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Q z P Q z P
取Q 零点
叠加得P 点总矢势
Q Q 0 I P 0 I 0 I [ Az ( P) Az (Q)] ln ln ln ln 2 P P 2 P 2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
由B A和 A 0 A的表达式
电流元的磁矢势 任意闭合回路的磁矢势 例题9 例题10 例题11
2005.3
p112式（2.55) 式（2.56)
北京大学物理学院王稼军编
取闭合环路L
电流元的磁矢势
设磁矢势a与电流元平行 （因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范A=0 的结果）——a只有z分量
S
B d S
S1
B d S
S2
磁通量仅由 的共同边界线所决定
可能找到一个矢量A，它沿L 作线积分等于通过S的通量
A dl B dS
L S
(a)
数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，
对于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间 的分布也构成矢量场，简称矢势
0 Idl sin 0 Idl sin d B d B1 d S 1 dS1 cos 1 dS 2 2 4 4 r r
1
0 Idl sin 0 Idl sin d B d B 2 d S 2 dS2 cos 2 dS 2 2 4 r 4 r
p145 2-20(3)、2－21（3）（不能用这种方法求）
北京大学物理学院王稼军编
2005.3
描述同一个磁感应强度B
规范变换 A' A ：
类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 通常选库仑规范:
2005.3
A=0
北京大学物理学院王稼军编
找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式
两种办法
利用对称性由 A dl B dS得出
L S
普通物理 的方法 电动力学的做法
P
北京大学物理学院王稼军编
一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
0 I Q [ Az ( P) Az (Q)] ln 2 P 两根无限长载流直导线的磁矢势 矢量叠加（如图） 0 I ln [ Az ( P ) A (Q )] 2 0 I [ Az ( P ) A (Q )] 2 ln ＋
A dl A dl A dl A dl A dl A dl A dl
L La Lb LC Ld
Q
Lb
Ld
[ Az ( P) Az (Q)]l l
求磁通量
2005.3
Q
P
0 Il d 0 Il Q Bd 2 ln P 2
0 Idl1dl / 2 0 Idl1dl 0 Idl1dl d B sind 4z0 cos0 4r0 4z0
0
0 Idl1dl sind d B r 2 4
0
B dl a dl az ( p)dl
S
2005.3
例题10：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在 界面上均匀分布的电流I，求磁矢势 r<R：导线内部P点，取Q点在导体轴线上，取 回路如图，通过回路的磁通量 0 0 Il 0 0 Ir 2l B l Bdr rdr 2 r r 2R 4R 2
0 Ir 2 [ Az (r ) Az (0)] Az (r ) ,r R 2 4R
r>R：导线外部同例题9，取Q点在导体表面，外
部任意点P与Q点的矢势差为
r R, Az ( R)
0 I 4
0 I r 0 I 0 I r 1 [ Az (r ) Az ( R)] ln [ln ], r R 2 R 4 2 R 2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理的微分形式
利用数学的高斯定理
B B d S 0
S
BdV 0
V
B 0
说明恒磁场的散度为零——无源场
2005.3
北京大学物理学院王稼军编
磁矢势
B d S 0
S
B 0 无源场
单个电流元Idl的磁感应线：以dl方向为轴线的一 系列同心圆，圆周上B 处处相等；
0 Idl sin dB 2 4 r
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
考察任一磁感应管(正截面为)， 取任意闭合曲面S，磁感应管 穿入S一次，穿出一次。
dS1 cos1 dS2 cos 2 dS
2
d B d B1 d B2 0
结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
推广到任意载流回路的磁场
一个电流元产生的磁场可看成由许多磁 感应管组成
有的穿入又穿出，有上述结论 有的没穿过S，磁通量为零
任意载流回路——由许多电流元串联而 成，由叠加原理得 结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总 磁通量恒等于零。
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
根据矢量分析
对任意矢量A有
( A) 0
B A
其实标势也不唯 一，零点可选
矢势的特点
满足B A的 A不唯一
如：对于任意标量场的梯度，有
0
( A ) A A B
z L
2005.3
S
北京大学物理学院王稼军编
？
计算通过L的通量
场点P和回路L在＝0 的平面内 通过L的磁感应通量为：
P点坐标 0、 z0 ： 0、
d处的z z0
0 Idl1 sin 2 r z 0 / cos , z 0 tan , d z 0 d / cos2 dB 4 r
磁场的“高斯定理” 磁矢势
磁通量
任意磁场，磁通量定义为
B B d S
S
磁感应线的特点：
环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远
B B d S 0
S
2005.3
磁高斯定理 无源场
北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理
通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等 于Biblioteka Baidu 证明：
B j 有旋场
B dl I
0 L L内
非保守场一般 不引入标势
然而磁场的主要特征：无源（无散）—— 磁高斯定理 其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理表明：对任意闭合面
S1 S2
B d S B d S B d S 0
消去dl
L
北京大学物理学院王稼军编
0 Idl1 az ( p) 4r0
a ( p)与dl1同向
0 Idl1 a ( p) 4r0
上式为电流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式 ——矢势表达式不唯一 任意闭合载流回路L 在空间某点的矢势
1
电流在导 线截面上 均匀分布
0 I A( p) 4
求矢势小结
A dl B dS
L S
(a)
依据公式(a)求矢势的基本步骤
根据对称性，假设一个矢势的方向 取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出 积分号，或积分好算） 算出通过回路的磁通量 得出A 一个表达式
以上几个例子（例题11自己看）都属于强对称性 场，实际上是已知B求A，也可以直接根据电流 分布求矢势——更多的问题在电动力学中学习 相关的习题很少，掌握这种方法
L La Lb LC Ld
以电流元为轴,取柱坐 标（、、z )
a dl a dl a dl a dl a dl a dl a ( p)dl
z Lb
La a, Lc a, Ld
只有这一段 积分有贡献
a dl a ( p)dl B dl
dl1 ) r ( L1
电流回路
假如电流在载流截面上不均匀分布
0 A( p) 4
2005.3
V
j (r' )dV' r
北京大学物理学院王稼军编
矢势公式的应用举例
例题9：一对平行无限长直导线，载 有等量反向电流I
先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）
• • • • 设矢势A只有z分量 无限长——Az与z无关 轴对称——Az与无关 Az只是的函数： Az＝ Az() 取回路
取Q 零点
叠加得P 点总矢势
Q Q 0 I P 0 I 0 I [ Az ( P) Az (Q)] ln ln ln ln 2 P P 2 P 2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
由B A和 A 0 A的表达式
电流元的磁矢势 任意闭合回路的磁矢势 例题9 例题10 例题11
2005.3
p112式（2.55) 式（2.56)
北京大学物理学院王稼军编
取闭合环路L
电流元的磁矢势
设磁矢势a与电流元平行 （因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范A=0 的结果）——a只有z分量
S
B d S
S1
B d S
S2
磁通量仅由 的共同边界线所决定
可能找到一个矢量A，它沿L 作线积分等于通过S的通量
A dl B dS
L S
(a)
数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，
对于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间 的分布也构成矢量场，简称矢势
0 Idl sin 0 Idl sin d B d B1 d S 1 dS1 cos 1 dS 2 2 4 4 r r
1
0 Idl sin 0 Idl sin d B d B 2 d S 2 dS2 cos 2 dS 2 2 4 r 4 r
p145 2-20(3)、2－21（3）（不能用这种方法求）
北京大学物理学院王稼军编
2005.3
描述同一个磁感应强度B
规范变换 A' A ：
类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 通常选库仑规范:
2005.3
A=0
北京大学物理学院王稼军编
找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式
两种办法
利用对称性由 A dl B dS得出
L S
普通物理 的方法 电动力学的做法
P
北京大学物理学院王稼军编
一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
0 I Q [ Az ( P) Az (Q)] ln 2 P 两根无限长载流直导线的磁矢势 矢量叠加（如图） 0 I ln [ Az ( P ) A (Q )] 2 0 I [ Az ( P ) A (Q )] 2 ln ＋
A dl A dl A dl A dl A dl A dl A dl
L La Lb LC Ld
Q
Lb
Ld
[ Az ( P) Az (Q)]l l
求磁通量
2005.3
Q
P
0 Il d 0 Il Q Bd 2 ln P 2
0 Idl1dl / 2 0 Idl1dl 0 Idl1dl d B sind 4z0 cos0 4r0 4z0
0
0 Idl1dl sind d B r 2 4
0
B dl a dl az ( p)dl
S
2005.3
例题10：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在 界面上均匀分布的电流I，求磁矢势 r<R：导线内部P点，取Q点在导体轴线上，取 回路如图，通过回路的磁通量 0 0 Il 0 0 Ir 2l B l Bdr rdr 2 r r 2R 4R 2
0 Ir 2 [ Az (r ) Az (0)] Az (r ) ,r R 2 4R
r>R：导线外部同例题9，取Q点在导体表面，外
部任意点P与Q点的矢势差为
r R, Az ( R)
0 I 4
0 I r 0 I 0 I r 1 [ Az (r ) Az ( R)] ln [ln ], r R 2 R 4 2 R 2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理的微分形式
利用数学的高斯定理
B B d S 0
S
BdV 0
V
B 0
说明恒磁场的散度为零——无源场
2005.3
北京大学物理学院王稼军编
磁矢势
B d S 0
S
B 0 无源场
单个电流元Idl的磁感应线：以dl方向为轴线的一 系列同心圆，圆周上B 处处相等；
0 Idl sin dB 2 4 r
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
考察任一磁感应管(正截面为)， 取任意闭合曲面S，磁感应管 穿入S一次，穿出一次。
dS1 cos1 dS2 cos 2 dS
2
d B d B1 d B2 0
结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
推广到任意载流回路的磁场
一个电流元产生的磁场可看成由许多磁 感应管组成
有的穿入又穿出，有上述结论 有的没穿过S，磁通量为零
任意载流回路——由许多电流元串联而 成，由叠加原理得 结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总 磁通量恒等于零。
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
根据矢量分析
对任意矢量A有
( A) 0
B A
其实标势也不唯 一，零点可选
矢势的特点
满足B A的 A不唯一
如：对于任意标量场的梯度，有
0
( A ) A A B
z L
2005.3
S
北京大学物理学院王稼军编
？
计算通过L的通量
场点P和回路L在＝0 的平面内 通过L的磁感应通量为：
P点坐标 0、 z0 ： 0、
d处的z z0
0 Idl1 sin 2 r z 0 / cos , z 0 tan , d z 0 d / cos2 dB 4 r
磁场的“高斯定理” 磁矢势
磁通量
任意磁场，磁通量定义为
B B d S
S
磁感应线的特点：
环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远
B B d S 0
S
2005.3
磁高斯定理 无源场
北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理
通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等 于Biblioteka Baidu 证明：
B j 有旋场
B dl I
0 L L内
非保守场一般 不引入标势
然而磁场的主要特征：无源（无散）—— 磁高斯定理 其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理表明：对任意闭合面
S1 S2
B d S B d S B d S 0
消去dl
L
北京大学物理学院王稼军编
0 Idl1 az ( p) 4r0
a ( p)与dl1同向
0 Idl1 a ( p) 4r0
上式为电流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式 ——矢势表达式不唯一 任意闭合载流回路L 在空间某点的矢势
1
电流在导 线截面上 均匀分布
0 I A( p) 4
求矢势小结
A dl B dS
L S
(a)
依据公式(a)求矢势的基本步骤
根据对称性，假设一个矢势的方向 取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出 积分号，或积分好算） 算出通过回路的磁通量 得出A 一个表达式
以上几个例子（例题11自己看）都属于强对称性 场，实际上是已知B求A，也可以直接根据电流 分布求矢势——更多的问题在电动力学中学习 相关的习题很少，掌握这种方法
L La Lb LC Ld
以电流元为轴,取柱坐 标（、、z )
a dl a dl a dl a dl a dl a dl a ( p)dl
z Lb
La a, Lc a, Ld
只有这一段 积分有贡献
a dl a ( p)dl B dl
dl1 ) r ( L1
电流回路
假如电流在载流截面上不均匀分布
0 A( p) 4
2005.3
V
j (r' )dV' r
北京大学物理学院王稼军编
矢势公式的应用举例
例题9：一对平行无限长直导线，载 有等量反向电流I
先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）
• • • • 设矢势A只有z分量 无限长——Az与z无关 轴对称——Az与无关 Az只是的函数： Az＝ Az() 取回路