江苏省扬州中学2018届高三下学期开学考试(2月)数学答案

江苏省扬州市2020届高三数学下学期开学考试2月试题

江苏省扬州中学2018届高三数学下学期开学考试（2月）试题一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程。

1.复数i435+的共轭复数是________． 2．设全集R U =,{}{},,cos ,022R x x y y B x x x A ∈==≤-=则图中阴影部分表示的区间是________．3．运行如图所示的伪代码，其结果为________．S ←1For I From 1 To 7 Step 2 S ←S ＋I End For Print S4.若命题“t R ∃∈，220t t a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是． 5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．6.矩形ABCD 中，沿3,4==BC AB ,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 外接球的体积为．7．设,x y 满足0||||1y y x x y >⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则y x 3+的最大值为．8．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，公差为d ，若100182018182018=-S S ，则d 的值为________． 9．已知函数R m x m x x f ∈+=,ln )()(，当1≠x 时恒有0)(')1(>-x f x ，则关于x 的不等式22)(-<x x f 的解集为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(2233x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为．11.若函数x a x x a x x x x x f )14()cos (sin 3)sin (cos )sin (cos 21)(-+-++⋅-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______________________．12.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=0,21210,)(2x x x x x x f ，若关于x 的方程k kx x f -=)(至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为_____________．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足)()1(R OA AP ∈-=λλ ，且48=⋅OP OA ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为． 14.在ABC ∆中，),1(,2>==m mBC AB AC 若当ABC ∆面积取最大值时3π=B ,则=m ．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos 3a B b A c +=.(1)求角B 的大小；(2)若ABC ∆的面积为73,43,4b ac =>，求,a c .16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC . (1)若,AB BC CP PB ⊥⊥，求证： CP PA ⊥； (2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：//l 平面PBC .17．（本小题满分14分）如图是一“T ”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．19．（本小题满分16分）函数f (x )＝1＋ln x －k x －2x，其中k 为常数． (1)若k ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若k ＝5，求证：f (x )有且仅有两个零点；(3)若k 为整数，且当x ＞2时，f (x )＞0恒成立，求k 的最大值.20.（本小题满分16分）已知有穷数列{}n a ，{}n b 对任意的正整数n *∈N ，都有12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋅⋅⋅++122n n +=--成立．(1)若{}n a 是等差数列，且首项和公差相等，求证：{}n b 是等比数列； (2)若{}n a 是等差数列，且{}n b 是等比数列，求证：12n n n a b n -=⋅．附加题1.已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并求出A 的逆矩阵．2.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．3. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125．（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．4.在数列{a n}中，a n＝cos π3×2n－2(n∈N*) (1)试将a n＋1表示为a n的函数关系式；(2)若数列{b n}满足b n＝1－2n·n！(n∈N*)，猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．参考答案1. 35＋45I2. (－∞，－1)∪(2，＋∞)3.164. (,1]-∞-5.986.π61257. 2 8.110 9.),1(2e 10.4 11. [1，＋∞) 12. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞) 13. 10 14. 32+15．（1）由已知sin 3cos 3sin a B b A C +=, 结合正弦定理得sin sin 3sin cos 3sin A B B A C +=，所以()()sin sin 3sin cos 3sin 3sin cos sin cos A B B A A B A B B A +=+=+，即sin sin 3sin cos A B A B =，即tan 3B =，因为()0,B π∈，所以3B π=.…………7分（2）由1sin ,23ABC S ac B B π∆==，得37344ac =，即7ac =，又()2222cos b a c ac ac B =+--，得()()22432a c ac ac =+--，所以7{8ac a c =+=，又7,{ 1a a c c =>∴=. ………………14分16.证明：（1）因为平面PBC ⊥ 平面ABC ，平面PBC ⋂ 平面=ABC BC ， AB ⊂平面ABC ，AB BC ⊥ ，所以AB ⊥平面PBC .因为CP ⊂平面PBC ，所以CP AB ⊥ .又因为,,CP PB PB AB B ⊥⋂= ,AB PC ⊂平面,PAB 所以CP ⊥平面,PAB 又因为PA ⊂平面,PAB 所以CP PA ⊥. …………7分（2）在平面PBC 内过P 作BC PD ⊥，垂足为D ,因为平面PBC ⊥ 平面ABC , 又因为平面⋂PBC 平面BC ABC =,⊂PD 平面ABC ,所以⊥PD 平面ABC , 又因为l ⊥平面ABC ，所以PD l //,又⊄l 平面PBC ，⊂PD 平面PBC 所以//l 平面PBC ………………14分17．解 (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 ………………6分 (2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝222sin 3θ－cos 3θsin 2θcos 2θ，令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. ………………10分且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，θ0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值．当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23，所以f (θ)的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠． ………………14分18.解 (1)把点A (1，3)代入x 22＋y 2n ＝1得n ＝6，故椭圆方程为x 22＋y 26＝1. …………2分(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直．因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k 1，k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k 1x －1，x 22＋y 26＝1，消去y ，得(3＋k 21)x 2＋2k 1(3－k 1)x ＋(3－k 1)2－6＝0， ∴点B 的横坐标为x ＝1－6＋23k 1k 21＋3(x ＝1为点A 的横坐标)，∴点B 的纵坐标为y ＝3－23k 21＋6k 1k 21＋3，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 1k 21＋3，3－23k 21＋6k 1k 21＋3. ………………6分同理可得点C 的坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 2k 22＋3，3－23k 22＋6k 2k 22＋3.∵k 1＋k 2＝0，∴直线BC 的斜率为k BC ＝ 3. ………………8分②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 的方程为y ＝3x ＋m ，代入方程x 22＋y 26＝1得6x 2＋23mx ＋m 2－6＝0，∴x 1＋x 2＝－33m ，x 1x 2＝m 2－66，∴BC ＝1＋32·|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝23312－m 2，又点A 到直线BC 的距离为d ＝|m |2，∴S △ABC ＝12BC ·d ＝36m212－m2＝36－m 2－62＋36，∴当m 2＝6，即m ＝6或m ＝－6时，△ABC 面积取得最大值 3.此时，直线BC 的方程为y ＝3x ± 6. ………………16分19.(1)解当k ＝0时，f (x )＝1＋ln x . 因为f ′(x )＝1x，从而f ′(1)＝1.又f (1)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0. ………………2分 (2)证明当k ＝5时，f (x )＝ln x ＋10x－4.因为f ′(x )＝x －10x 2，从而当x ∈(0,10)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(10，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝10时，f (x )有极小值．因为f (10)＝ln10－3＜0，f (1)＝6＞0，所以f (x )在(1,10)之间有一个零点．因为f (e 4)＝4＋10e 4－4＞0，所以f (x )在(10，e 4)之间有一个零点．从而f (x )有两个不同的零点． ………………8分(3)解方法一由题意知，1＋ln x －k x －2x＞0在(2，＋∞)上恒成立，即k ＜x ＋x ln xx －2在(2，＋∞)上恒成立．令h (x )＝x ＋x ln x x －2，则h ′(x )＝x －2ln x －4x －22. 设ν(x )＝x －2ln x －4，则ν′(x )＝x －2x. 当x ∈(2，＋∞)时，ν′(x )＞0，所以ν(x )在(2，＋∞)上为增函数．因为ν(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，ν(9)＝5－2ln9＞0，所以存在x 0∈(8,9)，ν(x 0)＝0，即x 0－2ln x 0－4＝0.当x ∈(2，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以当x ＝x 0时，h (x )的最小值为h (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－2.因为ln x 0＝x 0－42，所以h (x 0)＝x 02∈(4,4.5)．故所求的整数k 的最大值为4. ………………8分方法二由题意知，1＋ln x －k x －2x＞0在(2，＋∞)上恒成立． f (x )＝1＋ln x －k x －2x ，f ′(x )＝x －2kx2.①当2k ≤2，即k ≤1时，f ′(x )＞0在(2，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增．而f (2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求． ②当2k ＞2，即k ＞1时，当x ∈(2,2k )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(2k ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝2k 时，f (x )有最小值f (2k )＝2＋ln2k －k . 从而f (x )＞0在(2，＋∞)上恒成立等价于2＋ln2k －k ＞0.令g (k )＝2＋ln2k －k ，则g ′(k )＝1－kk＜0，从而g (k )在(1，＋∞)为减函数．因为g (4)＝ln8－2＞0，g (5)＝ln10－3＜0，所以使2＋ln2k －k ＞0成立的最大正整数k ＝4. 综合①②，知所求的整数k 的最大值为4.20.证明：（1）依题意，1n a na =，且111a b =，………………2分因为12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋅⋅⋅++122n n +=--， ① 所以1122332211n n n n n a b a b a b a b a b -----+++⋅⋅⋅++2(1)2n n =---（2n ≥），②①-②得，11221()21n n n n a b b b b b --+++⋅⋅⋅++=-（2n ≥）， ③ ………………4分所以111221()21n n n a b b b b ---++⋅⋅⋅++=-（3n ≥），④ ③-④得，112n n a b -=（3n ≥），即112n n b a -=（3n ≥），………………6分 ①中，令2n =得，12214a b a b +=，即121124a b a b +=，所以212b a =，所以112n n b a -=，n ∈*N ，从而12n nb b +=，即证{}n b 是等比数列；………………8分（2）因为{}n b 是等比数列，不妨设公比为q ，因为12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋅⋅⋅++122n n +=--， ①所以1122332211n n n n n a b a b a b a b a b -----+++⋅⋅⋅++2(1)2n n =---（2n ≥），②①-②q ⨯得，()11222(1)2n n n a b n q n +⎡⎤=------⎣⎦（2n ≥），即1112122n n q q qa nb b b ---=⋅+⋅-（2n ≥），………………13分因为{}n a 是等差数列，所以2q =，此时11n a n b =⋅（2n ≥）且对1n =也适合，所以1111122n n n n a b n n b a --=⋅⋅=⋅． ………………16分附加题参考答案1.解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4 ………………6分A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ………………10分2.解圆ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx (x ≥0，k ＞0)． ………………6分圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－k －321＋k2＝23，解得k ＝33.即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6. ………………10分3.解：（1）设事件A ：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件A ：“前两次投篮均不中”，依题意，()()221()11125P A P A p =-=--=，解得35p =；答：35p =（3分）（2）依题意，ξ的所有可能值为0，1，2，3，且()24(0)125P p ξ==-=，()()()224(1)111125P p p p p p ξ==-+--=，327(3)125P p ξ===，故54(2)1(0)(1)(3)125P P P P ξξξξ==-=-=-==，ξ的概率分布表为：ξ 0 1 2 3 P425241255412527125………………8分E (ξ)24542721323125125125125=+⨯+⨯=（次）．答： E (ξ)125213=………………10分 4.解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ………………2分 ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0，∴a n ＋1＝a n ＋12. ………………3分(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3，猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ………………5分 ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立，即a k ＜1－2k ·k ！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！， ………………7分 b k ＋1＝1－2k ＋1·k ＋1！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫ 1－1k ·k ！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k ＋1·k ＋1！2，即证明1－1k ·k ！＜1－4k ＋1·k ＋1！＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋1·k ＋1！2，即证明1k ·k ！－4k ＋1·k ＋1！＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋1·k ＋1！2＞0，即证明k －12k k ＋1·k ＋1！＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋1·k ＋1！2＞0，显然成立． ………………9分∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n . ………………10分。

2018届江苏省扬州中学高三上学期月考数学试题及答案

江苏省扬州中学2018学年第一学期月考高三数学试卷一、填空题：1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ▲ ．2．已知ss :p “若b a =，则||||b a =”，则ss p 及其逆ss 、否ss 、逆否ss 中，正确ss 的个数是 ▲ ．3.设x 是纯虚数，y 是实数，且y x i y y i x +--=+-则,)3(12等于 ▲ ．4. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为 ▲ ．5. 在等差数列{}n a 中，若7893a a a ++=，则该数列的前15项的和为 ▲ ．6. 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个ss ：①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β 其中正确ss 序号是 ▲ ． 7. 已知||1a = ，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c 的夹角为▲ ．8. 设y x ,均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ．9.已知方程2x +θtan x －θsin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(22b b B a a A 的直线与圆122=+y x 的位置关系是 ▲ ．10．若动直线)(R a a x ∈=与函数())()cos()66f x xg x x ππ=+=+与的图象分别交于NM ,两点，则||MN 的最大值为 ▲ ．11. 设12()1f x x =+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则2014a = ▲ ．12. 函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 ▲ ．13．已知椭圆与x 轴相切，左、右两个焦点分别为)25(1,1(21，），F F ，则原点O 到其左准线的距离为 ▲ ．14. 设13521A ,,,,2482n nn -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ．二、解答题：15．(本小题满分14分)设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．（1）求证：DM PB ⊥；（2）求点B 到平面PAC 的距离．17．(本小题满分14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．18．(本小题满分16分)已知函数()21f x x =-，设曲线()y f x =在点(),n n x y 处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，其中1x 为正实数. （1）用n x 表示1n x +；（2）12x =,若1lg1n n n x a x +=-，试证明数列{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 的前n 项和()12n n n S +=，记数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T ，求n T ．.19. (本小题满分16分)如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 是线段AM 的垂直平分线与直线CM 的交点．（1）求点P 的轨迹曲线E 的方程；（2）设点00(,)P x y 是曲线E 上任意一点，写出曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程；（不要求证明）（3）直线m 过切点00(,)P x y 与直线l 垂直，点C 关于直线m 的对称点为D ，证明：直线PD 恒过一定点，并求定点的坐标．20. (本小题满分16分)设0a >，两个函数()axf x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称. （1）求实数b a ,满足的关系式；（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点；（3）当1=a 时，在),21(+∞上解不等式2)()1(x x g x f <+-．高三___________ 姓名_____________ 学号………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………数学(附加题)21．B ．(本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-, 求矩阵M ．.C ．(本小题满分10分)在直角坐标系中，参数方程为为参数）t t y t x (21232⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=的直线l ，被以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为θρcos 2=的曲线C 所截，求截得的弦长．22． (本小题满分10分)设函数()(,n)1nf x x =+,()n N *∈．（1）求(,6)f x 的展开式中系数最大的项；（2）若(,n)32f i i =（i 为虚数单位）,求13579n n n n nC C C C C -+-+．23． (本小题满分10分)电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体1111D C B A ABCD -顶点A 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）求跳三步跳到1C 的概率P ；（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过1C 的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望)(X E ．1A12一、填空题1. ()+∞,0 2．2 3. i 251-- 4. 325.156. ①③7. 90︒8.169. 相切 10．2 11. 201512⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.152- 13⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,212,47N n n n n二、解答题15．解：(1) )2()(b a a x f +⋅=222sin cos 2(sin cos )x x x x x =++111cos 2222(sin 2cos 2)2x x x x =+-+=+-⋅ 22(sin 2coscos 2sin )22sin(2)666x x x πππ=+-=+-. …………5′由222262k x k πππππ-≤-≤+，得63k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z . …………8′(2) 由()22sin(2)6f x x π=+-，得()4cos(2)6f x x π'=-.由()2f x '≥，得1cos(2)62x π-≥，则222363k x k πππππ-≤-≤+，即124k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z . ∴使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合为,124x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .……14′16．解：（1）因为N 是PB 的中点，PA=AB ，所以AN ⊥PB,因为AD ⊥面PAB ，所以AD ⊥PB,又因为AD ∩AN=A 从而PB ⊥平面ADMN,因为平面ADMN ，所以PB ⊥DM. …………7′(2) 连接AC ，过B 作BH ⊥AC ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAB ⊥底面ABCD ，所以BH 是点B 到平面PAC 的距离.在直角三角形ABC 中，BH＝AB BC AC ⋅ ……………14′17．解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯，整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤．∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′高三数学月考试卷参考答案（2）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解, ()150110306x x x +≥==当且仅当时，等号成立 , 10.2a ∴≥.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′ 18．解：（1）由题可得()2f x x '=，所以在曲线上点()(),n n x f x 处的切线方程为()()()n n n y f x f x x x '-=-，即()()212n n n y x x x x --=-令0y =，得()()2112n n n n x x x x +--=-，即2112nn n x x x ++= 由题意得0n x ≠，所以2112n n nx x x ++=………………5′（2）因为2112n n n x x x ++=，所以2211221111221lg lg lg 112112n n n n n n n n n n nx x x x x a x x x x x ++++++++===+--+- ()()2211lg 2lg211nn n n n x x a x x ++===--即12n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列故11111112lg22lg 31n n n n x a a x ---+==⋅=- ………10′ （3）当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n b S S n -+-=-=-= 所以数列{}n b 的通项公式为n b n =，故数列{}n n a b 的通项公式为12lg 3n n n a b n -=⋅()21122322lg 3n n T n -∴=+⨯+⨯++⋅ ①①2⨯的()2212322lg 3n n T n =⨯+⨯++⋅ ②①-②得()2112222lg 3n n n T n --=++++-⋅故()221lg 3n nn T n =⋅-+ ………………16′19.解：（1）点P 是线段AM 的垂直平分线,∴PA PM ＝PA PC PM PC AC 2＋＝＋＝＝，∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………5′（2）曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程是0012x xy y +=.………8′（3）直线m 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= .设点C 关于直线m 的对称点的坐标为()D ,m n ,则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ ∴直线PD 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PD 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--, 从而直线PD 恒过定点(1,0)A .………16′ 20.解：（1）设P()axx e ，是函数()axf x e =图像上任一点，则它关于直线y x =对称的点P ()axe x ，，在函数g()ln x b x =的图像上，ln ax x b e abx ∴==，1ab ∴=.（2）当0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线y x =对称，∴两个函数图像的交点就是函数()ax f x e =，的图像与直线y x=的切点.设切点为00A()ax x e，，00=ax x e ()ax f x ae =，，0=1ax ae ∴，0=1ax ∴，00==ax x e e ∴, ∴当011a x e==时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点x e =；（3）当a =1时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1x e -=2ln x x +-，则()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，当[)1,+x ∈∞时，112121,0x x e x--≤-=<－－，()0r x ，＜．()r x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.又(1)r ＝0，∴不等式()2(1)+g f x x x -<解集是()1,+∞．21．B ．解：设M=ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故8,8.a b c d +=⎧⎨+=⎩a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故22,2 4.a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………10′ C ．解：由题意知，直线l 的倾斜角为 30，并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在OAB Rt ∆中，330cos 2== AB ．…………10′22．解：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝()333620C x x =；………5′（2）由已知，n(1)32i i =＋，两边取模，得n 32=，所以10n =.所以13579n n n n n C C C C C -+-+=135791010101010C C C C C -+-+ 而1001229910101010101010(1)i C C i C i C i C i =+++++ ＋()()0246810135791010101010101010101010C C C C C C C C C C C i =++++－－－－＋－32i =所以.32910710510310110=+-+-C C C C C …………10′23．解：将A 标示为0，A 1、B 、D 标示为1，B 1、C 、D 1标示为2，C 1标示为3，从A 跳到B 记为01，从B 跳到B 1再跳到A 1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为13，从1到2与从2到1的概率为23. （1）P ＝P （0123）＝1⨯23⨯13＝29； ………4′（2）X ＝0,1，2. P （X ＝1）＝P （010123）＋P （012123）＋P （012321）＝1⨯13⨯1⨯23⨯13＋1⨯23⨯23⨯23⨯13＋1⨯23⨯13⨯1⨯23 ＝2681，P （X ＝2）＝P （012323）＝1⨯23⨯13⨯1⨯13＝681， P （X ＝0）＝1－P （X ＝1）－P （X ＝2）＝4981或P （X ＝0）＝P （010101）＋P （010121）＋P （012101）＋P （012121）＝1⨯13⨯1⨯13⨯1＋1⨯13⨯1⨯23⨯23＋1⨯23⨯23⨯13⨯1＋1⨯23⨯23⨯23⨯23＝4981， ∴ E （X ）＝1⨯2681＋2⨯681＝3881.…………10′。

江苏省扬州市扬州中学高三数学下学期开学考试试题苏教版

江苏省扬州中学2014～2015学年第二学期开学检测高三数学卷注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．已知集合{113}A =-，，，}5,3,1{=B ，则=B A ▲ ． 2．复数212a ii-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．右图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ▲ ． 4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小于9的概率是 ▲ ． 5．已知样本7,5,,3,4x 的平均数是5,则此样本的方差为 ▲ ． 6．已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则f (x )在[0,]2π上的单调递增区间为[a ，]b ，则实数a b += ▲ ．7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为1S ，2S ，则321)(S S 的值是 ▲ ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22162x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ▲ ．9．已知32x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线()sin cos f x x x =(a 为常数)在点(,())33f ππ处的切线与直线0132=++y x 垂直，则a 的值为 ▲ ．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）则1B A-=___▲___．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x x x =-．若关于x 的方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则a 的取值范围为 ___▲ ．13．在直角ABC ∆中，2,AB AC ==，斜边BC 上有异于端点两点B C 、的两点E F 、，且=1EF ，则AE AF ⋅的取值范围是 ▲ ． 14．已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题满分14分）设平面向量a ＝(cos ,sin )x x，(cos )b x x =+，(sin ,cos )c αα=，x R ∈．（1）若a c ⊥，求cos(22)x α+的值；（2）若0α=，求函数()(2)f x a b c =⋅-的最大值，并求出相应的x 值．16（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 的中点，1,AB BC BC BB ⊥⊥，111,AB AB BB ===求证：(1) 1A B⊥平面ABC ； (2)1A B ∥平面1AC D .17（本小题满分14分）如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和圆2222:C x y b +=，已知椭圆1C过点，焦距为2.C(1) 求椭圆1C 的方程；(2) 椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A B 、，直线EA EB 、与椭圆1C 的另一个交点分别是点P M 、.设PM 的斜率为1k ，直线l 斜率为2k ，求21k k 的值.18（本小题满分16分）在距A 城市45千米的B 地发现金属矿，过A 有一直线铁路AD ．欲运物资于A ，B 之间，拟在铁路线AD 间的某一点C 处筑一公路到B ．现测得BD =45BDA ∠=（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为y ．为了求总运费y 的最小值，现提供两种方案：方案一：设AC x =千米；方案二设BCD θ∠=．（1）试将y 分别表示为x 、θ的函数关系式()y f x =、()y g θ=；（2）请选择一种方案，求出总运费y 的最小值，并指出C 点的位置．19（本小题满分16分）已知数列{}n a 、{}n b 满足1=n b a ，110k k k k b b a a --=≠，其中2,3,,k n =，则称{}n b 为{}n a 的“生成数列”．（1）若数列12345a a a a a ，，，，的“生成数列”是1,2,3,4,5，求1a ；（2）若n 为偶数，且{}n a 的“生成数列”是{}n b ，证明：{}n b 的“生成数列”是{}n a ；（3）若n 为奇数，且{}n a 的“生成数列”是{}n b ，{}n b 的“生成数列”是{}n c ，…，依次将数列{}n a ，{}n b ，{}n c ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω．探究：数列i Ω是否为等比数列，并说明理由．20（本小题满分16分）已知函数2()f x x ax b =++，()ln g x x =．（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值；（2）记()()()f x G xg x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<<m 时，若函数()G x 的3个极值点为123123,,()x x x x x x <<，（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）．高三第二学期期初联考数学附加题 (考试时间：30分钟总分：40分)21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明： AD ·DE ＝2PB 2.B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为：122x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．直线l 与圆相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数z y x ,,满足123=++z y x ，求22232z y x ++的最小值.［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝1，ADE 为线段PD 上一点，记PE PD λ=．当12λ=时，二面角D AE C --的平面角的余弦值为23．（1）求AB 的长；（2）当13λ=时，求直线BP 与直线CE 所成角的余弦值．23.（本小题满分10分)已知数列{}n a 通项公式为11n n a AtBn -=++，其中,,A B t 为常数，且1t >，n N *∈．等D式()()()()1022020122022111x x b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++，其中()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅为实常数．（1）若0,1A B ==，求1021n nn a b=∑的值；（2）若1,0A B ==，且()1011212222n n nn ab =-=-∑，求实数t 的值．高三第二学期期初联考数学参考答案一、填空题1．{1,1,3,5}-； 2．4； 3．9； 4．23； 5．2； 6．3π； 7．6π； 8． 9．2； 10．23-；11．3； 12．(2,1)--； 13．11[,9)4； 14．185-．二、解答题15．解：（1）若a c ⊥，则0a c ⋅=， ………2分即()cos sin sin cos 0,sin 0x x x ααα+=+= ………4分所以()()2cos 2212sin 1x x αα+=-+=. ………6分（2）若()0,0,1c α==则………10分………12分所以max ()5,2()6f x x k k Z ππ==-∈. ………14分()()()()(()2cos ,sin cos 2cos cos sin sin 212sin 214sin 3f x a b c x x x x x x x x x x x π=⋅-=⋅+-=++-=-+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭16．证明：（1）因为1111,,,AB BC BC BB AB BB B AB BB ABB ⊥⊥=⊂、平面，所以111BC ABB AB ABB ⊥⊂平面,又平面，所以1AB BC ⊥； ………3分又因为1111,AB A B BB AA ====，得22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥. ………6分又AB BC ABC ABBC B ⊂=、平面，，所以1A B ⊥平面ABC ； ………8分（2）连接1AC 交1AC 与点E ，连接DE ，在1A BC ∆中，D E 、分别为1BC AC 、的中点，所以1//DE A B ，又111,A B AC D DE AC D ⊄⊂平面平面，所以1A B ∥平面1AC D ．………14分17．解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得222,1a b ==，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=． ………4分解法二：由椭圆的定义求得2a =，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=． ………4分说明：计算错全错.（2）由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，PE EM ⊥，不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:1PE y kx =-，由221,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2224,2121,21k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩BAC222421(,)2121k k P k k -∴++. ………6分用1k -去代k ，得22242(,)22k k M k k--++， ………8分则2113PMk k k k-== ………10分由221,1,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222,11,1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩22221(,)11k k A k k -∴++. ………12分则2212OAk k k k -==，所以2132k k =． ………14分评讲建议：此题还可以求证直线PM 恒过定点，求PME ∆面积的最大值.18.解：(1)在ABD ∆中，由余弦定理解得AD=63 ………2分方案一：在ABC ∆中，222222227)36(7245cos 45245+-=-+=⋅-+=x x x A x x BC 2227)36(22)(+-+=+=∴x x BC AC x f ………5分方案二：在BCD ∆中，θθsin 2745sin sin 227==BC ，θθθθθsin )cos (sin 27)45sin(sin 227+=+= CD ， θθθθθθθsin cos 22736)sin cos sin sin 2(2763221)(-+=+-+=+-=⋅+⋅=BC CD AD BC AC g ………9分 (2)若用方案一，则8100)144(23)4572(4)(457222222222=+--+⇒+-=-⇒+-+=y x y x x x x y x x x y………11分由0≥∆得327360891720)8100(3)144(222+≥⇒≥--⇒≥-+-y y y y y ………14分32736min +=∴y ，这时39363144-=-=yx ，C 距A 地)3936(-千米 ………16分若用方案二，则θθθθθ222sin cos 2127sin cos )cos 2(sin 27-=--='y ………11分)(θg 在↓)3,0(π，在↑),3(ππ32736232122736min +=-+=∴y ………14分这时3πθ=，C 距A 地)3936(-千米 ………16分19．（1）解：151b a ==，4544520a a a =⨯⇒=同理，32131,10,55a a a ===. ………4分（写对一个i a 得1分，总分4分）（2）证明：1n b b = 1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --=== ………7分∵n 为偶数，将上述n 个等式中第2，4，6，…，n 这2n个式子两边取倒数，再将这n 个式子相乘得：1234523451234112341111111n n n n nb b b b b a a a a a b b b b b b a a a a a a --⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ∴1n b a = ………9分因为1n a b =，11(2,3,,)k k k k a a b b k n --==所以根据“生成数列”的定义，数列{}n a 是数列{}n b 的“生成数列”. ………10分（3）证明：因为11(2,3,,)i ii i a a b i n b --==，所以111(2,3,,)i i i i b i n a a b --==.所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………12分对于数列{}n a 及其“生成数列”{}n b1n b b = 1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --===∵n 为奇数，将上述n 个等式中第2，4，6，…，1n -这12n -个式子两边取倒数，再将这n 个式子相乘得：12345123451123421123421111111n n n n nn n n n b b b b b b b a a a a a a a b b b b b b a a a a a a ------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ∴21111n n n n n a b a bb a a a a =⇒==因为1n a b =，11(2,3,,)k k k k a a b b k n --==数列{}n b 的“生成数列”为{}n c ，因为22111111,nn n a b c c b b a c a ===⇒= 所以111,,a b c 成对比数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等比数列. 即 1Ω是等比数列.所以 i Ω成等差数列. ………16分20.解：（1）x b ax x X F ln )(2-++=（0>x ）x ax x x a x X F 1212)('2-+=-+= ………2分令0)('=x F ，得04821<+--=a a x ，04822>++-=a a x()()xx x x x X F 212)('--=………3分易知()()(){}2,1max max F F x F =而()()()()32ln 2ln 42121-+-=-++-++=-a b a b a F F 所以当32ln -≤a 时， ()()11max ++==b a F x F当32ln ->a 时，()()2ln 422max -++==b a F x F ………5分（2）（ⅰ）()xm mx x x G ln 4422+-=，()()xxm x m x x G 2ln 12ln 22'⎪⎭⎫⎝⎛-+-=令()12ln 2-+=x m x x h ，()222'xmx x h -= 又()x h 在()m ,0上单调减，在()+∞,m 上单调增，所以()()1ln 2min +==m m h x h 因为函数()x G 有3个极值点，所以01ln 2<+m 所以em 10<< ………7分所以当210<<m 时，()04ln 121ln 211ln 2<-=+<+=m m h ，()0121<-=m h 从而函数()x G 的3个极值点中，有一个为m 2，有一个小于m ，有一个大于1………9分又321x x x <<，所以m x <<10，m x 22=，13>x 即2021x x <<，3212x m x <<=，故321120x x x <<<< ………11分（ⅱ）当()1,0x x ∈时，()012ln 2>-+=xmx x h ，02<-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()21,x x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02<-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G 单调增；当()1,2x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()3,1x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()+∞∈,3x x 时，()012ln 2>-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G单调增；综上，函数()x G 的单调递增区间是()21,x x ()+∞,3x ，单调递减区间是()1,0x ()1,2x ()3,1x 。

江苏扬州中学2018届高三数学下学期2月开学试题带答案

江苏扬州中学2018届高三数学下学期（2月）开学试题（带答案）江苏省扬州中学高三年级第二学期开学考数学试卷2018.2一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程。

1.复数的共轭复数是________．2．设全集,则图中阴影部分表示的区间是________．3．运行如图所示的伪代码，其结果为________．S←1ForIFrom1To7Step2S←S＋IEndForPrintS4.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是．5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．6.矩形中，沿,沿将矩形折成一个直二面角，则四面体外接球的体积为．7．设满足，则的最大值为．8．已知为等差数列，为其前项和，公差为，若，则的值为________．9．已知函数，当时恒有，则关于的不等式的解集为________．10.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为．11.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______________________．12.函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_____________．13.在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为．14.在中，若当面积取最大值时,则．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（本小题满分14分）已知的内角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求.16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，已知平面平面.[来源:Z若，求证：；(2)若过点作直线平面，求证：平面.17．（本小题满分14分）如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ0＜θ＜π2，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，点A(1，3)为椭圆x22＋y2n＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．(1)求椭圆方程；(2)若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形．①求直线BC的斜率；②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．19．（本小题满分16分）函数f(x)＝1＋lnx－kx －2x，其中k为常数．(1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；(3)若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值.20.（本小题满分16分）已知有穷数列，对任意的正整数，都有成立．(1)若是等差数列，且首项和公差相等，求证：是等比数列；(2)若是等差数列，且是等比数列，求证：．附加题1.已知矩阵A＝33cd，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝11，属于特征值1的一个特征向量α2＝3－2.求矩阵A，并求出A的逆矩阵．2.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sinθ＋π6被射线θ＝θ0ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．3.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0p1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是．（1）求p的值；（2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E()．4.在数列中，an＝cosπ3×2n－2(n∈N*)(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；(2)若数列满足bn＝1－2nn！(n∈N*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．江苏省扬州中学高三年级第二学期开学考数学参考答案2018.21.35＋45I2.(－∞，－1)∪(2，＋∞)3.164.5.6.7.28.1109.10.411.[1，＋∞)12.－13，1∪(1，＋∞) 13.1014.15．（1）由已知,结合正弦定理得，所以，即，即，因为，所以.…………7分（2）由，得，即，又，得，所以，又.………………14分16.证明：（1）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因为平面，所以.又因为平面所以平面又因为平面所以.…………7分（2）在平面内过作，垂足为,因为平面平面,又因为平面平面,平面,所以平面,又因为平面，所以,又平面，平面所以平面………………14分17．解(1)由题意，PA＝2sinθ，QA＝4cosθ，所以l＝PA＋QA＝2sinθ＋4cosθ0＜θ＜π2………………6分(2)设f(θ)＝2sinθ＋4cosθ，θ∈0，π2.由f′(θ)＝－2cosθsin2θ＋4sinθcos2θ＝222sin3θ－cos3θsin2θcos2θ，令f′(θ)＝0，得tanθ0＝22.………………10分且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈θ0，π2，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，θ0)上单调递减，在θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0＝22时，sinθ0＝13，cosθ0＝23，所以f(θ)的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．………………14分18.解(1)把点A(1，3)代入x22＋y2n＝1得n＝6，故椭圆方程为x22＋y26＝1.…………2分(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直．因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k1，k2，由y－3＝k1x－1，x22＋y26＝1，消去y，得(3＋k21)x2＋2k1(3－k1)x＋(3－k1)2－6＝0，∴点B的横坐标为x＝1－6＋23k1k21＋3(x＝1为点A的横坐标)，∴点B的纵坐标为y＝3－23k21＋6k1k21＋3，即B1－6＋23k1k21＋3，3－23k21＋6k1k21＋3.………………6分同理可得点C的坐标为C1－6＋23k2k22＋3，3－23k22＋6k2k22＋3.∵k1＋k2＝0，∴直线BC的斜率为kBC＝3.………………8分②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为y＝3x＋m，代入方程x22＋y26＝1得6x2＋23mx＋m2－6＝0，∴x1＋x2＝－33m，x1x2＝m2－66，∴BC＝1＋32|x1－x2|＝2x1＋x22－4x1x2＝23312－m2，又点A到直线BC的距离为d＝|m|2，∴S△ABC＝12BCd＝36m212－m2＝36－m2－62＋36，∴当m2＝6，即m＝6或m＝－6时，△ABC面积取得最大值3.此时，直线BC的方程为y＝3x±6.………………16分19.(1)解当k＝0时，f(x)＝1＋lnx.因为f′(x)＝1x，从而f′(1)＝1.又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.………………2分(2)证明当k＝5时，f(x)＝lnx＋10x－4.因为f′(x)＝x－10x2，从而当x∈(0,10)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(10，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝10时，f(x)有极小值．因为f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1,10)之间有一个零点．因为f(e4)＝4＋10e4－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点．从而f(x)有两个不同的零点．………………8分(3)解方法一由题意知，1＋lnx－kx－2x＞0在(2，＋∞)上恒成立，即k＜x＋xlnxx－2在(2，＋∞)上恒成立．令h(x)＝x＋xlnxx－2，则h′(x)＝x－2lnx－4x－22.设ν(x)＝x－2lnx－4，则ν′(x)＝x－2x.当x∈(2，＋∞)时，ν′(x)＞0，所以ν(x)在(2，＋∞)上为增函数．因为ν(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，ν(9)＝5－2ln9＞0，所以存在x0∈(8,9)，ν(x0)＝0，即x0－2lnx0－4＝0. 当x∈(2，x0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝x0时，h(x)的最小值为h(x0)＝x0＋x0lnx0x0－2.因为lnx0＝x0－42，所以h(x0)＝x02∈(4,4.5)．故所求的整数k的最大值为4.………………8分方法二由题意知，1＋lnx－kx－2x＞0在(2，＋∞)上恒成立．f(x)＝1＋lnx－kx－2x，f′(x)＝x－2kx2.①当2k≤2，即k≤1时，f′(x)＞0在(2，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增．而f(2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈(2,2k)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2k，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝2k时，f(x)有最小值f(2k)＝2＋ln2k－k.从而f(x)＞0在(2，＋∞)上恒成立等价于2＋ln2k－k＞0.令g(k)＝2＋ln2k－k，则g′(k)＝1－kk＜0，从而g(k)在(1，＋∞)为减函数．因为g(4)＝ln8－2＞0，g(5)＝ln10－3＜0，所以使2＋ln2k－k＞0成立的最大正整数k＝4.综合①②，知所求的整数k的最大值为4.20.证明：（1）依题意，，且，………………2分因为，①所以（），②①②得，（），③………………4分所以（），④③④得，（），即（），………………6分①中，令得，，即，所以，所以，，从而，即证是等比数列；………………8分（2）因为是等比数列，不妨设公比为，因为，①所以（），②①②得，（），即（），………………13分因为是等差数列，所以，此时（）且对也适合，所以．………………16分附加题参考答案1.解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝11可得，33cd11＝611，即c＋d＝6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝3－2，可得33cd3－2＝3－2，即3c－2d＝－2，解得c＝2，d＝4.即A＝3324………………6分A的逆矩阵是23－12－1312………………10分2.解圆ρ＝4sinθ＋π6的直角坐标方程为(x－1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y＝kx(x≥0，k＞0)．………………6分圆心(1，3)到直线y＝kx的距离d＝|k－3|1＋k2.根据题意，得24－k－321＋k2＝23，解得k＝33.即tanθ0＝33，又θ0∈0，π2，所以θ0＝π6.………………10分3.解：（1）设事件：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件：“前两次投篮均不中”，依题意，，解得；答：（3分）（2）依题意，的所有可能值为0，1，2，3，且，，，故，的概率分布表为：0123………………8分E()（次）．答：E()………………10分4.解(1)an＝cosπ3×2n－2＝cos2π3×2n－1＝2cosπ3×2n－12－1，∴an＝2a2n＋1－1，………………2分∴an＋1＝±an＋12，又n∈N*，n＋1≥2，an＋1＞0，∴an＋1＝an＋12.………………3分(2)当n＝1时，a1＝－12，b1＝1－2＝－1，∴a1＞b1，当n＝2时，a2＝12，b2＝1－12＝12，∴a2＝b2，当n＝3时，a3＝32，b3＝1－19＝89，∴a3＜b3，猜想：当n≥3时，an＜bn，下面用数学归纳法证明．………………5分①当n＝3时，由上知，a3＜b3，结论成立．②假设当n＝k，k≥3，n∈N*时，ak＜bk成立，即ak＜1－2kk！，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋12＜2－2kk！2＝1－1kk！，………………7分bk＋1＝1－2k＋1k＋1！，要证ak＋1＜bk＋1，即证明1－1kk！2＜1－2k ＋1k＋1！2，即证明1－1kk！＜1－4k＋1k＋1！＋2k＋1k＋1！2，即证明1kk！－4k＋1k＋1！＋2k＋1k＋1！2＞0，即证明k－12kk＋1k＋1！＋2k＋1k＋1！2＞0，显然成立．………………9分∴n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n≥3时，an＜bn成立．综上可得：当n＝1时，a1＞b1；当n＝2时，a2＝b2，当n≥3，n∈N*时，an＜bn.………………10分。

扬州18届高三下开学考试

江苏省扬州中学2017-2018学年度第二学期开学检测高三英语试卷第二部分英语知识运用（共两节，满分35分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）21. A child should be receiving either meat or eggs daily, preferably ______.A. neitherB. noneC. eitherD. both22. In the lecture, the professor told his students about how to write an _________ of a graduate paper, expressing the main argument.A. accountB. applicationC. addressD. abstract23. It was the middle of night ________ my husband woke me up and told me to watch the football game.A. whileB. thatC. asD. when24. The bungalow near the south school gate will be ______ into classrooms for music and art.A. transmittedB. transferredC. transformedD. transported25. New York is the fashion capital of the world, says a new study on Feb 4. 2014 by the Global Language Monitor, Paris ____second, with Shanghai_____10th while Hongkong 20th.A. coming, ranksB. come, rankedC. comes, rankingD. coming, ranking26. Looking back upon his teaching career, he doesn’t remember ever having been doubted, or challenged in class, ________ rejected.A. other thanB. let aloneC. rather thanD. more than27. - I’m sorry. I think I am not fit for the job. I don’t handle pressure too well. - Oh, I can’t believe it. You know, that’s not the impression I have of you at all. That’s_________ I’d describe myself.A. whatB. whyC. whichD. how28. Like all teenagers there’s one thing she’d rather __________ --- spots.A. do withoutB. do upC. do withD. do off29. The employee might have been dismissed by the employer last month, ______A. hasn't heB. didn't heC. wasn't heD. mightn't he30. On an average day most of us _____ our smart phones 47 times, and nearly double that if we’re between the ages of 18 and 24.A. checkedB. would checkC. will checkD. check31. She was likely to tell the whole truth, in cases other people would have kept silence.A. whereB. thatC. whoD. which32. Some believe that china faces similar problems as devices meant to fight crime _______ to invade privacy.A. beginningB. begunC. beginD. had begun33. She’s added a few characters and changed some names but this is a true story.A. completelyB. necessarilyC. graduallyD. essentially34. It is vital to ______ to teenagers the simple fact that _______ the Internet will more or less do harm to both mental and physical health.A. get across; being addicted toB. get over; addicted toC. get through; addicting toD. get down; addicting themselves to35. -I’ll take the new truck,- And leave me to drive the old one .A. Don’t mention itB. Forget itC. I’m sorryD. Bad luck第二节完形填空（共20小题；每小题l分，满分20分）阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上涂黑。

江苏省扬州中学第二学期开学考试高三数学试题及参考答案

江苏省扬州中学第二学期开学考试高三数学试卷一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分）1．两个非空集合P 和Q ，它们都是全集I 的子集，满足P Q P P Q P =⋃=⋂,，则（）A ．Q P ⊂B ．Q P ⊃C ．Q P =D ．Q P C I =2．0≠xy 是指（）A ．y x ,中至少有一个不是0B ．0≠x 且0≠yC ．0≠x 或0≠yD ． y x ,不都是03．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为y x ,，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||y x -的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4４．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++=与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直5．已知函数⎩⎨⎧>--<=)0(1)1()0(sin )(x x f x x x f π，如果当02<<-m 时，有2)()611(-=+m f f ，则实数m 等于（）A ．61-或65-B ．61-或67-C ．61-或611-D ．67-或611- 6．已知：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x 且84422+--+=y x y x z ，则z 的最小值为（）A ．223B ．29C ．22 D ．21 7．在数列}{n a 中，*)(2)1(,211N n a n na a n n ∈++==+，则10a 为（）A ．34B ．36C ．38D ．40。

江苏省扬州中学2018届高三下学期开学考试(2月)化学试卷(含答案)

江苏省扬州中学高三开学考试化学2018.02可能用到的相对原子质量：H -1 C -12 N- 14 O- 16 Na- 23 K- 39 Cr-52选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．化学点亮生活，下列对生活中的化学理解正确的是A．维生素C能帮助人体将Fe3+转化为易吸收的Fe2+，维生素C具有氧化性B．安装煤炭燃烧过程的“固硫”装置，主要是为了提高煤的利用率C．区分食盐是否加碘的方法是向食盐溶液中加少量淀粉，观察其是否变蓝D．绿色化学要求从源头上减少或消除工业生产对环境的污染2．对下列化学用语的理解正确的是A．原子结构示意图：可以表示12C，也可以表示14CB．比例模型：可以表示二氧化碳分子，也可以表示水分子C．电子式：可以表示羟基，也可以表示氢氧根离子D．分子式C2H4O2：可以表示乙酸，也可以表示乙二醇3．化学与社会、生活、生产密切相关，下列有关说法中正确的是A．明矾能水解产生具有吸附性的胶体粒子，可以用于饮用水的杀菌消毒B．菜刀洗净后擦干是为了防止发生化学腐蚀C．漂白粉溶液可用于夏天游泳池杀菌消毒D．淀粉溶液和Fe3O4纳米材料都具有丁达尔效应4．现有短周期元素R、X、Y、Z、T，R与T原子最外层电子数均是电子层数的2倍，Y元素能与大多数金属和非金属元素形成化合物；Z＋与Y2-电子层结构相同。

五种元素的原子半径如图所示，下列推断正确的是A．Y、Z组成的化合物只含离子键B．氢化物的沸点：R<X<YC．T的最高价氧化物的水化物酸性比R的强D．Y和Z分别与T、X组成的二元化合物的水溶液一定呈中性5．下列离子方程式书写正确的是A．硫酸铜溶液吸收H2S：Cu2＋＋S2－===CuS↓B．氧化铁溶于氢碘酸：Fe2O3＋6H＋===2Fe3＋＋3H2OC．向饱和碳酸钠溶液中通入足量CO2：CO2－3＋CO2＋H2O===2HCO－3D．向KAl(SO4)2溶液中加入过量的Ba(OH)2溶液：Al3＋＋2SO2－4＋2Ba2＋＋4OH－===BaSO4↓＋AlO－2＋2H2O6．如图，用下列实验操作可完成两个实验。

江苏省扬州中学届高三数学下学期2月开学考试试题

江苏省扬州中学2019届高三开学数学I 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝． 2.己知复数iz -=12，则z 的虚部为． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5．函数22log (32)y x x =--的定义域为．6.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。

下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。

若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线C 的离心率为．10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=，则m 的值为．11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+= 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是．13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是．14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .(1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .1AEC D BA1D1B1C第15题DCBF16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +u u u r u u u r 的最小值；（2）若x ∈[0，2π]，向量BC m =u r u u u r ，n =r (1cos x -，sin 2cos x x -)，求m n ⋅u r r的最小值及对应的x 值．17. 如图，一楼房高AB 为193米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60︒，安装过程中，一身高为3米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；（1）试将tan θ表示为x 的函数；（2）求点E 的位置，使θ取得最大值．18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2=60°， 124EF EF ⋅=u u u v u u u v .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。

4江苏省扬州中学2018-2019学年高二下学期开学检测(2月) 数学 Word版含答案

江苏省扬州中学2018-2019学年度第二学期开学测试高二数学试卷2019.2（本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知命题ex e x p x≥>∀,0:，写出命题p 的否定：．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)M 到抛物线22(0)=>y px p 准线的距离为4，则p 的值为.3.运行如图所示的伪代码，其结果为.4．某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中样本中型号产品有件，那么此样本的容量．5．从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为．6.椭圆13422=+y x 上一点A 到左焦点的距离为25，则A 点到右准线的距离为．7.“1x >”是“2x x >”的条件．（选填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”或“既不充分也不必要”之一）8.若双曲线22219x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为320x y -=，则a 的值为．9.若“x ∃∈R ，220x x a +-<”是真命题，则实数a 的取值范围是．10.已知椭圆2222+=1(>>0)x y a b a b的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .若点F 到直线AB的距离为，则该椭圆的离心率为.11.已知y kx b =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k ＋b 的最小值为．12.设，点，过点P 引圆的两条切线PB PA ,，若的最大值为，则的值为．13.已知函数)(x f y =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0≠x 时0)()('>+x x f x f ，则关于x 的函数xx f x g 1)()(+=的零点的个数．S ←1For I From 1To 5step 2S ←S +2I End For Print S（第3题）14．对于实数b a ,，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*,,,22b a ab b ba ab a b a 设函数),1()12)(-*-=x x x f （且关于的方程)()(R k k x f ∈=为恰有三个互不相等的实数根321x x x ，，，则321x x x ⋅⋅的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享单车”在很多城市相继出现．某“共享单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分（满分10分），现将评分分为5组，如下表：组别一二三四五满意度评分[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10]频数510a 3216频率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a ，b ，c 的值；(2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？16.（本小题满分14分）（文科）（此题仅供文科学生做，理科学生不做）已知m 为实数，命题P :“m x ≥是0≥x 的充分不必要．．．．．条件”；命题Q ：“若直线10x y -+=与圆22()2x m y -+=有公共点”．若“Q P ∧”为假命题，“Q P ∨”为真命题，求m 的取值范围．（理科）（此题仅供理科学生做，文科学生不做）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AC BC ⊥==，，12BB =，点D 在棱1BB 上，且11C D AB ⊥．（1）求线段1B D 的长；（2）求二面角11D A C C --的余弦值．A 1DCB 1C 1BA在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l 的方程；（2）已知点P(1x ，1y )为直线26y x =-上一点，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，若PM PO ，求点P 的坐标．18．（本小题满分15分）扬州市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前扬州市的空气质量位列全国前列，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了扬州市廖家沟城市中央公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中为每天的时刻．若在凌晨点时刻，测得空气质量指数为．（1）求实数的值；（2）求近期每天在时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在椭圆M ：22221(0)y x a b a b+=>>上，且椭圆M（1）求椭圆M 的标准方程；（2）记椭圆M 的左、右顶点分别为12A A 、,点C 是x 轴上任意一点(异于点12A A O ，，)，过点C 的直线l 与椭圆M 相交于,E F 两点.①若点C的坐标为，直线EF 的斜率为1-，求△AEF 的面积;②若点C 的坐标为(1,0)，连结12,A E A F 交于点G ，记直线12,,A E GC A F 的斜率分别为123,,k k k ，证明：132k k k +是定值.20.（本小题满分16分）已知a 为实数，函数x a x x x f ln (--=）.（1）若1=a ，求函数)(x f 在区间],1[e （e 为自然对数的底数）的最大值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若函数0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围。

(新)江苏省扬州市2018届高三数学下学期开学考试2月试题

江苏省扬州中学2018届高三数学下学期开学考试（2月）试题一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程。

1.复数i435+的共轭复数是________． 2．设全集R U =,{}{},,cos ,022R x x y y B x x x A ∈==≤-=则图中阴影部分表示的区间是________．3．运行如图所示的伪代码，其结果为________．S ←1For I From 1 To 7 Step 2 S ←S ＋I End For Print S4.若命题“t R ∃∈，220t t a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是． 5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．6.矩形ABCD 中，沿3,4==BC AB ,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 外接球的体积为．7．设,x y 满足0||||1y y x x y >⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则y x 3+的最大值为．8．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，公差为d ，若100182018182018=-S S ，则d 的值为________． 9．已知函数R m x m x x f ∈+=,ln )()(，当1≠x 时恒有0)(')1(>-x f x ，则关于x 的不等式22)(-<x x f 的解集为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(2233x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为．11.若函数x a x x a x x x x x f )14()cos (sin 3)sin (cos )sin (cos 21)(-+-++⋅-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______________________．12.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=0,21210,)(2x x x x x x f ，若关于x 的方程k kx x f -=)(至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为_____________．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足)()1(R OA AP ∈-=λλ ，且48=⋅OP OA ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为． 14.在ABC ∆中，),1(,2>==m mBC AB AC 若当ABC ∆面积取最大值时3π=B ,则=m ．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos 3a B b A c +=.(1)求角B 的大小；(2)若ABC ∆的面积为73,43,4b ac =>，求,a c .16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC . (1)若,AB BC CP PB ⊥⊥，求证： CP PA ⊥； (2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：//l 平面PBC .17．（本小题满分14分）如图是一“T ”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．19．（本小题满分16分）函数f (x )＝1＋ln x －k x －2x，其中k 为常数． (1)若k ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若k ＝5，求证：f (x )有且仅有两个零点；(3)若k 为整数，且当x ＞2时，f (x )＞0恒成立，求k 的最大值.20.（本小题满分16分）已知有穷数列{}n a ，{}n b 对任意的正整数n *∈N ，都有12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋅⋅⋅++122n n +=--成立．(1)若{}n a 是等差数列，且首项和公差相等，求证：{}n b 是等比数列； (2)若{}n a 是等差数列，且{}n b 是等比数列，求证：12n n n a b n -=⋅．附加题1.已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并求出A 的逆矩阵．2.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．3. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125．（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．4.在数列{a n}中，a n＝cos π3×2n－2(n∈N*) (1)试将a n＋1表示为a n的函数关系式；(2)若数列{b n}满足b n＝1－2n·n！(n∈N*)，猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．参考答案1. 35＋45I2. (－∞，－1)∪(2，＋∞)3.164. (,1]-∞-5.986.π61257. 2 8.110 9.),1(2e 10.4 11. [1，＋∞) 12. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞) 13. 10 14. 32+15．（1）由已知sin 3cos 3sin a B b A C +=, 结合正弦定理得sin sin 3sin cos 3sin A B B A C +=，所以()()sin sin 3sin cos 3sin 3sin cos sin cos A B B A A B A B B A +=+=+，即sin sin 3sin cos A B A B =，即tan 3B =，因为()0,B π∈，所以3B π=.…………7分（2）由1sin ,23ABC S ac B B π∆==，得37344ac =，即7ac =，又()2222cos b a c ac ac B =+--，得()()22432a c ac ac =+--，所以7{8ac a c =+=，又7,{ 1a a c c =>∴=. ………………14分16.证明：（1）因为平面PBC ⊥ 平面ABC ，平面PBC ⋂ 平面=ABC BC ， AB ⊂平面ABC ，AB BC ⊥ ，所以AB ⊥平面PBC .因为CP ⊂平面PBC ，所以CP AB ⊥ .又因为,,CP PB PB AB B ⊥⋂= ,AB PC ⊂平面,PAB 所以CP ⊥平面,PAB 又因为PA ⊂平面,PAB 所以CP PA ⊥. …………7分（2）在平面PBC 内过P 作BC PD ⊥，垂足为D ,因为平面PBC ⊥ 平面ABC , 又因为平面⋂PBC 平面BC ABC =,⊂PD 平面ABC ,所以⊥PD 平面ABC , 又因为l ⊥平面ABC ，所以PD l //,又⊄l 平面PBC ，⊂PD 平面PBC 所以//l 平面PBC ………………14分17．解 (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，所以l ＝PA ＋QA ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 ………………6分 (2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝222sin 3θ－cos 3θsin 2θcos 2θ，令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. ………………10分且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，θ0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值．当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23，所以f (θ)的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠． ………………14分18.解 (1)把点A (1，3)代入x 22＋y 2n ＝1得n ＝6，故椭圆方程为x 22＋y 26＝1. …………2分(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直．因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k 1，k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k 1x －1，x 22＋y 26＝1，消去y ，得(3＋k 21)x 2＋2k 1(3－k 1)x ＋(3－k 1)2－6＝0， ∴点B 的横坐标为x ＝1－6＋23k 1k 21＋3(x ＝1为点A 的横坐标)，∴点B 的纵坐标为y ＝3－23k 21＋6k 1k 21＋3，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 1k 21＋3，3－23k 21＋6k 1k 21＋3. ………………6分同理可得点C 的坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 2k 22＋3，3－23k 22＋6k 2k 22＋3.∵k 1＋k 2＝0，∴直线BC 的斜率为k BC ＝ 3. ………………8分②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 的方程为y ＝3x ＋m ，代入方程x 22＋y 26＝1得6x 2＋23mx ＋m 2－6＝0，∴x 1＋x 2＝－33m ，x 1x 2＝m 2－66，∴BC ＝1＋32·|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝23312－m 2，又点A 到直线BC 的距离为d ＝|m |2，∴S △ABC ＝12BC ·d ＝36m212－m2＝36－m 2－62＋36，∴当m 2＝6，即m ＝6或m ＝－6时，△ABC 面积取得最大值 3.此时，直线BC 的方程为y ＝3x ± 6. ………………16分19.(1)解当k ＝0时，f (x )＝1＋ln x . 因为f ′(x )＝1x，从而f ′(1)＝1.又f (1)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0. ………………2分 (2)证明当k ＝5时，f (x )＝ln x ＋10x－4.因为f ′(x )＝x －10x 2，从而当x ∈(0,10)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(10，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝10时，f (x )有极小值．因为f (10)＝ln10－3＜0，f (1)＝6＞0，所以f (x )在(1,10)之间有一个零点．因为f (e 4)＝4＋10e 4－4＞0，所以f (x )在(10，e 4)之间有一个零点．从而f (x )有两个不同的零点． ………………8分(3)解方法一由题意知，1＋ln x －k x －2x＞0在(2，＋∞)上恒成立，即k ＜x ＋x ln xx －2在(2，＋∞)上恒成立．令h (x )＝x ＋x ln x x －2，则h ′(x )＝x －2ln x －4x －22. 设ν(x )＝x －2ln x －4，则ν′(x )＝x －2x. 当x ∈(2，＋∞)时，ν′(x )＞0，所以ν(x )在(2，＋∞)上为增函数．因为ν(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，ν(9)＝5－2ln9＞0，所以存在x 0∈(8,9)，ν(x 0)＝0，即x 0－2ln x 0－4＝0.当x ∈(2，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以当x ＝x 0时，h (x )的最小值为h (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－2.因为ln x 0＝x 0－42，所以h (x 0)＝x 02∈(4,4.5)．故所求的整数k 的最大值为4. ………………8分方法二由题意知，1＋ln x －k x －2x＞0在(2，＋∞)上恒成立． f (x )＝1＋ln x －k x －2x ，f ′(x )＝x －2kx2.①当2k ≤2，即k ≤1时，f ′(x )＞0在(2，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增．而f (2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求． ②当2k ＞2，即k ＞1时，当x ∈(2,2k )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(2k ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝2k 时，f (x )有最小值f (2k )＝2＋ln2k －k . 从而f (x )＞0在(2，＋∞)上恒成立等价于2＋ln2k －k ＞0.令g (k )＝2＋ln2k －k ，则g ′(k )＝1－kk＜0，从而g (k )在(1，＋∞)为减函数．因为g (4)＝ln8－2＞0，g (5)＝ln10－3＜0，所以使2＋ln2k －k ＞0成立的最大正整数k ＝4. 综合①②，知所求的整数k 的最大值为4.20.证明：（1）依题意，1n a na =，且111a b =，………………2分因为12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋅⋅⋅++122n n +=--， ① 所以1122332211n n n n n a b a b a b a b a b -----+++⋅⋅⋅++2(1)2n n =---（2n ≥），②①-②得，11221()21n n n n a b b b b b --+++⋅⋅⋅++=-（2n ≥）， ③ ………………4分所以111221()21n n n a b b b b ---++⋅⋅⋅++=-（3n ≥），④ ③-④得，112n n a b -=（3n ≥），即112n n b a -=（3n ≥），………………6分 ①中，令2n =得，12214a b a b +=，即121124a b a b +=，所以212b a =，所以112n n b a -=，n ∈*N ，从而12n nb b +=，即证{}n b 是等比数列；………………8分（2）因为{}n b 是等比数列，不妨设公比为q ，因为12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++⋅⋅⋅++122n n +=--， ①所以1122332211n n n n n a b a b a b a b a b -----+++⋅⋅⋅++2(1)2n n =---（2n ≥），②①-②q ⨯得，()11222(1)2n n n a b n q n +⎡⎤=------⎣⎦（2n ≥），即1112122n n q q qa nb b b ---=⋅+⋅-（2n ≥），………………13分因为{}n a 是等差数列，所以2q =，此时11n a n b =⋅（2n ≥）且对1n =也适合，所以1111122n n n n a b n n b a --=⋅⋅=⋅． ………………16分附加题参考答案1.解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4 ………………6分A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ………………10分2.解圆ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx (x ≥0，k ＞0)． ………………6分圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－k －321＋k2＝23，解得k ＝33.即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6. ………………10分3.解：（1）设事件A ：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件A ：“前两次投篮均不中”，依题意，()()221()11125P A P A p =-=--=，解得35p =；答：35p =（3分）（2）依题意，ξ的所有可能值为0，1，2，3，且()24(0)125P p ξ==-=，()()()224(1)111125P p p p p p ξ==-+--=，327(3)125P p ξ===，故54(2)1(0)(1)(3)125P P P P ξξξξ==-=-=-==，ξ的概率分布表为：ξ 0 1 2 3 P425241255412527125………………8分E (ξ)24542721323125125125125=+⨯+⨯=（次）．答： E (ξ)125213=………………10分 4.解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ………………2分 ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0，∴a n ＋1＝a n ＋12. ………………3分(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3，猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ………………5分 ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立，即a k ＜1－2k ·k ！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！， ………………7分 b k ＋1＝1－2k ＋1·k ＋1！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫ 1－1k ·k ！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k ＋1·k ＋1！2，即证明1－1k ·k ！＜1－4k ＋1·k ＋1！＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋1·k ＋1！2，即证明1k ·k ！－4k ＋1·k ＋1！＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋1·k ＋1！2＞0，即证明k －12k k ＋1·k ＋1！＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋1·k ＋1！2＞0，显然成立． ………………9分∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n . ………………10分。

江苏省扬州中学高三下开学考试

江苏省扬州中学高三下开学考试一、填空题：1、设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B = ，则A B = ▲ ． 2、设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .3、设向量(2,6)a =- ，(1,)b m =- ，若//a b，则实数m = ▲ ．4、已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ .5、已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -= ▲ ．6、若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为 ▲ ．7、数列{}n a 为等比数列，且741531+++a a a ,,成等差数列，则公差=d ▲ ． 8、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝ ▲ m.9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ▲ 10、已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12 (ω>0，x ∈R ).若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是 ▲ ．11、若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为 ▲ ．12、已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤7，则a ·b 的最大值是 ▲ ．13、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=05042x e x x x f x ,,)(，若关于x 的方程05=--ax x f )(恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 ▲ ．14、已知函数1331x x y +=+与函数312x y x +=的图象共有k （*∈N k ）个公共点：),(111y x A ，),(222y x A ，… ，),(k k k y x A ，则=+∑=ki i i y x 1)( ▲ ．二、解答题：15、在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度；（2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．18、如图所示，椭圆C ：2214x y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ⫽2l ．（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．19、已知函数f （x ）=x 2﹣（a +2）x +alnx ，其中常数a ＞0．（Ⅰ）当a ＞2时，求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D 上的函数y=h （x ）在点P （x 0，h （x 0））处的切线方程为l ：y=g （x ），若＞0在D 内恒成立，则称P 为函数y=h （x ）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f （x ）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．20、已知无穷数列}{n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：a a =1，11-=+n n n a a rS ，其中1≠a ，常数r N ∈．（1）求证：n n a a -+2是一个定值；（2）若数列}{n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*N ∈n ，都有n T n a a =+成立，则称}{n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列}{n a 是各项均为有理数的等差数列，132-⋅=n n c （*N ∈n ），问：数列}{n c 中的所有项是否都是数列}{n a 中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．江苏省扬州中学高三下开学考试附加题21、已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1 ．（1）求实数b ，λ的值；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C '：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．22、在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，曲线3C 的极坐标方程为6πθ=．（Ⅰ）把曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）曲线3C 与曲线1C 交于点O 、A ，曲线3C 与曲线2C 交于点O 、B ，求AB．23、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒， 4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．24、已知展开式的各项依次记为．设．（1）若的系数依次成等差数列，求的值；（2）求证：对任意，恒有.1(1)2nx +1231(),(),(),(),()n n a x a x a x a x a x + 1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++ 123(),(),()a x a x a x n 12,[0,2]x x ∈112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-高三下开学考试答案一、填空题：1、{}135，，2、13、34、125、-26、π67、38、100 69、215-10、⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 11、24 12、113、⎭⎬⎫⎩⎨⎧--5ln 5,,25,2e 14、3二、解答题：15、解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， …2分因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， …………4分又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3sin()35B π-=，所以4cos()35B π-==. …………8分又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=---413525=-⨯=. …………14分16、（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥，所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．……………………7分（2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ，……………………………10分又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BC EB B = ，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC ．………………14分17、（1）因为2AD DC ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AB 2分取AB 中点G ，则四边形BCEF 的面积为1EFG ABCD BCEG S S S =+梯形梯△形，即112)22⨯+1313)2222GF =++⨯，解得GF =，…………………………………………6分所以EF ==(km)．故灌溉水管EF km ．……………………8分（2）设DE a =，DF b =，在ABC △中，2CA ==，所以在ADC △中，2AD DC CA ===，所以60ADC ∠=︒，所以DEF △的面积为1sin 602DEF S ab =︒=△，又ABCDS =梯形=，即3ab =．………12分在ADC △中，由余弦定理，得EF当且仅当a b ==”．故灌溉水管EF．………16分18、证明：（1）设11()A x y ,，22()B x y ,，根据对称性，有11()C x y --,因为11()A x y ,，22()B x y ,都在椭圆C 上，所以221114x y +=，222214x y +=二式相减，2222121204x x y y -+-=所以22212121122221212114y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-为定值（2）（Ⅰ）当1l 的倾角为0︒时，1l 与2l 重合，舍（Ⅱ）当1l 的倾角不为0︒时，由对称性得四边形ABCD 为平行四边形1(0)F 设直线1l的方程为x my =代入2214x y +=，得22(4)10m y +--= 显然0∆>，12y y +12214y y m -⋅=+所以121||2OABS y y =-==△设21m t +=，所以21m t =-，(1)t ∈+∞,，所以22221119(4)69126m t m t t t t+==+++++≤当且仅当9t t=即m =时等号成立。

2018年2月江苏省扬州市2017～2018高2018届高2015级高三期末试卷答案

扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题高三数学参考答案2018.2第一部分1. {}2 2．6- 3. 2 4. 240 5.946.237.8.144[,25]25 9.1327 10. 3(1,)211.(2,3) 12.12 13. 1(,2]214. 73 15证明:⑴在直三棱柱111ABC A B C -中,四边形11B BCC 是平行四边形,所以11//B C BC ,.………2分在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 的中点,故//BC DE ,所以11//B C DE ,.………4分又11B C ⊄平面1A DE ,DE ⊂平面1A DE ,所以11//B C 平面1A DE .………7分 ⑵在平面11ABB A 内,过A 作1AF A D ⊥于F , 因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ,平面1A DE平面111A ABB A D=,AF ⊂平面11A ABB ,所以AF ⊥平面1A DE , .………11分又DE ⊂平面1A DE ,所以AF DE ⊥,在直三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC ,所以1A A DE ⊥, 因为1AFA A A =,AF ⊂平面11A ABB ,1A A ⊂平面11A ABB ,所以DE ⊥平面11A ABB ,因为AB ⊂平面11A ABB ,所以DE AB ⊥。

.………14分注:作1AF A D ⊥时要交代在平面内作或要交代垂足点,否则扣1分 16 解:⑴因为S △ABC =1sin 92AB BC B =创,又AB =6,BC =5,所以3sin 5B =,………2分又B (0,)π∈,所以4cos 5B ==±, ………3分当cos B =45时,AC ===………5分当cos B =45-时,AC ===所以AC =.………7分注:少一解的扣3分⑵ 由ABC ∆为锐角三角形得B 为锐角,所以AB =6,AC BC =5, 所以cosA ==又(0,)A π∈,所以sinA ==, ………9分所以12sin 2213A ==,225cos 213A =-=-, ………12分所以12cos(2)cos 2cossin 2sin 66626A A A pp p -+=-=.………14分 17. 解:⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ,所以OS ⊥MN . 在RT OSM 中,因为OS =1,∠MOS=α,所以SM =tan α, 在RT OSN 中,∠NOS=23πα-,所以SN=2tan()3πα-,所以2tan tan()3MN παα=+-=, .………4分其中62ππα<<..………6分⑵ 因为62ππα<<,10α->,令10t α=->,则tan 1)t α=+,所以4(2)3MN t t=++, . .………8分由基本不等式得2)3MN ≥=, ………10分当且仅当4t t=即2t =时取“=” . .………12分此时tan α=由于62ππα<<,故3πα=. . .………13分答:⑴2tan tan()3MN παα=+-=,其中62ππα<<⑵当3πα=时,MN 长度的最小值为 .. .………14分注:第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分18解:⑴设椭圆2E 的方程为2212x y m m+=,代入点得2m =, 所以椭圆2E 的方程为22142x y += ………3分⑵因为椭圆1E 的离心率为2,故222a b =,所以椭圆2221:22E x y b += 又椭圆2E 与椭圆1E “相似”,且4m =,所以椭圆2221:28E x y b +=,设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,①方法一:由题意得2b =,所以椭圆221:28E x y +=,将直线:2l y kx =+, 代入椭圆221:28E x y +=得22(12)80k x kx ++=,解得1228,012kx x k -==+,故212224,212k y y k -==+, 所以222824(,)1212k k A k k --++ ………5分又2AP AB =,即B 为AP 中点,所以2228212(,)1212k k P k k +++, ………6分代入椭圆222:232E x y +=得222228212()2()321212k k k k ++=++,即4220430k k +-=,即22(103)(21)0k k -+=,所以10k =±所以直线l 的方程为210y x =±+ ………8分方法二:由题意得2b =,所以椭圆221:28E x y +=,222:232E x y +=设(,),(0,2)A x y B ,则(,4)P x y --,代入椭圆得2222282(4)32x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩,解得12y =,故x = ………6分所以k =所以直线l 的方程为2y x =±+ ………8分 ②方法一: 由题意得22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=,010112y y x x ⋅=-,即010120x x y y +=, AP AB λ=,则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩………12分所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-= 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以222228(1)22b b b λλ+-⋅=,即224(1)λλ+-=,所以52λ=.………16分方法二:不妨设点P 在第一象限,设直线:(0)OP y kx k =>,代入椭圆2222:28E x y b +=,解得0x =则0y =,直线,OP OA 的斜率之积为12-,则直线1:2OA y x k =-,代入椭圆2221:22E x y b +=,解得1x =则1y =AP AB λ=,则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩,所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-= 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以2222282(((1)22b b b λλλ+-++-⋅=,即222228(1)22b b b λλ+-⋅=,即224(1)λλ+-=,所以52λ=19解:(1)由(1)0g -=知,()g x 的图象直线过点(1,0)-, 设切点坐标为00(,)T x y ,由'()x f x e =得切线方程是000()x x y e e x x -=-此直线过点(1,0)-,故000(1)x x e e x -=--,解得00x =,所以'(0)1a f == .………3分 (2)由题意得2,(0,)x m e x x <-∈+∞恒成立,令2(),(0,)x m x e x x =-∈+∞,则'()2x m x e x =-,再令()'()2x n x m x e x ==-,则'()2x n x e =-, 故当(0,ln 2)x ∈时,'()0n x <,()n x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时,'()0n x >,()n x 单调递增, 从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->,所以()m x 在(0,)+∞上单调递增, .………6分所以(0)m m ≤,即1m ≤ .………8分注:漏掉等号的扣2分(3)若0a <,()()()x F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增,故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <,即1b >, ………10分以下证明当1b >时,()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点。

【高三数学试题精选】2018届高三数学2月联考试题(江苏联盟大联考带答案)

2018届高三数学2月联考试题（江苏联盟大联考带答案）
5
江苏省联盟大联考数学试卷
第Ⅰ卷
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1已知集合，则
2若复数（为虚数单位），则的模为
3已知某高中共有2400人，其中高一年级600人，现对该高中全体学生利用分层抽样的方法进行一项调查，需要从高一年级抽取5不等式选讲
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分
22（本题满分10分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ,且，点在棱上（点异于端点），且
（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若二面角的余弦值为，求的值
23（本题满分10分）
设，其中
（1）当时，求的值；
（2）对，证明恒为定值
5。

江苏扬州中学18-19高三下开学质量检测--数学

江苏扬州中学18—19高三下开学质量检测--数学数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应旳位置上）1。

已知集合。

2．在复平面内，复数旳对应点位于第象限。

3.向量，若，则实数旳值为。

4．右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况旳茎叶图．那么甲、乙两人得分旳平均分（填<,〉，=)5。

设且，则“函数在上是减函数 ",是“函数在上是增函数”旳条件．6。

某程序旳框图如图所示，执行该程序,若输入旳为，则输出旳旳值为.7. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2,3，4，5，6个点旳正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9旳概率是．8.若一个圆锥旳侧面展开图是面积为旳半圆面，则该圆锥旳体积为。

9．数列满足且对任意旳，都有,则旳前项和_____.10。

已知函数,其中．若旳值域是,则旳取值范围是______．11。

一个等差数列中，是一个与无关旳常数，则此常数旳集合为．12. 点在不等式组表示旳平面区域内，若点到直线旳最大距离为，则k=______．13. 椭圆旳左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同旳点，使得为等腰三角形,则椭圆旳离心率旳取值范围是______．14。

设t R,若x＞0时均有,则t＝______________．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要旳文字说明、证明过程或演算步骤)15. 已知旳三个内角，，所对旳边分别是，，,,.（Ⅰ）求旳值;（Ⅱ）求旳面积。

16。

在直三棱柱中,=2 ,。

点分别是 ,旳中点，是棱上旳动点。

（I)求证：平面；(II)若//平面，试确定点旳位置,并给出证明；17. 如图所示，有一块边长为旳正方形区域，在点处有一个可转动旳探照灯,其照射角始终为弧度(其中点分别在边上运动），设，. （1）试用表示出旳长度，并探求旳周长；18.已知数列旳前项和为,且满足:，N*,.(Ⅰ）求数列旳通项公式；（Ⅱ）若存在 N＊，使得,，成等差数列，试判断：对于任意旳N＊，且,，,是否成等差数列，并证明你旳结论.19。

江苏省扬大附中第二学期高三月考数学

江苏省扬大附中 2018-2018 学年度第二学期高三月考数学一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，计 70 分．不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定地点上．1≤ 2 ， B x | x ≥a 知足AB{2}，则实数 a =．若会合 A x | x▲．2．已知虚数 z 知足等式： 2z z 1 6i ，则 z ▲．3．函数 y 1 sin 2 (x) 的最小正周期是▲． 34．某算法的伪代码如右：则输出的结果是▲ ．11，则p 是 q 的▲条件．5．已知条件 p :x ≤ 1，条件 q ：xs ←2 i ←1While s ≤400 i ←i+2 s ←s ×iEnd While Print i( 填“充足不用要条件”，“必需不充足条件”，“充要条件”或是“既不充足也不用要条件” )6．已知 M 粒等可能地落入以下图的四边形 ABCD 内，假如通过大批的实验发现M 粒落入 △BCD 内的频次稳固在4邻近，那么9AB 点 A 和点C 到直线 BD 的距离之比约为▲．D7．在等差数列a n 中，若 a 3 a 9a2712 ，则 a 13 ▲．C8．．给出以下对于互不同样的直线m 、 l 、 n 和平面 α、 β的四个命题：①若 m, lA, 点Am,则 l 与m 不共面；②若 m 、l 是异面直线， l // ,m // , 且nl , n m, 则n；③若 l // , m // , // ,则l // m ；④若 l, m, lm A,l // , m // ,则 //．此中为真命题的是▲．9．若不等式 3ax 22 ax1对一确实数 x 恒建立，则实数 a 的取值范围是▲．310．当 x22x8 时 ,函数 yx2x 5的最小值是 ____▲___．x 211 xOy 中， i, j分别是与x轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC．在直角坐标系中， AB ij ， AC 2i mj ，则实数 m=▲．x 2 y 2 1(a 0, b的离心率 e 1，右焦点 F （ c,0 ），方程220)1/10▲．13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ax2 2 y 2对于 x 1,2 , y2,3 恒建立 , 求a的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y为常量来剖析”．乙说：“找寻x 与y的关系，再作剖析”．丙说：“把字母 a 独自放在一边，再作剖析”．参照上述思路，或自已的其余解法，可求出实数 a 的取值范围是▲．1x m 1m 叫做离实数x 近来的整14．给出定义：若m（此中 m 为整数），则22数，记作 x = m．在此基础上给出以下对于函数 f ( x)x x 的四个命题：①函数 y= f (x)的定义域为 R，值域为0,1；②函数y= f (x)的图像对于直线kx 22（ k Z ）对称；③函数y= f (x) 是周期函数，最小正周期为 1 ；④函数y= f (x) 在1 , 1上是增函数。