相似三角形的判定3(两角)

证明：连接AC、BD．
∵ ∠A和∠D都是
ห้องสมุดไป่ตู้∴ ∠A＝∠D
CB 所对的圆周角，
A D P O · B C
同理 ∠C＝∠B ∴ △PAC∽△PDB

PA PD

PC PB
即 PA· ＝PC· PB PD
练 习
1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？ 证明你的结论． A A'
B
C
B' C'
已知：等腰△ABC AB = AC 和等腰△A'B'C' ，A'B'=A'C' 且有∠B=∠B', 求证:△ABC∽△A'B'C' 证明：∵等腰三角形 AB=AC ∵等腰三角形 A'B'=A'C' ∵∠B=∠B', ∴∠B=∠C ∴∠B'=∠C'
∴∠C=∠C'
∴△ABC∽△A'B'C'
一样 △ABC和△A'B'C'相似
得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'， 求证: △ABC∽△A'B'C' 证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D
观 察
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或 45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是 相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们 一定相似吗？
一定相 似
探究
作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时
它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形
又∠ A = ∠ A=90° ∴ △ACD∽△ABC
∵∠CDB=∠ACB=90° ∠B = ∠B = 90° ∴ △CBD∽△ABC
作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B' ∴∠ADE=∠B' 又∵∠A=∠A',AD=A'B' ∴△ADE≌△A'B'C' ∴△A'B'C'∽△ABC D B E A
A'
C
B'
C'
例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证PA· ＝PC· PB PD
已知:第腰△ABC 有AB=AC 和 △A'B'C' 有A'B'=A'C'， 并且 ∠A=∠A', 求证:△ABC∽△A'B'C'
证明：∵ △ABC中AB=AC，∠B =∠C
∴ 2∠B =180°－∠A
B 90

A
1 2
A
B
C
同理 △A'B'C'中A'B'=A'C'，∠B' =∠C' ∴ 2∠B' =180°－∠A'
B ' 90

A'
1 2
A '
又 ∠A=∠A' ∵ ∠B=∠B', ∵ △ABC∽△A'B'C' B' C'
2. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都 和△ABC相似吗？证明你的结论． △ACD∽△ABC △CBD∽△ABC 证明：
Ａ Ｄ Ｂ Ｃ
1 2
∵∠ACB=∠ADC=90°
的边长，计算
A
BC CA 、 、 A' B ' B 'C ' C ' A' AB
，你有什么现？
A'
B
C
B'
C'
满足：∠C = ∠C'
AB A' B ' BC B 'C ' CA C ' A'
△ABC∽△A'B'C'
探究
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？