2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第4章-三角函数-4-解三角形(含答案解析)
2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第4章+三角函数++第4节++解三角形最新版
第四章 三角函数第4节 解三角形题型58 正弦定理的应用1. （2013山东文7）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2B A =，1a =，b =c =（ ）.A. B. 2 C.D. 11.分析 先利用正弦定理，求出角A ，进而求出角B 和角C ，得出角C 为直角，从而利用勾 股定理求出边c .解析 由正弦定理得：sin sin a bA B=，因为2,1,B A a b ==1sin A =.因为A 为三角形的内角，所以sin 0A ≠.所以cos A =.又0A π<<，所以A π=6，所以2B A π==3.所以C A B π=π--=2，所以ABC △为直角三角形.由勾股定理得2c ==.故选B.2. (2013安徽文9） 设ABC △的内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，，若 2sin 5sin b c a A B +==，3，则角C =（ ）.A.π3 B. 2π3 C. 3π4 D. 5π62. 解析 同理科卷12题.答案B.3.（2013浙江文3）若α∈R ，则“0α=”是“sin cos αα<”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.分析 分别判断0α=能否推出sin cos αα<和sin cos αα<能否推出0α=.解析 若0α=，则sin 0,cos 1αα==，所以sin cos αα<，即0sin cos ααα=⇒<； 但当2απ=-时，有sin 10cos αα=-=<，此时0α≠.所以0α=是sin cos αα<的充分不必要条件.故选A.4. (2013湖南文5）在锐角ABC △中，角A B ，所对的边长分别为a b ，. 若2sin B b =，则角A 等于（ ）. A.π3 B.π4 C.π6 D.π124.分析 利用正弦定理将边化为角的正弦.解析 在ABC △中，2sin ,a R A b =()2sin R B R ABC =为△的外接圆半径.因为2sin a B =，所以2sin sin A B B .所以sin 2A =.又ABC △为锐角三角形，所以π3A =.故选A. 5.（2014广东文7）在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c 则“a b …”是“sin sin A B …”的（ ）.A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件6.（2014江西文5）在ABC △中，内角,A B C ,所对的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）.A.19-B.13C.1D.727.（2015安徽文）在ABC △中，AB =75A ∠=，45B ∠=，则AC = . 7.解析 由正弦定理可得()sin 45sin 1807545ABAC=⎡⎤-+⎣⎦，即60sin 45AC =，解得2AC =.8.（2015福建文）若在ABC △中，AC =45A ∠=，75C ∠=，则BC =_______． 8.解析 由题意得18060B A C ∠=-∠-∠=．由正弦定理得sin sin AC BC BA =，则sin sin AC ABC B===9.(2015北京文)在ABC △中，3a =，b =2π3A ∠=，B ∠= . 9.解析 在ABC △中，由正弦定理知sin sin a b A B =2=，sin 2B =， 又π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4B =. 10.（2015全国1文）已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos B ； （2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积.10.解析 （1由正弦定理得，22b ac =.又a b =，所以22a ac =，即2a c =.则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===. （2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =.又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<，则290A ∠=，得45A ∠=.所以ABC △为等腰直角三角形， 得a c ==112ABC S ==△.解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=，所以222a c b -=，②将②代入①得()20a c-=，则a c ==112ABC S ==△.11.（2015山东文）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，. 已知cos B =，sin()A B +=ac =，求sin A 和c 的值.11.解析 在ABC △中，由cos 3B =，得sin 3B =. 因为πA BC ∠+∠+∠=，所以()sin sin 9C A B =+=. 因为sin sin C B <，所以C B ∠<∠，可得C ∠为锐角，所以cos C =因此()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==. 由sin sin a c A C =，可得sin sin c Aa C ===.又ac =1c =.12.（2016全国丙文9）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则s i n A =（ ）.A.31012. D 解析 解法一：，， 由正弦定理得，即，所以，所以，.故选D. 解法二：如图所示，由，知. 由，则，. 由正弦定理知，则.故选D. 111sin 232ABC S a a ac B =⋅=△3c=sin 3C A=3sin π4A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭A A A =tan 3A =-sin A =π4B =tan 1B =13AH BC =23HC BC=3AC BC =sin sin A B BC AC=sin 10A =13.（2016北京文13）在ABC △中，2π3A ∠=，a =，则bc=________. 13.解析， 所以，则.由，得，，，.14.（2016全国甲文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_______. 14.解析 解法一：由题可知，. 由正弦定理可得.由射影定理可得. 解法二：同解法一，可得.又 ，由余弦定理可得.解法三：因为，，，， . 由正弦定理得，，解得. 15.（2016江苏15）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =. 12πsinsin π30sin sin 3a A C c C C ⎛⎫===<< ⎪⎝⎭1sin 2C =π6C =πA B C ++=π6B =B C =b c =1bc=3sin 5A =12sin 13C =sin sin a c A C =2013c =21cos cos 13b a Cc A =+=2013c =()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=16652113b ==4cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()sin sin B A C =+=sin cos +A C 63cos sin 65A C =sin sin b a B A =2113b =HCBA（1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 15. 解析 （1）因为，而，所以. 由正弦定理，故（2）因为，所以. 又，所以.故 . 16.（2016天津文15）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A =. （1）求B ；（2）若1cos 3A =，求sin C 的值. 16.分析 （1）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（2）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解. 解析（1）在中，由正弦定理化简， 得，所以，得.（2）由，得，则， 所以. 17.（2016浙江文16）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B+=.4cos 5B =()0,B ∈π3sin 5B ==sin sin AB AC C B =sin sin AC AB C B=6325=⨯=()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A=()0,A ∈πsin 10A ==π1cos sin 62A A A ⎛⎫-=+=⎪⎝⎭2sin sin cos sin A B B B A =cos 2B =π6B =x ABC △sin 2sin a B A 2sin sin cos sin A B B B A =cos B =π6B =1cos 3A =sin 3A =()sin sin C AB =+π1sin sin cos 62C A A A ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭（1）求证：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cos C 的值. 17.解析 （1）由正弦定理得，故， 于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以（2）由，得， 故，.. 18.（2017全国3文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知60C =，b =3c =，则A =_________.18.解析 由正弦定理有3sin 60=，所以，又c，所以45B =，所以()18075A B C =-+=.评注 考查用正、余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低.题型59 余弦定理的应用1.（2014福建文14）在ABC △中，602A AC BC ===，，AB 等于 .2.（2015广东文）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）. 2.解析 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以(222222b b =+-⨯⨯， 即2680b b -+=，解得2b =或4b =.因为b c <，所以2b =.故选C ．sin +sin 2sin cos B C A B =2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++sin sin()B A B =-(),0,πA B ∈0πA B <-<π()B A B =--B A B =-πA =2A B =2.A B =2cos 3B =sin B =21cos22cos 19B B =-=-1cos 9A =-sin A =()22cos cos cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=3.（2015重庆文）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________.3.解析 因为3sin 2sin A B =，所以根据正弦定理得32a b =．又因为2a =，所以3b =．因为1cos 4C =-，所以2221=24a b c ab +--，代入解得4c =．4.（2015江苏文）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒． （1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值． 4.解析 （1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC =．（2）222cos2AC BC AB C AC BC +-=⋅==，因为()0,C ∈π，故sinC ==，故sin 22sin cos C C C =⋅27==．评注可不化简，有时候会利于下面的运算．5.（2015全国2文）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， 2BD DC =. (1)求sin sin BC∠∠；(2)若60BAC ∠=，求B ∠.5.分析 (1)根据题意，由正弦定理可得sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠.(2)由诱导公式可得()1sin sin sin 2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠，由(1)可知2sin sin B C ∠=∠，所以tan B ∠=，30B ∠=. 解析 (1)由正弦定理得，sin sin AD BD B BAD =∠∠，sin sin AD DCC CAD=∠∠.因为AD 平分BAC ∠，2BD DC =，所以sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠.(2)因为()180C BAC B ∠=-∠+∠，60BAC ∠=，所以()1sin sin sin 2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠.由(1)知2sin sin B C ∠=∠，所以tan B ∠=，即30B ∠=. 评注 三角是高中数学的重点内容，在高考中主要是利用三角函数，三角恒等变换及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解时，注意角的转化及定理的使用.6.（2015陕西文）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()a =m 与()cos sin AB =，n 平行. （1）求A ；（2）若a =2b =，求ABC △的面积.6.解析 (1)因为//m n ，所以sin cos 0a B A = ① 由正弦定理得，sin sin bB A a=②将式②代入式①，又sin 0B ≠，得到tan A =0πA <<，所以π3A =.(2)解法一：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，而a =2b =，π3A =，得2742c c =+-，即2230c c --=.因为0c >，所以3c =，故ABC △的面积为1sin 22bc A =.解法二2sin sin 3B =，从而sin B =.又由a b >知A B >，所以cos 7B =.故()πππsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，所以ABC △面积为1sin 22ab C =. 7（2015四川文）已知,,A B C 为ABC △的内角，tan A ，tan B是关于方程()210x p p -+=∈R 的两个实根.（1）求C 的大小；（2）若3AB =，AC ，求p 的值.7.解析 （1）由题意可得方程210x p -+=的判别式)()2410p ∆=--+…，所以2p -…或23p ….由韦达定理，得tan tan A B +=，tan tan 1A B p ⋅=-， 所以()1tan tan 110A B p p -⋅=--=≠， 可得()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++===-⋅所以()tan tan C A B =-+=60C ∠=.（2）由正弦定理，可得sin 602sin 32AC C B AB ⋅===， 解得45B ∠=或135B ∠=（舍去）.所以18075A B C ∠=-∠-∠=.则()tan 45tan 30tan tan 75tan 45301tan 45tan 30A+==+==-12+=+所以(1tan tan 121p A B =-⋅=-+=-.8.（2015天津文）在ABC△中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-. （1）求a 和sin C 的值； （2）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.8.分析 （1）由面积公式可得24bc =，结合2b c -=，可解得6b =，4c =.再由余弦定理求得8a =.最后由正弦定理求sin C 的值；（2）直接展开求值. 解析 （1）ABC △中，由1cos 4A =-，得sin A =由1sin 2bc A =24bc =，又由2b c -=，解得6b =，4c =. 由2222cos a b c bc A =+-，可得8a =.又由sin sin a c A C =，得sin 8C =. （2）πππcos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭)22cos 1sin cos 216A A A --=.9.（2015浙江文）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知πtan()24A +=. (1)求2sin 2sin 2cos AA A+的值；(2)若π34B a ==，，求ABC △的面积.9.解析 (1) πtan tanπ1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4A A A AA ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，得1tan 3A =. 2212sin 22sin cos 2tan 231sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15213A A A A A A A A A A ⨯====+++⨯+.(2) sin 10A =，cos 10A =.由正弦定理得，sin sin a b AB =，所以b AC == 又()sin sin sin cos cos sin 210105C A B A B A B =+=+=+=⎝⎭，所以11sin 3922ABC S ab C ==⨯⨯=△. 10.（2016全国乙文4）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）.C.2D.310. D 解析 由余弦定理得，即， 整理得，解得.故选D. 11.（2016山东文8）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A =（ ）.A.3π4 B.π3 C.π4 D.π611. C 解析 由余弦定理，得. 因为，所以. 由已知得，所以，所以.因为，所以.故选C. 评注 考试的时候得到，若寻找不到因式分解可考虑代入选项检验.题型60 判断三角形的形状1. (2013陕西文9）设ABC △的内角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 1.分析 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系．解析 因为cos cos b C c B +ac b a c c ab c a b b 22222222-+⋅+-+⋅=ab ac c a b 2222222-++-+=A a a a a sin 222===,所以sin 1A =. 因为()0,πA ∈，所以π2A =，即ABC △是直角三角形．故选B. 题型61 解三角形的综合应用1. （2013江西文17）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos 2b c a A bc +-=245243b b +-=()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭3b =()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-()2221sin a b A =-cos sin A A =sin 1A ≠cos 0A ≠tan 1A =()0,πA ∈π4A =28103b b --=sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=.（1）求证：,,a b c 成等差数列； （2）若2π3C =，求ab的值. 1.分析 （1）根据正弦定理把已知条件中的角的关系转化为边的关系，从而证明,,a b c 成等 差数列；（2）应用（1）的结论和余弦定理得出,a b 的关系式，从而求出结论. 解析 （1）由已知得2sin sin sin sin 2sin A B B C B +=.因为sin 0B ≠，所以sin sin 2sin A C B +=.由正弦定理得2a c b +=，即,,a b c 成等差数列. （2）由2π,23C c b a ==-及余弦定理得()2222b a a b ab -=++，即有2530ab b -=，所以35a b =. 2. (2013天津文16）在ABC △中， 内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，. 已知sin 3sin b A c B =，3a =， 2cos 3B =. （1）求b 的值; （2）求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 2.分析 （1）先用正弦定理求出c ，再用余弦定理求出b ；（2）用二倍角公式和两角差公式求值.解析 （1）在△ABC 中，由,sin sin a bA B=可得sin sin b A a B =．又由sin 3sin b A c B =，可得3a c =.又3a =，故1c =．由22222cos cos 3b ac ac B B =+-=，，可得b =（2）由2cos 3B =，得sin B =进而得21cos 22cos 1sin 22sin cos 99B B B B B =-=-==，所以πsin 23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭-ππsin 2cos cos 2sin 33B B -= 3.（2013湖北文18）在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．3.分析 利用倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得cos A 的值，即得角A 的大小；由面 积求出c 边，再利用余弦定理求出a 边，最后利用正弦定理求出sin sin B C 的值. 解析 （1）由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=，解得()1cos cos 22A A ==-或舍去.因为0πA <<，所以π3A =.（2）由11sin 22S bc A bc ====20bc =，又5b =，所以4c =.由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，所以a =从而由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=. 4. （2013四川文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且 ()()()3cos cos sin sin 5A B B A B A c ---+=-.（1）求sin A 的值；推导{}n a 的前n 项和公式；（2）若5a b ==，求向量BA 在BC 方向上的投影.4.分析 （1）由三角形内角和定理得A C B +=π-，即()s in s in A C B +=，然后利用两角 和的余弦公式求得cos A .（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解．解析 （1）由()()()3cos cos sin sin 5A B B A B A C ---+=-，得()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-.则()3cos 5A B B -+=-，即3cos 5A =-.又0A π<<，则4sin 5A =.（2）由正弦定理，有sin sin a b A B =，所以sin sin 2b A B a ==. 故题意知a b >，则A B >，故4B π=.根据余弦定理，有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得1c =或7c =-（负值舍去）.故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =. 5. (2013浙江文18）在锐角ABC △中，内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a B =.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC △的面积.5.分析 （1）利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；（2）利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积.解析 （1）由2sin a B 及正弦定理sin sin a b A B =，得sin A =.因为A 是锐角， 所以3A π=. （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2236b c bc +-=. 又8b c +=，所以283bc =. 由三角形面积公式1sin 2S bc A =，得ABC △的面积为1282323⨯⨯=. 6.（2014四川文8）如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）. A.)2401mB.)1801mC.)1201mD.)301m7.（2014新课标Ⅰ文16）如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =m.8．（2014湖北文13）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.已知π6A =，1a =，b =B = .9.（2014北京文12）在ABC △中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ； sin A = .9. 解析 由余弦定理知2222212cos 1221244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，故2c =；由22sin cos 1C C +=，1cos 4C =，sin 0C >知sin C ==，由s i ns i nacA C =知1sin 4sin 2a CA c===10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，求证：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，且2c a =，求B cos 的值. 11. （2014安徽文16）（本小题满分12分）ANMCB设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，ABC △求cos A 与a 的值.11. 解析 由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯⋅=，故sin 3A =.因为22sin cos 1A A +=，所以1cos 3A ==±. ①当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c ab A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =②当1cos 3A =-时，由余弦定理得2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以a =评注 本题考查解三角形，解题时要注意已知求时有两解，防止漏解. 12.（2014大纲文18）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知13cos 2cos tan 3a C c A A ==，，求B .13.（2014辽宁文17）（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.14.（2014山东文17）（本小题满分12分）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知π3,cos ,32a A B A ===+. （1）求b 的值； （2）求ABC △的面积.15.（2014浙江文18）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=. （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC △的面积为6，求边长c 的值.16.（2014重庆文18）（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且8=++c b a .（1）若522a b ==，，求C cos 的值； （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC △的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.17. （2014新课标Ⅱ文17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（2014湖南文19）（本小题满分13分）如图所示，在平面四边形ABCD中，2123DA AB DE EC EA ADC π⊥==∠=，，，，3BEC π∠=. （1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长.19.（2015湖北文）如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.19.解析 ABC △中，30BAC ∠=，105ABC ∠=，所以45ACB ∠=，ABAED CB因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC=，即300BC =m ，在Rt BCD △中，因为30CBD ∠=，BC =，所以tan 30CD BC ==，所以CD = 20.（2015湖南）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =. （1）证明：sin cos B A =； （2）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求A ，B ，C . 20.解析 （1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =. （2）因为()sin sin cos sin 180sin cos C A B A B A B -=︒-+-=⎡⎤⎣⎦()sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B+-=+-=所以 3cos sin 4A B =. 由（1）知sin cos B A =，因此23sin 4B =，所以sin B =， 又B 为钝角，故120B =︒，由cos sin A B ==30A =︒， 从而()18030C A B =︒-+=︒.综上所述，30A =︒，120B =︒，30C =︒.21.（2016上海文10）已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 .解析 不妨设，，，则，故，因此. 22.（2016四川文18）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c+=.（1）求证：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 3a =5b =7c =2221cos 22a b c C ab +-==-sin C =2sin c R C ==22.解析 （1）根据正弦定理，可设，则，，.代入中，有， 可变形得在中，由，有， 所以（2）由已知，根据余弦定理，有. 所以.由（1）得，， 所以，故 23.（2017全国1文11）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）.A ．π12B ．π6C ．π4D ．π323.解析 由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4C =π，即1sin 2C =，得6C π=.故选B. 24.（2017全国2文16）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .24.解析 解法一:由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=⇒(0)sin sin sin a b ck k A B C===>sin a k A =sin b k B =sin c k C =cos cos sin A B C a b c +=cos cos sin sin sin sin A B Ck A k B k C+=sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+ABC △πA B C ++=()()sin sin πsin A B C C +=-=sin sin sin .A B C =22265b c a bc +-=2223cos 25b c a A bc +-==sin A=45=sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+443sin cos sin 555B B B =+sin tan 4.cos B B B==1πcos 23B B =⇒=.解法二：如图所示，由射影定理知，cos cos a C c A b +=，所以2cos b B b =，所以()1cos 0π2B B =<<，所以.π3B =. 25.（2017山东文17）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-，3ABC S =△，求A 和a .25.解析 因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又 3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-， 且0A <<π，所以34A π=.又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823292a ⎛=+-⨯⨯-=⎝⎭，所以a =26.（2017天津文15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知s i n 4s i n a A b B =，)222ac a b c =--.（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值.26.解析 （1）因为sin 4sin a A b B =，所以由正弦定理得224a b =，则b a 2=.又因为222)ac a b c =--，所以由余弦定理得55552cos 222-=-=-+=ac acbcac b A .（2）因为cos A =，所以sin A ==π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为sin 4sin a A b B =，所以由正弦定理得1sin sin 2B A ==又因为A B C ++=π，所以02B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos B =所以243sin 22sin cos cos212sin 55B B B B B ===-=，，所以sin(2)sin 2cos cos 2sin B A B A B A -=-=.27.（2017浙江14）已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________.27.解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中,AO OB ⊥，所以AO =，sin sin 4CBDOBA??， 所以BDC △的面积为1sin 22BCBD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC △是等腰三角形，所以2πCBDBDC??，21cos cos(π2)12cos 4CBD BDC BDC?-?-?-，解得cos BDC ?． 28.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分 的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部 分的长度．28.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD，ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器ⅡODC BA1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==， 从而1GG=40=．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ， 故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．题型 正、余弦定理与向量的综合——暂无问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1。
2013-2017高考数学全国卷--立体几何汇编(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2013-2017高考数学全国卷理科--立体几何汇编学校：姓名：班级：考号：评卷得分一、选择题I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A. 10B. 12C. 14D. 162. [2017·全国新课标卷II(理)]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】 3. [2017·全国新课标卷II(理)]已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ( )A. √32B. √155C. √105D. √33 4. [2017·全国新课标卷III(理)]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A. πB. 3π4C. π2D. .π4 5. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,6]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是 ( )A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π6. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,11]平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为 ( )A. √32B. √22C. √33D. 13【最新整理，下载后即可编辑】7. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,6]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π8. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,9]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A. 18+36√5B. 54+18√5C. 90D. 819. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,10]在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( )A. 4πB. 9π2C. 6πD. 32π310. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,6]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米【最新整理，下载后即可编辑】 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛11. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,11]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )正视图 俯视图A. 1B. 2C. 4D. 812. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,6]一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. 18B. 17C. 16D. 15【最新整理，下载后即可编辑】 13. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,9]已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π14. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ，12]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A. 6√2B. 6C. 4√2D. 4 15. [2014·全国新课标卷Ⅱ,6]如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【最新整理，下载后即可编辑】 16. [2014·全国新课标卷Ⅱ,11]直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,∠BCA ＝90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC ＝CA ＝CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A. 110 B. 25 C. √3010 D. √22 17. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，6]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. 500π3 cm 3B. 866π3 cm 3C. 1372π3 cm 3D.2048π3 cm 318. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，8]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 16＋8πB. 8＋8πC. 16＋16π D. 8＋16π19. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，4]已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A. α∥β且l ∥αB. α⊥β且l ⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行l20. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，7]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )A. B. C. D.评卷得分二、填空题I(理)]如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.22. [2017·全国新课标卷III(理)]a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】 ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角;③直线AB 与a 所成角的最小值为45°;④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)23. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,14]α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题:①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β.②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n .③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β.④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)三、解答题 I(理)] (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD ; (2)若PA=PD=AB=DC ,∠APD=90°,求二面角A-PB-C 的余弦值.25. [2017·全国新课标卷II(理)] (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.26. [2017·全国新课标卷III(理)] (本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】27. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,18] (本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,∠AFD =90°,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ;(2)求二面角E -BC -A 的余弦值.28. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,19] (本小题满分12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB =5,AC =6,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE =CF =54,EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'=√10.(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.29. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,19] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】30. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,18](本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ; (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.31. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,19](本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F= 4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.【最新整理，下载后即可编辑】32. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ,19] (本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,AB ＝BC ,求二面角A A 1B 1C 1的余弦值.33. [2014·全国新课标卷Ⅱ，18] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°,AP ＝1,AD ＝√3,求三棱锥E ACD 的体积.【最新整理，下载后即可编辑】34. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，18](本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.35. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，18](本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝√22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；C－E的正弦值.(2)求二面角D－A1【最新整理，下载后即可编辑】。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理文档
1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C 为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3答案 C解析 由正弦定理得3sin B ＝33sinπ3，∴sin B ＝12，∵a ＞b,0＜B ＜π3，∴B ＝π6.∴C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝π2.2．(2015·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2答案 B解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝3， 所以BC ＝ 3.3．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C ＝.答案 1解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin2Asin C ＝2×34×74378＝1.4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为． 答案 直角三角形解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝sin 2A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝. 答案 π3解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. ∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°. (3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)(2015·三门峡模拟)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜22D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝－cos2⎝⎛⎭⎫34π－C ＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．② 由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形． (2)∵cos 2B2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ， ∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示． ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为．答案 (1)D (2) 3解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.二审结论会转换例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 审题路线图：规范解答解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos2A cos π6＋sin2A sin π6＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分] 温馨提醒 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向；(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．[方法与技巧]1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边．[失误与防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin C c ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π6答案 A解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝(5x )2＋(11x )2－(13x )22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2＜0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C 解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 故B ＝π3，故选C. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ， 结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32， ∴B ＝π3或2π3. 7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为． 答案 3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c .∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∴sin A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ， 即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，所以2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，asin A ＝csin C ，得a ＝85，由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 10.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD 、AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝437.在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋(2＋3)2－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 12．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝. 答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，B ＝π4， 根据正弦定理，有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝. 答案 6解析 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin120°，解得sin ∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin120°sin30°＝ 6. 14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2， 得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
2017版高考数学(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.4 含答案
1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）（A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2πy＝A sin(ωx＋φ）0A0－A03。
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0,ω>0)的图象的步骤如下:【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（×）(2）y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √)(3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（√）（4)函数f(x）＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（×)(5）函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2，错误!，－错误! B．2，错误!，－错误!C．2，错误!,－错误!D．2,错误!，－错误!答案A2．为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度得到函数y＝sin 2(x ＋错误!)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．（2015·湖南)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1）－g（x2)|＝2的x1，x2，有｜x1－x2｜min＝错误!，则φ等于（)A。
(江苏专用)2017版高考数学专题4三角函数、解三角形31正弦定理、余弦定理理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题4三角函数、解三角形31正弦定理、余弦定理 理亠 sin A cos B cos C 3 .若 ----- =^—= ---------- ，则△ ABC 的形状为 三角形.a b c4.在△ ABC 中, B =n, AB=\匡，BC = 3,贝U sin A =.4、5. _________________________________________________ 在△ ABC 中, a =^3, b =^2, B = 45°,贝V c = ___________________________________________________ . ,2 —J3 T T 16 .已知△ ABC 中，角 A , B, C 的对边分别是 a , b , c ,且 tan B = -2 2 2, BC- BA =-,a 十 c —b 2贝H tan B = _________________.17. 在△ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,若 S =：(b 2+ c 2— a 2)，则 A = ________ .48. 锐角三角形的内角分别是 ______________________________ A B 、C,并且A >B 下面三个不等式成立的是 __________________________________________________ . ① sin A >sin B; ② cos A <cos B;③ sin A + sin B>cos A + cos B.9 .在锐角厶ABC 中, a , b , c 分别是角 A, B, C 的对边，已知 a , b 是方程x 2— 2 3x + 2 = 0的两个根，且 2sin( A + B —寸3 = 0,贝U c = ___________________ . c10.在厶ABC 中,角A 、B ____________________________________ C2 .在△ ABC 中，已知 b 2— be — 2c 2= 0, a = 6， cos A = 7，则厶ABC 的面积S =8所对的边分别为a、b、c,若-<cos A,则厶ABC勺形状为_______________________________________b三角形.11. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了 2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为_____________ m.a c12•设△ ABC的三个内角 A B, C的对边分别是a, b, c,且----- =-―，则A= .cos A sin C13 •如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为___________ •1 i 2入14. （2015 •江淮名校联考）已知点ABC的重心，且AGL BG若面一中面一B= 矿C则实数入= __________ .答案解析又由题知BGAB 得A <C 所以A= 45°.22 2解析 由 b - be — 2c = 0 可得(b + c )( b — 2c ) = 0.2 2 2•••b = 26在厶 ABC 中, a = b + c — 2bc cos A, 即 6 = 4c 2+ c 2— 4c 2• 7.二 c = 2，从而 b = 4.81・・ S AAB = 2bC Sin 3 .等腰直角两式相除，得1 — tan B= tan C,所以B — C — 45°,所以A — 90°, △ ABC 为等腰直角三角形.解析 由正弦定理知BCsin AAB sin C，所以 sin A =¥，解析 由正弦定理得 sin Aasin B b=sin C sinA cosB cosC —b — c4. 3 '70 10解析 由题意得 AC — AB + BC — 2AB- BC- cos B= 2 + 9 — 6灵—5,即AC — ,5，则 BC sin A AC sin B' 3 5 /曰 — ，得 sin A 2 sin A — 3 ；10 10 sin Asin 601 A= 2x4X 2X15J 磁+护〉〈述=9+爭2 2 +2 2 4 ,当 A = 120° 时，C = 180°— 45°— 120°= 15°, sin 15 ° = sin(45 ° — 30° ) = sin 45 ° cos 30 ° — cos 45 ° sin 30.6— .2n7. &1且 S = ^bc sin A,所以 sin A = cos A,n所以tan A = 1,所以A =—. 8.①②③解析 A >B ? a >b ? sin A >sin B ,故①成立.函数y = cos x 在区间［0 , n ］上是减函数， ■/ A >B,. cos A <cos B ,故②成立.n n在锐角三角形中，••• A + B>~2，二A >nn— B, 且 A , y — B € (0 ,专),则有 sin A >sin i 亍—B ，即 sin A >cos B ,同理 sin B >cos A ,. sin A + sin B >cos A + cos B,故③成立. 9. .6...c = b ，心―6+ 卫sin B 2=sin 30 ° cos 45 ° + cos 30 ° sin 45解析 由余弦定理得 2 2 2a + c —b = 2ac cosB,再由 B C- BA= 2，得 ac cos B = £ ,二 tanB * 2-护 B =22a + c — b_____ 2 —£ 2J 2= 1 2x22— 3.解析 因为 1 2 2 2 . S= 4(b + c -a)= 4(2bccos1A ) = ^bc cos A ,解析 ••• a , b 是方程x 2— 2 3x + 2= 0的两个根,a +b = 2 3, ab = 2.■/ sin( A + B )=#, 又sin C = sin( A + E ),• sin C=^ C= 2 .'：△ ABC 是锐角二角形，C € (0 , —) , C =—.232 2 2 2•根据余弦定理得： c = a + b -2ab cos C = (a + b ) — 3ab = 6,• c = ■ 6(负值舍去). 10. 钝角 sin C s^<cos A ，sin &sin B^s A ,所以 sin( B + A )<sin B cos 代即 sin B cos A^ cos B sin A — sin B cos A <0, 所以 cos B sin A <0, 又sin A >0,于是有cos B <0, B 为钝角， 故厶ABC 是钝角三角形. 11. 50 7解析 依题意得 OD= 100 m , CD= 150 m ,连结OC 易知/ OD = 180°—/ AOB= 60°，因此由余弦定理有OC = OD+ CD — 2OD- Ct cos / ODC1即 OC = 1002+ 1502— 2X 100X 150X 2，解得 OC 50 7(m).n12.7c解析 令 =k ,由正弦定理，得a = k sin A , c = k sin Csin Csin A sin Cn代入已知条件得 cos A = sin ― ，- tan A = 1 ,v A € (0 , n ) , • A = ~. 解析设顶角为C,因为 1 = 5c ,且 a = b = 2c ,解析 依题意得• C为最小角，由余弦定理得：a +b —c 4c + 4c —c 7cosC= 2ab = 2X2C X2C =14.-解析如图，连结CG并延长，交AB于点D,由ABC的重心，知D为AB的中点, ••• AG BG 二DG= -AB3由重心的性质得，CD= 3DG即CD= 2AB由余弦定理AC=AD+ CD —2AD- CD- cos / ADC B C=B D+ CD—2BD • CD" cos / BDC •••/ ADG-Z BD= n , AD= BD••• AC+ BC= 2AD+ 2CD,又—= —tan A tan B tan C'cos A cos B 2 入cos C+ =sin A sin B sin C 'sin A cos B+ cos A sin B sin C sin 2C AB 入 = = =2sin 佔in B cos C 2sin 佔in B cos C 2BC・ AC* cos CA B_ A B_ IB C+A C—A B = 5AB—A B=4，i即入=4.4 ,...c = b.心 =^^sin B。
2013-2017年新课标I卷高考理科数学解答题—三角函数解三角形
2013-2017年新课标I 卷高考理科数学解答题三角函数、解三角形(本小题满分12分)1. 【2017，17】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A． （1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A = ∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A = ∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =， 由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C = ∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A = 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得s i n s i n a b B A =⋅，s i n s i n a c C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ② 由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为32.【2016，17】（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长． 【解析】：⑴ ()2cos cos cos C a B b A c+=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅= ()2cos sin sin C A B C ⋅+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵()0πC ∈，，∴π3C = ⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，221722a b ab =+-⋅，()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅==，∴6ab =，∴()2187a b +-=，5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=3.【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4.。
新编高考数学分类总复习全书：第4章三角函数与解三角形 章末总结 含解析
( ) ( )
1，则 a 的值为( ) A．－1 C．1 B．0 D．2
π π π π 解析： 选 A.f(x)＝ sin xcos ＋ cos xsin ＋ sin xcos － cos xsin ＋ cos x＋ a＝ 3sin x＋ cos x 6 6 6 6 π ＋a＝2sin(x＋ )＋a，所以 f(x)max＝2＋a＝1.所以 a＝－1.选 A. 6 π 3．(必修 4 P69A 组 T8 改编)已知 tan α＝3，则 sin 2α＋ 的值为( ) 4
新编高考数学分类总复习全书
第 4 章三角函数与解三角形
知识点 任意角的概 ❶ 了解任意角的概念． 念与弧度 ❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 制、任意角 ❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 的三角函数 同角三角函 数的基本关 系式与诱导 公式 sin x ❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1， ＝tan x. cos x π ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱 2 导公式. ❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 和与差的三 角函数公式 ❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． ❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二 倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 简单的三角 恒等变换 能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式， 但对这三组公式不要求记忆). ❶ 能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 三角函数的 图象与性质 ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最 π π 小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间 － ， 内的单调性. 2 2 考纲展示
2017版高考数学一轮总复习课件：第4章 三角函数、解三角形 第三节
(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为 asin θ＋bcos θ＝
a2＋b2sin(θ＋φ)其中tan
φ＝ba的形式去讨论.这样的变形，主
要是 φ 角的确定.
(2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简单
的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是
恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从
π 3 ＝________.
解析
23sinπ3 －12cosπ3 ＝cos
π 6 sin
π3 －sin
ππ 6 cos 3
＝sinπ3 －π6 ＝sin π6 ＝12.
答案
1 2
第六页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
(2)函数 f(x)＝2 3sin xcos x 的值域为________. 解析 f(x)＝2 3sin xcos x＝ 3sin 2x，则 f(x)值域为[－ 3， 3]. 答案 [－ 3， 3]
第二十四页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
(1)f(x)最小正周期为 T＝2π 2 ＝π.
π
ππ
由－ 2 ＋2kπ≤2x＋ 6 ≤ 2 ＋2kπ，k∈Z.
π
π
得－ 3 ＋kπ≤x≤ 6 ＋kπ，k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间为－π3 ＋kπ，π6 ＋kπ(k∈Z).
第二十五页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
第十七页，编辑于星期六：十九点 五十三分。
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－ β，β＝α＋ 2 β－α－2 β，α＝α＋ 2 β＋α－ 2 β，α－ 2 β＝α＋β2 －α2 ＋β等.
【例 1】 (1)(2016·五岳联考)若 sin x＋sinπ2＋x＝ 32，则
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.5 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β）) cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β））sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S（α－β)) sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S（α＋β)) tan（α－β)＝错误!(T（α－β）)tan(α＋β)＝错误!(T(α＋β）)2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α。
3．公式的逆用、变形等（1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2）cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；(3）1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2,1－sin 2α＝（sin α－cos α）2，sin α±cos α＝2sin错误!.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √）（2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)（3）公式tan（α＋β)＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)（1－tan αtan β）,且对任意角α，β都成立．( ×）（4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.（√）（5）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（√）1．化简错误!等于（）A．1 B.错误!C。
错误!D．2答案C解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
2．若错误!＝错误!，则tan 2α等于( )A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!答案B解析由错误!＝错误!，等式左边分子、分母同除cos α得，错误!＝错误!,解得tan α＝－3,则tan 2α＝错误!＝错误!.3．（2015·重庆)若tan α＝错误!，tan(α＋β）＝错误!,则tan β等于（) A。
2014-2017年高考真题分类汇编(数学理)：三角函数解三角形Word版
2014高考真题分类汇编三角函数解三角形(理）9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增9．B 3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C 14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 14．1 3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 3．A11．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．11.3π814．[2014·北京卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．14．π12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 12．C2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 14．18．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π28．C15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.4316．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2]12．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．12．－1416．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．16．[－1，1]12．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________．12．24．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 34．C16．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．16. 34．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 4．B12．，[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.1616．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．16．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．15．、、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17． [2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .15．[2014·北京卷] 如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．图1-218．、[2014·湖南卷] 如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值． 12.16 16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．18． [浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．17）（2013山东） 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+c=6，b=2，cosB= 79.（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin （A-B ）的值. （17）（2012山东）已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A x x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在5[0,]24π 上的值域．17.（本小题满分12分）（2011山东）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （I ）求sin sin CA的值；（II ） 若cosB=14，2b =,求ABC ∆的面积. （17）（本小题满分12分）（2011山东） 已知函数()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x πϕϕϕϕπ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＜＜，其图象过点（π6,12）． （Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，求函数()g x 在[0, π4]上的最大值和最小值．2015高考真题分类汇编三角函数解三角形1.(2015福建12)．若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． （10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时， 函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 2.(2015湖南9)将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 3.(2015江苏8).已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______4.(2015山东（3）)要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象 （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 5.(2015新课标1(8))函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为(A)（）,k(b)（）,k(C)（）,k (D)（）,k6.(2015新课标1（2）)sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）-（B（C ）12- （D ）127.(2015广东11)设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b =8.(2015四川12) =+ 75sin 15sin .9.（2015天津（13））在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .10.(2015陕西10)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 11.(2015湖北13)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =——m.12.(2015重庆9)若tan α=2tan 5π，则3cos()10sin()5παπα-=-A 、1B 、2C 、3D 、413.(2015浙江10)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．14.(2015重庆13)在ABC 中，B=120o，A 的角平分线,则AC=_______.15.（2015北京15）．（本小题13分）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值． 16.(2015安徽（16）)（本小题满分12分） 在ABC ∆中，3,6,4A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 17.(2015福建19)已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ．（1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(18.(2015广东16)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量222m ⎛=-⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.6简单的三角恒等变换文档
1.公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；(2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × ) (3)在非直角三角形中有：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .( √ ) (4)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关.( × )1.计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.－2B.2C.－1D.1答案 D解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos2αcos2α＝1，选D. 2.2sin 235°－1cos10°－3sin10°的值为( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 D解析 原式＝2sin 235°－12⎝⎛⎭⎫12cos10°－32sin10°＝－cos70°2sin20°＝－12. 3.(教材改编)sin15°－3cos15°＝________. 答案 － 2解析 sin15°－3cos15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin45°＝－ 2.4.若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cosx2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为______. 答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin2x，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 5.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α) ＝268. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9等于( ) A.－18B.－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54B.－54C.43D.－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos (－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sin π9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.题型二 三角函数的求角问题例2 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4 C.π4D.2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B.－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－(3a ＋1)＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0. ∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则选正弦较好.(1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.题型三 三角恒等变换的应用例3 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值. 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4， 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________.答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.8.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.思维点拨 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数.(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图像解决. 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分](2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分] 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分]当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.[12分] 温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，φ的确定一定要准确.(2)将ωx ＋φ视为一个整体，设ωx ＋φ＝t ，可以借助y ＝sin t 的图像讨论函数的单调性、最值等.[方法与技巧]1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换.2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.3.与三角函数的图像与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图像解决. [失误与防范]1.利用辅助角公式，a sin x ＋b cos x 转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.2.计算形如y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 sin α＝cos α⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos2α＝0⇔cos α＝±sin α⇏sin α＝cos α，故选A. 2.已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B.13C.12D.23答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A. 3.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A.118 B.－118C.1718D.－1718答案 D解析 cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.4.若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是() A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，cos2α＝－255.∵β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 5.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图像关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z ). ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ).故选C. 6.已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________. 答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7.若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________. 答案 －210解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin2α＝35. ∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)， ∴cos2α＝－45. ∴sin(2α＋π4)＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 8.若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________. 答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12， 两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12， 即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34. ∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0， ∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74.∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73. 9.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω＞0). (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图像与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1].(2)由题设条件及三角函数的图像和性质可知，f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α).∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.12.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于()A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，故选D. 13.若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π答案 D解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D. 14.若sin x ＋cos x sin x －cos x＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________. 答案 43解析 由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.又tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2，所以tan(y －2x )＝tan (y －x )－tan x 1＋tan (y －x )tan x＝－2－21－4＝43. 15.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图像的一条对称轴. (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图像是由y ＝f (x )图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos2ωx ＋3sin2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图像的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z ). 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
(完整word)(完整word版)2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数,推荐文档
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数一．填空选择题1. (2017年天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ．2. (2017年天津卷理)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________15【解析】 根据正弦定理有：Bsin 660sin 30=22sin =∴B 又b c >Θ045=∴B 075=∴A4. (2017年新课标Ⅰ) 9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14.函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++ 2cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数取得最大值1. 6. (2017年浙江卷) 14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______.【答案】,24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD cos BDC ∠=.7. ( 2017年新课标Ⅱ文). 13函数()cos sin =2+fx x x.8. ( 2017年新课标Ⅱ文) 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3π9. ( 2017年新课标Ⅱ文) 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为 (C)A.4πB.2πC. πD.2π10. (2017年浙江卷) 11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位学.科.网，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S .【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则233)60sin 1121(66=⨯⨯⨯⨯=οS11. (2017年北京卷理) （12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】2227sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-Q12. (2017年新课标Ⅰ文)已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-____。
2017版高考数学一轮总复习课件：第4章 三角函数、解三角形 第四节
即
cos
A＝14sin
A－1，∴sin2A＋14sin
A－12＝1，
∵sin A≠0，∴sin A＝187.
答案
(1) 3
8 (2)17
第十九页，编辑于星期六：十九点 五十四分。
[点评] (1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要 知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的， 在解题时要学会灵活运用.正弦定理和余弦定理并不是孤立的， 解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用. (2)应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2 ＋B2 ＋C2 ＝π2 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.
3.方向角
相对于某一正方向的角(如图③).
第十页，编辑于星期六：十九点 五十四分。
4.坡角：坡面与 水平面的夹角. 5.坡度：坡面与水平面所成二面角的 6.解三角形的一般步骤
正. 切值
(1)分析题意，准确理解题意.
分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡角、
仰角、俯角、方位角等.
(2)根据题意画出示意图.
示出来]
(3)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北 偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.
第十三页，编辑于星期六：十九点 五十四分。
解析 如图，由已知条件，得 AC＝60 km， ∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∠ABC＝45°. 由正弦定理得 BC＝ACssinin∠BBAC＝30 2(km)
第十七页，编辑于星期六：十九点 五十四分。
解析 (1)∵a＝2 7sin A，∴sinc C＝sinb B＝sina A＝2 7，
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---解三角形
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---解三角形 （2017全国1.理数.17）（12分）△AB C 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【考点】：解三角形。
【思路】：根据三角形面积公式可以求得第一问，第二问直接利用余弦定理求解即可。
【解析】：（1）由题意可得21sin 23sin ABC a S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，根据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=。
（2）由()2sin sinC 123cos cos sin sinC cos cos 123cos cos 6B A A B B B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩， 因此可得3B C π=-，将之代入2sin sinC 3B =中可得：21sin sin cos sin 032C C C C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，化简可得tan ,66C C B ππ===，利用正弦定理可得1sin sin 2a b B A ==c =3+（2016全国1.理数.17）（本小题满分为12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II）若=c ∆ABC的面积为2，求∆ABC 的周长． 【答案】（I ）C 3π=（II）5【解析】 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cosC 2=,故C 3π=；（II）根据1sin C 22ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =C ∆AB 的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”（2015全国1.理数.16）在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .【解析】试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得AB ）.考点：正余弦定理；数形结合思想（2014全国1.理数.16）已知,,a b c 分别为ABC △的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为 .【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤（2013全国1.理数. 17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(1)若PB=12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA.17．（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74，∴；（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA 中，o sin sin(30)αα=-，4sin αα=，∴tan α，∴tan PBA ∠.。
高考数学 第四章 三角函数与解三角形 专题17 解三角形考场高招大全-人教版高三全册数学试题
专题十七解三角形考点37 正弦定理与余弦定理考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧1.解读高招技巧解读适合题型典例指引边化角将表达式中的边利用公式a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式典例导引1(1)角化边将表达式中的角利用公式转化为边,出现角的正弦值用正弦定理转化,出现角的余弦值由余弦定理转化等式两边是角的齐次形式、a2+b2-c2=λab形式典例导引1(2)和积互化a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-2bc(1+cos A).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边出现b+c,bc等结构形式典例导引1(4)方积互化与重要不等式相联系,由b2+c2≥2bc,得a2=b2+c2-2bc cos A≥2bc-2bc cos A=2bc(1-cos A),可探求边或角的X围问题求边、角、面积等取值X围问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)△ABC的三个内角A,B,C对边的长分别为a,b,c,若a sin A sin B+b cos2A=a,则等于()A.2B.2C.D.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos A sin C,则b等于()A.6B.4C.2D.1(3)已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C,则sin B+cos B的取值X围是()A. B. C.(1, ] D.(4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin B=b cos A.若a=4,则△ABC周长的最大值为(2)(角化边)由题意,得sin A cos C-cos A sin C=2cos A sin C,即sin A cos C=3cos A sin C,由正、余弦定理,得a·=3c·,整理得2(a2-c2)=b2.①又a2-c2=b, ②联立①②得b=2,故选C.(3)设y=sin B+cos B=sin.∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴cos B=,∴0<B<<sin≤1,1<sin,故选C.(4)由正弦定理,可将a sin B=b cos A化为sin A sin B=sin B cos A.∵在△ABC中,sin B>0,∴si n A=cos A,即tan A=.∵0<A<π,∴A=.由余弦定理,得a2=16=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3,则(b+c)2≤64,即b+c≤8(当且仅当b=c=4时等号成立),所以△ABC的周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为12.【答案】 (1)D(2)C(3)C(4)123.亲临考场1.(2016某某,理3)在△ABC中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4【答案】 A由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1.故选A.2.(2016课标Ⅱ,理13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【答案】2113【解析】因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.3.(2015某某,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.考点38 解三角形及其应用考场高招2 判断三角形形状问题的规律1.解读高招规律解读典例指引角化边利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,从而判断三角形的形状典例导引2(1)边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论典例导引2(2)温馨提醒注意在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解2.典例指引2(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形(2)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若=2c ,则△ABC 的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)∵=2c ,∴由正弦定理可得=2sin C , 而≥2=2,当且仅当sin A=sin B 时取等号.∴2sin C ≥2,即sin C ≥1. 又sin C ≤1,故可得sin C=1,∴∠C=90°.又∵sin A=sin B ,∴A=B ,故三角形为等腰直角三角形,故选C. 【答案】 (1)C(2)C 3.亲临考场1.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【解析】sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，综上，△ABC为等腰直角三角形．2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考场高招3 解三角形应用题的规律1.解读高招规律解读典例指引1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解典例导引3(1)2 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解典例导引3(2)温馨提醒解三角形应用题的一般步骤:分析(画出图形)——建模(建立解斜三角形模型)——解模(利用正余弦定理有序地求解)——检验(检验上述所求三角形是否有实际意义)2.典例指引3(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m(2)(2016某某某某一模)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A,B两点之间的距离为.(2)依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.∵在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.3.亲临考场1.(2017某某,11)我国古代数学家X徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×.2.(2015某某,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.【答案】100考场高招4三角形与不等式相结合解题的规律1.解读高招方法解读典例指引利用三角形有解已知三角形的边a及对角A,求三角形有两解时边b的X围,根据b sinA<a<b,解出相应的不等式即可典例导引4(1)利用基本不等式余弦定理与重要不等式a2+b2≥2ab,三角形两个边的和与基本不等式a+b≥2,三角形面积公式与ab≤,通过这些结合点,求解X围问题,注意等号成立的条件典例导引4(2)利用函通过建立参数与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,参数作为函典例导引数的值域数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利4(3)用条件中的X围限制,以及三角形自身X围限制2.典例指引4(1)(2017某某某某调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a ,b,c,若a=2b,△ABC的面积记作S ,则下列结论一定成立的是()A.B>30°B.A=2BC.c<bD.S≤b2(2)(2017某某某某、某某摸底联考)已知△ABC 中,角B, C,A成等差数列,且△ABC的面积为 ,则AB边的最小值是.(3)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为. 【解析】 (1)由a=2b,得sin A=2sin B ≤1,则sin B ≤,∵B不是最大角,∴B≤30°,故A错;sin A=2sin B与A=2B没有关系,故B错;若a=4,b=2,c=5,符合a=2b,但c>b,所以C错;三角形面积S=ab sin C=b2sin C≤b2,故选D.(2)∵B,C,A成等差数列,∴A+B=3C.又∵A+B+C=π,∴C=,由S△ABC=ab sin C=1+,得ab=2(2+).∵c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab,a2+b2≥2ab,∴c2≥(2-)ab=4,解得c≥2,∴c的最小值为2.(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2<x<6),由余弦定理,得cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=AB·AC sin A=×4x2=2≤24,当x2=20,即x=2时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.【答案】(1)D(2)2(3)43.亲临考场1.(2015课标Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值X围是.【答案】()2.(2014课标Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为【答案】。
【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析：第04章三角函数
第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称， 则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛-=⨯-+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o sx t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t ，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22si n 26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ， 故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =. 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． (1)求cos B ; (2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 （1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得c o s 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析 （1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ， 又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??， 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。
【7份】2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第4章 三角函数、解三角形
9π 9π 与 4 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ 4 (k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C案
3.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2 ，那么这个圆心角所对的弧长 是( C )
A.2
解析
2 B.sin 2 C.sin 1 D.2sin 1 1 1 设圆的半径为 r，则 sin 1＝ ，∴r＝ ， r sin 1
2 ∴2 弧度的圆心角所对弧长为 2r＝sin 1.
1 2 3 4 5
解析答案
4.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单 3 4 － 位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为 ，则 cos α＝________. 5 5
4 解析 因为 A 点纵坐标 yA＝ ，且 A 点在第二象限， 5 3 又因为圆 O 为单位圆，所以 A 点横坐标 xA＝－5， 3 由三角函数的定义可得 cos α＝－5.
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一
角及其表示
例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示 的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示 π 5 2 k π ＋ ， 2 k π ＋ π (k∈Z) 4 6 为__________________________.
解析
π 5 在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为4，6π，
π 5 ∴所求角的集合为2kπ＋4，2kπ＋6π
(k∈Z).
解析答案
α 二或四 象限. (2)若角 α 在第三象限，则2在第________ 3π 解析 ∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋ (k∈Z)， 2 π α 3 ∴kπ＋2＜2＜kπ＋4π(k∈Z). π α 3 α 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋ ＜ ＜2nπ＋ π， 是第二象限角， 2 2 4 2 3π α 7 α 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋ 2 ＜2＜2nπ＋4π，2是第四象限角， α 综上知，当 α 是第三象限角时，2是第二或第四象限角.
2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——4.三角函数、解三角形
4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．BC ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 二、填空题【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ． 【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________．【2011，16】在ABC V 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ． 三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．3．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈ZC ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z解析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k πππππ<+<+∈Z ，解得124k -＜x ＜324k +，k ∈Z ，故单调减区间为（124k -，324k +），k ∈Z ，故选D ． 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A．2-B．2C ．12-D ．12解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+=，选D ．. 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x x OM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. 【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【解析】因为0ω>，2x ππ<<，所以2444x ππππωωωπ⋅+<+<⋅+，因为函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，所以242342πππωππωπ⎧⋅+≥⎪⎪⎨⎪⋅+≤⎪⎩，解得1524ω≤≤，故选择A. 【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 解析：())4f x x πωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈，())2f x x x π∴=+=，选A.【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B.二、填空题【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE ；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得BF =AB 的取值范围为.【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221c o s 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤ 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=【2011，16】在ABC V 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ．解析：00120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC ACBC A A B==⇒=022sin 2sin(120)sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+；2AB BC ∴+=5sin ))A A A A ϕϕ+=+=+，故最大值是三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【解析】（1）∵ABC △面积23sin a S A =．且1sin 2S bc A =，∴21sin 3sin 2a bc A A =，∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =．（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=，又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，sin A =，1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为3+【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长． 【解析】⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵()0πC ∈，，∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，221722a b ab =+-⋅，()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅==，∴6ab =，∴()2187a b +-=，5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB＝12，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得P A2＝11732cos 30424+-︒=，故P A(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α，在△PBAsinsin(30)αα=︒-，α＝4sin α，所以tan α＝4，即tan∠PBA＝4.【2012，17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos sin0a C Cb c--=．（1）求A；（2）若2a=，△ABCb，c．【解析】（1）根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin===，得ARa s i n2=，BRb sin2=，CRc sin2=，因为cos sin0a C Cb c--=，所以0sin2sin2sin)sin2(3cos)sin2(=--+CRBRCARCAR，即0sinsinsinsin3cossin=--+CBCACA，（1）由三角形内角和定理，得CACACAB sincoscossin)sin(sin+=+=，代入（1）式得0sinsincoscossinsinsin3cossin=---+CCACACACA，化简得CCACA sinsincossinsin3=-，因为0sin≠C，所以1cossin3=-AA，即21)6sin(=-πA，而π<<A0，6566πππ<-<-A，从而66ππ=-A，解得3π=A．（2）若2a=，△ABC1）得3π=A，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos233sin21222abccbbcππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422cbbc，从而解得2=b，2=c．。
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第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1. (2013天津理6）在ABC △中，π,3,4AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠=（ ）. ABCD． 2. (2013湖南理3）在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B =A 则角等于（ ）. A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π33.(2013安徽12)设ABC △的内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，.若23sin 5sin b c a A B +==，，则角C = .4.（2013浙江理16）ABC △中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________.5.（2014 北京理 15）如图所示，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD .（1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ,的长.6.（2015广东）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ．6.解析 解法一：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=，所以b c =，且23A B C π=π--=．又a =2222cos a b c bc A =+-，所以22232cos3b c bc π=+-．又b c =，解得21b =，所以1b =． 解法二：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=，D A23A B C π=π--=．又a =sin 1sin a Bb A==．故应填1.7.（2015湖南）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：π2B A -=； （2）求sin sin A C +的取值范围. 7.解析（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==,所以sin cos B A =， 即πsin sin 2B A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又B 为钝角，因此π2A +∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，故π2B A =+，即π2B A -=.（2）由（1）知，()ππππ22022CA B A A ⎛⎫=-+=-+=-> ⎪⎝⎭，所以π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是πsin sin sin sin 2sin cos 22A CA A A A ⎛⎫+=+-=+= ⎪⎝⎭22sin sin 1A A -++2192sin 48A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为π04A <<,所以0sin 2A <<,因此2<21992sin 488A ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭…，由此可知sin sin A C +的取值范围是928⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 8.（2016全国甲理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4co s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．8.2113解析 解法一：由题可知3sin 5A =，12sin 13C =.由正弦定理sin sin a c A C =可得2013c =.由射影定理可得21cos cos 13b a Cc A =+=. 解法二：同解法一，可得2013c =.又()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=1665.由余弦定理可得2113b =.解法三：因为4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+=63sin cos +cos sin 65A C A C =.由正弦定理得sin sin b a B A =，解得2113b =．9.（2016江苏15）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长； （2）求πcos 6A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 9. 解析 （1）因为4cos 5B =，而()0,B ∈π，所以3sin 5B ==. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，故sin sin AC AB CB=6325=⨯= （2）因为()cos cossin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，所以cos 10A =-. 又()0,A ∈π，所以sin 10A ==，故π1cos sin 62220A A A ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 10.（2016浙江理16）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积24a S =，求出角A 的大小.10.解析 （1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos B C A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是sin sin().B A B =-又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以 π()B A B =--或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =（2）由24a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π2C B =±．当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π2A =； 当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π4A =．综上所述，π2A =或π4A =． 11.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,ABC 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 11.解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 12.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）. A.2a b = B.2b a = C.2A B = D.2B A = 12.解析 因为sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A. 题型56 余弦定理的应用1. (2013重庆理20）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222a b c +=. （1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值. 2.（2013山东理17）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a c +=，2b =，7cos 9B =. （1）求a ，c 的值； （2）求()sinA B -的值.3.（2014 江苏理 14）若ABC △的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．4.（2014 天津理 12）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin B 3sin C =，则cos A 的值为_______.5.（2014 湖南理 18）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =.（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos 14BAD ∠=-，sin 6CBA ∠=，求BC 的长.6.（2015安徽）在ABC △中，3,6,4A AB AC π∠===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．6.解析 解法一：设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c，由余弦定理得(222222cos 6a b c bc BAC =+-∠=+-326cos 4π⨯⨯=1836+-()3690-=，所以a =sin sin b BACB a∠==10=，由题设知04B π<<，所以cos B10=． 在ABD △中，由正弦定理得()sin sin 2AB BAD B ==π-6sin 32sin cos cos B B B B==．解法二：如图所示，设AD BD x ==．由余弦定理得ABCD222BC AB AC =+-(222cos 6AB AC BAC ∠=+-326cos 4π⨯⨯=90，所以BC =在ABD △中，设ADB θ∠=，则ADC θ∠=π-，故222AB AD BD =+-2cos AD BD θ，即223622cos x x θ=- ① 222AC AD DC =+-()2cos AD DC θπ-，即()()22182cos xx x x θ=++ ②由式①，式②得x =，即ADDCBA7.（2015福建）若锐角ABC △的面积为，且5,8AB AC == ，则BC = ．7.解析 由已知得ABC △的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ==所以sin 2A =．又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=． 由余弦定理得222BC AB AC =+-2cos 49AB AC A =，所以7BC =． 8.（2015江苏）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒． （1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值． 8.解析 （1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC=（2）222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅==.因为()0,C ∈π，故sin C ==，故sin 22sin cos C C C =⋅2==． 评注可不化简，有时候会利于下面的运算．9.（2015陕西）C AB △的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()a =m 与()cos ,sin A B =n 平行．（1）求A ； （2）若a =2b =，求C AB △的面积．9.解析 （1）由//m n 可知，cos sin a A B=，由正弦定理，得sin cos sin A BA B==tan A =π3A ⇒=.(2)由余弦定理，得2222147cos 2222b c a c A ab c+-+-=⇒=⇒⨯3c =.所以11πsin 23sin 2232ABCS bc A ==⨯⨯⨯=△10.（2016天津理3）在ABC △中，若AB ，3BC =，120C ∠= ，则AC =（ ）.A.1B.2C.3D.410.A 解析 由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =.故选A.11.（2016全国丙理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos =A （ ）.C.-D.-11. C 解析 如图所示.依题意，AB BC =，AC BC =. 在ABC △中，由余弦定理得DCBA222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅2222252BC BC BC BC +--==故选C.12.（2016北京理15）在ABC △中，222a c b +=. （1）求B ∠的大小；（2cos cos A C +的最大值.12. 解析 （1）由题设可得222ac b +-=.由余弦定理，可得222cos 222a c b B ac ac +-===.又0πB <∠<，所以π4B ∠=. （2）由（1）可得，3π4A C +=，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 再由()πA B C++=，得πcos cos()cos 4C A B A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，πcos cos 4A C A A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭cos 22A A A ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭πcos sin 224A A A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.由3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ,π44A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当且仅当ππ42A +=，即π4A =cos A C + 取到最大值，且最大值是1.题型57 判断三角形的形状1. (2013陕西理7） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △ 的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 题型58 解三角形的综合应用1. (2013陕西理9） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m ）的取值范围是（ ）. A.[]1520，B. []1225，40mC.[]1030，D. []2030， 2.（2014 江西理4）在ABC △中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若()226c a b =-+，3C π=，则ABC △的面积是（ ）. A.3B.2C.2D. 3.（2014 新课标2理4）钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC = ，则AC = （ ）.A.5B.C.2D. 14.（2014 重庆理 10）已知ABC △的内角,,A B C 满足()sin2sinA ABC +-+=()1sin 2C A B --+，面积S 满足12S 剟，记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ）. A.()8bc b c +> B. ()ab a b +> C. 612abc 剟 D. 1224abc 剟5.（2014 福建理 12）在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =则ABC △的面积等于 .6.（2014 广东理 12）在ABC △中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 7.（2014 山东理 12）在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r，当π6A =时，ABC △的面积为 .8.（2014 四川理 13）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈1.73≈）9.（2014 新课标1理16）已知,,a b c 分别为ABC △的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为 .10.（2014 浙江理 17）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练. 已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m,25m,30AB AC BCM ==∠=，则tan θ的最大值 .PMCBA11.（2014 大纲理 17） ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已13cos 2cos tan 3a C c A A ==，.求B . 12.（2014 江苏理 18）如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 13.（2014 山东理 16）已知向量()(),cos2,sin2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图像过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求,m n 的值； （2）将()y fx =的图像向左平移()0πϕϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.14.（2014 浙江理 18）（本题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos .A B A A B B -（1）求角C 的大小；（2）若4sin ,5A =求ABC △的面积. 15. (2013福建理13）如图，在ABC △ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3=AD , 则BD 的长为 . 16．（2013湖北理17）在ABC △中，,,A B C 对应的边分别是 ,,a b c ．已知cos 23cos()1A B C -+=． (1) 求角A 的大小 (2) 若ABC △的面积S=b =5，求sin sin B C 的值．17．（2013江西理16） 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos C+(cos A-sin A )cos B =0．(1) 求角B 的大小；(2) 若1a c +=，求b 的取值范围．18．（2013四川理17） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin 25A B B A B B ---=-． （1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．19. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在BBA处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C .（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 20. (2013全国新课标卷理17）ABC △在内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+.（1）求B ；（2）若2b =，求ABC △面积的最大值.21.（2015北京）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= . 21.解析 在ABC △中，sin 22sin cos sin sin A A A C C =，由正弦定理得sin sin A aC c=，由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此sin 24321sin 64A C =⨯⨯=. 22.（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.22.解析 在△ABC 中，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC=︒︒，即BC =，在Rt △BCD 中，因为30CBD ∠=︒，BC =所以tan 30CD BC ︒==CD =. 23.（2015全国1）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .23.解析 解法一：如图所示，75B C BAC ∠=∠=∠=，延长BA ，CD 交于点E ， 则可知BE CE =，且在ADE △中，105DAE ∠=，45ADE ∠=，30E ∠=． 在BEC △中，由正弦定理可得sin 756sin 30BC BE CE ===+所以由题意可得(DE ∈．在ADE △中，由正弦定理可得sin 45sin105DE AE ==)1DE ，所以(0,AE ∈．又因为AB BE AE=-， 所以AB的取值范围是．EDCBA（解法一图） （解法二图）解法二（构造法）：如图所示，构造BEC △，使得75B BCE ∠=∠=， 则30BEC ∠=，取BE 边上一点A ，CE 边上一点D ，使得75BAD ∠=．若平移AD 使点D 与点C 重合，此时四边形ABCD 退化为A BC '△，且可在A BC '△中利用正弦定理求得2sin 306sin 75A B '==-C'A'EABCD若平移AD 使点D 与点E 重合，此时四边形ABCD 退化为BEC '△，且可在BEC △中利用正弦定理求得BE=2sin 756sin 30=+ 又因为ABCD 是平面四边形，所以点D 应在点C 与点E 之间，且不与点C与点E 重合，所以AB的取值范围是．24.（2015天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 . 24.解析 因为0πA <<，所以sin A ==，又1sin 28ABCS bc A ∆===24bc =， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得64b c ==，，由余弦定理得2222212cos 64264644ab c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.25.（2015全国2）在ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △是ADC △面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若1,AD DC ==2，求BD 和AC 的长. 25.分析 (1)用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；(2)由(1)的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解. 解析 (1)根据题意可得右图，由正弦定理得，1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅∠△， 1sin 2ADCS AC AD CAD =⋅∠△，ACD B又因为2ABDADC S S =△△， ,BAD CAD ∠=∠所以得2AB AC =. 由正弦定理得sin 1sin 2B AC C AB ==. (1) 由题意知，21ABD ADC S BD S DC ==△△，所以2BD DC =.又因为2DC =，所以BD =在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(1)知2AB AC =，所以1AC =．即所求为BD =1AC =.26.（2015山东）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，. 若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求△ABC 面积的最大值.26.解析（1）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-=sin 21sin 222x x --=1sin 22x -． 由22222k x k ππ-+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k ππ-+π+π剟，k ∈Z ； 由22222k x k π3π+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k π3π+π+π剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是,44k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；单调递减区间是44k k π3π⎡⎤+π,+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．（2）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得1sin 2A =，由题意知A为锐角，所以cos A =． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2212b c bc =+…，即2bc …且当b c =时等号成立，因此12sin 24bc A …．所以ABC △面积的最大值为24+．27.（2015四川）如图所示，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)求证：1cos tan2sin A AA-=； （2）若180A C ∠+∠=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =， 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值. 27.分析（1）首先切化弦得sin2tan 2cos 2AA A=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘2sin2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，所以只需求出sin ,sin A B 即可. 由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D A =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .解析 （1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C ∠+∠=，得180C A ∠=-∠，180D B ∠=-∠. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D +++= ()()()()1cos 1801cos 1801cos 1cos sin sin sin 180sin 180A B A B A B A B ------+++=--22sin sin A B +.连接BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-， 在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-=++，则()()2222222265343cos 2265347AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===+⨯+⨯，DCA所以sin 7A ===. 连接AC ，同理可得()()2222222263541cos 22635419AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===+⨯+⨯，所以sin 19B ==.所以tantan tan tan2222A B C D+++=22sin sin A B +==. 28.（2015浙江）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π4A =， 22b a -=122c . (1)求tan C 的值；(2)若ABC △的面积为3，求b 的值．28.（1）解析 解法一：由余弦定理222222cos a b c bc A b c =+-=+，又22221c a b =-，所以消去2a 2212c c -=，32c =，所以3sin B C =3π3sin 4C C ⎛⎫⇒=-⇒⎪⎝⎭2tan =C . 解法二: 由22221c a b =-及正弦定理得2221sin sin sin 2B A C -=，所以 C B 22sin 2121sin =-，23πcos 2sin cos 2sin 24B C C C ⎡⎤⎛⎫-==--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin cos C C =，所以2tan =C ． （2）由2tan =C 得55cos ,552sin ==C C.又π4A =，所以10103sin =B ．由正弦定理得，b c 322=，（或由（1）知）所以1sin 32ABC S bc A ==△，所以2bc ==3=b ．29.（2015重庆）在ABC △中，120B =，AB =，A 的角平分线AD =AC =_______.29.解析 如图所示，由正弦定理易得sin sin AB AD ADB B =∠,即sin ADB =∠，故sin 2ADB ∠=,即ADB π∠=4，在ABC △，知120,B ADB π∠=∠=4，即12BAD π∠=．由于AD 是BAC ∠的角平分线，故26BAC BAD π∠=∠=． 在ABC △中，120,30B BAC ∠=∠=，易得30ACB ∠=．在ABC △中，由正弦定理得ACB AB ABC AC ∠=∠sin sin ，即2sin 60sin 30AC =， 所以6=AC ．ACDB30.（2016上海理9）已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．30 不妨设3a =，5b =，7c =，则2221cos 22a b c C ab +-==-，故sin2C=，因此2sin 3c R C ==．31.（2016全国乙理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c=ABC △的面积为2，求ABC △的周长． 31.解析 （1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=.（2）由已知得，1sin 22ab C =.又3C π=，所以6ab =.由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=，故2213a b +=，从而2()25a b +=.所以ABC △的周长为5+.32.（2016山东理16）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+. （1）求证：2a b c +=；（2）求cos C 的最小值. 32.解析 （1）由题意知，sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为πA B C ++=，所以()()sinsin πsin A B C C +=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知2a b c +=，所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===311842b a a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭…，当且仅当a b =时，等号成立.故cos C 的最小值为12. 33.（2016四川理17）在ABC △中，角A ，B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）求证：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 33.解析（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>， 则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =.代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B Ck A k B k C+=，可变形得sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+在ABC △中，由πA B C ++=，有()()sin sin πsin A B C C +=-=，所以sin sin sin .A B C =（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==.所以sin A =45=.由（1）得，sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin tan 4.cos BB B==34.（2016全国丙理21）设函数()cos 2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ； （3）证明2.f x A '（）…34.解析 （1）()()2sin21sin f x a x a x '=---.（2）当1a …时，()()()cos 21cos 1f x a x a x =+-+≤()()21320a a a f +-=-=.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--.令()()2211gt at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，()1g a -=，()132g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.令1114a a --<<，解得13a >-且15a >，所以15a >. （i ）当105a <…时，()g t 在()1,1-内无极值点， ()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以23A a =-.（ii ）当115a <<时，在同一坐标中画出函数y x =，32y x =-，2618x x y x ++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由如图所示的图形可知，我们得到如下结论当115a <<时，2618a a A a++=.综上可知，2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩….（3）由（1）得()()2sin 21sin 21f x a x x a a α'=---+-….当105a <…时，()()1242232f x a a a A '+-<-=??； 当115α<<时，131884a A a =++…，所以()12f x a A '+<?； 当1a ≥时，()31642f x a a A '--=??.所以()2f x A '…； 综上所述有()2f x A '….35.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ35.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ=，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM=，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 36.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.36.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=.37.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.37.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =， 即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=+ABC △周长为338.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． (1)求cosB ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b 38.解析 （1）依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =．39.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．39.解析 （1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =. （2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△40.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 40.解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin CBDOBA?? 所以BDC △的面积为1sin 22BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC △是等腰三角形，所以2πCBDBDC ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC?-?-?-，解得cos BDC ?．ODC BA。