函数连续性和间断点汇总
(整理)函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。
连续性间断点,连续函数的运算
无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x
函数的连续性与间断点
。
.
O
x
10
例3 函数
x − 1, y = f ( x) = 0, x + 1,
x → −0 x → +0 x → −0
x < 0, x = 0, x > 0.
y
lim f ( x ) = lim ( x − 1) = −1
。
１
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = +1
18
1 − x 2n ⋅ x 的连续性，若有间断点 例7 讨论函数 f ( x ) = lim 的连续性， 2n n→∞ 1 + x
判断其类型。 判断其类型。 解 Q lim x 2 n
n→∞
0, = 1, ∞,
1, x <1 2n 1− x x = 1, lim = 0, 2n n →∞ 1 + x − 1, x >1
x → +0
O。
－１
•
x
x 不存在。 所以 lim f ( x )不存在。 = 0 称为 x→0
跳跃间断点。 该函数的跳跃间断点 该函数的跳跃间断点。
11
例4 正切函数 y = tan x 在 x =
π
处没有定义， 处没有定义，
2 π 的间断点。 所以 x = 是函数 y = tan x 的间断点。 2
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x Q cos x + ≤1 2 ∆x ∴ ∆y = sin( x + ∆x ) − sin x ≤ 2 sin . 2 又因为当α ≠ 0 时， sinα < α
函数的连续性与间断点
第 一 章 函 数 与 极 限
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
( 3) 虽然在 x x0 有定义 , 且 lim f ( x ) 存在,
x x0
但 lim f ( x ) f ( x0 );
x x0
则 f ( x ) 在 x0 不连续, x0 称为 f ( x ) 的不连续点(间断点).
高 等 数 学
思考与练习
3. 确定函数 f ( x )
第 一 章 函 数 与 极 限
1 1 e
x 1 x
的间断点的类型 .
解
间断点为 x 0 , x 1.
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
因为 lim f ( x ) , 所以 x 0 为无穷间断点 ; x 0
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例1
第 一 章 函 数 与 极 限
1 x sin , 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在 x 0处
连续.
证
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
1 因为 lim x sin 0, x 0 x
又 f (0) 0,
由定义2知
lim f ( x ) f (0),
x 0
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续.
上一张
下一张
返 回
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例2 证明函数 y sinx在 (,)内每一点连续 . 证
第 一 章 函 数 与 极 限
任取 x ( ,),
y sin( x x ) sin x 2 sin
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在高等数学中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解这部分知识对于后续学习微积分等内容有着至关重要的作用。
接下来，我们将通过一些例题来深入探讨函数的连续性与间断点，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，并且当＄x$ 趋近于＄x_0$ 时，函数值＄f(x)＄趋近于＄f(x_0)＄，则称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言可以表示为：＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄二、函数连续性的条件函数在某点连续必须满足以下三个条件：1、函数在该点有定义；2、函数在该点的极限存在；3、函数在该点的极限值等于函数值。
三、函数间断点的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处不满足连续的条件，则称点＄x_0$ 为函数＄f(x)＄的间断点。
四、间断点的类型间断点主要分为以下三类：1、第一类间断点：左右极限都存在的间断点。
可去间断点：左右极限相等，但不等于函数在该点的函数值，或者函数在该点无定义。
跳跃间断点：左右极限存在但不相等。
2、第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点。
无穷间断点：函数在该点的极限为无穷大。
振荡间断点：函数在该点的极限不存在且函数值在某两个值之间来回振荡。
五、例题解析例 1：讨论函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
首先，当＄x ＼neq 1$ 时，＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼frac{（x ＋ 1)（x 1)｝｛x 1} ＝ x ＋ 1$而当＄x ＝ 1$ 时，函数在该点无定义。
＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} （x ＋ 1) ＝ 2$由于函数在＄x ＝ 1$ 处无定义，且极限存在为 2，所以＄x ＝1$ 为可去间断点。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 2, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
函数的连续性与间断点
设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，如果 函数 f (x) 在点 x0 满足下列三种情况之一，则点 x0 为
f (x) 的间断点：
①、在 x0 处没有定义；
②、在 x0 处有定义，但 lim f (x) 不存在；
xx0
③、在 x0 处有定义，且 lim f (x) 存在，但
xx0
例3 证明函数 y sin x 在 (, ) 内连续 .
证 x (, )
y sin(x x) sin x
2sin
x 2
cos(x
x 2
)
y
2
sin
x 2
cos(x
x 2
)
2
x 2
1
x
0
(x 0)
即
lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 (, ) 内连续 .
同样可证：函数 y cos x 在 (, ) 内连续 .
五、函数的间断点
定义5 如果函数 f (x) 在点 x0 不连续， 则称 f (x)
在点 x0 处间断， 并称点 x0为函数 f (x) 的间断点或
不连续点 .
1
o
x
1
解 因为 lim f (x) lim(x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
但
f (0 0) f (0 0)
所以是跳跃间断点 .
第二类间断点
如果函数 f (x) 在 x0 的左、 右极限至少有一个 不存在， 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点 .
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解函数的连续性和间断点对于解决许多数学问题都有着至关重要的作用。
下面我们将通过一些例题来深入探讨这一概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$的某个邻域内有定义，并且当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)＄的极限等于函数在$x_0$处的函数值，即$＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄，那么我们就说函数$f(x)＄在点$x_0$处连续。
通俗地说，函数在某一点连续，意味着在这一点附近，函数的图像没有“断裂”。
二、函数间断点的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$处不满足连续的条件，那么我们就称点$x_0$为函数$f(x)＄的间断点。
间断点可以分为以下几种类型：1、可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数在该点无定义，或者函数在该点的函数值与极限值不相等。
例如，函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，在$x ＝ 1$处无定义，但$＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼lim_{x ＼to 1} （x ＋ 1)＝ 2$，所以$x ＝ 1$是可去间断点。
2、跳跃间断点：函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
比如，函数$f(x) ＝＼begin{cases} 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ 2, ＆ x ＼geq 0＼end{cases}＄，在$x ＝ 0$处，左极限为$1$，右极限为$2$，左右极限不相等，所以$x ＝ 0$是跳跃间断点。
3、无穷间断点：函数在该点的极限为无穷大。
例如，函数$f(x) ＝＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处的极限为无穷大，所以$x ＝ 0$是无穷间断点。
4、振荡间断点：函数在该点的极限不存在，且函数值在某个区间内来回振荡。
比如，函数$f(x) ＝＼sin ＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处，极限不存在，函数值在$－1$和$1$之间来回振荡，所以$x ＝0$是振荡间断点。
高等数学 第1章 第九节 函数的连续性与间断点
有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3） 虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续， 而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证： 设 x (,),
x x 当 有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数 判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,
4函数的连续性与间断点+总结
§1.1 映射与函数
函数与极限
§1.2 §1.3 §1.4 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9 §1.10
数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 §1.5极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性与间断点 连续函数运算与初等函数连续性 闭区间上连续函数的性质
极限概念, 无穷小与极限的关系, 极限运算法则, 两个重要极限, 连续概念, 初等函数的连续性, 间断点及其分类。
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则有下列情 形之一： 函数f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件: 无 定义; (1) f(x)在点x0处 有
( 2) 函数 lim f ( x )存在 (2) 在 ; 虽有定义 , 但
( 3) 函数 lim f ( x ) (3) 在f ( x虽有定义 ,且 0 ).
2
例1：求 lim
x 3
x 3 2 x 9
P66 例3
ln(1 x ) . 例2：求 lim x 0 x
x a 例3：求 lim 1. x 0 x
解 原式 lim ln(1 x ) ln[lim(1 x ) ] ln e 1. x 0 x 0 P68 例7
三角函数的和差化积公式
sin sin 2 sin
2 2
2
cos cos
2
sin sin 2 sin
2
2
cos cos 2 cos
cos
cos cos 2 sin
2
sin
2
二、函数的间断点
o
x
称x 0为函数的跳跃间断点 . ∴
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种数学问题，特别是涉及到函数的性质和极限的问题，具有关键作用。
下面我们将通过一些例题来深入探讨函数的连续性与间断点，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数对应的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄二、函数连续性的条件1、函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处有定义。
2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在。
3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄三、间断点的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处不满足上述连续性的条件，那么就称点＄x_0$ 为函数＄f(x)＄的间断点。
四、间断点的类型1、可去间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，或者函数在该点无定义。
例如，函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处无定义，但＄＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝ 2$ ，所以＄x ＝ 1$ 是可去间断点。
2、跳跃间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在，但不相等。
比如，函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ x 1, ＆ x＼geq 0 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 0$ 处，左极限为＄1$ ，右极限为＄－1$ ，所以＄x ＝ 0$ 是跳跃间断点。
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
（1）如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，并且满足，则称函数y=f（x）在点x=x0处连续；否则称y=f（x）在点x=x0处不连续，或间断点。
（2）如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x）,高考语文，如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有，在右端点x=b处有，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
函数的连续性的特点：
（1）f（x）在x0处有定义；
（2）f（x）在x0处的极限存在；
（3）f（x）在点x0处的极限等于函数值。
三大特点，缺一不可。
常用结论：
如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
【考研数学】1.12函数连续性与间断点笔记小结
第一章 函数与极限第八节 函数连续性与间断点主讲 武xx 教授一、函数的连续性定义（连续） ,0lim 0=∆→∆y x 或),()(lim 00x f x f x x =→)(x f 0x 则称在处连续.左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→ 连续⇔左连续且右连续)(x f 在区间上连续 ；若【例1】试证：x sin ),(+∞-∞在区间上连续.二、函数的间断点)(x f 0x 在处连续)(x f 0x 1）在有定义2）)(lim 0x f x x →存在3）)()(lim 00x f x f x x =→间断点)(x f 0x 在某去心邻域有定义间断点分类：第一类间断点：1）可去间断点:)0()0(00+=-x f x f 2）跳跃间断点:)0()0(00+≠-x f x f （左、右极限都存在）第二类间断点（左、右极限至少有一个不存在）【例2】判断下列函数的间断点0=x 的类型xx x f sin )()1=（可去）x x f sgn )()2= （跳跃）xx f 1sin )()3=（振荡）21)()4x x f = （无穷）内容小结)()(lim 00x f x f x x =→0)]()([lim 000=-∆+→∆x f x x f x )()()(000+-==x f x f x f 左连续右连续)(.2x f 0x 第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(.1x f 0x 在点连续的等价形式作业P61：3; 4; 5；6..。
1-8函数的间断点与连续性
⎧∆x可正可负，但不为0 ⎨ ⎩ ∆y可正可负，但可为0
例：y = c
⇒ ∆y = 0
3
从几 何 上 看： （ 图 ）
y = f ( x)
lijuan
y
f ( x0 + ∆x)
当 ∆ x → 0时 ，
∆y
f ( x0 )
∆y → 0
o
∆x x 0 x0 + ∆x
x
4
例：设函数y = x ，当x0 = 2, ∆x = 0.01时，函数的
x →0
在该点连续
2 lim f ( x ) = lim x =0 − −
x →0
� o
∴ 函数在 x = 0处不连续，为可去间断点。
x
可改变定义，令：f (0) = 0，则可在x = 0处连续
17
⎧ x2 x <1 例、讨论函数f ( x) = ⎨ 的连续性 ⎩ln x + 1 x > 1
lijuan
lijuan
⎧ tan x = 0 ⇒ x = kπ （k = 0, ±1, ±2,...） 解： ⎨ ⎩ tan x → ∞ ⇒ x = kπ + π
x (1)当x = 0时，lim x → 0 tan x
2 = 1, 但在x = 0处无定义，
∴ x = 0为可去间断点， 补充定义：f (0) = 1
5
反之：曲线在x0处不连续，如图: 则当∆x → 0时, ∆y → 0
lijuan
y
∆y
o
x0
x0 + ∆x
x
6
连续性的定义：
lijuan
设函数y = f ( x)在x0的某邻域内有定义，若在x0处， 当∆x = x − x0 → 0时， 相应的∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) → 0，
函数连续性定义和间断点
,讨论在x=0处的连续性
解:
则称 为函数 的跳跃间断点
如果 在 点存在左、右极限，但
例4：
2.跳跃间断点
解
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断 的第二类间断点
函数 在 点的左、右极限至少有一个不存在，
例5：
处的连续性
在
讨论函数
解
例6
例7 解
所以
性质5：（反函数的连续性） 连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续 且严格单调递增（递减）的函数.
初等函数的连续性
定理2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
例如,
定理1：基本初等函数在定义域内是连续的.
故
01
为跳跃间断点.
02
解: 间断点 备用题 确定函数 间断点的类型. 为无穷间断点;
介值定理 .
02
最值定理 ;
例3. 设函数
03
零点定理 ;
提示:
1．当
时，
较
等价无穷小量 (B) 同阶无穷小量 (C) 低阶无穷小量 (D) 高阶无穷小量
是 （ ）
课堂测验
下列各式中正确的是 （ ）
3
C
2
B
4
D
A
3．无穷小量是（ ） A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以零为极限的一个变量 D 数零
间断的演示
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点
无穷间断点 震荡间断点
间断的演示
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
无穷间断点 震荡间断点
间断的演示
●
●
高数：函数的连续性与间断点
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
continue
若
在某区间上每一点都连续 ,
同样可证: 函数
在
内连续 .
在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在 ,
但
不பைடு நூலகம்续 :
设
在点
的某去心邻域内有定义 ,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
为其无穷间断点 .
为其振荡间断点 .
为可去间断点 .
例如:
显然
为其可去间断点 .
(4)
(5)
为其跳跃间断点 .
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点
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连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 .
例如,有理函数在区间 (?? ,?? )内是连续的 .
二、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x 0处有定义; (2) lim f ( x )存在; x? x0
2 y? 2 x
1
o1
x
解 ? f (1) ? 1,
f (1 ? 0) ? 2, f (1 ? 0) ? 2,
? lim f ( x ) ? 2 ? f (1), x? 1
? x ? 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义 , 则可使其变为连续点 .
如例5中, 令 f (1) ? 2,
x? 0?
x ? 0?
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x ? 0处不连续.
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数 ,叫做在该区间上 的连续函数 ,或者说函数在该区间上连续 .
如果函数在开区间 (a,b)内连续, 并且在左端点 x ? a处右连续, 在右端点 x ? b处左连续, 则称
?y
?y
?x
?x
0 x0 x0 ? ?x x 0 x0 x0 ? ?x x
2.连续的定义
定义 1
设函数
f
(
x
)在U ?
(
x 0
)
内有定义,如
果当自变量的增量? x 趋向于零时,对应的函
数的增量? y 也趋向于零,即lim ? y ? 0 或 ?x? 0
lim [
?x? 0
f
(
x0
?
?
x)
?
f ( x 0 )] ? 0,那末就称函数
解 ?在x ? 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在 .
x? 0
x
1 y ? sin
x
? x ? 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 .
★ 狄利克雷函数
y?
处既左连续又右连续 .
例2
讨论函数
f
(
x
)
?
? ? ?
x x
? ?
2, 2,
x ? 0, x ? 0,
在 x ? 0处的
连续性 .
解 lim f ( x ) ? lim( x ? 2) ? 2? f (0),
x ? 0?
x ? 0?
lim f ( x ) ? lim( x ? 2)? ? 2? f (0),
例6 讨论函数
f
(x)
?
?? ?
1 x
,
x ? 0,在x ? 0处的连续性 .
?? x , x ? 0,
y
解 f (0 ? 0) ? 0, f (0 ? 0) ? ?? ,
? x ? 1为函数的第二类间断点 .
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x ) ? sin 1 在 x ? 0处的连续性 . x
若函数f ( x )在(a, x 0 ]内有定义,且f ( x 0 ? 0) ? f ( x0 ), 则称f ( x )在点x0处左连续;
若函数f ( x )在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 ? 0) ? f ( x 0 ),
则称f ( x )在点x0处右连续.
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 ? 是函数 f ( x )在 x0
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x )在U? ( x0 )内有定义, ? x ? U? ( x0 ), ? x ? x ? x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
? y ? f ( x ) ? f ( x0 ),称为函数 f ( x )相应于? x的增量.
y
y
y ? f (x)
y ? f (x)
则
f (x) ?
?2 ?
x,
0 ? x ? 1,
?1 ? x , x ? 1,
在x ? 1处连续 .
y
2 1
o1
x
2.跳跃间断点
如果
f
(
x
)在点
x
处左
0
,
右极限都
存在,但f ( x0 ? 0) ?
f ( x0 ? 0),
则称点
x
为函数
0
f ( x )的跳跃间断点 .
例4
讨论函数
f
(x)
?
? ? x, ??1 ? x ,
例1
试证函数
f
(x) ?
?? x sin ?
1 ,
x
x ? 0, 在x ? 0
?? 0, x ? 0,
处连续 .
证 ? lim x sin 1 ? 0,
x? 0
x
又 f (0) ? 0, lim f ( x ) ? f (0), x? 0
由定义 2知
函数 f ( x )在 x ? 0处连续.
3.单侧连续
函数 f ( x ) 当 x ? x0 时的极限存在 ,且等于它在
点x
处的函数值
0
f
(
x0
),即
lim f ( x ) ?
x ? x0
f (x ) 0
那末就称函数 f ( x )在点x 0 连续.
? ? ? 定义 :
? ? ? 0, ? ? ? 0, 使当 x ? x0 ? ? 时, 恒有 f ( x ) ? f ( x0 ) ? ? .
x
处的极限存在
0
,
但 lim x? x0
f (x) ?
A?
f ( x 0 ),
或
f
( x )在点
x
处无定
0
义则称点
x
为函数
0
f
( x )的可去间断点
.
例5 讨论函数
f
(x)
?
?? 2 ? 1,
x,
0 ? x ? 1, x?1
??1 ? x , x ? 1,
在x ? 1处的连续性 .
y y ? 1? x
f ( x )在点 x 0 连续,x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x ? x0 ? ? x,
?y ?
f (x)?
f ( x ), 0
? x ? 0 就是 x ? x0 , ? y ? 0 就是 f ( x ) ? f ( x0 ).
定义 2 设函数 f ( x ) 在U? ( x0 )内有定义 ,如果
x
?
0, 在x
?
0处的连续性
.
x ? 0,
解 f (0 ? 0) ? 0, f (0 ? 0) ? 1,
y
? f (0 ? 0) ? f (0 ? 0),
? x ? 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
3.第二类间断点
如果
f
(
x
)在点
x
处的左、
0
右极限至少有一个不存
在,
则称点
x
为函数
0
f ( x )的第二类间断点 .
(3) lim x? x0
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)?
f ( x 0 ).
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称
函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断 ), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点 (或间断点 ).
下面我们根据连续的本质“极限”来区 分 间断点的类别
1.可去间断点
如果
f
(
x
)在点