等腰梯形的辅助线作法与举例(重点班试题)
等腰梯形的常用辅助线
等腰梯形的常用辅助线等腰梯形是一种十分重要的梯形.在解等腰梯形的问题时,经常需要添加适当的辅助线,那么怎样添加等腰梯形的辅助线呢?一､ 作腰的平行线.过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线,构造出一个平行四边形和一个等腰三角形.例1如图1,在等腰梯形ABCD中,AD// BC,AB=CD/C=60° ,AD=15,BC=49求CD 的长.分析:构造三角形和平行四边形来解,常用方法是过D 作AB的平行线，把等腰梯形ABCD化为平行四边形ABED和等边三角形ECD.解:过D作DE// AB交BC于E,则四边形ABED为平行四边形.所以AD=BE=15,AB=DE.EC=BC-BE=BC-AD=49-15=34.又因为AB=CD 所以DE=CD.又/ C=60°，所以△ CDE是等边三角形，即CD=EC=34.二､作两底的垂线.过上底作下底的垂线,构造个矩形和两个全等的直角三角形.例2 在等腰梯形ABCD中,AD// BC,Z DBC=45°，高DE=10cm.求梯形的上､下底的和与面积.分析:可以依据条件画出如图2,已知DE是高,再作出另一条高AF于是有AD=FE,BF=CffiP BE=CRt匕时要求上､ 下底的和，即求BE+CF W由已知条件即求得，进而求出面积.解:过点A作AF丄BC于点F,贝U Rt△ ABF坐RtA DCE.四边形AFED是矩形，所以BF=CE,AD=FE^卩BE=CF.因为/ DBC=45° ,高DE=10cm,所以BE=10cm.AD+BC=BE+CF=20cn即上､下底的和为20cm;梯形的面积=1/2(AD+BC)x DE=1/2 x 20cm x 10cm=100cm2.三､ 延长两腰,构造出两个等腰三角形例3已知等腰梯形的周长为50cm，下底长为20cm,下底与一腰的夹角为60°,求等腰梯形的上底及腰长.分析:由于下底与一腰的夹角为60°,则可以延长两腰得到等边三角形,从而列出方程求解.解:如图3,在等腰梯形ABCD中延长两腰BA､CD 交于点E.因为/ B=Z C=60,所以/ E=60° ,即厶EBC是等边三角形.所以EB=BC=CE=20cm.因为AD// BC所以△ EAD也是等边三角形.设AE=AD=DE=x,AB=CD=y.所以有x+y=20，且x+2y+20=50.解得,x=10,y=10.即等腰梯形的上底及腰长均为10cm.四､ 作对角线的平行线.过底边的一个端点作对角线的平行线,构造出一个平行四边形和一个等腰三角形.例4如图4,等腰梯形ABCD中,AB// DC,AD=BC对角线AC 丄DB若中位线MN=8cm.求此梯形的面积.分析:由于梯形的面积等于中位线乘以高,于是可以作出高线CF由对角线AC丄DB,想到过点C作CE// DB交AB的延长线于点E,四边形BECD是平行四边形，△ ACE是等腰直角三角形,CF是斜边AE上的中线，则有AE=2CF而AE=2MN,所以梯形的面积等于中位线的平方.解:作高线CF并过点C作CE// DB交AB的延长线于点E.因为AB/ DC,AD=BC,所以四边形BECD是平行四边形.△ ACE是等腰直角三角形,CF是斜边AE上的中线，即AE=2CF.而AE=AB+BE=AB+DC=2MN所以CF=MN=8cm.梯形的面积=MN X CF=64cm2.。
最新梯形常见辅助线作法(教师版)
梯形常见辅助线作法11、平移法2（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)3［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，4BC＝49cm，求CD的长．5解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．6∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．7∴EC＝BC－BE＝BC－AD＝49－15＝34cm．8又∵AB＝CD，∴ DE＝CD．9又∵∠C＝60°，10∴△CDE是等边三角形，11即CD＝EC＝34cm．12（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)13［例2］如图,在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求14证：EF=FB15证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G16∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG17∵ACED中，AD∥CE AD=CE18∴CE∥BG且CE=BG ∴∠CEF=∠GBF 19又∵∠CFE=∠GFB20∴△ECF≌△BGF( ASA)21∴EF=FB22 AD CEFB点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形23和三角形。
24（3）梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到25同一个三角形中。
26［例3］如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，27∠C+∠B=90°，M，N分别是AD，BC的中点．28求证：MN＝1() 2BC AD29证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H ,30则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG，ED=HC31∵AB∥EG ∴∠B=∠EGF32又∵DC∥EH ∴∠C=∠EHF33则∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，△EGH是直角三角形34∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED，BF=CF ∴GF=FH 35则有EF=12GH=12(BC-BG-HC)=12(BC-AD)36（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）37[例4］求证：对角线相等的梯形是等腰梯形38已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线39求证：AB=DC40证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E 41B B则四边形ACED 是平行四边形 ∴AC=DE42 ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E ∴∠DBC=∠ACB 43 又∵BD=CA BC=CB ∴△ABC ≌△DCB(SAS) 44 ∴AB=DC45 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧Prepared on 22 November 2020梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。
一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。
例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。
解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。
二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。
例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA、CD，使它们交于E点，∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。
三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。
例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，B C=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。
解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC，DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯= 。
梯形中常见辅助线及例题
例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。
二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
【变式2】如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。
三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
等腰梯形辅助线做法
DC E
A
B
6、（P59 6题）如图，在直角梯形ABCD中， AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以 点D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、CE， 则△ADE的面积是多少？
E
A
D
F
BH C
平移对角线
三、过顶点作一条与对角线平行的平行线
A
D
O
1B、当AC⊥BD时，ΔBED是什C么三角形？ E 2、当AC =BD时，ΔBED又是什么三角形？ 3、ΔBED与梯形ABCD的面积关系如何?
3、如图，等腰梯形ABCD面积为200cm²， AB∥CD，AD=BC，且AC⊥BD，求梯形的高？
D
C
A
MB
N
1、（优化P59 5题）活动课上，老师让学生 们做一个对角线互相垂直的等腰梯形的风筝， 其面积为450cm²，则两条对角线所用的竹条 至少需要多长？
D
C
A
B
E
2、（优化P61 9题）如图，已知AB∥CD， AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形 ABCD的面积是多少？
求证：MN= 1（AB-CD） 2
DM
C
AE
N
F
B
作高线
二、作梯形的高线
A
D
BE
F
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、(优化P59 2题)等腰梯形ABCD中，AB∥DC， AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积 是多少？
D
C
AE
F
B
2、（优化P59 8题）等腰梯形的上底，下底和腰 长分别为4cm，10cm，6cm，则等腰梯形的下底 角为多少度？
最新-八年级数学下册梯形辅助线的六种做法人教新课标版精品
B
C
AB=AD=2，∠ A=60°， BC=4，求 CD的长．
12、 已知：如图，在梯形 ABCD 中， ∠A+∠D=90°， M、 N 是 BC， AD 的中点。求证： MN=1 ( AD BC ) 。 2
B
N
三、从小底的两端向大底引垂线。
A
M
13、 如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB AC ， B 45 ，AD 求 DC 的长．
如图，在梯形 ABCD中， AD∥BC， AB CD ．若 AC⊥BD，
AD+B=C10 3 ， 且 ABC 60 ， 求 CD的长．
B
A
D
7、 已知在梯形 ABCD中， AD∥ BC，若两底 AD、BC的长分别为 2、8，两 B 条对角线 BD=6， AC=8， 求梯形的面积。
8、 已知：如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，AC=D。B 求证： AB=D。C
梯形辅助线的做法
一、平移一条对角线。
1、 如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB＝CD， AC⊥ BD， AD＝ 6,
BC＝ 8, 则梯形的高为
。
A
D
2、 如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC， AC⊥BD， AC=8，
DB=6，则此梯形的高为
。
B
C
3、 如图，在梯形 ABCD中，AD∥ BC，AB＝ CD，对角线 AC⊥ BD，BD=6，则梯形的高为
2 ，BC 4 2 ，
A
C D
D
B
14、 如图，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B 45 ，∠ D 120 ，CD 4 3cm ，求 AB A
的长．
B
梯形常见辅助线
梯形中常见的几种辅助线作法一、跟腰相关的辅助线（1）在梯形内部平移一腰例1（如图1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。
求证：B= C(2)梯形内平移两腰例3（如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C(3)延长两腰例4（如图4）在梯形ABCD中,∠B=∠C，AD∥BC。
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
练习、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交于点F。
（1）求证：BF=AD+CF。
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。
二、作梯形的高,梯形转化成矩形与直角三角形例1：如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，BC=11；求梯形ABCD的面积．例2：已知：梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD，AD=1，CD= 22，求：BE练习、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．（1）证明：EF＝CF；（2）当AE：AD＝13时，求EF的长．FEDCBA三、利用中点（1）连接梯形一顶点及一腰的中点。
例1：在梯形ABCD中，AD∥BC, E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF=(AD+BC)（2）过一腰的中点作另一腰的平行线。
例2：:在梯形ABCD中，AD∥BC, E为CD的中点，求证：S=(3)作中位线例3：在梯形ABCD中，AB∥CD,M为AD的中点，AB+CD=BC求证：BM⊥CM练习、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC；（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．求DFFC的值．四、平移对角线,将梯形转化成：平行四边形、三角形.A 、把上下底之和，两对角线转移到同一个三角形BDE 中B 、△ABD 与△CDE 面积相等 S 梯形ABCD ＝S △BDEC 、 BD ⊥AC 推出BD ⊥DE 得到直角三角形BDE例1：如图所示，在梯形ABCD 中，上底AD ＝1cm ，对角线BD ⊥AC ，且BD ＝3cm ，AC ＝4cm. 求下底BC 以及梯形的高。
初二数学梯形中常用的辅助线例题(修改版)
梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图12、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
图2【变式1】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC⊥BD。
图3【变式2】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
图4二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
图5【变式3】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB ⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。
图6四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
梯形辅助线的常见作法
例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
图1析解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD 转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。
在△BCM 中，BM=AD=4，CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
图2析解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点所以)CH BG BC (21GH 21EF --==3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
图3析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BCE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10。
等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而ACE ，于是AC ⊥BD 。
梯形常用辅助线的做法
梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作 ,交AB于E.∵ AB平行于CD,且 ,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又 ,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵ ,∴∴是直角三角形,∵ , ,∴ .∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴ .变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。
在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： .分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵ ,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
图5析解：延长BA、CD交于点E。
小学奥数常见辅助线添加技巧9法
小学奥数常见辅助线添加技巧9法技巧1 同形添补例1一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次是2厘米、3厘米、3厘米、1厘米（如图1）。
求这个六边形的周长。
练习1如图1-1，已知等腰梯形的两个底角都是60°，一条腰长15厘米，下底长25厘米，求它的周长。
练习2如图1-2，六边形的六个内角都是120°，其中四条边的长度分别是8厘米、20厘米、15厘米、18厘米，求这个六边形的周长。
练习3如图1-3，四边形中，AD＝3厘米，BC＝10厘米，∠B＝∠D＝90°。
∠C＝45°，求这个四边形的周长。
（等腰直角三角形的底长大约是腰长的1.4倍）例2如图2，已知四边形ABCD的边BC＝7厘米，AD＝3厘米，∠B＝∠D＝90°，∠C ＝45°，求这个四边形的面积。
练习1 如图2-1所示，已知四边形ABCD的两条边和三个角，求这个四边形的面积。
练习2 如图2-2所示，已知四边形ABCD的两条边和三个角，求这个四边形的面积。
（等腰直角三角形的底长大约是腰长的1.4倍）练习3 如图2-3所示，已知四边形ABCD的两条边和三个角，求这个四边形的面积。
（等腰直角三角形的底长大约是腰长的1.4倍）例3 如图3，已知四边形ABCD的边AB＝5厘米，AD＝4厘米，∠C＝67.5°，∠A＝90°，∠D＝135°，BH与CD垂直，BH＝7厘米。
求四边形ABCD的面积。
练习1 如图3-1，已知直角梯形的底角为45°，上底为8厘米，高为10厘米，求它的面积。
练习2 如图3-2，已知四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝67.5°，∠D＝135°。
BH与CD垂直，AB＝8厘米，AD＝6厘米，BH＝10厘米。
求四边形ABCD的面积。
练习3 如图3-3，五边形ABCDE中，AB＝7厘米，CD＝16厘米，DE＝10厘米，∠A＝∠C＝∠E＝90°，∠D＝135°，求五边形ABCDE的面积。
20等腰梯形的判定如何作梯形中的辅助线
如何作梯形中的辅助线解决梯形问题的基本思想是通过添加辅助线,把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊的图形中去研究．以下举例说明．一、作梯形的高将梯形转化为直角三角形和矩形例1 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AB=6，AD=8，BC=14． 求∠B 的度数．解析 作AE ⊥BC ， DF ⊥BC ．在Rt △EAB 中，易求得BE=3∠B 为60º．注 有关求角的问题往往构造直角三角形，在直角三角形中求解．二、作梯形腰的平行线转化为平行四边形和三角形例2 如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B+∠C=90º，E 、F 分别是AD 、BC 的中点 求证：EF=21（BC-AD ） 解析 作EG //AB 交BC 于点G ，EH//DC 交BC 于点H ，易证EF 是Rt △EGH 的中线．因此有EF=21（BC-AD ） 注 考虑到∠B+∠C=90三、作梯形对角线的平行线构造平行四边形和以对角线为边的三角形例3. 如图3，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的中位线长是A ．10B ．212C ．152D ．12 解析 作DE//AC 交BC 的延长线于点E ,所以四边形ACED 是平行四边形，所以AD=CE ．又因AC ⊥BD ，所以DE ⊥BD ，在Rt △BED 中，易求BE 的长是22912 =15．则此梯形的中位线长是152，故选C ． 注 对角线互相垂直时，往往作一对角线的平行线，构造直角三角形，如图3． 四 、连结两腰的中点转化为梯形的两底问题例4 如图4，在梯形ABCD 中，AD //BC 点E 是腰AB 的中点， 且BC+AD=CD ，求证：EC 平分∠BCD 解析 取DC 的中点F ，连结EF ，因EF=21（BC+AD ）=21CD=CF ，所以 ∠FEC=∠ECF ，又EF //BC 所以 ∠FEC=∠ECB ．所以∠ECF=∠ECB ．即EC 平分∠BCDFA BCD E图4注 若题目中有一腰的中点时，这类问题往往作梯形的中位线，利用梯形的中位线的性质 解题．例5 同例4解析 易证△BEF ≌△AED,得AD=FB,FE=DE.又CD=BC+AD=BC+FB,得到EC 平分∠BCD 六、过顶点和对角线中点的直线构造全等的三角形和中位线例 6 如图6，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 分别为对角线DB 与AC 的中点，求证：EF=21(BC-AD)． 解析 易证△BGE ≌△DAE ，得AD=BG ，AE=EG ，得EF 是△AGC 的中位线，EF=21GC= 21（BC-BG ） =21（BC-AD)．六、延长两腰相交构造三角形例7 如图7，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ⊥BA AD=DC=5,求BC 的长解析 延长BA 、CD 交于点E ，由AD //BC ，AD=DC ，可得CA 平分∠BCD ，得AB=AE ，得BC=2AD=10．注C 图7。
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等腰梯形的辅助线
常见的梯形辅助线口诀为：梯形问题巧转化，变为△和□，要想尽快解决好，添加辅助线最重要；平移两腰作出高，延长两腰也是关键；记着平移对角线，上下底和差就出现；如果出现腰中点，就把中位线细心连；上述方法不奏效，过中点旋转成全等；灵活添加辅助线，帮你度过梯形难关；想要易解梯形题，还得注意特题特解；注意梯形割与补，巧变成为□和△，基本图形如下：
一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点. 1.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC ⊥BD,梯形的高CF 为10， 求梯形ABCD 的面积。
2．已知，如图，等腰梯形ABCD 中，
，
，
，
于E ，求
的长。
二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰
使它们交于一点。
３.如图，等腰梯形ABCD 两底之差等于一腰的长，那么这个梯形 较小的一个内角是( )
A.9O °
B.6O °
C.45°
D.30°
４.已知：如图，等腰梯形ABCD 中，
，
，
，
，求
的度数。
５.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ．AD<BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC 。
求证：∠B=∠C 。
E D C B A H G
F E D C B A F E
D
C
A
三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。
６.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD 平分∠ABC ，求梯形的周长。
７.已知：在四边形ABCD 中，有
，
，。
求证：四边形ABCD 为等腰
梯形。
四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
８.已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm ， 腰长是4cm ，则下底是 。
９．如图，在梯形ABCD 中，已知，，，，求梯
形ABCD 的面积。
五.连接梯形一顶点及一腰的中点。
1０.在梯形ABCD 中，AD ∥BC, E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 求证：EF=1/2 (AD+BC)
E
D
C
B A F
E D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
六.过一腰的中点作另一腰的平行线。
1１.在梯形ABCD 中，AD ∥BC, E 为CD 的中点， 求证：S △ABE=1/2S 梯形ABCD
七.作中位线
１２.在梯形ABCD 中，AB ∥CD,M 为AD 的中点，AB+CD=BC,求证：BM ⊥CM
１３．已知，如图，在直角梯形ABCD 中，，
，M 位CD 的中点，求证：。
N M E
D
C
B
A
N M
D
C
B
A。