河北省2019中考数学复习全套试题第四单元图形的初步认识与三角形第20讲锐角三角函数

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中考数学第四单元三角形第20课时直角三角形与勾股定理4

[答案](4 3+6) [解析] 如图,过点 E 作 EM⊥AG 于点 M,则由 AE=EG,得 AG=2MG.∵∠AGE=30°,EG=2 3厘米, ∴EM=12EG= 3(厘米).在 Rt△ EMG 中,由勾股定理, 得 MG= (2 3)2-( 3)2=3(厘米),从而 AG=6 厘米.
由折叠可知,BE=AE=2 3厘米,GC=AG=6 厘米. ∴BC=BE+EG+GC=2 3+2 3+6=4 3+6(厘米).
图20-5
由(1)可知,BM=1AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,
2
∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,
由(1)可知 MN=BM=12AC=1,∴BN= 2.
2019/5/21
缘分让我在这里遇见你缘分让我在
边上的高,CE 为 AB 边上的中线,AD=2,CE=5,则 CD=( )
图 20-4
2A0.129/5/21 B.3
C.4 缘分D.让2 我3 在这里遇见你缘分让我在
10
这里遇见你
课前双基巩固
5.若一个三角形的三边长分别为 3,4,x,则使此三角形是直角三角
形的 x 的值是
.
[答案] 5 或 7
6
这里遇见你
课前双基巩固
对点演练
题组一教材题 1.[八下 P24 练习第 2 题改编] 如图 20-1,图中所有的三角形都是
直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形 A,B,C,D 的边长分
别是 12,16,9,12,则最大正方形 E 的面积为

河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第13讲角、相交线与平行线

第四单元图形的初步认识与三角形第13讲角、相交线与平行线命题点1 角及角的计算1. (2017·河北T3·3分)用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是(C)A BC D2．(2011·河北T2·2分)如图，∠1＋∠2等于(B)A．60°B．90° C．110°D．180°3．(2012·河北T14·3分)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝52°．命题点2 平行线的性质与判定4．(2015·河北T8·3分)如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝(C)A．120°B．130°C．140°D．150°5．(2018·河北T11·2分)如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为(A)A．北偏东30° B．北偏东80°C．北偏西30° D．北偏西50°6．(2013·河北T19·3分)如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF ∥AD，FN∥DC，则∠B＝95°.重难点1 以方向角为背景的角的计算有三个海岛A，B，C，其中C岛在A岛的北偏东60°方向．(1)如图1，若C岛在B岛的南偏东25°方向，求∠BCA的度数；(2)如图2，若C岛在B岛北偏西50°方向上，求C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．图1图2【自主解答】解：(1)根据题意，得∠DAC＝60°，∠MBC＝25°.∵EG∥AD，∴∠ACG＝∠DAC＝60°.∵BM∥AD，∴BM∥EG.∴∠ECB＝∠CBM＝25°.∴∠BCA＝180°－∠ACG－∠ECB＝95°.(2)过点C作CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝60°.∵AD∥BE，∴BE∥CM.∴∠BCM＝∠CBE＝50°.∴∠ACB＝∠ACM＋∠BCM＝110°.【变式训练1】(2018·石家庄裕华区模拟)如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为(A)A．80°B．90°C．100°D．105°【变式训练2】(2018·邢台模拟)海平面上，有一灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是(A)A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4方法指导用方向角描述方向时，一般先以参照点画“十字”，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．模型建立若AB∥CD，则对于图1有：∠BED＝∠B＋∠D；对于图2有：∠B＋∠D＋∠BED＝360°；对于图3有：∠B＝∠BED＋∠D；对于图4有：∠B＝∠D＋∠BED.重难点2 以三角板和直尺为背景的角的计算有一个直角三角板与一把直尺，将它们按图所示的位置摆放．1．将直角三角形的直角顶点放在直尺的一条边上．(1)(2018·十堰)如图1，若∠1＝28°，则∠2的度数是(C)A．62° B．108° C．118° D．152°(2)(2018·唐山路北区模拟)如图2，若∠1＝42°，求∠2的度数．以下排乱的推理过程：①∵∠1＝42°；②∵a ∥b；③∴∠3＝90°－42°＝48°；④∴∠2＝48°；⑤∴∠2＝∠3.推理步骤正确的顺序是(B)A．①③②④⑤B．①③②⑤④C．①⑤②③④D．②③①④⑤2．将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．(1)(2018·绵阳)如图3，如果∠2＝44°，那么∠1的度数是(C)A．14° B．15° C．16° D．17°图3(2)(2018·枣庄)如图4，若∠1＝20°，则∠2的度数为(D)A．20° B．30° C．45° D．50°图4【变式训练3】(2018·淮安)如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是(C) A．35°B．45° C．55°D．65°【变式训练4】(2018·海南)将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE ＝40°，那么∠BAF的大小为(A)A．10°B．15° C．20° D．25°方法指导利用平行线的性质，结合直角三角板的特殊角，把已知角与未知角转移成有同一个顶点的直角或平角，或把未知角转化到含有已知角的三角形中，利用三角形内角和定理或外角推论是解决这类问题的通法．重难点3 平行线的判定一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A 顺时针旋转∠α(∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使两块三角板至少有一组边平行．(1)如图1，α＝15°时，DE∥BC；(2)请你在图2、图3中各画一种符合要求的图形，并写出对应的α的度数和平行线段．图1 图2 图3【自主解答】解：当α＝60°时，BC∥DA.∵∠BAC＝30°，α＝60°，∴∠DAC＝∠C＝90°.∴∠DAC＋∠C＝180°.∴BC∥DA.当α＝105°时，BC∥EA.∵α＝105°，∠DAE＝45°，∴∠EAB＝60°.∵∠B＝60°，∴∠EAB＝∠B.∴BC∥EA.【变式训练5】(2018·唐山乐亭县模拟)如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述哪个正确(C)A．L1和L3平行，L2和L3平行B．L1和L3平行，L2和L3不平行C．L1和L3不平行，L2和L3平行D．L1和L3不平行，L2和L3不平行【变式训练6】(2018·河北模拟)如图，下列条件不能判断AD∥BC的是(A)A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠7＝∠8 D．∠5＋∠4＋∠1＋∠8＝180°方法指导已知角的大小，判断两直线平行时：(1)先看已知角是哪两条直线被哪条直线所截得到的，是一对什么角；(2)再看是否满足两直线平行的判定条件，若满足，则平行；否则不平行．易错提示有些复杂图形，识别角的位置关系易产生错误，故应牢记“三线八角”的基本模型．重难点4 点到直线的距离或两平行线的距离定义：如图，直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是(C) A．2 B．3 C．4 D．5提示：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1，a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1，b2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M1，M2，M3，M4，一共4个．【变式训练7】如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是(0，1)的点有1个；②“距离坐标”是(5，6)的点有4个；③“距离坐标”是(a，a)(a为非负实数)的点有4个．其中正确的有(B)A．0个B．1个C．2个D．3个方法指导到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上，同时满足两个条件的点通常为分别满足两个条件的两条直线交点．易错提示容易考虑不全，仅仅得到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的一条直线上，从而造成丢解．1．(2018·冀卓模拟)下列图形中，MN的长为点M到直线a的距离的是(C)2．(2018·长沙)将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是(D)3．(2018·邵阳)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为(D) A．20°B．60°C．70°D．160°4．(2018·郴州)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是(D)A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180°C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠35．(2018·广州)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是(B) A．∠4，∠2 B．∠2，∠6C．∠5，∠4 D．∠2，∠46．(2018·天门)如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶∠BDC＝1∶2，则∠DBC的度数是(D) A．30°B．36°C．45°D．50°7．(2018·德州)如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是(A)A．图1 B．图2 C．图3 D．图48．(2018·保定莲池区模拟)如图，小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处，又沿南偏西50°方向行走至C 处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D处，则∠BCD的度数为(B)A．100°B．80°C．50° D．20°9．【分类讨论思想】(2018·铜仁)在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4 cm，b与c的距离为1 cm，则a与c的距离为(C)A．1 cm B．3 cm C．5 cm或3 cm D．1 cm或3 cm10．(2018·昆明)如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为150°42′．11．(2018·北京)用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝1，b＝2，c ＝－1．12．(2018·河南)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为140°．13．(2018·湘潭)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为∠A＋∠ABC ＝180°或∠C＋∠ADC＝180°或∠CBD＝∠ADB或∠C＝∠CDE(任意添加一个符合题意的条件即可)．14．(2018·潍坊)把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是(C)A．45°B．60°C．75°D．82.5°15．(2018·恩施)如图所示，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的度数为(A)A．125°B．135°C．145°D．155°16．(2018·通辽)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是75.5°．17．(2018·贵港)如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M.若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为70°．18．如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，第一次操作：将纸带沿EF折叠成图b；则∠CFE＝156°；第二次操作：沿纸带BF折叠成图c；则∠CFE＝108°；第三次操作：将纸带沿EF折叠，第四次操作：沿BF折叠得到的∠CFE的度数是60°；如果按照这样的方式再继续下去，直到不能为止，那么先后一共的次数7．。

河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形滚动小专题(六)与三角形有关

滚动小专题(六) 与三角形有关的计算与证明类型1 以全等为基础的有关计算与证明1．(2018·镇江)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC.(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC ＝75°.证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACF.又∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)．2．在平面内，正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连接DE ，BH ，两线相交于点M.求证：(1)BH ＝DE ；(2)BH ⊥DE.证明：(1)在正方形ABCD 与正方形CEFH 中，BC ＝DC ，CE ＝CH ，∠BCD ＝∠ECH ＝90°，∴∠BCD ＋∠DCH ＝∠ECH ＋∠DCH ，即∠BCH ＝∠DCE.在△BCH 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCH ＝∠DCE ，CH ＝CE ，∴△BCH ≌△DCE(SAS)．∴BH ＝DE.(2)令BH 与CD 相交于点O.∵△BCH ≌△DCE ，∴∠CBH ＝∠CDE.又∵∠BOC ＝∠DOM ，∴∠DMB ＝∠BCD ＝90°.∴BH ⊥DE.3．(1)探究：如图1，分别以△ABC 的两边AB 和AC 为边向△ABC 外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，连接DC ，BE ，求证：DC ＝BE ；(2)拓展：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝45°，连接AC ，BD ，若∠DAC ＝90°，AC ＝AD ，求BD 的长．解：(1)证明：∵以AB ，AC 为边分别向外作等边△ABD 和等边△ACE ，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠ACE ＝∠AEC ＝60°，∠DAB ＝∠EAC ＝60°.∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC.∴∠DAC ＝∠BAE.∴△DAC ≌△BAE(SAS)．∴CD ＝BE.(2)以AB 为边向外作等腰直角三角形ABE ，连接CE ，使AE ＝AB ，∠BAE ＝90°.∴∠BAD ＝∠CAE.∵AC ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)．∴CE ＝BD.∵BE ＝2AB ＝52，∵∠ABC ＝45°，∴∠EBC ＝90°.∴CE ＝BE 2＋BC 2＝5 3.∴BD ＝5 3.类型2 以相似为基础的有关计算与证明4．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 在边AC 上，且AD 2＝AE ·AB ，连接DE.(1)求证：△ABD ∽△ADE ；(2)若CD ＝3，CE ＝94，求AC 的长．解：(1)证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠EAD.∵AD 2＝AE ·AB ，∴AD AE ＝AB AD. ∴△ABD ∽△ADE.(2)∵△ABD ∽△ADE ，∴∠ADB ＝∠AED.∵∠DAE ＋∠ADE ＋∠AED ＝180°，∠ADB ＋∠ADE ＋∠CDE ＝180°，∴∠CDE ＝∠DAE ，即∠CDE ＝∠CAD.又∵∠DCE ＝∠ACD ，∴△DCE ∽△ACD.∴AC CD ＝CD CE ，即AC 3＝394，∴AC ＝4. 5．如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形：△AMP ∽△BPQ ∽△CQD.(2)设AP ＝x ，由折叠的性质，得BP ＝AP ＝EP ＝x.∴AB ＝DC ＝2x.由△AMP ∽△BPQ ，得AM BP ＝AP BQ，∴BQ ＝x 2. 由△AMP ∽△CQD ，得AP CD ＝AM CQ，∴CQ ＝2. AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ， ∴2x x 2＋1＝35. 解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)， ∴AB ＝2x ＝6.类型3 以解直角三角形为基础的有关计算与证明6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tanB ＝cos ∠DAC.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC ＝1213，AD ＝24，求BC 的长．解：(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC.∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC，又∵tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC.∴AC ＝BD. (2)在Rt △ADC 中，sinC ＝AD AC ＝1213，则AC ＝26， ∴CD ＝AC 2－AD 2＝10.∵BC ＝BD ＋CD ，又∵AC ＝BD ＝26，∴BC ＝26＋10＝36.7．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，BC ＝4，将△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C.(1)如图1，若B ′落在AB 上，求证：四边形ABCA ′是平行四边形；(2)如图2，若点B ′落在在AD 上，A ′B ′交AC 于点M.①求点B 经过的路径长；②连接AA ′，求四边形AA ′CB ′的面积．图1 图2解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵∠BAC ＝30°，∴∠B ＝∠ACB ＝75°.∵将△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C ，B ′落在AB 上， ∴CB ＝CB ′，∴∠B ＝∠CB ′B ＝75°.∴∠BCB ′＝30°.∴∠BCB ′＝∠ACA ′＝30°.∴∠BAC ＝∠ACA ′＝30°.∴AB ∥A ′C.∵AB ＝AC ＝A ′C ，∴四边形ABCA ′是平行四边形．(2)①∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴∠ADC ＝90°，BD ＝CD.∵将△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C ，B ′落在AD 上， ∴BC ＝CB ′＝2CD.∴cos ∠BCB ′＝CD CB ′＝12.∴∠BCB ′＝60°. ∴点B 经过的路径长为60180×π×4＝43π. ②∵∠ACA ′＝∠BCB ′＝60°，A ′C ＝AC ，∴△ACA ′是等边三角形．∴A ′C ＝A ′A.∵∠BAC ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ＝15°.∵∠ACB ＝75°，∠BCB ′＝60°，∴∠ACB ′＝∠CAD ＝15°.∴AB ′＝CB ′.∴A ′B ′垂直平分AC.∵∠CAD ＝∠B ′AM ，∠AMB ′＝∠ADC ＝90°，∴△AMB ′∽△ADC.∴AM AD ＝AB ′AC. ∵CD ＝2，CB ′＝4，∴B ′D ＝2 3.∴AD ＝4＋2 3. ∴AM 4＋23＝4AC. ∴12AC 2＝16＋8 3. ∴四边形AA ′CB ′的面积为12AC 2＝16＋8 3.。

河北省2019年中考数学试卷(解析版)

河北省2019年中考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（）A．+3 B．﹣3 C．﹣D．+3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（）A．+x≤5B．+x≥5C．≤5D．+x＝55．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°6．（3分）小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣59．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．210．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→①12．（2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q13．（2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x15．（2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣1 2n B勾股数组Ⅰ/ 8勾股数组Ⅱ35 /22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝．（1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．又拿先拿23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P （不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．25．（10分）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．26．（12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．河北省2019年中考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D．2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．故选：B．3．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B．4．【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选：A．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°；故选：D．6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．故选：C．7．【解答】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：C．8．【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5．故选：D．9．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，故选：C．10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．11．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D．12．【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，所以点M是原点；故选：A．13．【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤x＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．14．【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，故选：A．15．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n ＝14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，∴﹣2﹣1+0＝p，解得：p＝﹣3．故答案为：﹣3．18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．19．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13；三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，∴1××6□9＝﹣6，∴3□9＝﹣6，∴□内的符号是“﹣”；（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，∴这个最小数是﹣20．21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：15；3722．【解答】解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝，∴8元球的个数为4×＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴这4个球价格的众数为8元；（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下：原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴原来4个球价格的中位数为＝8（元），所剩的3个球价格为8，8，9，∴所剩的3个球价格的中位数为8元，∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，∴乙组两次都拿到8元球的概率为．23．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC＝∠DAE即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝∠CAE．（2）∵AD＝6，AP＝x，∴PD＝6﹣x当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠P AC＝90°﹣α，∵I为△APC的内心∴AI、CI分别平分∠P AC，∠PCA，∴∠IAC＝∠P AC，∠ICA＝∠PCA∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°∵0＜α＜90°，∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m＝105，n＝150．24．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m甲返回时间为：（t﹣150）s∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．25．【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC＝90°，∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC＝∠DAB∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3，∴x＝BP＝3×3＝9，故当x＝9时，圆心O落在AP上；∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，∴PE⊥AD，∵▱ABCD，∴BC∥AD∴PE⊥BC（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G，∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG＝∠DAB∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3，∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，∴AG＝AB+BG＝3+9＝12∴tan∠CAP＝＝＝1，∴∠CAP＝45°；连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝，在Rt△CPG中，＝＝13，∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°∴∠OPH＝∠PCG∴△OPH∽△PCG∴，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，∴OP＝∴劣弧长度＝＝，∵＜2π＜7∴弦AP的长度＞劣弧长度．（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，∵∠DAB＝∠CBP，∴∠CPM＝∠CBP∴CB＝CP，∵CM⊥AB∴BP＝2BM＝2×9＝18，∴x≥1826．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，∴B（0，﹣b），∵AB＝8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）＝8，∴b＝4．∴L：y＝﹣x2+4x，∴L的对称轴x＝2，当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；（2）y＝﹣（x﹣）2+，∴L的顶点C（）∵点C在l下方，∴C与l的距离b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，∴点C与1距离的最大值为1；（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣）＝（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．。

2019年河北中考数学专题复习单元测试卷《图形的初步认识与三角形》

单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1.下列图形中，∠1与∠2互为补角的是(C)A BC D2．现有两根木棒，长度分别为5 cm和17 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取(B)A．24 cm的木棒B．15 cm的木棒C．12 cm的木棒D．8 cm的木棒3．国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分——西成高铁已经开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时，张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家(记作A)在成都东站(记作B)南偏西30°的方向且相距4 000米，王强家(记作C)在成都东站南偏东60°的方向且相距3 000米，则张明家与王强家的距离为(B)A．6 000米B．5 000米C．4 000米D．2 000米4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC长为(B) A．1 B．2 C．3 D．45．如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺(两边a∥b)的一边b上，若∠1＝30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为(C)A．35°B．30°C．15°D．10°6．如图，若A，B，C，D，E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的(A)A．甲B．乙C．丙D．丁7．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为(D )A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°提示：根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠B ，证明△AMK ≌△BKN ，得到∠AMK ＝∠BKN ，根据三角形的外角的性质求出∠A ＝∠MKN ＝44 °，最后根据三角形内角和定理计算即可．8．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为(B )A ．20B ．24C.994D.532提示：设小正方形的边长为x ，∵a ＝3，b ＝4，∴AB ＝3＋4＝7.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3＋x )2＋(x ＋4)2＝72，整理得，x 2＋7x －12＝0.又矩形的面积为(x ＋3)(x ＋4)＝x 2＋7x ＋12＝12＋12＝24. 二、填空题(每小题5分，共20分) 9．计算：1.45°＝1°27′.10．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD11．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线BN 垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线CM 垂直于AD ，垂足为M.若BC ＝7，则MN 的长度为52．12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.翻折∠C ，使点C 落在斜边上某一点D 处，折痕为EF(点E ，F 分别在边AC ，BC 上)．若△CEF 与△ABC 相似，则AD 的长为95或52．提示：若△CEF 与△ABC 相似，分两种情况：①若CE ∶CF ＝3∶4，∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥AB.由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90 °，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.∴cosA ＝AC AB ＝35.∴AD ＝AC ·cosA ＝3×35＝95；②若CF ∶CE ＝3∶4，∵△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B.由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90 °，又∵∠A ＋∠B ＝90 °，∴∠A ＝∠ECD.∴AD ＝CD.同理可得：∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD ，∴D 点为AB 的中点．∴AD ＝12AB ＝52.三、解答题(共48分)13．(10分)已知：如图，AD ∥BE ，∠1＝∠2，求证：∠A ＝∠E.证明：∵AD ∥BE ， ∴∠A ＝∠3. ∵∠1＝∠2， ∴DE ∥AC. ∴∠E ＝∠3. ∴∠A ＝∠E.14．(12分)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，cosA ＝57，D 是AB 上的一点，连接DC ，若∠BDC ＝60°，BD ＝2 3.试求AC 的长．解：在△ABC 中，∠B ＝90 °， cosA ＝57，∴AB AC ＝57.设AB ＝5x ，AC ＝7x ，由勾股定理得BC ＝26x.在Rt △DBC 中，∠BDC ＝60 °，BD ＝23， ∴BC ＝BD ·tan60 °＝23×3＝6， ∴26x ＝6，解得x ＝62. ∴AC ＝7x ＝762.15．(12分)如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为三角形内一点，且∠ACD ＝∠DAB ＝∠DBC.(1)求∠CDB 的度数；(2)若CD 的长为1，求AB 的长．解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠CAB ＝45 °. 又∵∠ACD ＝∠DAB ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝∠DAB ＋∠CAD ＝∠CAB ＝45 °. ∴∠CDA ＝135 °.同理可得∠ADB ＝135 °.∴∠CDB ＝360 °－∠CDA －∠ADB ＝360 °－135 °－135 °＝90 °. (2)∵∠CDA ＝∠ADB ，∠ACD ＝∠DAB ， ∴△DCA ∽△DAB. ∴DC DA ＝DA DB ＝AC BA ＝12. 又∵CD ＝1，∴AD ＝2，DB ＝2.又∵∠CDB ＝90 °，∴BC ＝CD 2＋BD 2＝ 5. 在Rt △ABC 中，∵AC ＝BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10.16．(14分)已知点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点(不与A ，B 重合)，分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．(1)如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是AE ∥BF ，QE 与QF 的数量关系是QE ＝QF ； (2)如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；(3)如图3，当点P 在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．图1 图2 图3解：(2)QE ＝QF.证明：延长EQ 交BF 于点D.由(1)知：AE ∥BF ，∴∠AEQ ＝∠BDQ. 在△AEQ 和△BDQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AQE ＝∠BQD ，∠AEQ ＝∠BDQ ，AQ ＝BQ ，∴△AEQ ≌△BDQ (AAS )． ∴EQ ＝DQ.∵∠BFE ＝90 °，∴QE ＝QF.(3)当点P 在线段BA (或AB )的延长线上时，此时(2)中的结论成立．证明：如图，延长EQ 交FB 于点D. ∵AE ∥BF ，∴∠AEQ ＝∠BDQ.在△AEQ 和△BDQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AQE ＝∠BQD ，∠AEQ ＝∠BDQ ，AQ ＝BQ ，∴△AEQ ≌△BDQ (AAS )．∴EQ ＝DQ.∵∠BFE ＝90 °，∴QE ＝QF.。

河北省2019年中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形单元测试练习

单元测试(四)范围:图形的初步认识与三角形限时:45分钟满分:100分一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知一个三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长不可能是()A.1B.2C.3D.42.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm,9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边长为 ()A.3 cmB.4 cmC.4.5 cmD.5 cm3.如图D4-1,将△ABC放在每个边长为1的小正方形的网格中,点A,B,C均在格点上,则tan A的值是()图D4-1A.√55 B.√105C.2D.124.在△ABC中,若∠A的补角是85°,∠B的余角是65°,则∠C的度数为()A.60°B.65°C.80°D.85°5.如图D4-2,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD的度数等于()图D4-2A.40°B.35°C.30°D.20°6.如图D4-3,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为()图D4-3A .8B .12C .14D .167.如图D4-4,无人机在A 处测得正前方河流两岸B ,C 的俯角分别为α=70°,β=40°,此时无人机的高度是h ,则河流的宽度BC 为 ( )图D4-4A .h (tan50°-tan20°)B .h (tan50°+tan20°)C .h1tan70°-1tan40°D .h1tan70°+1tan40°8.如图D4-5,AB=AC ,BE ⊥AC 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,BE ,CF 相交于点D ,则:①△ABE ≌△ACF ;②△BDF ≌△CDE ;③点D 在∠BAC 的平分线上.以上结论中正确的是 ( )图D4-5A .①B .②C .①②D .①②③二、填空题(每小题5分,共20分)9.在△ABC中,已知AB=8,∠C=90°,∠A=30°,D,E分别为AB,AC的中点,则DE的长为.10.在△ABC中,若sin A-√22+√32-cos B2=0,∠A,∠B都是锐角,则∠C的度数是.11.如图D4-6,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=2,则AB的长为.图D4-612.如图D4-7,点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上,且P1P2⊥P2P3,P2P3⊥P3P4,若点P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P4的坐标为.图D4-7三、解答题(共40分)13.(12分)如图D4-8,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在边CB上,且BE=BD,连接AE,DE,DC.图D4-8(1)求证:△ABE≌△CBD;(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.14.(13分)已知:∠MON=40°,OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(A,B,C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.图D4-9(1)如图①,若AB∥ON,则①∠ABO的度数是;②当∠BAD=∠ABD时,x= ;当∠BAD=∠BDA时,x= .(2)如图②,若AB⊥OM,则是否存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.15.(15分)如图D4-10是某小区入口的平面示意图,已知入口BC宽3.9米,门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯,点O与地面BC的距离为3.3米,灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计),∠AOM=60°.图D4-10(1)求点M到地面的距离;(2)某搬家公司一辆总宽2.55米,总高3.5米的货车从该入口进入时,货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离,此时,货车能否安全通过?若能,请通过计算说明;若不能,请说明理由.(参考数据:√3=1.73,结果精确到0.01米)参考答案1.A2.C3.D [解析] 在AC 边上选取点D ,使得AD=2DC ,连接BD. 则BD=√2,AD=2√2,∠BDA=90°,则tan A=BB BB =√2=12.故选D .4.A [解析] ∵∠A 的补角是85°,∴∠A=180°-85°=95°.∵∠B 的余角是65°,∴∠B=90°-65°=25°,∴∠C=180°-95°-25°=60°.故选A .5.B6.D7.A[解析] 由题意可知∠ABD=α=70°,∠ACB=β=40°,AD=h ,∴∠DAB=20°,∠DAC=50°,∴BD=Btan B =h ·tan20°,CD=Btan B =h ·tan50°,∴BC=CD-BD=Btan B -Btan B =h1tan40°-1tan70°=h (tan50°-tan20°).故选A . 8.D 9.210.105° [解析] 由题意,得sin A-√22=0,√32-cos B=0,∴sin A=√22,cos B=√32,∴∠A=45°,∠B=30°, ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°.11.412.(8,0) [解析] ∵点P 1,P 2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),∴OP 1=1,OP 2=2,由题易证Rt △P 1OP 2∽Rt △P 2OP 3,∴BB 1BB 2=BB2BB 3,即12=2BB 3,解得OP 3=4.同理,∵Rt △P 2OP 3∽Rt △P 3OP 4,∴BB 2BB 3=BB 3BB 4,即24=4BB 4,解得OP 4=8,则点P 4的坐标为(8,0).13.解:(1)证明:在△ABE 和△CBD 中,{BB =BB ,∠BBB =∠BBB ,BB =BB ,∴△ABE ≌△CBD (SAS). (2)∵在△ABC 中,AB=CB ,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°.由(1),得△ABE ≌△CBD ,∴∠AEB=∠CDB.∵∠AEB为△AEC的外角,∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+30°=75°,∴∠BDC=75°.14.解:(1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,∴∠ABO=∠BON=20°.②当∠BAD=∠ABD时,∠BAD=20°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=120°.当∠BAD=∠BDA时,∠ABO=20°,∴∠BAD=80°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=60°.故答案为:①20°;②12060.(2)存在这样x的值.①当点D在线段OB上时,∵OE是∠MON的平分线,∴∠AOB=1∠MON=20°,2∵AB⊥OM,∴∠AOB+∠ABO=90°,∴∠ABO=70°,若∠BAD=∠ABD=70°,则x=20;若∠BAD=∠BDA=1(180°-70°)=55°,则x=35;2若∠ADB=∠ABD=70°,则∠BAD=180°-2×70°=40°,∴x=50.②当点D在射线BE上时,∵∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,∴只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角,且x=20,35,50,125.=0.6,∴15.解:(1)作MH⊥BC于H,OG⊥MH于G,依题意得GH=OB=3.3,∠GMO=60°,∠MOG=30°,MG=OM·cos60°=1.2×12MH=MG+GH=3.9.∴点M到地面的距离为3.9米.(2)当车与DC的距离为0.65米时,车与OB的距离为3.9-2.55-0.65=0.7(米),BC上取点Q,使BQ=0.7米,过Q作QP⊥BC=0.7×1.73÷3≈0.40,∴交MO于点P,交GO于点N,则NO=QB=0.7,NQ=OB=3.3,PN=NO·tan30°=0.7×√33PQ=PN+NQ=3.70>3.5,∴车能够安全通过.。

(完整版)2019年河北省中考数学试卷及答案

A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对 C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：18～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上） 17．（3 分）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p,则 p 的值为． 18．(4 分）如图，约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
24．（10 分）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为 2v(m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头（m）．
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(完整版)2019 年河北省中考数学试卷及答案(word 版可编辑修改)
又拿先拿
23．（9 分）如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6,BC＝DE,∠B＝∠D＝30°，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧,I 为△APC 的内心． (1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2)设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD,并求 PD 的最大值；（3)当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出 m，n 的值．
A．点 M
B．点 N
C．点 P
D．点 Q
13．（2 分）如图,若 x 为正整数，则表示
﹣ 的值的点落在（）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
14．（2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x2+2x，S 左＝x2+x，则 S 俯＝( ）

(全国)2019版中考数学复习第四单元三角形第20课时直角三角形与勾股定理课件

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课堂考点探究
例 1 如图 20-5,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N 分别为 AC,CD 的中点,连接 BM,MN,BN. (2)若∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC=2, 求 BN 的长.
(2)∵∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,
图 20-11 A.0.7 米 B.1.5 米 C.2.2 米 D.2.4 米
[答案] C [解析] 在 Rt△ ACB 中,∵∠ACB=90°,BC=0.7 米,AC=2.4 米, ∴AB2=0.72+2.42=6.25. 在 Rt△ A'BD 中,∵∠A'DB=90°, A'D=2 米,BD2+A'D2=A'B2, ∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25, ∵BD>0,∴BD=1.5 米, ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).
考点三命题、定义、定理、基本事实
定义
在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定,也就是给它们下定义
定义判断一件事情的句子叫做命题
命
正确的命题称为① 真命题
分类
题
错误的命题称为② 假命题
组成每个命题都由③ 题设和④ 结论两个部分组成
基本事实公认的真命题称为⑤ 基本事实
课堂考点探究
针对训练
1.如图 20-10,在矩形 ABCD 中,BC=6,CD=3,将△ BCD 沿对角线 BD 翻折,点 C 落在点 C'处,BC'交 AD 于点 E,则线段 DE 的长为 ( )
A.3
B.145

河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第19讲锐角三角函数8年真题训练练习

第19讲锐角三角函数命题点解直角三角形1．(xx ·承德模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝AC BC ＝12，∴AC ＝BC ·tanB ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5. ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3，∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.2．(xx ·河北模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°.在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°.∴sin ∠ADC ＝22.重难点1 解直角三角形(xx ·河北模拟)已知，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，AB ＝5，D 在AB 上．(1)求BC 的长；(2)如图1，若∠CDB ＝∠B ，求sin ∠DCB 的值；(3)如图2，过点B 作BE ⊥CD 所在的直线，垂足为E ，BE 的延长线交直线AC 于点F. ①当tan ∠BCD ＝2时，求S △CBF ； ②当AF ＝54时，求线段AD 的长．【思路点拨】 (1)由正切的定义可知△ABC 是一个勾3，股4，弦5的直角三角形；(2)可通过过点D 作DE ⊥BC ，利用tanB 找到DE ，BE 的数量关系，再解直角△DCE ，求得sin ∠DCB 的值；(3)因为∠BCD ＝∠CFB ：①利用tan ∠CFB 的值，求CF ，进而求S △CBF ；②可通过过点A 作BC 的平行线交CD 延长线于点G ，先求AG ，再利用相似求AD 的长．【自主解答】解：(1)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，∴tanB ＝AC BC ＝43，∴AC ＝43BC.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(43BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝3.(2)过点D 作DE ⊥BC ，则tanB ＝43＝DEBE ，∴BE ＝34DE ，∴CE ＝BC －BE ＝3－34DE.∵∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝3.∵CD 2＝CE 2＋DE 2，∴32＝DE 2＋(3－34DE)2，解得DE ＝7225.∴sin ∠DCB ＝DE DC ＝2425.(3)①∵∠BCD ＋∠FCE ＝90°，∠CFB ＋∠FCE ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CFB.∴tan ∠BCD ＝tan ∠CFB ＝2.∵tan ∠CFB ＝BC CF ＝2，BC ＝3，∴CF ＝32.∴S △CBF ＝94.②当点F 在线段AC 上时，如图3，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G ， ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝1112，AC ＝4，∴AG ＝113.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝ADBD .∴119＝AD 5－AD ，AD ＝114.图3 图4当点F 在线段CA 的延长线上，如图4，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G. ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝74，AC ＝4，∴AG ＝7.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝AD BD .∴73＝AD 5－AD .∴AD ＝72.方法指导1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解． 4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．Ｋ,【变式训练1】如图是由一个角为60°且边长为1的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC ＝233．【变式训练2】(xx ·上海)如图，已知在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADDB的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中， tan ∠ABC ＝AE BE ＝34，AB ＝5，∴AE ＝3，BE ＝4.∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32＋12＝10. (2)如图，∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝CD ，BF ＝CF ＝52.∵tan ∠DBF ＝DF BF ＝34，∴DF ＝158.在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258， ∴AD ＝5－258＝158，则AD DB ＝35. 重难点2 解直角三角形的应用(1)如图1，为了游客的安全，某景点将原坡角为60°的斜坡AB 改为坡度为1∶3的斜坡AC ，已知AB ＝100米，BC 在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长；(2)(xx ·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图2，为了测量无人机飞行的高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝30米，求无人机飞行的高度AD ；(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(3)(xx ·湘西)如图3，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A ，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位于B 的北偏东30°的方向上，且AB ＝10 km.①求景点B 与C 的距离；②为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)【思路点拨】这三个问题均可以通过过点A作直线BC的垂线，垂足为D，再利用解直角三角形ABD和直角三角形ACD来解决．【自主解答】解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝100×cos60°＝50(米)，AD＝AB·sin∠ABD＝503米．∵AC的坡度为1∶3，∴AD∶CD＝1∶ 3.∴CD＝150，BC＝CD－BD＝150－50＝100(米)．∴改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC的长是100 m.(2)由题意，得∠EAC＝30°，∠EAB＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∠EAB＝∠ABD＝60°.∵∠ABD＝∠ACB＋∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.∴AB＝BC＝30.在Rt△ABD中，∴AD＝AB·sin∠ABD＝153≈25.98(米)．(3)①由题意，得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°.∴∠CAB＝∠C＝30°.∴BC＝AB＝10 km，即景点B，C的距离为10 km.②过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝10 km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBD＝60°，在Rt△CBD中，CD＝32BC＝5 3 km.【变式训练3】(xx·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．解：过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40 m.设CH＝DE＝x m，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝3 3 x.在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝3x.由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，得3x＋40＋33x＝160，解得x ＝303，即CH ＝30 3 m. 答：该段运河的河宽为30 3 m ．方法指导1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决： (1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．,模型建立)本题的三个题均可以抽象出如下图形：另外实际问题还可以抽象的几何图形为：1．(xx ·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于(A)A.35B.45C.34D.432．(xx ·保定模拟)在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且(tanB －3)(2sinA －3)＝0，则△ABC 一定是(D) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．有一个角是60°的三角形3．(xx ·唐山丰南区模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝24，则tanB 等于(B)A.513 B.512 C.1213 D.1254．(xx ·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B)A.12B ．1C.33D.35．(xx ·河北模拟)如图，△ABC 在边长为1个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在(D)A ．点C 1处B ．点C 2处C ．点C 3处D ．点C 4处6．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？否；(填“是”或“否”)请简述你的理由点A 到OB 的距离小于OB 与墙MN 平行的距离．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)7．【分类讨论思想】(xx ·无锡)已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于153或10 3.8．(xx ·贵阳)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sinA 与bsinB之间关系的方法： ∵sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴c ＝a sinA ，c ＝b sinB .∴a sinA ＝bsinB，根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC 中，探究a sinA ，b sinB ，c sinC之间的关系，并写出探究过程．解：a sinA ＝b sinB ＝c sinC.理由：过点A 作AD ⊥BC ，过点B 作BE ⊥AC ，在Rt △ABD 中，sinB ＝ADc ，即AD ＝c ·sinB ，在Rt △ADC 中，sinC ＝ADb ，即AD ＝b ·sinC ，∴c ·sinB ＝b ·sinC ，即b sinB ＝csinC .同理可得a sinA ＝csinC ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 9．(xx ·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C 出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：(1)过点C 作CP ⊥AB 于点P ，由题意，得∠A ＝30°，AP ＝2 000米，则CP ＝12AC ＝1 000米．(2)∵在Rt △PBC 中，PC ＝1 000，∠PBC ＝∠BCP ＝45°， ∴BC ＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆， ∴他到达宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15.∴他在15分钟内能到达宾馆．10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝1，∠DAB ＝30°，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD 的面积为53，AD 的长是23．提示：延长AD ，BC 相交于点E ，可得△ABE 为直角三角形．11．(xx ·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝2．提示：连接BE ，构造Rt △BOF ，根据△AOC ∽△BOK 可得OK 与CK 的数量关系，求出OF 与BF 的数量关系即可．12．如图，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE ＝BC.连接AE ，F 为线段AE 的中点．求：(1)线段DE 的长； (2)∠CAE 的正切值．解：(1)连接AD.∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°.∵AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，∴AD AB ＝255.∴AD ＝4. 由勾股定理，得BD ＝2，∴DC ＝BD ＝2，BC ＝4. ∵CE ＝BC ，∴CE ＝4.∴DE ＝DC ＋CE ＝2＋4＝6.(2)过点C 作CM ⊥AE 于点M, 则∠CMA ＝∠CME ＝90°. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝213. ∵CM 2＝AC 2－AM 2＝CE 2－EM 2， ∴(25)2－AM 2＝42－(213－AM)2，解得AM ＝141313.∴CM ＝AC 2－AM 2＝81313.∴tan ∠CAE ＝CM AM ＝47.13．(xx ·河北模拟)阅读下面的材料：嘉嘉在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．淇淇是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD ＝α，∠CBE ＝β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC ＝45°．请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝4，tan β＝35时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ＝α－β，由此可得α－β＝45°．解：如图．。

河北省中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形课时训练19 锐角三角函数及其应用练习-人教

课时训练(十九)锐角三角函数及其应用(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2018·某某] 如图K19-1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sin B=AAAA= ()图K19-1A .35B .45 C .37D .342.[2018·某某] 如图K19-2,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB 与AD 的长度之比为()图K19-2A .tan A tan AB .sin A sin AC .sin A sin AD .cos Acos A3.[2018·某某] 如图K19-3,要测量小河两岸相对的两点P ,A 的距离,可以在小河边取PA 的垂线PB 上一点C ,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA 等于 ()图K19-3A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米4.[2018·某某]如图K19-4,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()图K19-4A.40海里B.60海里C.20√3海里D.40√3海里5.[2018·某某A卷]如图K19-5,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底面E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度为(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)()图K19-5A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米,则sin B=.6.[2018·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tan A=127.[2018·枣庄]如图K19-6,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为米.(精确到0.1,参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601)图K19-68.[2018·某某]如图K19-7,某景区的两个景点A,B处于同一水平地面上,一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时,测得景点A的俯角为45°,景点B的俯角为30°,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A,B间的距离为米(结果保留根号).图K19-79.[2018·某某]如图K19-8,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(√3+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?图K19-810.[2018·某某]为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建,如图K19-9,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶,已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)图K19-911.[2018·某某]如图K19-10,1号楼在2号楼的南侧,两楼的高度均为90 m,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3°,1号楼在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=42 m.(1)求楼间距AB;(2)若2号楼共有30层,层高均为3 m,则点C位于第几层?(参考数据:sin32.3°≈0.53,cos32.3°≈0.85,tan32.3°≈0.63,sin55.7°≈0.83,cos55.7°≈0.56,tan55.7°≈1.47)图K19-10|拓展提升|12.[2018·某某]如图K19-11,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积是49,则sinα-cosα=()图K19-11A .513B .-513C .713D .-71313.[2018·眉山] 如图K19-12,在边长为1的小正方形网格中,点A ,B ,C ,D 都在这些小正方形的顶点上,AB ,CD 相交于点O ,则tan ∠AOD=.图K19-1214.[2018·某某] 如图K19-13,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD 沿BE 折叠,点A 落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C ,则sin ∠ABE 的值为.图K19-1315.[2018·某某] 阅读下列材料:如图K19-14,在△ABC 中,∠BAC ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,可以得到:S △ABC =12ab sin C=12ac sin B=12bc sinA .图K19-14证明:过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D.在Rt △ABD 中,sin B=AAA, ∴AD=c ·sin B , ∴S △ABC =12a ·AD=12ac sin B.同理:S △ABC =12ab sin C ,S △ABC =12bc sin A.∴S △ABC =12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A.(1)通过上述材料证明:Asin A =Asin A =Asin A ; (2)运用(1)中的结论解决问题:如图K19-15,在△ABC 中,∠B=15°,∠C=60°,AB=20√3,求AC 的长度;图K19-15(3)如图K19-16,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择A ,B ,C 三个测量点,在B 点测得A 在北偏东75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶18 km 到达C 点,测得A 在北偏西45°方向上,根据以上信息,求A ,B ,C 三点围成的三角形的面积.(本题参考数值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,√2≈1.4,结果取整数)图K19-16参考答案1.A2.B[解析] 在Rt △ABC 中,AB=AAsin A ,在Rt △ACD 中,AD=AAsin A ,∴AB ∶AD=AAsinα∶AA sin A =sin Asin A ,故选B . 3.C[解析] 在Rt △PCA 中,∠APC=90°,tan∠PCA=AAAA,得到PA=PC ·tan∠PCA=100tan35°(米).4.D[解析] 在Rt △PAB 中,∵∠APB=30°,∴PB=2AB.由题意知BC=2AB ,∴PB=BC ,∴∠C=∠CPB.∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°,∴∠C=30°,∴PC=2PA ,∵PA=AB ·tan60°,∴PC=2×20×√3=40√3(海里),故选D .5.B[解析] 过点C 作⊥DE 于点N ,延长AB 交ED 的延长线于点M ,则BM ⊥DE 于点M ,则MN=BC=1米.∵斜坡CD 的坡比i=1∶0.75,∴令=x ,则DN=0.75x.在Rt △CDN 中,由勾股定理,得x 2+(0.75x )2=22,解得x=1.6,从而DN=1.2米.∵DE=7米,∴ME=MN+ND+DE=9.2米,AM=(AB+1.6)米.在Rt △AME 中,tan ∠AEM=AA AA ,即AA +1.69.2=tan58°,从而AA +1.69.2≈1.6,解得AB ≈13.1(米),故选B .6.2√55[解析] 根据tan A=12,∠C=90°可设BC=1,则AC=2,AB=√5,所以sin B=√5=2√55.7.6.2[解析] 在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,∴BC=AB ·sin∠BAC ≈12×0.515≈6.2(米).8.(100+100√3)[解析] ∵MN ∥AB ,∴∠A=∠MCA=45°,∠B=∠NCB=30°.∵CD=100,∴AD=AAtan45°=100,DB=AAtan30°=100√3.∴AB=AD+DB=(100+100√3)米.9.解:过点B 作BD ⊥AC ,垂足为点D.在Rt△ABD中,∠ABD=90°-∠A=60°,则AD=tan∠ABD·BD=√3BD.在Rt△BCD中,∠C=45°,∴CD=BD.∴AC=AD+CD=√3BD+BD=(√3+1)BD=2(√3+1),解得:BD=2.∵2 m<2.1 m,故工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.10.解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.Rt△BCD中,CD=BC·sin B=40(千米),=40√2(千米),AC+BC=40√2+80≈136.4(千米). Rt△ACD中,AC=AAsin A答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米.(2)Rt△BCD中,BD=BC·cos B=40√3(千米),=40(千米),Rt△ACD中,AD=AAtan AAB=AD+BD=40+40√3≈109.2(千米),AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).答:开通隧道后,汽车从A地到B地大约可少走27.2千米.11.解:(1)过点C,D分别作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分别为E,F.则有AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知:∠PCE=32.3°,∠PDF=55.7°,在Rt△PCE中,PE=CE×tan32.3°≈0.63CE,在Rt△PDF中,PF=DF×tan55.7°≈1.47CE,∵PF-PE=EF,∴1.47CE-0.63CE=42,∴AB=CE=50(m).答:楼间距AB为50 m.(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.5÷3=19.5,∴点C位于第20层.答:点C位于第20层.12.D[解析] ∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5或AC=-12(舍去),在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,sin α-cos α=513-1213=-713.13.2[解析] 如图,连接AE ,BE ,易证CD ∥BE ,∴∠AOD=∠ABE ,显然△ABE 是直角三角形,∴tan ∠AOD=tan ∠ABE=AA AA =√2√2=2.14.√1010[解析] 由折叠知∠BA'E=∠A=90°,AE=A'E ,A'B=AB=6,故在Rt △A'BC 中,由勾股定理,得A'C=√AA 2-A 'A 2=√102-62=8,设AE=A'E=x ,则CE=x+8,DE=10-x ,在Rt △CDE 中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x )2,解得x=2.在Rt △ABE 中,BE=√22+62=2√10.所以sin ∠ABE=AA AA =2√10=√1010.15.解:(1)∵12ab sin C=12ac sin B , ∴A sin A =Asin A .同理:A sin A =A sin A . ∴A sin A =A sin A =A sin A . (2)由(1)可知:AA sin A =AA sin A , 即AA sin15°=20√3sin60°, 解得:AC ≈12.(3)过点A 作AD ⊥BC 于点D.由(1)可知:AA sin∠AAA =AAsin∠AAA .由题意可知∠BAC=∠BAD+∠CAD=75°+45°=120°, ∴18sin120°=AA sin15°,解得:AC ≈6,∴AD=√22AC=√22×6=3√2≈4.2(km).∴S △ABC =12AD ·BC=12×4.2×18≈38(km 2).。

2019河北中考《4.2三角形的基本概念及全等三角形》知识梳理

第二节三角形的基本概念及全等三角形三角形三边关系(2次)1．(2019河北15题3分)如图(1)，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图(2)．则下列说法正确的是( C )A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远2．(2019河北10题3分)已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( B )A．2个B．3个C．5个D．13个3．(2019邢台模拟)下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是( A )A．2，3，4 B．2，2，4 C．1，2，3 D．1，2，64．(2019邯郸模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D )A．2或4 B．11或13 C．11 D．13三角形内外角关系(2次)5．(2019河北4题2分)如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( B )A．20° B．30° C．70° D．80°,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2019北京朝阳外国语学校一模)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( C )A．45° B．60° C．75° D．90°7．(2019河北19题4分)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.三角形的四条重要线段(2次)8．(2019河北9题3分)图示为4×4的格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B )A．△ACD的外心 B．△ABC的外心C．△ACD的内心 D．△ABC的内心(第8题图)(第9题图)9．(2019河北2题2分)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝( C )A．2 B．3 C．4 D．5全等三角形(7次)10．(2019唐山一模)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个11．(2019邯郸模拟)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( D )A．2.5 B．1.5 C．2 D．112．(2019河北21题9分)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF；(2)∵AB∥DE，AC∥DF.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.13．(2019唐山二模)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.证明：∵BE＝CF，∴BF＝CE，又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE，∴AB＝DC.,中考考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类(1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形__等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段6.四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段 BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝ ∠ADC ＝90°续表角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段 ∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC 且DE ＝12BC全等三角形及其性质7．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．8．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定(高频考点)全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论．涉及到的背景有：①与三角形结合；②与四边形结合；③与圆结合．每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系．9．三角形全等的判定类型图形已知条件是否全等形成结论一般三角形的判定A 1B 1＝A 2B 2， B 1C 1＝B 2C 2， A 1C 1＝A 2C 2是SSS∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2， ∠C 1＝∠C 2 是 ASA∠B 1＝∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 是 AASA 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS__续表直角三角形的判定A 1B 1＝A 2B 2， A 1C 1＝A 2C 2，是____HL__【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边之间的关系【例1】(2019长沙中考)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．11 【学生解答】A【点拨】利用三边之间的关系：两边之和大于第三边及两边之差小于第三边来解答．1．(2019玉林中考)在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20 cm ，则AB 边的取值范围是( B ) A ．1 cm<AB<4 cm B ．5 cm<AB<10 cm C ．4 cm<AB<8 cm D ．4 cm<AB<10 cm三角形内角和，外角与内角的关系【例2】(2019乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A＝( )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75° 【学生解答】C【点拨】利用角平分线的定义可求得∠ACD 的度数，从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．2．(2019临沂中考)如图，直线AB∥CD，∠A ＝40°，∠D ＝45°，则∠1的度数等于( B ) A ．80° B ．85° C ．90° D ．95°(第2题图)(第3题图)3．(2019原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( A )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°全等三角形的性质与判定【例3】(2019沧州八中一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS)；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC ＝∠E，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.4．(2019武汉中考)如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：AB∥DE.证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EC ＝CF ＋EC. 即BC ＝EF ，∵AB ＝DE ，AC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF(SSS)， ∴∠B ＝∠DEF， ∴AB ∥DE.5．(2019邯郸二十三中一模)如图，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，AD ＝AE ，求证：BE ＝CD. 证明：∵BD⊥AC，CE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠AEC＝90°，在△ADB 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠AEC，AD ＝AE ，∠A ＝∠A，∴△ADB ≌△AEC(ASA)，∴AB ＝AC ，又∵AD＝AE ，∴AB －AE ＝AC －AD. 即BE ＝CD.,中考备考方略)1．(2019南通中考)下列长度的三条线段能组成三角形的是( A )A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a(a>0)2．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C ＝36°，则∠DAE 的度数为( A )A ．20°B ．18°C ．38°D ．40°(第2题图)(第3题图)3．(2019石家庄模拟)一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是( A ) A．165° B．120° C．150° D．135°4．(2019河北石家庄四十三中一模)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是( B )A．5 B．10 C．11 D．125．(2019河北保定十三中一模)如图，AB∥CD，∠A＋∠E＝75°，则∠C为( C )A．60° B．65°C．75° D．80°6．(2019内江中考)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( A )A．75° B．65° C．45° D．30°(第6题图)(第7题图)7．(2019哈尔滨中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是C′)，连接CC′，若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是( C )A．32° B．64° C．77° D．87°8．(2019永州中考)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD(第8题图)(第9题图)9．(2019枣庄中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( A )A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°10．(2019保定二模)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE＝90°，四边形ACDE 是平行四边形，连接CE 交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ，下列结论中：①CE ＝BD ；②△ADC 是等腰直角三角形；③△AEC≌△AEB；④△CGD∽△CDF，一定正确的结论有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第10题图)(第11题图)11．(2019东莞中考)如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分面积是__4__．12．(2019重庆中考)如图，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB ＝CE ，AC ＝CD ，求证：∠B＝∠E. 证明：∵AB∥CD，∠DCA＝∠CAB. 又∵AB＝CE ，AC ＝CD ， ∴△CAB ≌△DCE(SAS)， ∴∠B ＝∠E.13．(2019原创)如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE ＝13CD ，过点B 作BF∥DE，与AE 的延长线交于点F.若AB ＝6，则BF 的长为( C )A ．6B ．7C ．8D ．10(第13题图)(第14题图)14．(2019石家庄模拟)如图，已知△ABC 的面积为10 cm 2，BP 为∠ABC 的平分线，AP 垂直BP 于点P ，则△PBC 的面积为( B )A ．4 cm 2B ．5 cm 2C ．6 cm 2D ．7 cm 215．(2019滨州中考)如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°，则∠CDE 的度数为( D )A ．50°B ．51°C ．51.5°D ．52.5°(第15题图)(第16题图)16．(2019常德中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC＝__70__°.17．(2019南充中考)已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. 求证：(1)BD ＝CE ； (2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC. 又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC， ∴∠MDO ＝∠NEO，∵∠MOD ＝∠NOE，∴180°－∠MDO －∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，故∠M＝∠N.18．(2019绍兴中考)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． (1)若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5 cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由；(2)若固定二根木条AB ，BC 不动，AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，量得木条CD ＝5 cm ，∠B ＝90°，写出木条AD 的长度可能取到的一个值；(直接写出一个即可)(3)若固定一根木条AB 不动，AB ＝2 cm ，量得木条CD ＝5 cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上，当点C 移到AB 的延长线上时，点A ，C ，D 能构成周长为30 cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．解：(1)相等．如图，连接AC ，∵AB ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝5，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC ，∠B ＝∠D；(2)答案不唯一，只要满足29－5≤AD≤29＋5即可，如AD ＝5 cm ； (3)设AD ＝x cm ，BC ＝y cm ，根据题意得当点C 在点D 的右侧时 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5，x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝10，当点C 在点D 的左侧时， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5＋2，x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝15， ∴5＋8<17，∴不合题意． ∴AD ＝13 cm ，BC ＝10 cm.19．(2019内江中考)问题引入：(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝__90°＋α2__(用α表示)；如图②，∠CBO ＝13∠ABC ，∠BCO ＝13∠ACB ，∠A ＝α，则∠BOC＝__120°＋α3__(用α表示)；(2)如图③，∠CBO ＝13∠DBC ，∠BCO ＝13∠ECB ，∠A ＝α，请猜想∠BOC＝__120°－α3__(用α表示)，并说明理由；类比研究：(3)BO ，CO 分别是△ABC 和外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO ＝1n∠DBC ，∠BCO＝1n ∠ECB ，∠A ＝α，请猜想∠BOC＝__n －1n ·180°－αn__．解：(2)理由：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－13(∠DBC＋∠ECB)＝180°－13(180°＋∠A)＝120°－α3.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若关于x 的方程3x 2﹣2x+m ＝0的一个根是﹣1，则m 的值为（） A ．﹣5B ．﹣1C ．1D ．52．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知，满足不等式ax 2+bx+c ＞0的x 的取值范围是（）A.﹣1＜x ＜5B.x ＞5C.x ＜﹣1且x ＞5D.x ＜﹣1或x ＞53．已知P 是反比例函数8(0)y x x=>图象上一点，点B 的坐标为（1，0），A 是y 轴正半轴上一点，且AP⊥BP ，AP ：BP ＝1：2，那么四边形AOBP 的面积为（）A.6.5B.8C.10D.74．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =-B ．0x =C ．3x =-D ．1x =5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x=的图象交于(4,2)A --，(4,2)B 两点，当12y y >时，自变量x 的取值范围是（）A ．4x >B ．40x -<<C ．4x <-或04x <<D ．40x -<<或4x >6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 上，//DE AB ，若160CDE ∠=︒，则B Ð的度数为（）A ．80︒B ．75︒C ．65︒D ．60︒7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB 于点E ．设BP ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．“十•一”黄金周期间，某风景区在7天假期中，共接待游客的人数（单位：万人）统计如下表：日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日人数1.222.521.220.6其中众数和中位数分别是（） A ．1.2，2 B ．2，2.5C ．2，2D ．1.2，2.59．已知x+1x=6，则x 2+21x =（）A.38B.36C.34D.3210．有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a 升和b 升，且已各装了一些水．若将甲中的水全倒入乙箱之后，乙箱还可以继续装20升水才会满；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，乙箱里还剩10升水，则a ，b 之间的数量关系是( ) A ．b ＝a+15B ．b ＝a+20C ．b ＝a+30D ．b ＝a+4011．给出四个实数3，13，0，-3，其中无理数是（） A ．3B ．13C ．0D ．-312．如图，直线y=-x+2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若△OBC 和△OAD 的周长相等，则OD 的长是( )A ．2B ．22C ．522D ．4二、填空题13．如图，半径为13的等圆⊙O 1和⊙O 2相交与A ，B 两点，延长O 1O 2与⊙O 1交于点D ，连接BD 并延长与⊙O 2交于点C ，若AB ＝24，则CD ＝_____．14．分解因式:23m m -=________.15．分解因式：22x y -=_______________. 16．不等式组的解集是_____．17．如图，△AOB 中，∠O=90°，AO=8cm ，BO=6cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2cm/s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5cm/s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__s 时，以C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线EF 相切．18．分解因式： 24x x +=________________ 三、解答题19．先化简：(x+2+342x x +-)÷2692x x x ++-，然后判断当x=2sin60o －3时，原式取值的正负情况. 20．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ＝2，M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM 、MN 、BN ． (1)求证：BM ＝MA ；(2)若∠BAD ＝60°，求BN 的长；(3)当∠BAD ＝ °时，BN ＝1．(直接填空)21．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ．(1)在图(1)中，用直尺和圆规过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E ；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图(2)，如果⊙O 的半径为3，ED ＝4，延长EO 交⊙O 于F ，连接DF ，与OA 交于点G ，求OG 的长．22．自习课上小明在准备完成题目：化简：（ x 2+6x+8)-（6x+8x 2+2）发现系数“ ” 印刷不清楚、（1）他把“”猜成6，请你帮小明完成化简：（6x 2+6x+8)-（6x+8x 2+2)；（2）小明同桌看到他化简的结果说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数。

河北省近年届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形(8年真题训练)练习(

河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形（8年真题训练）练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形（8年真题训练）练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第15讲等腰三角形命题点1 等腰三角形的性质与判定1．（2018·河北T8·3分)已知，如图,点P在线段AB外,且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C2．(2017·河北T10·3分）如图,码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发,并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（D)A．北偏东55° B．北偏西55°C．北偏东35° D．北偏西35°3．（2013·河北T8·3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（D)A．40海里B．60海里C．70海里 D．80海里命题点2 等边三角形的性质与判定4．（2016·河北T16·2分)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB,且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上,且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)A．1个B．2个C．3个D．3个以上5．（2011·河北T17·3分）如图1，两个等边△ABD,△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2,则阴影部分的周长为2.图1 图2重难点1 等腰三角形的性质与判定在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点（D不与A，B重合)．(1)如图1，当点D为AB的中点,过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F,求证：AC＝BF；（2）连接CD。

2019年版河北版中考数学第四章三角形

第四章三角形阶段检测·教师专用一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2018河北中考)如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行,此时的航行方向为( )A.北偏东30°B.北偏东80°C.北偏西30°D.北偏西50°2.(2017石家庄二模)若等腰三角形中有一个角等于70°,则这个等腰三角形的顶角的度数是( )A.70°B.40°C.70°或40°D.70°或55°3.下面每组数分别是三根小木棒的长度,它们能摆成三角形的是( )A.12 cm,3 cm,6 cmB.8 cm,16 cm,8 cmC.6 cm,6 cm,13 cmD.2 cm,3 cm,4 cm4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=24°,则∠BDC等于( )A.42°B.66°C.69°D.77°5.(2018山东淄博中考)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为( )A.4B.6C.4D.86.(2017唐山滦南模拟)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是( )A.(sin α,sin α)B.(cos α,cos α)C.(cos α,sin α)D.(sin α,cos α)7.(2018唐山丰南二模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC,则以下命题:①BC+AD=AB;②E为CD的中点;③∠AEB=90°;④S△ABE=S四边形ABCD;⑤BC=CE.其中,假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.38.(2017唐山模拟)聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一,也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.如图,点O是摩天轮的圆心,长为110米的AB是其垂直地面的直径.小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°,测得圆心O的仰角为21°,则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan 33°≈0.65,tan 21°≈0.38)()A.169米B.204米C.240米D.407米9.如图,一个长、宽、高分别为4 cm、3 cm、12 cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为( )A.11 cmB.12 cmC.13 cmD.14 cm10.(2018保定定兴模拟)一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…,则正方形A2 018B2 018C2 018D2 018的边长是( )A. B.C. D.二、填空题(每小题3分,共24分)11.(2018秦皇岛海港模拟)如图,已知AB∥CD,∠B=60°,CN是∠BCE的平分线,CM⊥CN,则∠BCM=°.12.(2018沧州模拟)在△ABC中,AB=5 cm,AC=3 cm,那么第三边BC的范围是;若∠ACB=90°,CD是斜边AB上的髙,则BC= ,CD= .13.(2017秦皇岛模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°,则线段AB与BD的数量关系是.14.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.15.(2018四川绵阳中考)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD互相垂直且相交于O点,则AB= .16.如图,以Rt△ABC的三边为边向外分别作正方形ACMH,正方形BCDE,正方形ABFG,连接EF,GH,已知∠ACB=90°,BC=t,AC=2-t(0<t<1).若图中两阴影部分的面积和为0.84,则t= .17.如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则= ,tan∠APD=.18.(2018秦皇岛海港模拟)如图,在平面直角坐标系中,B(1,0),∠BAO=30°,若有一个三角形与△AOB全等,且它们有一条公共边,则这个三角形的第三个顶点的坐标为.三、解答题(共46分)19.(8分)(2018河北模拟)已知在△ABC中,∠ACB=90°,tan ∠B=,AB=5.(1)求BC的长;(2)若D在AB上,且∠CDB=∠B,求sin ∠DCB的值.20.(10分)(2018宜昌)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数;(2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.21.(10分)(2018河北中考)如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.(1)求证:△APM≌△BPN;(2)当MN=2BN时,求α的度数;(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.22.(8分)(2016唐山滦县模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E.(1)若B,C在DE的同侧且AD=CE,如图1所示,求证:AB⊥AC;(2)若B,C在DE的两侧,其他条件不变,如图2所示,AB与AC仍垂直吗?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.23.(10分)(2017石家庄二模)如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶的仰角为30°,且D离地面的高度DE=5 m,坡底AE=10 m,然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高.(结果保留整数)(注:tan 50°≈1.192)第四章·阶段检测·答案精解精析一、选择题1.A 如图,AP∥BC,∴∠2=∠1=50°,则∠3=∠4-∠2=80°-50°=30°,此时的航行方向为北偏东30°,故选A.2.C ①若70°角是底角,则顶角度数为180°-70°×2=40°;②若70°角为顶角,则顶角度数为70°.综上所述,顶角的度数为40°或70°.3.D A.3+6<12,不能构成三角形,故本选项错误;B.8+8=16,不能构成三角形,故本选项错误;C.6+6<13,不能构成三角形,故本选项错误;D.2+3>4,能构成三角形,故本选项正确.故选D.4.C 在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=24°,∴∠B=90°-∠A=66°.由折叠的性质可得∠BCD=∠ACB=45°,∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=69°.故选C.5.B 在Rt△ABC中,∵CM平分∠ACB交AB于点M, MN∥BC,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6,故选B.6.C 过P作PQ⊥OB,垂足为Q,在Rt△OPQ中,O P=1,∠POQ=α,∴PQ=sin α,OQ=cos α,则P的坐标为(cos α,sin α).7.B ∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∵AE、BE分别是∠DAB、∠ABC的平分线,∴∠BAE=∠BAD,∠ABE=∠ABC,∴∠BAE+∠ABE=(∠BAD+∠ABC)=90°,∴∠AEB=180°-(∠BAE+∠ABE)=180°-90°=90°,故③是真命题;延长AE交BC延长线于F,∵∠AEB=90°,∴BE⊥AF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE,∴△ABE≌△FBE(ASA),∴AB=BF,AE=FE,∵AD∥BC,∴∠EAD=∠F.又∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=CF,∴AB=BC+CF=BC+AD,故①是真命题;∵△ADE≌△FCE,∴CE=DE,即点E为CD的中点,故②是真命题;∵△ADE≌△FCE,∴S△ADE=S△FCE,∴S四边形ABCD=S△ABF,∵S△ABE=S△ABF,∴S△ABE=S四边形ABCD,故④是真命题;若AD=BC,则CE是Rt△BEF斜边上的中线,则BC=CE,∵AD与BC不一定相等,∴BC与CE不一定相等,故⑤是假命题.综上所述,假命题只有1个.故选B.8.B 如题图,在Rt△OCD中,CD=,°在Rt△ACD 中,CD=°,∴°=°,∴BD ≈22.4米.∴CD=°≈204米.故选B.9.C 如图,∵BC 2=32+42=25,∴CB=5 cm,∵AC=12 cm,∴AB= =13(cm),∴长方体盒子能容下的最长木棒长为13 cm,故选C.10.C ∵∠B 1C 1O=60°,B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3,∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°,∴D 1E 1=C 1D 1sin 30°=,则B 2C 2=°=;同理可得B 3C 3==.故正方形A nB nC nD n 的边长是-,则正方形A 2 018B 2 018C 2 018D 2 018的边长是.故选C.二、填空题 11.答案 30解析 ∵AB ∥CD,∴∠BCE=180°-∠B=180°-60°=120°,∵CN 是∠BCE 的平分线,∴∠BCN=∠BCE=×120°=60°,∵CM ⊥CN,∴∠MCN=90°,∴∠BCM=90°-∠BCN=90°-60°=30°. 12.答案 2 cm<BC<8 cm;4 cm,2.4 cm解析 ∵△ABC 中,AB=5 cm,AC=3 cm,∴第三边BC 的范围是5-3<BC<5+3,即2 cm<BC<8 cm; ∵∠ACB=90°,在Rt△ABC 中根据勾股定理,得BC=4(cm).又∵CD 是斜边AB 上的髙,∴CD=·= =2.4(cm).13.答案 AB=4BD解析设CD= a(a>0),∵CD 是AB 边上的高,∠A=30°,∴∠ACD=60°,∴∠DCB=30°,∴AC=2CD=2 a(a>0),∴由勾股定理可知AD=3a,设DB=x(x>0),则BC=2x,∴由勾股定理得(2x)2=x 2+( a)2,∴x=a,∴BD=a,∴AB=AD+BD=4a,∴AB=4BD. 14.答案 4解析海轮在A 处时位于灯塔P 的北偏东30°方向,沿南偏东30°方向航行到达B 处后,因为点B 位于点P 的正东方向,所以∠APB=60°,又因为∠PAB=60°,所以△PAB 是等边三角形,所以AB=PA=4海里.故该海轮沿南偏东30°方向航行4海里后,到达位于灯塔P 的正东方向的B 处. 15.答案解析 ∵BE,AD 分别为AC,BC 边上的中线,∴BD=BC=2,AE=AC=.由题意知点O 为△ABC 的重心,∴AO=2OD,OB=2OE.∵BE⊥AD,∴BO 2+OD 2=BD 2=4,OE 2+AO 2=AE 2=,∴BO 2+AO 2=4,BO 2+AO 2=, ∴BO 2+AO 2=,∴BO 2+AO 2=5. ∴AB= = .故答案为 . 16.答案 0.6解析过E作EI垂直FB的延长线于I,∵∠ABC+∠FBE=180°,∠EBI+∠FBE=180°,∴∠ABC=∠EBI,又∵∠ACB=∠EIB=90°,∴△ABC∽△EBI,∴=,∴AB·EI=BE·AC,又AB=BF,∴S△EBF=EI·BF=BE·AC=(2t-t2).过H作HJ垂直GA的延长线于J,同理可证△HAJ∽△BAC,∴=,∴HJ·AB=AH·BC,又AG=AB,∴S△HAG=HJ·AG=AH·BC=(2t-t2).∵S△EBF+S△HAG=0.84,∴(2t-t2)+(2t-t2)=0.84,解得t=0.6或t=1.4(不符合题意,舍去),故答案为0.6.17.答案3;2解析设每个小正方形的边长均为1,连接AC,BD,在线段AC上取点E,使四边形BCED是正方形,连接BE交CD于F,如图所示.易知BD∥AC,∴△DBP∽△CAP,∴===3.∵四边形BCED是正方形,∴CD=BE,且CD,BE互相平分,∴BF=CF.∵△BDP∽△ACP,∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3,∴DP∶DF=1∶2,即DP=PF=CF=BF.∴tan∠APD=tan∠BPF==2.18.答案(1,),,,(-1,),(-1,0),(0,-),(1,-),-,.解析如图所示,若△ADB≌△BOA,得D(1,);若△ABH≌△ABO,得H,,如图所示;若△AOC≌△OBA,得C(-1,),如图所示;若△AOE≌△ABO,得E(-1,0),如图所示;若△OFB≌△OAB,得F(0,-),如图所示;若△OBG≌△BOA,得G(1,-),如图所示;若△ABD≌△ABI,得I-,,如图所示.故答案为(1,),,,(-1,),(-1,0),(0,-),(1,-),-,.三、解答题19.解析(1)∵tan ∠B=,∴=,即AC=BC.∵AC2+BC2=AB2,∴+BC2=52,解得BC=3.(2)过D点作DE⊥BC,如图所示,则tan ∠B==.∴BE=DE.∴CE=BC-BE=3-DE.∵∠CDB=∠B,∴CD=CB=3.∵CD2=CE2+DE2,∴32=-+DE2,解得DE=.∴sin ∠DCB===.20.解析(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,∴∠ABC=90°-∠A=50°.∴∠CBD=130°.∵BE是∠CBD的平分线,∴∠CBE=∠CBD=65°.(2)∵∠ACB=90°,∠CBE=65°,∴∠CEB=90°-65°=25°.∵DF∥BE,∴∠F=∠CEB=25°.21.解析(1)证明:∵P是AB的中点,∴PA=PB,在△APM和△BPN中,∵,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得:△APM≌△BPN,∴PM=PN,∴MN=2PN,∵MN=2BN,∴BN=PN,∴α=∠B=50°;(3)∵△BPN的外心在该三角形的内部, ∴△BPN是锐角三角形,∵∠B=50°,∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.22.解析(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACE中,∵, ,∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴∠DBA=∠EAC.∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°,∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.证明如下:同(1),得Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠DAB=∠ECA,∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.23.解析过点D作DH⊥BC于点H,如图所示,则四边形DHCE是矩形,DH=EC,DE=HC.设建筑物BC的高度为x m,则BH=BC-CH=BC-DE=(x-5)m.在Rt△DHB中,∠BDH=30°,∴DH==-°=(x-5)m,AC=CE-AE=DH-AE=[(x-5)-10]m. 在Rt△ACB中,∠BAC=50°,则BC=AC·tan∠BAC=[(x-5)-10]·tan 50°=x.解得x≈21.∴建筑物BC的高约为21 m.。

2019年河北省数学中考试题及答案

2019年河北省中考数学试题一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（）A．+3 B．﹣3 C．﹣D．+3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（）A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝55．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°6．（3分）小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣59．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．210．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→①12．（2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q13．（2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x15．（2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣1 2n B勾股数组Ⅰ/ 8勾股数组Ⅱ35 /22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝．（1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．又拿先拿23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．25．（10分）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．26．（12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．2019年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D．2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．故选：B．3．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B．4．【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选：A．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°；故选：D．6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．故选：C．7．【解答】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：C．8．【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5．故选：D．9．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，故选：C．10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．11．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D．12．【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，所以点M是原点；故选：A．13．【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤x＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．14．【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，故选：A．15．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n ＝14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，∴﹣2﹣1+0＝p，解得：p＝﹣3．故答案为：﹣3．18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．19．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13；三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，∴1××6□9＝﹣6，∴3□9＝﹣6，∴□内的符号是“﹣”；（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，∴这个最小数是﹣20．21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：15；3722．【解答】解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝，∴8元球的个数为4×＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴这4个球价格的众数为8元；（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下：原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴原来4个球价格的中位数为＝8（元），所剩的3个球价格为8，8，9，∴所剩的3个球价格的中位数为8元，∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，∴乙组两次都拿到8元球的概率为．23．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC＝∠DAE即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝∠CAE．（2）∵AD＝6，AP＝x，∴PD＝6﹣x当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，∵I为△APC的内心∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°∵0＜α＜90°，∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m＝105，n＝150．24．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600m甲返回时间为：（t﹣150）s∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．25．【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC＝90°，∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC＝∠DAB∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3，∴x＝BP＝3×3＝9，故当x＝9时，圆心O落在AP上；∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，∴PE⊥AD，∵▱ABCD，∴BC∥AD∴PE⊥BC（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G，∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG＝∠DAB∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3，∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，∴AG＝AB+BG＝3+9＝12∴tan∠CAP＝＝＝1，∴∠CAP＝45°；连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝AP＝，在Rt△CPG中，＝＝13，∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°∴∠OPH＝∠PCG∴△OPH∽△PCG∴，即PH×CP＝CG×OP，×13＝12OP，∴OP＝∴劣弧长度＝＝，∵＜2π＜7∴弦AP的长度＞劣弧长度．（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，∵∠DAB＝∠CBP，∴∠CPM＝∠CBP∴CB＝CP，∵CM⊥AB∴BP＝2BM＝2×9＝18，∴x≥1826．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，∴B（0，﹣b），∵AB＝8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）＝8，∴b＝4．∴L：y＝﹣x2+4x，∴L的对称轴x＝2，当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；（2）y＝﹣（x﹣）2+，∴L的顶点C（）∵点C在l下方，∴C与l的距离b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，∴点C与1距离的最大值为1；（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣）＝（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．。