专题二:求函数解析式
高考求函数解析式方法及例题
高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式。
求函数解析式的题型有:(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;(2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式;(4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法;(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
,求f(x)的解,待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1,在轴截得的线段长为,求的解析式。
x y ()f x 例题:解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】(注意新元的取值范围)已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f ,我们常设)(x g t =,从而求得)(1t g x -=,然后代入))((x g f 的表达式,从而得到)(t f 的表达式,即为)(x f 的表达式。
三【配凑法(整体代换法)】若已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f 的表达式,用换元法有困难时,(如)(x g 不存在反函数)可把)(x g 看成一个整体,把右边变为由)(x g 组成的式子,再换元求出)(x f 的式子。
函数解析式的求解策略
微专题08 函数解析式的求解策略【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有:(1)直接法:已知()f x 的解析式,求(())f g x 的解析式类型,直接将()g x 整体代入()f x 中的x ; (2)待定系数法:即由已知函数类型设出函数解析式(通常是一次函数和二次函数类型),再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而得出函数的解析式;(3)换元法(或者叫配凑法):已知抽象函数(())f g x 的解析式求()f x 的解析式,这个方法可以看成代入法的逆向思维,即令()g x t =,反解出x ,然后代入(())f g x 中得到()f t ,进而得到()f x 的解析式;(4)解方程组法:该方法是针对含有关于两个不同变量的函数,而这两种变量存在某种特定的关系,在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数,然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系,通过解方程组消去一个变量,从而得到只含一个f 的解析式,最后可以得到()f x 的解析式;(5)赋值法:赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法,对涉及任意量词(含x ,y )题目,要特别注意可以通过赋特殊的值,求出特殊的值对应函数值,进而求出函数的解析式.【题型归纳目录】题型一:已知函数类型求解析式 题型二:已知(())f g x 求解析式 题型三:求抽象函数的解析式 题型四:求解析式中的参数值 题型五:函数方程组法求解析式 【典型例题】题型一:已知函数类型求解析式例1.(2022·全国·高一课时练习)已知()f x 是一次函数,2(2)3(1)5f f -=,()()2011f f --=-,则()f x =( )A .32x +B .32x -C .23x +D .23x -【答案】D【解析】依题意,设(),0f x kx b k =+≠,则有2(2)3()52()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=-⎩,解得2,3k b ==-,所以()23f x x =-. 故选:D例2.(2022·全国·高一课时练习)设()f x 为一次函数,且()()41f f x x =-.若()35f =-,则()f x 的解析式为( )A .()211f x x =-或()21f x x =-+B .()21f x x =-+C .()211f x x =-D .()21f x x =+【答案】B【解析】设()f x kx b =+,其中0k ≠,则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-,所以,241k kb b ⎧=⎨+=-⎩,解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时,()21f x x =-+,此时()35f =-,合乎题意; 当2k =时,()123f x x =-,此时()1733f =,不合乎题意.综上所述,()21f x x =-+. 故选:B.例3.(2022·四川省内江市第二中学高一开学考试)如图,一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数23m my x-=(0m ≠且3m ≠)的图象在第一象限交于点A 、B ,且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ,过A 、B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为E 、D .已知()4,1A ,4CE CD =.(1)求m 的值和反比例函数的解析式;(2)若点M 为一次函数图象上的动点,求OM 长度的最小值. 【解析】(1)由已知点()4,1A 为函数23m my x-=上的点,所以2314m m-=,解得:4m =或1m =-, 所以反比例函数的解析式为4y x=; (2)因为()4,1A ,所以4AE =由已知CDE △与CEA 相似,4CE CD =,所以4EA DB =,所以1DB =,故点B 的横坐标为1, 又点B 在函数4y x=的图象上, 所以B 的坐标为(1,4),因为点,A B 都在函数y kx b =+的图象上, 所以4k b +=,41k b +=, 所以1k =-,5b =,所以5OF =,5OC =,由COF 为直角三角形, 设点O 到直线CF 的距离为d , 则5255d ⨯⨯,故522d =, 又当OM CF ⊥时,OM 的长度最小, 所以OM 52例4.(2022·全国·高一课时练习)在①()()121f x f x x +=+-,②()()11f x f x +=-,且()03f =,③()2f x ≥恒成立,且()03f =这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.问题:已知二次函数()f x 的图像经过点(1,2),______.(1)求()f x 的解析式; (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】(1)选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠,则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-,所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-,所以221a a b =⎧⎨+=-⎩,解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点(1,2),所以()1122f a b c c =++=-+=,得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠,则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-.由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩,解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =,所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立,所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩,解得12a b =⎧⎨=-⎩,故()223x x x f =-+.(2)由(1)可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-,所以()210x -≥, 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.例5.(2022·全国·高一专题练习)设()f x 是一次函数,且()43f f x x =+⎡⎤⎣⎦,求()f x 的解析式. 【解析】设()()0f x ax b a =+≠,则()()()2=43f f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=+++⎡⎤⎣⎦,所以243a ab b ⎧=⎨+=⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩,所以函数()f x 的解析式为()21f x x =+或()23f x x =--.例6.(2022·全国·高一专题练习)(1)已知()f x 是一次函数,且(())41f f x x =-,求()f x ; (2)已知()f x 是二次函数,且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=,求()f x . 【解析】(1)设()(0)f x ax b a =+≠,则2(())()()f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++ 因为(())41f f x x =-,所以241a x ab b x ++=-所以241a ab b ⎧=⎨+=-⎩解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩ 所以1()23f x x =-或 ()21f x x =-+(2)设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 由(0)1f =,得1c = 由(1)()2f x f x x +-=得22(1)(1)112a x b x ax bx x ++++---=整理,得22ax a b x ++=所以220a a b =⎧⎨+=⎩ 所以11a b =⎧⎨=-⎩ 所以2()1f x x x =-+例7.(2022·全国·高一专题练习)若二次函数()f x 满足(0)1f =,(1)()2f x f x x +-=,求()f x . 【解析】因为二次函数()f x 满足(0)1f =;所以设2()1f x ax bx =++, 则:22(1)(1)(1)112f x a x b x ax bx ax a b +=++++=+++++; 因为(1)()2f x f x x +-=,所以221212ax bx ax a b ax bx x +++++---=;∴22ax a b x ++=;∴220a a b =⎧⎨+=⎩;∴1a =,1b =-;∴2()1f x x x =-+. 故答案为:21x x -+ .例8.(2022·全国·高一专题练习)(1)已知f (x )是一次函数,且满足f (x +1)-2f (x -1)=2x +3,求f (x )的解析式.(2)若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,求g (x )的解析式. 【解析】(1)设f (x )=kx +b (k ≠0),则f (x +1)-2f (x -1)=kx +k +b -2kx +2k -2b =-kx +3k -b , 即-kx +3k -b =2x +3不论x 为何值都成立,∴2,33,k k b =-⎧⎨-=⎩解得2,9,k b =-⎧⎨=-⎩∴f (x )=-2x -9.(2) 设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∵g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,∴1,5,0,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得3,2,0,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴g (x )=3x 2-2x .题型二:已知(())f g x 求解析式例9.(多选题)(2022·全国·高一课时练习)若函数()221)20(1x f x x x --=≠,则( )A .1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .()324f =-C .()()24101()f x x x =-≠-D .()2214()1011x f x x x x =-≠≠-⎛⎫⎪⎝⎭且 【答案】AD【解析】令()121x t t -=≠,则12t x -=,所以2221142()1(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==---⎛⎫⎪⎝⎭,则24()1(1)(1)f x x x =-≠-,故C 错误;1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故A 正确;()23f =,故B 错误; 22214411(1)11x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭(0x ≠且1x ≠),故D 正确. 故选:AD .例10.(2022·全国·高一课时练习)已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()f x 的值域为______.【答案】()1,+∞ 【解析】令1x t x +=,则111t x=+≠,所以11t x =-, 所以()()211f t t =-+,故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠,其值域为()1,+∞.故答案为:()1,+∞.例11.(2022·全国·高一课时练习)已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,求()f x 的解析式.【解析】222121x x x x ⎛⎫-=- ⎝+⎪⎭,因为2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭212x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()22f x x =+,故答案为:22x + .例12.(2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试)已知(1)2f x x x =+()f x 的解析式为( ) A .2()1f x x =- B .()21(1)f x x x =->C .2()1(1)f x x x =-≥D .2()1(0)f x x x =-≥【答案】C【解析】因为()2(1)211f x x x x =+=-令()11t x t =≥,所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选:C.例13.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()2268f x x x +=++,则函数()f x 的解析式为( ) A .()22f x x x =+ B .()268f x x x =++ C .()24f x x x =+D .()286f x x x =++【答案】A【解析】方法一(配凑法)∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++, ∴2()2f x x x =+.方法二(换元法)令2t x =+,则2x t =-,∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+, ∴2()2f x x x =+. 故选:A例14.(2022·全国·高一课时练习)若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,且()4f m =,则实数m 的值为( )A 6B 6或6-C .6-D .3【答案】B【解析】令1x t x +=(2t ≥或2t ≤-),22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭,()22f t t ∴=-,()224f m m =-=,6m ∴=±故选;B例15.(2022·全国·高一专题练习)设()23f x x =+,()()21g x f x +=-,则()g x =( ) A .21x + B .23x -C .21x -D .23x +【答案】B【解析】因为()23f x x =+,所以()()1=21321f x x x --+=+ 又因为()()21g x f x +=-,所以()221g x x +=+, 令2x t +=,则2x t =-,()()22123g t t t =-+=-,所以()23g x x =-. 故选:B.题型三:求抽象函数的解析式例16.(2022·全国·高一课时练习)已知()01f =,对于任意实数x y ,,等式()()()21f x y f x y x y -=--+,求()f x 的解析式.【解析】对于任意实数x y 、,等式()()()21f x y f x y x y -=--+恒成立,不妨令0x =,则有 ()()()()201111f y f y y y y y y -=--+=+-=-+ 再令y x -=,得函数解析式为:()2 1.f x x x =++例17.(2022·全国·高一课时练习)定义在实数集上的函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线,x ∀∈R ,()()()3266f x x f x x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,且()f x 的最大值为1,最小值为0.(1)求()1f 与()1f -的值; (2)求()f x 的解析式.【解析】(1)令1x =,则()()()321111f f f +=+,得()()()()211111f f f -=-∴()()()()2111100f f f x +-=≥,() ∴()11f =令1x =-,则()()()321111f f f -+=-+-,同理()11f -=;(2)由()()()2366f x x f x x x f ⎡⎤+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 得()()2610fx x f x ⎡⎤--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦,即()()()3310f x x f x x f x ⎡⎤⎡⎤-+-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这说明x ∀∈R ,()f x 至少与1,3x ,3x -其中之一相等 ∵()f x 的最大值为1,最小值为0∴在区间(],1-∞和[)1,+∞上,一定有()1f x =()0f x =只能在0x =处取得,因此()00f =又∵函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线 ∴()f x 的解析式为()(][)()[)331,,11,,1,0,0,1x f x x x x x ∞∞⎧∈-⋃+⎪=-∈-⎨⎪∈⎩例18.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()y f x =满足:对一切实数a 、b ,均有()()()21f a b f b a a b +-=++成立,且()10f =.(1)求函数()y f x =的表达式; (2)解不等式()34f x -<.【解析】(1)由已知等式()()()21f a b f b a a b +-=++,令1a =,0b =,得()()102f f -=.又()10f =,所以()02f =-.再令0b =,可得()()()01f a f a a -=+,即()()12f a a a =+-. 因此,函数()y f x =的表达式为()()12f x x x =+-. (2)因为()()124f x x x =+-<的解集为()3,2-, 所以令332x -<-<,解得15x <<, 即原不等式的解集为(1,5).例19.(2022·江西·黎川县第一中学高一阶段练习)已知函数()f x 对一切的实数x ,y ,都满足222()()632f x y f x y x y xy x y +--=++++-,且(0)2f =-.(1)求(2)f 的值; (2)求()f x 的解析式; (3)求()f x 在[)3,1-上的值域.【解析】(1)令1,x y ==则2(2)(0)11613210,f f -=++++-=(0)2,(2)4;f f =-∴=(2)令0y =则222()()2,()2f x f x x x f x x x -=+-∴=+-; (3)()f x 对称轴为[)11,32x =-∈-, min max 9(),()44f x f x ∴=-=,9(),44f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.例20.(2022·上海·高一专题练习)函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()21f x y f y x y x +-=++成立,且()10f =.求()f x 的解析式;【解析】令1x =,0y =,则()()()1001011f f +-=++⨯,即()002f -=,()02f ∴=-.令0y =,则()()()201f x f x x x x -=+=+,()22f x x x ∴=+-.例21.(2022·江苏·高一课时练习)已知函数()f x 在定义域R 上单调,且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=,则(2)f -的值为( )A .3B .1C .0D .1-【答案】A【解析】根据题意,函数()f x 在定义域R 上单调,且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=, 则()2f x x +为常数,设()2f x x t +=,则()2f x x t =-+,则有()21f t t t =-+=,解可得1t =-,则()21f x x =--,故(2)413f -=-=; 故选:A.例22.(2022·全国·高一单元测试)已知函数()f x 在R 上是单调函数,且满足对任意x ∈R ,都有()34f f x x -=⎡⎤⎣⎦,则()2f 的值是( )A .2B .4C .7D .10【答案】C 【解析】()f x 在R 上是单调函数,∴可令()3f x x t -=,()3f x x t ∴=+,()44f t t ∴==,解得:1t =,()31f x x ∴=+,()23217f ∴=⨯+=.故选:C.例23.(2022·湖北·高一阶段练习)已知函数()y f x =,x ∈R ,且()02f =,()()0.520f f =,()()120.5f f =,…,()()()0.520.51f n f n =-,*n N ∈,则满足条件的函数()f x 的一个解析式为________. 【答案】()24x f x =⨯ 【解析】由己知得(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=,2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=, 3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅⋅⋅=, ()4(0)x f x f ∴=,又(0)2f =,()24x f x ∴=⨯ 故答案为:()24x f x =⨯例24.(2022·全国·高一课时练习)若函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ,写出一个符合要求的解析式()f x =_________. 【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R , 所以()f x =x ,故答案为:x ,答案不唯一题型四:求解析式中的参数值例25.(2022·广东·新会陈经纶中学高一期中)已知函数()q f x px x =+(p ,q 为常数),且满足5(1)2f =,17(2)4f =. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若0x ∀>,关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)()()512{1724f f ==,∴52{17224p q q p +=+=,解得2{12p q ==,∴函数()f x 的解析式为1()2(0)2f x x x x=+≠. (2)0x >,∴由基本不等式可得()11222222f x x x x x=+≥⋅, 当且仅当122x x =,即12x =时取等号, ∴当0x >,函数()212f x x x=+的最小值是2, 要使0x ∀>,关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立,只需()min 3f x m ≥-, 所以23m ≥-,解得m 1≥. ∴实数m 的取值范围是[1,)+∞例26.(2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习)已知函数32()f x x ax bx c =+++,且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤,则( ) A .3c ≤ B .36c <≤C .69c <≤D .9c >【答案】C【解析】由已知得(1)(2)(1)(3)f f f f -=-⎧⎨-=-⎩,即184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩,解得611a b =⎧⎨=⎩, 又0(1)63f c <-=-≤,所以69c <≤, 故选:C.例27.(2022·全国·高一)已知()()()222f x x x x ax b =+++,若对一切实数x ,均有()()2f x f x =-,则()3f =___. 【答案】15-【解析】由对一切实数x ,均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩,即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩ 则()()()22268f x x x x x =+-+,满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为:15-题型五:函数方程组法求解析式例28.(2022·全国·高一专题练习)若函数f (x )满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则f (x )可以是___.(举出一个即可)【答案】()()10f x x =≠【解析】若()()10f x x =≠,满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.若()21xf x x =+,满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故答案为:()()10f x x =≠,答案不唯一.例29.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+,则()f x =___________. 【答案】21x -+【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①, 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②, ②2⨯-①得,()21f x x =-+. 故答案为:21x -+.例30.(2022·全国·高一课时练习)设函数()f x 是R →R 的函数,满足对一切x ∈R ,都有()()22f x x f x +-=,则()f x 的解析式为()f x =______.【答案】2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=,得()()()222f x x f x -+-=, 将()f x 和()2f x -看成两个未知数,可解得()()211f x x x=≠-, 当1x =时,()()()212112f f -+-=,解得()11f =,综上,()2,1,11, 1.x f x xx ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为:2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩. 例31.(2022·重庆市江津中学校高一阶段练习)已知函数()f x 满足()()21f x f x x --=,则()1f =_________【答案】13-【解析】令1x t -=,则1x t =-, 所以()()121f t f t t --=-① 因为()()21f t f t t --=②由①2⨯+②得()32f t t -=-,所以()23tf t -=-,即()23x f x -=-,所以()113f =-故答案为:13-例32.(2022·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习)已知函数()f x 对0x ≠的一切实数都有()202132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则()2021f =______.【答案】10092-【解析】()()2021322021202132?f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩,()202186?2f x x x ∴=-,()320211·44f x x x ∴=-,()100920212f ∴=-, 故答案为:10092-. 例33.(2022·全国·高一课时练习)已知12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭,求()f x 的解析式.【解析】利用方程组法求解即可:因为12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭,所以()112(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭,消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭解得()2133x f x x =-,()(),00,x ∈-∞⋃+∞ 故答案为:2133x x-,()(),00,x ∈-∞⋃+∞. 例34.(2022·全国·高一专题练习)若对任意实数x ,均有()2()92f x f x x --=+,求()f x . 【解析】利用方程组法求解即可; ∵()2()92f x f x x --=+(1) ∴()()()292f x f x x --=-+(2) 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+, ∴()32()f x x x R =-∈.故答案为:32x - .【过关测试】一、单选题 1.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()f x 为一次函数,且()()3751f f ==-,,则()1f =( ) A .15 B .15-C .9D .9-【答案】A【解析】设()f x kx b =+,则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩,解得419k b =-⎧⎨=⎩,()419f x x ∴=-+,()141915f ∴=-+=.故选:A2.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()2156f x x +=-,且()9f t =,则t =( ) A .7 B .5 C .3 D .4【答案】A 【解析】()()51721562122f x x x +=-=+-, ()51722f x x ∴=-. ()517922f t t ∴=-=,解得7t =.故选:A.3.(2022·全国·高一专题练习)某学校对教室采用药熏消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与x 成反比例(如图),现测得药物10分钟燃毕,此时室内空气中每立方米含药量为8毫克.研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效,那么此次消毒的有效时间是( )A .11分钟B .12分钟C .15分钟D .20分钟【答案】C【解析】当010x ≤≤时,设y kx =, 将点(10,8)代入y kx =得:108k =,解得45k =,则此时45y x =, 当10x >时,设a y x=, 将点(10,8)代入ay x=得:10880a =⨯=, 则此时80y x=, 综上,()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,当010x ≤≤时,445x =,解得5x =,当10x >时,804x=,解得20x ,则当4y ≥时,520x ≤≤,所以此次消毒的有效时间是20515-=(分钟), 故选:C .4.(2022·全国·高一课时练习)已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=,且当(]0,1x ∈时,()()41f x x x =-,则当[)2,1x ∈--时,()f x 的最小值是( )A .181-B .127-C .19-D .13-【答案】C【解析】由题意得,()10f =,又()()0130f f +=, ∴()00f =,()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--,∴()20,1x +∈,∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+-⎪⎝⎭,故当32x =-时,()f x 取得最小值19-.综上,当[)2,1x ∈--时,()f x 的最小值是19-.故选:C.5.(2022·吉林油田高级中学高一期中)若(1)1f x x =+,则()f x 的解析式为( ) A .2()f x x =B .2()22(0)f x x x x =-+≥C .2()22(1)f x x x x =-+≥D .2()1f x x =+【答案】C1x t =,1t ≥,则2(1)x t =-, 则22()(1)122f t t t t =-+=-+,1t ≥, ∴函数()f x 的解析式为2()22(1)f x x x x =-+≥. 故选:C.6.(2022·全国·高一课时练习)已知()f x 满足()12()3f x f x x +=,则()f x 等于( )A .12x x--B .12x x-+ C .12x x +D .12x x-【答案】D【解析】把()12()3f x f x x +=①中的x 换成1x ,得()132()f f x x x+=②由①2⨯-②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-. 故选:D7.(2022·浙江·高一阶段练习)设()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数,当()0,x ∈+∞时,都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,则(3)f 的为A .2B .3C .32D .43【答案】D 【解析】设1()f x t x -=,则()2f t =,1()f x t x=+ ∵()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数 ∴方程()2f t =只有一解,即t 为定值.又∵()12f t t t =+=∴1t =即()14333f t =+=故选:D.8.(2022·全国·高一课时练习)已知函数f (x )满足f (x )+2f (3-x )=x 2,则f (x )的解析式为( ) A .f (x )=x 2-12x +18B .f (x )=213x -4x +6C .f (x )=6x +9D .f (x )=2x +3 【答案】B【解析】用3x -代替原方程中的x 得:f (3-x )+2f [3-(3-x )]=f (3-x )+2f (x )=(3-x )2=x 2-6x +9,∴22()2(3)(3)2()69?f x f x x f x f x x x ⎧+-=⎨-+=-+⎩消去(3)f x -得:-3f (x )=-x 2+12x -18,21()463f x x x ∴=-+.故选:B 二、多选题9.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()123f x x x =,则( )A .()17f =B .()225f x x x =+C .()f x 的最小值为258-D .()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【解析】令11t x =≥-1x t =+,则()21x t =+,得)()2125fx f t t t ==+,故()225f x x x =+,[)1,x ∞∈-+,()17f =,A 正确,B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增,()()min 13f x f =-=-,()f x 的图象与x 轴只有1个交点,C 错误,D 正确.故选:AD10.(2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中)下列说法正确的是( ) A .若y =f (x )是一次函数,则y =f (f (x ))为一次函数 B .若y =f (x )是二次函数,则y =f (f (x ))为二次函数 C .若y =f (x )是二次函数,f (x )=x 有解,则f (f (x ))=x 有解 D .若y =f (x )是二次函数,f (x )=x 无解,则f (f (x ))=x 无解 【答案】AC【解析】A.因为y =f (x )是一次函数,设()(0)f x kx b k =+≠,则()()2(0)f kx b k kx b b k x kb b k +=++=++≠,即y =f (f (x ))为一次函数,故正确;B. 因为y =f (x )是二次函数,设()2(0)f x ax bx c a =++≠,则()()()2222f ax bx c a ax bx c b ax bx c c ++=++++++,34222232222222a x ab x abcx ac a bx a cx abx b x bc c =+++++++++,()()342322222222(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a =+++++++++≠所以 y =f (f (x ))不是二次函数,故错误;C.因为f (x )=x 有解,设0x ,则()00f x x =,所以()()()000f f x f x x ==,则f (f (x ))=x 有解,故正确;D.若f (x )=x 无解,即()210ax b x c +-+=无解,则()2140b ac ∆=--<,由()()()2222=f ax bx c a ax bx c b ax bx c c x ++=++++++,得()()34232222222210(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a ++++++-+++=≠,此方程不是一元二次方程,故根据()2140b ac ∆=--<,无法判断方程是否有解,故错误; 故选:AC11.(2022·全国·高一课时练习)一次函数()f x 满足:(())43f f x x =+,则()f x 的解析式可以是( ) A .()f x =21x + B .()f x =12x - C .()f x =23x - D .()f x =23x --【答案】AD【解析】设()()0f x kx b k =+≠,则()2(())43f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+,所以243k kb b ⎧=⎨+=⎩,解得21k b =⎧⎨=⎩或23k b =-⎧⎨=-⎩,即()21f x x =+或()23f x x =--. 故选:AD .12.(2022·江西·模拟预测)已知一次函数1()(0)3f x x b b =-+≠满足2((0))f f b =,且点()Q m n ,在()f x 的图象上,其中0m >,0n >,则下列各式正确的是( )A .43b =B .32m n +=C .13mn ≤D .1123m n+≥ 【答案】BCD 【解析】21((0))()3f f f b b b b ==-+=,23b ∴=, 即12()33f x x =-+,故A 不正确;由()Q m n ,在函数图象上可得23m n -+=,即32m n +=,故B 正确; 由均值不等式可得323m n mn +=≥13mn ≤,故C 正确;因为111111313(3)(2)2223232323n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝, 所以D 正确. 故选:BCD 三、填空题13.(2022·全国·高一课时练习)已知()2215f x x x =-++,则()2f x 的值域为______.【答案】(,16]-∞【解析】设2t x =,0t ≥,()()2221511616f t t t t =-++=--+≤,所以值域是(,16]-∞. 故答案为:(,16]-∞.14.(2022·全国·高一)已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是___________.【答案】259x x -+【解析】()213f x x x +=-+,令1x t ,则1x t =-,故()()()222113211335f t t t t t t t t =---+=-+-++=-+,故()235f x x x =-+,()()()222113152133559f x x x x x x x x -=---+=-+-++=-+故答案为:259x x -+15.(2022·全国·高一专题练习)若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则()f x =______.【答案】12855x x- 【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①,将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②,由①②得()12855x f x x-=. 故答案为:12855x x-. 四、解答题16.(2022·全国·高一课时练习)(1)已知)24fx x x =+()f x 的解析式;(2)已知()f x 是二次函数,且满足()01f =,()()12f x f x x +=+,求函数()f x 的解析式;(3)已知()()22f x f x x x +-=-,求函数()f x 的解析式;(4)已知()f x 的定义在R 上的函数,()01f =,且对任意的实数x ,y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+,求函数()f x 的解析式.【解析】(1)方法一 设2t x =,则2t ≥2x t =-,即()22x t =-,所以()()()222424f t t t t =-+-=-,所以()24f x x =-(2x ≥).方法二 因为))2224fx x =-,所以()()242f x x x =-≥.(2)因为()f x 是二次函数,所以设()()20f x ax bx c a =++≠.由()01f =,得1c =.由()()12f x f x x +=+,得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ,整理得()()220a x a b -++=,所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩,所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+.(3)因为()()22f x f x x x +-=-,① 所以()()22f x f x x x -+=+,② 2⨯-②①,得()233f x x x =+,所以()23x f x x =+.(4)方法一 令y x =,则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=,所以()21f x x x =++.方法二 令0x =,则()()()001f y f y y -=--+,即()21f y y y -=-+,令x y =-,则()21f x x x =++.17.(2022·全国·高一课时练习)(1)已知()2f x x =,求()21f x +的解析式;(2)已知)24fx x x =+()f x 的解析式;(3)已知()f x 是二次函数,且满足()01f =,()()12f x f x x +=+,求函数()f x 的解析式;(4)已知()()22f x f x x x +-=-,求函数()f x 的解析式;21(5)已知()f x 是R 上的函数,()01f =,并且对任意的实数x ,y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+,求函数()f x 的解析式.【解析】(1)∵()2f x x =,∴()()222121441f x x x x +=+=++.(2)设2t x =,则2t ≥2x t -,即()22x t =-, ∴()()()222424f t t t t =-+-=-,∴()()242f x x x =-≥. (3)∵()f x 是二次函数,∴设()()20f x ax bx c a =++≠.由()01f =,得1c =.由()()12f x f x x +=+,得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x , 整理得()()220a x a b -++=,∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩,∴11a b =⎧⎨=-⎩, ∴()21f x x x =-+.(4)∵()()22f x f x x x +-=-,①∴()()22f x f x x x -+=+,②②2⨯-①,得()233f x x x =+,∴()23x f x x =+. (5)令y x =,则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=,∴()21f x x x =++.22。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法:已知函数的类型,利用所给条件,列出方程或方程组,用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法:已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式,把F(x)配凑成关于g(x)的表达式,再用x 代替g(x),称为配凑法;或者,直接令g(x)=t ,解方程把x 表示成关于t 的函数,再代回,称为换元法,此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法):已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式,可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1.已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为( ) A .2()f x x x =-B .2()f x x x =--C .2()f x x x =+D .2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数,()()f x f x -=,当0x <,()2f x x x -=+,即可求得答案 【解析】设0x <,则0x ->,当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+,()f x 是偶函数,则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,掌握解题方法,较为简单.2.已知幂函数()f x 的图象经过点()327,,则()f x 的解析式()f x =( ).A .3xB .3xC .9xD .3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ,将点()327,代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点(3,27),273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定,是基础题;解题时需要认真审题,准确代入数值.3.若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为( ). A .2()1x f x x =-+ B .2()1x f x x =+ C .21()1x f x x +=+ D .2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-,代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-,即()()00f f -=-,()00f =,001a a ==, 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-,1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用,当奇函数定义域取到零时有()00f =,然后再赋值法求出解析式,较为基础。
高三数学第二轮专题讲座复习 求解函数解析式的几种常用方法 试题
卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习:求解函数解析式的几种常用方法高考要求求解函数解析式是高考重点考察内容之一,需引起重视本节主要帮助考生在深入理解函数定义的根底上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成才能,并培养考生的创新才能和解决实际问题的才能重难点归纳求解函数解析式的几种常用方法主要有1待定系数法,假设函数解析式的构造时,用待定系数法;2换元法或者配凑法,复合函数f [g (x )]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;3消参法,假设抽象的函数表达式,那么用解方程组消参的方法求解f (x );另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题例示范讲解例1(1)函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a --(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式(2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (-1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式此题主要考察函数概念中的三要素定义域、值域和对应法那么,以及计算才能和综合运用知识的才能知识依托利用函数根底知识,特别是对“f 〞的理解,用好等价转化,注意定义域错解分析此题对思维才能要求较高,对定义域的考察、等价转化易出错技巧与方法(1)用换元法;(2)用待定系数法解(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),那么x =a t因此f (t )=12-a a (a t -a -t) ∴f (x )=12-a a (a x -a -x)(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (-1)=a -b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (-1)、f (0)不能同时等于1或者-1,所以所求函数为f (x )=2x 2-1或者f (x )=-2x 2+1或者f (x )=-x 2-x +1或者f (x )=x 2-x -1或者f (x )=-x 2+x +1或者f (x )=x 2+x -1例2设f (x )为定义在R 上的偶函数,当x ≤-1时,y =f (x )的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y =f (x )的图象中有一局部是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f (x )的表达式,并在图中作出其图象此题主要考察函数根本知识、抛物线、射线的根本概念及其图象的作法,对分段函数的分析需要较强的思维才能因此,分段函数是今后高考的热点题型知识依托函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲线方程是主线错解分析此题对思维才能要求很高,分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进展分类,并运用待定系数法求函数表达式解(1)当x ≤-1时,设f (x )=x +b∵射线过点(-2,0)∴0=-2+b 即b =2,∴f (x )=x +2(2)当-1<x <1时,设f (x )=ax 2+2∵抛物线过点(-1,1),∴1=a ·(-1)2+2,即a =-1∴f (x )=-x 2+2(3)当x ≥1时,f (x )=-x +2综上可知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成例3f (2-cos x )=cos2x +cos x ,求f (x -1)解法一(换元法〕∵f (2-cos x )=cos2x -cos x =2cos 2x -cos x -1令u =2-cos x (1≤u ≤3),那么cos x =2-u∴f (2-cos x )=f (u )=2(2-u )2-(2-u )-1=2u 2-7u +5(1≤u ≤3)∴f (x -1)=2(x -1)2-7(x -1)+5=2x 2-11x +4(2≤x ≤4)解法二(配凑法〕f (2-cos x )=2cos 2x -cos x -1=2(2-cos x )2-7(2-cos x 〕+5∴f (x )=2x 2-7x -5(1≤x ≤3),即f (x -1)=2(x -1)2-7(x -1)+5=2x 2-11x +14(2≤x ≤4)学生稳固练习1假设函数f (x )=34 x mx (x ≠43)在定义域内恒有f [f (x )]=x ,那么m 等于() A 3B 23C -23 D -32设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,在x ≤1时,f (x )=(x +1)2-1,那么x >1时f (x )等于()A f (x )=(x +3)2-1B f (x )=(x -3)2-1C f (x )=(x -3)2+1D f (x )=(x -1)2-13f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________ 4f (x )=ax 2+bx +c ,假设f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,那么f (x )=_________5设二次函数f (x )满足f (x -2)=f (-x -2),且其图象在y 轴上的截距为1,在x 轴上截得的线段长为2,求f (x )的解析式6设f (x )是在(-∞,+∞)上以4为周期的函数,且f (x )是偶函数,在区间[2,3]上时,f (x )=-2(x-3)2+4,求当x ∈[1,2]时f (x )的解析式假设矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上,C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上,求这个矩形面积的最大值7动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ,设x 表示P 点的行程,f (x )表示PA 的长,g (x )表示△ABP 的面积,求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图8函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数,周期T =5,函数y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x =2时,函数获得最小值,最小值为-5(1)证明f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈[1,4]的解析式; (3)试求y =f (x )在[4,9]上的解析式参考答案1解析∵f (x )=34-x mx ∴f [f (x )]=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3答案A 2解析利用数形结合,x ≤1时,f (x )=(x +1)2-1的对称轴为x =-1,最小值为-1,又y =f (x )关于x =1对称,故在x >1上,f (x )的对称轴为x =3且最小值为-1答案B3解析由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x1 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x 2-x 答案f (x )=x2-x4解析∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0又f (x +1)=f (x )+x +1,∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b 〕x +a +b =bx +x +1故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x 答案21x 2+21x 5解f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解,f (x )=178722++x x 6解设x ∈[1,2],那么4-x ∈[2,3],∵f (x )是偶函数,∴f (x )=f (-x ),又因为4是f (x )的周期,∴f (x )=f (-x )=f (4-x )=-2(x -1)2+4(2)设x ∈[0,1],那么2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=-2(x -1)2+4,又由(1〕可知x ∈[0,2]时,f (x )=-2(x -1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1-t ,0〕,(1+t ,0)(0<t ≤1),那么|AB |=2t ,|AD |=-2t 2+4,S 矩形=2t (-2t 2+4)=4t (2-t 2),令S 矩=S ,∴82S =2t 2(2-t 2)·(2-t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764, 当且仅当2t 2=2-t 2,即t =36时取等号∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =96167解(1)如原题图,当P 在AB 上运动时,PA =x ;当P 点在BC 上运动时,由Rt △ABD可得PA =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时,由Rt △ADP 易得PA =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时,PA =4-x ,故f (x )的表达式为f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时,△ABP 的形状各有特征,计算它们的面积也有不同的方法,因此同样必须对P 点的位置进展分类求解如原题图,当P 在线段AB 上时,△ABP 的面积S =0; 当P 在BC 上时,即1<x ≤2时,S △ABP =21AB ·BP =21(x -1〕; 当P 在CD 上时,即2<x ≤3时,S △ABP =21·1·1=21;当P 在DA 上时,即3<x ≤4时,S △ABP =21(4-x )故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x8(1)证明∵y =f (x )是以5为周期的周期函数,1124321oyxDPCDPCA∴f (4)=f (4-5)=f (-1),又y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (1)=-f (-1)=-f (4),∴f (1)+f (4)=0(2)解当x ∈[1,4]时,由题意,可设f (x )=a (x -2)2-5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1-2)2-5+a (4-2)2-5=0,解得a =2,∴f (x )=2(x -2)2-5(1≤x ≤4)(3)解∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (0)=-f (-0),∴f (0)=0, 又y =f (x )(0≤x ≤1)是一次函数, ∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1-2)2-5=-3,f (1)=k ·1=k ,∴k =-3∴当0≤x ≤1时,f (x )=-3x ,当-1≤x <0时,f (x )=-3x ,当4≤x ≤6时,-1≤x -5≤1,∴f (x )=f (x -5)=-3(x -5)=-3x +15, 当6<x ≤9时,1<x -5≤4,f (x )=f (x -5)=2[(x -5)-2]2-5=2(x -7)2-5∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x。
完整版)二次函数求解析式专题练习题
完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1),求这个函数的解析式。
解析式为y = ax^2 + bx + c,代入点A得1 = a + b + c。
因为抛物线是二次函数,所以需要三个点才能确定解析式。
无法确定解析式。
2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c,代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c,代入过点(1,0)得0 = a + b + c。
解得a = -1,b = 1,c = 0,所以解析式为y = -x^2 + x。
3.抛物线过顶点(2,4)且过原点,求抛物线的解析式。
因为过顶点,所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点,所以代入(0,0)得0 = 4a - 4,解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8,且顶点坐标为(1,5),则它们的解析式为。
设解析式为y = ax^2 + bx + c,因为顶点坐标为(1,5),所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q,且p < q,则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4,化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上,所以p + q = 2.解得p = -2,q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4,且图象在x轴上截得线段长为4,求函数解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c,因为在x轴上截得线段长为4,所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4,所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。
解得a = -1,b = 4,c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的解析式。
高考求函数解析式方法及例题
函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式。
求函数解析式的题型有:(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;(2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式;(4)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方f(x)的解析式。
,∴f(x)=2x+7待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1,在轴截得的线段长为,求的解析式。
x y ()f x 例题:解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x-=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】(注意新元的取值范围)已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f ,我们常设)(x g t =,从而求得)(1t g x -=,然后代入))((x g f 的表达式,从而得到)(t f 的表达式,即为)(x f 的表达式。
三【配凑法(整体代换法)】若已知))((x g f 的表达式,欲求)(x f 的表达式,用换元法有困难时,(如)(x g 不存在反函数)可把)(x g 看成一个整体,把右边变为由)(x g 组成的式子,再换元求出)(x f 的式子。
换元法()f x 211(1)(1)1f x x+=-2211(2)()f x x x x+=+例题:根据条件,分别求出函数的解析式22()(1)12f t t t t∴=--=-11tx+=(1)解:令11t x=-1t ≠则且2()2f x x x=-(1)x ≠即换元法2()2f x x ∴=-(2)x ≥凑配法x1x x+用替代式中的12x x+≥又考虑到211()()2f x x x x+=+-(2)解:【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ,解方程f(x+1)=0 分析:如何由f(x-1),求出f(x+1)是解答此题的关键 解1:f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3,∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4,∴2x -4=0,x=±2解2:f(x-1)=2x -4x ,∴f(x+1)=f[(x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4,∴2x -4=0,x=±2 解3:令x-1=t+1,则x=t+2,∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4,∴2x -4=0,∴x=±2评注:只要抓住关键,采用不同方法都可以达到目的。
专题5.4 求二次函数解析式常考类型(六大题型)(原卷版)
专题5.4 求二次函数解析式常考类型(六大题型)【题型1 开放型】【题型2 一般式】【题型3 顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】【题型1 开放型】【典例1】(2023秋•海淀区期中)写出一个顶点在坐标原点,开口向下的抛物线的表达式.【变式1-1】(2023秋•昌平区期中)请写出一个开口向下,对称轴为直线x=3的抛物线的解析式.【变式1-2】(2022秋•伊川县期末)请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,2)的抛物线的表达式:.【变式1-3】(2023•苏州二模)已知抛物线顶点坐标为(2,3),则抛物线的解析式可能为()A.y=﹣(x+2)2﹣3B.y=﹣(x﹣2)2﹣3C.y=﹣(x+2)2+3D.y=﹣(x﹣2)2+3【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式2=++(a,y ax bx ca≠),转化成一个三元一次方程组,以求得a,b,c的值;b,c为常数,0【典例2】(2023•宁波)如图,已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,﹣2)和B(0,﹣5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.(2)当y≤﹣2时,请根据图象直接写出x的取值范围.【变式2-1】(2022秋•新罗区校级月考)求经过A(﹣1,﹣5)、B(0,﹣4)、C(1,1)三点的抛物线的表达式?【变式2-2】(2023春•海淀区校级期末)已知抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(﹣1,5),求该抛物线的解析式.【变式2-3】(2023秋•崆峒区校级月考)已知二次函数过点A(﹣1,2),B(1,﹣4),C(0,3)三点,求这个二次函数的解析式.【变式2-4】(2023秋•博乐市月考)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(5,0)两点,顶点为P.(1)求抛物线的解析式;(2)求△ABP的面积.【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值,则设为顶点式()k-=2.这顶点坐标为(h,k),对称轴直线x = h,最值为当x = h y+axh时,y最值=k来求出相应的系数.【典例3】(2023秋•龙马潭区月考)若抛物线的顶点坐标是A(﹣1,﹣3),并且抛物线经过点B坐标为(1,﹣1).(1)求出该抛物线的关系式;(2)当x满足什么条件时,y随x的增大而增大.【变式3-1】(2023秋•临潼区月考)已知二次函数的图象顶点为P(﹣2,2),且过点A(0,﹣2).(1)求该抛物线的解析式;(2)试判断点B(1,﹣6)是否在此函数图象上.【变式3-2】(2023秋•越秀区校级月考)已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,﹣3),且经过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)判断点C(3,﹣4)、D(1,0)是否在该函数图象上,并说明理由.【方法点拨】已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ,,,,设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=,根据题目条件求出a 的值.【典例4】(2023•荔湾区校级一模)如图,二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A (﹣1,0),B (5,0),C (0,﹣5),点D 是抛物线的顶点,过D 作x 轴垂线交直线BC 于E .(1)求此二次函数解析式及点D 坐标.(2)连接CD ,求三角形CDE 的面积.(3)ax 2+bx +c >0时,x 的取值范围是 .【变式4-1】(2023秋•广西月考)若二次函数的图象经过(﹣1,0),(3,0),(0,3)三点,求这个二次函数的解析式.【变式4-2】(2023秋•长沙月考)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A (0,﹣3)、(1,0)和C (﹣3,0).求此二次函数的解析式.【变式4-3】(2023•南山区三模)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),点B(3,0),且OB=OC.(1)求抛物线的表达式;(2)如图,点D是抛物线的顶点,求△BCD的面积.【题型5平移变换型】【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k,当图像向左(右)平移n个单位时,就在x – h上加上(减去)n;当图像向上(下)平移m个单位时,就在k上加上(减去)m.其平移的规律是:h值正、负,右、左移;k值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a得值不变.【典例5】将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,求平移后的抛物线解析式.【变式5-1】(2022秋•洪山区期中)将二次函数y=(x﹣1)2﹣4的图象沿直线y=1翻折,所得图象的函数表达式为()A.y=﹣(x﹣1)2+4B.y=(x+1)2﹣4C.y=﹣(x+1)2﹣6D.y=﹣(x﹣1)2+6【变式5-2】(秋•普陀区校级期中)将抛物线y=2x2先向下平移3个单位,再向右平移m(m>0)个单位,所得新抛物线经过点(1,5),求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标.【变式5-3】已知a+b+c=0且a≠0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移一个单位长度,再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是(﹣2,0),求原抛物线的表达式.【变式5-4】抛物线y=x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点,M(﹣2,m)在抛物线上,AM交y轴于D点,抛物线沿射线AD方向平移√2个单位,求平移后的解析式.【题型6 对称变换型】【方法点拨】根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.【典例6-1】(2022秋•上城区月考)已知y=﹣3(x﹣2)2﹣7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是.【典例6-2】(2022秋•汉阳区校级月考)抛物线y=x2﹣6x+7绕其顶点旋转180°后得到抛物线y=ax2+bx+c,则a=,b=,c=.【变式6-1】(2022秋•萧山区月考)抛物线y=(x+3)2﹣4关于y轴对称的抛物线解析式为.【变式6-2】(2022秋•汉川市月考)若抛物线y=ax2+c与y=﹣4x2+3关于x轴对称,则a+c=.【变式6-3】(2021秋•镇海区期末)把二次函数y=(x﹣1)2+2的图象关于y 轴对称后得到的图象的函数关系式为.【变式6-4】(2021秋•闽侯县期中)二次函数y=2(x﹣3)2+1图象绕原点旋转180°得新图象的解析式为.【变式6-5】(2023•雁塔区校级三模)已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),点B(4,﹣6).抛物线L′与L关于x轴对称,点B在L'上的对应点为B′.(1)求抛物线L的表达式;(2)抛物线L'的对称轴上是否存在点P,使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【变式6-6】(2022•岳阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线F1:y=x2+bx+c经过点A(﹣3,0)和点B(1,0).(1)求抛物线F1的解析式;(2)如图2,作抛物线F2,使它与抛物线F1关于原点O成中心对称,请直接写出抛物线F2的解析式;(3)如图3,将(2)中抛物线F2向上平移2个单位,得到抛物线F3,抛物线F1与抛物线F3相交于C,D两点(点C在点D的左侧).①求点C和点D的坐标;②若点M,N分别为抛物线F1和抛物线F3上C,D之间的动点(点M,N与点C,D不重合),试求四边形CMDN面积的最大值.。
二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分1、设一般式y=ax2+bx+c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y=a(x-h)2+k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y=a(x-x1)(x-x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾:二次函数的表达形式有那些?二、知识要点详解1、知识点一:设一般式y=ax2+bx+c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法?一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下:(1)、找出符合方程的点;(2)、根据相应的点设不同形式的函数方程;(3)、将相应点的坐标带入(2)步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组;(4)、解出方程或方程组得到相应的系数(5)、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题:二次函数的顶点为(2,1),函数图像经过点(1,0),求此二次函数的解析式。
解:∵二次函数的定点为(2,1)找点(1)∴设二次函数的解析式为:y=a(x-2)2+1 根据相应的点设立方程(2)∵点(1,0)在函数图像上,即(1,0)满足方程y=a(x-2)2+1∴0=a(1-2)2+1 将点带入得方程(3)解之得:a=-1 解方程(4)∴二次函数解析式为:y=-(x-2)2+1 将所求系数代入得方程解析式(5)一般式y=ax2+bx+c的求解方法:若是已知条件是图像上的三个点,则设所求二次函数y=ax2+bx+c,将已知条件代入解析式,得到关于a、b、c的三元一次方程组,解方程组求出a、b、c的值,代入方程求得解析式例题一1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(0,-2),(1,-2),则这个二次函数的解析式为____________.2.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=0时,y=1;当x=-1时,y=6;当x=1时,y=0.求这个二次函数的解析式.3.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是( ) A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+24.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点,求出抛物线的解析式.5.已知抛物线C1:y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).(1)求抛物线C1的解析式;(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度,可使所得的抛物线C2经过坐标原点,并写出C2的解析式.顶点式y=a(x-h)2+k的求解方法:若是已知条件是图像上的顶点(h,k)与另外一点(x,y),则设所求二次函数y=a(x-h)2+k,将已知条件(x,y)代入解析式,得到关于a的一元一次方程,解方程求出a的值,代入方程求得解析式例题二1.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为()A.y=2(x+1)2+8B.y=18(x+1)2-8C.y=29(x-1)2+8D.y=2(x-1)2-82.二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是(-1,-3),则b,c的值分别是( ) A.b=2,c=4B.b=2,c=-4C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-43.在直角坐标平面内,二次函数的图象顶点为A(1,-4),且过点B(3,0),求该二次函数的解析式.4.已知抛物线经过两点A(1,0),B(0,3),且对称轴是直线x=2,求其解析式.5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0),B(0,-3)两点,则这条抛物线的解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)的求解方法:若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点(x1,0)、(x2,0)与另外任意一点(x3,y3),则设所求二次函数y=a(x-x1)(x-x2),将已知条件(x3,y3)代入解析式,得到关于a的一元一次方程,解方程求出a的值,代入方程求得解析式例题三1.如图,抛物线的函数表达式是( )A.y=12x2-x+4B.y=-12x2-x+4C.y=12x2+x+4D.y=-12x2+x+42.已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1,0)和(2,0),与y 轴的交点坐标为(0,-2),求这个二次函数的解析式.3.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是( )A.y=x2-x-2B.y=-12x2-12x+2C.y=-12x2-12x+1D.y=-x2+x+24.已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8),该抛物线的解析式为5.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0),求这条抛物线的解析式.3.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,求所得二次函数的解析式。
专题2.函数、指数函数与对数函数-答案
1 / 103.函数函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学模型和数学工具,有广泛的实际应用.函数是贯穿中职数学的主线.本单元的学习,可以帮助学生在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,从集合与对应出发,进一步学习和研究函数的概念,深刻理解函数的本质;通过对函数图像与性质的研究,提升直观想象素养;利用函数的基本表示方法、单调性、奇偶性解决实际生活中的问题,体会函数的实际背景和实际应用,提升数学抽象、逻辑思维和数学应用素养.知识点一:函数的概念(.约需3分钟).内容包括:对应与映射的概念,函数的概念,定义域,函数值的求法. 学习水平一级水平:了解对应与映射的概念,会判断一些简单的对应是否为映射;理解函数的概念,理解函数的定义域、值域、对应法则的概念;能由已知表达式求函数值. 例3.1.1判断下列各图所示对应关系是否函数?解:只要一个x对应唯一的一个y ,就是函数.所以第二个不是,其余两个都是函数.练习:下列三个图象中,能表示 y 是 x 的函数图象的个数是A .0B .1C .2D .3解:第一个图象,对给定的x 的值,有两个y 值与之对应,不是函数图象. 综上所述,表示y 是x 的函数的有第一个、第二个,共2个. 故选C .2 / 10例3.1.2已知函数 321)(-=x x f ,求)1(-f ,)2(f ,)1(+a f .解:513)1(21)1(-=--=-f ;13221)2(=-⨯=f ;1213)1(21)1(-=-+=+a a a f练习:已知函数32)(-=x x f ,求)1(+a f ,)2(a f 。
二级水平:理解函数的三要素,会求函数的定义域,会判断两个函数是否同一函数. 例3.1.3求下列函数的定义域:(1). 51)(-=x x f ;(2)12)(-=x x g ;(3)12)(-+=x x x h解:(1).X ≠5;(2). 21≥x ;(3).012≥-+x x ;x ≥-2或x>1 . 练习:求下列函数的定义域:(1).132)(2+-=x x x f (2).x x x f 212)(2-=例3.1.4指出下列各函数中,哪个与函数y = x 是同一个函数?(1)xx y 2=; (2)2x y =; (3)s =t .解:函数y = x 中:R y R x ∈∈,;s =t 与y=x 是同一个函数. 练习:上例中,哪个与函数y = |x| 是同一个函数?三级水平:会求简单复合函数的定义域及函数值.例3.1.5设函数)(x f 的定义域是(a ,b ),求函数)1(+x f 的定义域. 解:∵a<x+1<b,∴a-1<x<b-1 练习:知识点二:函数的表示法.约需3学时. 内容包括:函数的解析法、列表法、图像法. 学习水平一级水平:能判断点与图像的关系,会利用“描点法”作简单函数的图像.掌握正比例函数,反比例函数,一次函数等几个常用函数的解析式及图像.3 / 10例3.2.1判断点P (1,1),Q (-1,-3)是否在 f (x) =3x 2 + x -5 的图像上. 解:3+1-5=-1,3-1-5=-3.所以点Q(-1,-3)在f(x)图像上 例3.2.2点A (a ,3)在函数352+-=x x y 上,求a. 解: 3523+-=a a ; 3a+9=2a-5;a=-14例3.2.3反比例函数经过点(4,81-),求解析式. 解:481k =-;k=21-;x y 21-=二级水平:掌握二次函数的图像及性质,能用待定系数法求二次函数的解析式;结合实例理解分段函数的意义,能由分段函数的解析式直接求值.例3.2.4已知一元二次函数的顶点为(6,-12),与x 轴的一个交点为(8,0),求这个函数的解析式. 解:y=a(x -6)2-12;a(8-6)2-12=0;例3.2.5函数 y =ax + a 和y =ax 2 的图像只可能是( ).练习:在图中,函数y=-ax 2与y=ax+b 的图象可能是( )A.B. C. D.根据图象判断两函数式中,a 的符号是否相符;A 、由函数y=-ax 2的图象知a <0,由函数y=ax+b 的图象知a >0,不相符;B 、由函数y=-ax 2的图象知a >0,由函数y=ax+b 的图象知a <0,不相符;C 、由函数y=-ax 2的图象知a >0,由函数y=ax+b 的图象知a <0,不相符;D 、由函数y=-ax 2的图象知a <0,由函数y=ax+b 的图象知a <0,相符. 故选D .4 / 10例3.2.6设)0(3)0(4{)(≤->+=x x x x x f ,则(1).=)2(f ;(1).=-))3((f f .三级水平:能用适当方法表示生活中的函数关系.例3.2.7文具店内出售某种铅笔,每支售价0.12元,应付款是购买铅笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示这个函数.例3.2.8国内投寄外埠平信,每封信不超过20克付邮资80分,超过20克而不超过40克付邮资160分,试写出x(0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系,并求函数的定义域,作出函数的图象.知识点三:函数的单调性和奇偶性.约需 4 学时.内容包括:函数单调性、奇偶性的定义,判断函数的单调性和奇偶性;函数单调性、奇偶性的应用. 学习水平一级水平:结合实例理解函数的单调性及奇偶性的定义,能根据函数图像判断函数的单调性和奇偶性. 例 3.3.1 结合下列函数的图像,判断函数的单调性: (1)函数y =2x+3在R 上是 函数;(2)函数y=2x 2 + 4x-3 的单调递增区间是 ,单调减区间是 ; (3)函数xy 1-=在(0,+∞)上是 函数.例 3.3.2 结合下列函数的图像,判断函数的奇偶性: (1) f (x)= x 3 ; (2) f(x)=2x2;(3) f (x)= x+1.二级水平:能利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性,能利用函数奇偶性求 函数值;能根据函数的单调性比较函数值的大小. 例 3.3.3 已知 f (x) =x 5+ bx 3 + cx 且 f(-2)=10,那么 f(2) =.例 3.3.4 已知奇函数 f (x)在(1,5)上单调递减,比较 f (-1), f (-3), f (-5)的大小关系.三级水平:能根据函数单调性定义判断、证明函数的单调性;能解决含有参数的实际问题,能解决有关函数奇偶性、单调性的综合问题.例 3.3.5 已知 f (x)= x 3 + ax + bsin x-1,且 f (4) =3,求 f (-4).5 / 10例 3.3.6 已知函数 f (x) = (m 2-1)x2+(m -1)x + (n + 2) 为奇函数,则m =,n =.例 3.3.7 已知函数 f (x)= x 2 +2(a -1)x +2 在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a 的取值范围.例 3.3.8 判断函数xx x f 1)(+=在(1,+∞)上的单调性.例 3.3.9 已知函数为偶函数,在[-1,0]上是增函数,且最大值为5,那么 f (x)在[0,1)]是 函数,最大值是 .知识点四:函数的实际应用举例.约需 2 学时. 内容包括:选择函数模型解决实际问题. 学习水平三级水平:学会将实际问题转化为数学问题,选择适当的函数模型(分段函数、二次函数)刻画实际问题.培养学生的作图及读图的能力.例 3.4.1 某城市供电不足,供电部门规定,每户每月用电不超过 200kW .h ,收费标准为 0.51 元/(kW . h ),当用电超过 200kW . h ,但不超过400kW . h 时,超过的部分按 0.8 元/(kW .h )收费,当用电超过 400kW . h 时,就停止用电.(1)写出每月用电费 y 元与用电量x 之间的函数解析式,并求函数的定义域; (2)求出 f(150),f(300)的值; (3)作出函数的图像.例 3.4.2 设 f (x)表示某事物温度随时间的变化规律,有一下函数的关系式 (1)比较第 5 分钟与第 25 分钟时该物体温度值得大小; (2)求在什么时候该物体温度最高?最高温度是多少?例 3.4.3 某商品的进价为每件 50 元,根据市场调查,如果售价为每件50 元时,每天可卖出 400 件;商品的售价每上涨 1 元,则每天少卖10件.设每件商品的定价为x 元(x ≥50,x ∈N ).(1)求每天销售量与自变量x 的函数关系式; (2)求每天销售量利润与自变量x 的函数关系式;(3)每件商品的售价定为多少时,每天可获得最大利润?最大的日利润是多少元?6 / 105.指数函数与对数函数指数函数与对数函数是基本函数,在科技领域内应用广泛.本单元学习,可以帮助学生理解指数、对数的概念及运算法则和指数函数、对数函数的有关概念,利用图像研究指数函数、对数函数的基本性质,提升数学运算、逻辑思维和直观想象素养;在研究过程中进一步领会研究函数的基本方法,认识指数函数、对数函数在现实生活中的广泛应用,提升数学抽象和数学应用素养.知识点一:有理数指数幂和实数指数幂.约需 3 学时.内容包括:n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂的概念,根式、分数指数幂的互化,实数指数幂的运算性质及运用. 学习水平一级水平:能理解分数指数幂、有理数指数幂的概念,会对根式、分数指数幂进行互化,能运用实数指数幂的运算性质进行计算和化简.例 5.1.1 将下列各根式写成分数指数幂.(1)13= (2)431a=例 5.1.2 将下列各分数指数幂写成根式的形式. (1)412= (2)324=例 5.1.3 计算:(1)3227= (2)31256.0=例 5.1.4 化简:(1)33231a a a ∙∙ (2)))((212212b a b a -+ .二级水平:能运用实数指数幂的运算性质进行幂的计算和化简,并能利用幂 的性质解决根式的计算问题. 例 5.1.5 计算: 43411643216∙∙-例 5.1.6 计算:543812793⨯⨯⨯三级水平:能熟练运用根式、指数幂的相关知识进行化简和计算.例 5.1.7 化简:(1).()323233ba b a abb(2). 32238791)2(413⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯7 / 10知识点二:指数函数.约需 3 学时.内容包括:指数函数定义,指数函数图像及性质,指数函数模型及其应用. 学习水平一级水平:理解指数函数定义、图像及性质,能用“描点法”作指数函数图像,能理解 0<a <1 与 a >1 两种情况的指数函数图像的总体特征,能结合图像分析并指出基本型指数函数的有关性质(单调性、值域、定点).例 5.2.1 判断下列指数函数在),(+∞-∞内的单调性:y= 0.7x ; (2)xy ⎪⎭⎫⎝⎛=23例 5.2.2 函数 y=2x 的大致图像是( ).二级水平:能作出指数函数简图,能判断指数函数的单调性,并应用指数函数的单调性求函数的定义域和值域,能判断指数增长模型或指数衰减模型、比较同底指数幂的大小关系,能用待定系数法求指数函数解析式.例 5.2.3 求下列函数的定义域:(1)121-=xy ; (2) 273-=xy例 5.2.4 判断下列函数在),(+∞-∞内的单调性:(1)xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121 (2) 33x y =例 5.2.5 已知指数函数 f (x) =a x 的图像过点 )94,2( ,求 f (3)的值.8 / 10例 5.2.6 比较大小:(1). 313 1;(2)312 252⎪⎭⎫⎝⎛三级水平:能从实际情境中建立指数函数模型,感受生活中的数学模型,体会数学知识的应用.例 5.2.7 林阳的家长于 2015 年 7 月 1 日存入银行 10000 元人民币,整存整取一年期的年利率为 3.20%,他按照一年期存入,如果每过一年连本带息转存,那么三年后连本带息共有多少元(结果保留两位小数)?例 5.2.8 某种抗生素类药物服药后,每经过 1 小时,药物在体内的剩余量为32,问 4 小时后的剩余量为多少?知识点三:对数.约需 4 学时.内容包括:对数的概念(含常用对数、自然对数)及性质,对数与指数的关系,指数式与对数式的互化,积、商、幂的对数.学习水平一级水平:能熟练完成指数式与对数式的互化,能运用对数性质求值,初步了解积、商、幂对数的公式及简单运用.例 5.3.1 将下列指数式写成对数式:(1)8134= ; (2)10x = y .例 5.3.2 将下列对数式写成指数式:(1)log 10 1000 = 3 ;(2)log 5 625=4 .例 5.3.3 求下列对数的值:(1)log 5 5;(2)log 8 1 .例 5.3.4 用lgx , lgy ,lgz 表示下列各式:(1)zxylg ; (2)x lg .二级水平:理解并熟记积商幂的对数公式,能运用公式解决相关计算问题. 例 5.3.5 设x>0,y >0,下列各式中正确的是( ).A. ln(x + y) =lnx +lnyB. ln(xy) =lnxlnyC. ln(xy)=lnx +lnyD.yxy x ln ln ln =9 / 10例 5.3.6 计算下列各式的值:(1)21lg 5lg - ; (2)lg125+lg8.三级水平:能运用积、商、幂的对数运算法则解决综合性计算问题. 例 5.3.7 计算:(1)(lg 2)2+ lg 20×lg5 ; (2)5.0lg 85lg 125lg +-例 5.3.8 已知log 2 3 = a ,log 2 5=b ,则59log 2=( ). A. a 2-b B. 2a - b C.ba 2D. b a 2知识点四:对数函数.约需 3 学时.内容包括:对数函数定义,对数函数图像、性质及其应用. 学习水平一级水平:理解对数函数定义、图像及性质,能用“描点法”作对数函数图像,能理解记忆 0<a <1 与 a >1 两种情况的对数函数图像的总体特征,能结合图像分析基本型对数函数的有关性质(单调性、值域、定点),会求简单对数函数的定义域.例 5.4.1 作出函数y =log 2 x 的简图.例 5.4.2 求下列函数的定义域.(1)y = log 2(x +1) ;(2)xy ln 1=.例 5.4.3 函数y = log 3 x 的大致图像是( ).10 / 10例 5.4.4 若函数y = log a x 的图像经过点(),则底数a =.二级水平:能结合对数函数简图,比较同底对数的大小关系,能求含有对数式的函数的定义域. 例 5.4.5 比较大小:(1)log 2 7与log 2 9; (2)4log 5log 2121与.例 5.4.6 求下列函数的定义域:(1)x y ln =; (2)xy 3log 11-=三级水平:应用对数函数解决实际问题,体会数学知识的应用.例 5.4.7 某钢铁公司今年年产量为a 万吨,计划每年比上一年增产5%,设经过 x 年后产量番一翻,则 x 的值是( ). A.(1+5%)2 B. log 1.05 2 C. alog 1.05 2 D.a2log 05.1例 5.4.8 某地区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 8%,要增长到原来的x 倍,需要经过y 年,则函数y = f(x)的图像大致为( ).。
用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)
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3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶 点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac>0 ,交点有两个, 分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个 即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为:
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为: y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:(交点式) 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有: y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为:
二次函数待定系数法求函数解析式
二次函数待定系数法求函数解析式精心整理专题训练:求二次函数的解析式一、已知三点求解析式1.经过三点(-1,-22),(1,-8),(2,8)的二次函数为抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-14)。
解析式为y = 2x^2 - 4x - 16.2.经过三点(0,0),(-1,-1),(1,9)的二次函数为抛物线,解析式为y = 4x^2 - 4x。
3.经过三点(-1,-6),(1,-2),(2,3)的二次函数为抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=0,顶点坐标为(0,-1)。
解析式为y = x^2 - x - 5.4.经过三点(1,a),(2,b),(3,4)的二次函数为抛物线,解析式为y = -3x^2 + 18x - 15.5.经过两点(-1,10),(2,7)且3a+2b=16的二次函数为抛物线,解析式为y = -x^2 + 4x +6.6.经过两点(a,b)和(12,b)且顶点纵坐标为3的二次函数为抛物线,解析式为y = -1/36(x-a)^2 + b + 3.7.经过两点(-3,c)和(0,3)的二次函数为抛物线,其顶点为M(-3,c+1),对称轴为x=-3,解析式为y = -x^2 + 6x + c。
8.经过三点A(-1,0),B(0,-1),C(1,2)的二次函数为抛物线,解析式为y = x^2 - x - 1.9.经过三点(-1,-2),(0,-1),(1,0)的二次函数为抛物线,解析式为y = x^2 - x - 2.10.抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3,解析式为y = -1/2x^2 + 3.11.经过点A(-1,4),(1,4)的二次函数为抛物线,解析式为y = x^2 - 4.12.经过三点(1,0),(-1,0),(0,-3)的二次函数为抛物线,其顶点为(0,-3)且对称轴为y=-3,解析式为y = -x^2 - 3.13.经过三点(-1,3),(3,-1),(4,3)的二次函数为抛物线,其开口方向向下,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,2)。
2.2专题二 求函数的解析式(北师大版)
专题二 求函数的解析式一、待定系数法:已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f解:设b ax x f +=)( )0(≠a ,则2[()]()()43f f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+对比系数可得⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 练习:1、已知()f x 是二次函数,且满足(0)1f =,(1)()2f x f x x +-=,求()f x2、已知2()f x ax bx c =++,若(0)0f =,(1)()1f x f x x +=++求()f x 。
3、已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+求()f x4、已知[()]21f f x x =- 求一次函数()f x二、代入法:已知()f x ,求[()]f g x 的解析式。
例2 已知2()1f x x =- 求2()f x x +练习:已知()91f x x =+ 2()g x x = 求[()]f g x 及[()]g f x三、换元法:已知[()]f g x ,求()f x 的解析式(注意所换元的定义域的变化)。
例3 已知x x x f 2)1(+=+,求()f x解:令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥x练习:1、若xx x f -=1)1(,求)(x f 。
2、已知f(x x +-11)=2211x x +-,则f(x)=________. 3、已知2(2)2913f x x x -=-+求()f x4、已知(21)32f x x +=-且()4f a =则a =5、若2(1)2f x x x +=-,求()f x四、配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。
试讲课件《求二次函数的解析式》中考专题复习
(-2,-4.4)
(2,-4.4)
例:某工厂大门是一抛物线水泥建筑物,如图所示,大 门底部宽AB=4m,顶点C离地面高度为4.4m,现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装 货宽度为2.4米,请判断这辆车能够顺利通过大门? (请用三种不同的方法解决)
y=-1.1x²
y
令x=1.2代入得:
一般式:
例1 求经过三点A(-2,-3),B(1,0),
C(2,5)的二次函数的解析式.
解:设解析式为y=ax2+bx+c,代 入A(-2,-3),B(1,0),C(2,5)三点得:
a(-2)2+b(-2)+c=-3
a+b+c=0
a=1
y
·5 ·C
·
·
·
·
-3· –2·
–·1
o ·
B1·
2·
x
·
A·
即: y=-2x2+4x
例:某工厂大门是一抛物线水泥建筑物,如图所示,大 门底部宽AB=4m,顶点C离地面高度为4.4m,现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装 货宽度为2.4米,请判断这辆车能够顺利通过大门? (请用三种不同的方法解决)
y
x
y=ax²
(-2,-4.4)
(2,-4.4)
·-3
a22+b2+c=5 解得: b=2
c=-3
∴解析式为: y=x2+2x-3
1、已知抛物线经过A(0,0)、B(1,-2)、C(2,3) 三点,求此抛物线的解析式。
y
7 2
x
2-11 2
x
顶点式:y a(x h)2 k
中考复习《二次函数》求解析式专题
2018年中考复习《二次函数》求解析式专题训练1. 如图,抛物线y =x 2+bx +c 过点A (3,0),B (1,0),交y 轴于点C ,点P 是该抛物线上一动点,点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合),过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值;第1题图3. 在平面直角坐标系中,抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,直线y =x +4经过A ,C 两点.(1)求抛物线的解析式;图①4. 在平面直角坐标系中,已知抛物线y =-21x 2+bx +c (b 、c 为常数)的顶点为P ,等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,-1),点C 的坐标为(4,3),直角顶点B 在第四象限.(1)如图,若抛物线经过A 、B 两点,求抛物线的解析式;5. 如图,抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且OA =2,OC =3. (1)求抛物线的解析式;第5题图6. 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,AB∥OC,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D,将∠DBC绕点B顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;7. 如图①,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G是二次函数图象的顶点,直线GC交x轴于点H(3,0),AD平行GC交y 轴于点D.(1)求该二次函数的表达式;图①8.如图①,关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.(1)求抛物线的解析式;图①9. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),其对称轴与x 轴相交于点M .(1)求此抛物线的解析式和对称轴;(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使△P AB 的周长最小?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;第4题图10.如图,抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.(1)求抛物线的解析式;图①11. 如图,直线y =-21x +2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A (-1,0).(1)求B 、C 两点坐标;(2)求该二次函数的关系式;12.已知正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 在y 轴的正半轴上,点C 在x 轴的正半轴上,点B (4,4).二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象经过点A 、B .点P (t ,0)是x 轴上一动点,连接AP .(1)求此二次函数的解析式;13. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,A 点在原点左侧,B 点的坐标为(4,0),与y 轴交于C (0,-4)点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式;15.如图,已知抛物线y =-m1(x +2)(x -m )(m >0)与x 轴相交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,且点A 在点B 的左侧.(1)若抛物线过点G (2,2),求实数m 的值.(2)在(1)的条件下,解答下列问题:①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ,使AH +CH 最小,并求出点H 的坐标.第1题图【答案】1.解:(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 过点A (3,0),B (1,0),∴⎩⎨⎧=++=++01039c b c b ,解得⎩⎨⎧==3-4c b , ∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3.(2)令x =0,则y =3,∴点C (0,3),又∵点A (3,0),∴直线AC 的解析式为y = -x +3,设点P (x ,x 2-4x +3),∵PD ∥y 轴,且点D 在AC 上,∴点D (x ,-x +3),∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49, ∵a =-1<0,∴当x =23时,线段PD 的长度有最大值,最大值为49. 3.解:(1)对于直线y =x +4,令x =0,得y =4,令y =0,得x =-4,则A (-4,0),C (0,4),代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b , 解得⎩⎨⎧==4-1c b , ∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4. 4.(1)解:设AC 与x 轴的交点为M ,∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,-1),C 的坐标为(4,3),∴直线AC 的解析式为y=x-1,∴直线AC 与x 轴的交点M (1,0).∴OM =OA ,∠CAO =45°.∵△CAB 是等腰直角三角形,∴∠ACB =45°,∴BC ∥y 轴,又∵∠OMA =45°,∴∠OAB =90°,∴AB ∥x 轴,∴点B 的坐标为(4,-1).∵抛物线过A (0,-1),B (4,-1)两点,将两点代入抛物线的解析式中,得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ,解得⎩⎨⎧==-12c b ,∴抛物线的解析式为y =-21x 2+2x -1.5.解:(1)∵OA =2,∴点A 的坐标为(-2,0).∵OC =3,∴点C 的坐标为(0,3).把A (-2,0),C (0,3)分别代入抛物线y = -21x 2+bx +c ,得⎩⎨⎧=+=c cb 32--20,解得⎩⎨⎧==312c b ,∴抛物线的解析式为y =-21x 2+21x +3.6.解:(1)由题意得A (0,2)、B (2,2)、C (3,0).设经过A ,B,C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0),将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a ,∴抛物线的解析式为y = - 32x 2+ 34x +2.7.(1)解:∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3,0)、B (1,0),∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ,,解得⎩⎨⎧==-2-1b a ,∴二次函数的表达式为y =-x 2-2x +3.8.解:(1)将A (-3,0),C (0,3)代入y =-x 2+bx +c ,得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ,解得⎩⎨⎧==3-2c b . ∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.9.解:(1)∵抛物线过点A (0,4)、B (1,0)、C (5,0),∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0),∴将点A (0,4)代入y=a (x -1)(x -5),得a =54, ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4, ∵抛物线过点B (1,0)、C (5,0), ∴抛物线的对称轴为直线x =251+=3. (2)存在,如解图①,连接AC 交对称轴于点P ,连接B P 、BA , ∵点B 与点C 关于对称轴对称,∴PB =PC ,∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC ,∵AB 为定值,且AP +P C≥AC ,∴当A 、P 、C 三点共线时△P AB 的周长最小,∵ A (0,4)、C (5,0),设直线A C 的解析式为y =ax +b (a ≠0), 第4题解图① 将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b , 解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ,∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中,当x =3时,y =58, ∴P 点的坐标为(3,58), 即当对称轴上的点P 的坐标为(3,58)时,△ABP 的周长最小. 10.解:(1)∵点A (1,0),B (4,0)在抛物线上,∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4),将点C (0,3)代入得a (0-1)(0-4)=3,解得a =43, ∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4), 即y =43x 2-415x+3. 11. 解:(1)令x =0,可得y =2,令y =0,可得x =4,即点B (4,0),C (0,2).(2)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c , 将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得,⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ,解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- , 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2.12.解:(1)∵B (4,4),∴AB =BC =4,∵四边形ABCO 是正方形,∴OA =4,∴A (0,4),将点A (0,4),B (4,4)代入y = -61x 2+bx +c ,得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ,∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4.13.解:(1)将B 、C 两点的坐标代入得: ⎩⎨⎧==++-40416c c b ,解得⎩⎨⎧==-4-3c b ,∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.14.解:(1)∵抛物线过点G (2,2),∴2=-m 1(2+2)(2-m ),∴m =4.(2)①y =0,- m 1(x +2)(x -m )=0,解得x 1=-2,x 2=m ,∵m >0,∴A (-2,0)、B (m ,0),又∵m =4,∴AB =6.令x =0,得y =2,∴C (0,2),∴OC =2,∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2=6. 第1题解图① ②∵m =4, ∴抛物线y = -41 (x +2)(x -4)的对称轴为x =1, 如解图①,连接BC 交对称轴于点H ,由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知, 此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k ,∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时,y =23,∴H (1, 23).。
高考数学命题热点名师解密:专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二.知识点【学习目标】1.了解映射的概念,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数;3.了解简单的分段函数,并能简单应用;4.掌握求函数定义域及解析式的基本方法.【知识要点】1.函数的概念设A,B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然{f(x)|x∈A}⊆B.2.映射的概念设A,B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射.3.函数的特点①函数是一种特殊的映射,它是由一个集合到另一个集合的映射;②函数包括定义域A、值域B和对应法则f,简称函数的三要素;③关键是对应法则.4.函数的表示法函数的表示法:图示法、解析法.5.判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时),则这两个函数相等.6.分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用几个式子表示函数,这种形式的函数叫分段函数.注意:不要把分段函数误认为是多个函数,它是一个整体,分段处理后,最后写成一个函数表达式.三.典例分析及变式训练(一)定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知,若函数在(﹣3,﹣2)上为减函数,且函数=在上有最大值,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】A【分析】由在上为减函数,可得;由在上有最大值,可得,综上可得结果,.【解析】在上为减函数,,且在上恒成立,,,又在上有最大值,且在上单调递增,在上单调递减,且,,解得,综上所述,,故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性,以及利用单调性求函数最值,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增增,减减增,增减减,减增减).故答案为:D.练习2.已知函数则__________.【答案】1008【解析】分析:由关系,可类比等差数列一次类推求值即可.详解:函数,则,故答案为:1008.点睛:可类比“等差数列”或函数周期性来处理.(七)分段函数问题例7.【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数,且存在负的零点,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点,列出不等式,化简即可.【详解】当时,,所以函数在上只能是单调递增函数,又存在负的零点,而当时,f(0)=1+a,当时,f(0)=3a-2,0<3a-21+a,解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论思想,转化思想以及计算能力.练习1.已知函数,则f(1)- f(9)=()A.﹣1 B.﹣2 C. 6 D. 7【答案】A【解析】利用分段函数,分别求出和的值,然后作差得到结果.【详解】依题意得,,所以,故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值,只需要将自变量代入对应的函数段,来求得相应的函数值.属于基础题.练习2.已知,那么等于( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知,,继而,由分段函数第一段解析式,,故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值,要确定好自变量的取值范围,再代入相应的解析式求得对应的函数值,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.(八)函数的解析式求法例8. (1)已f ()=,求f(x)的解析式.(2).已知y =f(x)是一次函数,且有f [f(x)]=9x+8,求此一次函数的解析式【答案】(1);(2).【解析】(1)利用换元法即可求解;(2)已知函数是一次函数,可设函数解析式为f(x)=ax+b,再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】(1)设(x≠0且x≠1)(2)设f(x)=ax+b,则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解,解题中应用了换元法和待定系数法,待定系数法的主要思想是构造方程(组),对运算能力要求相对较高,属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)用待定系数法求一次函数解析式.(2)结合分段函数的性质,分别判断各定义域区间内, f(-x)与f(x)的关系,即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数,考查了函数的奇偶性的判断,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间,以及对应的解析式,判断关系式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.练习2.已知函数对一切实数x,y都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)已知a,b∈R,当时,求不等式f(x)+3<2x+a恒成立的a的集合A.【答案】(1)f(0)=﹣2(2)f(x)=x2+x﹣2(3)【解析】(1)令,可得,再根据可得;(2)在条件中的等式中,令,可得,再根据可得所求的解析式;(3)由条件可得当时不等式x2﹣x+1<a恒成立,根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围.【详解】(1)根据题意,在f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)中,令x=﹣1,y=1,可得,又,∴.(2)在f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)中,令y=0,则f(x)﹣f(0)=x(x+1)又,∴.(3)不等式f(x)+3<2x+a等价于x2+x﹣2+3<2x+a,即x2﹣x+1<a.由当时不等式f(x)+3<2x+a恒成立,可得当时不等式x2﹣x+1<a恒成立.设,则在上单调递减,∴,∴.∴.【点评】(1)解决抽象函数(解析式未知的函数)问题的原则有两个:一是合理运用赋值的方法;二是解题时要运用条件中所给的函数的性质.(2)解答恒成立问题时,一般采用分离参数的方法,将问题转化为求具体函数最值的方法求解,若函数的最值不存在,则可用函数值域的端点值来代替.练习3.如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)【答案】B【解析】当0<x≤1时,y=x2,当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,如图,CD=x,则AD=2-x,∵Rt△ABC中,AC=BC=2,∴△ADM为等腰直角三角形,∴DM=2-x,∴EM=x-(2-x)=2x-2,∴S△ENM=(2x-2)2=2(x-1)2,∴y=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,∴y=.故选B.练习4.如图,李老师早晨出门锻炼,一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑,那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意,得从M到A距离在增加,由A经B到C与M的距离都是半径,由B到M距离逐渐减少,故选D.(九)恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为,值域为,则的取值范围A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减,在上单调递增,当且仅当处取得最小值由值域可知,故在上函数单调递增,在处取得最大值故,解得综上所述,故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围,在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解05 函数解析式
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第5讲函数解析式专项突破高考定位函数的表示有三种图像法、列表法、解析法,在高考中每年都会考察,解析式的考察一直是高考的重点,既有常规的求解析式求法融合在函数综合题中,也有新高考中的新形式,比如给图写式,给性质写式等,考察学生的多维的思维能力,对函数的整体把握。
考点解析(1)换元法求解析式(2)方程组求解析式(3)利用对称性周期性求解析式(4)给图辨析解析式(5)开放试题中的解析式(6)目标量(式)的函数解析式化分项突破类型一、换元法求解析式例1-1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x2+1)=x4,则函数y=f(x)的解析式是()A.()()21,0f x x xf x x x=-≥=-≥B.()()21,1C.()()21,0f x x x=+≥=+≥D.()()21,1f x x x【答案】B【分析】利用凑配法求得()f x解析式.【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++,且211x +≥, 所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥.故选:B.练.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义:“一般地,设A ,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”,则下列对应法则f 满足函数定义的有()A .()2f x x =B .()2f x x =C .(cos )f x x =D .()x f e x = 【答案】AD【解析】对于A.令()2(0),t t t x f ===≥符合函数定义;对于B,令()2(0),t x f t t ==≥,设()2,4t f t ==±,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义;对于C,设cos ,t x =当2,1t =则x 可以取包括3π±等无数多的值,不符合函数定义;对于D.令())ln (0,x t e t f t t >==,符合函数定义.故选AD练(2022秋•渝中区校级月考)对任意x ∈R,存在函数f (x )满足( )A .f (cos x )=sin2xB .f (sin2x )=sin xC .f (sin x )=sin2xD .f (sin x )=cos2x【分析】根据函数定义,每个自变量只能对应唯一一个函数值.对于A 、B 、C 可采用取特殊值来排除,对于D 选项可利用换元法来求函数的解析式即可判断.【解答】解:对于A ,取x ,则cos x ;sin2x =1,∴f ()=1;若取x,则cos x;sin2x=﹣1,∴f()=﹣1;则f()=1又f()=﹣1,与函数的定义,“每个自变量x只能对应唯一一个函数值y”矛盾,故A错误;同理,对于B,取2x,则sin2x;sin x,∴f();若取2x,则sin2x;sin x,∴f(),故B错误;同理,对于C,取x,则sin x;sin2x,∴f();若取x,则sin x;sin2x,∴f(),故C错误;对于D,令sin x=t,cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2t2,∴f(t)=1﹣2t2,满足函数定义.故选:D.类型二、方程组求解析式例2-1(2021·湖南·高三月考)已知函数()f x满足22()()326f x f x x x+-=++,则()A.()f x的最小值为2 B.x R∃∈,22432()x xf x++>C.()f x的最大值为2 D.x R∀∈,22452()x xf x++>【答案】D 【分析】先求得()f x ,然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++(i ),所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+(ii ).(i )×2-(ii )得23()366f x x x =++,即22()22(1)1f x x x x =++=++,从而()f x 只有最小值,没有最大值,且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++, ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选:D.练.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()A .21y x =-B .y x =C .32y x =-D .23y x =-+【答案】A【分析】先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式,然后对函数()f x 进行求导,进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程.【详解】2()2(2)88f x f x x x =--+-,2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--.2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-,得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-,2()f x x ∴=,()2f x x '=,()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=,∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-.故选:A.练.(2021·河南·高三月考(文))已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上,且满足()()224359x f x g x x x +=-++,则()()13f g -+=______. 【答案】223 【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式,代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得:()235f x x =+,()249x g x x =-+, 所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为:223.练。
函数的定义域解析式与值域(精)
专题二:函数的解析式、定义域与值域一.知识结构1.函数的定义域 ;函数的定义域基本分为自然定义域和限制定义域;自然定义域是指 ;限制定义域是指 ;2.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各个基本函数的定义的 (填“交集”或“并集”)3.复合函数的定义 对于复合函数 y=f[g(x)],应先由 y=f(u) 有意义的条件确定 u 的取值范围,再由 u 的范围来确定 u=g(x) 中 x 的范围,即为复合函数 y=f[g(x)] 的定义域.4.函数的值域重点关注基本初等函数的性质。
二.题型选编题组一:求函数的解析式(要注意对定义域的要求)1.(1)已知函数)()()(x g x f x +=ϕ,其中)(x f 是x 的正比例函数,)(x g 是x 的反比例函数,且满足16)31(,8)1(==ϕϕ,求)(x ϕ的表达式. (2)已知函数)(x f 是一次函数,且有12))((+=x x f f ,求函数解析式.2.已知对于任意R x ∈,都有x x f x f =-+)(3)(,求函数)(x f 的解析式;3.已知函数)(x f 是二次函数,且对称轴是2=x ,函数图像还经过(0,1)、(2,-3)两点,求函数解析式.4.如下图,在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ,沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动,设P 点移动的路程为x ,△ABP 的面积为y =f (x ).(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式;(2)作出函数的图象,并根据图象求y 的最大值.题组二:(求定义域时要注重运算,复合函数的定义域重在理解) 1.求下列函数的定义域(1)0||16)(x x x f +-=(2)14)(--=x x x f(3))(x f =||)1(6502x x x x x +-++-2.函数)(x f 的定义域是[-1,1],求函数)1()1()(2x f x f x F -+-=的定义域; 3.已知函数)(x f 的定义域是(0,1],求函数)()()(a x f a x f x g -++=,(021≤<-a )的定义域.题组三:(有关值域的题目,要关注基本初等函数的性质)1.写出下列基本初等函数的值域(1)52+=x y 的值域为 ;52+=x y )31(≤<-x 的值域为 ;(2)x y =的值域为 ;(5)x y 1=的值域为 ; 2.函数12-=x y 的定义域为)5,2[)1,( -∞,则其值域是( ) A.]2,21()0,( -∞ B.(2,∞-) C.(21,∞-)),2[+∞ D.(0,+∞) 3.若函数a x y +-=2)1(21的定义域和值域都是[1,b],求a,b 的值 4.求函数|5||2|)(--+=x x x f 的值域题组四:(课后巩固,温故而知新,可以为师矣)1.有一块边长为a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x 小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V 与x 的函数关系式.2.“依法纳税是每个公民应尽的义务”。
专题二定义域及函数解析式
专题二 定义域及函数解析式1. 若函数()x f 为整式,其定义域为_____2. 若函数()x f 为分式,其定义域为_____3. 若函数()x f 为偶次根式,其定义域为_____4. 若函数()x f 是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域为_____5. 若函数中含对数式,要保证真数位置的式子大于零.6. 复合函数的定义域的求法:换元法. 函数解析式的求法主要有: 换元法,待定系数法,消去法等.第I 卷(选择题)1.函数lg y x = )A.{|0}x x >B. {|01}x x <≤C. {|1}x x >D. {|1}x x ≥ 2)1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3)A .B C . D .4.函数()431ln 2+--+=x x x y 的定义域为( )A .()1,4--B .()1,4-C .(]1,1-D .()1,1- 5.函数lg y x =的定义域为( )()||f x x =()ln f x x =()xf x e =A .(0,)+∞B .(,1]-∞C .(,0][1,)-∞+∞D .(0,1]6.函数()()22352lg 13x x xx x f -++-=的定义域是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,31 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,31 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,7.函数x y 31-=的定义域是( )A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C.),0[+∞D.),1[+∞ 8.函数)2lg(1)(++-=x x x f 的定义域为( ) A.(2,1)- B. (]2,1- C. [)2,1- D.[]2,1-- 9.函数ln(21)x y =-的定义域是( ).[0,)A +∞ .[1,)B +∞ .(0,)C +∞ .(1,)D +∞10( )A .B .C .D .11.若函数的定义域为[-1,2],x 的取值范围是()A .[-1,3]B .C .[0,3]D .[0,9]12.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12),则函数()f x 的定义域为( )A .(,0)-∞B .(0,)+∞C .(,0)(0,)-∞+∞D .(,)-∞+∞ 13. 与1y x =+函数相同的函数是( )A. 211x y x -=- B. 2y = C.y = D.1y t =+14.设函数,则的表达式是( )()23,(2)()f x x g x f x =++=()g x (4,1)--(4,1)-(1,1)-(1,1]-2(1)f x -A. B . C . D .第II 卷(非选择题)15.函数y =______________16的定义域是 .17.函数)4(log 21-=x y 的定义域是 18.函数y =的定义域为______________ 19.已知函数()2log ,(0)3,(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为_____________ 20.函数2()lg(1)f x x =++的定义域为 ___21.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是22.函数1218x y -=的定义域是_____________23.若函数的定义域是,的定义域是24.函数x x x x f +-=)1()(的定义域是25.已知(1)y f x =+的定义域为[1,2],则函数)3(-=x f y 的定义域为_____________26.若函数(1)f x +的定义域为[0,1],则(31)f x -的定义域为 27.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为 第III 卷(解答题)21x +21x -23x -27x +()y f x =]3,1[28.已知函数,. (1)求函数的定义域; (2时,总有成立,求的取值范围.29.(本题满分10分) 求下列函数的定义域: (1)y =(2)x y 28-= 30.已f (x1)=xx-1,求f (x )的解析式. 31.已知y =f (x )是一次函数,且有f [f (x )]=9x +8,求此一次函数的解析式.32.(本小题13分)已知y =f(x)是定义在R 上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x 2-2x.(1)求f(x)的解析式 (2)作出函数f(x)的图象,并指出其单调区间. 33.(12分)已知二次函数f ( x )=x 2+ax+b 关于x=1对称,且其图象经过原点.(1)求这个函数的解析式; (2)求函数在(0,3]x ∈的值域.34.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x 2+2x. (1)求函数g(x)的解析式; (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x -1|;(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.()lg(12)f x x =+()()()F x f x f x =--()F x ()F x m ≥m。
二次函数求解析式专题练习试题
1. 已知抛物线y=ax2经过点A(1, 1). (1)求这个函数的解析式;2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点坐标为(-2, 3), 且过点(1, 0), 求此二次函数的解析式.3. 抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2, 4), 且过原点, 求抛物线的解析式.4. 若一抛物线与轴两个交点间的距离为8, 且顶点坐标为(1, 5), 则它们的解析式为。
5. 已知二次函数y=ax2+bx+c, 当x=-1时有最小值-4, 且图象在x轴上截得线段长为4, 求函数解析式.6. 抛物线y=ax2+bx+c经过(0, 0), (12, 0)两点, 其顶点的纵坐标是3, 求这个抛物线的解析式.7.已知二次函数为x=4时有最小值 -3且它的图象与x轴交点的横坐标为1, 求此二次函数解析式.8.已知抛物线经过点(-1, 1)和点(2, 1)且与x轴相切. (1)求二次函数的解析式。
9.已知二次函数y=ax2+bx+c, 当x=0时, y=0;x=1时, y=2;x=-1时, y=1.求a、b、c, 并写出函数解析式.10. 把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3, 0), 求平移后的抛物线的解析式.11. 二次函数y=x2-mx+m-2的图象的顶点到x轴的距离为求二次函数解析式.12. 已知二次函数的最小值为1, 求m的值.13. 已知抛物线y=ax2经过点A(2, 1).(1)求这个函数的解析式;(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标;(3)求△OAB的面积;(4)抛物线上是否存在点C, 使△ABC的面积等于△OAB面积的一半, 若存在, 求出C点的坐标;若不存在, 请说明理由.14.在体育测试时, 初三的一名高个子男生推铅球, 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分, 如图所示, 如果这名男同学出手处A点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5)。
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荥阳市实验高中 必修1导学案
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课题:专题二:求函数解析式(学案)
年级: 一 学科: 数学 班级: 姓名: 编写人:任伟锋 审核人:任伟锋 审批人: 使用时间:
【学习目标】
1.会求不同类型的函数解析式;
2.了解抽象函数(没有具体解析式,只有相关条件等式)的含义,会用赋值法解决问题。
【学习重、难点】
重点:函数解析式求法;
难点:换元法与配凑法的练习与区别;方程组法和抽象函数赋值法的应用。
【学习过程】 一、复习旧知:
求函数的定义域的具体类型有哪些? 二、学习新知:
抽象函数的概念 :我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.
三、求函数解析式的不同类型:
类型一:代入法求函数解析式:已知()f x 的解析式求复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式用代入法;
例1.已知函数()2
35f x x x =+-,求函数()1f x +、()f x -、()2f x -、()
2
f x 的解析式.
类型二:待定系数法求函数解析式:若已知函数类型,可用待定系数法;
例2. (1)已知函数()f x 是一次函数,且满足()123f x x +=+,求()f x 的解析式.
(2)二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=,且()01f =,求()f x 的解析式.
类型三:换元法求函数解析式:已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式求()f x 的解析式可用换元法;
例3.已知()2141f x x x +=++,求()f x 的解析式.
类型四:配凑法求函数解析式:已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式求()f x 的解析式可用配凑法; 例4.(1)已知()2
141f x x x +=++,求()f x 的解析式.
(2
)已知
)
1f x =+()f x 的解析式.
类型五、方程组法求函数解析式: 例5.(1)若()f x 满足()123f x f x x ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
,求()f x 的解析式. (2)若()f x 对任意实数x 都满足()()231f x f x x --=+,求()f x 的解析式.
类型六、有关抽象函数赋值法求函数解析式:
例6.设()f x 是定义在R 上的函数,且满足()01f =,并且对任意实数x ,y ,都有
()()()21f x y f x y x y -=--+,求()f x 的解析式.
【课堂小结】。