【小问3详解】当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C .证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN，因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，所以1//DM CC 且112DM CC =，又N 为1BB 的中点，所以//DM BN 且DM BN =，所以四边形BNDM 为平行四边形，故//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN⊥平面11ACC A ，又DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.【答案】（1）0.178-；可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（2）（i ）从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；（ii ）证明见解析；（iii ）均值10.02；标准差0.09【解析】【分析】（1）根据数据和公式即可计算r 的值，根据0.25r <的规则进行判断即可；（2）（i ）计算()3,3x s x s -+的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断；（ii ）根据已学公式进行变形即可证明；（iii ）代入公式计算即可.【小问1详解】由题可得()()16118.5 2.78n i iii i x y nxy x x i ==-=--=-∑∑，40.848s===，18.439=≈所以 2.780.180.84818.439ˆniix ynxyr--=≈-⨯∑，则0.180.25r =<，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小【小问2详解】（i ）由题可得39.9730.2129.334x s -=-⨯=，39.9730.21210.606x s +=+⨯=，因为第13个零件的尺寸为9.22，9.229.334<，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；。
内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．11i 22-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 2．在正ABC V 中，向量AB u u u r 在AC u u u r 方向上的投影向量为（ ）A ．12u u u r BCB ．12AB u u u rC ．12u u u r ACD AC u u r 3．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若13,6,sin 4a b A ===，则B =（ ） A ．π6或5π6 B ．π3或2π3 C ．π6D ．π3 4．某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该商场这个月所有销售员销售额的平均数为（ ）A ．7.05万元B ．6.95万元C ．7.25万元D ．6.85万元 5．已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥C ．若,,//,//m n m n ααβγ⊂⊂，则//βγD ．若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥I ，则n β⊥ 6．某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据1239,,,,x x x x L ，后来复查数据时，又将39,x x 重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．极差 D ．众数7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,3,4ABCD PA AB AD ===，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．34πB ．36πC ．40πD ．136π8．已知四边形ABCD 的顶点都在半径为2的圆O 上，且AD 经过圆O 的圆心，2,BC CD AB =<，四边形ABCD 的面积为3AB =（ ）A ．2B ．3C ．D ．二、多选题9．已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()189,,51520P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（ ） A ．()13P B = B ．()13P C = C ．()712P B C =U D ．()0P B C ⋂= 10．已知复数z 满足210z z -+=，则（ ）A ．1z =B ．12z =C ．12z +=D ．2z -=11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ===点P 在线段11AC 上，则直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值可能为（ ）A B C D ．14三、填空题12．复数221i z i+=-的虚部为． 13．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的侧棱长均相等，四边形ABCD 和四边形1111D C B A 都是正方形，1112,4,A B AB AA ===.14．已知O 是ABC V 的外心，若AO BC CO AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则内角B 的最大值是.四、解答题15．已知向量()1,2a =r ，()2,b x =r .(1)若()a ab ⊥-r r r ，求b r ； (2)若向量()3,2c =--r ，()a b c +r r r ∥，求a r 与b r 夹角的余弦值. 16．某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．(1)试估计样本数据的60%分位数；(2)从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；(3)若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．五、单选题17．某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是12，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.(1)求甲第二次答题通过初赛的概率；(2)求乙通过初赛的概率；(3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.六、解答题18．A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与,P Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由点A 对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAMP Q M AQ MAQ ∠∠=-．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，点D 在射线BC 上． (1)若AD 是角A 的平分线，且3b c =，由点A 对BC 施以视角运算，求(),;B C D 的值；(2)若60,4,A a AB AD =︒=⊥，由点A 对BC 施以视角运算，(),;2B C D =-ABC V 的周长．19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC ⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．(1)证明：//MN 平面ABCD ．(2)证明：BC AC ⊥．(3)若二面角C PB A --，求三棱锥C PAD -的体积．。
2023-2024学年广东韶关实验中学高一下学期7月期末考试数学试题
2023-2024学年广东韶关实验中学高一下学期7月期末考试数学试题1.设全集，集合，，则（）A．{2}B．C．D．2.已知向量，若，则（）A．3B．C．1D．3.A．B．C．D．4.函数的图象大致为（）A．B．C．D．5.以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）A．B．C．D．6.已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（）A．若直线与平面所成角相等，则B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则D．若，且直线异面，则7.一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，则船实际航程为()A．2km B．6km C．2km D．8km8.如图，某工程队将从A到D修建一条隧道，工程队从A出发向正东行到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C向北偏西方向行了到达D.已知C在A南偏东方向上，则A到D修建隧道的距离为（）km.A．B．C．D．9.下列结论正确的是（）A．当时，复数是纯虚数B．复数对应的点在第一象限C．复数z及其共轭复数满足，则D．复数与分分别对应向量与则向量表示的复数为10.已知是函数的一个零点.则（）A．B．函数的值域为C．函数的单调递减区间为D．不等式的解集为11.已知点O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点B的坐标为，作，垂足为D，则下列结论正确的是（）A．B．设四边形OABP有可能是平行四边形C．将绕O逆时针旋转得到向量则的坐标为D．12.已知复数，则=________．13.若且则______，______14.如图，在正方体中，点M为棱的中点，记过点与AM垂直的平面为，平面将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为，则_______.15.设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求B；(2)若，求的面积.16.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如:如图甲，在中，D为BC的中点，则在中，有，在中，有，两式相加得，因为D为BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点.(1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：；(2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值.17.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.(1)求证：平面(2)求证：平面平面(3)若，求二面角的余弦值.18.已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．(1)求函数的解析式；(2)已知常数，，且函数在内恰有2025个零点，求常数与n的值．19.设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“Ω区间”.性质1:对任意，有；性质2:对任意，有.(1)分别判断区间是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由；①②(2)若是函数的“Ω区间”，求实数的取值范围；(3)已知函数在R上单调递减，且只能满足性质2.求证:函数在R上存在唯一的零点.。
河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则（ ） A ．若m P n m n ,,αβ⊥⊥，则αP β B ．若m P n m n ,,αβ⊂⊂，则αP β C ．若m P ,n m P α，则n P α D ．若,αγαβ⊥⊥，则γP β2．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量不超过4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是（ ） A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.683．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．(1,1,1)a =r为单位向量 B ．若////a b b c r r r r ，，则//a c r rC ．若a r ，b r ，c r 共面，则它们所在的直线共面D ．已知(2,1,3)a =--r ，(1,2,2)b =r ，则a r 在b r 上的投影向量为244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭4．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若33OA OC OD OB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD一定是（ ） A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形5．甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则4次传球后球在甲手中的概率为（ ）A ．18B ．14C ．38D ．136．2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）A ．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B ．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C ．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D ．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC CC ===，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，点P 在矩形11BCC B 内运动（包括边界），若1//A P 平面AEF ，则动点P 的轨迹长度为（ ）A ．2B C ．D ．8．如图，在ABC V 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =u u u u r u u u r ，N 是AC 上的点且满足AN NC =u u u r u u u r ，CM 与BN 交于P 点，且AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数13i z =-，2i z =，则下列说法正确的是（ ） A ．12=z zB ．12z z 的共轭复数为13i -C ．21z z 的虚部为310D ．在复平面内，复数122z z -对应的点位于第二象限10．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为1a ，第二次为2a ，设12a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，则（ ）A ．121(5)4P a a +== B ．事件16a =与0A =互斥 C ．125()12P a a >=D ．事件21a =与0A =对立11．（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形ABCD 是边长为4的正方形，则（ ）A ．异面直线AE 与DF 所成角大小为π3B ．二面角A EBC --的平面角的余弦值为13C ．此八面体存在外接球D ．此八面体的内切球表面积为32π3三、填空题12．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为颗．13．如图，线段,AB BD 在平面α内，120,ABD CA ∠α=⊥o ，且1,2,3AB B D AC ===，则CD =.14．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为．四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且12sin 3sin ,cos 3a Cb A A ==．(1)证明：ABC V 为等腰三角形．(2)若D 是边BC 的中点，AD ABC V 的面积．16．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上、下底面圆的圆心，且339cm AC AB BD ===，现有一箱这种的陀螺共重6300g （不包含箱子的质量），陀螺的密度为35g /cm 6（π取3）(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少2cm 的颜料？ 17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)[]50,60,,90,100L ，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值； (2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在[)50,60的平均成绩是54，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，正方形ABCD 的边长为3，点E ，G 分别在棱AB ，CD 上（不含端点）PE AB ⊥，PG CD ⊥，且ta n 2t a n P E G P G E ∠=∠，点F 在棱AD 上，1AF =．(1)证明：PF AD ⊥；(2)若点P 到平面ABCD 的距离为2，PA AP 与平面PBC 所成角的大小． 19．对于平面向量()(),,,0,1,2,k k k k k a x y x y k =∈=N u u rL ，定义“F 变换”： ()1k k a F a +=u u u u r r u ，其中{}{}{}11,max ,2min ,,max ,k k k k k k k k k k x x y y x y x y x y ++=-=-表示,k k x y 中较大的一个数，{}min ,k k x y 表示,k k x y 中较小的一个数.若k k x y =，则{}{}max ,min ,k k k k k k x y x y x y ===.记,k k k k k k a x y a x y ==+u u r u u r.(1)若()01,9a =u u r，求2a u u r 及2a u u r ；(2)已知112024,2025a a ==u r u r ，将1a r经过m 次F 变换后，1m a +u u u u r 最小，求m 的最小值； (3)证明：对任意0a u u r，经过若干次F 变换后，必存在k +∈N ，使得0k a =u u r .。
湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．复数12i 3i--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．在复平面内，非零复数z 满足i z z =（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ） A ．一、三象限B ．二、四象限C ．实轴上（除原点外）D ．坐标轴上（除原点外）3．已知{},,a b c r r r 是空间的一个基底，若p a b =+r r r ，q a c =+r r r ，则下列与p r ，q r 构成一组空间基底的是（ ）A ．23r b c =-r r rB ．2r a b c =-+r r r rC ．2r a b c =+-r r r rD ．2r a b c =++r r r r4．已知ABC V 的顶点坐标分别是()A -，)B ，(C ，则sin C =（ ）A B C D ．5．12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m ），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A ．1.72 B ．1.73 C ．1.74 D ．1.756．在ABC V 中，60A ∠=︒，2AB AC =，平面内一点O 满足OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则向量OC u u u r 在向量AB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14AB u u u r B AB u u rC ．14AB -u u u rD ．AB u u r7．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -（ ）A B C D 8．甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件M =“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件N =“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件S =“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ）A ．M N ⊆B ．()()()P M N P M P N ⋃=+C ．()()P S P N <D ．()()P S P M =二、多选题9．（多选）下列命题中，正确的是（ ）A ．在ABC V 中，AB >，则sin sin A B >B ．在锐角ABC V 中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC V 中，若a cos A ＝b cos B ，则ABC V 必是等腰直角三角形D ．在ABC V 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC V 必是等边三角形10．已知复数z ，w 均不为0，则下列式子正确的是（ ）A ．20z ³B ．zww z = C ．2z z z += D ．22z z z z=11．已知平面向量(1,0)a =r ，b =r ，则下列说法正确的是（ ）A ．||16a b +=r rB ．()2a b a +⋅=r r rC ．向量a b +r r 与a r 的夹角为60°D ．向量a b +r r 在a r 上的投影向量为2a r12．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（ ）A ．ABC V 为钝角三角形B ．ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C ．若D 为AC 中点，则:BD AC =D ．若ABD CBD ∠=∠，则:BD AC =三、填空题13．某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为.14．在如图所示的圆锥中，AB 为底面圆O 的直径，C 为»AB 的中点，24AB OP ==，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为．15．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达1A 点的最短路线的长为cm .16．已知OA u u u r ，OB u u u r 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量OP u u u r ，有且只有一对实数x ，y 使OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，且当P ，A ，B 共线时，有1x y +=．同样，在空间中若三个向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 不共面，那么对任意一个空间向量OP u u u r ，存在唯一的一组实数组(),,x y z ，使得OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，且当P ，A ，B ，C 共面时，有1x y z ++=．如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，2AD BC =，点E 是棱PD 的中点、PC 与平面ABE 交于F 点，设PF xPA yPB zPE =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PF PC=；2y z x +-=．四、解答题17．已知21,e e u r u u r 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+u u u r u r u u r ，12BE e e λ=-+u u u r u r u u r ，122EC e e =-+u u u r u r u u r ，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)已知1(2,1)e =u r ，2(2,2)e =-u u r ，点(3,5)D ，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．18．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2AB AC ==，D 为BC 的中点．(1)证明：1//A B 平面1AC D ；(2)若三棱柱111A B C ABC -的体积为AB BC =，求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19．某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500.(1)求居民月收入在[)3000,3500的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000的这段应抽多少人？ 20．龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K 共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K 即为成功．现有三种抽取方式，如下表：(1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；(2)若三种抽取方式小明各进行一次，（i ）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii ）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p ，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p 最大？如果无关，请给出简要说明．21．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2c o s s i n c o s t a n a A B B c C=-．若P 是ABC V的“费马点”，a b c =<．(1)求角A ；(2)若4PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=-uu r uu r uu r uu u r uu u r uu r ，求ABC V 的周长；(3)在（2）的条件下，设()42||||||x x f x m PA PB PC =-⋅+++u u u r u u u r u u u r ，若当[0,1]x ∈时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．。
2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高一下学期7月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若样本数据的方差为3，则的方差为()A.7B.9C.27D.253.下列说法正确的是()A.同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小B.若，则事件A与B是对立事件C.当不互斥时，可由公式计算的概率D.某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的4.已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则5.已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥内切球的体积为()A. B. C. D.6.已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为()A. B. C. D.7.四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是()A.平均数为，极差为4B.中位数为4，众数为3C.平均数为3，方差为D.平均数为3，中位数为48.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为如图，已知和都是正三角形，，，且三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为()A. B. C. D.12二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数为虚数单位，则下列结论正确的是()A.z的虚部为B.z的共轭复数为C. D.10.某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是()A.若该校高一年级有学生2000人，则高一年级约有1200人乘坐公共交通工具上学B.估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学C.扇形图中B的占比为D.估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半11.在直三棱柱中，，且，M为线段BC上的动点，则下列结论中正确的是()A.B.异面直线与所成角的取值范围为C.的最小值为D.当M是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
松北区对青一中2017－2018学年度下学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题（每小题5分，12道小题，共60分）
1.已知集合，集合B为整数集，则（）
A. B. C. D.
2.已知向量（）
A. B. C. D.
3.（）
A. B. C. D.
4.是各项为正的等比数列，若，则（）
A. B.4 C.-4 D. 8
5.△中，（）
A. B.1 C. D.
6.在等差数列中，若（）
A.9
B.12
C.16
D.17
7.设x，y满足约束条件（）
A.-7
B.-6
C.-5
D.-3
8.函数y=的图象的一条对称轴方程是（）
A. B. C. D.
9.函数，则为（）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶
10.函数的最大值为（）
A. B. C.2 D.1
11.将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得图象的解析式为（）
A. B.
C. D.
12.已知如图是函数的图象，那么
（）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题5分，4道小题，共20分）
13.已知点，那么与共线的单位向量为
14.已知为第二象限角，，则
15.已知，且与的夹角为，则k=
16.数列，则的前n项和为
三、解答题（17题10分，18至22题每题12分，共70分）
17.（1）已知且向量与的夹角是，求
（2）两个不相等的向量，求m的值
18.
（1）求的最小正周期（2）求的单调递增区间
19.已知数列为等差数列，（1）求的通项公式
（2）求的前30项和
20.已知
（1）求的最大值
（2）求的最小值
21.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且（1）求角C的大小
（2）若且三角形的面积为，求a+b的值
22.数列的前n项和为，
（1）求的通项公式
（2）若，求数列的前n项和
松北区对青一中2017——2018学年度下学期期末考试高一数学答案一、选择
1—5 DAABD 6—10 ABCBC 11.C 12.D
二、填空
13. 14.
15. -5 16.
三、解答题
17.（1）原式=。
5分
（2）由平行可得，解得m=0或m=-1或m=3（舍）
所以m=0或m=-1。
10分
18.。
4分。
6分
（2）
解得
所以单调递增区间为.。
12分
19.（1）。
6分
（2）。
12分
20.（1）
，所以xy的最大值为。
6分
（2）
所以的最小值为。
12分
21.（1）正弦定理得
，因为锐角三角形，所以。
6分（2）余弦定理可得
即，
由面积可得ab=6
所以a+b=5.。
12分
22.（1）。
6分
（2）。
12分。