巧用抛物线准线解题
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一
距离公式来求 Ｉ Ｂ１ Ａ ．
ｙ－
ｍ
Ｏ、 ＼／
／ （ ） ｂ ＼ ＼
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ＡＢ｝ ｖ ＝ 一 厂
一
／ ｎ ａ 一２ ＋ ＋６一２ ＋ ． １ ６ （）
、
等距交换
一
由于点 Ａ 和点 Ｂ都 在抛 物线 ｙ ＝ ２ ｘ上 ， ＝ ｐ ＝ 故有 。
２ ｐ和 ｂ ＝ ２ ｐ ａ ｒ ａ．
第二步 ： 美化界面． 过点 Ｂ作 ｚ轴的垂 线 （ 虚线 ）过 ，
点 Ｐ分别作 ｚ、 Ｙ轴垂线 （ 虚线 ） 点 Ｂ、 Ｐ的标签分别 ， Ｄ、
改为 ｔ 厂ｚ ， 图 ３ 、 （ ）如 ．
第 三步 ： 函数 的最值． 动点 ｔ根 据 函数 的单调 求 拖 ， 性， 可得函数 的最大、 小值 ： ｔ 一１ １ 时 ， 大值 为 当 ∈［ ， ］ 最
中学教学参考
解 题 方法 ｓ技巧
巧 用 抛 物 线 准 线 解 题
广西 田林县 高级 中学 （３ ３０ 李 犹发 ５ ３０ ）
在解平面几何题 目时 ， 我们 经常要 利用添加辅 助线 的方 法 ， 从而 可使 问题迎 刃而解． 而在处理解 析几 何题 目时 ， 我们却 不太注 意添加辅 助线 ， 尤其在解 答抛 物线 题 目时， 如果能巧妙添加辅助线 ， 能简化 问题 ， 则 而且添 加辅 助线 的方法也很简单 ， 往往就是抛 物线 的准线． 根据抛物线 的定义可知道 ， 物线上各点 到焦点 的 抛 距 离等 于它到 准线 的距 离． 用这一特 点 ， 利 我们 可 以从 两方面去利 用抛物线 的准线．
四、 点 注意 几
图 ３
Ｃ 在Ｃ Ｅ， Ｅ上取 点 Ｄ， 度量 点 Ｄ 的横 坐标 记 为 ｚ， 算 计
．
利用 动态 的 图象 要关 注 几点 ： 先 明确 参 数 的 范 首
厂 Ｉ ＝３ 一２ｘ （ ） ７ ｔ ＋３ 绘 制点 Ｐ（ ， （ ） ， ｚ ， ｘ ， ｚ ） 选择 点 Ｄ、 Ｐ，
小值为 ｆ ２． （）
三、 轴变区间变的二次 函数最值的课件制作案例
４ ；／ ＼ ／
２’ 。
【 ３ 求 二 次 函数 － ｚ 一 一２ 例 】 厂 ） （ ｔ ｘ＋３在 区间 ［ ，＋２ 上的最值． １￡ ］ 第一步 ： 绘制 区间 ［ ， ］ 函数 － ） ｔ １ ＋２ 上 厂 一ｚ 一２ｘ （
Ｉ
ｉ ０
【 这时有 Ｉ ｌ Ｉ ＡＭ ＋ ＭＦｌ＝ Ａ ｌ Ｉ ＝ Ｍ ＋ ＭＮ１ ＪＭ ｌ Ｉ ＝ｆ ．Ａ ＋ Ｆ Ｉ Ｍ 最小时 ，Ａ Ｉ Ｉ Ｉ Ｍ ＋ ＭＮＩ 最小． 也 因此 不难 得 出， 当 Ａ、 Ｎ 三点共线时 ，Ａ Ｉ Ｉ Ｍ、 ＩＭ ＋ ＭＮｌ 最小 ， 故过 Ａ 向抛
厂 ｆ ） 最小值为 ， １ ； （＋２ ， （ ） 当 ∈（ ，） 最大值为 ， １３ 时， （＋
线的对称轴及顶点 ． 单调 区间是确定最 大 、 小值 的关键 ， 而二次 函数的单调区间的划 分取决于顶 点 的横坐 标 ， 所 以制作时应作 出抛物线的对称轴及顶 点 ； 再次要 比较端 点处 的函数值． 拖动控制点 观察 目标 函数 图象时 ，注意 区间端点处 函数值与曲线 顶点纵坐标 的大小关 系 ， 以便
【 １ 过抛物线 ｙ ＝２ ｘ（ ＞０） 例 】 ｐ 的焦 点 Ｆ作 直
线 ｚ与 抛 物 线 相 交 于 Ａ （ ， ） Ｂ（ ， ） 点 ， 有 ｎ、 ａ６两 则
（ ） ．
把 ｎ一２ ｐ和 ｂ 一２ ｐ代入 （） ｒ ａ ａ １式得 ： ＡＢ 『 一 Ｊａ一２仇＋ 。 ２ ６ ａ ＋６—２ｍ＋ 、ｎ 一２ｍ＋ｍ ＋２ 一２ ＋２ ／ 口 ／ 。 ｎ ６ ｍ ． ２ （） 观察（ ） ， ２式 其结构与题 目所提供 的 四个备选答 案 ， 一
Ａ．ＡＢＩ＋ｍ＋ｐ １ ｎ Ｂ １ Ｂｌ ＋ｍ＋２ ．Ａ —ａ ｐ Ｃ １ ．ＡＢＩ ＋ — 一口 Ｄ １ ．ＡＢｌ ＋ｍ一２ 一口 分析 ： 解这个题 目时 ， 最初很容易想 到利用两点 间
其结构相差甚远 ， 容易误导学 生． 其实 ， 如果 给抛物线 添
加准线 Ｑ 过点 Ａ 和点 Ｂ 向准线作垂线 Ａ 和 Ｂ Ｑ Ｋ， Ｑ Ｋ（ 和Ｋ 分别是垂 足）把 ｌ 和 ｌ Ｆ１ ． ＡＦ１ 分别转换 为 ｌ Ｂ ｌ ＡＱ 和
划分 区 间．
２ 最小值为 厂 ｆ； ∈（ ， 。 时 ， 大值为 厂 １ ， ） （） 当 ３ ＋。 ） 最 （ ） 最
小值为 ． ． 厂） （
３ ２ 中学 教学参考 （ 中旬）２ １・ 。 ２ １总第 １。 １ 期
［ 基金 项 目： 西教 育科 学“ 广 十一 五” 划重 点课题 规 （ 桂教 科学Ｅｏ ８ ２ ）］ ２ ｏ １ 号 ．
～
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ｌ
１ ： ｔ
ｔ２ ： ＋
＋３的图象． 建画板 ， 新 绘制点 Ａ（ ，） 选 择点 Ａ 及 一ｌ ０ ，
单位点 Ｅ， 构造射线 Ａ 在射线 ＡＥ上取一点 Ｂ， Ｅ， 度量其
横坐标记为 ｔ计 算 ＋２ 绘制点 Ｃ（＋２ Ｏ ， 造 线段 ， ， ｔ ，）构
的 图象 ．
【 构造】 【 ｛轨迹】 得 ［ ，＋２ 上函数 ， ｚ 一ｚ 一２ ， １￡ ］ （ ） 妇＋３
围． 要准确 地 作 出 目标 函数 的 图象必 须 明确 其 定 义 区 间 ，因而就必须明确参数 的范围 ， 这样 才能作 出控制 点
及 函数 图象 ， 如例 １ ３中的射线 、 、 线段 ； 次要抓住抛 物 其
（ 任编辑 责 金 铃）
ＺＩ ｌＯＮＧ Ｅ Ｊ ０Ｘ Ｃ ＫＡ ＸＵ ¨－ ＵＥ ０
Ｂ Ｉ问题 会 迎 刃 而解 ． Ｋ ，
） 一 Ｌ一
垂线 ＭＮ （ 为垂 足 ） 根 据抛 物线 准 线 的特 性 可知 ， Ｎ ， Ｉ ＭＦＩ— Ｉ ＭＮ 这 就 相 当于 把 线段 ＭＦ转 移 到 线段 Ｉ ．
距离公式来求 Ｉ Ｂ１ Ａ ．
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等距交换
一
由于点 Ａ 和点 Ｂ都 在抛 物线 ｙ ＝ ２ ｘ上 ， ＝ ｐ ＝ 故有 。
２ ｐ和 ｂ ＝ ２ ｐ ａ ｒ ａ．
第二步 ： 美化界面． 过点 Ｂ作 ｚ轴的垂 线 （ 虚线 ）过 ，
点 Ｐ分别作 ｚ、 Ｙ轴垂线 （ 虚线 ） 点 Ｂ、 Ｐ的标签分别 ， Ｄ、
改为 ｔ 厂ｚ ， 图 ３ 、 （ ）如 ．
第 三步 ： 函数 的最值． 动点 ｔ根 据 函数 的单调 求 拖 ， 性， 可得函数 的最大、 小值 ： ｔ 一１ １ 时 ， 大值 为 当 ∈［ ， ］ 最
中学教学参考
解 题 方法 ｓ技巧
巧 用 抛 物 线 准 线 解 题
广西 田林县 高级 中学 （３ ３０ 李 犹发 ５ ３０ ）
在解平面几何题 目时 ， 我们 经常要 利用添加辅 助线 的方 法 ， 从而 可使 问题迎 刃而解． 而在处理解 析几 何题 目时 ， 我们却 不太注 意添加辅 助线 ， 尤其在解 答抛 物线 题 目时， 如果能巧妙添加辅助线 ， 能简化 问题 ， 则 而且添 加辅 助线 的方法也很简单 ， 往往就是抛 物线 的准线． 根据抛物线 的定义可知道 ， 物线上各点 到焦点 的 抛 距 离等 于它到 准线 的距 离． 用这一特 点 ， 利 我们 可 以从 两方面去利 用抛物线 的准线．
四、 点 注意 几
图 ３
Ｃ 在Ｃ Ｅ， Ｅ上取 点 Ｄ， 度量 点 Ｄ 的横 坐标 记 为 ｚ， 算 计
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利用 动态 的 图象 要关 注 几点 ： 先 明确 参 数 的 范 首
厂 Ｉ ＝３ 一２ｘ （ ） ７ ｔ ＋３ 绘 制点 Ｐ（ ， （ ） ， ｚ ， ｘ ， ｚ ） 选择 点 Ｄ、 Ｐ，
小值为 ｆ ２． （）
三、 轴变区间变的二次 函数最值的课件制作案例
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【 ３ 求 二 次 函数 － ｚ 一 一２ 例 】 厂 ） （ ｔ ｘ＋３在 区间 ［ ，＋２ 上的最值． １￡ ］ 第一步 ： 绘制 区间 ［ ， ］ 函数 － ） ｔ １ ＋２ 上 厂 一ｚ 一２ｘ （
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【 这时有 Ｉ ｌ Ｉ ＡＭ ＋ ＭＦｌ＝ Ａ ｌ Ｉ ＝ Ｍ ＋ ＭＮ１ ＪＭ ｌ Ｉ ＝ｆ ．Ａ ＋ Ｆ Ｉ Ｍ 最小时 ，Ａ Ｉ Ｉ Ｉ Ｍ ＋ ＭＮＩ 最小． 也 因此 不难 得 出， 当 Ａ、 Ｎ 三点共线时 ，Ａ Ｉ Ｉ Ｍ、 ＩＭ ＋ ＭＮｌ 最小 ， 故过 Ａ 向抛
厂 ｆ ） 最小值为 ， １ ； （＋２ ， （ ） 当 ∈（ ，） 最大值为 ， １３ 时， （＋
线的对称轴及顶点 ． 单调 区间是确定最 大 、 小值 的关键 ， 而二次 函数的单调区间的划 分取决于顶 点 的横坐 标 ， 所 以制作时应作 出抛物线的对称轴及顶 点 ； 再次要 比较端 点处 的函数值． 拖动控制点 观察 目标 函数 图象时 ，注意 区间端点处 函数值与曲线 顶点纵坐标 的大小关 系 ， 以便
【 １ 过抛物线 ｙ ＝２ ｘ（ ＞０） 例 】 ｐ 的焦 点 Ｆ作 直
线 ｚ与 抛 物 线 相 交 于 Ａ （ ， ） Ｂ（ ， ） 点 ， 有 ｎ、 ａ６两 则
（ ） ．
把 ｎ一２ ｐ和 ｂ 一２ ｐ代入 （） ｒ ａ ａ １式得 ： ＡＢ 『 一 Ｊａ一２仇＋ 。 ２ ６ ａ ＋６—２ｍ＋ 、ｎ 一２ｍ＋ｍ ＋２ 一２ ＋２ ／ 口 ／ 。 ｎ ６ ｍ ． ２ （） 观察（ ） ， ２式 其结构与题 目所提供 的 四个备选答 案 ， 一
Ａ．ＡＢＩ＋ｍ＋ｐ １ ｎ Ｂ １ Ｂｌ ＋ｍ＋２ ．Ａ —ａ ｐ Ｃ １ ．ＡＢＩ ＋ — 一口 Ｄ １ ．ＡＢｌ ＋ｍ一２ 一口 分析 ： 解这个题 目时 ， 最初很容易想 到利用两点 间
其结构相差甚远 ， 容易误导学 生． 其实 ， 如果 给抛物线 添
加准线 Ｑ 过点 Ａ 和点 Ｂ 向准线作垂线 Ａ 和 Ｂ Ｑ Ｋ， Ｑ Ｋ（ 和Ｋ 分别是垂 足）把 ｌ 和 ｌ Ｆ１ ． ＡＦ１ 分别转换 为 ｌ Ｂ ｌ ＡＱ 和
划分 区 间．
２ 最小值为 厂 ｆ； ∈（ ， 。 时 ， 大值为 厂 １ ， ） （） 当 ３ ＋。 ） 最 （ ） 最
小值为 ． ． 厂） （
３ ２ 中学 教学参考 （ 中旬）２ １・ 。 ２ １总第 １。 １ 期
［ 基金 项 目： 西教 育科 学“ 广 十一 五” 划重 点课题 规 （ 桂教 科学Ｅｏ ８ ２ ）］ ２ ｏ １ 号 ．
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１ ： ｔ
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＋３的图象． 建画板 ， 新 绘制点 Ａ（ ，） 选 择点 Ａ 及 一ｌ ０ ，
单位点 Ｅ， 构造射线 Ａ 在射线 ＡＥ上取一点 Ｂ， Ｅ， 度量其
横坐标记为 ｔ计 算 ＋２ 绘制点 Ｃ（＋２ Ｏ ， 造 线段 ， ， ｔ ，）构
的 图象 ．
【 构造】 【 ｛轨迹】 得 ［ ，＋２ 上函数 ， ｚ 一ｚ 一２ ， １￡ ］ （ ） 妇＋３
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（ 任编辑 责 金 铃）
ＺＩ ｌＯＮＧ Ｅ Ｊ ０Ｘ Ｃ ＫＡ ＸＵ ¨－ ＵＥ ０
Ｂ Ｉ问题 会 迎 刃 而解 ． Ｋ ，
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垂线 ＭＮ （ 为垂 足 ） 根 据抛 物线 准 线 的特 性 可知 ， Ｎ ， Ｉ ＭＦＩ— Ｉ ＭＮ 这 就 相 当于 把 线段 ＭＦ转 移 到 线段 Ｉ ．