降落伞的选择

课程设计报告名称: 数学模型题目：降落伞的选择院系：

班级：

学号：

学生姓名：

指导教师：

设计周数： 2

成绩：

日期：2012 年12 月30日

降落伞的选择

摘要

本题模型是讨论，在费用最小的前提下，选购降落伞的问题。为了简化问题的研究，我们把物体和降落伞看作一个整体，并假设物体只受竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力。对于物体下落时进行受力分析，可以根据牛顿第二定律，可得出加速度的表达式。利用lingo软件优化求解，可以求出降落伞的最优解。又因为，物体质量是速度的增函数，即速度最大，物体的质量最大。因此，得出重力就等于阻力，也就可以求出每个三的最大载重量。从而，可以求出最少选购的费用。

关键字：整数规划载重量 lingo

目录1. 问题提出

2. 模型假设

3. 符号说明

4.问题分析

5. 模型建立

6. 模型求解

7. 参考文献

8. 附录

1.问题提出

为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如右图。

每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C

1

由伞的半径r决定，见表1；

绳索费用C

2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C

3

为200元。

降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻t的高度，见表2。

试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。如果救灾物资以每袋100kg或200kg等包装空投(每降落伞可多包捆扎空投，但不可将一包分开)，降落伞的选购方案如何？

表1

(m) 2 2.5 3 3.5 4

C

1

(元) 65 170 350 660 1000

表2

t(s) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 (m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1

2.模型假设

1.假设，物体下落的过程中，只受竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力。

2.假设，不考虑降落伞及绳索的质量，且重力加速度为常数。

3.假设，空气阻力与下落速度和伞面积成正比，比例系数恒定

4.假设，空气情况良好，降落伞垂直下落且瞬间打开。

5.假设，物体救灾物资的2000kg质量可以任意分割。

3.符号说明

空气阻力系数

降落伞的降落速度

当地的重力加速度

降落伞的每根绳索长度

绳索总长

空投总费用

第种半径降落伞空投费用

第种半径降落伞的最大载重量

第种半径降落伞下落的最大速度

第种半径的降落伞面积

第种降落伞的半径

降落伞的伞面费用

降落伞的绳索费用

固定费用

第种半径的降落伞的使用个数f 物体所承受的空气阻力

4.问题分析

根据模型需要，我们首先确定空气阻力系数k，根据题中表2：

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 由运动学公式：

可以推出如下关系式：

所以积分后可以求出：

;

将求出的k=2.95值，已知所给的质量m=300kg,g=9.8m/s2代入方程：

可以解得：

v=17.624-17.624e-0.556t;

结论：可以看出当降落伞下落到离地面不远的时候，就已经做近似匀速降落，

取最后两组数据可估算匀速时v=18。由物理知识可知这是必然的，只要高度适当，总会有一个瞬间，重力与阻力相等，并且自此以后，物体作匀速下落。

由此可得下式：

（1）

代入实验数据，由，可计算，那么

由（1）式及表1，可分别确定各种类型降落伞的最大载重量：

，

依次计算各最大载重，记入下表3：

表3

2 2.5

3 3.5 4

151.3 236.4 340.4 463.4 605.2

为了使最终落地速度不至于大于20，我们将上表数据向下取整，得到下表4，即为最终最大有效载重量：

表4

2 2.5

3 3.5 4

151 236 340 463 605

由题中“降落伞的伞面为半径为半球面，用每根长共16根绳索连接的重物m 位于球心正下方球面处”，可知，见下图1：

绳索总长，又已知绳索单位长度价格，即可计算各半径降落伞对应

的第二部分费用。

每个降落伞的费用有三部分组成：伞面费用C1，由伞半径决定（见表1）；绳索费用C2由绳索总长度决定，单价4元/，

；

固定费用C3为200元。若第i种降落伞的使用量为

那么第种降落伞总费用

，

整个空投费用，然后我们可建立整型规划模型如下：

目标函数：

min

s.t.

使用LINGO软件求解，可得以下结果：

2 2.5

3 3.5 4

0 0 6 0 0

运行结果：

Global optimal solution found at iteration: 62

Objective value: 4928.928

Variable Value Reduced Cost

X1 0.000000 445.9920

X2 0.000000 596.2400

X3 6.000000 821.4880

X4 0.000000 1176.736

X5 0.000000 1561.984

Row Slack or Surplus Dual Price

1 4928.928 -1.000000

2 40.00000 0.000000

3 0.000000 0.000000

4 0.000000 0.000000

5 6.000000 0.000000

6 0.000000 0.000000

7 0.000000 0.000000

由以上的结果可知：即只选择6个半径为3的降落伞，每个载重334，就已经满足空投需要，且总费用最小为4928.9元。